第二章 三类典型的偏微分方程(基础资料)
偏微分方程的分类与性质
偏微分方程的分类与性质偏微分方程是数学中一个非常重要的分支，它广泛应用于自然科学、工程技术和经济管理等领域。
偏微分方程的分类与性质是深入研究偏微分方程、解决实际问题的前提和基础。
本文将介绍偏微分方程的分类方法和相关性质。
一、偏微分方程的分类方法根据方程中未知函数的个数和自变量的个数，可以将偏微分方程分为一维偏微分方程和多维偏微分方程。
一维偏微分方程中只有一个自变量，多维偏微分方程中有多个自变量。
1. 一维偏微分方程一维偏微分方程比较简单，可以按照方程中阶数的不同进行分类。
一般来说，可以将一维偏微分方程分为以下三种类型：（1）线性偏微分方程当一维偏微分方程的未知函数u及其偏导数的系数A(x)、B(x)等都是关于自变量x的线性函数时，就称其为线性偏微分方程。
线性偏微分方程多数可以通过常数变易法求解。
例如：$au_x+bu_{xx}+c=0$（2）半线性偏微分方程当一维偏微分方程的未知函数u是关于自变量x的线性函数，而其偏导数项中含有u关于自变量的非线性函数时，就称其为半线性偏微分方程。
这类方程的求解利用抛物型偏微分方程理论，例如：$u_t = \frac{1}{2}u_{xx} + u^2$（3）非线性偏微分方程当一维偏微分方程的未知函数u及其偏导数的系数A(x)、B(x)等都是关于自变量x的非线性函数时，就称其为非线性偏微分方程。
非线性偏微分方程的求解相对较难，很少能用解析法求解。
例如：$u_x+uu_{xx}=0$2. 多维偏微分方程多维偏微分方程具有更广泛的应用，包括流体力学、弹性力学、电磁场理论、热传导等方面。
多维偏微分方程的分类方法比较复杂，可以按照方程的形式、变量的类型、方程的类型等多个方面进行分类。
本文只介绍比较常用的分类方法：（1）仿射型偏微分方程多维偏微分方程中，如果只涉及到变量的一次多项式和常数的线性组合，就称为仿射型偏微分方程。
例如：$a_{11}\frac{\partial^2u}{\partialx^2}+2a_{12}\frac{\partial^2u}{\partial x \partialy}+a_{22}\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+b_1\frac{\partialu}{\partial x}+b_2\frac{\partial u}{\partial y}+cu=0$（2）椭圆型偏微分方程多维偏微分方程中，如果方程的解在变量取值范围内无界或呈指数增长，则该方程就称为椭圆型偏微分方程。
(整理)偏微分方程word电子讲义.
偏微分方程偏微分方程是一个非常广泛的课题，它包含分析的许多方面内容。
就我们现在的知识水平来说，我们只了解很少一点东西。
从十八世纪初开始，人们就开始结合物理、力学问题来研究偏微分方程，最早研究的几个方程是弦振动方程、热传导方程及调和方程，这部分理论已经被彻底地研究了，而且近乎完备，把它们称为偏微分方程的古典理论。
十八世纪后期在连续介质力学中研究流体的运动规律，在考虑流体的粘性时，描述运动规律的方程称为Navier-Stokes方程组，而在不计流体的粘性时，称为Euler方程组。
在此时期，描述弹性体运动规律的方程称为Saint Venant方程组。
到了十九、二十世纪，人们发现了描述电磁场运动规律的Maxwell方程组，描述微观粒子运动规律的Schrodinger方程及Dirac方程组，广义相对论中确定引力场的基本方程Einstein方程以及基本粒子规范场理论的基本方程Yang-Mills方程，在微分几何中研究极小曲面的极小曲面方程等等。
随着科学理论变得复杂，所提出的偏微分方程就愈多而且更加变化多端，可能出现的偏微分方程和方程组类型之多是出于想象的。
我们的目的是介绍现代偏微分方程理论中用到的一些技巧和方法。
众所周知，一本偏微分方程的书只能包括已有的基本材料的一小部分，因此我们必须作出选择，如何选择不是立足于逻辑基础上的，这种选择的主观性是相当明显的。
偏微分方程的内容是研究偏微分方程解的各种性质。
通常考虑以下问题1．对单个方程或方程组，应配以怎样的初值条件与边值条件使之具有解，这是解的存在性问题。
在研究解的存在性时，要明确解赖以存在的函数类。
2．解的唯一性或究竟有几个解，要明确使解为唯一的函数类。
3．解的正则性或光滑性。
是否为古典解、强解还是弱解？解具有几阶可微性？4．解的连续依赖性，必须明确是什么空间、什么范数实现的。
通常考虑的是解关于初、边值或关于方程系数，或在方程为线性时关于自由项的连续依赖性。
5．定解区域与影响区域。
数学物理方程02_线性偏微分方程的分类【OK】
数学物理方程
i
满足方程（4）
( i ) 2 ( i ) ( i ) ( i ) 2 a11 ( ) 2a12 a22 ( ) 0 x x y y
* * * a11 a22 ia12 0
a a 0, a 0
称（5）的积分曲线为PDE（1）的 特征曲线。
a11 (dy) 2 2a12 dxdy a22 (dx) 2 0
2 a12 a12 a11a22 dy dx a11
（6）
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数学物理方程
记 ( x, y) a a11a22
2 12
定义
方程(1)在点 M ( x, y ) 处是
的特解，则关系式 ( x, y) C 是常微分方程
（4）
a11 (dy) 2 2a12 dxdy a22 (dx) 2 0
的一般积分。反之亦然。
（5）
由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微分 方程（5）的一般积分。
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数学物理方程
定义
称常微分方程（5）为PDE（1）的 特征方程。
双曲型：若在点M处，有 ( x, y) 0
