三角形内心充要条件的证明

三角形内心充要条件的证明

三角形内心充要条件的表述如下：

在如下三角形ABC 中，则O 为ABC ∆内心的充要条件是：

0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r

图示1(r 为内接圆半径)

下面证明：

充分性：

充分性表述成，若O 为ABC ∆所在平面内的点，当满足条件： 0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r

时，O 即为ABC ∆的内心。 证明：

()()0 ()0

()() a OA b OB c OC a OA b OA AB c OA AC a b c OA b AB c AC a b c OA b AB c AC ⋅+⋅+⋅=⇒⋅+⋅++⋅+=⇒

++⋅+⋅+⋅=⇒

++⋅=-⋅+⋅u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r u u u r u u u r u u u r r

u u u r u u u r u u u r

11 ()

()

(|b c OA BA CA

a b c a b c bc bc OA BA CA a b c c a b c b bc BA CA

OA a b c c b bc BA OA a b c BA ⇒=⋅+⋅++++⇒=⋅⋅+⋅⋅++++⇒

=⋅+++⇒

=⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r u ur

这一步最为关键)|||

CA

CA +u u u r

u u u u r

||BA BA u u u r u u u r 即为BA u u u r 方向的单位向量，||CA

CA u u u r

u u u r 即为CA u u u r 方向单位向量，所以||||BA CA

BA CA +u u u r u u u r

u u u r u u u r 即为以BA u u u r 和CA u u u r 构成角的角平分线。 (原因如下图所示：

1||BA e BA =u u u r u r u u u r ，2||

CA

e CA =u u u r

u u r u u u r ，12e e e =+r u r u u r ，向量12e e +u r u u r 即为以1e u r 和2e u u r 为边构成的平行四边形的对角线，由于1e u r 和2e u u r

为单位向量，即构成的平行四边

形为菱形，所以12e e +u r u u r 即e r 为以1e u r 和2e u u r

构成角的角平分线)

图示2

由上面的分析，我们可以得到：

() (*)

||||

bc OA e a b c

BA CA e BA CA λλ==++=+u u u r r D L L L L L L u u u r u u u r r u u

u r u u u r 为常数,且 即OA u u u r 在A ∠所在角平分线上，同理可证，OB uuu r 、OC u u u r

在在B ∠和C ∠所在角平分线上，即O 为ABC ∆内角平分线的交点，即为内心的定义，充分性的证明完毕。

必要性： 分析：由上面充分性的证明中的(*)表达式可知，只要由内心的定义

证明常数bc

a b c

λ=++即可。

证明：

图示3

在图示3中，e r

的长度为：

1|| 2||cos 2cos

22A A

e e ∠∠=⋅=⋅r u r 在图示1中，OA u u u r

的长度为：

|| sin

2r

OA A =

∠u u u r 将||OA u u u r 用||e r

来表示，有：

sin

||2 sin ||2cos 2

|| ||(1)

sin r A OA r A A e r OA e A ∠=

=∠∠⇒=⋅∠u u u r r u u u r r L L L

由O 为ABC ∆的内心，则OA u u u r 在A ∠所在角平分线上，因此有：

()()||||BA CA BA CA

OA e c b BA CA λλλ=⋅+=⋅+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r

u u u r r u u u r u u u r

对上式两边取模长，并由(1)可得：

|||()|||||||

||sin ||BA CA

OA e BA CA OA r A e λλλ=⋅+=⋅⇒

==

∠u u u r u u u r

u u u r r u u u r u u u r u u u r r

由ABC AOC BOC AOB S S S S ∆∆∆∆=++可得：

1

sin ()

2

111

222

1

()2

sin ABC AOC BOC AOB S bc A S S S b r a r c r

a b c r

r bc

A a b c

∆∆∆∆=⋅∠=++=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅++⋅⇒=

∠++正弦定理

即：

()()||||BA CA bc BA CA

OA a b c c b BA CA λ=⋅+=⋅+++u u u r u u u r u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r

按照前面充分性的证明过程逆推：

()()

()() bc BA CA bc BO OA CO OA

OA a b c c b a b c c b

b c

BO OA CO OA a b c a b c b c b c OA BO CO OA

a b c a b c a b c ++=

⋅+=⋅+++++=⋅++⋅+++++⇒+=⋅+⋅+⋅++++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r b c b c OA OA BO CO

a b c a b c a b c a b c OA BO CO

a b c a b c a b c a OA b BO c CO ⇒+-⋅=⋅+⋅++++++⇒

⋅=⋅+⋅++++++⇒⋅=⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 0

a OA

b OB

c OC ⇒⋅+⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r r

必要性证明完毕。