九年级数学(上)第一章特殊平行四边形自主学习

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北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形优秀教学案例

1.组织学生分组讨论，鼓励学生相互交流、合作探究，共同解决问题。
2.分配具有针对性的任务，让学生在实践中掌握特殊的平行四边形的性质。
3.注重小组合作过程中的指导，引导学生正确运用性质定理，提高学生的证明能力。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，发现自身存在的问题，及时调整学习方法。
3.通过示例，讲解特殊的平行四边形的证明方法，引导学生学会运用性质定理进行证明。
4.运用多媒体教学手段，展示特殊的平行四边形的空间结构，培养学生的空间想象能力。
（三）学生小组讨论
1.分配具有针对性的任务，让学生在小组内共同探讨特殊的平行四边形的性质。
2.鼓励学生相互交流、合作探究，共同解决问题。
3.教师巡回指导，给予学生必要的帮助，引导学生正确运用性质定理。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.理解特殊的平行四边形的定义及性质，包括菱形、矩形、正方形的判定与性质。
2.掌握特殊的平行四边形的证明方法，能够运用性质定理进行证明。
3.学会运用特殊的平行四边形的性质解决实际问题，提高学生的应用能力。
4.培养学生的空间想象能力，能够通过实物模型、图形等展示特殊的平行四边形的性质。
2.设计有趣的数学问题，激发学生的学习兴趣，让学生在解决问题的过程中自然引入特殊的平行四边形的学习。
3.创设互动式教学环境，让学生在课堂上充分参与，激发学生的学习积极性。
（二）讲授新知
1.引导学生回顾平行四边形的性质，为新知识的学习打下基础。
2.讲解特殊的平行四边形的定义及性质，包括菱形、矩形、正方形的判定与性质。
5.通过本章节的学习，使学生认识到数学在实际生活中的重要性，培养学生的数学应用意识。
三、教学策略

北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形课程设计 (2)

