哈工大概率论答案-习题四

习 题 四

1．一个袋子中装有四个球，它们上面分别标有数字1,2,2,3，今从袋中任取一球后不放回，再从袋中任取一球，以,X Y 分别表示第一次，第二次取出的球上的标号，求(,)X Y 的分布列.

解 (,)X Y 的分布列为

其中 (1,1)(1)(1|1)P X Y P X P Y X ====

=

==

(1,2)(1)(2|P X Y P X P Y X ======

121

436

=⨯= 余者类推。

2．将一枚硬币连掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出(,)X Y 的分布列及边缘分布列。

解 一枚硬币连掷三次相当于三重贝努里试验，故1~(3,

).2

X B 331

()(),0,1,2,32

k P X k C k ===，于是(,)X Y 的分布列和边缘分布为

其中 (0,1)(0)(1|0)P X Y P X P Y X =====

=

=，

13

313(1,1)(1)(1|1)()128P X Y P X P Y X C =======⨯=，

余者类推。

3．设(,)X Y 的概率密度为

1

(6),02,24,

(,)80,.x y x y f x y ⎧--<<<<⎪=⎨⎪⎩

其它

又（1）{(,)|1,3}D x y x y =<<；（2）{(,)|3}D x y x y =+<。求{

(,)}P X Y D ∈ 解 （1）13021

{(,)}(6)8

P x y D x y dxdxy ∈=--⎰⎰

1194368228-⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦； 2）13021

{(,)}(6)8x P X Y D x y dxdy -∈=--⎰⎰ 112

00113(1)[(3)4]82x x dx x dx ⎧⎫=-----⎨⎬⎩⎭⎰⎰

5

24

=.

4．设(,)X Y 的概率密度为

222(,

(,)0,.C R x y R f x y ⎧+≤⎪=⎨⎪⎩

其他

求（1）系数C ；（2）(,)X Y 落在圆222()x y r r R +≤<内的概率.

解 （1）222

2320

1(R x y R C

R dxdy C R C r drd ππθ+≤==-⎰⎰⎰

⎰

333233R R C R C πππ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦

，

∴ 3

3

C R π=.

（2）设2

2

2

{(,)|}D x y x y r =+≤，所求概率为 222

33{(,)}(x y r P X Y D R dxdy R π+≤∈=

⎰⎰

322

3

23

232133r r r Rr R R R πππ⎡⎤⎡⎤

=

-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎣⎦

. 5．已知随机变量X 和Y 的联合概率密度为 4,01,01(,)0,.

xy x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨

⎩其它

求X 和Y 的联合分布函数.

解1 设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则

(,)(,)x y F x y f u v dudv -∞+∞=⎰⎰001

00

1000,00,4,01,01,4,01,1,4,1,01,1,

1, 1.x y x y x y uvdudv x y uydudy x y xvdxdv x y x y ⎧<<⎪⎪≤≤≤≤⎪⎪⎪=≤≤>⎨⎪

⎪>≤≤⎪⎪

>>⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰或

22

2

2

0,00,,

01,01,,01,1,,

1,01,1,

1, 1.x y x y x y x x y y x y x y ⎧<<⎪≤≤≤≤⎪⎪=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪⎪

>>⎩或

解2 由联合密度可见，,X Y 独立，边缘密度分别为 2,01,()0,;X x x f x ≤≤⎧=⎨

⎩其他 2,0

1,()0,.

Y y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其它

边缘分布函数分别为(),()X Y F x F y ，则

20,0,

()(),01,1, 1.x X X x F x f u du x x x -∞

<⎧⎪

=

=≤≤⎨⎪>⎩⎰

20,0,()(),01,1, 1.y Y X y F y f v dv y y y -∞

<⎧⎪

=

=≤≤⎨⎪>⎩

⎰

设(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则

22

22

0,00,,01,01(,)()(),01,1,,

1,01,1,1, 1.X Y x y x y x y F x y F x F y x x y y x y x y ⎧<<⎪≤≤≤≤⎪⎪

=⋅=≤≤>⎨⎪>≤≤⎪⎪>>⎩

或

6．设二维随机变量(,)X Y 在区域:0

D x <<求边缘概率密度。

解

(,)X Y 的概率密度为

1,(,),

(,)0,.x y D f x y ∈⎧⎨⎩

其他

关于X 和Y 的密度为 0,01()(,),01,x X x x x f x f x y dy dy x +∞-∞

-⎧≤≥⎪

=

=⎨<<⎪⎩⎰

⎰或 2,01,

0,.x x <<⎧=⎨⎩其他

1

1

0,1,,10,()(,),01,0, 1.y

Y y y d x y f y f x y d x d x y y +∞--∞

≤-⎧⎪⎪-<≤⎪=

=⎨⎪<<⎪⎪≥⎩

⎰⎰

⎰1,1

0,1,01,0,.y y y y +-<≤⎧⎪=-<<⎨⎪⎩其他 1||,||1,

0,.

y y -<⎧=⎨⎩其他

7．设(,)X Y 的概率密度为

,0,

(,)0,.

y e x y f x y -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他

求边缘密度和概率(1)P X Y +≤

解 0,0,0,0,()(,),0.,0;X x

y x

x x f x f x y d y e x e dy x +∞+∞---∞

≤⎧≤⎧⎪

=

==⎨⎨>>⎩⎪⎩⎰

⎰