最新课件-信号与线性系统分析第二章连续系统的时域分析例232解析法 推荐
合集下载
信号与系统PPT教学课件-第2章信号的时域分析(二)
32
2.3.2 基本离散时间序列
6．矩形序列
1 0 k N 1 R N[k] 0 others
RN[k] 1
k
21 0 1 2
N1
N 1
RN [k] u[k] u[k N ] [k m]
m0
33
2.3.2 基本离散时间序列
7．斜坡序列
r[k] ku[k] n[k n] n0
(1) x1[k] = cos(k/6)
0 /2 1/12, 由于1/12是不可约的有理数，
故离散序列的周期N=12。
(2) x2[k] = cos(k/6)
0 /2 1/12, 由于 1/12不是有理数，
故离散序列是非周期的。
(3)对x3(t) = cos6t,以fs= 8 Hz抽样所得序列
6π
0
f (t)
f (1.5t)
f (0.5t)
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
一段语音信号(“对了”) 。抽样频率 = 22050Hz
0.4 7
2. 信号的翻转 x(t) x(t)
将 x(t) 以纵轴为中心作180翻转
x(t) 1
t
2
0
1
x(t) 1
1 0
t 2
8
3. 时移（平移） x(t) x(tt0) t0>0
常数，ω0= 2π/T。 (1) x(t) t[u(t) u(t T )]
(2) x(t) sin 0t [u(t) u(t T )]
解： (2) x(t) sin 0t [u(t) u(t T )]
x'(t) 0 cos0t [u(t) u(t T )] sin 0t [ (t) (t T )] 0 cos0t [u(t) u(t T )]
信号与系统第二章连续时间系统的时域分析ppt
▲ ■ 第 15 页
全解
全解为 y(t)= C1e–2t + C2e–3t + te–2t + P0e–2t = (C1+P0)e–2t +C2e–3t + te–2t 将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0 解得 C1 + P0 = 2 ,C2= –1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t≥0 上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0，因而 也不能区分自由响应和强迫响应。
▲
■
第 18 页
0-和0+初始值举例
例1：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=u(t)，求y(0+)和y’(0+)。 解：将输入f(t)=u(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6u(t) （ 1） 利用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，在0-<t<0+ 区间等号两端δ(t)项的系数应相等。 由于等号右端为2δ(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而 y’(t)在t= 0处将发生跃变，即y’(0+)≠y’(0-)。 但y’(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有δ’(t)项。由于 y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0处是连续的。 第 19 页 ■ 故 y(0+) = y(0-) = 2
全解
全解为 y(t)= C1e–2t + C2e–3t + te–2t + P0e–2t = (C1+P0)e–2t +C2e–3t + te–2t 将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0 解得 C1 + P0 = 2 ,C2= –1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t≥0 上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0，因而 也不能区分自由响应和强迫响应。
▲
■
第 18 页
0-和0+初始值举例
