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中考复习之——胡不归问题-胡不归原理
中考复习之——胡不归问题-胡不归原理胡不归问题是中考复习中常见的一个难点，许多考生在面对这个问题时感到困惑。
本文将探讨胡不归问题的本质及其解决方法，帮助考生更好地应对中考复习中的挑战。
一、胡不归问题的本质胡不归问题，又称作胡教育问题，是指在课堂学习中，学生对所学知识的了解不够深入，无法准确地掌握归纳总结的规律，从而无法运用知识解决问题或应对考试。
这种问题常见于记忆型的知识学科，如语文、数学、历史等。
主要表现为对于复杂题目的理解不透彻，解题思路混乱，答案无法准确推导等。
胡不归问题的本质源于学习方法的问题。
许多学生在学习过程中注重记忆和机械式的应用，而忽视了对知识的理解和归纳总结。
当遇到稍微复杂一点的问题时，由于缺乏深入理解，学生往往无法抓住关键点，从而产生迷惑和困惑。
二、胡不归原理及应对方法为了解决胡不归问题，我们需要明确胡不归原理。
胡不归原理主要包括以下几个方面：1. 学习方法的优化：解决胡不归问题的首要任务是改善学习方法。
学生应该注重理解知识的内涵和外延，强调归纳和总结的能力。
在学习过程中，可以采用思维导图、提问法等有效的学习方法，帮助加深对知识的理解和掌握。
2. 多练习、多思考：胡不归问题的产生往往和练习不足、思考不深有关。
学生应该加强对知识的练习，通过大量的例题和习题的解答，逐渐熟悉知识点的应用和运用规律。
同时，要注重思考，通过分析解题方法和思路，总结解题的一般规律，提高解题的能力。
3. 请教和交流：在面对胡不归问题时，学生可以主动请教老师或同学，寻求帮助和解答。
与他人的交流可以促进思维的碰撞和触发，帮助学生开阔思路，减少对问题的迷惑。
4. 坚持和耐心：解决胡不归问题需要时间和耐心。
学生应保持良好的学习习惯，坚持每天定时复习，逐步提高自己的学习效率和能力。
同时，要有耐心，不要因一时困难而放弃，相信坚持下去一定能够取得好的成绩。
三、结语胡不归问题在中考复习中是一个常见的难点，但通过合理的学习方法和坚持不懈的努力，我们完全可以克服这个问题。
中考能力提升专题3——“胡不归”模型
中考能力提升专题3——“胡不归”模型一、模型引出【问题提出】如图①，已知点A （6，23），点P 在x 轴的正半轴上，点Q 点从点A 出发沿A -P -O 的路线向原点运动，已知它在第一象限内的速度为每秒1个单位长度，在x 轴上的速度为每秒2个单位长度。
当P 在何处时，点Q 运动到原点所花的时间最短？ 【问题分析】根据题意可得，时间t ＝2OP AP +，问题转化为：在x 轴上确定一点P ，使得2OPAP +的值最小． 【问题解决】如图，过原点O 做射线OB ，使得∠BOP ＝30°. （1）过点P 作PB ⊥OB ，垂足为B ，试说明：2OPAP +=AP +BP ； （2）请在图①中画t 最小时对应的点P 的位置（记为p ＇），并求t 的最小值． 【模型运用】（3）如图②有一条河流，河宽AB =30米，有人在离B 点60米处的C 点发现河对岸A 点处有一小孩掉入水中，这个人马上就去营救，已知这个人在河岸上的跑步速度为6米/秒，在河水中游泳的速度为2米/秒，此人最快能在几秒内赶到？图②图①xyOABP二、模型概括n nPA PB m m +第一步：将所求线段和改写为的形式（<1）;sin ;nPB PA mαα=在的一侧，的异侧，构造一个角度，使得第二步： A 过作第二步所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长即为所求第三步：最小值； 第四步：计算.三、模型应用1.(2018台州仙居县一模）如图1，菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°,边长为3，P 是对角线BD 上的一个动点，则PC BP +21的最小值是（ ） A.3 B.233 C. 3 D.23433+图1图2 图32.（2015无锡二模）如图2，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC=6, ∠ABC=150°,则求PA+PB+PD 的最小值为 。
运动路径为A →D →C,点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍,要使整个运动时间最少,则点D 的坐标应为( )4.在∆ABC 中，BC=2,∠B=300，求2AC+AB 的最小值。
2024年中考数学复习 胡不归最值问题(原卷版+答案解析)
胡不归最值问题【专题说明】胡不归模型问题解题步骤如下；1、将所求线段和改写为“PA +b a PB ”的形式b a <1 ，若b a>1，提取系数，转化为小于1的形式解决。
2、在PB 的一侧，PA 的异侧，构造一个角度α，使得sin α=b a 3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题【模型展示】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使AC V 2+BC V 1的值最小．ACV 2+BC V 1=1V 1BC +V 1V 2AC ，记k =V 1V 2，即求BC +kAC 的最小值．构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．【模型总结】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．【练习】1.如图，AC是圆O的直径，AC=4，弧BA=120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+12BD的最小值为( )A.32B.3C.1+32D.1+32.如图，在ΔABC中，∠A=15°，AB=10，P为AC边上的一个动点(不与A、C重合)，连接BP，则22AP+PB的最小值是( )A.52B.53C.1033 D.83.ΔABC中，∠A=90°，∠B=60°，AB=2，若点D是BC边上的动点，则2AD+DC的最小值为( )A.4B.3+3C.6D.23+34.如图所示，菱形ABCO的边长为5，对角线OB的长为45，P为OB上一动点，则AP+55OP的最小值为( )A.4B.5C.25D.355.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=16，∠ABC=60°，D为弧AC的中点，M是弦AC上任意一点(不与端点A、C重合)，连接DM，则12CM+DM的最小值是( )A.43B.33C.23D.46.在ΔABC中，∠ACB=90°，P为AC上一动点，若BC=4，AC=6，则2BP+AP的最小值为( )A.5B.10C.52D.1027.【问题探究】在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，AB=2．(1)如图1．E为AD的中点，则点E到AB的距离为 34 ；(2)如图2，M为AD上一动点．则12AM+MC的最小值为 ；【问题解决】如图3，A，B两地相距600km，AC是笔直地沿东西方向向两边延伸的一条铁路，点B到AC的距离为360km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍，那么为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，中转站M应修在距A地 km处．8.如图，在菱形ABCD中，AB=AC=10，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM=3，点P为线段BD上的一个动点，则MP+12PB的最小值是 ．9.如图，直角三角形ABC中，∠A=30°，BC=1，AC=3，BD是∠ABC的平分线，点P是线段BD上的动点，求CP+12BP的最小值 ．10.如图，已知RtΔABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，延长BC至D使CD=BC，连接AD，且AD=4，点P为线段AC上一动点，连接BP．则2BP+AP的最小值为 ．11.如图，▱ABCD中，∠DAB=60°，AB=6，BC=2，P为边CD上的一动点，则PB+32PD的最小值等于 ．12.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+4的图象分别与y轴和x轴交于点A和点B．若定点P的坐标为(0，63)，点Q是y轴上任意一点，则12PQ+QB的最小值为 ．13.如图，在ΔABC 中，AB =5，AC =4，sin A =45，BD ⊥AC 交AC 于点D ．点P 为线段BD 上的动点，则PC +35PB 的最小值为 ．14.如图，在ΔABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，那么：(1)AE = 25 ；(2)CD +55BD 的最小值是 ．15.如图，在ΔABC 中，∠A =90°，∠B =60°，AB =2，若D 是BC 边上的动点，则2AD +DC 的最小值为 ．16.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 点，P 为y 轴上的一个动点，已知A (-2,0)、C (0,-23)，且抛物线的对称轴是直线x =1．(1)求此二次函数的解析式；(2)连接PB ，则12PC +PB 的最小值是 ；17.已知：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D(0,-6)，直线y=-13x+2交x轴于点B，与y轴交于点C．(1)求抛物线的函数解析式；(2)在线段OB上有一动点P，直接写出10DP+BP的最小值和此时点P的坐标．18.如图，已知抛物线y=k8(x+2)(x-4)(k为常数，且k>0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=-33x+b与抛物线的另一交点为D．(1)若点D的横坐标为-5，求抛物线的函数表达式；(2)在(1)条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止．当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？19.抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B(-1,0)，C(0,3)．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D 处，且DD =2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D 左侧的一点，MN⎳y轴交直线OD 于点N，连结CN．当55D N+CN的值最小时，求MN的长．20.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，ΔCOD关于CD的对称图形为ΔCED．(1)求证：四边形OCED是菱形；(2)连接AE，若AB=6cm，BC=5cm．①求sin∠EAD的值；②若点P为线段AE上一动点(不与点A重合)，连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间．胡不归最值问题【专题说明】胡不归模型问题解题步骤如下；1、将所求线段和改写为“PA +b a PB ”的形式b a <1 ，若b a>1，提取系数，转化为小于1的形式解决。
2024成都中考数学二轮复习专题：胡不归最值模型提升【含答案】
中考数学几何模型：胡不归最值模型名师点睛拨开云雾开门见山在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA +PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA +kP ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆．【故事介绍】从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？【模型建立】如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使21AC BC V V 的值最小．【问题分析】121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．【问题解决】构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，即CH k AC=，CH =kAC．将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC最小．【模型总结】在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．典题探究启迪思维探究重点例题1.如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +的最小值是_______．【分析】本题关键在于处理“5BD ”，考虑tan A =2，△ABE 三边之比为1:2sin 5ABE ∠，故作DH ⊥AB 交AB 于H 点，则5DH BD =．问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D 、H共线时值最小，此时CD DH CH BE +===．【小结】本题简单在于题目已经将BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH ，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．变式练习>>>1．如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD 上的一动点，则2PB +的最小值等于________．【分析】考虑如何构造“32PD ”，已知∠A =60°，且sin60°=32，故延长AD ，作PH ⊥AD 延长线于H 点，即可得3PH，将问题转化为：求PB +PH 最小值．