2020年四川省凉山州中考数学试卷(含解析)

2020年四川省凉山州中考数学试卷
（考试时间：120分钟满分：150分）
A卷（共100分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）
1．﹣12020＝（）
A．1 B．﹣1 C．2020 D．﹣2020
2．如图，下列几何体的左视图不是矩形的是（）
A．B．C．D．
3．点P （2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，2）
4．已知一组数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，则这组数据的众数是（）
A．﹣1 B．3 C．﹣1和3 D．1和3
5．一元二次方程x2＝2x的根为（）
A．x＝0 B．x＝2 C．x＝0或x＝2 D．x＝0或x＝﹣2
6．下列等式成立的是（）
A．＝±9 B．|﹣2|＝﹣+2
C．（﹣）﹣1＝﹣2 D．（tan45°﹣1）0＝1
7．若一次函数y＝（2m+1）x+m﹣3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是（）
A．m＞﹣B．m＜3 C．﹣＜m＜3 D．﹣＜m≤3
8．点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（）A．10cm B．8cm C．10cm 或8cm D．2cm 或4cm
9．下列命题是真命题的是（）
A．顶点在圆上的角叫圆周角
B．三点确定一个圆
C．圆的切线垂直于半径
D．三角形的内心到三角形三边的距离相等
10．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tanA的值为（）
A．B．C．2 D．2
11．如图，等边三角形ABC和正方形ADEF都内接于⊙O，则AD：AB＝（）
A．2：B．：C．：D．：2
12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：
①abc＞0；
②2a+b＝0；
③3b﹣2c＜0；
④am2+bm≥a+b（m为实数）．
其中正确结论的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
13．函数y＝中，自变量x的取值范围是．
14．因式分解：a3﹣ab2＝．
15．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE∥AB交AD于点E，若OA＝1，△AOE的周长等于5，则
▱ABCD的周长等于．
16．如图，点C、D分别是半圆AOB上的三等分点，若阴影部分的面积是π，则半圆的半径OA的长为．
17．如图，矩形OABC的面积为，对角线OB与双曲线y＝（k＞0，x＞0）相交于点D，且OB：OD＝5：3，则k的值为．
三、解答题（共32分）
18．（5分）解方程：x﹣＝1+．
19．（5分）化简求值：（2x+3）（2x﹣3）﹣（x+2）2+4（x+3），其中x＝．
20．（7分）如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
21．（7分）某校团委在“五•四”青年节举办了一次“我的中国梦”作文大赛，分三批对全校20个班的作品进行评比．在第一批评比中，随机抽取A、B、C、D四个班的征集作品，对其数量进行统计后，绘制如图两幅不完整的统计图．
（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品件；在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为；
（2）补全条形统计图；
（3）第一批评比中，A班D班各有一件、B班C班各有两件作品获得一等奖．现要在获得一等奖的作品中随机抽取两件在全校展出，用树状图或列表法求抽取的作品来自两个不同班级的概率．
22．（8分）如图，AB是半圆AOB的直径，C是半圆上的一点，AD平分∠BAC交半圆于点D，过点D作DH⊥AC与AC的延长线交于点H．
（1）求证：DH是半圆的切线；
（2）若DH＝2，sin∠BAC＝，求半圆的直径．
B卷（50分）
一、填空题（每小题5分，共10分）
23．（5分）若不等式组恰有四个整数解，则a的取值范围是．
24．（5分）如图，矩形ABCD中，AD＝12，AB＝8，E是AB上一点，且EB＝3，F是BC上一动点，若将△EBF 沿EF对折后，点B落在点P处，则点P到点D的最短距离为．
二、解答题（本大题共4小题，共40分）
25．（8分）如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发．
（1）如图1，连接AQ、CP．求证：△ABQ≌△CAP；
（2）如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；
（3）如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
26．（10分）如图，已知直线l：y＝﹣x+5．
（1）当反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内至少有一个交点时，求k的取值范围．
（2）若反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象与直线l在第一象限内相交于点A（x1，y1）、B（x2，y2），当x2﹣x1＝3时，求k的值，并根据图象写出此时关于x的不等式﹣x+5＜的解集．
