中考数学常考易错点：4-4《多边形与平行四边形》-精品

4.4多边形与平行四边形易错清单1.平行四边形的性质.【例1】(2014·湖南益阳)如图,平行四边形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,如果添加一个条件使△ABE≌△CDF,则添加的条件不能是().A. AE=CFB. BE=FDC. BF=DED. ∠1=∠2【解析】 A.当AE=CF无法得出△ABE≌△CDF,故此选项符合题意;B. 当BE=FD,∵平行四边形ABCD,∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(SAS),故此选项错误;C. 当BF=ED,∴BE=DF.∵平行四边形ABCD,∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(SAS),故此选项错误;D. 当∠1=∠2,∵平行四边形ABCD,∴AB=CD,∠ABE=∠CDF.在△ABE和△CDF中,∴△ABE≌△CDF(ASA),故此选项错误;【答案】 A【误区纠错】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定等知识,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.注意平行四边形对角线互相平分.2.平行四边形的判定.【例2】(2014·云南)如图,在平行四边形ABCD中,∠C=60°,M,N分别是AD,BC的中点,BC=2CD.(1)求证四边形MNCD是平行四边形;(2)求证BD=MN.【解析】(1)根据平行四边形的性质,可得AD与BC的关系,根据MD与NC的关系,可得证明结论;(2)根据根据等边三角形的判定与性质,可得∠DNC的度数,根据三角形外角的性质,可得∠DBC的度数,根据正切函数,可得答案.【答案】(1)∵ABCD是平行四边形,∴AD=BC,AD∥BC.∵M,N分别是AD,BC的中点,∴MD=NC,MD∥NC.∴四边形MNCD是平行四边形.(2)如图,连接ND,∵四边形MNCD是平行四边形,∴MN=DC.∵N是BC的中点,∴BN=CN.∵BC=2CD,∠C=60°,∴△NCD是等边三角形.∴ND=NC,∠DNC=60°.∵∠DNC是△BND的外角,∴∠NBD+∠NDB=∠DNC.∵DN=NC=NB,【误区纠错】本题考查了平行四边形的判定与性质,利用了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,等边三角形的判定与性质,正切函数.但是要注意一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形,例如等腰梯形.名师点拨1.掌握多边形内角和公式(n-2)·180°及外角和均为360°这个特征.2.会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系.名师点拨1.掌握多边形内角和公式(n-2)·180°及外角和均为360°这个特征.2.会利用平行四边形性质定理及判定定理,能说出两者的区别与联系.提分策略1.综合运用平行四边形的性质与判定解决问题.由于平行四边形的对边相等、对角相等,所以利用平行四边形的性质可以探索与证明边角相等的问题,解决此类问题时,一般先判定一个四边形是平行四边形,然后利用其性质得到结论.【例1】如图,在平行四边形ABCD中,E、F分别在AD、BC边上,且AE=CF.求证(1)△ABE≌△CDF;(2)四边形BFDE是平行四边形.【解析】(1)由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形的对边相等,对角相等的性质,即可证得∠A=∠C,AB=CD,又由AE=CF,利用SAS,即可判定△ABE≌△CDF.(2)由四边形ABCD是平行四边形,根据平行四边形对边平行且相等,即可得AD∥BC,AD=BC.又由AE=CF,即可证得DE=BF.根据对边平行且相等的四边形是平行四边形,即可证得四边形BFDE是平行四边形.【答案】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AB=CD.在△ABE和△CDF中,∵AB=CD,∠A=∠C,AE=CF,∴△ABE≌△CDF(SAS).(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∵AE=CF,∴AD-AE=BC-CF,即DE=BF.∴四边形BFDE是平行四边形.2.平行四边形的判定.利用平行四边形的性质研究三角形的全等,以及等腰三角形的判定等,也可为了证明一个四边形是平行四边形,先证明两个三角形全等,为进一步证明四边形是平行四边形提供条件.【例2】(2014·甘肃白银)D,E分别是不等边三角形ABC(即AB≠BC≠AC)的边AB,AC的中点.O是△ABC所在平面上的动点,连接OB,OC,点G,F分别是OB,OC的中点,顺次连接点D,G,F,E.如图,当点O在△ABC的内部时,求证四边形DGFE是平行四边形.【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE=BC,GF∥BC且GF=BC,从而得到DE∥GF,DE=GF,再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;【答案】∵D,E分别是AB,AC边的中点,∴DE∥GF且DE=GF.∴四边形DEFG是平行四边形.3.研究一种或多种正多边形的镶嵌问题.(1)判断一种正多边形能否进行平面镶嵌,可以用360°除以这个正多边形的内角度数,如果能整除则这个正多边形能进行平面镶嵌.【例3】在下列图形中,单独选用该图形不能进行平面镶嵌的是().A. 正三角形B. 正六边形C. 正方形D. 正五边形【解析】 A. 正三角形的一个内角度数为180°-360°÷3=60°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;B. 正六边形的一个内角度数为180°-360°÷6=120°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;C. 正方形的一个内角度数为180°-360°÷4=90°,是360°的因数,能镶嵌平面,不符合题意;D. 正五边形的一个内角度数为180°-360°÷5=108°,不是360°的因数,不能镶嵌平面,符合题意.【答案】 D(2)判断不同种的正多边形能否进行平面镶嵌,先求出这些正多边形的内角,建立方程,然后判断这个方程是否有正整数解.