3-刚体平面运动

x

定义：某瞬时，平面图形或延伸平面内必存在一点，其速度在该瞬
时为零，该点称为瞬时速度中心(I)，简称速度瞬心。
注意：速度瞬心可能在平面图形内部或延伸平面内。
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由基点法： vB v A vBA
问题：若选速度瞬心为基点，情况将如何呢？
取速度瞬心I为基点，平面图形上B点的速度：



位置描述：

基线
x A f1 (t ) y A f 2 (t )
o
x
为常量
f (t )
* *
刚体的角速度、角
加速度是唯一的 !
3
刚体的角速度和角加速度
f ' (t ) f (t )
大小：
rA
x
AB
vB v A vBA
4
一、基点法
平面运动刚体内任意两点 速度关系：
y

y ' vBA
A B
vB
B
vA vA
x'
vB v A vBA
vBA AB
可求解有两个速度 未知量(大小、方向) 的问题
o
x
A为基点，B为同一刚体上的任意点。
5
二、速度投影法
n a B a A＋ a ＋ a BA BA
O
aB
速度分析；瞬心法：
v AB AB l 0 AO 0 3 AB 3
2 a r 其中： A 0
n 2 a BA AB AB
将各项向AB方向投影：“n”
a B cos30 ＝a
n AB 2 l 0 , 9
B
O
v0 所以： R
所以：
vO
D
vB BA 2 Rv0
A
vC CA 2 Rv0
vD DA 2 Rv0
方向如图所示
18
现在: 你能解 释这种现象吗
？
因为车轮与地面接触点为速度瞬心，离它越近的
钢丝速度越小，离得越远的钢丝速度越大。
19
例5：已知 AB 杆A点的速度，
aAx aO a
AO
2aO
结论：速度为零的点——瞬心，加速度不为零。
26
例：曲柄－滑块机构，OA＝r，AB＝l，曲柄以等角速度 0
绕O轴旋转。求：图示瞬时，滑块B的加速度aB和连杆AB的角 加速度 AB n 解：加速度分析
A
90o

30o
0
anBA
atBA B
[AB]: 根据加速度基点法
aB

2 a r BA 0
3 2 3 2 l 0 ( r l ) 0 27 27
因：
a BA AB l
AB
a 3 3 2 8 3 2 BA ( ) 0 0 l 3 27 27
28
例 一长为L的刚性杆AB， B端靠墙， A端着地，并以速度 v 匀速向右运动， 求杆AB 的转动角加速度、端部B 点 的加速度。
a BA
B
I
vB
AB
vA 3 v IA 2
x
B
解：[AB]
n a BA
aB
n aB a A a a BA BA n aB a a BA BA
60°
Βιβλιοθήκη BaiduO A
vA
an BA AB AB
2
60°
O A
“x”：
n 0 a cos 30 a sin 30 BA BA
y
vB v A vBA
上式两边分别投影到AB连线上：

y ' vBA
A B
vB
B
A
vB AB vA AB
vB cos B vA cos A
o
vA
x'
x
若A、B两点速度方向已知，则有：
6
例1：已知OA杆的角速度，求图示瞬时滑块B的 速度和 AB杆的角速度。OA R, 600 , AB OA
解：[AB]，取A为基点
vB v A vBA R vA 2 3 R O vB cos cos 3
vBA vA tan vBA R tan 1 3 AB R cot 法2 由投影法 vB cos vA R
R 2 3 R vB cos 3
方向铅垂向下
22
例8：平面机构如图所示，轮沿固定水平轨道作纯滚动。已知：轮的半径为R ，BC=CD=3R，OA=AC=R，杆OA以角速度 转动，O和B在同一铅垂线上 。在图示位置时，OA及ED都处于水平，BCCD。试求该瞬时轮心E的速度 。
vA
vB
vC
解：[AB杆]，
vD
由A、B两点速度方向可知，AB杆瞬时平动：
"
选不同基线所定义的刚体角速度 和角加速度一样吗？
第二节 平面运动刚体的速度分析
研究刚性截面内各点速度之间的关系。 S平面运动，有：
rB rA rAB drAB 两边对t求导数： v B v A dt
drAB ? dt
大小： 不变 方向： 可变
y
rB
B
rAB
A

o drAB 由泊松公式： ω rAB v BA dt 平面运动刚体内任意两点 速度关系： 方向： 垂直AB连线，与方向一致
2、唯一性——某一瞬时只有一个速度瞬心；
3、瞬时转动特性——平面图形在某一瞬时的运动可 以视为绕速度瞬心作瞬时转动。
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例4：已知半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。轮
心速度为vO 。求：轮缘上A、B、C、D四点的速度。 解：接触点A为速度瞬心 所以：vA 因为：vo
C
0 OA R
3 2 v L 4
2 l 0 9
aB
2 3 2 l 0 27
27
n
n a B a A＋ a ＋ a BA BA
A
90o