当B 、P 、H 三点共线时，可得PB +PH 取到最小值，即BH 的长，解直角△ABH 即可得BH 长．例题2.如图，AC 是圆O 的直径，AC ＝4，弧BA ＝120°，点D 是弦AB 上的一个动点，那么OD +BD 的最小值为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵的度数为120°，∴∠C ＝60°，∵AC 是直径，∴∠ABC ＝90°，∴∠A ＝30°，作BK ∥CA ，DE ⊥BK 于E ，OM ⊥BK 于M ，连接OB ．∵BK ∥AC ，∴∠DBE ＝∠BAC ＝30°，在Rt △DBE 中，DE ＝BD ，∴OD +BD ＝OD +DE ，根据垂线段最短可知，当点E 与M 重合时，OD +BD 的值最小，最小值为OM ，∵∠BAO ＝∠ABO ＝30°，∴∠OBM ＝60°，在Rt △OBM 中，∵OB ＝2，∠OBM ＝60°，∴OM ＝OB •sin60°＝，∴DB +OD 的最小值为，故选：B ．变式练习>>>2．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝﹣．【解答】解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠BAP＝∠CAP，∵PA＝PA，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC＝PB，∵MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，∴△GAP是等边三角形，∴PA＝PG，∴PA+PB+PC＝CP+PG+GM，∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，∵AP+BP+CP的最小值为2，∴CM＝2，∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，∴∠MAC＝90°，∴AM＝AC＝2，作BN⊥AC于N．则BN＝AB＝1，AN＝，CN＝2﹣，∴BC＝＝＝﹣．故答案为﹣．例题3.等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC 边在x轴上，BC边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全程的时间最短，则点G的坐标为（0，）．【解答】解：如图作GM⊥AB于M，设电子虫在CG上的速度为v，电子虫走完全全程的时间t＝+＝（+CG），在Rt△AMG中，GM＝AG，∴电子虫走完全全程的时间t＝（GM+CG），当C、G、M共线时，且CM⊥AB时，GM+CG最短，此时CG＝AG＝2OG，易知OG＝•×6＝所以点G的坐标为（0，﹣）．故答案为：（0，﹣）．变式练习>>>3．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）解：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，总时间t＝+＝（+CD），要使t最小，就要+CD最小，因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，易证△ADH∽△ACO，所以＝＝3，所以＝DH，因为△ABC是等腰三角形，所以BD＝CD，所以要+CD最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三点共线就行了．因为△AOC∽△BOD，所以＝，即＝，所以OD＝，所以点D的坐标应为（0，）．例题4.直线y＝与抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B两点（其中点A在点B的左侧），与抛物线的对称轴交于点C，抛物线的顶点为D（点D在点C的下方），设点B的横坐标为t（1）求点C的坐标及线段CD的长（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m与t之间的关系式（不需写出t的取值范围）；（3）若CD＝CB．①求点B的坐标；②在抛物线的对称轴上找一点F，使BF+CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是（3，）．【解答】解：（1）抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的对称轴为x＝3，令x＝3，则有y＝×3＝4，即点C的坐标为（3，4）．抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3的顶点D的坐标为（3，﹣4m+3），∵点D在点C的下方，∴CD＝4﹣（﹣4m+3）＝4m+1．（2）∵点B在直线y＝上，且其横坐标为t，则点B的坐标为（t，t），将点B的坐标代入抛物线y＝（x﹣3）2﹣4m+3中，得：t＝（t﹣3）2﹣4m+3，整理，得：m＝﹣t+3．（3）①依照题意画出图形，如图1所示．过点C作CE∥x轴，过点B作BE∥y轴交CE于点E．∵直线BC的解析式为y＝x，∴BE＝CE，由勾股定理得：BC＝＝CE．∵CD＝CB，∴有4m+1＝（t﹣3）＝（+﹣3），解得：m＝﹣4，或m＝1．当m＝﹣4时，+4×（﹣4）＝﹣＜0，不合适，∴m＝1，此时t＝+＝6，y＝×6＝8．故此时点B的坐标为（6，8）．②作B点关于对称轴的对称点B′，过点F作FM⊥BC于点M，连接B′M、BB交抛物线对称轴于点N，如图2所示．∵直线BC 的解析式为y ＝x ，FM ⊥BC ，∴tan ∠FCM ＝＝，∴sin ∠FCM ＝．∵B 、B ′关于对称轴对称，∴BF ＝B ′F ，∴BF +CF ＝B ′F +FM ．当点B ′、F 、M 三点共线时B ′F +FM 最小．∵B 点坐标为（6，8），抛物线对称轴为x ＝3，∴B ′点的坐标为（0，8）．又∵B ′M ⊥BC ，∴tan ∠NB ′F ＝，∴NF ＝B ′N •tan ∠NB ′F ＝，∴点F 的坐标为（3，）．故答案为：（3，）．变式练习>>>4．如图1，在平面直角坐标系中将y ＝2x +1向下平移3个单位长度得到直线l 1，直线l 1与x 轴交于点C ；直线l 2：y ＝x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，且与直线l 1交于点D ．（1）填空：点A 的坐标为（﹣2，0），点B 的坐标为（0，2）；（2）直线l 1的表达式为y ＝2x ﹣2；（3）在直线l 1上是否存在点E ，使S △AOE ＝2S △ABO ？若存在，则求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．（4）如图2，点P 为线段AD 上一点（不含端点），连接CP ，一动点H 从C 出发，沿线段CP 以每秒1个单位的速度运动到点P ，再沿线段PD 以每秒个单位的速度运动到点D 后停止，求点H 在整个运动过程中所用时间最少时点P 的坐标．【解答】解：（1）直线l 2：y ＝x +2，令y ＝0，则x ＝﹣2，令y ＝0，则x ＝2，故答案为（﹣2，0）、（0，2）；（2）y ＝2x +1向下平移3个单位长度得到直线l 1，则直线l 1的表达式为：y ＝2x ﹣2，故：答案为：y ＝2x ﹣2；（3）∵S △AOE ＝2S △ABO ，∴y E ＝2OB ＝4，将y E ＝4代入l 1的表达式得：4＝2x ﹣2，解得：x ＝3，则点E 的坐标为（3，4）；（4）过点P、C分别作y轴的平行线，分别交过点D作x轴平行线于点H、H′，H′C交BD于点P′，直线l2：y＝x+2，则∠ABO＝45°＝∠HBD，PH＝PD，点H在整个运动过程中所用时间＝+＝PH+PC，当C、P、H在一条直线上时，PH+PC最小，即为CH′＝6，点P坐标（1，3），故：点H在整个运动过程中所用最少时间为6秒，此时点P的坐标（1，3）．例题5.已知抛物线y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），与x轴从左至右依次相交于A、B两点，与y轴相交于点C，经过点A的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一个交点为D．（1）若点D的横坐标为2，求抛物线的函数解析式；（2）若在（1）的条件下，抛物线上存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标；（3）在（1）的条件下，设点E是线段AD上的一点（不含端点），连接BE．一动点Q从点B出发，沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止，问当点E的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？【解答】解：（1）∵y＝a（x+3）（x﹣1），∴点A的坐标为（﹣3，0）、点B两的坐标为（1，0），∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝﹣3，∴y＝﹣x﹣3，当x＝2时，y＝﹣5，则点D的坐标为（2，﹣5），∵点D在抛物线上，∴a（2+3）（2﹣1）＝﹣5，解得，a＝﹣，则抛物线的解析式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；（2）∵A的坐标为（﹣3，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为：y＝x+3，①∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴CP⊥AC，∴设直线CP的解析式为：y＝﹣x+m，把C（0，3）代入得m＝3，∴直线CP的解析式为：y＝﹣x+3，解得，（不合题意，舍去），∴P（﹣，）；②∵△ACP是以AC为直角边的直角三角形，∴AP⊥AC，∴设直线CP的解析式为：y＝﹣x+n，把A（﹣3，0）代入得n＝﹣，∴直线AP的解析式为：y＝﹣x﹣，解y＝得，，∴P（，﹣），综上所述：点P的坐标为（﹣，）或（，﹣）；（3）如图2中，作DM∥x轴交抛物线于M，作DN⊥x轴于N，作EF⊥DM于F，则tan∠DAN＝＝＝，∴∠DAN＝60°，∴∠EDF＝60°，=BE+EF，∴DE＝＝EF，∴Q的运动时间t＝+＝BE+2∴当BE和EF共线时，t最小，则BE⊥DM，此时点E坐标（1，﹣4）．变式练习>>>5．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A（2，0）、B（﹣8，0），交y轴于点C，过点A、B、C三点的⊙M与y轴的另一个交点为D．（1）求此抛物线的表达式及圆心M的坐标；（2）设P为弧BC上任意一点（不与点B，C重合），连接AP交y轴于点N，请问：AP•AN 是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；（3）延长线段BD交抛物线于点E，设点F是线段BE上的任意一点（不含端点），连接AF．动点Q从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到点F，再沿线段FB 以每秒个单位的速度运动到点B后停止，问当点F的坐标是多少时，点Q在整个运动过程中所用时间最少？【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝﹣（x+8）（x﹣2），即y＝﹣x2﹣x+4；当x＝0时，y＝﹣x2﹣x+4＝4，则C（0，4）∴BC＝4，AC＝2，AB＝10，∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，∴AB为直径，∴圆心M点的坐标为（﹣3，0）；（2）以AP•AN为定值．理由如下：如图1，∵AB为直径，∴∠APB＝90°，∵∠APB＝∠AON，∠NAO＝∠BAP，∴△APB∽△AON．∴AN：AB＝AO：AP，∴AN•AP＝AB•AO＝20，所以AP•AN为定值，定值是20；（3）∵AB⊥CD，∴OD＝OC＝4，则D（0，﹣4），易得直线BD的解析式为y＝﹣x﹣4，过F点作FG⊥x轴于G，如图2，∵FG∥OD，∴△BFG∽△BDO，∴＝，即＝＝＝，∴点Q沿线段FB以每秒个单位的速度运动到点B所用时间等于点Q以每秒1个单位的速度运动到G点的时间，∴当AF+FG的值最小时，点Q在整个运动过程中所用时间最少，作∠EBI＝∠ABE，BI交y轴于I，作FH⊥BI于H，则FH＝FG，∴AF+FG＝AF+FH，当点A、F、H共线时，AF+FH的值最小，此时AH⊥BI，如图2，作DK⊥BI，垂足为K，∵BE平分∠ABI，∴DK＝DO＝4，设DI＝m，∵∠DIK＝∠BIO，∴△IDK∽△IBO，∴＝＝＝，∴BI＝2m，在Rt△OBI中，82+（4+m）2＝（2m）2，解得m1＝4（舍去），m2＝，∴I（0，﹣），设直线BI的解析式为y＝kx+n，把B （﹣8，0），I （0，﹣）代入得，解得，∴直线BI 的解析式为y ＝﹣x ﹣，∵AH ⊥BI ，∴直线AH 的解析式可设为y ＝x +q ，把A （2，0）代入得+q ＝0，解得q ＝﹣，∴直线AH 的解析式为y ＝x ﹣，解方程组，解得，∴F （﹣2，﹣3），即当点F 的坐标是（﹣2，﹣3）时，点Q 在整个运动过程中所用时间最少．达标检测领悟提升强化落实1.如图，在平面直角坐标系中，点()3,3A ，点P 为x 轴上的一个动点，当OP AP 21+最小时，点P 的坐标为___________.[答案]：()0,2P 2.如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，点M 为对角线BD （不含点B ）上的一动点，则BM AM 21 的最小值为___________.[答案]：323.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （﹣1，0），B （0，﹣），C （2，0），其对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）点M 为抛物线的对称轴上的一个动点，若平面内存在点N ，使得以A ，B ，M ，N 为顶点的四边形为菱形，求点M 的坐标；（3）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，求PB +PD 的最小值．