2020-2021学年贵州省凯里一中高二下入学考试文科数学卷

2020-2021学年贵州省凯里一中高二下入学考试文科数学卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合}4,3,2{=A ，}5,4,3{=B ,则B A ⋂=（ ）A ．}3{B ．}4,3{C ．}4,3,2{D ．}5,4,3,2{ 2． 18cos 22-π=（ ）A ．21 B ．21- C ．22- D ．22 3．函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．（-2，-1）B ．（-1,0）C ．（0,1）D ．（1,2）4．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，若416a =，则1a =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43 5．曲线x x y +=ln 在点（1,)1(f ）处的切线方程为（ ） A ．12-=x y B ．1y x =-+ C ．1y x =- D ．22y x =-+6．双曲线221916x y -=的渐近线方程为（ ） A ．169y x =±B ．916y x =±C ．34y x =±D ．43y x =± 7．设a R ∈,则1a >是11a<的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8．将函数)42sin()(π-=x x f 图象上的所有点向左平移4π个单位长度，则所得图象的函数解析式是（ ） A ．)4sin(π-=x yB ．)4cos(π+=x y C．)42sin(π+=x y D ．)42cos(π-=x y9．如图一个边长为4的正方形及其内切圆，若随机向正方形内丢一粒豆子，则豆子落入圆内的概率是（ ）A ．8π B ．2π C ．4πD ．π 10．执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为14，则输出的y 的值为（ ）是输入x y=log 2x y ＝2x否x≤2？结束开始输出y 图(2)A ．2B ．-2C ．12D ．42 11．如图，有一个几何体的三视图及其尺寸（单位：cm ）则该几何体的表面积和体积分别为（ ）A ．224cm π ，312cmπB ．215cm π，312cm π C ．224cm π，336cmπD ．（24+9π）cm 2，36πcm 212．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x ,过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若ON OM ⊥,则双曲线的离心率为（ ） AB二、填空题 13．函数21)(--=x x x f 的定义域为 ． 14．已知抛物线方程为：241y x =，其准线方程为 ． 15．长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________.16．在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤≤0121y x y x 下，目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为1，则ab 的最大值为 ．三、解答题17．△中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos cosB 2cos b C c a B +=． （1）求角的大小；（2）若4,13=+=c a b ,求△的面积．18．在等差数列{}n a 中，11=a ，且521,,a a a 成公比不等于1的等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设11+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．19．如图，在四棱锥ABCD P -中，⊥PD 平面ABCD ，1===BC DC PD ，2=AB ，//AB CD ，090BCD ∠=．（1）求证：BC ⊥平面PDC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离．20．某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在[50,60)的学生人数为6．（1）估计所抽取的数学成绩的众数；（2）用分层抽样的方法在成绩为[80,90)和[90,100]这两组中共抽取5个学生，并从这5个学生中任取2人进行点评，求分数在[90,100]恰有1人的概率．21．