黑龙江省哈尔滨市德强学校2020-2021学年高三上学期期末数学试题

A． B．
C． D．
6．若 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A．若 ，则 ；B．若 ，则 ；
C．若 ，则 ；D．若 ，则
7．已知各项均不为0的等差数列 ，满足 ，数列 为等比数列，且 ，则 （）
A．16B．8C．4D．2
8．某组合体的三视图如图所示，外轮廓均是边长为2的正方形，三视图中的曲线均为 圆周，则该组合体的体积为（）
黑龙江省哈尔滨市德强学校【最新】高三上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 ， ，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．
2．若复数 满足 ，则 （）
A． B． C．2D．4
3．给出如下四个命题：
②命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”，②正确；
③命题“ ， ”的否定是“ ， ”，③正确；
④在 中，“ ”是“ ”的充要条件
，则 故 ； ，则 故 ，④正确
故选：
【点睛】
本题考查了命题的真假判断，涉及且命题，否命题，命题的否定，充要条件，意在考查学生的综合应用能力.
4．D
【分析】
根据向量投影的计算公式，结合夹角范围即得结果.
7．A
【分析】
化简得到 ，计算得到 ，再利用等比数列的性质得到 得到答案.
【详解】
各项均不为0的等差数列 ，
故选：
【点睛】
本题考查了等差数列和等比数列的性质，意在考查学生对于数列性质的综合应用.
8．B
பைடு நூலகம்【分析】
根据题意知：几何体为边长为2的正方体除去八个四八分之一半径为1的球形成的几何体，计算体积得到答案.
21．（1）已知 ， ,求函数 的单调区间和极值；
（2）已知 ，不等式 （其中 为自然对数的底数）对任意的实数 恒成立，求实数 的取值范围.
22．已知直线 过点 ，倾斜角为 ，在以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 的方程为 .
（1）写出直线 的参数方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 与曲线 相交于 两点，设点 ,求 的值.
23．已知函数 ， .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）设关于 的不等式 的解集为 ,若 ，求实数 的取值范围.
参考答案
1．A
【分析】
先计算 ，计算 ， 对比选项得到答案.
【详解】
，则 ，
对比选项知： 正确
故选：
【点睛】
本题考查了集合的运算，属于简单题.
2．C
【分析】
计算得到 ，再计算 得到答案.
①若“ 且 ”为假命题，则 ， 均为假命题
②命题“若 ，则 ”的否命题为“若 ，则 ”
③命题“ ， ”的否定是“ ， ”
④在 中，“ ”是“ ”的充要条件
其中正确的命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
4．已知 ，向量 在向量 上的投影为 ，则 与 的夹角为（）
A． B． C． D．
5．函数 的图象可能是( )
因为 ，故 为奇函数，故选项B、C排除；
又 ， ，故选项D排除；
故选：A
【点睛】
本题考查函数图象的识别、函数奇偶性的判断；考查运算求解能力和识图能力；熟练掌握函数奇偶性的定义和性质是求解本题的关键；属于中档题.
6．D
【分析】
在 中，则 或 ；在 中，则 与 相交、平行或 ；在 中，则 与 相交或平行；由线面平行的性质定理得 ．
【详解】
设 与 的夹角为 ，故向量 在向量 上的投影为 ，因为 ，
所以 ，又因为 ，得 .
故选：D.
【点睛】
本题考查了利用数量积几何意义求向量夹角，属于基础题.
5．A
【分析】
利用函数奇偶性的定义判断函数 的奇偶性，再利用特殊点的函数值符号的正负进行排除即可.
【详解】
由题意知，函数 的定义域为 ，其定义域关于原点对称，
【详解】
由 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，知：
在 中，若 ， ，则 或 ，故 错误；
在 中，若 ， ，则 与 相交、平行或 ，故 错误；
在 中，若 ， ， ，则 与 相交或平行，故 错误；
在 中，若 ， ， ，则由线面平行的性质定理得 ，故 正确．
故选
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．
【详解】
，故
故选：
【点睛】
本题考查了复数的运算和共轭复数，意在考查学生的计算能力.
3．C
【分析】
依次判断每个选项的正误得到： ， 均为假命题或一真一假，①错误；根据否命题和命题否定的定义知②③正确；根据大角对大边知④正确，得到答案.
【详解】
①若“ 且 ”为假命题，则 ， 均为假命题或一真一假，①错误；
A． B． C． D．
12．设 是同一个半径为4的球的球面上四点，在 中， , ,则三棱锥 体积的最大值为（）
A． B． C． D．
二、填空题
13． ______．
14．已知定义域为 的函数 ，满足 ，且当 时， ，则 ____．
15．已知 是 的外心， , ,则 的最小值为____．
16．已知双曲线 的右顶点为 ,且以 为圆心，双曲线虚轴长为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于 两点，若 ，则双曲线 的离心率的取值范围是__________．
（1）求证： 平面 ；
（2）已知 ，当平面 平面 时，求直线 与平面 所成角的正弦值.
20．平面内有两定点 , ,曲线 上任意一点 都满足直线 与直线 的斜率之积为 ，过点 的直线 与椭圆交于 两点，并与 轴交于点 ,直线 与 交于点 .
（1）求曲线 的轨迹方程；
（2）当点 异于 两点时，求证： 为定值.
三、解答题
17．已知等差数列 的公差 ，其前 项和为 ，若 ，且 成等比数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
18．已知函数 ， .
（1）若 ，且 ， ，求 的值；
（2）在 中，角 的对边分别为 ，满足 ， ,求 的取值范围.
19．如图，已知在矩形 中， 为边 的中点，将 沿直线 折起到 （ 平面 ）的位置， 为线段 的中点.
A． B． C． D．
9． 的最小正周期为π，若其图象向左平移 个单位后得到的函数为奇函数则函数 的图象( )
A．关于点 对称B．关于点 对称
C．关于直线 对称D．关于直线 对称
10．已知数列 的通项公式为 ，且 .则实数 的取值范围是（）
A． B． C． D．
11．已知点 分别为抛物线 的顶点和焦点，直线 与抛物线交于 两点，连接 , 并延长，分别交抛物线的准线于点 ，则 （）