西南大学《线性代数》网上作业及参考答案

西南大学22春[0044]《线性代数》在线作业答案

0044 20221单项选择题1、（）1.2.3.4.2、（）1.2.3.4.3、（1. 42. 13. 34. 24、（）1.2.3.4.5、（）1.A的列向量组线性无关2.A的列向量组线性相关3.A的行向量组线性无关4.A的行向量组线性相关6、（）1.2.3.4.7、1.2,4,62.1, 2, 33.1/2, 1, 3/24.2, 1, 2/38、（）1.必有一列元素全为02.必有两列元素对应成比例3.必有一列向量可有其余列向量线性表示4.任一列向量是其余列向量的线性组合9、（）1.有无穷多个解2.以上选项都不对3.存在唯一解4.无解10、（1.2.3.4.11、在下列矩阵中，可逆的矩阵是（）1.2.3.4.12、（）1.2.3.4.13、下列关于未知量x,y,z的方程是线性方程的是（）1.2.3.4.14、（）1. A. 0，1，22.1，2，33.1，2，3，44.0，1，2，315、（）1.2.3.4.16、（）1.-22. 13. 24.-117、（）1.162.483.-164.-4818、（）1.-102.103. 54.-519、（）1.2.3.4.20、（）1.2.3.4.21、（）1.162. 23.84. 422、设A为n阶方阵, 且秩R(A) = r< n, 那么A的列向量组的秩（）1. F. 小于r2.等于n3.等于r4.大于r23、（）1.2.3.4.24、（）1.将B矩阵的第二行加到第一行2.将B矩阵的第二列加到第一列3.AB=BA4.r(AB)=225、以123456为标准排列，则排列253146的逆序数是（）1. 42. 33. 54. 226、设A, B均为n阶方阵, E为n阶单位矩阵, 则有（）1.2.3.4.27、（）1. E.2.3.4.28、（）1.存在非零解2.无解3.以上选项都不对4.只有零解29、设3阶矩阵A与B相似，且已知A的特征值为-1，1，-7. 则|B| =（）1.122.1/123.1/74.730、设n阶方阵A秩为n，下式不正确的是（）1.2.3.4.31、（）1.-32.-23. 24. 332、（）1.2.3.4.33、（1.2.3.4.34、（）1.2.3.4.35、（）1.无解2.以上选项都不对3.有无穷多个解4.存在唯一解36、（）1.2.3.4.37、如果n阶矩阵A的一个特征值为3, 那么必有（）1.2.3.4.38、（）1.-22. 33. 24.039、（）1. 32. 23. 14.040、（）1.2.3.4.以上选项都不对41、（）1.(1，1，0)2.(-3，0，2)3.(0，-1，0)4.(2，1，1)42、以123456为标准排列，则排列154236的逆序数是（）1. 52. 33. 24. 443、（）1.2.3.4.44、（）1.2.3.4.45、（）1. 42. 23. 34. 146、（）1. 22. 13.0，14.1，247、（）1. B.2.A3.4.48、（）1.2.3.4.49、（）1. 12. 33. 24. 450、（）1. 32.3.4.判断题51、齐次线性方程组的基础解系是该方程组的所有解向量构成的向量组的极大无关组。

西南大学21春[0178]《高数选讲》(上、下、线性代数)作业答案

西南大学培训与继续教育学院课程代码： 0178 学年学季：20211单项选择题1、设是的一个原函数，则 [ ]....2、设A为3阶方阵，，则. 36. 54. 6. 183、矩阵A与矩阵B相似，则下列论断错误的是 [ ]. A与B有相同的特征向量. A与B有相同的特征值. A与B有相同的特征多项式. A与B的秩相同4、已知，则[ ]....5、设积分区域D是由曲线 y=1, y=0, x=1, x=0 围成的区域，则二重积分[ ]. 1/4. 1/2. 2. 16、设二维随机变量（ξ，η）的联合密度函数和分布函数分别为，则下式不成立的是 [ ] .对任意的，有...对任意的，有7、设A、 B、 C、D表示四个事件，则表示 [ ]. A、B、C、D中有一个不发生. A、B、D都发生，而C不发生. A、B、C、D中有一个发生. A、B、C、D中至多有三个发生8、齐次线性方程组的基础解系的向量个数 [ ]. 4. 2. 5. 39、已知，则[ ]. -1. 1. 0.10、[ ].. 2. 0. 111、[ ]. A....12、微分方程的阶数 [ ]. 1. 3. 2. 013、当时，，均为无穷小量，则 [ ].是的高阶无穷小量.是的低阶无穷小量.和是等价无穷小量.和是同阶但非等价无穷小量14、若，则 [ ]. F....15、有50个产品，其中46个正品，4个次品，现从中抽取5次，每次任取1个（取后不放回）产品，则取到的5个产品都是正品的概率为[ ]. B....16、设函数，则[ ].有2个间断点.有3个间断点.有1个间断点.无间断点17、设函数在点处可导，，则[ ] . -2A. 2A. A. 018、设随机变量的密度函数则常数A= [ ]. 1/2. 1/3. 3. 119、设A、 B、 C均为n阶方阵，下列各式不成立的是A. B.C. D.....20、行列式的值为 [ ]. abcdefg. -acef. aceg. acef判断题21、积分. A.√. B.×22、函数展开的傅里叶余弦级数为. A.√. B.×23、设向量组线性无关，则向量组线性相关。