30o
其中： a A r 02
0
anBA
atBA B
n 2 a BA AB AB
2 l 0 9
O
“”
a B sin 30 ＝a A a AB ,
B
vB
B'
vB vBI
vB BI 大小： 方向： vB BI，与转向一致
I
v B'
相当于在该瞬时， 平面图形 绕速度瞬心I以做定轴转动。 问题：如何找速度瞬心？
14
2. 确定速度瞬心位置的方法
已知A、B两点的速度方向， 试确定速度瞬心的位臵。
(3)
(4)
瞬时平动 —平面图形在 该瞬时的角速度 0 。
vA
vB
解：[AB杆]， 速度投影法：
vA r vB v A r
vC
vA cos30 vB cos30
BC I
方向垂直BF向下 [BC杆]， 速度投影法： vB cos30 vC cos30 vC vB r I为BC杆瞬心， v B r BC BI L
角加速度和A点的加速度。
t a AO n R a AO aO vO O n a IO t a IO
A
x
y
O aO v R R
取O为基点，加速度基点法：
a A aO a AO a
x:
y:
2 v n a Ay a AO 2R O R

n AO
若要求瞬心加速度呢？ 2 vO y : aIy x : aIx 0 R
vA

A
AB
vB


vA
B
“ ”向投影

vBA
vB sin vBA
3 R v BA 3 v BA 1 AB AB 3
7
例2
BC＝l
vC vB
8
解： （1）[BDC]
以C为基点， v B v C v BC
vC 0 r
vC v B sin v BC v B cos
[BC杆] C点速度如图， 由速度投影法：
vB cos30 vC cos60
vB
I
vC 2vB cos30 2 3v0
vC
从运动已知的构件开始分析， 通过公共点，将运动传递至 运动未知构件。
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例7：平面机构如图所示，已知：曲柄OA=r ，角速度为，BF=BC=L，滑块C可沿铅直 槽滑动。在图示位置时，连杆AB位于水平， =60°， =30°。试求该瞬时： (1)点B的速度； (2)滑块C的速度； (3)杆BC的角速度。
问题：某瞬时，是否存在一个速度为零的点
？
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8.2.3. 速度瞬心法
1. 方法推导
由 欲使
y
vB v A vBA vB 0


A
vBA
B
vA vA
vA
只需 vBA v A
因为 vBA rAB
o
rAB 大小：
rAB v A 所以B相对A点的矢径 rAB满足：
第八章 刚体的平面运动
平面运动： 刚体运动时，其上各点离某一固定平面的距离始终不变.
把研究刚体的运动转化 为研究刚性截面S 的运动。
1
实例
问题：描述自由平面运动刚体的位臵至少需 要几个量？可以选哪几个量？
2
第一节 刚体平面运动位臵描述
y
任意一点A的位置
B A

基点
固结于刚体的射线AB相对于某线(x轴)的角度
2 vB 0 r 3
AB
vB 2r0 AB
3R
v BC BC l
BC r0
3l
BC
9
（2）求D点的速度 以C为基点
v D v C v DC
v DC DC BC
r 0 3
vD 2 vC 2 vDC 2 2vC vDC sin
( vBA AB )
y
优点： 既能求速度，也能求。

A
vBA vB B
A
B
投影法： vB AB vA AB
优点： 计算比较方便、快捷。
vA vA
缺点：无法求出角速度。
o
x
若选取速度为零的点作为基点，则平面图形上任一点的速 度的计算会大大简化，而且还可以求角速度。
A
BA BA
aA
x
a 其中： BA AB
n aBA AB 2
基
点：A
刚体上点：B
n aB a A a a BA BA
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例：已知半径为R圆盘在地面上 纯滚动，图示瞬时轮心的速度为 vO和加速度aO，求圆盘的角速度、
解：因为圆盘纯滚动
vO R
上式两边对时间 t 求导
求杆B端的速度、杆的角速度、 杆中点D的速度和圆盘的角速
解：[AB杆]，
I为AB杆的速度瞬心
度。AB=L
vA vA AB AI L sin
vA
A
vD vB
AB
I
vB BI AB vA cot vA vD DI AB 2 sin
[轮B]， 接触点为瞬心
• 刚体角速度与角加速度与基点的选择无关
• 速度瞬心具有唯一性
• 基点法或瞬心法是针对同一刚体
• 瞬时平移只是某一瞬时
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第三节 平面运动刚体的加速度
研究平面运动刚体上各点加速度之间的关系。
基点法
因为
y

y'
a BA
B
n aBA


x'
vB v A ω rAB
A
dv B dv A 对t求导 dt dt α rAB ω (ω rAB ) o a B a a a n
D
B
vB v A B cot R R 20
例6：半径为R的圆轮在水平面上
作纯滚动，杆BC一端B与轮缘铰 接，滑块C沿 f=30°的斜槽滑动。
解：[轮O]， A为瞬心，则B点速度如图
vB 2RO 2vO
已知在图示瞬时(B处于最高点，
=60°)，圆轮中心的速度为v0。
试求该瞬时滑块C的速度。
vE
vB vA R vC
[轮E]， 瞬心I点，D点速度方向如图
I
E
vD vE E DI R
(a)
[杆CD]， 由速度投影法： vC cos60 vD cos15
1 vD 0.37R 代入（a）式： vE 2
vD 0.52R
方向水平向左
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重要的概念
(1)
(2)

B
vB
问题：某瞬时速度瞬心是否唯一？ 唯一
v B' I A (5)纯滚动
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16
例3：确定图示机构中AB杆在该瞬时的速度瞬心

vA
A O （1）
I
vA
B
A
B O （2） O
vA
A

vB
B I
vB
vB
（3）
速度瞬心的特点： 速度瞬心是平面图形(或其延伸平面)中的一点
1、瞬时性——不同的瞬时，有不同的速度瞬心；
v D 70 r 3
vDC 21 sin cos 与水平线的夹角： vD 14
10
如何解释 这种现象
？
离车轮与地面接触处近的钢丝看得清，离 得远的钢丝看不清，甚至看不见。
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回顾：平面图形上任意两点速度关系
基点法： vB v A vBA
缺点： 计算比较繁琐。