【解答】解：（1）由题意，解得，∴抛物线解析式为y ＝x 2﹣x ﹣，∵y ＝x 2﹣x ﹣＝（x ﹣）2﹣，∴顶点坐标（，﹣）；（2）设点M 的坐标为（，y ）．∵A （﹣1，0），B （0，﹣），∴AB 2＝1+3＝4．①以A 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时AM ＝AB ，则（+1）2+y 2＝4，解得y ＝±，即此时点M 的坐标为（，）或（，﹣）；②以B 为圆心AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，此时BM ＝AB ，则（）2+（y +）2＝4，解得y ＝﹣+或y ＝﹣﹣，即此时点M的坐标为（，﹣+）或（，﹣﹣）；③线段AB的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时AM＝BM，则（+1）2+y2＝（）2+（y+）2，解得y＝﹣，即此时点M的坐标为（，﹣）．综上所述，满足条件的点M的坐标为（，）或（，﹣）或（，﹣+）或（，﹣﹣）或（，﹣）；（3）如图，连接AB，作DH⊥AB于H，交OB于P，此时PB+PD最小．理由：∵OA＝1，OB＝，∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝30°，∴PH＝PB，∴PB+PD＝PH+PD＝DH，∴此时PB+PD最短（垂线段最短）．在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝，∠HAD＝60°，∴sin60°＝，∴DH＝，∴PB+PD的最小值为．4.【问题提出】如图①，已知海岛A到海岸公路BD的距离为AB的长度，C为公路BD上的酒店，从海岛A到酒店C，先乘船到登陆点D，船速为a，再乘汽车，车速为船速的n 倍，点D选在何处时，所用时间最短？【特例分析】若n＝2，则时间t＝+，当a为定值时，问题转化为：在BC上确定一点D，使得+的值最小．如图②，过点C做射线CM，使得∠BCM＝30°．（1）过点D作DE⊥CM，垂足为E，试说明：DE＝；（2）请在图②中画出所用时间最短的登陆点D′．【问题解决】（3）请你仿照“特例分析”中的相关步骤，解决图①中的问题．（写出具体方案，如相关图形呈现、图形中角所满足的条件、作图的方法等）【综合运用】（4）如图③，抛物线y＝﹣x2+x+3与x轴分别交于A，B两点，与y轴交于点C，E为OB中点，设F为线段BC上一点（不含端点），连接EF．一动点P从E出发，沿线段EF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿着线段FC以每秒个单位的速度运动到C后停止．若点P在整个运动过程中用时最少，请求出最少时间和此时点F的坐标．【解答】解：（1）如图①，∵DE⊥CM，∴∠DEC＝90°，在Rt△BCM中，DE＝CD sin30°＝CD；（2）如图①过点A作AE′⊥CM交BC于点D′，则点D′即为所用时间最短的登陆点；（3）如图②，过点C作射线CM，使得sin∠BCM＝，过点A作AE⊥CM，垂足为E交BC于点D，则点D为为所用时间最短的登陆点；（4）由题意得：t＝＝EF+CF，过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，过点F作GF⊥CD交CD于点G，∠ACB＝∠DCB＝α，sin∠ABC＝＝，则EF＝CF，EF+CF＝EF+FH，故当E、F、H三点共线且与CD垂直时，t最小，将点B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，点E是OB中点，其坐标为：（3，0），当x＝3时，对于y＝﹣x+3，y＝，点F坐标为（3，），t＝＝EF+CF，当H、F、E三点共线时，EF+FH＝OC＝3，即：最小时间为3秒．5.如图，△ABC是等边三角形．（1）如图1，AH⊥BC于H，点P从A点出发，沿高线AH向下移动，以CP为边在CP 的下方作等边三角形CPQ，连接BQ．求∠CBQ的度数；（2）如图2，若点D为△ABC内任意一点，连接DA，DB，DC．证明：以DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形；（3）在（1）的条件下，在P点的移动过程中，设x＝AP+2PC，点Q的运动路径长度为y，当x取最小值时，写出x，y的关系，并说明理由．【解答】（1）解：如图1中∵△ABC是等边三角形，AH⊥BC，∴∠CAP＝∠BAC＝30°，CA＝CB，∠ACB＝60°，∵△PCQ是等边三角形，∴CP＝CQ，∠PCQ＝∠ACB＝60°，∴∠ACP＝∠BCQ，∴△ACP≌△BCQ，∴∠CBQ＝∠CAP＝30°．（2）证明：如图2中，将△ADC绕当A顺时针旋转60°得到△ABQ，连接DQ．∵△ACD≌△ABQ，∴AQ＝AD，CD＝BQ，∵∠DAQ＝60°，∴△ADQ是等边三角形，∴AD＝DQ，∴DA，DB，DC为边一定能组成一个三角形（图中△BDQ）．（3）如图3中，作PE⊥AB于E，CF⊥AB于F交AH于G．∵PE＝PA，∴PA+2PC＝2（PA+PC）＝2（PE+PC），根据垂线段最短可知，当E与F重合，P与G重合时，PA+2PC的值最小，最小值为2CF．由（1）可知△ACP≌△BCQ，可得BQ＝PA，∴PA＝BQ＝AG＝CG＝y，FG＝y，∴x＝2（y+y），∴y＝x．6.如图，已知抛物线y＝（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y＝﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？【解答】解：（1）抛物线y＝（x+2）（x﹣4），令y＝0，解得x＝﹣2或x＝4，∴A（﹣2，0），B（4，0）．∵直线y＝﹣x+b经过点B（4，0），∴﹣×4+b＝0，解得b＝，∴直线BD解析式为：y＝﹣x+．当x＝﹣5时，y＝3，∴D（﹣5，3）．∵点D（﹣5，3）在抛物线y＝（x+2）（x﹣4）上，∴（﹣5+2）（﹣5﹣4）＝3，∴k＝．∴抛物线的函数表达式为：y＝（x+2）（x﹣4）．即y＝x2﹣x﹣．（2）由抛物线解析式，令x＝0，得y＝﹣k，∴C（0，﹣k），OC＝k．因为点P在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP为钝角．因此若两个三角形相似，只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB．①若△ABC∽△APB，则有∠BAC＝∠PAB，如答图2﹣1所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∠BAC＝tan∠PAB，即：，∴y＝x+k．∴P（x，x+k），代入抛物线解析式y＝（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）＝x+k，整理得：x2﹣6x﹣16＝0，解得：x＝8或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（8，5k）．∵△ABC∽△APB，∴，即，解得：k＝．②若△ABC∽△PAB，则有∠ABC＝∠PAB，如答图2﹣2所示．设P（x，y），过点P作PN⊥x轴于点N，则ON＝x，PN＝y．tan∠ABC＝tan∠PAB，即：＝，∴y＝x+．∴P（x，x+），代入抛物线解析式y＝（x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）＝x+，整理得：x2﹣4x﹣12＝0，解得：x＝6或x＝﹣2（与点A重合，舍去），∴P（6，2k）．∵△ABC∽△PAB，＝，∴＝，解得k＝±，∵k＞0，∴k＝，综上所述，k＝或k＝．（3）方法一：如答图3，由（1）知：D（﹣5，3），如答图2﹣2，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN＝3，ON＝5，BN＝4+5＝9，∴tan∠DBA＝＝＝，∴∠DBA＝30°．过点D作DK∥x轴，则∠KDF＝∠DBA＝30°．过点F作FG⊥DK于点G，则FG＝DF．由题意，动点M运动的路径为折线AF+DF，运动时间：t＝AF+DF，∴t＝AF+FG，即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值．由垂线段最短可知，折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．过点A作AH⊥DK于点H，则t＝AH，AH与直线BD的交点，即为所求之F点．最小∵A点横坐标为﹣2，直线BD解析式为：y＝﹣x+，∴y＝﹣×（﹣2）+＝2，∴F（﹣2，2）．综上所述，当点F坐标为（﹣2，2）时，点M在整个运动过程中用时最少．方法二：作DK∥AB，AH⊥DK，AH交直线BD于点F，∵∠DBA＝30°，∴∠BDH＝30°，∴FH＝DF×sin30°＝，∴当且仅当AH⊥DK时，AF+FH最小，点M在整个运动中用时为：t＝，∵l BD：y＝﹣x+，∴F X＝A X＝﹣2，∴F（﹣2，）．7.已如二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象和x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，（1）如图1，P是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合）过P作PQ∥x轴交直线BC于Q，求线段PQ的最大值；（2）如图2，点G为线段OC上一动点，求BG+CG的最小值及此时点G的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，M为直线BG上一动点，N为x轴上一动点，连接AM，MN，求AM+MN的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，即：﹣x2+2x+3＝0，解得：x＝3或﹣1，即点A、B的坐标分比为（﹣1，0）、（3，0），令x＝0，则y＝3，则点C的坐标为（0，3），直线BC过点C（0，3），则直线表达式为：y＝kx+3，将点B坐标代入上式得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1，则直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，设点P的坐标为（m，n），n＝﹣m2+2m+3，则点Q坐标为（3﹣n，n），则PQ＝m﹣（3﹣n）＝﹣m2+3m，∵a＝﹣1＜0，则PQ有最大值，当m＝﹣＝，PQ取得最大值为；（2）过直线CG作∠GCH＝α，使CH⊥GH，当sinα＝时，HG＝GC，则BG+CG的最小值即为HG+GB的最小值，当B、H、G三点共线时，HG+GB最小，则∠GBO＝α，∵sinα＝，则cosα＝，tanα＝，OG＝OB•tanα＝3×＝，即点G（0，），CG＝3﹣＝，而BG＝，BG+CG的最小值为：；（3）作点A关于直线BG的对称点A′，过A′作A′N⊥x轴，交BG于点M，交x轴于点N，则此时AM+MN取得最小值，即为A′N的长度，则：∠GBA＝∠AA′N＝∠OGB＝α，AA′＝2AB sin∠ABG＝2×4×sinα＝，A′N＝A′A cosα＝×＝，即：AM+MN的最小值为．8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，点D、F分别是边AB，BC上的动点，连接CD，过点A作AE⊥CD交BC于点E，垂足为G，连接GF，则GF+FB 的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC 中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4，∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4∴△ABP是等边三角形，∴∠FBH＝30°∴Rt△FHB中，FH＝FB∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值∵AE⊥CD于点G，∴∠AGC＝90°∵O为AC中点，∴OA＝OC＝OG＝AC∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值∵Rt △OPQ 中，∠P ＝60°，OP ＝3，sin ∠P ＝∴OQ ＝OP ＝，∴GH 最小值为故选：C ．9.抛物线263y x x =--+x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ．点P 是直线AC 上方抛物线上一点，PF ⊥x 轴于点F ，PF 与线段AC 交于点E ；将线段OB 沿x 轴左右平移，线段OB 的对应线段是O 1B 1，当12PE EC +的值最大时，求四边形PO 1B 1C 周长的最小值，并求出对应的点O 1的坐标．【分析】根据抛物线解析式得A ()-、B)、C (，直线AC 的解析式为：y =+AC 与x 轴夹角为30°．根据题意考虑，P 在何处时，PE +2EC 取到最大值．过点E 作EH ⊥y 轴交y 轴于H 点，则∠CEH =30°，故CH =2EC ，问题转化为PE +CH 何时取到最小值．考虑到PE 于CH 并无公共端点，故用代数法计算，设2623,63P m m m ⎛-+ ⎝，则33E m m ⎛+ ⎝，33H m ⎛ ⎝，26PE m =--，3CH =-，22=6363PE CH m +=---++∴当PE +EC 的值最大时，x ＝﹣2，此时P （﹣2，），∴PC ＝2，∵O 1B 1＝OB ＝，∴要使四边形PO 1B 1C 周长的最小，即PO 1+B 1C 的值最小，如图2，将点P 向右平移个单位长度得点P 1（﹣，），连接P 1B 1，则PO 1＝P 1B 1，再作点P 1关于x 轴的对称点P 2（﹣，﹣），则P 1B 1＝P 2B 1，∴PO 1+B 1C ＝P 2B 1+B 1C ，∴连接P 2C 与x 轴的交点即为使PO 1+B 1C 的值最小时的点B 1，∴B1（﹣，0），将B1向左平移个单位长度即得点O1，此时PO1+B1C＝P2C＝＝，对应的点O1的坐标为（﹣，0），∴四边形PO1B1C周长的最小值为+3.。
中考复习之――胡不归问题(优选.)