西南大学线性代数次网上作业

一、填空题(每小题3分，共15分)1．设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100012021，B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛310120001，则A + 2B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 2．设向量⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0013α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110β，则β由α1，α2，α3线性表出的表示式为( ).3．设α1，α2是非齐次线性方程组Ax = b 的解，k 1，k 2为常数，若k 1α1+ k 2α2也是Ax = b 的一个解，则k 1+k 2 = ( ).4．设A 为n 阶可逆矩阵，已知A 有一个特征值为2，则(2A )-1必有一个特征值为( ). 5．若实对称矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a 000103为正定矩阵，则a 的取值应满足( ).二、单选题(每小题3分，共15分)1．设行列式2211b a b a = 1，2211c a c a = 2，则222111c b a c b a++ = ( ).(A) -3 (B) -1 (C) 1(D) 32．设A 为2阶可逆矩阵，且已知(2A )-1 =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321，则A = ( ).(A) 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321(B) 214321-⎪⎪⎭⎫⎝⎛(C) ⎪⎪⎭⎫⎝⎛432121 (D) 1432121-⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 3．设向量组α1，α2，…，αs 线性相关，则必可推出( ).(A) α1，α2，…，αs 中至少有一个向量为零向量 (B) α1，α2，…，αs 中至少有两个向量成比例(C) α1，α2，…，αs 中至少有一个向量可以表示为其余向量的线性组合 (D) α1，α2，…，αs 中每一个向量都可以表示为其余向量的线性组合4．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2，2，3. 则|B -1| = ( ).(A) 121 (B) 71(C) 7 (D) 125．设3阶实对称矩阵A 与矩阵B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-200010001合同，则二次型x T Ax 的规范形为( ).(A) 2322212z z z ++- (B) 232221z z z ++- (C) 232221z z z +- (D) 232221z z z -+ 三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1．设矩阵A ，B ，C 为同阶方阵，则(ABC )T = A T B T C T . ( ) 2．设A 为3阶方阵，且已知|-2A | = 2，则|A | = -1. ( )3．设A 为m×n 矩阵，则齐次线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是A 的列向量组线性无关. ( )4．设A 为3阶矩阵，且已知|3A+2E | = 0，则A 必有一个特征值为32. ( )5．二次型312123222132142),,(x x x x x x x x x x f ++++=的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛104012421. ( )四、 (10分) 求4阶行列式1111112113114111的值. 五、(10分) 设2阶矩阵A 可逆，且A -1 = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2121b b a a ，对于矩阵P 1 = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1021，P 2 = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛0110，令B = P 1AP 2，求B -1.六、(10分) 设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=31111α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=15312α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=21233t α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=t 10624α，试确定当t 为何值时，向量组α1，α2，α3，α4线性相关，并在线性相关时求它的一个极大线性无关组.七、(15分) 设线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++223321321321ax x x x ax x a x x x(1) 问a 为何值时，方程组有无穷多个解.(2) 当方程组有无穷多个解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示).八、(10分) 设p1，p2依次为n阶矩阵A的属于特征值λ1，λ2的特征向量，且λ1 ≠λ2. 证明p1- p2不是A的特征向量.。

西南大学网络教育0044线性代数期末考试复习题及参考答案

西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷类别：网教专业：计算机科学与技术 2017年12月课程名称【编号】：线性代数【0044】 A卷大作业满分：100分一、大作业题目1.计算行列式D =5211132114321---的值.2. 设矩阵A=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4221，求可逆矩阵P和对角矩阵Λ，使得P-1AP =Λ.3. 已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=++-=++322321321321λλλλxxxxxxxxx，(1)讨论λ为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解.(2) 在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.4.设二次型f (x1, x2, x3) =323121232221222xxxxxxaxaxax+++++，确定常数a的最大取值范围使该二次型正定.5. 已知矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a ，证明存在数k ，使A 2 = k A .二、大作业要求大作业共需要完成三道题：第1-2题选作一题，满分30分；。

西南大学网络教育线性代数作业

1、矩阵的伴随矩阵是（）....2、矩阵A适合条件[ ]时，它的秩为r.. A中任何r+1列线性相关；. A中任何r列线性相关；. A中有r列线性无关；. A中线性无关的列向量最多有r个.3、若齐次线性方程组有非零解，则必须满足[ ] . k=4. k=-1.k≠-1且k≠4. k=-1或k=44、下列n（n＞2）阶行列式的值必为零的是[ ].行列式主对角线上的元素全为零.该行列式为三角行列式.行列式中零元素的个数多于n个.行列式中非零元素的个数少于n个5、下列各矩阵中，初等矩阵是[ ]。

....6、n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是[ ]。

. A有n个特征值. A有n个线性无关的特征向量. A的行列式不等于零. A的特征多项式没有重根7、A，B是n阶矩阵，则的充分必要条件是[ ] . AB=BA. A=0. B=0. A=B8、设n元齐次线性方程组Ax=0，若R（A）=r＜n，则基础解系[ ]。

.惟一存在.共有n－r个.含有n－r个向量.含有无穷多个向量9、设A，B均为n阶可逆矩阵，则[ ]。

. A+B可逆. kA可逆（k为常数）. AB可逆. (AB)-1=A-1B-110、行列式D=0的必要条件是[ ]。

. D中有两行（列）元素对应成比例. D中至少有一行各元素可用行列式的性质化为0. D中存在一行元素全为0. D中任意一行各元素可用行列式的性质化为0.11、的充分必要条件是（）....12、A与B是两个相似的n阶矩阵,则（）.存在非奇异矩阵P,使..存在对角矩阵D,使A与B都相似于D.13、一个n维向量组（s＞1）线性相关的充要条件是（）.含有零向量；.有一个向量是其余向量的线性组合；.有两个向量的对应分量成比例；.每一个向量是其余向量的线性组合.14、设A ，B均为n阶可逆矩阵，则（）. A+B可逆. kA可逆（k为常数）. AB可逆.15、两个n阶初等矩阵的乘积为（）.初等矩阵.单位矩阵.不可逆矩阵.可逆矩阵16、若A=,B=,其中是的代数余子式，则（）。