椭圆型：若在点M处，有 ( x, y) 0 抛物型： 若在点M处，有 ( x, y) 0
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数学物理方程
双曲型PDE
2 ( x, y) a12 a11a22 0
2 a12 a11a22 右端为两相异的 dy 实函数 dx a11 它们的一般积分为 ( x, y) C , ( x, y) C ( x, y ) 由此令 ，方程（1）可改写为 ( x, y ) 2u u u 双曲型方程的 A B Cu 第一标准型
数学的偏微分方程
数学的偏微分方程偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDE）是数学中的一门重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
本文将简要介绍偏微分方程的概念、分类和应用，并探讨其在现实生活中的重要性。
一、偏微分方程的概念偏微分方程是涉及未知函数的偏导数的方程。
与常微分方程不同，偏微分方程中的未知函数通常是多变量的函数。
偏微分方程的解是一个多变量函数，它满足方程中的所有偏导数关系。
二、偏微分方程的分类偏微分方程根据方程中出现的最高阶导数的类型和个数进行分类。
常见的分类包括：1. 线性偏微分方程与非线性偏微分方程：线性偏微分方程中，未知函数和其偏导数之间的关系是线性的；非线性偏微分方程中则不是线性关系。
2. 齐次偏微分方程与非齐次偏微分方程：齐次偏微分方程中，未知函数和其偏导数之间的关系不含有常数项；非齐次偏微分方程中则包含常数项。
3. 一阶偏微分方程与高阶偏微分方程：一阶偏微分方程中，方程中的最高阶导数是一阶导数；高阶偏微分方程中则是高于一阶的导数。
三、偏微分方程的应用偏微分方程在多个领域中都有广泛应用，包括但不限于以下几个方面：1. 物理学中的应用：偏微分方程在物理学中有着重要的应用，如热传导方程、波动方程、电磁场方程等。
这些方程描述了物理系统中的变化和传播过程，对于研究物理现象和解决实际问题至关重要。
2. 工程学中的应用：偏微分方程在工程学中也有着广泛的应用，如结构力学、流体力学、电路分析等。
这些方程可以描述工程系统中的变化和行为，为工程设计和优化提供理论基础。
3. 经济学中的应用：偏微分方程在经济学中的应用越来越重要。
例如，用偏微分方程可以描述金融市场中的价格变动和风险传播，对于风险管理和投资决策有着重要的意义。
四、数学的偏微分方程的重要性数学的偏微分方程在科学研究和工程应用中具有重要的地位和作用。
通过研究和解决偏微分方程，我们可以深入理解自然界和人类社会中的各种现象和问题，为科学技术的发展和社会进步做出贡献。
偏微分方程的分类与应用场景
偏微分方程的分类与应用场景偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学中研究函数的微分方程的一种重要分支，广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
它描述了多个变量之间的关系，并用于研究自然界中的各种现象和问题。
本文将探讨偏微分方程的分类以及在不同应用场景中的具体应用。
一、偏微分方程的分类偏微分方程按照方程所涉及的变量和未知函数的阶数，可以分为各种类型，常见的分类如下：1. 一阶偏微分方程（First-order PDEs）：这类方程中，未知函数及其偏导数的最高阶数为一阶。
例如线性传热方程、线性对流方程等都属于一阶PDEs。
2. 二阶偏微分方程（Second-order PDEs）：这类方程中，未知函数及其偏导数的最高阶数为二阶。
二阶偏微分方程是研究最广泛且也最有挑战性的类型，常用于描述波动、扩散、静电场和引力场等现象。
其中常见的二阶偏微分方程包括泊松方程、热方程和亥姆霍兹方程等。
3. 高阶偏微分方程（Higher-order PDEs）：这类方程中，未知函数及其偏导数的最高阶数大于二阶。
高阶偏微分方程往往需要更复杂的数学方法和技巧来求解，因此在实际应用中较为罕见。
4. 线性偏微分方程（Linear PDEs）：这类方程中，未知函数及其偏导数之间的关系是线性的。
线性偏微分方程的求解比较容易，且可以通过叠加原理进行求解。
常见的线性偏微分方程有波动方程、亥姆霍兹方程和拉普拉斯方程等。
5. 非线性偏微分方程（Nonlinear PDEs）：这类方程中，未知函数及其偏导数之间的关系是非线性的。
非线性偏微分方程的求解相对困难，往往需要借助数值计算或其他近似方法来求解。
非线性偏微分方程在流体力学、非线性光学等领域具有重要应用。
二、偏微分方程的应用场景1. 热传导方程（Heat Equation）：热传导方程是一种描述物质温度分布随时间变化的偏微分方程，常应用于研究热传导、换热和热流动等问题。
第二章三类典型的偏微分方程
第二章 三类典型的偏微分方程
简化假设：
在弦上任取一小段 (x, x x)它的弧长为：
s
x x x
1
(
u x
)
2
dx
y
M'
s
T'
'
M
gs
T
x
x x x
由于假定弦在平衡位置附近做微小振动， u 很小，从而
x
x x
s x 1dx x
可以认为这段弦在振动中没有伸长，由胡克定律可
知，弦上每一点所受张力在运动过程中保持不变，与时
设场内热源为稳态的，即为 f(x, y, z)
流场温度不随时间变化，即T=T( x, y, z ) 则有
第二章 三类典型的偏微分方程
其中：
2T 2T 2T g(x, y, z,t) x2 y2 z2
g(x, y, z,t) f (x, y, z,t) / a2
这就是稳态方程，称为泊松方程。
c
第二章 三类典型的偏微分方程
☆ 三维热传导方程的推导
根据热学中的傅立叶定律
在dt时间内从dS流入V的热量为：
dQ k T dSdt k T nˆdSdt kT dSˆdt
n 从时刻t1到t2通过S流入V的热量为
S n
M V
S
热场
Q1
t2
t1
S
kT
dSˆ
dt