中考复习之——胡不归问题从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B（如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
例1.（2012崇安模拟），如图，ABC∆在平面直角坐标系中，AB=AC，A(0，22），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D的坐标应为-------------------------------------------------（）A.），（20 B. ），（220 C. ），（320 D. ），（42例2.（2016徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-3）、C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D。
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P为y轴上的一个动点，连接PD，则PDPB+21的最小值为。
（3）M（s，t）为抛物线对称轴上的一个动点。
①若平面内存在点N，使得A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有个；②连接MA、MB，若∠AMB不小于60°，求t的取值范围。
A DBC沙砾地带练习巩固：1.（2015无锡二模）如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC=6,∠ABC=150°,则PA+PB+PD 的最小值为 。
2.（2015内江）如图，在ACE ∆中，CA=CE ，∠CAE=30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上。
(完整word版)胡不归问题专题
金牌教育一对一个性化指导授课方案学生学校文汇中学年级九年级学科数学教师王老师日期20180时段次数1课题胡不归问题专题一．选择题（共 2 小题）1．如图，抛物线 y=x2﹣ 2x﹣3 与 x 轴交于 A、B 两点，过 B 的直线交抛物线于 E，且 tan∠EBA= ，有一只蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位 /s 的速度爬到线段 BE 上的点D 处，再以 1.25 单位 /s 的速度沿着 DE 爬到 E点处觅食，则蚂蚁从 A 到 E 的最短时间是s．2．如图，△ ABC在直角坐标系中， AB=AC， A（ 0， 2 ），C（1，0），D 为射线AO 上一点，一动点 P 从 A 出发，运动路径为 A→ D→C，点 P 在 AD 上的运动速度是在 CD上的 3 倍，要使整个运动时间最少，则点 D 的坐标应为（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（ 0，）二．填空题（共 1 小题）3．如图，一条笔挺的公路l 穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5 千米的地方有一居民点 B，A、B 的直线距离是 10 千米．一天，居民点 B 着火，消防员授命欲前去救火．若消防车在公路上的最迅速度是 80 千米 / 小时，而在草地上的最迅速度是 40 千米 / 小时，则消防车在出发后最快经过小时可抵达居民点B．（友谊提示：消防车可从公路的随意地点进入草地行驶．）三．解答题（共 5 小题）4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（﹣ 1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（ 1）求二次函数的表达式及其极点坐标；（ 2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连结PD，则PB+PD 的最小值为；（ 3） M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以 A，B，M，N 为极点的四边形为菱形，则这样的点N 共有个；②连结 MA， MB，若∠ AMB 不小于 60°，求 t 的取值范围．5．如图，在△ ACE中， CA=CE，∠ CAE=30°，⊙ O 经过点 C，且圆的直径 AB 在线段AE 上．（1）试说明 CE是⊙ O 的切线；（2）若△ ACE中 AE 边上的高为 h，试用含 h 的代数式表示⊙ O 的直径 AB；（3）设点 D 是线段 AC 上随意一点（不含端点），连结 OD，当 CD+OD 的最小值为 6 时，求⊙ O 的直径 AB 的长．6．如图，已知抛物线y= （ x+2）（x﹣4）（k 为常数，且 k＞ 0）与 x 轴从左至右挨次交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 y=﹣x+b 与抛物线的另一交点为 D．（1）若点 D 的横坐标为﹣ 5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点 P，使得以 A， B， P 为极点的三角形与△ABC相像，求 k 的值；（ 3）在（ 1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连结 AF，一动点M 从点 A 出发，沿线段 AF以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程顶用时最少？7．（1）如图 1，已知正方形 ABCD的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（ 2）如图 2，已知正方形 ABCD的边长为 9，圆 B 的半径为 6，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（ 3）如图 3，已知菱形 ABCD的边长为 4，∠ B=60°，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆B 上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．8．如图 1，抛物线 y=ax2+（a+3） x+3（a≠ 0）与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 E（m， 0）（0＜m＜ 4），过点 E 作 x 轴的垂线交直线AB 于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PM⊥ AB 于点M．（ 1）求 a 的值和直线 AB 的函数表达式；（ 2）设△ PMN 的周长为 C1，△ AEN的周长为 C2，若=，求m的值；（3）如图 2，在（ 2）条件下，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转获得 OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连结 E′A、E′B，求 E′A+ E′B的最小值．2018 年 05 月 25 日 187****4779 的初中数学组卷参照答案与试题解析一．选择题（共 2 小题）1．如图，抛物线 y=x2﹣ 2x﹣3 与 x 轴交于 A、B 两点，过 B 的直线交抛物线于 E，且 tan∠EBA= ，有一只蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位 /s 的速度爬到线段 BE 上的点 D 处，再以 1.25 单位 /s 的速度沿着 DE 爬到 E点处觅食，则蚂蚁从 A 到 E 的最短时间是s．【解析】过点 E 作 x 轴的平行线，再过 D 点作 y 轴的平行线，两线订交于点 H，如图，利用平行线的性质和三角函数的定义获得 tan∠HED=tan∠EBA= = ，设DH=4m， EH=3m，则 DE=5m，则可判断蚂蚁从 D 爬到 E 点所用的时间等于从D 爬到 H 点所用的时间相等，于是获得蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位 /s 的速度爬到线段 BE上的点 D 处，再以 1.25 单位 /s 的速度沿着 DE 爬到 E 点所用时间等于它从A 以 1 单位 /s 的速度爬到 D 点，再从 D 点以 1 单位 /s 速度爬到 H 点的时间，利用两点之间线段最短获得 AD+DH 的最小值为 AQ 的长，接着求出 A 点和 B 点坐标，再利用待定系数法求出BE的解析式，此后解由直线解析式和抛物线解析式所构成的方程组确立 E 点坐标，从而获得 AQ 的长，此后计算爬行的时间．【解答】解：过点 E 作 x 轴的平行线，再过 D 点作 y 轴的平行线，两线订交于点H，如图，∵EH∥AB，∴∠HEB=∠ABE，∴ tan∠ HED=tan∠ EBA= = ，设DH=4m，EH=3m，则 DE=5m，∴蚂蚁从 D 爬到 E 点的时间 ==4（s）若设蚂蚁从 D 爬到 H 点的速度为 1 单位 /s，则蚂蚁从 D 爬到 H 点的时间 = =4 （ s），∴蚂蚁从 D 爬到 E 点所用的时间等于从 D 爬到 H 点所用的时间相等，∴蚂蚁从 A 出发，先以 1 单位 /s 的速度爬到线段 BE上的点 D 处，再以 1.25 单位/s 的速度沿着 DE 爬到 E 点所用时间等于它从 A 以 1 单位 /s 的速度爬到 D 点，再从D 点以 1 单位 /s 速度爬到 H 点的时间，作 AG⊥EH于 G，则 AD+DH≥AH≥AG，∴ AD+DH 的最小值为 AQ 的长，当y=0 时， x2﹣2x﹣ 3=0，解得 x1=﹣1，x2=3，则 A（﹣ 1，0），B（3，0），直线 BE交 y 轴于 C 点，如图，在 Rt△OBC中，∵ tan∠CBO= = ，∴OC=4，则 C（0，4），设直线 BE的解析式为 y=kx+b，把 B（3，0）， C（ 0， 4）代入得，解得，∴直线 BE的解析式为 y=﹣x+4，解方程组得或，则E点坐标为（﹣，），∴AQ= ，∴蚂蚁从 A 爬到 G 点的时间 ==（s），即蚂蚁从 A 到 E 的最短时间为s．故答案为．【谈论】此题察看了二次函数与x 轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a， b，c 是常数， a≠0）与 x 轴的交点坐标化为解对于x 的一元二次方程．解决此题的重点是确立蚂蚁在DH 和 DE上爬行的时间相等．2．如图，△ ABC在直角坐标系中， AB=AC， A（ 0， 2 ），C（1，0），D 为射线AO 上一点，一动点 P 从 A 出发，运动路径为 A→ D→C，点 P 在 AD 上的运动速度是在 CD上的 3 倍，要使整个运动时间最少，则点 D 的坐标应为（）A．（0，） B．（0，） C．（0，） D．（ 0，）【解析】假定 P 在 AD 的速度为 3，在 CD的速度为 1，第一表示出总的时间，再依据根的鉴别式求出 t 的取值范围，从而求出 D 的坐标．【解答】解：假定 P 在 AD 的速度为 3，在 CD的速度为 1，设 D 坐标为（ 0，y），则 AD=2﹣y，CD==，∴设 t=+，等式变形为： t+y﹣=，则 t 的最小值时考虑 y 的取值即可，∴ t2+（ y﹣）t+（ y﹣）2=y2 +1，∴ y2+（﹣t）y﹣t 2+t+1=0，△ =（﹣t）2﹣4×（﹣t2+t+1）≥ 0，∴ t 的最小值为，∴y= ，∴点 D 的坐标为（ 0，），应选 D．解法二：假定 P 在 AD 的速度为 3V，在 CD的速度为 1V，总时间 t= + =（+CD），要使 t 最小，就要+CD最小，由于 AB=AC=3，过点 B 作 BH⊥AC 交 AC 于点 H，交 OA 于 D，易证△ ADH∽△ ACO，所以= =3，所以=DH，由于△ ABC 是等腰三角形，所以BD=CD，所以要+CD最小，就是要 DH+BD 最小，就要 B、 D、H 三点共线就行了．由于△AOC ∽△ BOD，所以=，即=，所以OD=，所以点 D 的坐标应为（ 0，）．【谈论】此题察看了勾股定理的运用、一元二次方程根的鉴别式（△=b2﹣ 4ac）判断方程的根的状况以及坐标于图形的性质题目的综合性较强，难度较大．二．填空题（共 1 小题）3．如图，一条笔挺的公路l 穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5 千米的地方有一居民点 B，A、B 的直线距离是 10 千米．