18秋西南大学《0343线性代数》在线作业

单项选择题1、矩阵的伴随矩阵是（）A.B.C.D.单项选择题2、矩阵A适合条件[ ]时，它的秩为r.A. A中任何r+1列线性相关；B. A中任何r列线性相关；C. A中有r列线性无关；D. A中线性无关的列向量最多有r个.单项选择题3、若齐次线性方程组有非零解，则必须满足[ ]A. k=4B. k=-1C. k≠-1且k≠4D. k=-1或k=4单项选择题4、下列n（n＞2）阶行列式的值必为零的是[ ]A. 行列式主对角线上的元素全为零B. 该行列式为三角行列式C. 行列式中零元素的个数多于n个D. 行列式中非零元素的个数少于n个单项选择题5、下列各矩阵中，初等矩阵是[ ]。

A.B.C.D.单项选择题6、n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是[ ]。

A. A的行列式不等于零B. A的特征多项式没有重根C. A有n个特征值D. A有n个线性无关的特征向量单项选择题7、A，B是n阶矩阵，则的充分必要条件是 [ ]A. A=BB. AB=BAC. A=0D. B=0单项选择题8、设n元齐次线性方程组Ax=0，若R（A）=r＜n，则基础解系[ ]。

A. 惟一存在B. 共有n－r个C. 含有n－r个向量D. 含有无穷多个向量单项选择题9、设A，B均为n阶可逆矩阵，则[ ]。

A. A+B可逆B. kA可逆（k为常数）C. AB可逆D. (AB)-1=A-1B-1单项选择题10、行列式D=0的必要条件是[ ]。

A. D中有两行（列）元素对应成比例B. D中至少有一行各元素可用行列式的性质化为0C. D中存在一行元素全为0D. D中任意一行各元素可用行列式的性质化为0.单项选择题11、的充分必要条件是（）A.B.C.D.单项选择题12、A与B是两个相似的n阶矩阵,则（）A. 存在非奇异矩阵P,使B.C. 存在对角矩阵D,使A与B都相似于DD.单项选择题13、一个n维向量组（s＞1）线性相关的充要条件是（）A. 有一个向量是其余向量的线性组合；B. 有两个向量的对应分量成比例；C. 每一个向量是其余向量的线性组合.D. 含有零向量；单项选择题14、设A ，B均为n阶可逆矩阵，则（）A. kA可逆（k为常数）B. A+B可逆C. AB可逆D.单项选择题15、两个n阶初等矩阵的乘积为（）A. 初等矩阵B. 单位矩阵C. 不可逆矩阵D. 可逆矩阵单项选择题16、若A=,B=,其中是的代数余子式，则（）。

西南【1100】线性代数（一）20年6月机考大作业参考答案

西南【1100】线性代数（一）20年6月机考大作业参考答案西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷类别：网教专业：数学教育课程名称【编号】：线性代数(一)【1100】A卷大作业满分：100分要答案：wangjiaofudao一、单选题(每题4分,共32分)1、若，则必须满足（）C、可为任意数D、均可为任意数2、下列选项中不是五阶行列式中的一项的是（）3、设A,B，C均为n阶矩阵,若由能推出,则A应满足（）4、设矩阵，仅有零解的充要条件是（）A、A的列向量组线性无关B、A的列向量组线性相关C、A的行向量组线性无关D、A的行向量组线性相关5、下述结论中，不正确的是（）A、若向量与正交，则对任意实数与也正交;B、若向量与向量都正交，则与的任一组线性组合也正交C、若向量与正交，则与中至少有一个是零向量D、若向量与任意同维向量正交，则是零向量6、设A为n阶实对称矩阵，则（）A、A的n个特征向量两两正交B、A的n个特征向量组成单位正交向量组'C、A的重特征值，有D、A的重特征值，有7、三阶矩阵A的特征值为-2，1，3.则下列矩阵中非奇异矩阵是（）8、设A,B为n阶矩阵，且A与B相似，则（）B、A与B有相同的特征值和特征向量C、A与B都相似于一个对角矩阵D、对任意常数，相似二、判断题(每题4分,共28分)1、两个向量的内积一定大于零（）2、余子式和对应的代数余子式一定不相等（）。

3、任意两个矩阵都可以相加（）。

4、初等矩阵的乘积是初等矩阵（）。

5、单位矩阵是标准型是自己（）。

6、等价的向量组里向量个数一定相同（）。

7、线性方程组中方程的个数小于未知量的个数，则方程组一定有解（）。

三、名词解释(每题5分,共10分)1、非奇异矩阵2、特征向量四、计算题（每题10分，共20分）1、解下列方程组求矩阵P使得P-1AP是对角阵,其中A=.五、证明题(10分)对任意n阶矩阵A，证明+是对称矩阵。

西南交1112考试批次《线性代数》复习题及参考答案

线性代数第1次作业本次作业是本门课程本学期的第1次作业，注释如下：一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)1. 下列矩阵中，不是初等矩阵。

(A) (001010100)(B) (100000010)(C) (100020001)(D) (10001−2001)正确答案：B解答参考：初等矩阵一定是可逆的。

2. 设 A为m×n 矩阵，则。

(A) 若m<n，则Ax=b有无穷多个解；(B) 若m<n，则Ax=0有非零解，且基础解系含有n−m个解向量；(C) 若A有n阶子式不为零，则Ax=b有唯一解；(D) 若A有n阶子式不为零，则Ax=0仅有零解。

正确答案：D解答参考：A错误，因为 m<n ，不能保证 R(A)=R(A|b) ；B错误， Ax=0 的基础解系含有 n−R( A ) 个解向量；C错误，因为有可能 R(A)=n<R(A|b)=n+1 , Ax=b 无解；D正确，因为R(A)=n。

