高中理科数学公式整理总结大全高考必备
【高考复习】高考理科必背数学公式大全
【高考复习】高考理科必背数学公式大全高中数学公式是高考数学复习的重要知识点高三考生行为高考一一元二次方程的解-b+√（b2-4ac）/2a-b-√（b2-4ac）/2a根与系数的关系x1+x2=-b/ax1*x2=c/a注：韦达定理判别式b2-4a=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac>0注：方程有两个不相等的个实根B2-4ac<0注：方程有共轭复数根1三维图形和平面图形的公式圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圆心坐标圆x2+Y2+DX+ey+F=0的一般方程注：D2+e2-4f>0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py直棱镜侧面积s=C*h斜棱镜侧面积s=C'*h正棱锥侧面积s=1/2c*h'正棱台侧面积s=1/2(c+c')h'圆桌的侧面面积s=1/2（c+c’）l=pi（R+R）l球的表面积s=4Pi*R2圆柱侧面积s=c*h=2pi*h圆锥侧面积s=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式L=a*RA是圆中心角的弧度数，R>0，扇形面积公式s=1/2*L*R 锥体体积公式v=1/3*s*h圆锥体体积公式v=1/3*pi*r2h倾斜棱镜的体积v=s'L注：其中s'是直截面的面积，L是侧边的长度柱体体积公式v=s*h圆柱体v=pi*r2h一图形周长、面积、体积公式矩形的周长=（长+宽）×2正方形的周长=边长×4矩形面积=长度×宽度正方形的面积=边长×边长三角形面积已知三角形底a，高h，则s=ah/2如果三角形有三条边a、B、C和半周长P，那么s=√ [P（P-A）（P-B）（P-C）]（海伦公式）（P=（A+B+C）/2）和：(a+b+c)*(a+b-c)*1/4如果我们知道三角形两边的a和B，以及这两条边之间的角c，那么s=absinc/2设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r然后三角形面积=（a+B+C）R/2设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r然后三角形面积=ABC/4R。
高三理科数学知识点公式
高三理科数学知识点公式在高三阶段，理科数学是学生们需要重点掌握和应用的学科之一。
数学公式在解题中起着至关重要的作用，它们可以帮助我们快速计算、理解问题以及发现问题的内在规律。
下面将列举高三理科数学中常用的一些知识点公式，并对其进行简要说明。
1. 二次函数的顶点坐标公式：对于一元二次函数y = ax^2 + bx + c，它的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x)表示函数y = ax^2 + bx + c的值。
2. 二次函数的对称轴公式：一元二次函数y = ax^2 + bx + c的对称轴的方程为x = -b/2a。
对称轴是函数图像关于该轴对称的直线。
3. 三角函数和三角比的基本关系：- 正弦定理：对任意三角形ABC，其边长分别为a，b和c，对应的角度为A，B和C，则有a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)。
- 余弦定理：对任意三角形ABC，其边长分别为a，b和c，对应的角度为A，B和C，则有c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(C)。
- 正切定理：对任意三角形ABC，其边长分别为a，b和c，对应的角度为A，B和C，则有tan(A) = a/b，tan(B) = b/a。
4. 常用数列的通项公式：- 等差数列的通项公式：对于一个等差数列an，其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差。
- 等比数列的通项公式：对于一个等比数列bn，其通项公式为bn = b1 * q^(n-1)，其中b1是首项，q是公比。
5. 概率与统计的关键公式：- 排列公式：对于从n个元素中取r个元素进行排列，有P(n,r) = n!/(n-r)!，其中n!表示n的阶乘。
- 组合公式：对于从n个元素中取r个元素进行组合，有C(n,r) = n!/[(n-r)! * r! ]。
6. 导数和微分的基本公式：- 基本导数公式：对于常数函数y = c，其导数为dy/dx = 0；对于幂函数y = x^n，其中n是实数，其导数为dy/dx = nx^(n-1)。
高中理科数学必背公式
高中理科数学必背公式高中数学必背公式、常用结论一、二次函数和一元二次方程、一元二次不等式1.二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像的对称轴方程是 $x=-\frac{b}{2a}$，顶点坐标是 $\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$。
2.实系数一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的解：①若 $\Delta=b^2-4ac>0$，则 $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$；②若 $\Delta=b^2-4ac=0$，则 $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$；③若 $\Delta=b^2-4ac<0$，则它在实数集$\mathbb{R}$ 内没有实数根；在复数集 $\mathbb{C}$ 内有且仅有两个共轭复数根 $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$。
3.一元二次不等式$ax^2+bx+c>0$（$a>0$）的解的讨论：二次函数 $y=ax^2+bx+c$ 的图像一元二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的根一元二次不等式 $ax^2+bx+c>0$（$a>0$）的解集x_1,x_2$（$x_1<x_2$）x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$XXXx|xx_2\}$x|x\neq-\frac{b}{2a}\}$mathbb{R}$x|x_1<x<x_2\}$二、指数、对数函数1.运算公式：⑴分数指数幂：$a^\frac{m}{n}=n\sqrt[n]{a^m}$；$a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{n\sqrt[n]{a^m}}$（以上$a>0,m,n\in\mathbb{N}$，且 $n>1$）。
⑵指数计算公式：$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$；$(a\cdotb)^m=a^m\cdot b^m$；$(a^m)^n=a^{mn}$。
高中理科数学公式大全(完整版)
高中数学公式大全（最新整理版)§01. 集合与简易逻辑1。
元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉. 2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.3.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4。
容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-.5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n–1个;非空的真子集有2n –2个。
6。
二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠； （3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7。
解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式()N f x M <<⇔[()][()]0f x M f x N --<⇔|()|22M N M Nf x +--<⇔()0()f x N M f x ->- ⇔11()f x N M N>--. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21<k f k f 不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件。
特别地, 方程)0(02≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价于0)()(21<k f k f ，或0)(1=k f 且22211k k a b k +<-<,或0)(2=k f 且22122k ab k k <-<+。
9。
闭区间上的二次函数的最值二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在abx 2-=处及区间的两端点处取得，具体如下:（1）当a 〉0时，若[]q p a bx ,2∈-=，则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a=-=； []q p a bx ,2∉-=,{}max max ()(),()f x f p f q =，{}min min ()(),()f x f p f q =。
高中理科数学公式大全
高中理科数学公式大全-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系x1+x2=-b/ax1*x2=c/a注：韦达定理判别式b2-4a=0注：方程有相等的两实根b2-4ac>0注：方程有两个不相等的个实根b2-4ac<0注：方程有共轭复数根圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=c*h斜棱柱侧面积S=c'*h正棱锥侧面积S=1/2c*h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi*r2圆柱侧面积S=c*h=2pi*h圆锥侧面积S=1/2*c*l=pi*r*l弧长公式l=a*ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2*l*r锥体体积公式V=1/3*S*H圆锥体体积公式V=1/3*pi*r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s*h圆柱体V=pi*r2h长方形的周长=(长+宽)×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积已知三角形底a，高h，则S=ah/2已知三角形三边a,b,c,半周长p,则S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)](海伦公式)(p=(a+b+c)/2)和：(a+b+c)*(a+b-c)*1/4已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则S=absinC/2设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r则三角形面积=(a+b+c)r/2设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为r则三角形面积=abc/4r拓展阅读：学习数学的方法先看笔记后做作业有的高一学生感到，老师讲过的，自己已经听得明明白白了。
高中理科数学公式大全完整版
高中理科数学公式大全完整版高中理科数学公式大全完整版一、数学公式1、圆的面积 S=πR²2、圆周长 C=2πR3、圆柱体 V=πR²h4、圆锥体 V=πR²h/35、圆周角 a=∠C×π6、勾股定理 c²=a²+b²7、正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R8、余弦定理 b²=a²+c²-2accosB9、弧长公式 l=n/180×π×r²10、扇形面积 s=n/360×π×r²11、弓形面积 s=[(b-a)×h]/212、三角形面积 s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中 p=(a+b+c)/213、重心定理三条中线的交点叫重心,重心分中线为2：1（顶点到重心）14、平行四边形性质：平行四边形对边相等；平行四边形对角相等；平行四边形对角线互相平分；平行四边形内角和外角和都为360度。
15、平行四边形判定：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；两组对边分别相等的四边形为平行四边形；对角线互相平分的四边形为平行四边形；两组对角分别相等的四边形为平行四边形。
16、菱形性质：菱形四边都相等；菱形对角线互相垂直；菱形内角和都为360度；菱形是轴对称图形，有四条对称轴。
17、菱形判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边都相等的四边形是菱形；两条对角线分别平分各自对角的四边形为菱形。
18、正方形性质：正方形的四边都相等；正方形的四个角都是直角；正方形的对角线相等并互相垂直平分；正方形的邻边互相垂直；正方形的内角和外角和都为360度。
19、正方形判定：邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。
20、等腰梯形性质：等腰梯形两腰相等；等腰梯形两底角相等；等腰梯形的两条对角线相等。
高考数学公式理科总结
高考数学公式理科总结高考数学公式理科总结数学作为高考的一门科目，深受大多数理科生的青睐。
因为无论是数学的思维锻炼还是需要掌握的数学公式，都是高考备考不可或缺的一部分。
今天，我们就来总结一下理科数学中常用的数学公式及其应用。
一、代数部分1.一元二次方程公式：ax²+bx+c=0，求根公式为x=（-b±√b²-4ac）/2a。
应用：用于求解一元二次方程，例如求解公路修建所需要的材料和成本等。
2.等比数列公式：an=a1q^(n-1)（其中a1为首项，q为公比，an为第n项）。
应用：用于解决各种与成长或增长相关的问题，如人口增长、利润的增长等。
3.排列组合公式：排列公式为A(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式为C(n,m)=n!/m!(n-m)!。
应用：用于处理不同的复杂问题，例如排列组合问题、选择问题、不重复随机抽样问题等。
二、几何部分1.三角函数公式：sinθ=对边/斜边，cosθ=邻边/斜边，tanθ=对边/邻边。
应用：用于三角函数问题，例如角度求解、三角函数值等。
2.圆公式：圆的面积公式为A=πr²，圆的周长公式为C=2πr。
应用：用于解决圆形问题，例如圆周运动、圆的切线、圆的切点等。
3.立体几何公式：三棱锥表面积公式为S=ab+a√(a²+b²+c²-2abcosA)，三棱锥体积公式为V=1/3abh。
应用：用于解决空间几何问题，例如三棱锥表面积和体积的计算等。
三、概率统计部分1.样本调查公式：样本调查中常用的统计量有平均数、中位数、众数、方差、标准差、相关系数、回归方程等。
应用：用于处理随机事件、样本调查、统计数据等问题。
2.基本概率公式：P(A)=m/n，其中m表示事件A的样本点个数，n表示整个样本点个数。
应用：用于基本的统计概率问题，例如计算事件发生的概率等。
3.正态分布公式：正态分布的概率密度函数为f(x)=1/σ√2πexp(-(x-μ)²/(2σ²))。