一天，居民点 B 着火，消防员授命欲前去救火．若消防车在公路上的最迅速度是 80 千米 / 小时，而在草地上的最迅速度是40 千米 / 小时，则消防车在出发后最快经过小时可抵达居民点 B．（友谊提示：消防车可从公路的随意地点进入草地行驶．）【解析】要求所用行车时间最短，就要计算好行驶的路线，能够设在公路上行驶x千米，依据题意，找出能够运用勾股定理的直角三角形，运用勾股定理求解．【解答】解：以以以下图，公路上行驶的路线是 AD，草地上行驶的路线是 DB，设AD 的行程为 x 千米，由已知条件 AB=10千米，BC=5千米，BC⊥AC，知AC==15 千米．则CD=AC﹣AD=（15﹣x）千米，BD==km，设走的行驶时间为y，则y= +．整理为对于 x 的一元二次方程得3x2 +（160y﹣120）x﹣6400y2+1200=0．由于 x 必然存在，所以△≥ 0．即（160y﹣120）2﹣ 4× 3×（ 1200﹣ 6400y2）≥0．化简得 102400y2﹣38400y≥0．解得 y≥，即消防车在出发后最快经过小时可抵达居民点B．故答案为：．【谈论】此题察看的是在直角三角形中勾股定理的运用，画出图形建立直角三角形是重点，依据一元二次不等式的求解，能够计算出解的最小值，以便求出最短行程．三．解答题（共 5 小题）4．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（﹣ 1，0），B（0，﹣），C（2，0），其对称轴与x轴交于点D（ 1）求二次函数的表达式及其极点坐标；（ 2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连结PD，则PB+PD 的最小值为；（ 3） M（x，t）为抛物线对称轴上一动点①若平面内存在点N，使得以 A，B，M，N 为极点的四边形为菱形，则这样的点N 共有5个；②连结 MA， MB，若∠ AMB 不小于 60°，求 t 的取值范围．【解析】（1）利用待定系数法转变为解方程组解决问题．（ 2）如图 1 中，连结 AB，作 DH⊥AB 于 H，交 OB 于 P，此时 PB+PD 最小．最小值就是线段 DH，求出 DH 即可．（3）①先在对称轴上找寻知足△ABM 是等腰三角形的点M，由此即可解决问题．②作 AB 的中垂线与 y 轴交于点 E，连结 EA，则∠ AEB=120°，以 E 为圆心，EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点 F、G．则∠ AFB=∠AGB=60°，从而线段FG上的点知足题意，求出 F、G 的坐标即可解决问题．【解答】解：（1）由题意解得，∴抛物线解析式为y= x2﹣x﹣，∵ y= x2﹣x﹣=（x﹣）2﹣，∴极点坐标（，﹣）．（ 2）如图 1 中，连结 AB，作 DH⊥AB 于 H，交 OB 于 P，此时PB+PD 最小．原因：∵ OA=1， OB=，∴tan∠ ABO= = ，∴∠ ABO=30°，∴PH= PB，∴PB+PD=PH+PD=DH，∴此时PB+PD 最短（垂线段最短）．在Rt△ADH 中，∵∠ AHD=90°，AD= ，∠ HAD=60°，∴sin60 °= ，∴DH=，∴PB+PD 的最小值为．故答案为．（3）①以 A 为圆心 AB 为半径画弧与对称轴有两个交点，以 B 为圆心 AB 为半径画弧与对称轴也有两个交点，线段 AB 的垂直均分线与对称轴有一个交点，所以知足条件的点 M 有 5 个，即知足条件的点 N 也有 5 个，故答案为 5．②如图， Rt△AOB 中，∵ tan∠ ABO= =，∴∠ ABO=30°，作 AB 的中垂线与 y 轴交于点 E，连结 EA，则∠ AEB=120°，以E 为圆心， EB为半径作圆，与抛物线对称轴交于点 F、G．则∠ AFB=∠AGB=60°，从而线段 FG上的点知足题意，∵ EB==，∴ OE=OB﹣ EB=，2 2∵F（，t ），EF =EB，∴（）2+（t+）2=（）2，解得 t=或，故 F（，），G（，），∴ t 的取值范围≤ t≤【谈论】此题察看二次函数综合题、锐角三角函数、最短问题、圆等知识，解题的重点是掌握待定系数法确立函数解析式，学会利用垂线段最短解决实指责题中的最短问题，学会增添协助线，结构圆解决角度问题，属于中考压轴题．5．如图，在△ ACE中， CA=CE，∠ CAE=30°，⊙ O 经过点 C，且圆的直径 AB 在线段AE 上．（1）试说明 CE是⊙ O 的切线；（2）若△ ACE中 AE 边上的高为 h，试用含 h 的代数式表示⊙ O 的直径 AB；（3）设点 D 是线段 AC 上随意一点（不含端点），连结 OD，当 CD+OD 的最小值为 6 时，求⊙ O 的直径 AB 的长．【解析】（1）连结 OC，如图 1，要证 CE是⊙ O 的切线，只要证到∠ OCE=90°即可；（2）过点 C 作 CH⊥AB 于 H，连结 OC，如图 2，在 Rt△OHC中运用三角函数即可解决问题；（3）作 OF 均分∠ AOC，交⊙ O 于 F，连结 AF、CF、DF，如图 3，易证四边形 AOCF 是菱形，依据对称性可得DF=DO．过点 D 作 DH⊥ OC于 H，易得 DH= DC，从而有CD+OD=DH+FD．依据两点之间线段最短可得：当 F、D、H 三点共线时， DH+FD （即CD+OD）最小，此后在 Rt△ OHF中运用三角函数即可解决问题．【解答】解：（1）连结 OC，如图 1，∵CA=CE，∠ CAE=30°，∴∠ E=∠CAE=30°，∠ COE=2∠ A=60°，∴∠ OCE=90°，∴ CE是⊙ O 的切线；（ 2）过点 C 作 CH⊥AB 于 H，连结 OC，如图 2，由题可得 CH=h．在Rt△OHC中， CH=OC?sin∠COH，∴ h=OC?sin60°= OC，∴ OC= =h，∴ AB=2OC= h；（ 3）作 OF 均分∠ AOC，交⊙ O 于 F，连结 AF、 CF、DF，如图 3，则∠ AOF=∠COF= ∠AOC= （ 180°﹣60°）=60°．∵OA=OF=OC，∴△ AOF、△ COF是等边三角形，∴AF=AO=OC=FC，∴四边形 AOCF是菱形，∴依据对称性可得 DF=DO．过点 D 作 DH⊥OC于 H，∵ OA=OC，∴∠ OCA=∠ OAC=30°，∴DH=DC?sin∠DCH=DC?sin30°=DC，∴CD+OD=DH+FD．依据两点之间线段最短可得：当 F、D、H 三点共线时， DH+FD（即CD+OD）最小，此时 FH=OF?sin∠FOH=OF=6，则OF=4 ， AB=2OF=8 ．∴当CD+OD 的最小值为 6 时，⊙ O 的直径 AB 的长为 8．【谈论】此题主要察看了圆周角定理、切线的判断、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特别角的三角函数值、等边三角形的判断与性质、菱形的判断与性质、两点之间线段最短等知识，把 CD+OD 转变为 DH+FD 是解决第（ 3）小题的重点．6．如图，已知抛物线y= （ x+2）（x﹣4）（k 为常数，且 k＞ 0）与 x 轴从左至右挨次交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 y=﹣x+b 与抛物线的另一交点为 D．（1）若点 D 的横坐标为﹣ 5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点 P，使得以 A， B， P 为极点的三角形与△ABC相像，求 k 的值；（ 3）在（ 1）的条件下，设 F 为线段 BD 上一点（不含端点），连结 AF，一动点M 从点 A 出发，沿线段 AF以每秒 1 个单位的速度运动到 F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程顶用时最少？【解析】（1）第一求出点 A、B 坐标，此后求出直线 BD 的解析式，求得点 D 坐标，代入抛物线解析式，求得 k 的值；（ 2）由于点 P 在第一象限内的抛物线上，所以∠ABP 为钝角．所以若两个三角形相像，只可能是△ ABC∽△ APB或△ ABC∽△ PAB．如答图 2，依据以上两种状况进行分类谈论，分别计算；（ 3）由题意，动点 M 运动的路径为折线AF+DF，运动时间： t=AF+DF．如答图3，作协助线，将 AF+ DF 转变为 AF+FG；再由垂线段最短，获得垂线段 AH 与直线 BD 的交点，即为所求的 F 点．【解答】解：（1）抛物线 y=（x+2）（x﹣4），令y=0，解得 x=﹣ 2 或 x=4，∴ A（﹣ 2，0）， B（ 4， 0）．∵直线 y=﹣ x+b 经过点 B（ 4，0），∴﹣×4+b=0，解得 b=，∴直线 BD解析式为： y=﹣x+．当 x=﹣5 时， y=3，∴ D（﹣ 5，3 ）．∵点 D（﹣ 5， 3）在抛物线 y= （x+2）（x﹣4）上，∴（﹣ 5+2）（﹣ 5﹣ 4） =3，∴ k=．∴抛物线的函数表达式为： y=（x+2）（x﹣4）．即 y=x2﹣x﹣．（2）由抛物线解析式，令 x=0，得 y=﹣k，∴ C（ 0，﹣ k），OC=k．由于点 P 在第一象限内的抛物线上，所以∠ ABP为钝角．所以若两个三角形相像，只可能是△ ABC∽△ APB 或△ ABC∽△ PAB．①若△ ABC∽△ APB，则有∠ BAC=∠PAB，如答图 2﹣1 所示．设 P（x， y），过点 P 作 PN⊥ x 轴于点 N，则 ON=x，PN=y．tan∠BAC=tan∠PAB，即：，∴y= x+k．∴P（ x， x+k），代入抛物线解析式 y= （ x+2）（ x﹣4），得（x+2）（x﹣4）=x+k，整理得： x2﹣6x﹣ 16=0，解得： x=8 或 x=﹣ 2（与点 A 重合，舍去），∴P（ 8，5k）．∵△ABC∽△ APB，∴，即，解得： k=．②若△ ABC∽△ PAB，则有∠ ABC=∠PAB，如答图 2﹣2 所示．设P（x， y），过点 P 作 PN⊥ x 轴于点 N，则 ON=x，PN=y．tan∠ABC=tan∠PAB，即：=，∴y= x+ ．∴P（ x， x+ ），代入抛物线解析式 y= （x+2）（x﹣4），得（x+2）（x﹣4）=x+，整理得：x2﹣4x﹣12=0，解得： x=6 或 x=﹣ 2（与点 A 重合，舍去），∴P（ 6，2k）．∵△ ABC∽△19=，∴=，解得 k=±，∵ k＞ 0，∴ k=，综上所述， k=或k=．（ 3）方法一：如答图 3，由（ 1）知： D（﹣ 5，3），如答图 2﹣ 2，过点 D 作 DN⊥x 轴于点 N，则 DN=3，ON=5，BN=4+5=9，∴tan∠DBA= == ，∴∠ DBA=30°．过点 D 作 DK∥x 轴，则∠ KDF=∠DBA=30°．过点 F 作 FG⊥ DK于点 G，则 FG= DF．由题意，动点 M 运动的路径为折线AF+DF，运动时间： t=AF+DF，∴t=AF+FG，即运动的时间值等于折线 AF+FG的长度值．由垂线段最短可知，折线 AF+FG的长度的最小值为 DK与 x 轴之间的垂线段．过点 A 作 AH⊥DK 于点 H，则 t 最小 =AH，AH 与直线 BD 的交点，即为所求之 F 点．∵ A 点横坐标为﹣ 2，直线 BD 解析式为： y=﹣x+，∴ y=﹣×（﹣2）+=2，∴ F（﹣ 2， 2）．综上所述，当点 F 坐标为（﹣ 2，2）时，点M在整个运动过程顶用时最少．方法二：作DK∥ AB， AH⊥DK，AH 交直线 BD 于点 F，∵∠ DBA=30°，∴∠ BDH=30°，∴ FH=DF×sin30 °= ，∴当且仅当 AH⊥DK 时， AF+FH 最小，点 M 在整个运动顶用时为： t=，∵ l BD：y=﹣x+，∴F X=A X=﹣ 2，∴F（﹣ 2，）．【谈论】此题是二次函数压轴题，难度很大．第（ 2）问中需要分类谈论，防范漏解；在计算过程中，解析式中含有未知数 k，增添了计算的难度，注意解题过程中的技巧；第（3）问中，运用了转变思想使得试题难度大大降低，需要仔细意会．7．（1）如图 1，已知正方形 ABCD的边长为 4，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆 B 上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（ 2）如图 2，已知正方形 ABCD的边长为 9，圆 B 的半径为 6，点 P 是圆 B 上的一个动点，那么 PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（ 3）如图 3，已知菱形 ABCD的边长为 4，∠ B=60°，圆 B 的半径为 2，点 P 是圆B 上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．