2019年湖北省武汉市华师一附中中考数学模拟试卷(5月份)

湖北省武汉市华师一附中中考数学模拟试卷（5月份）一、选择题1．（3分）在﹣2，3，0，﹣1中，最小的数是（）A．﹣2B．3C．0D．﹣12．（3分）如果是二次根式，那么x的取值范围（）A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x≥0D．x＞03．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）下列说法正确的是（）A．为了解一批灯泡的使用寿命，宜采用普查方式B．掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币都是正面朝上这一事件发生的概率为C．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件D．甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.4，S乙2＝0.6，则甲的射击成绩较稳定5．（3分）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（﹣1，﹣2），D（﹣2，﹣1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD扩大为原来的2倍，得到线段AB，则线段AB 的中点E的坐标为（）A．（3，3）B．（）C．（2，4）D．（4，2）6．（3分）下面两幅图是由几个小正方体搭成的几何体的主视图与俯视图，则搭成这个几何体的小正方体个数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个7．（3分）随着“国家宝藏”的热播，小颖和小梅计划利用假期时间到河南博物院担任“贾湖骨笛”，“妇好鸮尊”，“云纹铜禁”的讲解员，由于能力水平的限制，她们一人只能讲解其中一个文物，小颖和小梅制作了三张质地大小完全相同的卡片，背面朝上洗匀后各自抽取一张（第一人抽取后不放回），则“贾湖骨笛”未被抽到的概率为（）A．B．C．D．8．（3分）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}＝的解为（）A．1﹣B．2﹣C．1+或1﹣D．1+或﹣1 9．（3分）如图，线段AB＝6，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD 和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为（）A．6B．C．2D．310．（3分）若对于任意非零实数a，抛物线y＝a（x+2）（x﹣1）总不经过点P（x0﹣3，x0﹣5），则符合条件的点P（）A．有1个B．有2个C．有3个D．有无穷多个二、填空题11．（3分）已知小明最近几次数学考试的成绩分别为：100，95，105，100，90．则这组数据的中位数是．12．（3分）化简﹣结果是．13．（3分）如图，E为▱ABCD边AD上一点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，点F在BD上，且EF＝DF，若∠BDC＝81°，则∠C＝．14．（3分）如图所示，经过B（2，0）、C（6，0）两点的⊙H与y轴的负半轴相切于点A，双曲线y＝经过圆心H，则k＝．15．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，∠ABD+∠BCD＝180°，对角线AC、BD相交于点E，H为BD的中点．若CE＝1，则CH长为．三、解答题16．计算：（2a2）3﹣7a6+a2•a417．如图，若∠1+∠MEN+∠2＝360°，求证：AB∥CD．18．某校举办“打造平安校园”活动，随机抽取了部分学生进行校园安全知识测试．将这些学生的测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格，并将测试结果绘制成如下统计图．请你根据图中信息，解答下列问题：（1）本次参加校园安全知识测试的学生有多少人？（2）计算B级所在扇形圆心角的度数，并补全折线统计图；（3）若该校有学生1000名，请根据测试结果，估计该校达到及格和及格以上的学生共有多少人？19．在边长为1的小正方形组成的网格中，现已知△ABC的三个顶点均在小正方形顶点上，根据下列要求，利用网格完成作图．（1）以点B为中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A'B'C'．（2）在线段AB上求作一点P，使得点P到直线AC、BC的距离之和等于4．（说明：请将所作的点和线用铅笔描粗，标出相应字母，不写作法．）