北师大版九年级上册第一章特殊平行四边形课程设计一、教学目标1.1 知识目标•了解特殊平行四边形的概念和性质。

•学习如何判断一个四边形是否是特殊平行四边形，并能够应用这一方法。

•掌握特殊平行四边形之间的关系，如正方形和长方形的关系。

•学会应用特殊平行四边形的性质解决几何问题。

1.2 能力目标•能够分析和解决由特殊平行四边形引出的问题。

•能够运用所学的思路和方法，从多个角度解决一个问题。

•能够用严密的语言表达证明过程和结论。

1.3 情感目标•培养学生良好的几何直觉和几何想象力。

•营造积极的学习氛围，增强学生的自信和兴趣。

二、教学重难点2.1 教学重点•特殊平行四边形的概念和性质。

•如何判断一个四边形是否是特殊平行四边形，并能够应用这一方法。

•特殊平行四边形之间的关系，如正方形和长方形的关系。

2.2 教学难点•学会应用特殊平行四边形的性质解决几何问题。

•用严密的语言表达证明过程和结论。

三、教学过程3.1 导入（5分钟）通过几何图形投影展示出长方形和正方形，并让学生猜测这两者的异同点。

3.2 概念讲解（20分钟）•介绍特殊平行四边形的定义，包括正方形、长方形、菱形等。

•分别从外观、内角和对边长度等方面特征，介绍各类特殊平行四边形的性质，并和学生一起研究证明。

3.3 练习（35分钟）•判断是否为特殊平行四边形。

例如，给出图形，让学生判断是不是正方形或长方形等特殊平行四边形。

•应用特殊平行四边形的性质解决几何问题。

例如，给出图形和问题，让学生分析并解决问题。

3.4 总结（10分钟）请学生回答总结问题并总结本节课所学知识点。

四、教学资源•纸笔。

•教材。

•白板和黑板。

五、作业•完成练习册上第一章所有练习。

•针对教材引导学生自主挖掘和扩展，充分发挥学生的探究兴趣。

例如，让学生了解更多特殊平行四边形的定义以及性质，或者通过搜索相关资料寻找几何应用的案例等。

六、课后作业点评通过对学生作业的点评，反馈最近教学效果，帮助学生更好地掌握学习内容。

北师大九年级数学上册教案：第1章特殊平行四边形

第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质一、教学目的：1．掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系．2．理解并掌握菱形的定义及性质1、2；会用这些性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积．3．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．4．根据平行四边形与矩形、菱形的从属关系，通过画图向学生渗透集合思想．二、重点、难点1．教学重点：菱形的性质1、2．2．教学难点：菱形的性质及菱形知识的综合应用．三、例题的意图分析本节课安排了三个例题，例1是教材P3中的例2，例2是一道补充题，是为了巩固菱形的性质，例3一道用菱形知识与直角三角形知识来求菱形面积的实际应用问题．此题目，除用以巩固菱形性质外，还可以引导学生用不同的方法来计算菱形的面积，以促进学生熟练、灵活地运用知识．四、课堂引入1．（复习）什么叫做平行四边形？2．（引入）我们已经学习了平行四边形请看演示：（可将事先按如图做成的一组对边可以活动的教具进行演示）如图，改变平行四边形的边，使之一组邻边相等，从而引出菱形概念．菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．让学生举一些日常生活中所见到过的菱形的例子．五、例题分析例1（教材P3例1）略例2（补充）已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴CB=CD，CA平分∠BCD．∴∠BCE=∠DCE．又CE=CE，∴△BCE≌△COB（SAS）．∴∠CBE=∠CDE．∵在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠AFD=∠FDC∴∠AFD=∠CBE．例3（教材P8例3）略六、随堂练习1．若菱形的边长等于一条对角线的长，则它的一组邻角的度数分别为．2．已知菱形的两条对角线分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积．3．已知菱形ABCD的周长为20cm，且相邻两内角之比是1∶2，求菱形的对角线的长和面积．4．已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．七、课后练习1．菱形ABCD中，∠D∶∠A=3∶1，菱形的周长为8cm，求菱形的高．2．如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求（1）对角线AC的长度；（2）菱形ABCD的面积．第2课时菱形的判定一、教学目的：1．理解并掌握菱形的定义及两个判定方法；会用这些判定方法进行有关的论证和计算；2．在菱形的判定方法的探索与综合应用中，培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力．二、重点、难点1．教学重点：菱形的两个判定方法．2．教学难点：判定方法的证明方法及运用．三、例题的意图分析本节课安排了两个例题，其中例1是教材P6的例2，例2是一道补充的题目，这两个题目都是菱形判定方法的直接的运用，主要目的是能让学生掌握菱形的判定方法，并会用这些判定方法进行有关的论证和计算．这些题目的推理都比较简单，学生掌握起来不会有什么困难，可以让学生自己去完成．程度好一些的班级，可以选讲例3．四、课堂引入1．复习（1）菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形；（2）菱形的性质1菱形的四条边都相等；性质2菱形的对角线互相垂直；（3）运用菱形的定义进行菱形的判定，应具备几个条件？（判定：2个条件）2．【问题】要判定一个四边形是菱形，除根据定义判定外，还有其它的判定方法吗？3．【探究】用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可转动的十字，四周围上一根橡皮筋，做成一个四边形．转动木条，这个四边形什么时候变成菱形？通过演示，容易得到：菱形判定方法1对角线互相垂直的平行四边形是菱形．注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．通过教材P5下面菱形的作图，可以得到从一般四边形直接判定菱形的方法：菱形判定方法2四边都相等的四边形是菱形．五、例题分析例1（教材P109的例3）略例2（补充）已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥FC．∴∠1=∠2．又∠AOE=∠COF，AO=CO，∴△AOE≌△COF．∴EO=FO．∴四边形AFCE是平行四边形．又EF⊥AC，∴AFCE是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)．※例3（选讲）已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，CD⊥AB与D，EH⊥AB 于H，CD交BE于F．求证：四边形CEHF为菱形．略证：易证CF∥EH，CE=EH，在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°，在Rt△BDF中，∠DBF+∠DFB=90°，因为∠CBE=∠DBF，∠CFE=∠DFB，所以∠CEB=∠CFE，所以CE=CF．所以，CF=CE=EH，CF∥EH，所以四边形CEHF为菱形．六、随堂练习1．填空：（1）对角线互相平分的四边形是；（2）对角线互相垂直平分的四边形是________；（3）对角线相等且互相平分的四边形是________；（4）两组对边分别平行，且对角线的四边形是菱形．2．画一个菱形，使它的两条对角线长分别为6cm、8cm．3．如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，DE和CE相交于E，求证：四边形OCED 是菱形。

九年级数学上册第一章《特殊平行四边形》教学设计 (新版)北师大版

第一章特殊平行四边形一、学生知识状况分析“特殊的平行四边形”是学生继学习了平行四边形之后的一个学习内容，学生已经学习了平行四边形的有关知识，对平行四边形的性质和判定已有一定的认识，学生在小学也接触过矩形，菱形，正方形的一些简单应用。

本节主要复习三种特殊平行四边形的性质和判定，以及对他们的比较。

研究过程中以类比，归类为主要方法，同时，九年级学生已经具备比较强的归纳、总结能力，利用学生间相互评价、相互提问，使之参与课堂的热情提高。

二、教学任务分析本节是从三种特殊平行四边形的关系入手，使学生进一步认识矩形、菱形、正方形的内在关系：不仅要让学生了解三种特殊平行四边形的性质和判定，更重要的是让学生通过观察、比较、归类找出他们内在的转化方法。

通过自己动经历和体验图形的变化过程，进一步发展学生的空间观念，为后续章节的学习打下基础。

本节共一个课时，已总结和简单练习为主。

1．知识目标：复习三种特殊平行四边形的性质及判定，及理解他们之间的关系。

2．能力目标：（1）经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．（2）经历课前准备总结，探索三种特殊平行四边形的关系，发展总结归纳能力和初步的演绎推理的能力；（3）在具体问题的证明过程中，有意识地渗透实验论证、逆向思维的思想，提高学生的能力。

3．情感与价值观要求（1）积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．（2）通过“猜想—总结—证明—应用“的数学活动提升科学素养.4. 教学重点（1）三种特殊平行四边形性质和判定的复习.（2）三种特殊平行四边形的关系.4．教学难点总结关系方法的多样性和系统性。

三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：交流创意,导入课题；第二环节：动手操作、探求新知；第三环节：先猜想再实践，发展几何直觉；第四环节：巩固基础，检测自我；第五环节：课堂小结，布置作业。

第一环节：交流创意，导入课题内容：事先布置好任务，让学生用自己的方式总结三种特殊平行四边形的关系图，课堂上先交流讨论。

北师大版九年级数学上册优秀教学案例：第一章《特殊的平行四边形》回顾与复习

2.鼓励学生主动思考和探究，培养他们的创新意识和解决问题的能力。
3.教师对学生的作业情况进行评价，及时给予反馈和指导，帮助学生提高学习能力。
五、案例亮点
1.生活实例导入：通过引入生活实例，如教室里的矩形窗户、足球场的菱形图案等，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣和好奇心。这种教学方式能够使学生更加积极主动地参与到课堂中来，提高他们的学习积极性。
2.设计小组活动，让学生通过实践操作、讨论交流等方式，共同解决问题。
3.培养学生的团队合作精神，提高他们的沟通能力和协作能力。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，总结自己的学习方法和策略。
2.鼓励学生相互评价，互相学习和借鉴他人的优点。
3.教师对学生的学习情况进行评价，及时给予反馈和指导，帮助学生提高学习能力。
北师大版九年级数学上册优秀教学案例：第一章《特殊的平行四边形》回顾与复习
一、案例背景
本案例背景以北师大版九年级数学上册第一章《特殊的平行四边形》回顾与复习为主题。本节课是在学生已经掌握了平行四边形的性质和判定方法的基础上进行的一节复习课。特殊的平行四边形包括矩形、菱形和正方形，它们既有平行四边形的性质，又有自己独特的性质。在复习过程中，我旨在帮助学生巩固特殊的平行四边形的性质和判定方法，提高他们的数学思维能力和解决问题的能力。
3.培养学生积极主动的态度，让他们勇于尝试、勇于挑战自我，培养他们的创新意识。
三、教学策略
（一）情景创设
1.通过生活实例引入特殊的平行四边形，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.设计有趣的数学问题或游戏，激发学生的学习兴趣和好奇心。
3.利用多媒体课件或实物模型，展示特殊的平行四边形的性质和判定方法，增强学生的直观感受。