例1：描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2，y’(0-)= 0，f(t)=u(t)，求y(0+)和y’(0+)。 解：将输入f(t)=u(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6u(t) （ 1） 利用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，在0-<t<0+ 区间等号两端δ(t)项的系数应相等。 由于等号右端为2δ(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而 y’(t)在t= 0处将发生跃变，即y’(0+)≠y’(0-)。 但y’(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有δ’(t)项。由于 y’(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0处是连续的。 第 19 页 ■ 故 y(0+) = y(0-) = 2
信号与系统课件第二章连续时间系统的时域分析
2015/10/15
信号与系统
7
2、卷积法
•卷积法：用卷积积分只能求到系统的零状态响应。零输入响 应仍要用经典法求得。 •卷积法：物理概念明确，运算过程方便，是系统分析的基本 方法。是近代计算分析系统的强有力工具。
•卷积法也是时域与变换域分析线性系统的一条纽带，通过它 把变换域分析赋清晰的物理概念。
即特征方程为 C0 n C1 n1 Cn 0
解得此方程的n个根： 1 , 2 ,, n 称为微分方程的特征根。
2015/10/15 信号与系统 16
（2）特征根的情况分析 （１）特征根各不相同（无重根）的情况下，微分方程的齐次解为
rh (t ) A1e
i 1
n
式中 Ai 为待定系数，是由响应区间内t=0+时刻的一组状态确定的。 •初始条件：（导出的起始状态）：由响应区间t=0+时刻组 成的一组状态： n 1
k
k
( )
i
则相应于1的k阶重根，有k项：
( A1t k 1 A2 t k 2 Ak 1t Ak )e1t ( Ai t k i )e1t
i 1
2015/10/15
信号与系统
17
例2-3
求如下所示的微分方程的齐次解。
d3 d2 d r (t ) 7 2 r (t ) 16 r ( t ) 12r ( t ) e( t ) 3 dt dt dt
例子2-4
给定微分方程式 d2 d de (t ) r (t ) 2 r (t ) 3r (t ) e (t ) 2 dt dt dt 2 t (1) e ( t ) t ; (2) e ( t ) e ; 如果已知： 分别求两种情况下此方程的特解。 解:(1)将
信号与系统第2章 连续时间信号与系统的时域分析[精]
![信号与系统第2章 连续时间信号与系统的时域分析[精]](https://img.taocdn.com/s3/m/f309c644dd36a32d7275811e.png)
2.3.4 关于 0-与0+ 值
由 于 激 励 信号 的 作用 ， 响 应 r(t) 及 其 各阶 导 数 可能 在 t 0 处 发 生 跳 变， 即 r(0 ) r(0 ) ，其跳变量以 [r(0 ) r(0)] 表示。这样对于已知系统，一旦系统微分 方程确定，判断其在 t 0 处是否发生跳变完全取决于微分方程右端自由项中是否 包含冲激函数 (t) 及其导数。如果包含 (t) 及其导数，则在 t 0 处发生跳变，否则 没有发生跳变。而关于这些跳变量的数值，可以根据微分方程两边 (t) 函数平衡的 原理来计算。
r
''(0
)
r
''(0
)
r '' zs
(0
)
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
2.4.2 零输入响应的求解
设系统的数学模型以 n 阶微分方程表示，即
d nr(t)
d n1r(t)
dr(t)
an dtn an1 dtn1 a1 dt a0r(t)
d me(t)
d m1e(t)
an n
a n1 n1
a1 a0 0
对应式(2.3-5)特征方程的根 1 、 2 、…、 n 称为微分方程的特征根。
当特征根无重根（各不相同）、都是单根时，微分方程的齐次解为
rh (t) A1e1t A2e2t
n
Anent Aieit i 1
f (t) 2
1
/ 2 0 / 2
f1 (t )
1 t
0 图 2.1-1 信号的相加
f2 (t)
1
t
由 于 激 励 信号 的 作用 ， 响 应 r(t) 及 其 各阶 导 数 可能 在 t 0 处 发 生 跳 变， 即 r(0 ) r(0 ) ，其跳变量以 [r(0 ) r(0)] 表示。这样对于已知系统，一旦系统微分 方程确定，判断其在 t 0 处是否发生跳变完全取决于微分方程右端自由项中是否 包含冲激函数 (t) 及其导数。如果包含 (t) 及其导数，则在 t 0 处发生跳变，否则 没有发生跳变。而关于这些跳变量的数值，可以根据微分方程两边 (t) 函数平衡的 原理来计算。
r
''(0
)
r
''(0
)
r '' zs
(0
)
第 2 章 连续信号与系统的时域分析
2.4.2 零输入响应的求解
设系统的数学模型以 n 阶微分方程表示，即
d nr(t)
d n1r(t)
dr(t)