已知椭圆C:)0(12222>>=+b a b y a x ,右焦点)0,3(F ,且离心率23=e ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过F 且倾斜角为︒45的直线l 与椭圆交于不同的两点M ,N ,求OMN ∆（O 为坐标原点）的面积．22．已知函数x x x f ln )(=． （1）求)(x f 的单调区间；（2）若对所有1≥x 都有1)(-≥ax x f ，求实数a 的取值范围．参考答案1．B 【解析】试题分析：集合A ，B 中的共同元素是3和4，所以{}3,4A B =，故选B ．考点：集合的交集运算． 2．D 【解析】试题分析：由倍角公式2cos 22cos 1αα=-的运用可得：22cos 1cos842ππ-==．故选D ．考点：1、二倍角公式；2、特殊角的三角函数值． 3．B 【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f （0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为（-1,0），选B ． 考点：本试题主要考查了函数零点的问题的运用．点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间． 4．B 【解析】试题分析：根据等比数列的通项公式11n n a a q -=，可得41412a a -=，显然12a =．故选B ．考点：等比数列的通项公式． 5．A 【解析】试题分析：先对函数求导'11y x=+，可得切线斜率2k =，由切线过点()1,1，从而得直线的点斜式为()121y x -=-，即21y x =-．故选A ． 考点：1、特殊函数的一阶导数；2、直线的点斜式方程． 6．D【解析】试题分析：令220916x y -=，化简可得43y x =±．故选D ． 考点：双曲线的渐近线． 7．A 【解析】试题分析：首先a R ∈，由1a >则一定可以得到11a<，即p q ⇒；由1111100a a a a -<⇒-<⇒<，得到1a >或0a <，即不一定得到1a >；所以1a >是11a<的充分不必要条件．故选A ． 考点：分式不等式；逻辑关系． 8．C 【解析】试题分析：根据函数图像平移法则：左加右减，上加下减；可知sin 2()sin 2444y x x πππ⎡⎤⎛⎫=+-=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭．故选C ．考点：三角函数图象平移及其法则． 9．C 【解析】试题分析：∵正方形的边长为4，∵正方形的面积24S =正方形；其内切圆半径为2，内切圆面积22=4S ππ=⋅圆；故向正方形内撒一粒豆子，则豆子落在圆内的概率4S P S π==圆正方形．故选C ．考点：1、几何概型公式；2、正方形和圆的面积公式． 10．B 【解析】试题分析：这是一道程序框图题，由于输入的x 值为124≤，则把14代入到对数函数2log y x =，可得2y =-．故选B ．考点：对数函数与指数函数的概念． 11．A 【解析】试题分析：从三视图观察，还原这个几何体，即是一个圆锥，底面半径是3，母线长是5，若要求圆锥的表面积，即2231+=9+5=2452S S S πππππ⋅=⋅⋅表底侧；其体积为11=91233V S h ππ⋅=⋅=圆锥底．故选A ．考点：1、三视图；2、圆锥的表面积和体积公式．【思路点晴】本题一定要具有很强的立体感，从已知的图形中想象几何体的原型是圆锥，之后再根据公式求解相应的表面积和体积；在这个过程中，表面积的求解过程很重要，因为其中还涉及到扇形面积的求解，有很多学生在此处容易犯错，所以一定要仔细一些．另外，三视图的试题在近几年的高考中都会有一题，可能会更复杂一些（例如是复合几何体），所以要解决这样的试题关键还是要把几何体还原出来． 12．D 【解析】试题分析：本题是圆锥曲线的求解离心率问题，由M ，N 两点关于x 轴对称且ON OM ⊥，则有OMN ∆是等腰直角三角形；设直线MN 与x 轴的垂足为点P ，则有OP PM c ==，即点(),M c c ，再把M 点坐标代入双曲线方程得22221c c a b-=，再结合222b c a =-，经过化简可得42310c c a a ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()222310e e -+=，根据求根公式可得22e ==⎝⎭，即e =．故选D ． 考点：1、双曲线标准方程；2、离心率；3、勾股定理．【方法点晴】建议同学们在做这类题型的时候要一边读题一边画图，当你把题目读完了，图象也画完了，实际上你的解题思路也就出来了．凡事要求圆锥曲线的离心率（范围），就要根据已知条件建立一个方程（不等式），而且这个方程一般都是四次方程（不等式），简单的说就是消去参数，从已知条件中消去附庸条件和b ，最后把,a c 也消掉，最后只要求解一个关于e 的方程（不等式）即可． 13．