九年级数学上册第一章特殊平行四边形 2 矩形的性质与判定学习要点素材北师大版(2021年整理)

九年级数学上册第一章特殊平行四边形2 矩形的性质与判定学习要点素材（新版）北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（九年级数学上册第一章特殊平行四边形2 矩形的性质与判定学习要点素材（新版）北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

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《矩形的性质与判定》学习要点生活实例：工人师傅在做门窗或矩形零件时，首先测量两组对边的长度是否分别相等，其次再测量它的两条对角线是否相等，以确保所测图形是矩形．问题:测量两组对边的长度分别相等，可以说明这个四边形是平行四边形，如果再测量它的对角线相等，则这个平行四边形是矩形，为什么呢?在平行四边形的前提下，再加一个什么条件即可判定这个图形是矩形呢?让我们一起来学习矩形．一、认识矩形的定义有一个角是直角的平行四边形是矩形．注意:矩形的定义有两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角．二、掌握矩形的性质（1）矩形具有平行四边形的所有性质．（2）矩形的四个角都是直角．（3)矩形的对角线互相平分且相等．（4）矩形是轴对称图形,有两条对称轴．注意：利用矩形的性质可以证明线段的相等或倍分、证明直线的平行、证明角的相等等问题．三、掌握矩形的判定方法（1)根据定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形；（3）定理2:对角线相等的平行四边形是矩形．注意：①用定义来判定一个四边形是矩形要满足两条：一是有一个角是直角；二是平行四边形，也就是说有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件．②用定理2证明一个四边形是矩形也必须满足两个条件:一是对角线相等；二是平行四边形．也就是说：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件,它才是矩形．③矩形的判定可以通过以下思路进行:通过以上的学习，我们可以知道工人师傅前面的做法是符合矩形的判定方法的，由此可见，他作出的图形是矩形．。

近年九年级数学上册第一章特殊平行四边形复习教案4北师大版(最新整理)

第一章特殊平行四边形【知识考点】一、菱形的性质与判定1．菱形的性质: ()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧轴是轴对称，有两条对称菱形既是中心对称，又一组对角且每一条直线，角线相互对角线：菱形的两条对边：菱形的四条边都四边形的一切性质平行四边形：具有平行2____________________.__________1菱形的判定:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧是矩形的且对角线是矩形的对角线对角线是矩形的有三个角是是矩形的有一个角是角__________________________________________________________________________________._________________________温馨提示:为什么菱形的判定定理中没有两组对角的事？二、矩形的性质与判定1．矩形的性质： ()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧轴是轴对称，有两条对称矩形既是中心对称，又相等且相互平分对角线：矩形的对角线直角角：矩形的四个角都是行且相等边：矩形的两组对边平四边形的一切性质平行四边形：具有平行21 2．矩形的判定：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧是矩形的且对角线是矩形的对角线对角线是矩形的有三个角是是矩形的有一个角是角__________________________________________________________________________________._________________________温馨提示：为什么矩形的判定定理中没有两组对边的事？三、正方形的性质与判定1．正方形的性质: ()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧称轴又是轴对称，有四条对正方形既是中心对称，一组对角每一条直线，且对角线相互对角线：正方形的两条，四条边都边：正方形的对边平行四边形的一切性质平行四边形：具有平行2__________________________.__________1 温馨提示:正方形是否具有矩形和菱形的一切性质？2．正方形的判定：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧是正方形且相等的对角线互相平分、垂直是正方形的对角线互相垂直且相等是正方形对角线相等的是正方形对角线互相垂直的对角线是正方形的边：有一组是正方形的角：有一个角是是正方形形的定义：既是矩形又是菱_________________________________________________________________________________________________._______________________________温馨提示:正方形的判定中为什么关于对角线的判定会这么多，请思考？四、平行四边形、矩形、菱形、正方形四者之间的关系温馨提示：请用画图的方法确定四者之间的关系，要有整体的观点来看待！【重点难点】几种特殊的平行四边形的特征及识别方法一览表：边角对角线对称性识别方法对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等中心对称和轴对称①三个角是直角的四边形②一个角是直角的平行四边形③对角线相等的平行四边形对边平行四边相等对角相等互相垂直平分且平分对角中心对称轴对称①四条边相等的四边形②邻边相等的平行四边形③对角线垂直的平行四边形对边平行四边相等四个角都是直角互相垂直平分且相等,平分对角中心对称轴对称①邻边相等的矩形是正方形②一个角是直角的菱形③平行四边形+直角+邻边相等【讲一讲】例1．如图，BD是△ABC中∠ABC的平分线,DE//BC交AB于E，DF//AB交BC于F.试判断四边形BFDE的形状并说明理由。

2017秋北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形章小结复习(教案)