高斯公式（矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分）
t 2 x2
2u t 2
a2
2u x2
0
令：a
E
2u P
t 2 x
第二章 三类典型的偏微分方程
☆ 静止空气中一维微小压力波的传播
偏微分方程分类与标准型PPT课件
解： a11 1, a12 cos x, a22 ( 3 sin2 x)
cos2 x 3sin2 x 4 0 双曲型方程
特征方程 ( dy )2 2cos x dy (3 sin2 x) 0
dx
dx
特征方程的解： dy cos x 2, dy cos x 2
dx
Am2 Bm C 0
证明二阶线性偏微分方程 Auxx Buxy Cuyy 0
的通解为： u f (m1 x y) g(m2 x y)
证明：设 m1 x y, m2 x y
则：
1 (4AC A
B2 )u
0
u 0
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§4 三类方程的简化形式
1.双曲方程型方程：
1 )u
2Cu F ]
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小结：三种方程的标准型式：
(1) a122 a11a22 0 u u Au Bu Cu D
(2) a122 a11a22 0,
u Au Bu Cu D (3) a122 a11a22 0
u u Au Bu Cu D
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例题1：分类并标准化方程：
解：该方程的 特征方程：
故该方程是抛物型的。
特征的解：
从而得到方程的一族特征线为：
自变量代换
(由于ξ和η必须函数无关,所以η宜取最简单 的函数形式,即η=x 或η=y)
原方程化简后的标准形式为：
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例2. 判断偏微分方程类型并化简：
uxx 2uxy 3uyy 2ux 6uy 0
解：∵
a11 1 a12 1 a22 3 故
故该方程为双曲型偏微分方程，其特征方程
a122 a11a22 4 0
偏微分方程理论的归纳与总结
偏微分方程基本理论的归纳与总结偏微分方程就是储存自然信息的载体,自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来、最为一种语言,微分方程在表达自然定律方面比文字具有更强的优越性、微分方程就是一个庞大的体系,它的基本问题就就是解的存在性与唯一性、该学科的主要特征就是不存在一种可以统一处理大多数偏微分方程的适定性问题的普适的方法与理论、这就是与常微分方程有显著差异的地方、这种特性使得我们将方程分为许多种不同类型,这种分类的依据主要来自数学与自然现象这两个方面、从数学的角度,方程的类型一般总就是对应于一些普遍的理论与工具、换句话讲,如果能建立一个普遍性的方法统一处理一大类方程问题,那么这个类型就被划分出来、而从自然现象的角度,我们又可以根据不同的运动类型以及性质将方程进行分类、当然这两种方式常常不能截然区分,通常它们就是相互关联的,这就造成方程的概念有许多重叠现象、根据数学的特征,偏微分方程主要被分为五大类,它们就是:（1）线性与拟微分方程,研究这类方程的主要工具就是Fourier分析方法;（2）椭圆型方程,它的方法就是先验估计+泛函分析手段;（3）抛物型方程,主要就是Galerkin方法,算子半群,及正则性估计;（4）双曲型方程,对应于Galerkin方法;（5）一阶偏微分方程,主要工具就是数学分析方法、从自然界的运动类型出发,偏微分方程可分为如下几大类:（1）稳态方程(非时间演化方程);（2）耗散型演化方程,这类方程描述了时间演化过程中伴有能量损耗与补充的自然运动、相变与混沌就是它们的主要内容;（3）保守系统,如具有势能的波方程、该系统控制的运动就是与外界隔离的,及无能量输入,也无能量损耗、行波现象与周期运动就是它们的主要特征;（4）守恒律系统,这类方程就是一阶偏微分方程组,它们与保守系统具有类似的性质,可视为物质流的守恒、激波行为就是由守恒律系统来控制、下面具体来介绍三类经典方程:三类典型方程:椭圆型方程,抛物型方程,双曲型方程,即偏微分方程模型的建立,解问题的解法以及三类典型方程的基本理论、关于三类典型方程定解问题的解题方法,它们主要就是分离变量法、积分变换法、特征线法、球面平均法、降维法与Green 函数方法、关于三类典型方程的基本理论——极值原理与能量估计,并由此给出了解的唯一性与稳定性的相关结论、具体来说,关于二阶线性椭圆形方程,我们研究它的古典解与弱解、前者主要介绍了基本解、调与函数的基本性质、Green 函数、极值原理、最大模估计、能量方法与变分原理;而后者的研究则需要知道Sobolev空间的相关知识再加以研究;关于二阶线性抛物型方程,主要研究它的Fourier 变换、特殊的求解方法、基本解、方程式与方程组的最大值原理以及最大模估计、带有非经典边界条件与非局部项的方程式的最大值原理及能量方法;关于二阶线性双曲型方程,主要研究初值问题的求解方法、初值问题的能量不等式与解的适定性、以及混合问题的能量模估计与解的适定性、椭圆、抛物与双曲这三类线性偏微分方程解的适定性问题,它们分别以拉普拉斯方程、热传导方程与波动方程作为代表、具体地说,对于某些规则的求解区域试图求出满足特定线性偏微分方程与定解条件的具体解,这就决定了存在性问题;再利用方程本身所具有的特殊性质,将证明所求解就是唯一的,也就解决了唯一性问题;关于连续依赖性问题,需要在不同函数空间中考虑,我们将在连续函数空间与平方可积函数空间中分别讨论解关于输入数据的连续依赖性问题学习偏微分方程理论以及偏微分方程分析就是研究其它一切的基础、首先有必要解释一下解的适定性、简单地说,一个偏微分方程就是适定性的,若它有解(存在性)解唯一(唯一性)且对输入数据的微小改变的响应也就是很小的改变(连续依赖性)、前两个准则就是一个有意义的物理模型所要求的,第三个准则就是实验观察的基础、考虑适定性时,还应记得对有实际意义的问题通常不可能求得显示解,从而可考虑逼近格式,特别就是数值解在应用中就具有特别的重要性、因此,适定性问题与偏微分方程科学计算的如下中心问题有密切联系:对一个问题给定一定精度的数据,数值解计算输出有多少精度？