an dtn an1 dtn1 a1 dt a0r(t)
d me(t)
d m1e(t)
an n
a n1 n1
a1 a0 0
对应式(2.3-5)特征方程的根 1 、 2 、…、 n 称为微分方程的特征根。
当特征根无重根（各不相同）、都是单根时，微分方程的齐次解为
rh (t) A1e1t A2e2t
n
Anent Aieit i 1
f (t) 2
1
/ 2 0 / 2
f1 (t )
1 t
0 图 2.1-1 信号的相加
f2 (t)
1
t
信号与线性系统分析(第4版)第2章
jϕ jβ t ∧ ∧ • jβ t • jϕ 式中 F = Fe ，并进一
所有的特征根均不等于0 有r重等于0的特征根 a不等于特征根； a等于特征单根； a等于r重特征根 所有的特征根均不等于 ± jβ
eα t
Peα t Pteα t + P0eα t 1 Prt reα t + Pr −1t r −1eα t +⋅⋅⋅+ Pteα t + P0eα t 1 P cos(β t) + Qsin(β t) 或Acos(β t −θ )，其中Ae jθ = P + jQ
例如，若方程式（2.1-1 ）的n个特征根λi均为实单根，则其齐次解 yh ( t ) = ∑ Ci eλit
i =1 n
( 2.1-5)
式中常数Ci 将在求得全解后，由初始条件确定。
表2-1 不同特征根所对应的齐次解 特征根λ 单实根 r重实根 一对共轭复根 Ceλt Cr -1t r −1eλt + Cr -2t r − 2 eλt + ⋅⋅⋅ + C1teλt + C0 eλt eα t C cos ( β t ) + D sin ( β t ) 或A cos ( β t − θ ) , 其中 Ae jθ = C + jD [Ar −1t r −1 cos ( β t + θ r −1 ) + Ar − 2t r − 2 cos ( β t + θ r − 2 ) + ⋅⋅⋅ + A0 cos ( β t + θ 0 )]eα t 齐次解yh ( t )
由上式解得P = Q = 1, 得方程的特解 于是方程的全解，即系统的全响应
所有的特征根均不等于0 有r重等于0的特征根 a不等于特征根； a等于特征单根； a等于r重特征根 所有的特征根均不等于 ± jβ
eα t
Peα t Pteα t + P0eα t 1 Prt reα t + Pr −1t r −1eα t +⋅⋅⋅+ Pteα t + P0eα t 1 P cos(β t) + Qsin(β t) 或Acos(β t −θ )，其中Ae jθ = P + jQ
例如，若方程式（2.1-1 ）的n个特征根λi均为实单根，则其齐次解 yh ( t ) = ∑ Ci eλit
i =1 n
( 2.1-5)
式中常数Ci 将在求得全解后，由初始条件确定。
表2-1 不同特征根所对应的齐次解 特征根λ 单实根 r重实根 一对共轭复根 Ceλt Cr -1t r −1eλt + Cr -2t r − 2 eλt + ⋅⋅⋅ + C1teλt + C0 eλt eα t C cos ( β t ) + D sin ( β t ) 或A cos ( β t − θ ) , 其中 Ae jθ = C + jD [Ar −1t r −1 cos ( β t + θ r −1 ) + Ar − 2t r − 2 cos ( β t + θ r − 2 ) + ⋅⋅⋅ + A0 cos ( β t + θ 0 )]eα t 齐次解yh ( t )
由上式解得P = Q = 1, 得方程的特解 于是方程的全解，即系统的全响应
信号与系统第二章连续时间系统的时域分析.ppt
对不是冲激函数项，不必考虑匹配
例： 2
d 2r(t) dt 2
3
dr (t ) dt
4r (t )
d dt
e(t )
r(0 ) 1, r ' (0 ) 1, e(t) u(t), 求r(0 ), r ' (0 )
解： e(t) u(t)
从最高 项开始
2r''(t) 3r'(t) 4r(t) (t)
ic (0 )
4
C
dvo (0 ) dt
Vo' (0 )
4
2.t>0时,电路方程为:
1
2
v0 (t)
1 l
t
v0 (
)d
c
dv0 (t) dt
10
v0 (t) 2
d
2v0 (t) dt 2
dv0 (t) dt
v0
(t)
0
2 1 0
1
1 2
§2.4起始点的跳变
一.系统的状态
*起始状态(0-状态):系统在激励信号加入之前的瞬间状态
r(k) (0 ) [r(0 ),r(0 ),r(0 ),...,r(n1) (0 )]
*初始状态(0+状态):系统在激励信号加入之后t=0+时刻的状态
r(k) (0 ) [r(0 ),r(0 ),r(0 ),...,r(n1) (0 )]
数微分方程。
微分方程建立的两类约束
来自连接方式的约束:kvl和kil,与元件的性质无关.
来自元件伏安关系的约束:与元件的连接方式无关.