27．（10分）如图，⊙O的半径为R，其内接锐角三角形ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c．（1）求证：＝＝＝2R；
（2）若∠A＝60°，∠C＝45°，BC＝4，利用（1）的结论求AB的长和sin∠B的值．
28．（12分）如图，二次函数y＝ax2+bx+x的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（，）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD 的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题
1．【解答】解：﹣12020＝﹣1．
故选：B．
2．【解答】解：A、圆柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；
B、三棱锥的左视图是三角形，故本选项符合题意；
C、三棱柱的左视图是矩形，故本选项不符合题意；
D、正方体的左视图是正方形，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．【解答】解：点P（2，3）关于x轴对称的点P'的坐标是（2，﹣3）．故选：A．
4．【解答】解：∵数据1，0，3，﹣1，x，2，3的平均数是1，
∴1+0+3﹣1+x+2+3＝7×1，
解得x＝﹣1，
则这组数据为1，0，3，﹣1，﹣1，2，3，
∴这组数据的众数为﹣1和3，
故选：C．
5．【解答】解：∵x2＝2x，
∴x2﹣2x＝0，
则x（x﹣2）＝0，
∴x＝0或x﹣2＝0，
解得x1＝0，x2＝2，
故选：C．
6．【解答】解：A．＝9，此选项计算错误；
B．|﹣2|＝﹣2，此选项错误；
C．（﹣）﹣1＝﹣2，此选项正确；
D．（tan45°﹣1）0无意义，此选项错误；
故选：C．
7．【解答】解：根据题意得，
解得﹣＜m≤3．
故选：D．
8．【解答】解：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm，
∴AC＝BC＝AB＝×12＝6（cm），
点D是线段AC的三等分点，
①当AD＝AC时，如图，
BD＝BC+CD＝BC+AC＝6+4＝10（cm）；
②当AD＝AC时，如图，
BD＝BC+CD′＝BC+AC＝6+2＝8（cm）．
所以线段BD的长为10cm或8cm，
故选：C．
9．【解答】解：A、顶点在圆上且两边都与圆相交的角叫圆周角，原命题是假命题；
B、不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；
C、圆的切线垂直于过切点的半径，原命题是假命题；
D、三角形的内心到三角形三边的距离相等，是真命题；
故选：D．
10．【解答】解：如图，连接BD，由网格的特点可得，BD⊥AC，
AD＝＝2，BD＝＝，
∴tanA＝＝＝，
故选：A．
11．【解答】解：连接OA、OB、OD，过O作OH⊥AB于H，如图所示：则AH＝BH＝AB，
∵正方形ABCD和等边三角形AEF都内接于⊙O，
∴∠AOB＝120°，∠AOD＝90°，
∵OA＝OD＝OB，
∴△AOD是等腰直角三角形，∠AOH＝∠BOH＝×120°＝60°，
∴AD＝OA，AH＝OA•sin60°＝OA，
∴AB＝2AH＝2×OA＝OA，
∴＝＝，
故选：B．
12．【解答】解：①∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴ab＜0，
∵c＜0
∴abc＞0
故①正确；
②∵对称轴x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0；
故②正确；
③∵2a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴﹣b﹣b+c＞0
∴3b﹣2c＜0
故③正确；
④根据图象知，当x＝1时，y有最小值；
当m为实数时，有am2+bm+c≥a+b+c，
所以am2+bm≥a+b（m为实数）．
故④正确．
本题正确的结论有：①②③④，4个；
故选：D．
二、填空题
13．【解答】解：由题意得，x+1≥0，
解得x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
14．【解答】解：a3﹣ab2＝a（a2﹣b2）＝a（a+b）（a﹣b）．15．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，OB＝OD，
∵OE∥AB，
∴OE是△ABD的中位线，
∴AB＝2OE，AD＝2AE，
∵△AOE的周长等于5，
∴OA+AE+OE＝5，
∴AE+OE＝5﹣OA＝5﹣1＝4，
∴AB+AD＝2AE+2OE＝8，
∴▱ABCD的周长＝2×（AB+AD）＝2×8＝16；
故答案为：16．
16．【解答】解：连接OC、OD、CD．
∵△COD和△CBD等底等高，
∴S△COD＝S△BCD．
∵点C，D为半圆的三等分点，
∴∠COD＝180°÷3＝60°，
∴阴影部分的面积＝S扇形COD，
∵阴影部分的面积是π，
∴＝π，
∴r＝3，
故答案为3．
17．【解答】解：设D的坐标是（3m，3n），则B的坐标是（5m，5n）．∵矩形OABC的面积为，
∴5m•5n＝，