20．如图，PB与⊙O相切于点B，过点B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连结P A，AO，AO的延长线交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若tan∠BAD＝，且OC＝4，求BD的长．21．农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x（元/千克）3035404550日销售量p（千克）6004503001500（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p 与x之间的函数表达式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利＝日销售利润﹣日支出费用）22．如图1，共直角边AB的两个直角三角形中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC交BD于P，且tan∠C＝．（1）求证：AD＝AB；（2）如图2，BE⊥CD于E交AC于F．①若F为AC的中点，求的值；②当∠BDC＝75°时，请直接写出的值．23．如图，点A（t，0）和点B（t﹣6，0）是x轴负半轴上两点，过A，B两点的抛物线与过点B的直线y＝kx+t（t﹣6）交于y轴上同一点C．（1）直接写出线段AB的长度：；（2）若点P是抛物线上x轴下方的一个动点，求△P AB面积的最大值；（3）若点P是抛物线上y轴左侧一个动点．当∠ACO＝∠CBO时，设△PBC面积为m．如果对于每一个m的值，都有唯一确定的点P和它对应，求m的取值范围．2019年湖北省武汉市华师一附中中考数学模拟试卷（5月份）参考答案与试题解析一、选择题1．（3分）在﹣2，3，0，﹣1中，最小的数是（）A．﹣2B．3C．0D．﹣1【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：∵﹣2＜﹣1＜0＜3，∴在﹣2，3，0，﹣1中，最小的数是﹣2．故选：A．【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．2．（3分）如果是二次根式，那么x的取值范围（）A．x＞﹣1B．x≥﹣1C．x≥0D．x＞0【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出当．【解答】解：由二次根式有意义的条件可知：x+1≥0，∴x≥﹣1，故选：B．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．3．（3分）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形；B、是轴对称图形，不是中心对称图形；C、是轴对称图形，也是中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：A．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．4．（3分）下列说法正确的是（）A．为了解一批灯泡的使用寿命，宜采用普查方式B．掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币都是正面朝上这一事件发生的概率为C．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件D．甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.4，S乙2＝0.6，则甲的射击成绩较稳定【分析】根据全面调查与抽样调查的特点对A进行判断；利用画树状图求概率可对B进行判断；根据必然事件和随机事件的定义对C进行判断；根据方差的意义对D进行判断．【解答】解：A、为了解一批灯泡的使用寿命，宜采用抽样调查的方式，所以A选项错误；B、利用树状图得到共有正正、正反、反正、反反四种可能的结果数，所以两枚硬币都是正面朝上这一事件发生的概率为，所以B选项错误；C、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是随机事件，所以C选项错误；D、因为S甲2＝0.4，S乙2＝0.6，所以甲的方差小于乙的方差，所以甲的射击成绩较稳定，所以D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计的有关概念．5．（3分）如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（﹣1，﹣2），D（﹣2，﹣1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD扩大为原来的2倍，得到线段AB，则线段AB 的中点E的坐标为（）A．