例： 2
d 2r(t) dt 2
3
dr (t ) dt
4r (t )
d dt
e(t )
r(0 ) 1, r ' (0 ) 1, e(t) u(t), 求r(0 ), r ' (0 )
解： e(t) u(t)
从最高 项开始
2r''(t) 3r'(t) 4r(t) (t)
ic (0 )
4
C
dvo (0 ) dt
Vo' (0 )
4
2.t>0时,电路方程为:
1
2
v0 (t)
1 l
t
v0 (
)d
c
dv0 (t) dt
10
v0 (t) 2
d
2v0 (t) dt 2
dv0 (t) dt
v0
(t)
0
2 1 0
1
1 2
§2.4起始点的跳变
一.系统的状态
*起始状态(0-状态):系统在激励信号加入之前的瞬间状态
r(k) (0 ) [r(0 ),r(0 ),r(0 ),...,r(n1) (0 )]
*初始状态(0+状态):系统在激励信号加入之后t=0+时刻的状态
r(k) (0 ) [r(0 ),r(0 ),r(0 ),...,r(n1) (0 )]
数微分方程。
微分方程建立的两类约束
来自连接方式的约束:kvl和kil,与元件的性质无关.
来自元件伏安关系的约束:与元件的连接方式无关.
信号与系统PPT课件(共9章)第2章连续时间信号的时域分析可修改全文
17
2.3 奇异信号
在信号与系统分析中，经常要遇到函数本身有不连续 点或其导数与积分有不连续点的情况，这类函数统称为奇 异函数或奇异信号。
1. 单位斜变信号
斜变信号指的是从某一时刻开始随时间正比例增长的 信号。其表达式为
R(t)
t 0
t0 t0
(2.2 1)
R(t)
R(t
t0
)
t 0
t0
t t0 t t0
0 cos
e jt cos t j sin t -1 12
2.2 常用连续时间信号
3. Sa(t)函数（抽样函数）
所谓抽样函数是指sin t与 t 之比构成的函数，以符号
Sa(t)表示 Sa(t) sin t t
波形如图：
(2.2 5)
13
2.2 常用连续时间信号
Sat 的性质：
（1） Sat Sa(t) 偶信号
6
2.2 常用连续时间信号
1. 实指数信号 2. 正弦信号 3. 抽样函数 4. 复指数信号 重点：典型确定性信号的描述 难点：复指数信号，抽样信号
7
2.2 常用连续时间信号
下面，我们将给出一些典型信号的表达式和波形。
1. 指数信号 指数信号的表达式为
f (t) Aet
(2.2 1)
f (t) Aet ( 0)
34
2.4 信号的运算
1. 信号的加减 2. 信号的乘法和数乘 3. 信号的反褶、时移、尺度变换 4. 信号的微分与积分运算 5. 信号的卷积
重点：信号的尺度变换，信号的卷积积分 难点：信号时移、反褶、尺度变换同时都有的情况
35
2.4 信号的运算
1. 信号的加减
两个信号的和（或差）仍然是一个信号，它在任意 时刻的值等于两信号在该时刻的值之和（或差），即
2.3 奇异信号
在信号与系统分析中，经常要遇到函数本身有不连续 点或其导数与积分有不连续点的情况，这类函数统称为奇 异函数或奇异信号。
1. 单位斜变信号
斜变信号指的是从某一时刻开始随时间正比例增长的 信号。其表达式为
R(t)
t 0
t0 t0
(2.2 1)
R(t)
R(t
t0
)
t 0
t0
t t0 t t0
0 cos
e jt cos t j sin t -1 12
2.2 常用连续时间信号
3. Sa(t)函数（抽样函数）
所谓抽样函数是指sin t与 t 之比构成的函数，以符号
Sa(t)表示 Sa(t) sin t t
波形如图：
(2.2 5)
13
2.2 常用连续时间信号
Sat 的性质：
（1） Sat Sa(t) 偶信号
6
2.2 常用连续时间信号
1. 实指数信号 2. 正弦信号 3. 抽样函数 4. 复指数信号 重点：典型确定性信号的描述 难点：复指数信号，抽样信号
7
2.2 常用连续时间信号
下面，我们将给出一些典型信号的表达式和波形。
1. 指数信号 指数信号的表达式为
f (t) Aet
(2.2 1)
f (t) Aet ( 0)
34
2.4 信号的运算
1. 信号的加减 2. 信号的乘法和数乘 3. 信号的反褶、时移、尺度变换 4. 信号的微分与积分运算 5. 信号的卷积
重点：信号的尺度变换，信号的卷积积分 难点：信号时移、反褶、尺度变换同时都有的情况
35
2.4 信号的运算
1. 信号的加减
两个信号的和（或差）仍然是一个信号，它在任意 时刻的值等于两信号在该时刻的值之和（或差），即