∴mn＝．
把D的坐标代入函数解析式得：3n＝，
∴k＝9mn＝9×＝12．
故答案为12．
三、解答题
18．【解答】解：去分母，得：6x﹣3（x﹣2）＝6+2（2x﹣1），
去括号，得：6x﹣3x+6＝6+4x﹣2，
移项，得：6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2，
合并同类项，得：﹣x＝﹣2，
系数化为1，得：x＝2．
19．【解答】解：原式＝4x2﹣9﹣（x2+4x+4）+4x+12
＝4x2﹣9﹣x2﹣4x﹣4+4x+12
＝3x2﹣1，
当x＝时，
原式＝3×（）2﹣1
＝3×2﹣1
＝6﹣1
＝5．
20．【解答】解：∵四边形EGFH为正方形，
∴BC∥EF，
∴△AEF∽△ABC；
设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，
∴＝，
∴＝，
解得：x＝48．
答：正方形零件的边长为48mm．
21．【解答】解：（1）第一批所抽取的4个班共征集到作品6÷25%＝24（件），则C班级作品数为24﹣（4+6+4）＝10（件），
∴在扇形统计图中表示C班的扇形的圆心角的度数为360°×＝150°，
故答案为：24、150°；
（2）补全图形如下：
（3）列表如下：
A B B C C D
A BA BA CA CA DA
B AB BB CB CB DB
B AB BB CB CB DB
C AC BC BC CC DC
C AC BC BC CC DC
D AD BD BD CD CD
由表可知，共有30种等可能结果，其中抽取的作品来自两个不同班级的有26种结果，
∴抽取的作品来自两个不同班级的概率为＝．
22．【解答】（1）证明：连接OD，
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∴AH∥OD，
∵DH⊥AC，
∴OD⊥DH，
∴DH是半圆的切线；
（2）解：连接BC交OD于E，
∵AB是半圆AOB的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴四边形CEDH是矩形，
∴CE＝DH＝2，∠DEC＝90°，
∴OD⊥BC，
∴BC＝2CE＝4，
∵sin∠BAC＝＝，
∴AB＝12，
即半圆的直径为12．
B卷
一、填空题
23．【解答】解：解不等式2x＜3（x﹣3）+1，得：x＞8，解不等式＞x+a，得：x＜2﹣4a，
∵不等式组有4个整数解，
∴12＜2﹣4a≤13，
解得：﹣≤a＜﹣，
故答案为：﹣≤a＜﹣．
24．【解答】解：如图，连接PD，DE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝8，BE＝3，
∴AE＝5，
∵AD＝12，
∴DE＝＝13，
由折叠得：EB＝EP＝3，
∵EP+DP≥ED，
∴当E、P、D共线时，DP最小，
∴DP＝DE﹣EP＝13﹣3＝10；
故答案为：10．
二、解答题
25．【解答】解：（1）证明：如图1，∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC是△ACM的外角，
∴∠QMC＝∠ACP+∠MAC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC
∵∠BAC＝60°，
∴∠QMC＝60°；
（3）如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC是△APM的外角，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°，
即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°．
26．【解答】解：（1）将直线l的表达式与反比例函数表达式联立并整理得：x2﹣5x+k＝0，由题意得：△＝25﹣4k≥0，解得：k≤，
故k的取值范围0＜k≤；
（2）设点A（m，﹣m+5），而x2﹣x1＝3，则点B（m+3，﹣m+2），
点A、B都在反比例函数上，故m（﹣m+5）＝（m+3）（﹣m+2），解得：m＝1，
故点A、B的坐标分别为（1，4）、（4，1）；
将点A的坐标代入反比例函数表达式并解得：k＝4×1＝4，
观察函数图象知，当﹣x+5＜时，0＜x＜1或x＞4．
27．【解答】（1）证明：作直径BE，连接CE，如图所示：
则∠BCE＝90°，∠E＝∠A，
∴sinA＝sinE＝＝，
∴＝2R，
同理：＝2R，＝2R，
∴＝＝＝2R；
（2）解：由（1）得：＝，
即＝＝2R，
∴AB＝＝4，2R＝＝8，
过B作BH⊥AC于H，
∵∠AHB＝∠BHC＝90°，
∴AH＝AB•cos60°＝4×＝2，CH＝BC＝2，
∴AC＝AH+CH＝2（），
∴sin∠B＝＝＝．
28．【解答】解：（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x；
（2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，则OB中垂线（CD）与x负半轴的夹角为60°，
故设CD的表达式为：y＝﹣x+b，而OB中点的坐标为（，），
将该点坐标代入CD表达式并解得：b＝，
故直线CD的表达式为：y＝﹣x+；
（3）设点P（x，x2﹣x），则点Q（x，﹣x+），
则PQ＝﹣x+﹣（x2﹣x）＝﹣x2﹣x+，∵＜0，故PQ有最大值，此时点P的坐标为（﹣，）。