3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“特殊平行四边形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
-特殊平行四边形的应用问题：如求面积、周长等，教师需讲解如何运用所学性质解决实际问题。
举例解释：
-以矩形为例，强调其对边相等、对角线互相平分且相等的性质，并展示如何利用这些性质计算矩形的面积和周长。
2.教学难点
-矩形、菱形、正方形性质的理解与运用：学生需理解这些性质的本质，并能将其应用于解决实际问题。
2017秋北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形章小结复习（教案）
一、教学内容
2017秋北师大版九年级数学上册第一章《特殊平行四边形》章小结复习，主要包括以下内容：
1.矩形的定义、性质和判定方法；
2.菱形的定义、性质和判定方法；
3.正方形的定义、性质和判定方法；
4.特殊平行四边形的应用问题，如求面积、周长等；
5.各类特殊平行四边形之间的关系及相互转化。
二、核心素养目标
1.培养学生运用几何图形性质解决问题的能力，提高空间想象力和逻辑思维能力；
2.培养学生通过特殊平行四边形的学习，掌握数学推理和论证的方法，增强数学抽象和数学建模的核心素养；
3.培养学生将特殊平行四边形知识应用于实际问题的解决，提高数学应用意识和创新意识；
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解特殊平行四边形的基本概念。特殊平行四边形是指具有特殊性质的四边形，如矩形、菱形和正方形。它们在几何图形中具有重要地位，并在生活中有广泛的应用。

北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形回顾与思考》教学设计

北师大版九年级数学上册《第一章特殊平行四边形回顾与思考》教学设计一. 教材分析《北师大版九年级数学上册》第一章《特殊平行四边形回顾与思考》主要包括平行四边形的性质、判定以及特殊平行四边形的性质和判定。

本章内容是对初中阶段平行四边形知识的总结和提升，为后续几何学习打下基础。

通过本章的学习，学生需要掌握平行四边形的性质和判定方法，了解特殊平行四边形的性质和应用。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了平行四边形的性质和判定，对特殊平行四边形有一定的了解。

但部分学生对知识的理解和运用还不够熟练，对特殊平行四边形的性质和判定方法容易混淆。

因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，巩固基础知识，提高学生的解题能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平行四边形的性质和判定方法，了解特殊平行四边形的性质和应用；2.过程与方法：培养学生运用几何知识分析问题、解决问题的能力；3.情感态度与价值观：激发学生学习几何的兴趣，培养学生的团队协作精神。

四. 教学重难点1.教学重点：平行四边形的性质和判定方法，特殊平行四边形的性质和应用；2.教学难点：特殊平行四边形的性质和判定方法的灵活运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入特殊平行四边形的概念，激发学生的学习兴趣；2.问题驱动法：设置问题引导学生思考，培养学生解决问题的能力；3.合作学习法：分组讨论，培养学生团队协作精神；4.练习法：通过适量练习，巩固所学知识。

六. 教学准备1.准备相关教学材料，如PPT、练习题等；2.准备特殊平行四边形的模型或图片，以便于学生直观理解；3.安排课堂练习的时间和内容。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入特殊平行四边形的概念，如电梯门、蝴蝶翅膀等，引导学生回顾已学的平行四边形知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）介绍特殊平行四边形的性质和判定方法，如矩形、菱形、正方形的性质和判定。

通过PPT展示，让学生直观地了解特殊平行四边形的特征。

北师大版九年级数学上册教学设计：第一章《特殊的平行四边形》回顾与复习

二、学情分析
九年级学生在学习《特殊的平行四边形》之前，已经具备了平行四边形的基本概念和性质，以及四边形的有关知识。在此基础上，他们对特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）的学习具备了一定的基础。但在实际应用中，学生可能对特殊平行四边形的判定方法、性质运用及实际问题解决等方面存在一定的困难。因此，在本章节的教学中，应注意以下学情：
3.教学评价：
（1）过程性评价：关注学生在课堂上的表现，如积极参与、合作交流、问题解决等，给予及时的鼓励和反馈。
（2）总结性评价：通过课后作业、阶段测试等方式，了解学生对特殊平行四边形性质及应用的掌握程度。
4.教学策略：
（1）关注学生的个体差异，因材施教，提高每个学生的学习效果。
（2）注重情感教育，激发学生的学习兴趣，增强学生的自信心。
（2）对作业中的疑问及时请教同学或老师，提高问题解决能力。
（3）按时提交作业，养成良好的学习习惯。
（1）阅读教材附录中的相关阅读材料，了解特殊平行四边形在实际生活中的应用。
（2）思考并讨论：矩形、菱形、正方形之间的联系与区别。
4.思考题：
（1）特殊平行四边形除了教材中提到的性质外，还有哪些性质？
（2）如何运用特殊平行四边形的性质解决一些复杂的几何问题？
5.作业要求：
（1）认真完成作业，保持字迹清晰、卷面整洁。
北师大版九年级数学上册教学设计：第一章《特殊的平行四边形》回顾与复习
一、教学目标
（一）知识与技能
在本章节《特殊的平行四边形》回顾与复习中，使学生掌握以下知识与技能：
1.理解并掌握平行四边形的基本性质，如对边平行且相等、对角线互相平分等。
2.熟练运用特殊的平行四边形（矩形、菱形、正方形）的性质进行计算和解决问题。

