初高中衔接课程(10)

目录

课程说明 (2)

使用说明 (3)

第一讲基本运算问题 (4)

第二讲方程与方程组 (14)

第三讲一次函数与反比例函数 (24)

第四讲二次函数 (35)

第五讲不等式 (46)

第六讲函数的综合应用 (58)

第七讲三角形与四边形 (70)

第八讲锐角三角函数 (79)

第九讲圆 (79)

第十讲高中数学常见的思想方法 (79)

课程说明

课程名称

初高中数学衔接课程课程定位

关注初高中数学教材编排特点；

关注初高中学生的思维发展水平；

总体课程目标通过本课程的学习，能够起到以下效果：

一、弥补基础知识的不足，夯实学习高中数学的良好基础．

二、训练运算能力、空间想象能力、逻辑推理能力和分析问题解决问题的能力．

三、初步掌握高中数学思想方法，形成良好的学习习惯．

课程适用区域

（省或直辖市）

适用使用新课标教学的地区

课程研发理念和思路

高中数学难，难就难在初高中数学无论是在知识的广度和难度上，还是在思维模式和学习方法上，都存在较大的差异，形成了一个“高台阶”．特别在新一轮课程改革后，初中数学的教学要求有所降低，有些学习高中数学所必须具备的基础知识、常用方法和基本能力，在初中的教材中都进行了淡化处理，有的甚至不做要求．《初高中数学衔接课程》旨在帮助即将进入高中的学生弥补知识储备的漏洞，掌握基本的数学思想方法，形成良好学习习惯，提振学习信心，闯过高中数学的第一道坎．

主要内容编号课题课程容量第一讲基本运算问题120分钟第二讲方程与方程组120分钟第三讲一次函数与反比例函120分钟第四讲二次函数120分钟第五讲不等式120分钟第六讲函数的综合应用120分钟第七讲三角形与四边形120分钟第八讲锐角三角函数120分钟第九讲圆120分钟第十讲高中数学常见的思想方法120分钟

使用说明

本课程适合在即将学习高中数学课程的初中毕业生中使用．共分十讲，每讲安排有教学目标、重难点提示、基础知识梳理、主要方法归纳、典型例题精讲和课后巩固练习等栏目．无论在小组课还是一对一授课过程中，老师都可以进行二次开发，更需要根据学生的具体情况进行个性化处理，让我们共同成为精品课程的开发者．

第10讲高中数学常见的思想方法

教学内容

方法一配方法

我们知道，在数学运算中，a a =+0，a a =⨯1，即给任何一个数学式加上0或乘以1仍然等于这个数学式．这就告诉我们，对一个数学式进行加上0，或者乘以1的转换是等价转换．

我们还知道，0=-b b ，

)0(1≠=c c

c

，即0可以表示为任意一个数自身相减，1可以表示为任意一个不为零的数自身相除．于是有，b b a a -+=，)0(≠=c c

ac

a ．

从形式上看，我们将数学式a 化为b b a -+或)0(≠c c

ac

使数学式化繁了，但是，如果当这种

“化繁”后能使问题更加明朗，并最终能化简问题，解决问题，那这种化繁是必要的．同时，正是因为我们习惯于化简，而是这种化繁的方法更具有技巧性．

例如，设

31=--c a c b ，则=--c b b

a ． 将c

b b a --化为c

b c b c a ----)()(，代数式化繁了，但问题却已明朗了． 在处理数学问题的过程中，根据解题需要通过“配”与“凑”这种重要的等价转换手段，使问题趋于明朗，并顺利获解的解题方法，称为配凑法．运用配凑法的目的是使问题获解，因而合理的配凑应该能使我们更好地利用题设条件和已有的知识储备，更加接近我们所需要的结论．

课时数量 2课时（120分钟）

适用的学生水平

☐优秀 ☐中等 ☐基础较差

教学目标

帮助学生初步把握常见的数学解题的通法，抓住配方法、换元法、待定系数法、图像法的本质，为科学有效地学习高中数学做准备．

通过典型例题的分析，常规方法的总结，有限习题的训练，形成相对固定的解题思维链，获取解答无限同类问题的智慧．

教学重点、难点 重点：理解数学方法的本质，有效运用所学方法解决问题 难点：方法的选择与灵活运用 建议教学方法

讲练结合

√

很多情况下，我们需要将一个数学式配出一个完全平方式来，再利用完全平方式的性质找到已知和未知的联系，使问题得到解决．

例如，我们研究函数x

x x f 1

)(+=在0>x 时的最小值． 当0>x 时，22)1

(1)(22+-+=+

=x

x x x x f ＝2)1(2+-

x

x ≥2．

∴当1=x 时，21=)(=)(min f x f ． 这里就是配凑出完全平方式后利用2)1(x

x -

≥0的性质得出结论的．

这种将数学式配凑出完全平方式的方法，称为配方法．配方法是特殊的配凑法．配方法的基本依据是完全平方公式．

常见的配方可以分成为下面两类： （1）形如ab a 22+的二次式的配方．

很明显，在这种情形下，可以通过加上并且减去平方项2b ，把它配成一个完全平方与另一项的和（或差），即2

2

2

2

2

2

)(22b b a b b ab a ab a -+=-++=+．

其实，一般一元二次三项式c bx ax ++2的配方就是这种类型的配方．

.442]442[]

2222[22

2

2

2

2

2

22a b ac a b x a a b ac a b x a a c a b a b x a b x a a c x a b x a c bx ax -+

⎪⎭

⎫ ⎝⎛

+=-+

⎪⎭⎫ ⎝⎛

+=+⎪⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅+=⎪

⎭⎫ ⎝

⎛

++=++

这种形式的配方应用比较广泛．在初中我们曾用此法导出一元二次方程c bx ax ++2

＝0的求根公

式．作二次函数=y c bx ax ++2

的图象和求它的极值时，也都是这样进行配方的．

（2）形如2

2b a +的二次式的配方．