（3，3）B．（）C．（2，4）D．（4，2）【分析】根据位似变换的性质、结合图形求出点A、点B的坐标，根据线段中点的性质解答．【解答】解：∵点C的坐标为（﹣1，﹣2），点D的坐标为（﹣2，﹣1），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段CD扩大为原来的2倍，∴点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（4，2），∵点E是线段AB的中点，∴点E的坐标为（，），即（3，3），故选：A．【点评】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．6．（3分）下面两幅图是由几个小正方体搭成的几何体的主视图与俯视图，则搭成这个几何体的小正方体个数为（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】根据三视图可得这个几何体共有2层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图和俯视图可得第二层小正方体的个数，最后相加即可．【解答】解：由俯视图可得最底层有4个小正方体，根据主视图可得第二层只有右辺一列有1个小正方体，则搭成这个几何体的小正方体有4+1＝5（个）；故选：C．【点评】此题考查了由三视图判断几何体，体现了对空间想象能力方面的考查；掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．7．（3分）随着“国家宝藏”的热播，小颖和小梅计划利用假期时间到河南博物院担任“贾湖骨笛”，“妇好鸮尊”，“云纹铜禁”的讲解员，由于能力水平的限制，她们一人只能讲解其中一个文物，小颖和小梅制作了三张质地大小完全相同的卡片，背面朝上洗匀后各自抽取一张（第一人抽取后不放回），则“贾湖骨笛”未被抽到的概率为（）A．B．C．D．【分析】画树状图为（用A、B、C分别表示担任“贾湖骨笛”，“妇好鸮尊”，“云纹铜禁”的讲解员）展示所有6种等可能的结果数，再找出”贾湖骨笛”未被抽到的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：（用A、B、C分别表示担任“贾湖骨笛”，“妇好鸮尊”，“云纹铜禁”的讲解员）共有6种等可能的结果数，其中”贾湖骨笛”未被抽到的结果数为2，所以“贾湖骨笛”未被抽到的概率＝＝．故选：B．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．8．（3分）对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}＝的解为（）A．1﹣B．2﹣C．1+或1﹣D．1+或﹣1【分析】根据x与﹣x的大小关系，取x与﹣x中的最大值化简所求方程，求出解即可．【解答】解：当x＜﹣x，即x＜0时，所求方程变形得：﹣x＝，去分母得：x2+2x+1＝0，即x＝﹣1；当x＞﹣x，即x＞0时，所求方程变形得：x＝，即x2﹣2x＝1，解得：x＝1+或x＝1﹣（舍去），经检验x＝﹣1与x＝1+都为分式方程的解．故选：D．【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．9．（3分）如图，线段AB＝6，C为线段AB上的一个动点，以AC、BC为边作等边△ACD 和等边△BCE，⊙O外接于△CDE，则⊙O半径的最小值为（）A．6B．C．2D．3【分析】分别作∠A与∠B角平分线，交点为P．由三线合一可知AP与BP为CD、CE 垂直平分线；再由垂径定理可知圆心O在CD、CE垂直平分线上，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点；连OC，若半径OC最短，则OC⊥AB，由△AOB为底边4，底角30°的等腰三角形，可求得OC＝．【解答】解：如图，分别作∠A与∠B角平分线，交点为P．∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AP与BP为CD、CE垂直平分线．又∵圆心O在CD、CE垂直平分线上，∴∠OAB＝∠OBA＝30°，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点．连接OC．若半径OC最短，则OC⊥AB．又∵∠OAC＝∠OBC＝30°，AB＝6，∴OA＝OB，∴AC＝BC＝3，∴在直角△AOC中，OC＝AC•tan∠OAC＝3×tan30°＝．故选：B．