分式基础知识讲解

分式的概念和性质（基础）
【学习目标】
1.理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
2 •掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算.【要点梳理】
要点一、分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子-叫做分式.其中A
B
叫做分子，B叫做分母.
要点诠释：
（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母.
（2 ）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.
（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但n表示圆周率，是一个常数，不是字母，如-是整式而不能当作分式.
（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式
2
不能先化简，如疋分式，与xy有区别，xy疋整式，即只看形式，
x
不能看化简的结果
要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件
1.分式有意义的条件：分母不等于零.
2.分式无意义的条件：分母等于零.
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零
（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.
（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.
要点三、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做
分式的基本性质，用式子表示是： A AM，A AM （其中M是不等于零的整式）
B B M B B M
要点诠释：
（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B M 0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；博0是在解题过程中另外附加（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中
字母的取值范围有可能发生变化•例如：——，在变形后，字
母x的取值范围变大了.
要点四、分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改
变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
要点诠释：根据分式的基本性质有—b，亠—.根据有理数除法的符号法则有
a a a a
——b.分式a与a互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重
a a a
b b
要的作用.
要点五、分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的
值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.
要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分
母再没有公因式.
（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母
的系数的最大公约数与相同因式最低次幕的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要
先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约
分.
分式的乘除（基础）
【学习目标】
1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则•
2.会分式的乘法、除法运算.
3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算•
【要点梳理】
要点一、分式的乘除法
1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母
用字母表示为：
-—兰，其中a、b、c、d是整式，bd 0 . b d bd
2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘
-—-—，其中a、b c d 是整式，bcd 0. b d b c bc
用字母表示为：
要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整
式•
（2）分式与分式相乘，右分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分, 然后再乘•
（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变•当整式是多项式时，同样要先分解因
式，便于约分.
（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式
要点二、分式的乘方
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：
n n
a a
-（n为正整数）.
b b n
n
n n
n
要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号•不要把- 冷写成- —
b b n b b
（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的
奇次方为负.
（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算
乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.
（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如
a b 2 a b a2b2
〒b2b2.
分式的加减（基础）
【学习目标】
1•能利用分式的基本性质通分.
2•会进行同分母分式的加减法.
3•会进行异分母分式的加减法.
【要点梳理】
要点一、同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
上述法则可用式子表为：
a b a b
c c c
要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误•
（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.
要点二、分式的通分
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不
改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分
要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高次幕的积作为公分母.
（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最
高次幕的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母
（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则是针对多个分式而言•
要点三、异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减
上述法则可用式子表为:
要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键•通分后，异分母的分式加减法变成 同分母分式的加减法•
（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化 成最简分式• 要点四、分式的混合运算
与分数的加、减乘、除混合运算一样，分式的加、减乘、除混合运算，也是先算乘、
除，后算加、减；遇到括号，先算括号内的，按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序 计算.分式运算结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式 •
要点诠释：（1）正确运用运算法则：分式的乘除（包括乘方）、加减、符号变化法则是正 确进行分式运算的基础，要牢牢掌握..
（2） 运算顺序：先算乘方，再算乘、除，最后算加、减，遇有括号，先算括号内的
（3） 运算律：运算律包括加法和乘法的交换律、结合律，乘法对加法的分配律
.能灵活运
用运算律，将大大提高运算速度• 分式方程的解法及应用（基础）
【学习目标】
b a d
b bd
1.了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．
2.会列出分式方程解简单的应用问题．
【要点梳理】
要点一、分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程.
要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.
（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.
分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
要点二、分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程. 转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母. 在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根. 因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.
解分式方程的一般步骤：
（ 1 ）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式时，先分解因式，再找出最简公分母）?
方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.
要点三、解分式方程产生增根的原因
方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.
产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.
要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的. 根据方程的同解原理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0 的数，所得方程是原方程的同解方程. 如果方程
的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原
方程的增根.
（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行
的.
要点四、分式方程的应用
分式方程的应用主要就是列方程解应用题.
列分式方程解应用题按下列步骤进行：
1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系；
（2）设未知数；
（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程；
（4）解这个分式方程；
（5）验根，检验是否是增根；
（6）写出答案.
分式全章复习与巩固（基础）
【学习目标】
1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0 的条件.
2．了解分式的基本性质，掌握分式的约分和通分法则．
3．掌握分式的四则运算．
4．结合分析和解决实际问题，讨论可以化为一元一次方程的分式方程，掌握这种方程的解法，体会解方程中的化归思想．
【知识网络】
【要点梳理】
要点一、分式的有关概念及性质
1 •分式
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子-叫做分式•其中A
B
叫做分子，B叫做分母.
要点诠释：分式中的分母表示除数，由于除数不能为0,所以分式的分母不能为0,即当B H 0时，分式
A才有意义.
B
2.分式的基本性质
匸上--匕（M为不等于0的整式）.
3.最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化
简.
要点二、分式的运算
1.约分
利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
2.通分
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
3 •基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似，具体运算法则如下
(1)加减运算
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减
异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减
a c ac
⑵乘法运算bc bc ，其中a 、bc 、d 是整式，bd 0.
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母
(3)除法运算 a — a d -ad ，其中a b 、c 、d 是整式，bcd 0.
b d b
c bc
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘 .
分式的乘方，把分子、分母分别乘方
4. 分式的混合运算顺序
先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的 要点三、分式方程
1 •分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
2．分式方程的解法
hd (4)乘方运算
解分式方程的关键是去分母, 即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题
增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根－－－增根.
要点诠释：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.
要点四、分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.。