九年级数学上册第一章特殊平行四边形本章复习教案 (新版)北师大版-(新版)北师大版初中九年级上册

第一章特殊平行四边形【知识与技能】熟练掌握平行四边形的定义，平行四边形的性质及判定定理，并运用它们进行有关的证明和计算.【过程与方法】引导学生通过练习回忆已学过的知识，提高逻辑思维能力、推理能力和归纳概括能力，训练思维的灵活性，领悟数学思想.【情感态度】在整理知识点的过程中发展学生的独立思考习惯，让学生感受成功，并找到解决平行四边形问题的一般方法.【教学重点】使学生能熟练地运用平行四边形的性质、判定定理.【教学难点】构造平行四边形解决问题.一、知识结构二、释疑解惑，加深理解1.菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质，另外，菱形的四条边相等、对角线互相垂直.2.菱形的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四条边相等的四边形是菱形.3.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.4.矩形的判定：对角线相等的平行四边形是矩形；有三个角是直角的四边形是矩形.5.正方形的性质：正方形的四个角都是直角，四条边相等；正方形的对角线相等且互相垂直平分.6.正方形的判定：对角线相等的菱形是正方形；对角线垂直的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形叫做正方形.【教学说明】让学生对知识进行回忆，进一步体会特殊平行四边形的性质、判定.三、典例精析，复习新知1.矩形的一条较短边的长为5cm，两条对角线的夹角为60°，则它的对角线的长等于 10 cm.°，边长是20cm，则较长的对角线是203cm.3.如图，E是正方形ABCD内一点，如果△ABE为等边三角形，那么∠DCE=15度.4.如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个大小完全一样的小矩形，则矩形ABCD的面积为（C）解析：设小矩形的长、宽分别为x、y，根据周长为68的矩形ABCD，可以列出方程3x+y=34；根据图示可以列出方程2x=5y，联立两个方程组成方程组，解方程组就可以求出矩形ABCD 的面积.设小矩形的长、宽分别为x、y，依题意得33425x yx y+==⎧⎨⎩，解之得104 xy==⎧⎨⎩∴则矩形ABCD的面积为7×10×4=280.故选C.5.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AP∥BD，DP∥AC，AP、DP相交于点P，则四边形AODP是什么样的特殊四边形，并说明你的理由.分析：由AP∥BD，DP∥AC先判断四边形AODP是平行四边形，再由AO=DO判断四边形AODP为菱形.解：四边形AODP是菱形，理由如下：∵AP∥BD，DP∥AC，∴四边形AODP是平行四边形.又∵矩形的对角线互相平分，得AO=DO，由菱形的判定得四边形AODP为菱形.6.如图所示，有两条笔直的公路BD和EF（宽度不计），从一块矩形的土地ABCD中穿过，已知EF是BD的垂直平分线，BD=40米，EF=30米，求四边形BEDF的面积.分析：连接DE、BF，因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，进而求证DF=BE，再求证FD=FB，即可判定四边形BFDE是菱形，根据菱形面积计算公式即可计算菱形BFDE的面积.解：如图，连接DE、BF，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠ODF=∠OBE，由EF垂直平分BD，得OD=OB，∠DOF=∠BOE=90°，又BE∥DF，∴∠FDO=∠OBE，∴△DOF≌△BOE，∴DF=BE，∴四边形BEDF是平行四边形，又∵EF是BD的垂直平分线，∴FD=FB，因此四边形BFDE是菱形，∴S菱形BFDE=12 EF·BD=12×30×40=600（米2）.7.如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个颜色不同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，求这个矩形色块图的面积.分析：因为矩形内都是正方形，正方形的各边长相等，又有中间小正方形的边长为1，可利用边长之间的关系建立等式.解：由图可知DF-AE=1，AE=BE+1，2CF-DF=1，即DF=AE+1，AE=CF+1+1，DF=CF+3，故2CF-CF-3=1，解得CF=4，∴BE=5，AE=6，∴AB=11，BC=13，S=AB·BC=11×13=143.【教学说明】通过上面的解题分析，再对整个学习过程进行总结，能够促进理解，提高认识水平，从而促进数学观点的形成和发展.四、复习训练，巩固提高1.已知：如图，在矩形ABCD中，CE⊥BD，E为垂足，∠DCE∶∠ECB=3∶1，则∠ACE=45度.解析：根据矩形的性质首先求出∠DCE，∠ECB的度数.然后利用三角形内角和定理求解即可.2.如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC，AE交CD于点F，则∠E= 22.5 度.解析：由于正方形的对角线平分一组对角，那么∠ACB=45°，即∠ACE=135°，在等腰△CAE中，已知顶角的度数，即可由三角形内角和定理求得∠E的度数.3.如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题，并说明理由.（1）四边形ADEF 是什么四边形；（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形.△ABD ，△EBC 都是等边三角形，容易得到全等条件证明△DBE ≌△ABC ≌△FEC ，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF 是平行四边形.（2）若平行四边形ADEF 是矩形，则∠DAE=90°，然后根据已知可以得到∠BAC=150°. 解：（1）四边形ADEF 是平行四边形.理由：∵△ABD ，△EBC 都是等边三角形.∴AD=BD=AB ，BC=BE=EC∠DBA=∠EBC=60°∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA.∴∠DBE=∠ABC.在△DBE 和△ABC 中BD BA DBE ABC BE BC =∠==⎪∠⎧⎪⎨⎩，∴△DBE ≌△ABC.∴DE=AC.又∵△ACF 是等边三角形，∴AC=AF.∴DE=AF.同理可证：AD=EF ，∴四边形ADEF 是平行四边形.（2）若四边形ADEF 是矩形，则∠FAD=90°，∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°.∴∠BAC=150°时，四边形ADEF 是矩形.【教学说明】让学生先独立完成，而后将不会的问题各小组交流讨论得出结果.养成学以致用的好习惯.五、师生互动，课堂小结先小组内交流本节课的收获和感想，然后以小组为单位派代表进行总结.教师进行补充.【教学说明】归纳平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定，体验事物之间的联系与区别.布置作业:教材“复习题”中第5、8、12题.通过本节课的复习，归纳矩形、菱形、正方形的性质和判定，使学生体验事物之间的联系与区别.从而加强对新知识的理解与应用.。

数学九年级上册《特殊的平行四边形-复习课》教案

五、教学过程教学过程教师活动学生活动应对措施预测用时设计意图及资源准备程序1：导入提问：判断四边形的形状？猜想、交流回答老师问题：哪个是平行四边形? 哪个是矩形 ? 哪个是长方形？哪个是正方形？面对开放式的问题思考、交流、讨论引领思考教师对课堂生成问题采取相应措施3分钟从生活中简单的图形出发，激发学生学习兴趣。