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，需要掌握等边三角形的“三线合一”的性质，三角形的外接圆圆心为三角形的垂心，点到直线的距离垂线段最短以及解直角三角形等知识点．难度不大，注意数形结合数学思想的应用．10．（3分）若对于任意非零实数a，抛物线y＝a（x+2）（x﹣1）总不经过点P（x0﹣3，x0﹣5），则符合条件的点P（）A．有1个B．有2个C．有3个D．有无穷多个【分析】根据题目中的函数解析式可知该函数一定过点（﹣2，0），（1，0），再与点P中横纵坐标建立关系，即可解答本题．【解答】解：对于任意非零实数a，抛物线y＝a（x+2）（x﹣1）一定过点（﹣2，0），（1，0），当x0﹣3＝﹣2时，x0﹣5＝﹣4，当x0﹣3＝1时，x0﹣5＝﹣1，即对于任意非零实数a，抛物线y＝a（x+2）（x﹣1）总不经过点（﹣2，﹣4），（1，﹣1），当x0﹣5＝0时，x0＝5，此时x0﹣3＝2，当x＝2时，y＝4a，∵a为非零实数，则4a≠0，∴对于任意非零实数a，抛物线y＝a（x+2）（x﹣1）总不经过点（2，0），故选：C．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题11．（3分）已知小明最近几次数学考试的成绩分别为：100，95，105，100，90．则这组数据的中位数是100．【分析】根据中位数的意义，将数据从小到大排序后，处在中间位置的数就是中位数，一共5个数，排序后找出处在第3位的数即可．【解答】解：将数据从小到大排序得：90、95、100、100、105，处在中间位置的，即第3个数就是中位数，中位数是100．故答案为：100．【点评】考查中位数的意义及求法，中位数反映一组数据的集中变化趋势，一组数据在中位数之上的有一半，以下的有一半．12．（3分）化简﹣结果是．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝﹣＝＝，故答案为：【点评】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．13．（3分）如图，E为▱ABCD边AD上一点，将△ABE沿BE翻折得到△FBE，点F在BD 上，且EF＝DF，若∠BDC＝81°，则∠C＝66°．【分析】折叠就有全等形，就有相等的边和角，平行四边形的性质，和等腰三角形的性质，可以把要求的角转化在一个三角形中，由三角形的内角和列方程解得即可．【解答】解：∵▱ABCD，∴∠A＝∠C，AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF＝∠FBC，∠ABD＝∠BDC＝81°，∵EF＝FD，∴∠FED＝∠FDE，由折叠得：∠ABD＝∠DBF＝∠ABD＝40.5°，∠A＝∠DFB，设∠C＝x，则∠DBC＝∠ADB＝x，在△BDC中，由内角和定理得：81°+x+x＝180°，解得：x＝66°，故答案为：66°．【点评】考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和等知识，设合适的未知数，将问题转化到一个三角形中，利用内角和定理列方程解答是常用的方法．14．（3分）如图所示，经过B（2，0）、C（6，0）两点的⊙H与y轴的负半轴相切于点A，双曲线y＝经过圆心H，则k＝﹣8．【分析】过H作HE⊥BC于点E，可求得E点坐标和圆的半径，连接BH，在Rt△BEH 中，可求得HE的长，可求得H点坐标，代入双曲线解析式可求得k．【解答】解：过H作HE⊥BC于点E，连接BH，AH，如图，∵B（2，0），C（6，0），∴BC＝4，∴BE＝BC＝2，∴OE＝OB+BE＝2+2＝4，又⊙H与y轴切于点A，∴AH⊥y轴，∴AH＝OE＝4，∴BH＝4，在Rt△BEH中，BE＝2，BH＝4，∴HE＝2，∴H点坐标为（4，﹣2），∵y＝经过圆心H，∴k＝﹣8，故答案为：﹣8．【点评】本题主要考查切线的性质和垂径定理，由条件求得圆的半径从而求得H点的坐标是解题的关键．15．（3分）如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，∠ABD+∠BCD＝180°，对角线AC、BD相交于点E，H为BD的中点．若CE＝1，则CH长为．【分析】证明△ABC是等边三角形，得出∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝4，过点B作∠ABF＝∠CBD，交AC于F，作BN⊥AC于N，则AN＝CN＝2，BN＝AB＝2，证明△ABF≌△CBE（ASA），得出AF＝CE＝1，求出CF＝3，FE＝AC﹣AF﹣CE ＝2，FN＝EN＝EF＝1，得出BF＝BE，得出∠BFE＝∠BEF，证出BF∥CD，得出△FEB∽△CED，得出＝＝＝，求出CD＝BF＝，连接FD并延长交BC 的延长线于M，则CD是△BFM的中位线，得出DM＝DF，证明CH是△BDM的中位线，得出CH＝DM＝DF，证明DC＝DE，作DG⊥AC于G，的CG＝EG＝CE＝，得出FG＝EF+EG＝，由勾股定理得出DG＝＝，DF＝＝，即可得出答案．