正因为这个问题对现代定量科学的重要性,适定性成为偏微分方程理论的核心内容、因此,偏微分方程的学习应以三类线性偏微分方程的适定性问题为主要研究对象、同时,考虑到偏微分方程理论的两个特点:一就是与应用、与物理的紧密联系;二就是与数学其它分支的联系、以下,我们具体来说一下其两个具有应用价值的特点、针对特点一:首先,数学物理方程就是自然科学与工程技术的各门分支中出现的偏微分方程,这些方程给出了所考察的物理量关于自变量(时间变量与空间变量)的偏导数的关系、例如连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学物理的范畴,数学物理方程侧重于模型的建立与定解问题的解题方法,而偏微分方程则侧重于其自身的数学理论,所以偏微分方程理论的研究就是能够更好地将其运用于物理当中、针对特点二:偏微分方程理论与其她数学分支如泛函分析、数论、拓扑学、代数、复分析等紧密联系、偏微分方程理论广泛应用数学这些领域中的基本概念,基础思想与基本方法,并且它本身也给这些学科分支的研究问题的范围与方向以影响、鉴于此,对于应用数学而言,掌握与研究偏微分方程的目的主要应该放在以下几个方面:(1)建立模型、在经典物理中,具有普遍意义的自然定律不仅可以用实验手段获得,而且根据这些定律很容易对相应的自然现象建立数学模型、如天体力学,连续介质力学,流体动力学以及经典电磁学中的物理定律就属于这种情况、在近代物理中,情况有一些变化、咋爱量子力学与广义相对论中,一些自然规则与物理定律就是隐而不见的,此时数学物理方程就是依靠部分物理原则与实验数据猜测出来的、然而,到了现代数学阶段,大多数面临的问题仅依靠物理或数学的单一学科知识与直觉建立模型已变得非常困难,必须具备多学科交叉能力才行、因此,只有系统全面地掌握偏微分方程的理论与方法,才能训练出从方程解的性质反推出模型的形式的能力,这里方程解的性质就是由实验数据与观测资料所提供、这种模型反推能力再结物理直觉就就是现在建立数学模型的基本要求;(2)从已知的方程与模型推导出新的发现与预言、这个方面可以说就是科学发展最重要的环节之一;(3)从控制自然现象的微分方程中得到问题的机理与解释;(4)最后一个方面就就是从数学模型获得与实验与观测相吻合的性质与结论、虽然这类工作不能提供新的科学结果,但能使我们加深对问题的理解,体现自然美与数学美的有机结合、在总结了偏微分方程理论所研究的内容及其特点以后,我们该怎样学习基本理论呢？首先,对于每一类方程,我们要了解它的物理背景及其意义,否则,我们根本不知道它在说什么、事实上,同一个方程有许多不同的来源,这一方面就是偏微分方程理论具有广泛应用的原因之一、同时对于不同的来源进行类比研究可以更好地解释物理过程的某些特性,因为某个具体物理特性在某个物理过程还没有被观察到或没有引起注意,而在另外某个物理过程已经被观察注意到了,如果这两个物理过程服从同一个偏微分方程,则在原来的物理过程中应该也具有这个特性、其次,在对数学模型研究之后,需要有意识地讲数学解带回原来的物理意义中,去理解,解释物理现象、这一方面可以验证数学模型的有效性,另一方面可以更好地理解已知的物理现象,从而更加深刻地了解其在现实中的意义、然后,要善于去思考,总结,归纳、逐步提高分析、解决实际问题的能力、至于与数学其她学科的联系,比如,求解过程中将会用到许多微积分或数学分析的概念,思想,与定理,解的表达形式也就是有积分形式的或级数形式的,解空间的结构则用到许多线性代数的知识、最后,学好泛函分析也就是同等重要的,因为偏微分方程解的唯一性与连续依赖性需要许多实变与泛函分析的理论与方法、所以在重视偏微分方程基本理论时(实变函数与泛函分析的许多思想方法都就是来源于偏微分程理论研究),也要同样学好泛函分析、参考文献（1）王明新,偏微分方程基本理论;（2）马天,偏微分方程理论与方法;（3）王明新,数学物理方程、。
偏微分方程资料
1 Fourier变换定义：若，则称为的Fourier变换，记作或。
相反，如果，则称为的傅里叶逆变换，记为．对于维函数，定义为的Fourier变换；其逆变换公式为：．例1 求的Fourier变换。
解由Fourier的定义得例2：求解波动方程的初值问题解：方法一：用Fourier变换法来求解。
对方程以及初始条件关于变量x取Fourier变换得，解之得：取Fourier逆变换得到：方法二：运用叠加原理及行波法来求解。
根据线形片未分方程的叠加原理，方程可以分解成下面的两个问题的求解：那么原方程的解可以写成：对于方程（1），依据齐次化原理，方程的求解可以转化成下面问题的求解：并且根据行波法，可以求得上述方程的解为：则对于方程（2），直接根据行波法可以求得：那么原方程的解为：2分离变量法2．1分离变量法的物理背景以及基本思想分离变量法又称为Fourier方法，而在讨论波动方程时也称为驻波法。
此方法源于物理事件中的如下事实：机械振动或电磁振动总可以分解为具有某种频率和振幅的简谐振动的叠加。
而每一个简谐振动具有形式：，这正是物理上的驻波。
从数学的角度看，驻波就是知含变量和只含变量的函数的乘积，即具有分离变量的形式。
由此启发我们在求解线性定解问题的时候，可尝试先求出满足齐次方程和齐次边界条件的具有变量分离形式的解然后将它们叠加起来，记为：然后再利用初始条件确定各项中的任意常数，使其成为问题的解。
2．2使用分离变量法解题得五个步骤：(1分离变量：将分离变量的形式代入方程以及边界条件中。
(2解常微分方程(3决定解的结构(4利用叠加原理得到级数形式的解(5利用初始条件和尚未利用的边界条件来确定叠加系数。