高中理科数学公式知识点总结
高中理科数学公式知识点总结高中理科数学公式学问点总结一.圆的公式1、圆体积=4/3(pi)(r^3)2、面积=(pi)(r^2)3、周长=2(pi)r4、圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2【(a,b)是圆心坐标】5、圆的一般方程x2+y2+dx+ey+f=0【d2+e2-4f0】二.椭圆公式1、椭圆周长公式：l=2πb+4(a-b)2、椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴，长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差.3、椭圆面积公式：s=πab4、椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。
以上椭圆周长、面积公式中虽然没有消失椭圆周率t,但这两个公式都是通过椭圆周率t推导演化而来。
三.两角和公式1、sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosa2、cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb3、tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+ta natanb)4、ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctg b-ctga)四.倍角公式1、tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga2、cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a五.半角公式1、sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2)2、cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2)3、tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+co sa))4、ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-co sa))六.和差化积1、2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)2、2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b)3、sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)si n((a-b)/2)4、tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosb5、ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb七.等差数列1、等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)2、前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2)从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0.在等差数列中,等差中项：一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项.且任意两项am,an的关系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式.3、从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n} 若m,n,p,q∈N-,且m+n=p+q,则有am+an=ap+aqSm-1=(2n-1)an,S2n+1=(2n+1)an+1Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…,Snk-S(n-1)k…或等差数列,等等.和=(首项+末项)-项数÷2项数=(末项-首项)÷公差+1首项=2和÷项数-末项末项=2和÷项数-首项项数=(末项-首项)/公差+1八.等比数列1、等比数列的通项公式是：An=A1-q^(n-1)2、前n项和公式是：Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q)且任意两项am,an的关系为an=am·q^(n-m)3、从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出：a1·an=a2·an-1=a3·an-2=…=ak·an-k+1,k∈{1,2,…,n}4、若m,n,p,q∈N-,则有：ap·aq=am·an,等比中项：aq·ap=2ar ar则为ap,aq等比中项.记πn=a1·a2…an,则有π2n-1=(an)2n-1,π2n+1=(an+1)2n+1另外,一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之,以任一个正数C为底,用一个等差数列的各项做指数构造幂Can,则是等比数列.在这个意义下,我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的.性质：①若 m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am·an=ap-aq;②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.“G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G≠0)”.在等比数列中,首项A1与公比q都不为零.九.抛物线1、抛物线：y=ax-+bx+c就是y等于ax的平方加上bx再加上c。
高中理科数学公式大全(完整版)
教育资料高中数学公式大全（最新整理版）§01. 集合与简易逻辑 1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I .3.包含关系A B A A B B=⇔=I U U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦI U C A B R ⇔=U4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-U I .5．集合12{,,,}n a a a L 的子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 .设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或⎩⎨⎧>=0)(0)(n f m f 或⎩⎨⎧>=0)(0)(m f n f ； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .8.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩. 9.10.四种命题的相互关系原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否；逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否；否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆；逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否；15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.§02. 函数11.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.教育资料12.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.13．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．14.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.15.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称.16若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称;若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.17.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=- (2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.18.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.19.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.20．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.21.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数.22.几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，0()(0)1,lim 1x g x f x→==.23.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.24.分数指数幂(1)m na=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.教育资料(2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.25．根式的性质 （1）n a =.（2）当na =； 当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.26．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)rr rab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.27.指数式与对数式的互化式log b a N b a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.28.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).29．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log a a a MM N N =-;(3)log log ()na a M n M n R =∈.§03. 数 列30. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+.31.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ).32.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 33.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s qna q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.34.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩.§04. 三角函数35．常见三角不等式 （1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.36.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.37.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n co απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩教育资料38.和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m .22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ= ).39.二倍角公式sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan ααα=-.40.三角函数的周期公式函数sin()y x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=. 41.正弦定理2sin sin sin a b cR A B C===. 42.余弦定理2222cos a b c bc A =+-; 2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.43.面积定理 （1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）.（2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OABS ∆=44.三角形内角和定理在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+.45.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb. 46.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b= a ·（λb ）; (3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c. 47.平面向量基本定理 如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e 1+λ2e 2．不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．48．向量平行的坐标表示设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则a P b(b ≠0)12210x y x y ⇔-=.49. a 与b 的数量积(或内积) a ·b=|a ||b|cos θ． 50. a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos θ的乘积．51.平面向量的坐标运算(1)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++.(2)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--u u u r u u u r u u u r.(4)设a=(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ. (5)设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +.52.