【解答】解：∵AB＝BC＝4，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝4，过点B作∠ABF＝∠CBD，交AC于F，作BN⊥AC于N，如图所示：则AN＝CN＝2，BN＝AB＝2，在△ABF和△CBE中，，∴△ABF≌△CBE（ASA），∴AF＝CE＝1，∴CF＝3，FE＝AC﹣AF﹣CE＝4﹣1﹣1＝2，FN＝EN＝EF＝1，∴BF＝BE，BF＝＝＝，∴∠BFE＝∠BEF，∵∠ABD+∠BCD＝180°，∴∠ABD＝∠CBD+∠CDB，∵∠ABD＝∠ABF+∠FBE＝∠CBD+∠FBE，∴∠FBE＝∠CDB，∴BF∥CD，∴△FEB∽△CED，∴＝＝＝，∴CD＝BF＝，连接FD并延长交BC的延长线于M，则CD是△BFM的中位线，∴DM＝DF，∵H为BD的中点，∴CH是△BDM的中位线，∴CH＝DM＝DF，∵BF∥CD，∴∠DCE＝∠BFE，∵∠BEF＝∠DEC，∴∠DCE＝∠DEC，∴DC＝DE＝，作DG⊥AC于G，∴CG＝EG＝CE＝，∴FG＝EF+EG＝，DG＝＝＝，∴DF＝＝＝，∴CH＝DF＝；故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．三、解答题16．计算：（2a2）3﹣7a6+a2•a4【分析】根据积的乘方法则、合并同类项法则计算即可．【解答】解：（2a2）3﹣7a6+a2•a4＝8a6﹣7a6+a6＝2a6．【点评】本题考查的是幂的乘方与积的乘方、合并同类项，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．17．如图，若∠1+∠MEN+∠2＝360°，求证：AB∥CD．【分析】过点E作EF∥AB，可得∠1+∠MEF＝180°，再根据∠1+∠MEN+∠2＝360°，可得∠FEN+∠2＝180°，根据同旁内角互补，可得出EF∥CD，进而得到AB∥CD．【解答】证明：如图，过点E作EF∥AB，则∠1+∠MEF＝180°，∵∠1+∠MEN+∠2＝360°，∴∠FEN+∠2＝180°，∴EF∥CD（同旁内角互补，两直线平行），又∵EF∥AB，∴AB∥CD．【点评】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握：同旁内角互补，两直线平行．18．某校举办“打造平安校园”活动，随机抽取了部分学生进行校园安全知识测试．将这些学生的测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格，并将测试结果绘制成如下统计图．请你根据图中信息，解答下列问题：（1）本次参加校园安全知识测试的学生有多少人？（2）计算B级所在扇形圆心角的度数，并补全折线统计图；（3）若该校有学生1000名，请根据测试结果，估计该校达到及格和及格以上的学生共有多少人？【分析】（1）根据总人数＝A级人数÷A级所占比例即可；（2）B级所占比例＝B级人数÷总人数，B级所在的扇形圆心角的度数＝360°×B级所占的比例，由图象可知，C级所占的比例为50%，算出C级人数，进而算出D级人数，补全折线统计图即可；（3）根据（1）（2）的结果计算出A、B、C三级人数及所占比例，1000×A、B、C所占比例即为所求答案．【解答】解：（1）根据题意得：A级人数为4人，A级所占比例为10%，4÷10%＝40（人），答：本次参加校园安全知识测试的学生有40人，（2）根据题意得：B级人数为14人，总人数为40，B级所占的比例为×100%＝35%，B级所在的扇形圆心角的度数为360°×35%＝126°，C级人数为40×50%＝20（人），D级人数为40﹣4﹣14﹣20＝2（人），补全折线统计图如下图所示：（3）A、B、C三级人数为4+14+20＝38，A、B、C三级人数所占比例为×100%＝95%，该校达到及格和及格以上的学生人数为：1000×95%＝950（人），答：该校达到及格和及格以上的学生为950人．【点评】本题考查折线统计图，用样本估计总体，扇形统计图，掌握知识点概率＝所求情况数与总情况数之比是解题的关键．19．在边长为1的小正方形组成的网格中，现已知△ABC的三个顶点均在小正方形顶点上，根据下列要求，利用网格完成作图．（1）以点B为中心，将△ABC逆时针旋转90°，得到△A'B'C'．（2）在线段AB上求作一点P，使得点P到直线AC、BC的距离之和等于4．（说明：请将所作的点和线用铅笔描粗，标出相应字母，不写作法．）【分析】（1）分别作出A，C的对应点A′，C′即可．