信号与系统课件--2.连续系统时域分析
2）无源电路外加电源
①外加电压源
②外加电流源
例1：如下电路的自然频率
2 1 p 1 p
f1
1
0
p2 3 p 2 f1 2 2p 5p 4
1 p2 3 p 2 H ( p) 2 p2 5 p 2 2
5 7 p1 , 2 j 4 4
例2：
已知： 图示电路，
1）i1(0-) =2A，i1’(0+)=1A/s； 2） i1(0-) =1A，i2(0-)=2A；
求 i1(t) 、i2(t)
解:
i1(t)
i2(t)
例3: 图示电路，t<0，K闭合，电路稳定； t=0，K断开; 求电流iL(t) 。
t=0 8V
+ -
4
iL(t)
二、统微分方程的求解
根据微分方程理论，方程（2-1）的解，由两部分组成：一部分 是方程（2-1）对应的齐次微分方程的解y0(t); 另一部分是方程 （2-1）的一个特解yd(t)，即
y(t ) y0 (t ) yd (t )
1、微分方程的齐次解
方程（2-1）对应的齐次微分方程为
d y (t ) d y (t ) dy (t ) an 1 a1 a0 y (t ) 0 n n 1 dt dt dt
t
代入元件参数，并利用消取法得到 d3 d2 d 2 3 i1 (t ) 3 2 i1 (t ) 4 i1 (t ) 2i1 (t ) dt dt dt
d2 d 2 2 f1 (t ) f1 (t ) f1 (t ) f 2 (t ) dt dt
一般地，对于一个n阶系统，设其响应为y(t)，激励为f(t)，描 述该系统的微分方程为
信号与系统概论PPT第二章线性时不变系统的时域分析2
卷积重要性质： 1) 信号与延迟冲激信号的卷积等于延迟信号
f t* t t0 f t t0
2) 信号与阶跃信号的卷积等于信号积分
f t*ut t0 f t* 1t t0 f t* t t0 1 f 1 t t0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
卷积重要性质： 3) 信号与冲激偶的卷积等于信号微分
t
2
t
2
*
r
t
2
r
t
2
r t r t r t r t
r t 2r t r t
f(t)
f(t)
1
1
=
0 t 22
(a)
0 t 22
(b)
f΄(t)
f (-1)(t)
1
2 0 2
τ
t
0
22
=
t
(c)
(d)
f(t)f(t) τ
-τ 0 τ t 22
m
f1 m f2 n m mMaxn,0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
重要结论：信号与冲激信号（脉冲信号） 的卷积（卷积和），其结果就是对该信号 进行移位，位移量取决于冲激（脉冲）信 号出现的位置。该结论也可视作信号通过 移位系统得到的零状态响应。
f
t*δt
t0
f
t
δ
t0 d
f
t
注意此处的 处理方式
ut 1 t1e d ut 1 t1e d
0
0
1
1
e t 1
u t Hale Waihona Puke 1 et1u t 1
例2-8：计算 cost* t 1 t 1
解：
M
M
f t* wi t ti wi f t ti
f t* t t0 f t t0
2) 信号与阶跃信号的卷积等于信号积分
f t*ut t0 f t* 1t t0 f t* t t0 1 f 1 t t0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
卷积重要性质： 3) 信号与冲激偶的卷积等于信号微分
t
2
t
2
*
r
t
2
r
t
2
r t r t r t r t
r t 2r t r t
f(t)
f(t)
1
1
=
0 t 22
(a)
0 t 22
(b)
f΄(t)
f (-1)(t)
1
2 0 2
τ
t
0
22
=
t
(c)
(d)
f(t)f(t) τ
-τ 0 τ t 22
m
f1 m f2 n m mMaxn,0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
重要结论：信号与冲激信号（脉冲信号） 的卷积（卷积和），其结果就是对该信号 进行移位，位移量取决于冲激（脉冲）信 号出现的位置。该结论也可视作信号通过 移位系统得到的零状态响应。
f
t*δt
t0
f
t
δ
t0 d
f
t
注意此处的 处理方式
ut 1 t1e d ut 1 t1e d
0
0
1
1
e t 1