两向量的夹角公式cos θ=(a =11(,)x y ,b=22(,)x y ).53.平面两点间的距离公式,A B d=||AB =u u u r=11(,)x y ，B 22(,)x y ).54.向量的平行与垂直设a=11(,)x y ,b=22(,)x y ，且b ≠0，则 A||b ⇔b=λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 55.线段的定比分公式教育资料设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=u u u r u u u r，则 121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+u u u r u u u r u u u r ⇔12(1)OP tOP t OP =+-u u u r u u u r u u u r （11t λ=+）. 56.三角形的重心坐标公式△ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.57.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+u u u r u u u r u u u r . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP u u u r的坐标为(,)h k .58.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a=(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m=(,)x y 按向量a=(,)h k 平移后得到的向量仍然为m=(,)x y .59. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==u u u r u u u r u u u r .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=u u u r u u u r u u u r r. （3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=u u u r u u u r u u u r r .（5）O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+u u u r u u u r u u u r .§06. 不 等 式60.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> （4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-.61.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时,||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.62.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.63.无理不等式 （1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩. （2）2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或.（32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩.64.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;教育资料()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩§07. 直线和圆的方程65.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.66.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y(12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).67.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B C l l A B C ⇔=≠； ②1212120l l A A B B ⊥⇔+=；68.夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 69. 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π.70．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．71.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).72. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端教育资料点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).73. 圆系方程 (1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．74.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.75.直线与圆的位置关系 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.76.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ; 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .77.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=． ①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x xE y y x x y yF ++++++=.当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x x E y y x x y y F ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±.§08. 圆锥曲线方程78.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩. 79.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.80．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的内部2200221x y a b⇔+<.（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b⇔+>.81. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是教育资料00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x ya b a b -=>>的焦半径公式 21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.82.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<. 83.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x ab y ±=. (2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-by a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.84. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x ya b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=的焦半径公式抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 85.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2οοy py或或)2,2(2pt pt P P (,)x y o o ，其中 22y px =o o .86.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a--；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=.87.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>.(2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->.(3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>.(4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->.88. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.（2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.（3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.89.两个常见的曲线系方程教育资料(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.90.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =1212|||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F bkx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）. 91.圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=.（2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是 22222()2()(,)0A Ax By CB Ax ByC F x y A B A B ++++--=++.92.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y +代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.§09. 立体几何93．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点；（2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行.94．证明直线与平面的平行的思考途径（1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 95．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.96．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直.97．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 98．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直. 99.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律(1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)． (3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ．100.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 101.共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a=λb ． P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =u u u r u u u r ⇔(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r . ||AB CD ⇔AB u u u r 、CD u u ur 共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =u u u r u u u r 且AB CD 、不共线.102.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+u u u r u u u r u u u r ，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++u u u r u u u u r u u u r u u u r. 103.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r （x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面． C A B 、、、D 四点共面⇔AD u u u r 与AB u u u r 、AC u u ur 共面⇔AD xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r⇔.教育资料(1)OD x y OA xOB yOC =--++u u u r u u u r u u u r u u u r（O ∉平面ABC ）.104.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝xa ＋yb ＋zc ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r .105.向量的直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++；106.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r= 212121(,,)x x y y z z ---.107．空间的线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r⇔0a b ⋅=r r ⇔1212120x x y y z z ++=.109.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d=||AB =u u u r=110.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a=PA uu u r ，向量b=PQ u u u r).111.