21.2.1 第2课时 配方法1

第2课时　配方法

1．了解配方的概念，掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．2．探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系，能够熟练地运用配方法解决有关问题．

一、情境导入李老师让学生解一元二次方程

x 2－6x －5＝0，同学们都束手无策，学习委员蔡亮考虑了一下，在方程两边同时加上14，再把方程左边用完全平方公式分解因式……，你能按照他的想法求出这个方程的解吗？

二、合作探究探究点：配方法

【类型一】配方

用配方法解一元二次方程

x 2－4x ＝5时，此方程可变形为( )

A ．(x ＋2)2＝1

B ．(x －2)2＝1

C ．(x ＋2)2＝9

D ．(x －2)2＝9

解析：由于方程左边关于x 的代数式的二次项系数为1，故在方程两边都加上一次项系数一半的平方，然后将方程左边写成完全平方式的形式，右边化简即可．因为x 2－4x ＝5，所以x 2－4x ＋4＝5＋4，所以(x －2)2＝9.故选D.

方法总结：用配方法将一元二次方程变形的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边，使方程的左边只留下二次项和一次项；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

【类型二】利用配方法解一元二次方

程

用配方法解方程：x 2－4x ＋1＝0.解析：二次项系数是1时，只要先把常数项移到右边，然后左、右两边同时加上一次项系数一半的平方，把方程配成(x ＋m )

2＝n (n ≥0)的形式再用直接开平方法求解．解：移项，得x 2－4x ＝－1.配方，得

x 2－4x ＋(－2)2＝－1＋(－2)2.即(x －2)2＝3.解这个方程，得x －2＝±.∴x 1＝2＋，x 2＝2－.

3

33方法总结：用配方法解一元二次方程，

实质上就是对一元二次方程变形，转化成开平方所需的形式．

【类型三】用配方解决求值问题

已知：x 2＋4x ＋y 2－6y ＋13＝0，

求的值．

x －2y

x 2＋y 2解：原方程可化为(x ＋2)2＋(y －3)2＝0，∴(x ＋2)2＝0且(y －3)2＝0，∴x ＝－2且y ＝3

，∴原式＝＝－.

－2－613813【类型四】用配方解决证明问题

(1)用配方法证明2x 2－4x ＋7的

值恒大于零；

(2)由第(1)题的启发，请你再写出三个恒大于零的二次三项式．

证明：(1)2x 2－4x ＋7＝2(x 2－2x )＋7＝2(x 2－2x ＋1－1)＋7＝2(x －1)2－2＋7＝2(x －1)2＋5.∵2(x －1)2≥0，∴2(x －1)2＋5≥5，即

2x 2－4x ＋7≥5，故2x 2－4x ＋7的值恒大于零．

(2)

x 2－2x ＋3；2x 2－2x ＋5；

3x 2＋6x ＋8等．

【类型五】配方法与不等式知识的综合应用

证明关于x 的方程(m 2－8m ＋17)

x 2＋2mx ＋1＝0不论m 为何值时，都是一元二次方程．

解析：要证明“不论m 为何值时，方程都是一元二次方程”，只需证明二次项系数

m 2－8m ＋17的值不等于0.

证明：∵二次项系数

m 2－8m ＋17＝m 2－8m ＋16＋1＝(m －4)2＋1，又∵(m －4)2≥0，∴(m －4)

2＋1＞0，即m 2－8m ＋17＞0.∴不论m 为何值时，原方程都是一元二次方程．

三、板书设计

教学过程中，强调配方法解方程就是将方程左边配成完全平方式的过程．因此需熟练掌握完全平方式的形式.