例1：试用分离变量法来求解下面定解问题解：①分离变量法：令代入上述方程中，方程变为令则加上边值条件有，原方程即化成下面的形式：②解方程，对参数进行分类讨论如下：(1当时，方程(2的解为：其中，由条件(4确定，又因为则有：得到故：即：显然零解是没有意义的，故舍去的情形。
偏微分方程的分类与应用
偏微分方程的分类与应用偏微分方程是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程和自然科学等领域。
它们是描述多变量函数与它们的偏导数之间关系的数学方程。
不同类型的偏微分方程具有不同的特点和解法，本文将对偏微分方程进行分类，并介绍其在实际应用中的重要性和应用示例。
一、分类根据方程中未知函数的个数以及变量的个数，可以将偏微分方程分为以下几类：1. 波动方程（Wave Equation）波动方程描述了波动的传播和叠加。
典型的波动方程是一维波动方程和二维波动方程，它们分别描述了一维波动和二维平面波动。
2. 热传导方程（Heat Equation）热传导方程描述了由热量传导引起的温度分布变化。
它被广泛应用于描述热传导现象，如材料的热扩散和热传感器的设计。
3. 扩散方程（Diffusion Equation）扩散方程描述了物质的浓度、温度或其他性质在空间中的扩散过程。
它在化学反应、扩散现象和生物学中有重要应用。
4. 泊松方程与拉普拉斯方程（Poisson Equation and Laplace Equation）泊松方程和拉普拉斯方程描述了静电场和稳定状态下的电势分布。
它们广泛应用于电场计算和电势分析。
5. 对流方程（Convection Equation）对流方程描述了物质的传输中同时存在扩散和对流的情况。
它在流体动力学、气象学和地理学中有重要应用。
二、应用偏微分方程在科学与工程领域的应用非常广泛。
以下为其中几个典型的应用示例：1. 物理学中的波动方程波动方程广泛应用于描述声波、光波等在各种介质中的传播。
例如，在声学领域，可以利用波动方程模拟声波在各种材料中的传播，进而分析和优化声学设备的性能。
2. 工程学中的热传导方程热传导方程在工程热学中具有重要应用。
例如，在建筑工程中，可以使用热传导方程来模拟建筑物内部的温度分布，优化空调系统的设计，提高能源利用效率。
3. 生物学中的扩散方程扩散方程被广泛应用于描述细胞内分子扩散、药物输送和化学反应等生物学过程。
数学中的偏微分方程
数学中的偏微分方程数学是一门抽象而又深刻的学科，它在自然科学、工程学和社会科学等领域中发挥着重要的作用。
数学中的偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是研究数学模型中变量与它们的偏导数之间关系的方程。
它们在物理学、生物学、经济学等各个领域中都有广泛的应用。
1. 偏微分方程的基本概念和分类偏微分方程是描述多个变量之间相互依赖关系的数学方程。
它包含了未知函数及其偏导数，不同类型的偏微分方程有不同的特点和求解方法。
根据方程中未知函数的偏导数的阶数，偏微分方程可分为一阶、二阶、三阶等不同阶数的方程。
根据方程中未知函数出现的变量的个数，偏微分方程可分为单变量偏微分方程和多变量偏微分方程。
2. 常见的偏微分方程及其应用领域偏微分方程在各个领域中都有重要的应用。
以下是一些常见的偏微分方程及其应用领域的简要介绍：(1) 抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程是描述热传导、扩散等问题的方程。
它在物理学中有广泛的应用，比如热传导方程、扩散方程等。
它们描述了物质的温度、浓度等在空间和时间上的变化。
(2) 椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程是描述平衡态下的稳定性分布和最优化问题的方程。
它们在物理学、力学、电磁学等领域中有广泛的应用，比如拉普拉斯方程、泊松方程等。
(3) 双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程是描述波动、振动等问题的方程。
它们在物理学、电磁学、声学等领域中有广泛的应用，比如波动方程、运输方程等。
(4) 广义的偏微分方程广义的偏微分方程是包含多个未知函数及其偏导数的方程。
它们在控制理论、经济学、生物学等领域中有重要的应用，比如哈密尔顿-雅可比方程、富里埃方程等。
3. 偏微分方程的数学理论与求解方法偏微分方程的求解是数学的重要问题之一。
根据偏微分方程的类型和性质，可以采用不同的求解方法。
常见的求解方法包括分离变量法、变量替换法、特征线法、变分法和数值方法等。
数值方法是解决大规模偏微分方程的常用方法之一，它基于离散化的思想，将偏微分方程转化为代数方程组，然后使用计算机进行求解。
偏微分方程
3
(3)式的一对实解(u, v )组成复变元z = x + iy 的解析函数 f (z ) = f (x + iy ) = u(x, y ) + iv (x, y ). ♣ 也可以把(u(x, y ), −v (x, y ))看成无旋不可压缩流体的速度场。 ♣ 不可压缩无旋流的速度势、重力场、电场以及处于热平衡状态的温度分布场均满 足n = 3时的方程(2)。 例2. 波动方程（wave equation） utt = c2 ∆u (c > 0常数), 其中u = u(t, x1 , · · · , xn )。 ♣ n = 1 : 弦的振动，波在管中的传播波，c表示传播速度。 n = 2 : 浅水面上的水波。 n = 3 : 声波或光波。 (5) (4)
|xθ |2 xtt − 2 xt , xθ xtθ + (|xt |2 − 1)xθθ = 0.
(14)
例10. 密度为ρ的二维定态绝热无旋等熵流的速 .度 . φ(x, y ) (其速度分量为φx , φy )满 .势 足下述二阶拟线性方程
−2 −2 2 (1 − c−2 φ2 x )φxx − 2c φx φy φxy + (1 − c φy )φyy = 0,
1
绪 言
§ 1.