改变问题的呈现方式，调动学生的思维。

激发学生思考讨论、交流，培养逆向思维程序2：自主学习主题1 从图形识别开始，怎样的四边形是平行四边形？它的性质和判别是什么？并结合图形用几何语言表述．观看屏幕明确学习内容积极回忆学生代表发言在学案上用几何语言写出平行四边形的性质和判定，交流点成绩中等学生发言，有鼓励＋督促意图配合学生回答，点击投影，与学生交流3分钟导入课题，板书：《特殊的平行四边形》复习课用几何语言表述平行四边形的性质和判定，有利于学生更好的理解定理，并且提高熟练运用的能力（这是我在长期教学一线，得出的辅助几何定理学习的方法，对学困生帮助作用是很明显的）(1)有两条边相等，并且另外的两条边也相等的四边形一定是平行四边形吗？不一定！(2) 有一组对边平行，并且另外一组对边相等的四边形一定是平行四边形吗？不一定！等腰梯形平行四边形❖平行四边形性质平行四边形对边相等且平行、对角相等、对角线互相平分❖平行四边形判别一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形对角线互相平分的四边形是平行四边形AB CDO平行四边形❖平行四边形性质∵□ABCD∴AB=DC AD=BCAB∥DC AD∥BC∠BAD=∠BCD ∠ABC=∠ADCOA=OC OB=OD❖平行四边形判别∵AB=DC且AB∥DC ∴□ABCD∵AB∥DC AD∥BC ∴□ABCD∵AB=DC AD=BC ∴□ABCD∵OA=OC OB=OD ∴□ABCDAB CDO、观察图形怎样的四边形是矩形？它的性质和判别是什么？并结合图形用几何语言表述．菱形❖菱形性质菱形对边平行且四边相等、对角相等、对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角❖菱形判别一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形A BCD O 菱形❖菱形性质∵菱形ABCD∴AB ∥DC AD ∥BC 且AB ＝DC ＝AD ＝BC∠BAD=∠BCD ∠ABC=∠ADCOA=OC OB=OD 且AC ⊥BD , ∠DAO=∠BAO 等❖菱形判别∵在□ABCD 中AB=AD ∴菱形ABCD ∵在□ABCD 中AC ⊥BD ∴菱形ABCD ∵四边形ABCD 中AB ＝DC ＝AD ＝BC ∴菱形ABCDA BCD O 矩形❖矩形性质∵矩形ABCD∴AB=DC AD=BC 且AB ∥DC AD ∥BC∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠ADC= 90°AC=BD 且OA=OC OB=OD❖矩形判别∵在□ABCD 中∠ABC= 90°∴矩形ABCD ∵在□ABCD 中AC=BD ∴矩形ABCD在四边形ABCD 中∠BAD=∠BCD=∠ABC= 90°∴矩形ABCDADCBO矩形❖矩形性质矩形对边相等且平行、四个角相等且等于90度、对角线相等且互相平分❖矩形判别有一个角是直角的平行四边形是矩形对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形A DCBO正方形❖正方形性质正方形对边平行且四边相等四个角相等且等于90度对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角❖正方形判别一组邻边相等的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形一组邻边相等、有一个角是直角的平行四边形是正方形你能用恰当的方式表示平行四边形，菱形，矩形，正方形之间的关系吗？正方形❖正方形性质正方形对边平行且四边相等四个角相等且等于90度对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角❖正方形判别一组邻边相等的矩形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形一组邻边相等、有一个角是直角的平行四边形是正方形ADCB O平行四边形要继续探索的问题？四边形两组对边分别平行平行四边形菱形矩形正方形11.如图，点E 、F 在正方形ABCD 的边BC 、CD 上，BE=CF.（1）AE 与BF 相等吗？为什么？（2）AE 与BF 是否垂直？说明理由。