u t Hale Waihona Puke 1 et1u t 1
例2-8：计算 cost* t 1 t 1
解：
M
M
f t* wi t ti wi f t ti
第2章连续系统的时域分析ppt课件
n
yh (t)
cit iejt
i 1
(2―12)
《 信号与线性系统》
第2章 连续系统的时域分析
(3)特征根有一对单复根。即λ1, 2=a±jb，则微分 方程的齐次解
yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt
(2―13)
(4)特征根有一对m重复根。即共有m重λ1,2=a±jb的 复根，则微分方程的齐次解
yh (t) c1 cos dt c2teat cos dt cmt e m1 at cos dt d1eat sin bt d2teat sin bt dmt e m1 at sin dt (2―14)
《 信号与线性系统》
第2章 连续系统的时域分析
例2―3 求微分方程y″(t)+3y′(t)+2 y(t)=f(t)的齐次解。
(2―10)
《 信号与线性系统》
第2章 连续系统的时域分析
(1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同 (即无重根)，则微分方程的齐次解
n
yh (t) cieit
i 1
(2―11)
(2) 特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，即
有λ1=λ2=λ3=…=λγ，而其余(n-γ)个根λγ+1，λγ+2，…，λn都 是单根，则微分方程的齐次解
n
n
n
y(t) cieit y p (t) cxieit c fieit y p (t) (2―20)
i 1
i 1
i 1
式中
n
n
n
cieit
cxieit
c fieit
i 1
i 1
i 1
(2―21)
信号与系统PPT教学课件-第2章信号的时域分析(三)
others
x[0], 0, , 0 , x[1], 0, , 0 , x[2], 0, , 个零值
x[k] 3 2
xI2[k]
3
2
1
1
k 012
k 01234
在原序列每两点之间插入L-1个零点
9
3. 尺度变换
➢ 原信号x
M=2; [x,Fs,bits] = wavread('myheart'); x1=x(1:M:end); % Fs=44,100 Hz
➢ 2倍抽取后信号x1
➢ 4倍抽取后信号x1
10
3. 尺度变换
➢ 原信号x
M=8; [x,Fs,bits] = wavread(‘我的祖国’); x1=x(1:M:end); % Fs=22,050 Hz
➢ 4倍抽取后信号x1
➢ 8倍抽取后信号x1
11
4. 序列相加
指将若干离散序列序号相同的数值相加
和，不同的只是它们的强度（系数）不同。 实际应用：
当求解信号通过系统产生的响应时，只需求解 冲激信号通过该系统产生的响应，然后利用线性时 不变系统的特性，进行迭加和延时即可求得信号x(t) 产生的响应。
23
2.5.5 离散信号分解为单位脉冲序列的线性组合
x[k ]
k -1 0 1 2 3
x[k] + x[-1][k +1] + x[0][k] + x[1][k -1] + + x[n][k - n] +
5
2. 位移 x[k] x[kn] n>0
x[k-n]表示将x[k]右移n个单位。
x[k+n]表示将x[k]左移n个单位。
信号与线性系统第二章ppt课件
2.6 卷积的数值计算 卷积积分除通过直接积分或查表的方法进行求解外，还可以
利用计算机求解，这就是卷积积分的数值计算。
.
单位冲激函数的工程定义:
(t) 0
t 0 t 0
和
(t)dt1
单位冲激函数的工程定义直观地反映了它出现时间极短和面
积为1两个特点。从它t=0时函数值趋于无穷大，可以看出，
不是通常意义下的函数。人们将这类非常规函数称为广义函
数（generalized function），或称分配函数（distribution
function）。这类函数的数学定义不是象普通函数那样，由对
应于自变量的变化值所取的函数值来定义，而是由它对另一
个函数（常称为测试函数）的作用效果来定义的，也就是说，
不是用它“是”什么来定义，而. 是用它能“做”什么来定义 的。
单位冲激函数的严格的数学定义。
(t)(t)d t (0)
（2.1-4）
y(t) x()h(t)d
t1
（2.3-14）
更一般的确定卷积积分的积分限的方法将在下一节中进一步
进行分析讨论。 .