（2）取格点G，H，连接GH交AB于点P，此时P A＝PB，点P即为所求．【解答】解：（1）如图，△A'BC'即为所求．（2）取AB的中点P即可．点P如图所示．理由：作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F．易证PE＝BC＝，PF＝AC＝，∴PE+PF＝+＝4．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，点到直线的距离等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20．如图，PB与⊙O相切于点B，过点B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连结P A，AO，AO的延长线交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）若tan∠BAD＝，且OC＝4，求BD的长．【分析】（1）连接OB，由SSS证明△P AO≌△PBO，得出∠P AO＝∠PBO＝90°即可；（2）连接BE，证明△P AC∽△AOC，证出OC是△ABE的中位线，由三角形中位线定理得出BE＝2OC，由△DBE∽△DPO可求出．【解答】解：（1）连结OB，则OA＝OB．如图1，∵OP⊥AB，∴AC＝BC，∴OP是AB的垂直平分线，∴P A＝PB．在△P AO和△PBO中，∵，∴△P AO≌△PBO（SSS），∴∠PBO＝∠P AO．∵PB为⊙O的切线，B为切点，∴∠PBO＝90°，∴∠P AO＝90°，即P A⊥OA，∴P A是⊙O的切线；（2）连结BE．如图2，∵在Rt△AOC中，tan∠BAD＝tan∠CAO＝＝，且OC＝4，∴AC＝6，则BC＝6．在Rt△APO中，∵AC⊥OP，∴△P AC∽△AOC，∴AC2＝OC•PC，解得PC＝9，∴OP＝PC+OC＝13．在Rt△PBC中，由勾股定理，得PB＝＝3，∵AC＝BC，OA＝OE，即OC为△ABE的中位线．∴OC＝BE，OC∥BE，∴BE＝2OC＝8．∵BE∥OP，∴△DBE∽△DPO，∴＝，即＝，解得BD＝．【点评】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握切线的判定，能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中是解答问题（2）的关键．21．农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：销售价格x（元/千克）3035404550日销售量p（千克）6004503001500（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p 与x之间的函数表达式；（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利＝日销售利润﹣日支出费用）【分析】（1）首先根据表中的数据，可猜想y与x是一次函数关系，任选两点求表达式，再验证猜想的正确性；（2）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，根据二次函数的性质确定最大值即可；（3）根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式，并求得抛物线的对称轴，再分两种情况进行讨论，依据二次函数的性质求得a的值．【解答】解：（1）假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p＝kx+b，则，解得：k＝﹣30，b＝1500，∴p＝﹣30x+1500，检验：当x＝35，p＝450；当x＝45，p＝150；当x＝50，p＝0，符合一次函数解析式，∴所求的函数关系为p＝﹣30x+1500；（2）设日销售利润w＝p（x﹣30）＝（﹣30x+1500）（x﹣30）即w＝﹣30x2+2400x﹣45000，∴当x＝﹣＝40时，w有最大值3000元，故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；（3）日获利w＝p（x﹣30﹣a）＝（﹣30x+1500）（x﹣30﹣a），即w＝﹣30x2+（2400+30a）x﹣（1500a+45000），对称轴为x＝﹣＝40+a，①若a＞10，则当x＝45时，w有最大值，即w＝2250﹣150a＜2430（不合题意）；②若a＜10，则当x＝40+a时，w有最大值，将x＝40+a代入，可得w＝30（a2﹣10a+100），当w＝2430时，2430＝30（a2﹣10a+100），解得a1＝2，a2＝38（舍去），综上所述，a的值为2．