[1,2)(2,)+∞【解析】试题分析：本题求解函数定义域就是求解函数解析式有意义时x 的取值范围；由已知函数解析式21)(--=x x x f ，可得101202x x x x -≥≥⎧⎧⇒⎨⎨-≠≠⎩⎩，即[)()1,22,⋃+∞． 考点：1、函数定义域；2、一元一次不等式． 14．1x =- 【解析】试题分析：由抛物线方程为：241y x =，化简得24y x =，则有242p p =⇒=，即对应抛物线的方程为12px =-=-． 考点：抛物线的准线方程． 15．14π 【解析】长方体的体对角线长为球的直径，则2R =，2R =，则球的表面积为24(142ππ=. 16．18【解析】试题分析：根据已知约束条件画出相对应的可行域，再化简目标函数得到1a y x z b b=-+，画出直线a y x b =-进行平移，即可发现1z b在点()1,2处取得最大值1，从而得到()210,0a b a b +=>>，利用均值不等式得()22111112224248a b ab a b +=⋅⋅≤⋅=⨯=，当且仅当2a b =时等号成立．考点：1、线性规划；2、均值不等式或二次函数．【方法点晴】本题首先是利用线性规划的相关知识求出a 和b 的一个关系式，在此处学生容易找错点，易犯错!之后再根据均值不等式进行求解最值，但是一定要注意参数a 和b 的取值范围，尤其是以后碰到类似应用均值不等式的试题；若在此处不使用均值不等式，还可以利用二次函数相关知识解决：由()210,0a b a b +=>>，可得()120,0a b a b =->>，则有()2112202ab b b b b b ⎛⎫=-=-+<<⎪⎝⎭，即已经转化到一个关于b 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上求最值的问题． 17．（1）3π；（23【解析】试题分析：（1）求角B ，根据已知条件cos cosB 2cos b C c a B +=，利用余弦定理太复杂，所以选择使用正弦定理最好，再利用两角和正弦公式化简得到cos B 的值，再由角B 的取值范围确定其值；（2）在（1）中π3B =，利用余弦定理和已知条件可以求出的ac 值，进而再根据三角形的面积公式1sin 2ABC S ac B ∆=． 试题解析：（1）sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=sin 2sin cos A A B =， sin 0A >，所以1cos 2B =， ∵0πB <<，π3B =； （2）2222222cos ()3b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+- 即13163ac =-，1ac =，所以1sin 24S ac B == 考点：1、正弦定理和余弦定理；2、三角形的面积公式；3、两角和的正弦公式． 【方法点晴】本题是典型的三角函数和解三角形综合试题，对于这类型的试题请记住四字原则：边角互换．三角形的边化成角就要用正弦定理或余弦定理，本题显然使用正弦定理比较简单；但是在求取角的大小的过程中还要用到三角函数部分的两角和（差）公式以及特殊角的三角函数值，这些都要熟练掌握．第二问中余弦定理和三角形的面积公式的搭配使用时最常用的方法．18．（1）21n a n =-；（2）21n nS n =+． 【解析】试题分析：（1）先根据等比中项得到2215a a a =，再等差数列的通项公式代入，可得到公差d ，但是要有取舍最后写出的{}n a 通项公式；（2）先由（1）中{}n a 通项公式代入到11+=n n n a a b 中，再利用裂项求和的方法进行求数列{}n b 的前n 项和n S ．试题解析：（1）由已知有2215a a a =而11a =∴2(1)1(14)d d +=⨯+ 解得2d =或0d =（舍去） ∴12(1)21n a n n =+-=-． （2）由（1）知，21n a n =- ∴111(21)(21)n n n b a a n n +==-+=11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭∴123n n S b b b b =++++111111(1)()()23352121n n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥-+⎣⎦ =11(1)221n -+ 21n n =+ 考点：1、等比中项；2、等差数列通项公式；3、裂项求和方法．【方法点晴】本题是一道典型数列题，求数列{}n a 通项公式和数列{}n b 的前n 项和n S ．对于数列的问题就是已知()1,,,,n n a n d q a S 五个基本量的关系，简而言之：知三求二，即知道其中三个量求另外两个量．对于求数列前n 项和n S 的基本方法有四个：1、就是课本学习的公式求和；2、倒序相加求和法；3、错位相减求和法；4、裂项相消求和法。