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=u u u r u u r r (12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n r，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).112.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=u u u r u u r r （n r 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）.113.异面直线上两点距离公式d =.d =d （'E AAF ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.114.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=．115.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为a的正四面体的内切球的半径为12a ,外. 116．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.§10. 排列组合二项定理117.分类计数原理（加法原理） 12n N m m m =+++L . 118.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯L . 119.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n Λ=！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．教育资料注:规定1!0=. 120.排列恒等式(1）1(1)m m n nA n m A -=-+; （2）1mmn n n A A n m -=-; （3）11m m n n A nA --=;（4）11n n n n n n nA A A++=-; （5）11m m m n nnAA mA-+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-L .121.组合数公式m n C =m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+--ΛΛ21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).122.组合数的两个性质(1)mn C =mn n C - ; (2) m n C +1-m n C =m n C 1+.注:规定10=n C . 123.组合恒等式（1）11mm n n n m C C m --+=; （2）1m mn n n C C n m -=-; （3）11mm n n n C C m--=;（4）∑=nr r nC0=n2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C Λ.(6)nn nr n n n nC C C C C 2210=++++++ΛΛ 负整数解有 11n m n C +--个. 124.二项式定理nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)( ;二项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，Λ=.§11、12. 概率与统计125.等可能性事件的概率()m P A n=. 126.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和 P(A ＋B)=P(A)＋P(B)．127.n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．128.独立事件A ，B 同时发生的概率P(A ·B)= P(A)·P(B).129.n 个独立事件同时发生的概率P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．130.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k k n kn n P k C P P -=- 131.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）0(1,2,)i P i ≥=L ; （2）121P P ++=L . 132.数学期望1122n n E x P x P x P ξ=++++L L133.数学期望的性质（1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=. (3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1E pξ=. 134.方差()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+L L135.标准差σξ=ξD .136.方差的性质(1)()2D a b a D ξξ+=；(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-.(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则2q D pξ=. 137.方差与期望的关系()22D E E ξξξ=-.138.正态分布密度函数()()()2226,,x f x x μ--=∈-∞+∞，式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.139.标准正态分布密度函数()()22,,x f x x -=∈-∞+∞..140.回归直线方程$y a bx =+，其中教育资料()()()1122211n ni i i i i i n ni ii i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=-⎩∑∑∑∑. 141.相关系数()()niix x y y r --=∑()()niix x y y --=∑|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.§13. 极 限142.特殊数列的极限（1）0||1lim 11||11nn q q q q q →∞<⎧⎪==⎨⎪<=-⎩不存在或.（2）1101100()lim ()()k k k k t t t n t t kk t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-⎧<⎪+++⎪==⎨+++⎪⎪>⎩L L 不存在 . （3）()111lim11nn a q a S qq→∞-==--（S 无穷等比数列}{11n a q - (||1q <)的和）.143. 函数的极限定理lim ()x x f x a →=⇔0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.144.函数的夹逼性定理如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 0的附近满足： （1）()()()g x f x h x ≤≤;（2）0lim (),lim ()x x x x g x a h x a →→==（常数）,则lim ()x x f x a →=.本定理对于单侧极限和∞→x 的情况仍然成立. 145.几个常用极限 （1）1lim0n n→∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）；（2）00lim x x x x →=，0011limx x x x →=. 146.两个重要的极限 （1）0sin lim1x xx→=；（2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(e=2.718281845…).147.函数极限的四则运算法则若0lim ()x x f x a →=，0lim ()x x g x b →=，则(1)()()0lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦；(2)()()0lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦;(3)()()()0lim0x x f x ab g x b→=≠. 148.数列极限的四则运算法则 若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞⋅=⋅；(3)()lim0n n na ab b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅( c 是常数).§14. 导 数149.)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）000000()()()lim limx x x x f x x f x yf x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆.150.瞬时速度00()()()limlimt t s s t t s t s t t tυ∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 151.瞬时加速度00()()()limlimt t v v t t v t a v t t t∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 152.)(x f 在),(b a 的导数()dy dff x y dx dx''===00()()lim lim x x y f x x f x x x∆→∆→∆+∆-==∆∆. 153. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.154.几种常见函数的导数教育资料(1) 0='C （C 为常数）. (2) '1()()n n x nx n Q -=∈. (3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln ='；e a xx a log 1)(log ='. (6) x x e e =')(; a a a xx ln )(='.155.导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v-=≠. 156.复合函数的求导法则设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且'''x u xy y u =⋅，或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=.§15. 复 数157.复数的相等,a bi c di a c b d +=+⇔==.（,,,a b c d R ∈） 158.复数z a bi =+的模（或绝对值） ||z =||a bi +159.复数的四则运算法则(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++; (2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-; (3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++; (4)2222()()(0)ac bd bc ada bi c di i c di c d c d+-+÷+=++≠++. 160.复数的乘法的运算律对于任何123,,z z z C ∈，有 交换律:1221z z z z ⋅=⋅.结合律:123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅. 分配律:1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅ . 161.复平面上的两点间的距离公式12||d z z =-=（111z x y i =+，222z x y i =+）.162.向量的垂直非零复数1z a bi =+，2z c di =+对应的向量分别是1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r，则12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r ⇔12z z ⋅的实部为零⇔21zz 为纯虚数⇔2221212||||||z z z z +=+⇔2221212||||||z z z z -=+⇔1212||||z z z z +=-⇔0ac bd +=⇔12z iz λ= (λ为非零实数).163.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程20ax bx c ++=，①若240b ac ∆=->,则1,2x =②若240b ac ∆=-=,则122b x x a==-;③若240b ac ∆=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根240)x b ac =-<.。
高中理科数学公式大全(完整版)
高中理科数学公式大全(完整版)l高中数学公式大全（最新整理版）§01. 集合与简易逻辑1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.2.德摩根公式();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I .3.包含关系A B A A B B=⇔=I U U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦI U C A B R ⇔=U4.容斥原理()()card A B cardA cardB card A B =+-U I .5．集合12{,,,}n a a a L 子集个数共有2n个；真子集有2n–1个；非空子集有2n–1个；非空的真子集有2n–2个.6.二次函数的解析式的三种形式(1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.一元二次方程的实根分布依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 .设q px x x f ++=2)(，则（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩；（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2()0()0402f m f n p q p m n >⎧⎪>⎪⎪⎨-≥⎪⎪<-<⎪⎩或⎩⎨⎧>=0)(0)(n f m f 或⎩⎨⎧>=0)(0)(m f n f ； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402p q p m ⎧-≥⎪⎨-<⎪⎩ .8.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥∉.(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤∉.(3)0)(24>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是000a b c ≥⎧⎪≥⎨⎪>⎩或2040a b ac <⎧⎨-<⎩. 9.10.