3. A、B为 n阶方阵,且A、B等价,| A |=0 ，则R(B) 。

(A) 小于n(B) 等于n(C) 小于等于n(D) 大于等于n正确答案：A解答参考：4. 若A为5阶方阵且|A|=2，则|－2A|= 。

(A) 4(B) －4(C) －64(D) 64正确答案：C解答参考：5. 线性方程组 { a11 x 1 + a12 x 2 +⋯+a 1n x n =b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +⋯+ a 2n x n = b 2 ⋯⋯⋯⋯ a m1 x 1 + a m2 x 2 +⋯+ a mn x n = b m 的系数矩阵为 A,增广矩阵为 A ¯ ,则它有无穷多个解的充要条件为。

(A) R(A)=R(A¯)<n(B) R(A)=R(A¯)<m(C) R(A)<R(A¯)<m(D) R(A)=R(A¯)=m正确答案：A解答参考：6. 一个 n维向量组α 1 , α 2 ,⋯, αs (s>1) 线性相关的充要条件是(A) 有两个向量的对应坐标成比例(B) 含有零向量(C) 有一个向量是其余向量的线性组合(D) 每一个向量都是其余向量的线性组合正确答案：C解答参考：7. 设3阶矩阵 A的特征值为 1 , −1 , 2 ，则下列矩阵中可逆矩阵是(A) E−A(B) E+A(C) 2E−A(D) 2E+A正确答案：D解答参考：8. 设α 1 , α 2 , α 3 是齐次方程组Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也可作为 Ax=0 的基础解系的是(A) α1+α2,α2+α3,α1+2α2+α3(B) α1+α2,α2+α3,α3−α1(C) α1+α2,α2+α3,α3+α1(D) α1−α2,0,α2−α3正确答案：C解答参考：三、判断题(判断正误，共6道小题)9.如果行列式有两行元素完全相同，则行列式为零。

西南大学[0044]线性代数大作业答案春季

0044 20201单项选择题1、....2、矩阵A与B相似,则下列说法不正确的是（）.style="text-indent:32px">A与B有相同的特征值... A = B..R(A) = R(B)3、....4、....5、....6、.必有r个列向量线性无关.任意r个列向量都构成最大线性无关组.任何一个列向量都可以由其它r个列向量线性表出.任意r个列向量线性无关7、.0.1..0或1..8、.2.4..19、. C. 必有一列向量可有其余列向量线性表示.必有两列元素对应成比例.任一列向量是其余列向量的线性组合.必有一列元素全为010、. D. A有n个互异特征值.A是实对称阵.A有n个线性无关的特征向量.A的特征向量两两正交判断题11、. A.√. B.×12、. A.√. B.×13、. A.√. B.×14、. A.√. B.×15、. A.√. B.×16、. A.√. B.×17、. A.√. B.×18、. A.√. B.×19、. A.√. B.×20、设A、B为两个不可逆的同阶方阵，则|A|=|B| （）. A.√. B.×21、转置运算不改变方阵的行列式、秩和特征值. ( ) . A.√. B.×22、. A.√. B.×23、. A.√. B.×24、. A.√. B.×主观题25、参考答案：26、参考答案：27、设三阶方阵A的三个特征值为1，2，3，则|A + E| = ( ).参考答案：2428、参考答案：29、参考答案：30、参考答案：31、参考答案：k>132、参考答案：333、参考答案：34、参考答案：35、参考答案：36、参考答案：237、参考答案：38、设线性方程组A x =0，A是4×5阶矩阵，如果R(A)=3，则其解空间的维数为( ).参考答案：239、参考答案：40、参考答案：41、参考答案：42、参考答案：43、参考答案：44、参考答案：45、参考答案：46、参考答案：47、参考答案：48、2.参考答案：49、参考答案：50、参考答案：51、参考答案：52、1.参考答案：53、参考答案：54、参考答案：55、参考答案：56、参考答案：57、参考答案：58、参考答案：59、参考答案：60、参考答案：。

西南大学[0343]《线性代数》大作业答案

3.
A 中有 r 列线性无关；
4.
A 中线性无关的列向量最多有 r 个.
3、若齐次线性方程组
有非零解，则必须满足[ ]
1.
k=4
2.
k=-1
3.
k≠-1 且 k≠4
4.
k=-1 或 k=4
4、下列各矩阵中，初等矩阵是[ ]。
1.
2.
3.
4.
5、n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似的充分必要条件是[ ]。
___ ___
40、行列式参考答案：
-11
中元素-2 的代数余子式是_____
41、行列式参考答案：
8
元素 x 的代数余子式是．
42、行列式
=
。
参考答案：
0
43、参考答案：
相
是 3 维向量组,则
线性关。
44、矩阵参考答案：
的伴随矩阵是
。
45、行列式参考答案： 0
，则 =
46、设 A,B,C 均为 n 阶矩阵,若由
1.
A.√
2.
B.×
24、Ａ是ｎ阶正交矩阵，则
.
1.
A.√
2.
B.×
25、若 A,B 均为 n 阶可逆矩阵，则 AB 可逆。
1.
A.√
2.
B.×
主观题
26、设向量组
线性无关，则向量组
线性__________关。
参考答案：无
27、已知 4 阶行列式中第 3 列元素依次为-1，2，0，1，它们的余子式依次分别为 5，3，-7，4，则 D=________ 参考答案：
1.
A.√
2.
B.×
20、齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式等于零.。 ( )

20年6月西南大学课程考试[0044]《线性代数》大作业(答案)