【解析】（1）如图 1 中，在 BC上取一点 G，使得 BG=1．由△ PBG∽△ CBP，推出= = ，推出 PG= PC，推出 PD+ PC=DP+PG，由 DP+PG≥DG，当 D、G、P 共线时， PD+ PC 的值最小，最小值为DG==5．由 PD﹣PC=PD﹣PG≤ DG，当点 P 在 DG 的延伸线上时， PD﹣PC的值最大（如图 2 中），最大值为DG=5；（2）如图 3 中，在 BC上取一点 G，使得 BG=4．解法近似（ 1）；（3）如图 4 中，在 BC上取一点 G，使得 BG=4，作 DF⊥BC于 F．解法近似（ 1）；【解答】解：（1）如图 1 中，在 BC上取一点 G，使得 BG=1．∵= =2， = =2，∴= ，∵∠ PBG=∠PBC，∴△ PBG∽△ CBP，∴= = ，∴PG= PC，∴PD+ PC=DP+PG，∵DP+PG≥ DG，∴当 D、G、 P共线时， PD+ PC的值最小，最小值为 DG==5．∵PD﹣ PC=PD﹣PG≤DG，当点 P 在 DG 的延伸线上时， PD﹣P C的值最大（如图 2 中），最大值为 DG=5．（ 2）如图 3 中，在 BC上取一点 G，使得 BG=4．∵= = ， = = ，∴= ，∵∠ PBG=∠PBC，∴△ PBG∽△ CBP，∴= = ，∴PG= PC，∴PD+ PC=DP+PG，∵DP+PG≥ DG，∴当 D、G、 P共线时， PD+ PC的值最小，最小值为DG==．∵PD﹣ PC=PD﹣PG≤DG，当点 P 在 DG 的延伸线上时， PD﹣PC的值最大，最大值为DG=．故答案为，（ 3）如图 4 中，在 BC上取一点 G，使得 BG=4，作 DF⊥ BC于 F．∵= =2， = =2，∴= ，∵∠ PBG=∠PBC，∴△ PBG∽△ CBP，∴= = ，∴PG= PC，∴PD+ PC=DP+PG，∵DP+PG≥ DG，∴当 D、G、 P共线时， PD+ PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠ DCF=60°， CD=4，∴ DF=CD?sin60°=2 ，CF=2，在 Rt△GDF中， DG==∵PD﹣ PC=PD﹣PG≤DG，当点 P 在 DG 的延伸线上时，PD﹣PC的值最大（如图 2 中），最大值为 DG=．故答案为，．【谈论】此题察看圆综合题、正方形的性质、菱形的性质、相像三角形的判断和性质、两点之间线段最短等知识，解题的重点是学会建立相像三角形解决问题，学会用转变的思想思虑问题，把问题转变为两点之间线段最短解决，题目比较难，属于中考压轴题．8．如图 1，抛物线 y=ax2+（a+3） x+3（a≠ 0）与 x 轴交于点 A（4，0），与 y 轴交于点 B，在 x 轴上有一动点 E（m， 0）（0＜m＜ 4），过点 E 作 x 轴的垂线交直线AB 于点 N，交抛物线于点 P，过点 P 作 PM⊥ AB 于点M．（ 1）求 a 的值和直线 AB 的函数表达式；（ 2）设△ PMN 的周长为 C1，△ AEN的周长为 C2，若=，求m的值；（3）如图 2，在（ 2）条件下，将线段 OE 绕点 O 逆时针旋转获得 OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连结 E′A、E′B，求 E′A+ E′B的最小值．【解析】（1）令 y=0，求出抛物线与 x 轴交点，列出方程即可求出 a，依据待定系数法能够确立直线 AB 解析式．（2）由△ PNM∽△ ANE，推出 = ，列出方程即可解决问题．（3）在 y 轴上取一点 M 使得 OM′=，结构相像三角形，能够证明 AM′就是E′A+ E′B的最小值．【解答】解：（1）令 y=0，则 ax2+（a+3）x+3=0，∴ x=﹣1 或﹣，∵抛物线 y=ax2+（ a+3）x+3（a≠0）与 x 轴交于点 A（4，0），∴﹣=4，∴a=﹣．∵ A（ 4， 0），B（0，3），设直线 AB 解析式为 y=kx+b，则，解得，∴直线 AB 解析式为 y=﹣x+3．（ 2）如图 1 中，∵PM⊥ AB， PE⊥OA，∴∠ PMN=∠ AEN，∵∠ PNM=∠ANE，∴△ PNM∽△ ANE，∴= ，∵NE∥OB，∴ = ，∴ AN= （4﹣m），∵抛物线解析式为y=﹣x2 + x+3，∴PN=﹣ m2 + m+3﹣（﹣ m+3）=﹣ m2 +3m，∴=，解得 m=2．（ 3）如图 2 中，在 y 轴上取一点 M′使得 OM′=，连结 AM′，在 AM′上取一点E′使得 OE′ =OE．∵OE′=2，OM′?OB= × 3=4，2′，∴ OE′=OM ?OB∴=，∵∠ BOE′=∠ M′OE，′∴△ M′OE′∽△ E′OB，∴== ，∴M′E′=BE′，∴AE′+ BE′=AE+E′′M′=AM，′此时 AE′+ BE′最小（两点间线段最短， A、 M′、E′共线时），最小值 =AM′==．【谈论】此题察看相像三角形的判断和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的重点是结构相像三角形，找到线段 AM′就是 E′A+ E′B的最小值，属于中考压轴题．。
中考专题-胡不归问题
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，
便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻
位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当
赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居
告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？ B
sin ABE 5 ，故作 DH⊥AB 交 AB 于 H 点，则 DH 5 BD ．
5
5
A
A
E H
D
B
C
H
E
D
B
C
问题转化为 CD+DH 最小值，故 C、D、H 共线时值最小，此时CD DH CH BE 4 5 ．
【小结】本题简单在于题目已经将 BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线 DH ，即可解决问题，若稍 作改变，将图形改造如下：
…”（“胡”同“何”）
砂石地 V1 V1
驿道
A
V2 C
而如果先沿着驿道AC先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？
【模型建立】
如图，一动点 P 在直线 MN 外的运动速度为 V1，在直线 MN 上运动的速度为 V2，且 V1<V2，
A、B 为定点，点 C 在直线 MN 上，确定点 C 的位置使 AC BC 的值最小．
E D
B
C
则需自行构造α ，如下图，这一步正是 解决“ 胡不归” 问题关键所在．
A
E D
H
E
D
B
C
α
5
sinα= B
C
5
典例精讲
例1．1.如图，正方形ABCD的对角线BD上有一点P，AB=6，则 2PA+PB的最小值为_3__2__+_3_ 6
初三中考一轮复习(25)胡不归问题 题型分类 含答案(全面 非常好)
教学主题胡不归问题教学目标重要知识点1.2.3.易错点教学过程点 P 在直线上运动----“胡不归”问题如图1-1-1 所示，已知s in∠MBN=k,点P为角∠MBN 其中一边B M 上的一个动点，点A在射线BM、BN 的同侧，连接A P,则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定图1-1-1 图1-1-2 图1-1-31、问题常用原理：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；2、法则：首先判断是否为胡不归问题，①系数不为 1 的线段的和②动点在直线上运动。
第一步：整理系数，使得系数小于 1；（大于 1 时提取系数）第二步：确定两定点，一动点，转化系数不为 1 的线段；第三步：过要转化线段的固定顶点作角，使得这个角的正弦值为系数第四步：从另一个定点出发向构造的角的一边作垂线段，垂线段的值即为最小值。
从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A→B （如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
1．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E，且tan∠EBA=，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间是s．2．如图，△ABC在直角坐标系中，AB=AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）A．（0，）B．（0，） C．（0，） D．（0，）过点D 作DE垂直于AC于点E，AD=3DE，运动时间为DE+CD，根据对称性最小时，直接由点C向AB做垂线，交Y轴点即为D3．如图，一条笔直的公路l穿过草原，公路边有一消防站A，距离公路5千米的地方有一居民点B，A、B的直线距离是10千米．一天，居民点B着火，消防员受命欲前往救火．若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过小时可到达居民点B．（友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．）【答案】8分之34、如图，菱形ABCD的对角线AC上有一动点P，BC=6, ABC=150°,则PA+PB+PD的最小值为。
中考数学复习之胡不归问题
中考数学复习之胡不归问题中考数学复习之胡不归问题中考数学复习是一个关键的阶段，学生需要将过去几年的数学知识进行梳理和复习，以便在中考中取得好成绩。
在复习过程中，有一种问题被称为“胡不归问题”，这类问题通常涉及了速度、时间和距离等概念，需要学生掌握一定的解题技巧和方法。
“胡不归问题”是一种经典的数学问题，通常涉及到运动学中的速度、时间和距离等概念。
这类问题的基本思路是通过已知的速度、时间和距离等量之间的关系，来求解未知量。
在求解过程中，需要学生掌握一定的代数知识和方程构建能力。
针对“胡不归问题”，学生需要掌握以下解题步骤和方法：1、仔细审题，理解题意。
在理解题意的过程中，需要明确已知量和未知量，以及它们之间的关系。
2、根据题意构建方程。
通过分析题意，确定方程的形式和内容，并列出方程。
3、解方程。
通过代数方法或计算工具，解出未知量。
4、验证答案。
根据题意和已知条件，验证所得答案是否合理。
在复习过程中，学生可以通过做一些相关的练习题来加深对“胡不归问题”的理解和掌握。
也可以通过向老师或同学请教，解决自己在解题过程中遇到的问题和困难。
总之，“胡不归问题”是中考数学复习中的一个重要问题，学生需要认真掌握其解题技巧和方法。
在解题过程中，需要审题仔细、构建方程准确、解方程无误、验证答案严谨。
通过不断的练习和思考，相信学生一定可以在中考数学中取得好成绩。
中考数学最值—胡不归问题中考数学最值问题一直是同学们关注的焦点，而胡不归问题又是其中的一种常见类型。
本文将结合实例，详细解析胡不归问题的解决方法，帮助大家更好地掌握这一难点。
首先，需要明确胡不归问题的基本形式。
一般情况下，胡不归问题可以转化为以下形式：在一条直线上有若干个点，求这些点关于某一点对称的点中最远（或最近）的点的距离。
解决这类问题的关键在于如何找到对称点，以及如何运用勾股定理等数学知识进行计算。
下面，我们通过具体例子来解析胡不归问题的解决方法。
例如，在中考数学最值问题中，经常会出现求正六边形内一点到六边形的六条边的距离之和的最小值。
中考试题选编六——胡不归问题
中考试题选编六—胡不归问题从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A →B （如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
例1.（2012崇安模拟），如图，ABC ∆在平面直角坐标系中，AB=AC ，A(0，22），C （1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为A →D →C ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D 的坐标应为-------------------------------------------------（ ）A.），（20B. ），（220 C. ），（320 D. ），（420 例2.（2016徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （-1，0），B （0，-3）、C （2，0），其中对称轴与x 轴交于点D 。