2016年秋九年级数学上册第1章特殊平行四边形教学案(新版)北师大版

第一章特殊平行四边形1.掌握菱形、矩形、正方形的概念,以及它们之间的关系.2.理解菱形、矩形、正方形的性质定理与判定定理,并能证明其他相关结论.3.掌握直角三角形的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.1.经历探索菱形、矩形、正方形的概念、性质与判定的猜想与证明的过程,丰富数学活动经验,进一步发展合情推理和演绎推理的能力.2.理解菱形、矩形、正方形的概念,了解它们与平行四边形之间的关系,进一步体会从一般到特殊的思考问题的方法,提高发现问题和解决问题的能力.3.在参与观察、试验、猜想、证明等数学活动中,有意识地渗透试验论证、逆向思维的思想,提高学生的能力.1.积极参与数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲.2.经历图形的分类、性质探讨的过程,掌握图形与几何的基础知识和基本技能.通过“猜想——总结——证明——应用”的数学活动提升科学素养.3.提高自主探究的能力和增强与他人合作交流的意识、方法.四边形是人们日常生活中应用较为广泛的一种几何图形,尤其是平行四边形、菱形、矩形、正方形等特殊四边形的用处更多.因此,四边形既是几何中的基本图形,也是“空间与图形”领域中主要研究对象之一.本章是在已经学过的多边形、平行线、三角形、平行四边形的基础上对菱形、矩形、正方形的有关性质与常用的判定方法的证明与扩充.它们的探索方法也都与平行四边形的性质和判定的探索方法一脉相承.本章的学习有助于深化对平行四边形的理解,以及对识图、画图等操作技能的掌握,丰富学生的数学活动经验和体验,促进其良好数学观的形成.本章主要渗透归纳、类比、转化等数学思想,注重通过引导探索过程来渗透与展现证明的思路.此外还要注意引导学生探索证明的不同思路与方法,并进行适当的比较和讨论,提高分析、寻求证明思路的能力.【重点】菱形、矩形、正方形的定义、性质与判定.【难点】平行四边形与菱形、矩形、正方形之间的联系与区别.1.本章对菱形、矩形的性质与判定的研究,都需要先探索、猜想得到结论后再证明.教学中,可以利用教科书上的素材,也可以根据实际情况构建更现实、更贴近学生的问题情境,引导学生进行相关的探索、猜想活动.充分调动学生的积极性与主动性,引导学生探索、发现结论、体会探索结论的各种方法,理解猜想后还应该给予证明的意义,感受合情推理与演绎推理的关系.2.在学习本章之前,学生已经掌握几何证明的基本要求、基本步骤和基本方法.本章中的大部分结论都是先通过合情推理探索,再利用演绎推理加以证明.在教学中应把证明作为探索活动的自然延续与必要发展,让学生对发现的结论进行分析说明,然后按照几何证明的要求进行表达,实现合情推理和演绎推理的有机结合.注意通过一定的练习进一步培养学生的几何证明能力,避免过分追求证明题的数量和证明技巧,把握证明的难度.3.探索图形有关性质的过程,往往可以启发证明的思路,在教学过程中,应充分考虑探索与证明的关系,为学生的积极思考创设条件.同时,要鼓励学生大胆探寻新颖独特的证明思路和证明方法,引导学生与同学在交流中比较证明方法的异同,提高演绎推理的能力.4.在菱形、矩形、正方形的性质与判定方法的探索与证明的过程中蕴含着一些数学思想方法,教学中有目的地让学生感悟、领会这些思想方法,并应用于解决相关问题的过程中.本章教学时间约需8课时,具体分配如下:1菱形的性质与判定3课时2矩形的性质与判定3课时3正方形的性质与判定2课时1菱形的性质与判定理解菱形的概念,了解它与平行四边形之间的关系.1.经历菱形的性质定理与判定定理的探索过程,进一步发展合情推理能力.2.能够用综合法证明菱形的性质定理与判定定理,进一步发展演绎推理能力.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学现象.【重点】1.菱形的概念和性质.2.探索菱形的判定方法【难点】菱形的概念和性质在生活中的应用.第课时探索并掌握菱形的概念和菱形所具有的特殊性质,会进行简单的推理和运算.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中,发展学生合情推理的能力,进一步让学生养成用数学知识说理的习惯,并要求学生能熟练地按规范的推理格式书写.从学生已有的知识出发,通过欣赏、观察、动手操作等活动让学生感受身边的数学图形的和谐美与对称美,激发他们学习数学的兴趣,树立学好数学的信心,体会学习数学的快乐.培养学生主动探究、自主学习和合作交流的意识.【重点】菱形的概念和性质.【难点】菱形性质的灵活应用.【教师准备】1.教师在课前布置学生复习平行四边形的性质,搜集菱形的相关图片.2.多媒体课件.3.教师准备菱形纸片,上课前发给学生上课时使用.【学生准备】复习平行四边形的性质导入一:请同学们观察投影图片中的四边形并回答下列问题:(1)投影图片中有平行四边形吗?(2)这些平行四边形具有哪些特征?其中哪个特征不是平行四边形的性质?【师生活动】复习平行四边形的定义及性质.【学生活动】自主观察,小组合作交流,探究投影图片中平行四边形的新特征.导入二:1.提问:什么是平行四边形?学生回顾交流.2.平行四边形的相邻两边可能相等吗?请同学们讨论一下在我们生活中是否有相邻两边相等的平行四边形形状的图案?[设计意图]通过这个环节,培养了学生的观察和对比分析能力.提高学生发现数学、应用数学的意识和学习兴趣.一、情景交流[过渡语]今天我们来学习一种特殊的平行四边形,让我们一起观察、猜想、探究、归纳、论证吧!结合上面的观察,你能举出和上述图形具有相同特征的实物图形吗?具有这一特征的平行四边形是什么四边形?【学生活动】通过讨论,以小组为单位分别说出生活中具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.【教师活动】投影图片展示一些生活中的具有邻边相等特征的平行四边形形状的实物.二、学生活动,归纳概念思路一请口答下列问题.(1)上述图形都是平行四边形吗?(2)上述图形都有一组邻边相等吗?(3)如果平行四边形有一组邻边相等,那么另一组邻边也相等吗?小组合作交流,类比平行四边形的定义尝试给出菱形的定义.【老师点评】(1)是平行四边形;(2)都有一组邻边相等.【课件展示】像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.思路二【师】同学们,在观察上面图片之后,你能从中发现熟悉的图形吗?你能找出它们的共同特征吗?请同学们观察,图中的平行四边形与黑板上所画的▱ABCD相比较,还有不同点吗?【生】投影图片中的平行四边形不仅对边相等,而且任意两条邻边也相等.【师】同学们观察得很仔细,像这样,有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.[设计意图]通过这个环节,培养了学生的观察和对比分析能力.让学生观察图形,从直观上把握菱形的特点,从而给出菱形的定义,让学生明确菱形不但是平行四边形,而且有其特点“一组邻边相等”.同时,让学生去发现生活中因为有了数学而变得更精彩,从而提高学生学习数学的兴趣.三、共同探究【想一想】(1)菱形是特殊的平行四边形,它具有一般平行四边形的所有性质.你能列举一些这样的性质吗?【生】菱形的对边平行且相等,对角相等,对角线互相平分.(2)同学们,你认为菱形还具有哪些特殊的性质?请你与同伴交流.【学生活动】分小组讨论菱形的性质,组长组织组员讨论,让尽可能多的组员发言,并汇总结果.