四种命题的相互关系原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否；逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否；否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆；逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否；15.充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.§02. 函数11.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f为减函数.12.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.13．奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．14.若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.15.对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数2ba x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2ba x +=对称.16若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2(a对称;若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.17.函数()y f x =的图象的对称性(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=- (2)()f a x f x ⇔-=.(2)函数()y f x =的图象关于直线2a bx +=对称()()f a mx f b mx ⇔+=-()()f a b mx f mx ⇔+-=.18.两个函数图象的对称性(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. (3)函数)(x f y =和)(1x fy -=的图象关于直线y=x 对称.19.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.20．互为反函数的两个函数的关系a b f b a f =⇔=-)()(1.21.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f ky -=-,并不是)([1b kx f y +=-,而函数)([1b kx f y +=-是])([1b x f ky -=的反函数.22.几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，0()(0)1,lim 1x g x f x→==.23.几个函数方程的周期(约定a>0)（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，或)0)(()(1)(≠=+x f x f a x f ， 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠,或[]1(),(()0,1)2f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ；(3))0)(()(11)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周期T=3a ；(4))()(1)()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)(x f 的周期T=4a ；(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ；(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期T=6a.24.分数指数幂(1)m na =（0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.25．根式的性质 （1）n a =.（2）当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.26．有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)rsr sa a aa r s Q +⋅=>∈.(2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈.(3)()(0,0,)rr rab a b a b r Q =>>∈.注： 若a ＞0，p 是一个无理数，则a p表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.27.指数式与对数式的互化式log ba Nb a N =⇔=(0,1,0)a a N >≠>.28.对数的换底公式log log log m a m NN a=(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).推论 log log m na a nb b m=(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).29．对数的四则运算法则若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log a a a MM N N =-; (3)log log ()na a M n M n R =∈.§03. 数 列30. 平均增长率的问题如果原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，则对于时间x 的总产值y ，有(1)xy N p =+.31.数列的同项公式与前n 项的和的关系11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ).32.等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+-. 33.等比数列的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 其前n 项的和公式为11(1),11,1n n a q q s qna q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩ 或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩.34.等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=⎧⎪=+--⎨≠⎪-⎩；其前n 项和公式为(1),(1)1(),(1)111n n nb n n d q s d q db n q q q q +-=⎧⎪=-⎨-+≠⎪---⎩.§04. 三角函数35．常见三角不等式 （1）若(0,)2x π∈，则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2x π∈，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.36.同角三角函数的基本关系式22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅=.37.正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n co απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩212(1)s,s()2(1)sin,nnconcoαπαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩38.和角与差角公式sin()sin cos cos sinαβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sinαβαβαβ±=m;tan tantan()1tan tanαβαβαβ±±=m.22sin()sin()sin sinαβαβαβ+-=-(平方正弦公式);22cos()cos()cos sinαβαβαβ+-=-.sin cosa bαα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b的象限决定,tanbaϕ= ).39.二倍角公式sin2sin cosααα=.2222cos2cos sin2cos112sinααααα=-=-=-.22tantan21tanααα=-.40.三角函数的周期公式函数sin()y xωϕ=+，x∈R及函数cos()y xωϕ=+，x∈R(A,ω,ϕ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期2Tπω=；函数tan()y xωϕ=+，,2x k k Zππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A≠0，ω＞0)的周期Tπω=.41.正弦定理2sin sin sina b cRA B C===.42.余弦定理2222cosa b c bc A=+-;2222cosb c a ca B=+-;2222cosc a b ab C=+-.43.面积定理（1）111222a b cS ah bh ch===（a b ch h h、、分别表示a、b、c边上的高）.（2）111sin sin sin222S ab C bc A ca B===.(3)OABS∆=44.三角形内角和定理在△ABC中，有()A B C C A Bππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A Bπ⇔=-+.45.实数与向量的积的运算律设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a;(2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.46.向量的数量积的运算律：(1) a·b= b·a（交换律）;(2)（λa）·b= λ（a·b）=λa·b= a·（λb）;(3)（a+b）·c= a·c +b·c.47.平面向量基本定理如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．48．向量平行的坐标表示设a=11(,)x y,b=22(,)x y，且b≠0，则a P b(b≠0)12210x y x y⇔-=.49. a与b的数量积(或内积)a·b=|a||b|cosθ．50. a·b的几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．51.平面向量的坐标运算(1)设a=11(,)x y,b=22(,)x y，则a+b=1212(,)x x y y++.(2)设a=11(,)x y,b=22(,)x y，则a-b=1212(,)x x y y--.(3)设A11(,)x y，B22(,)x y,则2121(,)AB OB OA x x y y=-=--u u u r u u u r u u u r.(4)设a=(,),x y Rλ∈，则λa=(,)x yλλ.(5)设a=11(,)x y,b=22(,)x y，则a·b=1212()x x y y+.52.两向量的夹角公式cosθ=(a=11(,)x y,b=22(,)x y).53.平面两点间的距离公式,A Bd=||AB=u u u r=11(,)x y，B22(,)x y).54.向量的平行与垂直设a=11(,)x y,b=22(,)x y，且b≠0，则A||b ⇔b=λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=. 55.线段的定比分公式 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12PP 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=u u u r u u u r，则 121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+u u u r u u u r u u u r ⇔12(1)OP tOP t OP =+-u u u r u u u r u u u r （11t λ=+）. 56.三角形重心坐标公式△ABC 三个顶点坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.57.点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+u u u r u u u r u u u r . 注:图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP u u u r的坐标为(,)h k .58.“按向量平移”的几个结论（1）点(,)P x y 按向量a=(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.(2) 函数()y f x =的图象C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+.(3) 图象'C 按向量a=(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-.(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a=(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)0f x h y k --=.(5) 向量m=(,)x y 按向量a=(,)h k 平移后得到的向量仍然为m=(,)x y .59. 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，则（1）O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔==u u u r u u u r u u u r .（2）O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=u u u r u u u r u u u r r. （3）O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .（4）O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=u u u r u u u r u u u r r .（5）O 为ABC ∆的A ∠旁心aOA bOB cOC ⇔=+u u u r u u u r u u u r.§06. 不 等 式60.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> （4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-.61.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广 已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+（1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时,||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.62.