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标； （2）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则PD PB +21的最小值为 。
（3）M （s ，t ）为抛物线对称轴上的一个动点。
① 若平面内存在点N ，使得A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有 个；② 连接MA 、MB ，若∠AMB 不小于60°，求t 的取值范围。
练习巩固： 1.（2015无锡二模）如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC=6,∠ABC=150°,则PA+PB+PD 的最小值为 。
中考复习之——胡不归问题
中考复习之——胡不归问题从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径A →B （如图所示），而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失声痛哭。
邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”。
这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。
例1.（2012崇安模拟），如图，ABC ∆在平面直角坐标系中，AB=AC ，A(0，22），C （1，0），D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为A →D →C ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D 的坐标应为-------------------------------------------------（ ）A.），（20B. ），（220C. ），（320D. ），（420例2.（2016徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过点A （-1，0），B （0，-3）、C （2，0），其中对称轴与x 轴交于点D 。
（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若P 为y 轴上的一个动点，连接PD ，则PD PB +21的最小值为 。
（3）M （s ，t ）为抛物线对称轴上的一个动点。
① 若平面内存在点N ，使得A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有 个； ② 连接MA 、MB ，若∠AMB 不小于60°，求t 的取值范围。
A D BC沙 砾 地 带练习巩固：1.（2015无锡二模）如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC=6,∠ABC=150°,则PA+PB+PD 的最小值为 。
专题10 胡不归问题(原卷版)
专题10 胡不归问题【例1】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，OC＝3（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当△PBC面积最大时，求点P的坐标；（3）若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+12QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图1，抛物线y＝mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P．（1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式；（2）连接P A、PB，求△P AB面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）如图2，点E（2，0），将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+23E'B的最小值．【变式训练2】如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A，点B（3，0），交y轴于点C，点M（m，0）是线段OB上一点（与点O、B不重合），过点M作MP⊥x轴，交BC于点P，交抛物线于点Q，连接OP，CQ．（1）求二次函数的表达式；（2）若∠COP＝∠QCP，求QP的长；（3）若△CPQ是以CP为底边的等腰三角形，点N是线段OC上一点，连接MN，求MN+13CN的最小值．【变式训练3】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣4与x 轴交于点A （﹣2，0）、B （4，0），与y 轴交于点C ．E 为抛物线上一点，直线AE 交y 轴于点D ，且OD ＝OA ． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是第四象限内的抛物线上一点，过点P 作PQ ∥y 轴交直线AE 于点Q ，交x 轴于点F ，过点P 作PG ⊥AE 于点G ，交x 轴于点H ，求PQ −√22GQ 的最大值，并求出此时点P 的坐标；（3）如图2，点K 为线段OD 的中点，作射线AK ，将该抛物线沿射线AK 方向平移√52个单位长度，得到新抛物线y 1＝a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0），新抛物线与原抛物线交于点I ．点N 是平面内一点，点M 是新抛物线上一点，若以点I 、E 、M 、N 为顶点的四边形是以IE 为边的矩形，请直接写出点N 的坐标．【例2】如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝﹣x2+4x上，且横坐标为1，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为（1，1）．（1）求线段AB的长；（2）点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F为y轴上一点，当△PBE的面积最大时，求PH的长度；（3）在（2）中，HF+12FO取得最小值时，将△CFH绕点C顺时针旋转60°后得到△CF′H′，过点F′作CF′的垂线与直线AB交于点Q，点R为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点S，使以点D、Q、R、S为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点S的坐标，若不存在，请说明理由．【变式训练1】如图1，抛物线y=√24x2+2x﹣6√2交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，D点是该抛物线的顶点，连接AC、AD、CD．（1）求△ACD的面积；（2）如图1，点P是线段AD下方的抛物线上的一点，过P作PE∥y轴分别交AC于点E，交AD于点F，过P作PG⊥AD于点G，求EF+√52FG的最大值，以及此时P点的坐标；（3）如图2，在对称轴左侧抛物线上有一动点M，在y轴上有一动点N，是否存在以BN 为直角边的等腰Rt△BMN？若存在，求出点M的横坐标，若不存在，请说明理由．【变式训练2】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A （﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内的抛物线上一点，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点Q，求PQ+√55CQ的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线沿射线BC的方向平移√5个单位长度，得到新抛物线y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），新抛物线与原抛物线交于点G．点M是x轴上一点，点N是新抛物线上一点，若以点C、G、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．【变式训练3】如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若C1C2=65，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE'，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E'A、E'B，求E'A+23E'B的最小值．。
胡不归问题含答案解析
胡不归问题一、基础题型1． 如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD 的最小值是_______．2． 如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD 上的一动点，则PB +的最小值等于________．3． 如图，在ACE △中，CA =CE ，30CAE ∠=°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上．(1) 试说明CE 是⊙O 的切线．(2) 若ACE △中AE 边上的高为h ，试用含h 的代数式表示⊙O 的直径AB ；(3) 设点D 是线段AC 上任意一点(不含端点)，连接OD ，当12CD OD +的最小值为6时，求⊙O的AB 的长．ABCDEABCDP二、实际应用4． 如图，ABC △在平面直角坐标系中，AB =AC ，A (0，22)，C (1，0)，D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为A →D →C ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D 的坐标应为________．5． 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△COD 关于CD 的对称图形为△CED ．(1) 求证：四边形OCED 是菱形； (2) 连接AE ，若AB =6cm，BC ． ①求sin ∠EAD 的值；②若点P 为线段AE 上一动点(不与点A 重合)，连接OP ，一动点Q 从点O 出发，以1cm /s 的速度沿线段OP 匀速运动到点P ，再以1.5cm /s 的速度沿线段P A 匀速运动到点A ，到达点A 后停止运动，当点Q 沿上述路线运动到点A 所需要的时间最短时，求AP 的长和点Q 走完全程所需的时间．6． 如图，已知海岛A 到海岸公路BC 的距离AB =50km ，B 、C 间的距离为100km ，从A 到C 必须先坐船到BC 上的某一点D ，航速为25km /h ，再乘汽车到C ，车速为50km /h ，记BDA θ∠=． 问当θ为多少时，由A 到C 所用的时间t 最少?EC7． 如图，一条笔直的公路l 穿过草原，公路边有一消防站A ，距离公路5千米的地方有一居民点B ，A 、B 的直线距离是13千米．一天，居民点B 着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过________小时可到达居民点B ．(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．)三、进阶变形8． 如图，已知D 为射线AB 上一动点，∠BAC =30°，AC =AD =________时，2AD CD+取最小值为________．9． 如图，四边形ABCD 为⊙O 内接四边形，∠ABC =30°，BD 平分∠ABC ，AB =6，求DB DA DC++的最小值．10．如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC =6，∠ABC =150°，求AP +BP +PD 的最小值．