2.4 卷积的图解和卷积积分限的确定 上一节讨论了一般形式的卷积积分，以及x(t)和h(t)均为有始
函数时积分上下限的表示方法，但实际上卷积积分限还要根 据具体情况来确定，特别是当x(t)和h(t)两者或两者之一是分段 定义的函数时，图解能帮助正确地确定卷积积分的上下限。
2.4.2 卷积的另一种计算方法 如果x(t)和h(t)两者或两者之一是分段连续的函数时，采用式 （2.3-14）进行卷积计算也是一种较为简便的方法。 2.5 卷积积分的性质 作为一种数学运算方法，卷积积分具有某些特殊的性质。利 用这些性质可使卷积运算大为简化。
利用计算机求解，这就是卷积积分的数值计算。
.
单位冲激函数的工程定义:
(t) 0
t 0 t 0
和
(t)dt1
单位冲激函数的工程定义直观地反映了它出现时间极短和面
积为1两个特点。从它t=0时函数值趋于无穷大，可以看出，
不是通常意义下的函数。人们将这类非常规函数称为广义函
数（generalized function），或称分配函数（distribution
function）。这类函数的数学定义不是象普通函数那样，由对
应于自变量的变化值所取的函数值来定义，而是由它对另一
个函数（常称为测试函数）的作用效果来定义的，也就是说，
不是用它“是”什么来定义，而. 是用它能“做”什么来定义 的。
单位冲激函数的严格的数学定义。
(t)(t)d t (0)
（2.1-4）
y(t) x()h(t)d
t1
（2.3-14）
更一般的确定卷积积分的积分限的方法将在下一节中进一步
进行分析讨论。 .
2.4 卷积的图解和卷积积分限的确定 上一节讨论了一般形式的卷积积分，以及x(t)和h(t)均为有始
函数时积分上下限的表示方法，但实际上卷积积分限还要根 据具体情况来确定，特别是当x(t)和h(t)两者或两者之一是分段 定义的函数时，图解能帮助正确地确定卷积积分的上下限。
2.4.2 卷积的另一种计算方法 如果x(t)和h(t)两者或两者之一是分段连续的函数时，采用式 （2.3-14）进行卷积计算也是一种较为简便的方法。 2.5 卷积积分的性质 作为一种数学运算方法，卷积积分具有某些特殊的性质。利 用这些性质可使卷积运算大为简化。
第2章-连续时间信号与系统的时域分析PPT课件
第二章连续时间信号与系统的时域分析
第二章 连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号 第二节 LTI连续系统的时域响应 第三节 冲激响应与阶跃响应 第四节 卷积积分及其应用
-
1
第二章连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号
一、单位阶跃函数与单位冲激函数
单位阶跃信号 (unit step function)用(t)表
求：当f(t)=t2,y(0+)=1,y’(0+)=1时的全解。
例5：已知某LTI连续系统的方程为
y ( t ) 4 y ( t ) 4 y ( t ) 2 f ( t ) 8 f ( t )
求：当f(t)=e-t,y(0+)=3,y’(0+)=4时的全响应。
-
15
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例6：如图所示电路图，其中R=5，L=1H，
C=1/6F,is(t)=4A,uc(0-)=0,i(0-)=0，电感电流
为i(t)为响应，求系统全响应。
+ uR(t) -
解：激励is(t)，响应i(t)
ic(t)is(t)i(t)
iS(t)
ic(t)
R
+
C vc(t)
-
i(t) + L uL(t) -
-
21
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例9：描述某线性时不变系统的微分方程为： y”(t)+4y’(t)+3y(t)=f’(t)+4f(t)
已知输入： f(t)=2e-2t(t)
y(0+)=1 y’(0+)=7 (1)求系统的零状态响应yf(t)； (2)求系统的零输入响应yx(t)； (3)全响应y(t)。
第二章 连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号 第二节 LTI连续系统的时域响应 第三节 冲激响应与阶跃响应 第四节 卷积积分及其应用