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.63.无理不等式 （1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩.（2）2()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或.（32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪⇔>⎨⎪<⎩. 64.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩§07. 直线和圆的方程65.斜率公式2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）.66.直线的五种方程（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距).（3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y(12x x ≠)).(4)截距式 1x ya b+=(a b 、分别为直线的横、纵截距，0a b ≠、)（5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).67.两条直线的平行和垂直(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+①121212||,l l k k b b ⇔=≠; ②12121l l k k ⊥⇔=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①11112222||A B Cl l A B C ⇔=≠；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 68.夹角公式(1)2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan ||A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 69. 1l 到2l 的角公式(1)2121tan 1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)(2)12211212tan A B A B A A B B α-=+.(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1到l 2的角是2π. 70．四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数．(2)共点直线系方程：经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l )，其中λ是待定的系数．(3)平行直线系方程：直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠)，λ是参变量．(4)垂直直线系方程：与直线0Ax By C ++= (A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量．71.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：Ax By +).72. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ).73. 圆系方程(1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----=1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ⇔--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是待定的系数．(2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数．(3) 过圆1C :221110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程是2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数．74.点与圆的位置关系点00(,)P x y 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种若d =d r >⇔点P 在圆外;d r =⇔点P 在圆上;d r <⇔点P 在圆内.75.直线与圆的位置关系 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:0<∆⇔⇔>相离r d ; 0=∆⇔⇔=相切r d ; 0>∆⇔⇔<相交r d .其中22BA C Bb Aa d +++=.76.两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21条公切线外离421⇔⇔+>r r d ; 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ;条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ;条公切线内切121⇔⇔-=r r d ; 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d .77.圆的切线方程(1)已知圆220x y Dx Ey F ++++=． ①若已知切点00(,)x y 在圆上，则切线只有一条，其方程是0000()()022D x x E y y x x y y F ++++++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()()022D x x E y y x x y y F ++++++=表示过两个切点的切点弦方程．②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+，再利用相切条件求b ，必有两条切线．(2)已知圆222x y r +=．①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为200x x y y r +=;②斜率为k的圆的切线方程为y kx =±. §08. 圆锥曲线方程78.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩. 79.椭圆22221(0)x y a b a b+=>>焦半径公式)(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.80．椭圆的的内外部（1）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的内部2200221x y a b⇔+<.（2）点00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的外部2200221x y a b⇔+>.81. 椭圆的切线方程(1)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b +=.（2）过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线切点弦方程是 00221x x y ya b+=. （3）椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222A a B b c +=.96.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式21|()|a PF e x c =+，22|()|a PF e x c=-.82.双曲线的内外部(1)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的内部2200221x y a b ⇔->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<. 83.双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x ab y ±=. (2)若渐近线方程为x aby ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x .(3)若双曲线与12222=-by a x 有公共渐近线，可设为λ=-2222b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ，焦点在y 轴上）.84. 双曲线的切线方程(1)双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y ya b -=.（2）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y ya b-=. （3）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与直线0Ax By C ++=相切条件是22222A a B b c -=.100. 抛物线px y 22=焦半径公式 抛物线22(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x px p x CD ++=+++=212122. 85.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2οοy py 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y o o ，其中 22y px =o o .86.二次函数2224()24b ac b y ax bx c a x a a-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线：（1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a--；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a-+-；（3）准线方程是2414ac b y a--=.87.抛物线的内外部(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ⇔>>.(2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ⇔<->.点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ⇔>->.(3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ⇔>>.(4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ⇔<>.点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ⇔>->.88. 抛物线的切线方程(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+.（2）过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+.（3）抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =. 89.两个常见的曲线系方程(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22221x y a k b k+=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线. 90.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =或1212|||AB x x y y ==-=-（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F bkx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,α为直线AB 的倾斜角，k 为直线的斜率）.91.圆锥曲线的两类对称问题 （1）曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=.（2）曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是 22222()2()(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B++++--=++.92.“四线”一方程对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，用0x x 代2x ，用0y y 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y +代y 即得方程 0000000222x y xy x x y yAx x B Cy y D E F ++++⋅++⋅+⋅+=，曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是此方程得到.§09. 立体几何93．证明直线与直线的平行的思考途径（1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行；（3）转化为线面平行；（4）转化为线面垂直；（5）转化为面面平行. 94．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点；（2）转化为线线平行；（3）转化为面面平行. 95．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点；（2）转化为线面平行；（3）转化为线面垂直.96．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直.97．证明直线与平面垂直的思考途径（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；（5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 98．证明平面与平面的垂直的思考途径（1）转化为判断二面角是直二面角；（2）转化为线面垂直.99.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ．(2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)． (3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ．100.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 101.共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a=λb ． P A B 、、三点共线⇔||AP AB ⇔AP t AB =u u u r u u u r ⇔(1)OP t OA tOB =-+u u u r u u u r u u u r . ||AB CD ⇔AB u u u r 、CD u u u r共线且AB CD 、不共线⇔AB tCD =u u u r u u u r 且AB CD 、不共线.102.