lABBA11．如图，在Rt ABC△中，∠B=90°，∠A=30°，AB=，在AB边上有一点E，BE，连结EC，点D，FG是线段BC，CE，AC边上的三个动点，连结ED，DF，FG，求12AG FG DF ED+++的最小值．12．如图，A(−1，0)，B(0，3)，点C是线段OB上的动点，四边形ACDE和四边形CBFG都是矩形，且BF=1，AE=3，求两个矩形面积和的最小值．13y=上一动点，点(0M是y轴上一个点，若MP 的长为c，则a+c的最小值为________．14A在边OX上，OA=2．过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC围成的区域(包括各边)内的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD=a，OE=b，则a+2b的取值范围是________．课后作业1． 在Rt △ABC 中，∠A =30°，BC =，AB =6，D 是BC 中点，E 是AC 边上的一个动点，求2DE +AE 的最小值．2． 如图，△ABC 中，AB =4，AC =6，∠A =30°，点D 为AC 边上一动点，则12AD DB +的最小值．3． 如图，已知抛物线()() 248ky x x =+−(k 为常数，且k ＞0)与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点By b +与抛物线的另一交点为D ．(1) 若点D 的横坐标为−5，求抛物线的函数表达式；(2) 在(1)的条件下，设F 为线段BD 上一点(不含端点)，连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少?胡不归问题一、基础题型1． 如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD 的最小值是_______．【答案】2． 如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD 上的一动点，则PB +的最小值等于________．【答案】3． 如图，在ACE △中，CA =CE ，30CAE ∠=°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上．(1) 试说明CE 是⊙O 的切线．(2) 若ACE △中AE 边上的高为h ，试用含h 的代数式表示⊙O 的直径AB ；(3) 设点D 是线段AC 上任意一点(不含端点)，连接OD ，当12CD OD +的最小值为6时，求⊙O的AB 的长．；二、实际应用ABCDEABCDP4． 如图，ABC △在平面直角坐标系中，AB =AC ，A (0，22)，C (1，0)，D 为射线AO 上一点，一动点P 从A 出发，运动路径为A →D →C ，点P 在AD 上的运动速度是在CD 上的3倍，要使整个过程运动时间最少，则点D 的坐标应为________．【答案】 5． 如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，△COD 关于CD 的对称图形为△CED ．(1) 求证：四边形OCED 是菱形； (2) 连接AE ，若AB =6cm，BC ． ①求sin ∠EAD 的值；②若点P 为线段AE 上一动点(不与点A 重合)，连接OP ，一动点Q 从点O 出发，以1cm /s 的速度沿线段OP 匀速运动到点P ，再以1.5cm /s 的速度沿线段P A 匀速运动到点A ，到达点A 后停止运动，当点Q 沿上述路线运动到点A 所需要的时间最短时，求AP 的长和点Q 走完全程所需的时间．【答案】23；3 6． 如图，已知海岛A 到海岸公路BC 的距离AB =50km ，B 、C 间的距离为100km ，从A 到C 必须先坐船到BC 上的某一点D ，航速为25km /h ，再乘汽车到C ，车速为50km /h ，记BDA θ∠=． 问当θ为多少时，由A 到C 所用的时间t 最少?2+C7． 如图，一条笔直的公路l 穿过草原，公路边有一消防站A ，距离公路5千米的地方有一居民点B ，A 、B 的直线距离是13千米．一天，居民点B 着火，消防员受命欲前往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/小时，则消防车在出发后最快经过________小时可到达居民点B ．(友情提醒：消防车可从公路的任意位置进入草地行驶．)【答案】320+三、进阶变形8． 如图，已知D 为射线AB 上一动点，∠BAC =30°，AC =AD =________时，2AD CD+取最小值为________．【答案】2；69． 如图，四边形ABCD 为⊙O 内接四边形，∠ABC =30°，BD 平分∠ABC ，AB =6，求DB DA DC++的最小值．【答案】 10．如图，菱形ABCD 的对角线AC 上有一动点P ，BC =6，∠ABC =150°，求AP +BP +PD 的最小值．【答案】lABBA11．如图，在Rt ABC△中，∠B=90°，∠A=30°，AB=，在AB边上有一点E，BE，连结EC，点D，FG是线段BC，CE，AC边上的三个动点，连结ED，DF，FG，求12AG FG DF ED+++的最小值．【答案】612．如图，A(−1，0)，B(0，3)，点C是线段OB上的动点，四边形ACDE和四边形CBFG都是矩形，且BF=1，AE=3，求两个矩形面积和的最小值．13．如图，在坐标平面内点P(a，b)是直线y=上一动点，点(0M是y轴上一个点，若MP的长为c，则a+c的最小值为________．【答案】3 214．如图，已知∠XOY =60°，点A 在边OX 上，OA =2．过点A 作AC ⊥OY 于点C ，以AC 为一边在∠XOY 内作等边三角形ABC ，点P 是△ABC 围成的区域(包括各边)内的一点，过点P 作PD ∥OY 交OX 于点D ，作PE ∥OX 交OY 于点E ．设OD =a ，OE =b ，则a +2b 的取值范围是________．【答案】225a b ≤+≤课后作业1． 在Rt △ABC 中，∠A =30°，BC =，AB =6，D 是BC 中点，E 是AC 边上的一个动点，求2DE +AE 的最小值．2． 如图，△ABC 中，AB =4，AC =6，∠A =30°，点D 为AC 边上一动点，则12AD DB +的最小值．【答案】3． 如图，已知抛物线()() 248k y x x =+−(k 为常数，且k ＞0)与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B的直线y b +与抛物线的另一交点为D ． (1) 若点D 的横坐标为−5，求抛物线的函数表达式；(2) 在(1)的条件下，设F 为线段BD 上一点(不含端点)，连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止，当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少?【答案】)2(4)yx x +−；(F −。
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中考复习之——胡不归问题
从前，有一个小伙子在外地学徒，当他悉在家的老父病危的消息后，便立即启程赶路。
由于思
心切，他只考了两点之段最短的原理，所以了全是沙地的直路径 A→ B（如所示），而忽了走折然路程多但速度
快的情况，当他气喘吁吁地赶到家，老人咽了气，小伙子失声
痛哭。
居慰小伙子告，老人弥留之不断念叨着“胡不胡不⋯” 。
个古老的，引起了人的思索，小伙子能否提前到
家倘若可以，他一条怎的路呢就是靡千百年的“胡不
”。
B
沙地
A D C
例 1. （ 2012 崇安模），如，ABC 在平面直角坐系中，AB=AC， A(0 ，2 2 ），C（1，0），D射
AO上一点，一点P 从 A 出，运路径A→ D→ C，点 P 在 AD上的运速度是在CD上的 3 倍，要使整个程运最少，点 D 的坐 -------------------------------------------------（）
A（.0，2）B.（，2
） C.（0，2）D.（0，2）
34
2
例 2. （ 2016 徐州）如，在平面直角坐系中，二次函数y=ax 2+bx+c 的像点A（ -1 ， 0）， B（ 0，- 3 ）、C（2，0），其中称与x交于点D。
（ 1）求二
次函数的表达式及其点坐；
（ 2）若P y 上的一个点，接PD，1 PB
PD的最小。
2
（ 3） M（ s，t ）抛物称上的一个点。
①若平面内存在点N，使得 A、 B、 M、N 点的四形菱形，的点
②接 MA、 MB，若∠ AMB不小于 60°，求 t 的取范。
N 共有个；
练习巩固：
1. （ 2015 无锡二模）如图，菱形ABCD的对角线 AC上有一动点P， BC=6,ABC=150° , 则 PA+PB+PD的最小值为。
2. （ 2015 内江）如图，在ACE 中，CA=CE，CAE=30°，⊙ O经过点（ 1）试说明CE是⊙ O的切线。
（ 2）若ACE 中AE边上的高为h, 试用含 h 的代数式表示⊙O的直径
C，且圆的直
径 AB;
AB在线
段
AE 上。
（ 3）设点D是线
段AC上任意一点（不含端点），连
接
OD，当
1
CD+OD的最小值
为
6 时，求⊙ O的AB的长。
2
3. （ 2015 日照）如图，抛物线y 1 x2mx n 与直线 y1x 3 交于A、B两点，交x轴于D、C两
22
点，连接 AC、 BC，已知 A（ 0，3）， C（ 3， 0）。
（ 1）抛物线的函数关系式为， tan ∠BAC=。
（ 2） P为 y 轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点 P 作 PQ⊥ PA 交 y 轴于点 Q，问：是否存在点 P 使以 A、P、 Q为顶点的三角形与△ ABC相似若存在，求出所有符合条件的P 点坐标，若不存在，请说明理由。
（ 3）设 E 为线段 AC上一点（不含端点），连接 DE，一动点 M从点 D出发，沿线段DE以每秒一个单位的速度运动到 E 点，再沿线段 EA 以每秒2个单位的速度运动到点 A 后停止，当点 E 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少
4. （ 2014 成都）如图，已知抛物线y k
( x2)( x4)(k为常数， k＞0）与x轴从左至右依次交于点A、8
B，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线y 3 x b 与抛物线的另一个交点为D。
3
（ 1）若点 D 的横坐标为 -5 ，求抛物线的函数关系式。
（ 2）在（ 1）的条件下，设 F 为线段 BD上一点（不含端点），连接 AF，一动点 M从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度运动到F，再沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐标为多少时，点 M在整个运动过程中用时最少
（ 3）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以 A、 B、P 为顶点的三角形与△ABC相似，求 k 的值。
5. （ 2017 徐州二模）二次函数y ax 2 2 x c 图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（ 0， -3 ）。
（ 1）a， c；
（ 2）如图①， P 是 x 轴上一动点，点D（ 0， 1）在 y 轴上，连接 PD，求2PD PC 的最小值。
y
（ 3）如图②，点M在抛物线上，若S△MBC 3 ，求点M的坐标。
y
x
x M
6. （ 2016随州）已知抛物线y a( x3)( x1)( a0），与x 轴从左至右依次相交于A、 B 两点，与y 轴交于点C，经过点 A 的直线y3x b与抛物线的另一个交点
为
D。
（ 1）若点 D 的横坐标为2，则抛物线的函数关系式为。
（2）若在第三象限内的抛物线上有一点P，使得以 A、B、P 为顶点的三角形与△ ABC相似，求点 P 的坐标。
（3）在（ 1）的条件下，设点 E 是线段 AD上一点（不含端点），连接 BE，一动点 Q 从点 B 出发，沿线段
BE以每秒 1 个单位的速度运动到点E，再沿线段ED以每秒23
个单位运动到点D停止，问当点E的坐标3
为多少时，点Q运动的时间最少。