1)、前一矩阵的第一行对应元乘以后一矩阵第一列对应元之和为新矩阵的第一行第一列的元素。
2)、前一矩阵的第一行对应元乘以后一矩阵第二列对应元之和为新矩阵的第一行第二列的元素。
3)、前一矩阵的第一行对应元乘以后一矩阵第三列对应元之和为新矩阵的第一行第三列的元素。
4)、前一矩阵的第二行对应元乘以后一矩阵第一列对应元之和为新矩阵的第二行第一列的元素。
西南大学培训与继续教育学院课程考试试题卷
学期：2020年春季
课程名称【编号】：线性代数【0044】A卷
考试类别:大作业满分：100分
一、必答题（40分）
1、什么是线性方程组？
答：线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组。
2、阐述矩阵乘法的运算过程。并用矩阵乘积形式表示如下线性方程组。
答：
必须第一个矩阵的列数和第二个矩阵的行数相同。一般单指矩阵乘积时，
5)、前一矩阵的第二行对应元乘以后一矩阵第二列对应元之和为新矩阵的第二行第二列的元素。
6)、前一矩阵的第二行对应元乘以后一矩阵第三列对应元之和为新矩阵的第二行第三列的元素。
3.用初等变换的方法求解上述线性方程组
二、从下列两题中任选一题作答（30分）
1、(a)什么是方阵的逆矩阵？
答：设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得：AB=BA=E，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。
这时只要把右边的n阶方阵写下来，就是所要求的逆矩阵。
(c)求解如下矩阵方程：
解：记Ax=B
用初等行变换为
三、从下列两题中任选一题作答（30分）
1、(a)求解行列式
解：
(b)求解矩阵的特征值，并求对应的特征向量
解：所以，矩阵对应的特征值为0,1,5。

西南大学网络与继续教育学院秋季线性代数考试答案

x 2 x 3 1 x1 x 3 1 有无穷多解? 并求出其结构解. 2.当 a，b 为何值时，方程组 x 2 2 x 3 x ( a 2) x b 3 2 3 1Biblioteka 由此 B 的行最简形式矩阵为
令 X1 = 0，的特解：
- 14λ + 40 = （λ -4）（λ -10）= 0 = 4 时，齐次线性方程组（A-4E）χ = ，k1 ≠ 0；
χ χ χ χ
=
的基础解系为
，于是对应
于λ = 4 的特征向量为 k1 当λ
= 10 时，齐次线性方程组（A-10E）χ = ，k2 ≠ 0；
=
的基础解系为
，
于是对应于λ = 4 的特征向量为 k2
二、大作业要求：
西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷
类别：网教专业：计算机科学与技术 20XX 年 12 月 A卷满分：100 分
大作业共需要完成三道题：第 1-2 题选作一题，满分 30 分；第 3-4 题选作一题，满分 30 分；第 5 题必作，满分 40 分。
课程名称【编号】：线性代数【0044】大作业
由于
=8 ≠ 0 ，
所以 k1 = k2 = k3= 0，因此向量组 β1，β2，β3 线性无关
3 －1 3. 已知 A = ，求其特征值与特征向量. 7 11
*
=
对应的齐次线性方程组的基础解系为ξ
=
，所以原线性方程组的结构解为：
X=k
2 2 2 4.用正交变换化二次型 f (x1, x2, x3)= 2x1 3x2 3x3 2x2 x3 为标准型，并给出所用的正交变换.
一、大作业题目：

西南大学线性代数作业答案

第一次行列式部分的填空题1．在5阶行列式ij a 中，项a 13a 24a 32a 45a 51前的符号应取 + 号。

2．排列45312的逆序数为 5 。

3．行列式25112214---x中元素x 的代数余子式是 8 ． 4．行列式10232543--中元素-2的代数余子式是 —11 。

5．行列式25112214--x 中，x 的代数余子式是 —5 。

6．计算00000d c ba = 0行列式部分计算题 1．计算三阶行列式381141102--- 解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）×（—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—42．决定i 和j ，使排列1 2 3 4 i 6 j 9 7 为奇排列. 解：i =8，j =5。

3．(7分)已知0010413≠x x x，求x 的值．解：原式=3x 2—x 2—4x=2 x 2—4x=2x(x —2)=0 解得：x 1=0；x 2=2所以 x={x │x ≠0；x ≠2 x ∈R } 4．(8分)齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000z y x z y x z y x λλ 有非零解，求λ。

解：()211110100011111111-=--==λλλλλD由D=0 得 λ=15．用克莱姆法则求下列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++10329253142z y x z y x z y x 解：因为331132104217117021042191170189042135113215421231312≠-=⨯-⨯=-------=-------=）（r r r r r r D 所以方程组有唯一解，再计算：811110212942311-=-=D 1081103229543112-==D1351013291531213=-=D因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：x=27，y=36，z=—45第二次线性方程组部分填空题1．设齐次线性方程组A x =0的系数阵A 的秩为r ，当r= n 时，则A x =0 只有零解；当A x =0有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为 n-r .2．设η1，η2为方程组A x =b 的两个解，则 η1－η2或η2－η1 是其导出方程组的解。

西南交大线性代数习题参考答案

西南交⼤线性代数习题参考答案第⼀章⾏列式§1⾏列式的概念1. 填空(1) 排列6427531的逆序数为—，该排列为—排列。

(2) / =_,⼃° _时，排列1274 i 56 j 9为偶排列。

(3)"阶⾏列式由—项的代数和组成，英中每⼀项为⾏列式中位于不同⾏不同列的"个元素的乘枳，若将每⼀项的各元素所在⾏标按⾃然顺序排列，那么列标构成⼀个"元排列。

若该排列为奇排列，则该项的符号为 ________ 号：若为偶排列，该项的符号为—号。

⑷在6阶⾏列式中，含a x5a 23a 32a^a 5}a^的项的符号为 ______________________ ,含^32a 43a \4a 5i a 66a 25 的项的符号为⼀。