•
基本概念
偏微分方程（PDE）
关于函数u(x, y, · · · )的PDE是形如 F (x, y, · · · , u, ux , uy , · · · , uxx , uxy , · · · ) = 0 的关系式，其中F 是自变量x, y, · · · ,未知函数u以及u的有 限多个偏导数的已知函数。 ::::: • 解(solution)： 称u是(1)的::: 解，如果把u(x, y, · · · )及其相应的偏导数代入(1)式后，在x, y, · · · 空间的 某个区域Ω中(1)式关于这些变量恒等地成立。 ♣ 除非有相反的说明，在本课程中我们总是要求x, y, · · · 是实的，u以及在方程(1)中 (1)
偏微分方程的基本分类与解法
偏微分方程的基本分类与解法偏微分方程（Partial Differential Equations）是数学领域中研究函数及其偏导数的方程。
它在物理、工程和金融等多个领域中具有广泛的应用。
本文将对偏微分方程的基本分类和解法进行介绍。
一、基本分类偏微分方程可以根据方程中未知函数的阶数、方程中未知函数及其偏导数的最高阶数、方程中出现的独立变量的个数等因素进行分类。
下面将介绍几种常见的偏微分方程类型：1. 线性偏微分方程（Linear PDEs）：线性偏微分方程的未知函数及其偏导数在方程中以线性的方式出现，即未知函数及其偏导数之间没有乘积或除法的项。
典型的线性偏微分方程包括波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程等。
2. 非线性偏微分方程（Nonlinear PDEs）：非线性偏微分方程的未知函数及其偏导数在方程中以非线性的方式出现。
非线性偏微分方程的研究更加复杂和困难，因为它们通常没有简单的通解，需要依赖于数值方法或近似解法。
3. 偏微分方程的阶数（Order）：偏微分方程的阶数指的是未知函数及其偏导数的最高阶数。
常见的偏微分方程阶数包括一阶、二阶和高阶偏微分方程等。
4. 线性度（Degree of Linearity）：线性度是指方程中未知函数和它的偏导数的最高次数。
线性偏微分方程的线性度为一，非线性偏微分方程的线性度大于一。
二、解法解偏微分方程的方法有很多，下面将介绍几种常见的解法：1. 分离变量法（Separation of Variables）：分离变量法适用于可以将偏微分方程的未知函数表示为各个独立变量的乘积形式的情况。
通过将未知函数表示为各个独立变量的乘积形式，并将方程中的偏导数转化为普通导数，从而将原方程转化为一系列的常微分方程。
通过求解这些常微分方程，并将解合并起来，即可得到原偏微分方程的解。
2. 特征线方法（Method of Characteristics）：特征线方法是用于解一阶偏微分方程的一种常用方法。
偏微分方程理论
偏微分方程理论偏微分方程(Partial Differential Equations, PDEs)是数学中的一个重要分支，它探究的是多变量函数的偏导数与函数本身之间的关系。
在物理学、工程学以及经济学等领域，PDEs的应用广泛而深远。
本文将介绍偏微分方程理论的基本概念、分类以及一些解法。
一、基本概念偏微分方程是描述真实世界现象的数学模型，它包含了一个或多个未知函数及其偏导数。
一般来说，一个PDE可以用如下形式表示：F(x, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ..., ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2, ...) = 0其中，x表示自变量，u表示未知函数，∂u/∂x表示u对x的偏导数。
二、分类根据常系数与偏导数的次数，PDEs可分为线性偏微分方程和非线性偏微分方程。
1. 线性偏微分方程：具有形如下式的特点：a(x, y)∂^2u/∂x^2 + b(x, y)∂^2u/∂x∂y + c(x, y)∂^2u/∂y^2 + ...+ d(x, y)∂u/∂x + e(x, y)∂u/∂y + f(x, y)u = g(x, y)其中，a、b、c等为常系数。
2. 非线性偏微分方程：指不能写成如上形式的偏微分方程，通常较难求解，需借助数值方法。
三、解法1. 分离变量法：适用于某些特殊的线性偏微分方程，假设解可以表示为两个或多个单变量函数的乘积，然后通过代入和分离变量的方法，将PDE分解为一系列常微分方程。
2. 特征线法：适用于一类特殊的线性偏微分方程，通过对特征线上的偏导数进行积分，将PDE转化为一系列常微分方程。
3. 变换法：通过变换自变量或因变量，将PDE转化为标准形式，进而求解。
四、应用偏微分方程广泛应用于自然科学和工程学等领域。
以下是一些常见的应用案例：1. 热传导方程：用于描述物体的温度分布与时间之间的关系，如热传导、热扩散等问题。
2. 波动方程：描述机械波、声波以及电磁波等的传播与变化，如弦的振动、声音的传播等。
偏微分方程的基本概念
偏微分方程的基本概念偏微分方程是数学中一类重要的方程，由于其广泛应用于自然科学、工程技术、经济学等领域，因此被广泛研究和应用。
本文将对偏微分方程的基本概念进行系统的讲解，旨在为读者介绍偏微分方程的基本概念和理论基础。
一、偏微分方程的定义偏微分方程是指一个包含多个变量的方程，其中每个变量的导数中有一个或多个是变量的函数。
一般形式为：$$F(x_1,x_2,\cdots,x_n,u,\partial u/\partial x_1,\partial u/\partial x_2,\cdots,\partial u/\partial x_n,\partial^2u/\partialx_1^2,\cdots,\partial^2u/\partial x_n^2,\cdots)=0$$其中$u$表示未知函数，$\partial u/\partial x_i$表示$u$关于$x_i$的一阶偏导数，$\partial^2 u/\partial x_i^2$表示$u$关于$x_i$的二阶偏导数。
二、偏微分方程的分类偏微分方程的分类主要有三种方式：按阶数分类、按类型分类、按解的特征分类。
按阶数分类，偏微分方程可分为一阶偏微分方程和二阶偏微分方程等。
一阶偏微分方程的类型包括可分离变量型、齐次型、一般型等；二阶偏微分方程的类型包括椭圆型、双曲型、抛物型等。
按类型分类，偏微分方程可分为线性偏微分方程和非线性偏微分方程等。
线性偏微分方程是指未知函数及其一阶和二阶偏导数之间的关系是线性的方程，非线性偏微分方程则是指这种关系不是线性的方程。