-
1
第二章连续时间信号与系统的时域分析
第一节 单位阶跃信号与单位冲激信号
一、单位阶跃函数与单位冲激函数
单位阶跃信号 (unit step function)用(t)表
求：当f(t)=t2,y(0+)=1,y’(0+)=1时的全解。
例5：已知某LTI连续系统的方程为
y ( t ) 4 y ( t ) 4 y ( t ) 2 f ( t ) 8 f ( t )
求：当f(t)=e-t,y(0+)=3,y’(0+)=4时的全响应。
-
15
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例6：如图所示电路图，其中R=5，L=1H，
C=1/6F,is(t)=4A,uc(0-)=0,i(0-)=0，电感电流
为i(t)为响应，求系统全响应。
+ uR(t) -
解：激励is(t)，响应i(t)
ic(t)is(t)i(t)
iS(t)
ic(t)
R
+
C vc(t)
-
i(t) + L uL(t) -
-
21
第二章连续时间信号与系统的时域分析
例9：描述某线性时不变系统的微分方程为： y”(t)+4y’(t)+3y(t)=f’(t)+4f(t)
已知输入： f(t)=2e-2t(t)
y(0+)=1 y’(0+)=7 (1)求系统的零状态响应yf(t)； (2)求系统的零输入响应yx(t)； (3)全响应y(t)。
信号与系统--连续时间信号和系统的时域分析课件
得：
LC 2
d
2r( t dt 2
)
L R
dr( t dt
)
r(
t
)
e(
t
)
二阶常系数线性微分方程
温州大学瓯江学院
信号与系统
三、 用算子符号表示微分方程
1、定义：算子作用于某一时间函数时，此时间函数将进行 算子所表示的特定运算。
•微分算子（Differential operator）：
p d ; dt
p dt
3. 1 Px p
t
[
dx dt
]t
d
x( t ) x( )
若x( ) 0, 则 1 Px＝x p
4.Px Py , 其中P不能消去 dx ＝ dy 两边积分得 x y C
dt dt
温州大学瓯江学院
信号与系统
引入算子后，可以简化系统模型的表示，如：
列方程的基本方法： 节点分析法和网孔电流法。
温州大学瓯江学院
信号与系统
例1：已知电路，求输出电容电压。 一阶系统：
电源：
us (t)
电容电压： uc (t)
VCR
Ri 电阻电压：
RC duc (t) dt
KVL
RC
duc (t) dt
uc
(t)
us
(t)
一阶常系数线性微分方程
温州大学瓯江学院
(
p2
5
p
3 2
)i2
(t)
0.5
pf
(t)
d2 dt 2
i2
(t
)
《信号与系统分析》课件第2章
p 1 y(t) 1 py(t)
p
p
(2.12)
p 1 y(t) d t y( )d y(t)
p
dt
1 py(t) t [ d y( )] d y(t) y() y(t)
p
d
(对应先微分后积分)的算子运算不 能相消, 而对“先除后乘”(对应先积分后微分)的算子运算 可以相消。
u(t)与i(t)之间的关系。 解 画出图2.3(a)所示电路对应的算子模型如图
2.3(b)
图 2.3 例2.3的图
由节点电压法列出u(t)
( p 1 1 )u(t) i(t) 2 2 22p
(p2+2p+2)u(t)=2(p+1)i(t)
d 2u (t ) d2t
2
du(t) dt
2 y(t )
图 2.2 例2.2的电路图
解 设两回路中的电流分别为i1(t)和i2(t), 由基尔霍
LCR2e(t)
L di1(t) 1 dt C
t
i2 ( )d R2i2 (t) e(t)
LR1e(t)
1 1 d2u(t)
L
du(t) 1
de(t)
L( ) R1 R2
d2t
(
1)
R1R2C
dt
y(t)=yzi (t)+yzs(t) 式中, yzi (t)为零输入响应, yzs (t)为零状态响应。
(2.24)
2.2.2
1. 系统的零输入响应是指没有外加激励信号的作用, 仅由 系统初始状态所产生的响应。 为求系统的零输入响应就要
7
d
2 y(t d2t
)
16 dy(t) dt
12 y(t )