共面向量定理向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的⇔存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的⇔存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+u u u r u u u r u u u r ，或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++u u u r u u u u r u u u r u u u r .103.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1k ≠时，若O ∈平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点共面；若O ∉平面ABC ，则P 、A 、B 、C 四点不共面．C A B 、、、D 四点共面⇔AD u u u r 与AB u u u r 、AC u u u r共面⇔AD xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r⇔ (1)OD x y OA xOB yOC =--++u u u r u u u r u u u r u u u r（O ∉平面ABC ）.104.空间向量基本定理如果三个向量a 、b 、c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使p ＝xa ＋yb ＋zc ．推论 设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数x ，y ，z ，使OP xOA yOB zOC =++u u u r u u u r u u u r u u u r .105.向量直角坐标运算设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则 (1)a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2)a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4)a ·b ＝112233a b a b a b ++； 106.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 AB OB OA =-u u u r u u u r u u u r= 212121(,,)x x y y z z ---.107．空间线线平行或垂直设111(,,)a x y z =r ，222(,,)b x y z =r，则 a b r r P ⇔(0)a b b λ=≠r r r r ⇔121212x x y y z zλλλ=⎧⎪=⎨⎪=⎩；a b ⊥r r⇔0a b ⋅=r r ⇔1212120x x y y z z ++=.109.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则,A B d=||AB =u u u r=110.点Q 到直线l 距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a=PA uu u r ，向量b=PQ u u u r).111.异面直线间的距离||||CD n d n ⋅=u u u r u u r r (12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n r，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).112.点B 到平面α的距离||||AB n d n ⋅=u u u r u u r r （n r 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）.113.异面直线上两点距离公式d =.d =d =（'E AAF ϕ=--）.(两条异面直线a 、b 所成的角为θ，其公垂线段'AA 的长度为h.在直线a 、b 上分别取两点E 、F ，'A E m =,AF n =,EF d =).已知斜棱柱的侧棱长是l ,侧面积和体积分别是S 斜棱柱侧和V 斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是1c 和1S ,则①1S c l =斜棱柱侧. ②1V S l =斜棱柱.114.球的半径是R ，则其体积343V R π=, 其表面积24S R π=．115.球的组合体(1)球与长方体的组合体:长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体组合体:正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:棱长为aa ,外. 116．柱体、锥体的体积13V Sh =柱体（S 是柱体的底面积、h 是柱体的高）.13V Sh =锥体（S 是锥体的底面积、h 是锥体的高）.§10. 排列组合二项定理117.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++L . 118.分步计数原理（乘法原理） 12n N m m m =⨯⨯⨯L . 119.排列数公式m n A =)1()1(+--m n n n Λ=！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定1!0=. 120.排列恒等式(1）1(1)m m n nA n m A -=-+; （2）1mmn n n A A n m -=-; （3）11m m n n A nA --=;（4）11n n n n n n nA A A ++=-; （5）11m m m n n nA A mA -+=+. (6) 1!22!33!!(1)!1n n n +⋅+⋅++⋅=+-L . 121.组合数公式m n C =m n mmA A =m m n n n ⨯⨯⨯+--ΛΛ21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ∈N *，m N ∈，且m n ≤).122.组合数的两个性质(1)mn C =mn n C - ;(2) mn C +1-m n C =mn C 1+.注:规定10=nC . 123.组合恒等式（1）11mm n n n m C C m --+=; （2）1m mn n n C C n m -=-; （3）11mm n n n C C m--=;（4）∑=nr r nC0=n2;（5）1121++++=++++r n r nr r r r r rCC CC C Λ.(6)nn n r n n n n C C C C C 2210=++++++ΛΛ负整数解有 11n m n C +--个. 124.二项式定理n n n rrn r nn nn nnnnb C b aC b aC b aC a C b a ++++++=+---ΛΛ222110)( ;二项展开式的通项公式rr n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，，Λ=.§11、12. 概率与统计125.等可能性事件的概率()mP A n=. 126.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和 P(A ＋B)=P(A)＋P(B)．127.n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．128.独立事件A ，B 同时发生的概率 P(A ·B)= P(A)·P(B).129.n 个独立事件同时发生的概率P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )．130.n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k k n kn n P k C P P -=- 131.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）0(1,2,)i P i ≥=L ; （2）121P P ++=L . 132.数学期望1122n n E x P x P x P ξ=++++L L133.数学期望的性质（1）()()E a b aE b ξξ+=+. （2）若ξ～(,)B n p ,则E np ξ=. (3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则1E pξ=. 134.方差()()()2221122n n D x E p x E p x E p ξξξξ=-⋅+-⋅++-⋅+L L135.标准差σξ=ξD .136.方差的性质(1)()2D a b a D ξξ+=；(2）若ξ～(,)B n p ，则(1)D np p ξ=-.(3) 若ξ服从几何分布,且1()(,)k P k g k p q p ξ-===，则2qD pξ=. 137.方差与期望的关系()22D E E ξξξ=-. 138.正态分布密度函数()()()2226,,x f x x μ--=∈-∞+∞，式中的实数μ，σ（σ>0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.139.标准正态分布密度函数()()22,,x f x x -=∈-∞+∞..140.回归直线方程$y a bx =+，其中()()()1122211n ni i i i i i n ni ii i x x y y x y nx y b x x x nx a y bx====⎧---⎪⎪==⎨--⎪⎪=-⎩∑∑∑∑. 141.相关系数()()niix x y y r --=∑()()niix x y y --=∑|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.§13. 极 限142.特殊数列的极限（1）0||1lim 11||11nn q q q q q →∞<⎧⎪==⎨⎪<=-⎩不存在或.（2）1101100()lim ()()k k k k t t t n t t kk t a n a n a a k t b n b n b b k t ---→∞-⎧<⎪+++⎪==⎨+++⎪⎪>⎩L L 不存在 . （3）()111lim11nn a q a S qq→∞-==--（S 无穷等比数列}{11n a q - (||1q <)的和）.143. 函数的极限定理lim ()x x f x a →=⇔0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==.144.函数的夹逼性定理如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x 0的附近满足： （1）()()()g x f x h x ≤≤;（2）0lim (),lim ()x x x x g x a h x a →→==（常数）,则lim ()x x f x a →=.本定理对于单侧极限和∞→x 的情况仍然成立. 145.几个常用极限（1）1lim0n n →∞=，lim 0n n a →∞=（||1a <）； （2）00lim x x x x →=，0011lim x x x x →=.146.两个重要的极限 （1）0sin lim1x xx→=；（2）1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭(e=2.718281845…).147.函数极限的四则运算法则若0lim ()x x f x a →=，0lim ()x x g x b →=，则(1)()()0lim x x f x g x a b →±=±⎡⎤⎣⎦；(2)()()0lim x x f x g x a b →⋅=⋅⎡⎤⎣⎦;(3)()()()0lim0x x f x ab g x b→=≠. 148.数列极限的四则运算法则 若lim ,lim n n n n a a b b →∞→∞==，则(1)()lim n n n a b a b →∞±=±；(2)()lim n n n a b a b →∞⋅=⋅；(3)()lim0n n na ab b b →∞=≠(4)()lim lim lim n n n n n c a c a c a →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅( c 是常数).§14. 导 数149.)(x f 在0x 处的导数（或变化率或微商）000000()()()lim limx x x x f x x f x yf x y x x=∆→∆→+∆-∆''===∆∆.150.瞬时速度00()()()limlim t t s s t t s t s t t tυ∆→∆→∆+∆-'===∆∆.151.瞬时加速度00()()()limlimt t v v t t v t a v t t t∆→∆→∆+∆-'===∆∆. 152.)(x f 在),(b a 的导数()dy dff x y dx dx''===00()()lim limx x y f x x f x x x∆→∆→∆+∆-==∆∆. 153. 函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-.154.几种常见函数的导数 (1) 0='C （C 为常数）. (2) '1()()n n x nx n Q -=∈. (3) x x cos )(sin ='. (4) x x sin )(cos -='. (5) x x 1)(ln ='；e a xx a log 1)(log ='. (6) x x e e =')(; a a a xx ln )(='.155.导数的运算法则（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+.（3）'''2()(0)u u v uv v v v -=≠. 156.复合函数的求导法则设函数()u x ϕ=在点x 处有导数''()x u x ϕ=，函数)(u f y =在点x 处的对应点U 处有导数''()u y f u =，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处有导数，且'''x u xy y u =⋅，或写作'''(())()()x f x f u x ϕϕ=.§15. 复 数157.复数的相等,a bi c di a c b d +=+⇔==.（,,,a b c d R ∈）158.复数z a bi =+的模（或绝对值） ||z =||a bi +159.复数四则运算法则(1)()()()()a bi c di a c b d i +++=+++; (2)()()()()a bi c di a c b d i +-+=-+-; (3)()()()()a bi c di ac bd bc ad i ++=-++; (4)2222()()(0)ac bd bc ada bi c di i c di c d c d+-+÷+=++≠++. 160.复数乘法的运算律对于任何123,,z z z C ∈，有 交换律:1221z z z z ⋅=⋅.结合律:123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅. 分配律:1231213()z z z z z z z ⋅+=⋅+⋅ . 161.复平面上的两点间的距离公式12||d z z =-=（111z x y i =+，222z x y i =+）.162.向量的垂直非零复数1z a bi =+，2z c di =+对应的向量分别是1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r，则12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r ⇔12z z ⋅的实部为零⇔21zz 为纯虚数⇔2221212||||||z z z z +=+⇔2221212||||||z z z z -=+⇔1212||||z z z z +=-⇔0ac bd +=⇔12z iz λ= (λ为非零实数).163.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程20ax bx c ++=，①若240b ac ∆=->,则1,22b x a -=;②若240b ac ∆=-=,则122b x x a==-;③若240b ac ∆=-<，它在实数集R 内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根240)x b ac =-<.。