【点评】本题主要考查了二次函数的综合应用，解题时要利用图表中的信息，学会用待定系数法求解函数解析式，并将实际问题转化为求函数最值问题，从而来解决实际问题．22．如图1，共直角边AB的两个直角三角形中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC交BD于P，且tan∠C＝．（1）求证：AD＝AB；（2）如图2，BE⊥CD于E交AC于F．①若F为AC的中点，求的值；②当∠BDC＝75°时，请直接写出的值．【分析】（1）根据AD∥BC得＝，又tan∠C＝故故AD＝AB．（2）①在图2中，过D作DH⊥BC于H，延长BE交AD延长线于G，易证ABHD为正方形，设其边长为a，DG＝b，根据△ABC∽△DGC，得到a、b的关系即可解决问题．②根据条件推出∠HDC＝∠DCG＝30°即可解决问题．【解答】解：（1）∵∠DAB+∠ABC＝180°，∴AD∥BC，∴＝，∵tan∠C＝，∴，∴AD＝AB．（2）①在图2中，过D作DH⊥BC于H，延长BE交AD延长线于G，易证ABHD为正方形，设其边长为a，DG＝b，∵AG∥BC，∴，∵AF＝FC，∴AG＝BC，∴四边形ABCG是平行四边形，∵∠ABC＝90°∴四边形ABCG是矩形，∴FB＝FC，∠BCG＝∠AGC＝90°，∴∠FBC＝∠FCB，∵∠FBC+∠BC，E＝90°，∠BCE+∠ECG＝90°，∴∠ECG＝∠FBC，∴∠DCG＝∠ACB，∵∠ABC＝∠DGC＝90°∴△ABC∽△DGC，∴，∴，∴a2﹣ab﹣b2＝0，∴a＝（或a＝舍弃），∵DG∥BC，∴＝＝＝＝，②由1可知四边形ABHD是正方形，∵∠BDC＝75°，∠BDH＝45°，∴∠HDC＝∠DCG＝30°，∵∠DGC＝90°，∴∠CDG＝60°，∠DGE＝30°，设CH＝m，则DC＝2CH＝2m，BH＝DH＝m∴EC＝BC＝（m+m），DE＝DC﹣CE＝2m﹣（m+m），∴＝＝．【点评】本题考查正方形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，添加辅助线构造特殊图形是解决问题的关键．23．如图，点A（t，0）和点B（t﹣6，0）是x轴负半轴上两点，过A，B两点的抛物线与过点B的直线y＝kx+t（t﹣6）交于y轴上同一点C．（1）直接写出线段AB的长度：6；（2）若点P是抛物线上x轴下方的一个动点，求△P AB面积的最大值；（3）若点P是抛物线上y轴左侧一个动点．当∠ACO＝∠CBO时，设△PBC面积为m．如果对于每一个m的值，都有唯一确定的点P和它对应，求m的取值范围．【分析】（1）用点A的横坐标减去点B的横坐标即可；（2）当点P是顶点时，△P AB的面积最大，作PE×⊥AB于E，求出点P的纵坐标即可解决问题；（3）如图3中，设直线l与BC平行，且和抛物线只有一个交点M，直线l交y轴于F．首先求出直线l的解析式和点F的坐标，求出△BCF的面积，再根据对称性即可解决问题；【解答】解：（1）AB＝t﹣（t﹣6）＝6，故答案为6．（2）如图1中，由题意C[0，t（t﹣6）]，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣t）（x﹣t+6），把点C坐标代入，t（t﹣6）＝at（t﹣6），∵t≠0，t≠6，∴a＝，∴抛物线的解析式为y＝（x﹣t）（x﹣t+6）＝x2﹣（t﹣）x+t2﹣t．∵点P是抛物线上x轴下方的一个动点，∴当点P是顶点时，△P AB的面积最大，作PE×⊥AB于E，∵点P的纵坐标为＝﹣，∴PE＝，∴△P AB的面积的最大值＝×AB•PE＝．（3）如图3中，设直线l与BC平行，且和抛物线只有一个交点M，直线l交y轴于F．∵∠ACO＝∠CBO，∠AOC＝∠COB，∴△OAC∽△OCB，∴CO2＝OA•OB，∴t2（t﹣6）2＝t（t﹣6），∵t≠0，t≠6，∴t（t﹣6）＝16，解得t＝﹣2或8（舍弃），∴A（﹣2，0），B（﹣8，0），C（0，4），∴直线BC的解析式为y＝x+4，设直线l的解析式为y＝x+b，由，消去y得到：x2+8x+16﹣4b＝0，由题意△＝0，64﹣64+16b＝0，解得b＝0，∴直线l的解析式为y＝x，此时F与原点O重合，S△BCM＝S△BCO＝×4×8＝16，在点C的上方取一点E，使得OF＝OE＝4，过E作直线l′∥BC，当点P在y轴左侧直线l′上方时，对于每一个m的值，都有唯一确定的点P和它对应，∴m＞16．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、一元二次方程、相似三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，本题体现了数形结合的思想，学会利用图象解决问题，属于中考压轴题．。