2. ⽤⾏列式的⽴义计算下列⾏列式的值q i 0 0(1)0。

22。

23°a32 a 33解：该⾏列式的3!项展开式中，有_项不为零，它们分别为,所以⾏列式的值为解：该⾏列式展开式中唯⼀不可能为0的项是 ________ ,⽽它的逆序数是 ______ ，故⾏列式值为 _________ ‘3?证明：在全部刃元排列中，奇排列数与偶排列数相等。

证明："元排列共有川个，设其中奇排列数有⼭个，偶排列数为⼼个。

对于任意奇排列，交换其任意两个元的位宜，就变成偶排列，故⼀个奇排列与许多偶排列对应，所以有n }_n 2,同理得n 2_n A ,所以n x _n 2^5-1.2a2.n-\■ ? ■a2n■ ?an-Ln5⼼%4.若⼀个"阶⾏列式中等于0的元素个数⽐多，则此⾏列式为0,为什么？5.〃阶⾏列式中，若负项的个数为偶数，则”⾄少为多少?(提⽰：利⽤3题的结果)6.利⽤对⾓线法则计算下列三阶⾏列式20 1(1) 1 -4 -1-18 3a h a2(2)b2§2⾏列式的性质I.利⽤⾏列式的性质计算系列⾏列式。

西南大学《线性代数》网上作业题及答案

[0044]《线性代数》网上作业题答案第一次作业[论述题]线性代数模拟试题一参考答案：线性代数模拟试题一参考答案一、填空题1、k >1.2、-4.3、3.4、-1, -2, 1.5、⎪⎪⎭⎫⎝⎛1020091. 二、单选题1—5: ACCBA 三、判断题1—5: √√√√×四 Solution 根据1T 1)2(--=-C A B C E ，得1T 1)2(--=-CC A B C E C ，于是E A B C =-T )2(，所以1T )2(--=B C A . 由于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-10002100321043212B C ，因此()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=--100021001210012121B C , 故 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1210012100120001A . 五、Solution 令()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==011111110321αααP ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1000200021PAP .由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-0111110111P，于是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2443543321221P P A .六、Solution 由于432,,ααα线性无关，3212ααα-=, 所以R (A ) = 3, 因此4元线性方程组Ax = 0的基础解系中只有一个解向量.由3212ααα-=, 即0=+-3212ααα，得0=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0121),,,(4321αααα，因而⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0121是Ax = 0的基础解系.又因为4321ααααb +++=，所以b A αααα=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11111111),,,(4321, 于是⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111*η是Ax = b 的特解，故Ax = b 的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11110121k ,其中k 为任意常数.七、Proof 因为0=2A ，于是,3)()(≤+A A R R 因此223)(<≤A R . 又因为A ≠ 0，所以1)(≥A R ，所以1)(=A R .八、Solution 2)3(111111111λλλλλ+=+++=A .(1) 当03≠-≠λλ且时，有0||≠A ，方程组有唯一解.(2) 当3-=λ时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=000021103211321131210112B . 于是2)()(==B A R R ，方程组有无穷多解，解为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=021111k x ，(k 为任意常数)(3) 当0=λ时，增广矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010000111011131110111B ，由此可知)()(B A R R ≠，原线性方程组无解.第二次作业 [论述题]线性代数模拟试题二参考答案：线性代数模拟试题二参考答案一、填空题 1. 2.2. y x 23≠.3. s r ≤.4. -4.5. 0. 二、单选题 1—5: DDCBA 三、判断题 1—5: × √ √ √ √四、Solution 显然|A | = 1 ≠ 0，于是A 可逆，因为E AB A =-2，所以AB E A =-2，两边左乘1-A ，得1--=A A B . 由于()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−→−⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-++-100100110010211001100100110010101011100100010110001111,211323r r r r r r E A所以⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1001102111A，进而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=000200320B .五、Proof 若x Ax λ=，则x x x x A x A x A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=+--λλλλ11)(221212，所以λλ12+是12-+A A 的特征值.六、Solution 12345(,,,,)3R ααααα=，123,,ααα为一个极大无关组，41232133αααα=++，512311033αααα=-++.七、Solution 由于 ()2110||430(2)(1)(3)4(2)(1)102A E λλλλλλλλλ---=--=----+=---，于是A 的所有特征值为1, 2.当1=λ时，解线性方程组0=-x E A )(，得基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121, 对应的所有特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1211k ，其中01≠k 为任意常数.当2=λ时，解线性方程组0=-x E A )2(，得基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100, 对应的所有特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1002k ，其中02≠k 为任意常数.八、Solution 由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k k k k k k k k k k k k k k k k k )3()3)(2(0021021124102102110122121122222 (1) 当2≠k 且3-≠k 时，线性方程组有惟一解.(2) 当2=k 时，有,3)(,2)(==B A R R 原线性方程组无解.(3) 当0)3(=+k k 时, 有),()(B A R R =原线性方程组有解.当0=k 时,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛020002100211001200210211, 这时线性方程组只有零解. 当3-=k 时，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-000065103211651065103211091293213211, 这时方程组有无穷多解.第三次作业[论述题]线性代数模拟试题三参考答案：线性代数模拟试题三参考答案一、填空题 1. 2. 2. 2.3. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--O A B O 1211. 4. a = 0, b = 2/1. 5. =a -2. 二、单项选择题 1—5：ACBDA 三、1—5: ××√√√四、Solutiony y y x x y y x xr r --+-+=-+-++-001111111111111111111111111111431yx xy y y x xc c 11011011)1)((00111101*********4-+--=--+=++-22233]1)1)(1[(1111)1()(y x x x y xx y y =--+-=-+--=+.五、Solution 因为04111111111||≠=---=A , 所以A 可逆. 由于E E A AA 4||*==, 根据X A X A 21*+=-，有)2(1*X AA X A A +⋅=⋅-，进而AX E X 24+=. 于是E X A E =-)24(，因而1)24(--=A E X .由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-2222222221111111112100010001424A E ，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-=-10111001141)24(1A E X .六、Solution 由于⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=210000321000213121642000210000213121431121636242213121B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→210000101000300121210000321000750121 于是R (A ) = R (B ) = 3. 又因为n = 5，对应的齐次方程组的基础解系含5-3 = 2个解向量，可分别取为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-00101,00012.而原线性方程组的特解可取为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-21003，因此，原线性方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2100300101000122154321k k x x x x x (21,k k 为任意常数).七、Solution 由于A 与B 相似，于是E B E A λλ-=-，由此可得出x = 2，进而A 的特征值为0, 3, 2.当0=λ时，A 对应的特征向量为0,01111≠⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-k k 。