高考必考理科数学必背公式
高考必考理科数学必背公式高考必考理科数学必背公式一、正余弦定理正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R R为三角形外接圆的半径余弦定理:a2=b2+c2-2bc_cosA二、诱导公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotα三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotα五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(2π-α)=-sinαcos(2π-α)=cosαtan(2π-α)=-tanαcot(2π-α)=-cotα六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-ta nαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin (3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinα三、两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAt anB)ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-c tgA)四、倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a五、半角公式sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA)) ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))六、和差化积2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin ((A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB七、某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n22+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+ 82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1_2+2_3+3_4+4_5+5_6+6 _7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3高中数学学习方法1、课前预习:上课前要做预习,课前预习能提前了解将要学习的知识。
高考理科数学公式总结
高考理科数学公式总结1.代数公式(1)二项式定理：(a+b)^n=C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+...+C(n,n-1)a^1b^(n-1)+C(n,n)a^0b^n，其中C(n,r)表示从n个不同元素中选取r个元素的组合数。
(2) 二次方程求根公式：对于一般的二次方程 ax^2+bx+c=0，求根公式为 x = [-b±√(b^2-4ac)]/(2a)。
(3) 三角函数和反三角函数的关系：sin^2θ + cos^2θ = 1，tanθ = sinθ/cosθ，cotθ = 1/tanθ，sin(π/2-θ) = cosθ，cos(π/2-θ) = sinθ，tan(π/2-θ) = 1/tanθ，cot(π/2-θ) = 1/cotθ。
2.几何公式(1)直角三角形的勾股定理：c^2=a^2+b^2，其中c是斜边，a和b是直角边。
(2)三角形面积公式：S=1/2×底×高，其中底为底边长度，高为从底边到对顶点的垂直距离。
(3)平行四边形面积公式：S=底边×高，其中底边为底边长度，高为从底边到对顶边的垂直距离。
(4)圆的周长公式：C=2πr，其中r为圆的半径。
(5)圆的面积公式：S=πr^2，其中r为圆的半径。
(6) 三角函数的定义：sinθ = 对边/斜边，cosθ = 临边/斜边，tanθ = 对边/临边。
(7)弧度制和角度制的换算关系：180°=π，1°=π/180。
3.排列组合与概率公式(1)排列公式：A(n,m)=n!/(n-m)!，表示从n个不同元素中选取m个元素的排列数。
(2)组合公式：C(n,m)=n!/[m!(n-m)!]，表示从n个不同元素中选取m个元素的组合数。
(3)阶乘公式：n!=n×(n-1)×...×2×1(4) 乘法原理：如果一件事情可以分别由 n1 种方法完成，第一种方法有 n1 种情况，第二种方法有 n2 种情况，..., 第 k 种方法有 nk 种情况，那么这件事情一共有n1 × n2 × ... × nk 种情况。
高三数学公式总结理科
高三数学公式总结理科数学作为一门自身体系庞大的学科，对于理科生来说尤为重要。
高三是考生们备战高考的最后阶段，数学公式的掌握和运用对于理科生来说至关重要。
在这篇文章中，我将对高三数学常用公式进行总结，并进行深入的解析和说明。
一、平面几何公式平面几何是高中数学的重要组成部分。
在平面几何中，熟练掌握以下公式是必不可少的。
1. 两点距离公式：设平面上点A(x₁, y₁)和点B(x₂, y₂)，则点A和点B的距离d=( (x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² )^(1/2)。
2. 点到直线距离公式：设平面上点A(x₁, y₁)和直线Ax+By+C=0，则点A到直线的距离d=|Ax₁+By₁+C|/(√(A²+B²))。
3. 点到平面距离公式：设平面上点A(x₁, y₁, z₁)和平面Ax+By+Cz+D=0，则点A到平面的距离d=|Ax₁+By₁+Cz₁+D|/(√(A²+B²+C²))。
以上为常用的平面几何公式，掌握好这些公式，能够方便高三学生在解决平面几何问题时的计算和分析。
二、立体几何公式立体几何是数学中一个重要而复杂的分支，对于理科生来说也是必不可少的。
下面是高三数学立体几何中常用的公式。
1. 立体体积公式：对于各种立体图形，其体积的计算公式是不尽相同的。
其中，长方体的体积公式为V=a×b×c，球体的体积公式为V=(4/3)πr³，圆柱的体积公式为V=πr²h，锥体的体积公式为V=(1/3)πr²h，等等。
掌握这些体积公式能够帮助高三学生更好地计算立体几何问题。
2. 立体表面积公式：立体图形的表面积也是高三数学中常用的计算要点。
各种立体图形的表面积公式也是不同的。
例如，长方体的表面积公式为S=2(ab+bc+ca)，球体的表面积公式为S=4πr²，圆柱的表面积公式为S=2πrh+2πr²，锥体的表面积公式为S=πr²+πrl，等等。
高中数学必背公式大全高考必考数学公式
高中数学必背公式大全高考必考数学公式1.二次方程的根与系数之间的关系：设二次方程 ax^2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的根为 x1 和 x2，那么有以下关系式：x1+x2=-b/ax1*x2=c/a2.一元二次不等式的求解：设二次不等式 ax^2 + bx + c > 0（a ≠ 0）的解集为 S，那么有以下关系式：a>0时，S={x，x<x1或x>x2}a<0时，S={x，x1<x<x2}3.二次函数的顶点坐标：设二次函数 y = ax^2 + bx + c 的顶点坐标为 (h, k)那么有 h = -b/2a，k = f(h) = (4ac - b^2)/4a4.一次函数的斜率与函数图像的关系：设一次函数 y = mx + c 的斜率为 m，那么有以下关系式：m>0时，函数图像上升；m<0时，函数图像下降；m=0时，函数图像水平。
5.三角函数和三角公式：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinBcos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinBtan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)sin^2A + cos^2A = 1sin²θ + cos²θ = 16.幂函数的性质：若 a > 0 且a ≠ 1，则函数 y = ax^n （n 是整数）的性质如下：n>0时，函数图像单调递增；n<0时，函数图像单调递减；n为偶数时，函数图像关于y轴对称；n为奇数时，函数图像关于原点对称。
7.对数函数的性质：若 a > 0 且a ≠ 1，则函数 y = log_a(x) 的性质如下：a>1时，函数图像单调递增；0<a<1时，函数图像单调递减；函数图像过点(1,0)，且以x轴为渐近线；log_a(a^b) = b8.指数函数的性质：若a>0且a≠1，则函数y=a^x的性质如下：a>1时，函数图像单调递增；0<a<1时，函数图像单调递减；函数图像过点(0,1)，且a^0=1a^m*a^n=a^(m+n)9.排列组合公式：将n个物体排成一列，有以下公式：排列公式：从n个物体中任选m个物体的排列数为A(n,m)=n!/(n-m)!组合公式：从n个物体中任选m个物体的组合数为C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!)10.三角函数的和差化积：sin(A + B) = sinA * cosB + cosA * sinBsin(A - B) = sinA * cosB - cosA * sinBcos(A + B) = cosA * cosB - sinA * sinBcos(A - B) = cosA * cosB + sinA * sinBtan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA * tanB)tan(A - B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA * tanB)这些公式是高中数学中的常用公式，掌握并熟练运用它们对于高考数学考试非常重要。
高中理科数学公式大全(精华版)
高中数学公式大全§01。
集合与简易逻辑1. 元素与集合的关系U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉。
2。
德摩根公式 ()B;C A C B A C U U U ⋃=⋂() B.C A C B A C U U U ⋂=⋃。
3.包含关系A B A A B B =⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆ U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=4．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n–1个;非空的真子集有2n–2个.5。
二次函数的解析式的三种形式（1）一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; （2）顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; （3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠ 9.1011 原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否; 逆命题:与原命题互逆,与逆否命题互否，与否命题互为逆否； 否命题:与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆； 逆否命题:与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否;12。
充要条件（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.（2）必要条件：若q p ⇒,则p 是q 必要条件。
（3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.注：如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件；反之亦然.§02. 函数16.函数的单调性（1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数. （2）设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数;如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数。
高考数学公式理科总结归纳
高考数学公式理科总结归纳高考数学是理科生必考的一门科目，其中公式的掌握和运用对于考试的成绩至关重要。
本文将对高考数学中常见的公式进行总结归纳，帮助理科生们更好地备考。
1. 代数部分1.1 二次函数的顶点公式：在二次函数 y = ax^2 + bx + c 中，顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。
1.2 三角函数的和差化积公式：sin(A±B) = sinAcosB ± cosAsinBcos(A±B) = cosAcosB ∓ sinAsinBtan(A±B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)1.3 指数函数的性质：a^m * a^n = a^(m+n)(a^m)^n = a^(mn)1.4 对数函数的换底公式：logₐb = logcb / logca2. 几何部分2.1 三角形的面积公式：已知三角形的三边长为 a、b、c，则三角形的面积 S 可以由海伦公式计算：S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]，其中 s 为半周长，即 s = (a + b + c) / 2。
2.2 直线与平面的距离公式：已知过点 P(x₀, y₀, z₀) 的直线方程为 l：(x-x₀)/m = (y-y₀)/n = (z-z₀)/p，点Q(x₁, y₁, z₁) 处的直线到平面A(x,y,z)·n+d=0 的距离为：d = |Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)2.3 圆的面积公式：已知圆的半径为 r，则圆的面积 S 为πr^2。
2.4 空间向量的模长公式：设空间向量 a = (x,y,z)，则向量 a 的模长为|a| = √(x^2 + y^2 +z^2)。
3. 概率与统计部分3.1 排列组合公式：排列公式：Aₓⁿ = n! / (n-x)!组合公式：Cₓⁿ = n! / (x!(n-x)!)3.2 二项分布公式：在一次试验中，成功的概率为 p，失败的概率为 q=1-p。