【例4】现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张,下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是().A. 正方形和正六边形B. 正三角形和正方形C. 正三角形和正六边形D. 正三角形、正方形和正六边形【解析】A选项,正方形和正六边形内角分别为90°,120°,由于90m+120n=360,得,显然n取任何正整数时,m不能得正整数,故不能铺满;B选项,正三角形和正方形内角分别为60°,90°,由于60°×3+90°×2=360°,故能铺满; C选项,正三角形和正六边形内角分别为60°,120°,由于60°×2+120°×2=360°,故能铺满;D选项,正三角形、正方形和正六边形内角分别为60°,90°,120°,由于60°+90°+90°+120°=360°,故能铺满.【答案】 A专项训练一、选择题1. (2014·北京房山区二模)若正多边形的一个外角是36°,则该正多边形为().A. 正八边形B. 正九边形C. 正十边形D. 正十一边形2.(2014·江苏常州模拟)已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是().A. 当AB=BC时,它是菱形B. 当AC⊥BD时,它是菱形C. 当∠ABC=90°时,它是矩形D. 当AC=BD时,它是正方形3.(2014·四川乐山模拟)如图,P为平行四边形ABCD边AD上一点,E,F分别为PB,PC的中点,△PEF,△PDC,△PAB的面积分别为S,S1,S2,若S=2,则S1+S2等于().A. 4B. 6C. 8D. 不能确定(第3题)(第4题)4.(2014·安徽安庆外国语学校模拟)如图,已知点O是四边形ABCD内一点,OA=OB=OC,∠ABC=∠ADC=70°,则∠DAO+∠DCO的大小是().A. 70°B. 110°C. 140°D. 150°5. (2013·浙江海宁部分学校联考)如图,∠1,∠2,∠3,∠4是五边形ABCDE的外角,且∠1=∠2=∠3=∠4=70°,则∠AED的度数是().A. 110°B. 108°C. 105°D. 100°(第5题)(第7题)6.(2013·内蒙古赤峰模拟)一个多边形的内角和比外角和的3倍少180°,则该多边形的边数是().A. 5B. 6C. 7D. 87. (2013·云南宣威模拟)如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线AE交BC于点E,且AE=BE,则∠BCD的度数为().A. 30°B. 60°或120°C. 60°D. 120°8. (2013·陕西西安模拟)下面给出了四边形ABCD中∠A,∠B,∠C,∠D的度数之比,其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是().A. 1∶2∶3∶4B. 2∶3∶2∶3C. 2∶3∶4∶5D. 1∶2∶2∶3二、填空题9.(2014·江苏南京二模)如图,将正五边形ABCDE的点C固定,并依顺时针方向旋转,若要使得新五边形A'B'C'D'E'的顶点D'落在直线BC上,则至少要旋转°.(第9题)10. (2013·湖北枣阳模拟)已知▱ABCD的周长为28,自顶点A作AE⊥DC,垂足为E,AF⊥BC,垂足为F.若AE=3,AF=4,则CE-CF= .三、解答题11. (2014·上海长宁区二模)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D,E分别是BC,BA的中点,连接DE,F在DE延长线上,且AF=AE.求证四边形ACEF是平行四边形.(第11题)12.(2014·广东深圳模拟)已知如图,在平行四边形ABCD中,连接对角线BD,作AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,(1)求证△AED≌△CFB;(2)若∠ABC=75°,∠ADB=30°,AE=3,求平行四边形ABCD的周长?(第12题)13. (2013·浙江湖州中考模拟试卷)如图,▱ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点.(1)求证四边形EBFD是平行四边形;(2)若AD=AE=2,∠A=60°,求四边形EBFD的周长.(第13题)参考答案与解析1. C[解析]多边形外角和均等于360°,2. D[解析] 当AC=BD时,它是矩形..因为对角线相等的平行四边形是矩形.3. C[解析]∵△PEF的面积是2,∴△PBC的面积是2×4=8.∵△PDC,△PAB的面积和等于△PBC的面积均是平行四边形面积的一半,∴S1+S2=8.4.D[解析]∠BAO+∠BCO=∠ABO+∠CBO=∠ABC=70°,所以∠BOA+∠BOC=360°-140°=220°,所以∠AOC=140°.5. D[解析]本题考查多边形的内角和,外角和的概念.6. C[解析](n-2)×180°=3×360°-180°.7. D[解析]△ABE是等边三角形.8. B[解析]平行四边形对角相等.9.72°[解析]正五边形每个内角相等,均等于, 至少旋转180°-108°=72°后新五边形A'B'C'D'E'的顶点D'落在直线BC上.11.∵∠ACB=90°,E是BA的中点,∴CE=AE=BE.∵AF=AE,∴AF=CE.在△BEC中,∵BE=CE且D是BC的中点,∴ED是等腰三角形BEC底边上的中线.∴ED也是等腰三角形BEC的顶角平分线.∴∠1=∠2.∴∠AEC=180°-∠1-∠2=180°-2∠1.∵AF=AE,∴∠F=∠3 .∵∠1=∠3,∴∠1=∠F=∠3.∴在△AEF中,∠FAE=180°-∠3-∠F=180°-2∠1.∴∠AEC=∠F AE,∴CE∥AF.又CE=AF,∴四边形ACEF是平行四边形.(第11题)12. (1)∵平行四边形ABCD,∴AD=BC,AD∥BC.∴∠ADE=∠CBF.又AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,∴∠AED=∠CFB=90°.∴△AED≌△CFB (AAS) .(2)在Rt△AED中,∵∠ADE=30°,AE=3,∴AD=2AE=2×3=6.∵∠ABC=75°,∠ADB=∠CBD=30°,∴∠ABE=45°.13. (1)在▱ABCD中,AB=CD,AB∥CD.∵E,F分别是AB,CD的中点,∴BE=DF.∴四边形EBFD是平行四边形.(2)∵AD=AE,∠A=60°,∴△ADE是等边三角形.∴DE=AD=2.又BE=AE=2,由(1)知四边形EBFD是平行四边形, ∴四边形EBFD的周长=2(BE+DE)=8.。