西南大学《线性代数》网上作业及参考答案

===================================================================================================1：[论述题]线性代数模拟试题三参考答案：线性代数模拟试题三参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题四参考答案：线性代数模拟试题四参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题五参考答案：线性代数模拟试题五参考答案 1：[论述题]线性代数模拟试题六一、填空题（每小题3分，共15分） 1. 行列式332313322212312111b a b a b a b a b a b a b a b a b a = ( ). 2. 设A 是4×3矩阵，R (A ) = 2，若B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020201，则R (AB ) = ( ).3. 设矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛54332221t ，若齐次线性方程组Ax = 0有非零解，则数t = ( ).4. 已知向量,121,3012⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k βαα与β的内积为2，则数k = ( ).5. 已知二次型232221321)2()1()1(),,(x k x k x k x x x f -+-++=正定，则数k 的取值范围为( ).二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 设A 为m ×n 矩阵，B 为n ×m 矩阵，m ≠n , 则下列矩阵中为n 阶矩阵的是( ). (A) B T A T (B) A T B T (C) ABA (D) BAB2. 向量组α1，α2，…，αS (s >2)线性无关的充分必要条件是( ). (A) α1，α2，…，αS 均不为零向量(B) α1，α2，…，αS 中任意两个向量不成比例 (C) α1，α2，…，αS 中任意s -1个向量线性无关(D) α1，α2，…，αS 中任意一个向量均不能由其余s -1个向量线性表示===================================================================================================3. 设3元线性方程组Ax = b ，A 的秩为2，η1，η2，η3为方程组的解，η1 + η2 = (2,0,4)T ，η1+ η3 =(1，-2，1)T ，则对任意常数k ，方程组Ax = b 的通解为( ).(A) (1,0,2)T + k (1,-2,1)T (B) (1,-2,1)T + k (2,0,4)T (C) (2,0,4)T + k (1,-2,1)T (D) (1,0,2)T + k (1,2,3)T 4. 设3阶方阵A 的秩为2，则与A 等价的矩阵为( ).(A) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000111(B) ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000110111(C) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000222111(D) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3332221115. 二次型f (x 1,x 2,x 3,x 4,)=43242322212x x x x x x ++++的秩为( ).(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”，每小题3分，共15分)1. 设A 为n 阶方阵，n ≥2，则|-5A |= -5|A |. ( )2. 设行列式D =333231232221131211a a a a a a a a a = 3，D 1=333231312322212113121111252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为5. ( ) 3. 设A = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321, 则|A *| = -2. ( )4. 设3阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则E - A 为可逆矩阵. ( )5. 设λ = 2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵(A 2)-1必有一个特征值等于41. ( ) 四、(10分) 已知矩阵A = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210011101，B =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛410011103， (1) 求A 的逆矩阵A -1. (2) 解矩阵方程AX = B .===================================================================================================五、(10分)设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=42111α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21302α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=147033α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02114α，求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.六、(10分) 求线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++=+++322023143243214321x x x x x x x x x x x 的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)七、(15分) 用正交变换化二次型f (x 1, x 2, x 3)=2331214x x x x +-为标准形，并写出所用的正交变换.八、(10分) 设a ，b ，c 为任意实数，证明向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111a α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0112b α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0013c α，线性无关.参考答案：线性代数模拟试题六参考答案一、填空题1. 0.2. 23.2.4.32. 5. k > 2. 二、单项选择题1(B). 2(D). 3(D). 4(B). 5(C). 三、判断题1. (⨯). 2(⨯). 3(√). 4(⨯). 5(√).===================================================================================================四、Solution (1)由于⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-100210011110001101100210010011001101211r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→+-++111100122010112001111100011110001101132332111r r r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→-11110012201011200121r ，因此，有⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-1111221121A .(2) 因为B AX =，所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==-3222342254100111031111221121B A X .五、Solution 因为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=+-+400027120330130101424271210311301,,,4321214321r r r r αααα⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→↔+--+-00001000011013011000000001101301100001100110130143324231141312r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→+-0000100001100301131r r , 于是，421,,ααα是极大无关组且2133ααα+=.===================================================================================================六、Solution 将增广矩阵B 化为行最简形得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-322103221011111322100112311111213r r B⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→++000003221021101000003221011111123211r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---→-00000322102110121r ，这时，可选43,x x 为自由未知量.令0,043==x x 得特解⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=0032*η.分别令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10,0143x x 得基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1021,012121ξξ. 原线性方程组的通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00321021012121k k x ，其中21,k k 为任意常数.七、Solution 所给二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=102000201A ，)3)(1(122110200201||λλλλλλλλλλ-+=-----=-----=-E A ，===================================================================================================所以A 的特征值为-1，0，3.