基于小波分析的一维信号处理方法研究

基于小波分析的一维信号处理方法研究[摘要]小波分析是在傅立叶变换的基础上发展起来的一种时频分析方法。

作为一种新的变换域信号处理方法，小波变换尤其擅长处理在非平稳信号的分析。

目前，这种分析方法已经广泛应用于信号处理、图像处理、量子场论、分形理论等领域 。

【关键词 】小波分析 ；时域 ；频域1 前言小波分析是近年来发展起来的一门新技术,是建立在Fourier 分析、泛函分析、调和分析及样条分析基础上的分析处理工具。

是傅里叶分析发展史上里程碑式的进展，它被看成是调和分析这一数学领域半个世纪以来工作的结晶。

在信号处理方面Fourier 变换是不可缺少的分析工具，但由于Fourier 只适用于平稳信号的分析，不能做局部分析，加窗Fourier 变换无法满足正交性。

且窗口大小固定，它不能敏感反映信号的突变，而小波分析优于Fourier 分析之处在于它的时间域和频率域同时具有良好的局部化性质，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。

这种特性正符合低频信号变化缓慢而高频信号变化迅速的特点，使小波变换县有对信号的自适应能力。

有一个灵活可变的时间-频率窗,它被称为多分辨分析，并且常被誉为信号分析的“数学显微镜”。

2 小波分析的发展历史小波分析方法的提出，可以追溯到1910年Haar 提出的小“波”规范正交基及1938年Littlewood-Paley 对Fourier 级数建立的L-P 理论，即按二进制频率成分分组。

Fourier 变换的相位变化本质上不影响函数的形状及大小。

其后，Calderon 于1975年用其早年发现的再生公式给出抛物型空间上H 1的原子分解，它的离散形式已接近小波展开，只是还无法得到组成一个正交系的结论。

1981年，Stromberg 对Haar 系统进行了改进，证明了小波函数的存在性。

1984年，法国地球物理学家Morlet 在分析地震波的局部性质时，发现传统的Fourier 变换难以达到要求，引入“小波”概念对信号进行分解。

随后，理论物理学家Grossman 对Morlet 的这种信号按一个确定函数的伸缩，平移系展开的可行性进行了研究，这无疑为小波分析的形成开了先河。

真正的小波热开始于1986年，Meyer 创造性的构造出了具有一定衰减性的光滑函数ψ，其二进制伸缩与平移/2,{()2(2):,}j j k j t t k j k z ψψ--=-∈构成L 2(R)的规范正交基。

继Meyer 提出了小波变换之后，Lemarie 和Battle 又分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。

1987年，Mallat 巧妙地将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中小波函数的构造及信号按小波变换的分解及重构，从而成功地统一了在此之前Stromberg，Meyer，Lemarie和Battle提出的具体小波的构造，研究了小波变换的离散化情形，并将相应的算法――现今称之为Mallat算法有效应用于图像分解与重构。

与此同时，Daubechies构造了具有紧支集的正交小波基，她的工作已经成为小波研究的经典文献之一。

这样小波分析的系统理论初步得到了建立。

1988年，Amcodo及Grasseau等人将小波变换运用于混沌动力学及分形理论以研究湍流及分形生长现象。

1990年，崔锦泰和王建中构造了基于样条函数的所谓双正交小波函数，并讨论了具有最好局部化性质的多尺度分析的生成函数及相应的小波函数。

同年，Beylkin，Coifman等将小波变换应用于算子理论。

1991年，Jaffard及Laurencot 将小波变换应用于偏微分方程数值解，而Wickerhanser等将Mallat算法进一步深化，得到了小波包算法，它对频带的划分突破了小波分析等Q划分的限制，拓宽了小波信号分析的适用范围，但要解决的问题是最优基选择和信号的自适应最优表示。

Goodman 等在1994年基于r元多分辨分析建立了多小波的基本理论框架，并给出了样条多小波的例子。

1995年，Sweldens提出了通过提升方法（lifting scheme）构造第二代小波的新思想。

利用这种方法可以构造非欧空间中不允许伸缩和平移，从而Fourier变换已不再适应的情形下的小波基，使小波的构造摆脱了对Fourier变换的依赖性。

1996年，Donovan，Geronimo，Hardin和Massopust将分形理论中的迭代函数系统用于双尺度差分方程组，再次利用分形插值构造了所谓的DGHM多小波。

1998年，为了解决小波处理高维奇异性所带来的问题，Candes在他的博士论文中首次提出了“脊波”（ridgelet）的概念，脊波是用一系列脊函数的叠加来表示相当广泛的函数类，同时具有基于离散变换的“近似正交”的脊函数框架，脊波的理论框架是由Candes和Donoho完成的，它能够对高维空间中的直线状和超平面状的奇异性进行很好的逼近。

至此，小波理论已经相当丰富，并在继续蓬勃发展着。

3 国内研究概况及发展趋势国内对小波的研究是从上世纪90年代以来逐步发展起来，并在信号的去噪和图像的压缩、机械故障检测等方面取得了一定的进展。

从公开发表的应用性文章的内容看，主要可分为两大部分：一部分是利用小波分析做图像或数据压缩。

一个图像经小波分解后，图像轮廓主要体现在小波系数的低频部分，而细节部分主要体现在高频部分，因此可以来用不同的量化方法，对不同层次的低频系数和高频系数进行量化处理，对量化后的小波系数进行重构，以达到图像或数据压缩的目的。