按解的特征分类，偏微分方程可分为初值问题、边值问题、本征值问题等。
初值问题是指给定$u$及其各阶偏导数在某一时刻的值，求它在不同时间下的解；边值问题是指在一个确定区域内，给定$u$在边界上的值，求解整个区域内$u$的解；本征值问题是指在某一区域内，找到满足某些条件的未知函数及其特征值。
三、偏微分方程的解法偏微分方程的解法有多种，常见的解法包括：分离变量法、变系数叠加法、矩估计法、变换法、特征线法、有限元法等。
三类定义偏微分方程
三类定义偏微分方程标题：三类定义偏微分方程：探索数学中的复杂性简介：偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是数学领域中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学和自然科学等领域。
它们描述了涉及多变量函数的各种现象和现实问题，并在解决这些问题时发挥着关键作用。
本文将深入探讨三类常见定义的偏微分方程，包括椭圆型、抛物型和双曲型方程，并从数学的角度对其进行分析和理解。
第一部分：椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程是在物理和数学中经常遇到的一类方程，其中最著名的就是拉普拉斯方程。
这种方程在热传导、电场和势能等问题中起着重要作用。
我们将从椭圆型方程的定义、基本性质和解的表达式入手，讨论其在物理问题中的应用，并深入探讨椭圆型方程的解的存在唯一性定理。
第二部分：抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程被广泛应用于描述热传导、扩散和动力学等过程。
其中最常见的方程是热传导方程和扩散方程。
我们将探讨抛物型方程的特征、解的性质以及解的存在性和唯一性问题。
此外，我们还将讨论抛物型方程在物理学和工程学中的应用，并考虑时间离散化方法来数值求解这类方程。
第三部分：双曲型偏微分方程双曲型偏微分方程常常出现在描述波动和振动等动态过程中。
最著名的双曲型方程是波动方程和传输方程。
我们将讨论双曲型方程的特性、解的性质以及它们在物理学和工程学中的应用。
此外，我们还将介绍古典解和弱解的概念，并讨论双曲型方程的数值方法。
结论与回顾性总结：在本文中，我们深入探讨了三类定义的偏微分方程：椭圆型、抛物型和双曲型方程。
我们从每个方程的定义和特性入手，讨论了它们在物理学和工程学中的广泛应用。
通过分析解的存在性和唯一性，我们理解了这些方程的解决方法和解的性质。
此外，我们还考虑了数值方法来近似求解这些方程。
通过本文的阅读，我们希望读者能够得到对偏微分方程的深刻理解，并将其应用于实际问题中。
对概念的观点和理解：偏微分方程作为数学的重要概念，为解决现实生活中的各种问题提供了强大的工具。
偏微分方程基本概念与三类典型方程的导出
nv
它所包围的区域记为 .
G
由热传导的 Fourier 实验定律知，
S
热场
在[t, t+dt] 时间内，流过曲面 ds 的热量 dQ 为
dQ
k
(x,
y,
z)
u
dsdt
k
u
v dSdt
n
24
其中 n 为曲面 ds 的外法向向量，k为热传导系数。
故从t1 到t2 这段时刻流入曲面内部的热量为
Q1
其质量为 x, 所以由Newton第二定律知
T
sin
T sin
F (x,t)x
2u t 2
(x,t)x
17
因为假设弦作微小的横向振动，故振动过程 中，弦上的切线倾斜角也很小。这时有
（1）由于 cos 1 2 4 L
24
略去 , 的高于一次方的各项有
cos cos 1.
（2）
sin tg u (x,t)
t2
t1
c
u t
(
x,
y,
z,
t)dxdydz
dt
其中c为比热， 为质量密度。
由能量守恒定律，有
Q1 Q2.
26
由Gauss公式有
S
k
u n
dS
S
ku
v dS
ku
dxdydz
kudxdydz.
故有
t2
t1
c
u t
dxdydz
dt
t2
t1
kudxdydz dt.
以上推导过程实际上就是将微元运动满足的物理 定律翻译成用已知函数、未知函数及其偏导数 表示的数学式子。弦振动中的基本物理定律是 牛顿第二定律和胡克定律。弹性杆的纵振动、 弹性模的横振动、声波在空气中的传播等，都 可用类似方法导出同一类型的方程
偏微分方程的分类与求解方法
偏微分方程的分类与求解方法偏微分方程（Partial Differential Equations, PDEs）是描述自然界和物理现象中的变化过程的重要数学工具。
它涉及多个自变量和导数，可以用来描述涉及多个变量及其变化率的复杂问题。
在数学、物理学、工程学等领域中，偏微分方程广泛应用于研究和解决实际问题。
本文将介绍偏微分方程的分类与求解方法。
一、偏微分方程的分类偏微分方程可以根据方程中未知函数的阶数、方程类型以及系数的性质等多个因素来进行分类。
下面将介绍几种常见的偏微分方程分类。
1. 齐次与非齐次偏微分方程当方程中未知函数及其各阶偏导数的总次数都为整数时，称为齐次偏微分方程。
齐次偏微分方程的解是一类特殊的函数族。
与之相反，非齐次偏微分方程中的未知函数及其各阶偏导数总次数之和不等于整数。
求解非齐次偏微分方程需要特殊的方法。
2. 线性与非线性偏微分方程根据方程中未知函数的线性性质，可以将偏微分方程分为线性和非线性两类。
当方程中未知函数及其各阶偏导数的系数与未知函数之间都是线性关系时，称为线性偏微分方程。
线性偏微分方程的求解较为简单。
与之相对，非线性偏微分方程的系数与未知函数之间存在非线性关系，求解较为困难。
3. 一阶、二阶和高阶偏微分方程根据未知函数的导数阶数，可以将偏微分方程分为一阶、二阶以及高阶偏微分方程。
一阶偏微分方程中涉及到未知函数的一阶导数，例如常见的一阶线性偏微分方程：$\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial u}{\partial y} = 0$。
二阶偏微分方程中涉及到未知函数的二阶导数，例如常见的二阶线性齐次偏微分方程：$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$。
高阶偏微分方程则涉及到更高次的导数。
二、偏微分方程的求解方法对于不同类型的偏微分方程，可以采用不同的求解方法。
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T