当1-=λ时，齐次线性方程组=+x E A )(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=210211p . 当0=λ时，齐次线性方程组=-x E A )0(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0102ξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102p .当3=λ时，齐次线性方程组=-x E A )3(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1013ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=210213p .取()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==2102101021021,,321p p p P ，在正交变换Py x =下得二次型的标准型为23213y y f +-=.===================================================================================================八、Proof 因为()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+-+-001010100001011100001011111,,341311321c b a c b a c b ar r r r ααα ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→↔↔↔+-+-+-00010*********0000010001001010000100433241212324r r r r r r r cr r br r ar , 于是321,,ααα的秩为3，所以321,,ααα线性无关.1：[论述题]一、填空题(每小题3分，共15分)1. 设A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤411023, B =,010201⎢⎣⎡⎥⎦⎤则AB = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛. 2. 设A 为33⨯矩阵, 且方程组Ax = 0的基础解系含有两个解向量, 则R (A ) = ( ). 3. 已知A 有一个特征值-2, 则B = A 2+ 2E 必有一个特征值( ). 4. 若α=(1, -2, x )与),1,2(y =β正交, 则x y = ( ). 5. 矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-301012121所对应的二次型是( ).二、单选题(每小题3分，共15分)1. 如果方程⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=-+0404033232321kx x x x x kx x 有非零解，则k = ( ).(A) -2 (B) -1===================================================================================================(C) 1 (D) 22. 设A 为n 阶可逆方阵，下式恒正确的是( ). (A) (2A )-1 = 2A -1 (B) (2A )T = 2A T (C) [(A -1)-1]T = [(A T )-1]T (D) [(A T )T ]-1 = [(A -1)-1]T3. 设β可由向量α1 = (1，0，0)，α2 = (0，0，1)线性表示，则下列向量中β只能是( ). (A) (2，1，1) (B) (-3，0，2) (C) (1，1，0) (D) (0，-1，0)4. 向量组α1 ，α2 …，αs 的秩不为s (s 2≥)的充分必要条件是( ). (A) α1 ，α2 …，αs 全是非零向量 (B) α1 ，α2 …，αs 全是零向量(C) α1 ，α2 …，αs 中至少有一个向量可由其它向量线性表出 (D) α1 ，α2 …，αs 中至少有一个零向量 5. 与矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是( ).(A) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001(B) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011(C) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001(D) ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020101三、判断题(每小题3分，共15分): 正确打“√”，错误打“×”.1. 设A 为三阶方阵且|A | = -2，则|3A T A | = -108. ( )2. 设A 为四阶矩阵，且|A | = 2，则|A *| = 23. ( ) 3. 设A 为m n ⨯矩阵，线性方程组Ax = 0仅有零解的充分必要条件是A 的行向量组线性无关. ( )4. 设A 与B 是两个相似的n 阶矩阵，则E B E A λλ-=-. ( )5. 设二次型,),(23222132,1x x x x x x f +-=则),(32,1x x x f 负定. ( )四、 (10分) 计算四阶行列式1002210002100021的值.===================================================================================================五、(10分) 设A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-200200011, B =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤300220011,且A , B , X 满足E X B A B E =--T T 1)( . 求X , X .1-六、(10分) 求矩阵A = ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤-311111002的特征值和特征向量.七、(15分) 用正交变换化二次型322322213214332),,(x x x x x x x x f +++=为标准型,并写出所作的变换.八、(10分) 设21,p p 是矩阵A 的不同特征值的特征向量. 证明21p p +不是A 的特征向量.参考答案：一、填空题1.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛241010623. 2. 1. 3. 6. 4. 0.5. 2322312121324x x x x x x x +-++. 二、单项选择题1(B). 2(B) . 3(B) . 4(C) . 5(A) . 三、判断题1.( ⨯). 2(√). 3(⨯). 4(√). (5) (⨯). 四、Solution 按第1列展开，得===================================================================================================210021002)1(2100210021)1(110022100021000211411++-⋅+-⋅= 158)1(21-=⋅-⋅+=.五、Solution 由于E X B A B E =--T T 1)(，即[]E X A B E B =--T1)(，进而()E X A B =-T ，所以()[]1T --=A B X .因为()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-100020002TA B ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-100021000211000200021X . 六、Solution 因为λλλλλλλ----=----=-3111)2(31111102||E A321)2(3111)2(3212)2(12λλλλλλλ-=--=----=+c c , 所以A 的特征值为2.对于2=λ时，齐次线性方程组=-x E A )2(0与0321=+-x x x 同解，其基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101,01121ξξ，于是，A 的对应于2的特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10101121k k ，其中21,k k 不全为0. 七、Solution 所给二次型的矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=320230002A .===================================================================================================因为λλλλλλλ---=---=-3223)2(32023002||E A )1)(5)(2(3121)5)(2(3525)2(121λλλλλλλλλλ---=---=----=+c c , 所以A 的特征值为1, 2, 5.当1=λ时，齐次线性方程组=-x E A )(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1101ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=212101p . 当2=λ时，齐次线性方程组=-x E A )2(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012ξ，单位化得⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0012p .当5=λ时，齐次线性方程组=-x E A )5(0的基础解系为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1103ξ，单位化得⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212103p .===================================================================================================取()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==2102121021010,,321p p p P ，在正交变换Py x =下得二次型的标准型为23222152y y y f ++=. 八、Proof 令21,p p 是A 的对应于不同特征值21,λλ的特征向量，即111p Ap λ=,222p Ap λ=.假设21p p +是A 的对应于λ的特征向量，即)()(2121p p p p A +=+λ. 由于22112121)(p p Ap Ap p p A λλ+=+=+，所以)(212211p p p p +=+λλλ，于是=-+-2211)()(p p λλλλ0. 根据性质4，知021=-=-λλλλ，进而21λλ=，矛盾.。