另一部分是利用小波分析对信号进行消噪处理，以提高解释方法的分辨率。

这一部分包括小波变换用于信噪分离、弱信号的提取,以及信号奇异点的测定和多尺度边缘检测与重构。

目前的故障诊断技术大都基于傅立叶变换，因而必然面临傅立叶分析的一对基本矛盾：时域和频域局部化的矛盾，并且傅立叶分析是以信号平稳性假设为前提的，而绝大数的控制系统的鼓掌信号往往包含在瞬态信号及时变信号中。

小波的时域分析方法不仅能够提供信号的全部信息，而且又能提供在任一局部时间内信号变化激烈程度的信息，即可提供时域同时局部化的信息。

虽然小波分析已对许多学科产生多方面的影响．并已激起了众多科学家和科技工作者的极大热情。

但小波理论尚不完善，某些现象不能用现有的理论技术方法来解释，这就推动了小波理论的研究。

目前函数空间的刻画、基数插值小渡、高维小波、向量小波、多进小波、周期小波等小波理论研究的主要方向。

另外，最优小波基的选择方法一直是人们关注的问题之一。

小波实际应用的深度和广度得到进一步拓展。

在某些方面已取得了传统方法无法达到的效果，人们正在挖掘有前景的应用领域。

4 小波分析的应用现状小波分析最早应用在地震数据压缩中，以后在图像处理、故障诊断等方面取得了传统方法根本无法达到的效果。

现在小波分析已经渗透到了自然科学、应用科学等方面，小波分析已成为国际研究热点。

无沦是傅里叶分析还是小波分析均以线性变换为基础，按非线性傅立叶分析提出了非线性小波变换，这种非线性小波变换处理非线性问题更为有效。

小波变换能够把任何信号映射到一个由基本小波伸缩、平移而成的一组小波函数上去。

实现信号在不同时刻、不同频带的合理分离而不丢失任何原始信息。

这些功能为动态信号的非平稳描述、机械零件故障特征频率的分析、微弱信号的提取以实现早期故障诊断提供了高效、有力的工具。

信号的降噪与压缩是小波的重要应用之一。

压缩的特点是压缩比高，压缩速度快，压缩后能保持信号的特征不变，且在传递中可以抗干扰。

小波降噪主要得益于小波变换的低熵性、多分辨率特性、去相关性、基函数选择灵活。

小波在信号分析中的应用十分广泛。

它们可以用于小波信号边界的处理与滤波、时频分析、信噪分离与提取弱信号、求分形指数、信号的识别与诊断以及多尺度边缘检测等。

小波分析在工程实际中比较成功的应用主要体现在如下几个方面：（1）小波分析在故障诊断中的应用目前小波变换在故障诊断领域中的应用已经引起了广泛注意，许多学者投入到这方面的研究。

由于小波分析非常适合于分析非平稳信号，因此小波分析可作为故障诊断中信号处理的较理想工具，它又可以构成故障诊断所需的特征或直接提取对诊断有用的信息。

小波变换在鼓掌诊断中应用主要包括奇异信号检测、信噪分离和频带分析三个方面。

(2)小波分析在图像处理中的应用在图像处理中。

小波分析的应用是很成功的，而这一方面的著作和学术论文也特别多。

二进小波变换用于图像拼接和镶嵌中，可以消除拼接缝。

利用正交变换和小波包进行图像数据压缩。

可望克服由于数据压缩而产生的方块效应，获得较好的压缩效果。

利用小波变换方法可进行边缘检测、图像匹配、图像目标识别及图像细化等。

（3)小波分析在1C T中的应用1C T 即工业计算机断层摄影，主要用于机械构件的无损探伤。

但是1C T图像的投影数据存在一定的噪声，这给图像处理带来困难。

利用小波变换先对投影数据进行滤波。

重建后取模极大值。

所得图像边缘噪声较小，边缘清晰，并可滤去非白噪声。

这种将小波分析用于卷积反投影的方法已成功地开辟了一条崭新的技术路线。

小波分析方法可用于焊缝位置识别、混凝土内部缺陷识别及管道检漏等方面。

(4)小波分析在地球物理勘探中的应用在地球物理勘探中，寻找地壳物质物性参数的奇异性时是非常有意义的。

由于小波变换同时具有空间域和频率域的局部性，因此它是描述、检测函数奇异性的有效工具。

我们利用小波变换和分形理论，对石油、天然气中的实际地震道数据进了奇异性检测和高分辨处理并给出了地震道油气检测的重建相空间法。

这对于油气勘探及地震资料的高分辨处理都具有重大的理论意义和应用价值。

（5）小波分析在医学中的应用淋巴细胞微核的识别在医学中有重要的应用价值。

可用于环境检测、药品及各种化合物的毒性检测。

在微核的计算机自动识别中，用连续小波就可准确提取胞核的边缘。

目前，人们正在研究利用小波变换进行脑信号的分析与处理，这样可有效地消除瞬态干扰，并检测出脑电信号中短时、低能量的瞬态脉冲。

（6）小波分析在数学和物理中的应用在数学领域，小波分析是数值分析强有力的工具，能简捷、有效地求解偏微分方程和积分方程。

亦能很好地求解线性问题和非线性问题，而由此产生的小波有限元方法和小波边界元方法，极大的丰富了数值分析方法的内容。

在物理领域中，小波表示了量子力学中一种新的凝聚态。

在自适应光学中，目前有人研究利用小波变换进行波前重构。

另外，小波变换适宜于刻画不规则性，为湍流研究提供了新的工具。

（7）小波分析在神经网络中的应用小波理论提供了一个对前传网分析和理论框架，小波形式在网络构造中被用来使包含在训练数据中的频谱信息具体化。

使用小波变换设计处理网络，可使训练问题大大简化。