u2 (x, t) x2
g
令：
a2
T
a 就是弦的振动传播速度
2u t 2
a2
2u x2
g
………一维波动方程
自由项 ------非齐次方程
忽略重力作用：
2u a2 2u
t 2
x2
------齐次方程
苍松优选
7
第二章 三类典型的偏微分方程
当存在外力作用时：
假设外力在 x处外力密度为：F(x,t) 方向垂直于 x 轴。
由于假定弦在平衡位置附近做微小振动， u 很小，从而
x
x x
s x 1dx x
可以认为这段弦在振动中没有伸长，由胡克定律可
知，弦上每一点所受张力在运动过程中保持不变，与时
间无关。即 x点处的张力记为T (x)。
由于弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。
由于振幅极小， 张力与水平方向的夹角很小。
通过截面x，受到弹性力P(x,t)S的作用 通过截面x + dx受到弹性力P(x + dx, t)S的作用 P(x, t)为单位面积所受的弹性力(应力)，沿x方向为正．
根据Newton第二定律，就得到：
P(x
dx, t )
P( x, t ) S
Sdx
2u t 2
根据胡克定律 P E u
x
2u P
p
动力学方程 连续性方程 物态方程
考虑到微小压力波，u 是一阶小量，u 和是u 二u 阶小量
x x
u， u 1 p
t
x
t x
苍松优选
13
第二章 三类典型的偏微分方程
t
p
p t
1 a2
p t
代入 u 得
t
x
u 1 p
x a2 t
对t求导，得
2u xt
1 a2
2 p t 2
第二章 三类典型的偏微分方程
三类典型的偏 微分方程
苍松优选
1
第二章 三类典型的偏微分方程
2.1 波动方程
☆ 一维波动方程 最典型的一维波动问题是均匀弦的横向振动问题。
一根紧拉着的均匀柔软弦，长为l，两端固定在X轴上O、 L两点，当它在平衡位置附近做垂直于OL方向的微小横向 振动时，求这根弦上各点的运动规律。
y
O
Lx
苍松优选
2
第二章 三类典型的偏微分方程
讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题。 要确定弦的运动方程，需要明确：
确定 弦的 运动 方程
(1)要研究的物理量是什么？ 弦沿垂直方向的位移 u ( x, t )
（2）被研究的物理量遵循哪些 物理定理？牛顿第二定律. （3）按物理定理写出数学物 理方程（即建立泛定方程）
xg
x
2u( x, t ) t 2
0
由中值定理：
u(x x,t) u(x,t) 2u(x x,t)
x
x
x2
x
0 1
y
令x 0，此时x x x
M'
s
T'
'
T
2u( x, t ) x2
x
xg
x
2u( x, t ) t 2
0
T
M
gs
苍松优选
x
x x x
6
第二章 三类典型的偏微分方程
2u( x, t ) t 2
x 为单位质量在苍松点优选处所受外力。
8
第二章 三类典型的偏微分方程
弦振动方程中只含有两个自变量：x,t 。由于它描写的是
弦的振动，因而它又称为一维波动方程。类似可以导出二维波 动方程（如膜振动）和三维波动方程，它们的形式分别为：
二维波动方程：
2u t 2
a2
2u x2
2u y2
f
(x,
y,t)
M'
s
T'
'
M
gs
T
x
x x x
苍松优选
5
第二章 三类典型的偏微分方程
纵向：T(x)sin T(x x)'sin ' sg sa
a 为小弦段在纵向的加速度
sin tan u(x,t) , sin ' tan ' u(x x,t)
x
x
T
u(x x,t) x
u ( x, t ) x
t 2 x
2u E 2u 0
t 2 x2
令：a
E
2u t 2
a2
2u x2
0
苍松优选
12
第二章 三类典型的偏微分方程
☆ 静止空气中一维微小压力波的传播
设ρ为空气的密度，u为压力诱导的速度，由一维欧拉方程：
u u 0
t x x
u u u 1 p
t x x
a2
T
u(
x
x, x
t
)
u(x, x
t
)
xg
x
2u(x, t 2
t
)
x x
F ( ,t)dx
x
等号两边用中值定理：并令 x 0
T
2u( x, t ) x2
g
2u( x, t ) t 2
F ( x, t )
等号两边除以
2u t 2
a2
2u x2
g
f
( x, t )
f (x,t) F(x,t)
利用
u 1 p
t x
得
2 p t 2
a2
2 p x2
一维声波方程。
苍松优选
14
第二章 三类典型的偏微分方程
☆ 静止空气中三维声波方程
2 p t 2
a2
2 p x2
2 p y2
2 p z 2
a
p
为声波速度
☆ 微幅水波动方程
式中：
2 (x, t)
t 2
a2
2 (x, t)
x 2
水波速度为
☆ 均匀杆的纵振动 考虑一均匀细杆，沿杆长方向作微小振动。假设在垂直
杆长方向的任一截面上各点的振动情况(即偏移平衡位置位 移)完全相同。试写出杆的振动方程。
在任一时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u(x, t)。 在杆中隔离出一小段(x, x + dx)，分析受力：
苍松优选
11
第二章 三类典型的偏微分方程
三维波动方程：
2u t 2
a2
2u x2
2u y2
2u z 2
f
(x,
y,
z,t)
苍松优选
9
第二章 三类典型的偏微分方程
总结：
建立数学物理方程是一个辩证分析的过程。 由于客观事物的复杂性，要求对所研究的对象 能够抓住事物发展的主要因素，摈弃次要因素， 使问题得到适度的简化。
苍松优选
10
第二章 三类典型的偏微分方程
苍松优选
4
第二章 三类典型的偏微分方程
作用在这段弦上的力有张力和惯性力，下面根据牛顿 运动定律，写出它们的表达式和平衡条件。
横向：T (x) cos T (x x) 'cos '
其中：cos 1 cos ' 1
横向： T (x) T (x x) ' 0
也就是说，张力 T 是一个常数。
y
a gH
水面波高为 ξ
苍松优选
15
第二章 三类典型的偏微分方程
条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的
横振动。不受外力影响。
研究对象：u(x,t) 线上某点在 t 时刻沿垂直方向的位移。
苍松优选
3
第二章 三类典型的偏微分方程
简化假设：
在弦上任取一小段 x
1
(
u x
)
2
dx
y
M'
s
T'
'
M
gs
T
x
x x x