【教师活动】教师巡视,并参与到学生的讨论中,启发学生类比平行四边形从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质.对学生的结论,教师要及时作出评价,积极引导,激励学生.【做一做】请同学们用菱形纸片折一折,回答下列问题:(1)菱形是轴对称图形吗?如果是,它有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?(2)菱形中有哪些相等的线段?【学生活动】分小组折纸探索答案.组长组织,并汇总结果.【教师活动】教师巡视并参与学生活动,引导学生怎样折纸才能得到正确的结论.学生研讨完毕,教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论,以便于后面的教学.【师生结论】(1)菱形是轴对称图形,有两条对称轴,且是菱形的两条对角线所在的直线,两条对称轴互相垂直.(2)菱形的四条边相等.[设计意图]通过学生自己操作剪、折菱形纸片,探索菱形的对称性,不仅增加学生学习的兴趣,并为新课归纳菱形的性质做铺垫.【验证提升】证明菱形性质【师】通过折纸活动,同学们已经对菱形的性质有了初步的理解,下面我们要对菱形的性质进行严谨的逻辑证明.【教师活动】如图所示,在菱形ABCD中,已知AB＝AD,对角线AC与BD相交于点O.求证:(1)AB＝BC＝CD＝AD;(2)AC⊥BD.【师生共析】(1)菱形不仅对边相等,而且邻边相等,这样就可以证明菱形的四条边都相等了.(2)因为菱形是平行四边形,所以点O是对角线AC与BD的中点.又因为在图形中可以得到相关的等腰三角形,所以就可以利用“三线合一”来证明结论了.【学生活动】写出证明过程,进行组内交流对比,优化证明方法,掌握相关定理.指名学生在黑板上演示证明过程.证明:(1)∵菱形ABCD是平行四边形,∴AB＝CD,AD＝BC(平行四边形的对边相等).∵AB＝AD,∴AB＝BC＝CD＝AD.(2)∵AB＝AD,∴ΔABD是等腰三角形.∵四边形ABCD是菱形,∴OB＝OD(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中,∵OB＝OD,∴AO⊥BD,即AC⊥BD.【教师活动】展示学生的证明过程,进行恰当的点评和鼓励,优化学生的证明方法,规范学生的书写格式,提高学生的逻辑证明能力.【教师活动】请你根据上面的证明,归纳出菱形的性质.【学生活动】小组交流,共同总结.【教师活动】多媒体课件展示定理:菱形的四条边相等.定理:菱形的对角线互相垂直.最后强调“菱形的四条边相等”“菱形的对角线互相垂直”,让学生形成牢固记忆,留下深刻印象.[设计意图]学生通过折纸可以猜想到菱形的相关性质,教师在参与学生活动的过程中,应该关注学生的口述论证过程,并根据学生的认知水平加以引导,尽量减少学生推理论证过程中的困难.四、展示交流【教师活动】例题讲解.(教材例1)如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O, ∠BAD＝60°,BD＝6,求菱形的边长AB和对角线AC的长.〔解析〕因为菱形的邻边相等,一个内角是60°,这样就可以得到等边三角形ABD,由BD＝6知菱形的边长也是6.菱形的对角线互相垂直,可以得到直角三角形AOB.菱形的对角线互相平分,可以得到OB＝3,根据勾股定理就可以求出OA的长度,再一次根据菱形的对角线互相平分,即AC＝2OA,求出AC.解:∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝AD(菱形的四条边相等),AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直),OB＝OD＝BD＝×6＝3(菱形的对角线互相平分).在等腰三角形ABD中,∵∠BAD＝60°,∴ΔABD是等边三角形.∴AB＝BD＝6.在RtΔAOB中,由勾股定理,得:OA2＋OB2＝AB2,∴OA＝＝3,∴AC＝2OA＝6.[知识拓展](1)菱形是特殊的平行四边形,它具有平行四边形的所有性质;(2)菱形的定义既可以看做菱形的性质,也可以看做菱形的判定方法.1.菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质:(1)菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线所在的直线;(2)菱形的四条边都相等;(3)菱形的对角线互相垂直平分.3.菱形具有平行四边形的所有性质,应用菱形的性质可以进行计算和推理.1.如图所示,在菱形ABCD中,AB＝5,∠BCD＝120°,则对角线AC的长是()A.20B.15C.10D.5解析:因为四边形ABCD是菱形,所以AB＝CB,CD∥BA,所以∠ABC＝180°-∠BCD＝180°-120°＝60°,所以ΔABC是等边三角形,所以AC＝AB＝5.故选D.2.如图所示,菱形ABCD的周长为8 cm.∠BAD＝60°,则AC＝ cm.解析:因为菱形ABCD的周长为8 cm,所以AB＝AD＝2 cm.又因为∠BAD＝60°,所以ΔABD 是等边三角形,所以BD＝AB＝2 cm,所以OB＝BD＝1 cm,所以OA＝(cm),所以AC＝2 cm.故填2.3.如图所示,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB＝CD＝BC,则四边形ABCD是菱形吗?为什么?解:四边形ABCD是菱形.理由:∵AB∥CD,AB＝CD,∴四边形ABCD是平行四边形.又∵CD＝BC,∴平行四边形ABCD是菱形.4.如图所示,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于点E.求证∠AFD＝∠CBE.证明:∵四边形ABCD是菱形,∴CB＝CD,CA平分∠BCD.∴∠BCE＝∠DCE.又∵CE＝CE,∴ΔBCE≌ΔDCE(SAS).∴∠CBE＝∠CDE.在菱形ABCD中,∵AB∥CD,∴∠AFD＝∠CDE.∴∠AFD＝∠CBE.第1课时菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形菱形的性质:菱形的四条边相等菱形的对角线互相垂直例1一、教材作业【必做题】教材第4页随堂练习.【选做题】教材第4页习题1.1的1,2题.二、课后作业【基础巩固】1.在菱形ABCD中,AB＝5 cm,则此菱形的周长为()A.5 cmB.15 cmC.20 cmD.25 cm2.菱形的周长为8 cm,高为1 cm,则菱形两邻角的度数比为 ()A.3∶1B.4∶1C.5∶1D.6∶13.如图所示,在菱形ABCD中,两条对角线的长分别为AC＝6,BD＝8,则此菱形的边长为()A.5B.6C.8D.104.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC交BD于点O,AB＝8,E是CD的中点,则OE的长等于.5.如图所示,已知菱形ABCD,其顶点A,B在数轴上对应的数分别为-4和1,则BC＝.6.如图所示,在菱形ABCD中,E,F分别是CB,CD上的点,且BE＝DF.求证∠AEF＝∠AFE.【能力提升】7.如图所示,两个全等菱形的边长均为1 cm,一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动,行走2015 cm后停下,则这只蚂蚁停在点.8.已知菱形ABCD的边长为6,且∠A＝60°,如果点P是菱形内一点,且PB＝PD＝2,那么AP 的长为.9.如图所示,在菱形ABCD中,∠A＝60°,AB＝4,O为对角线BD的中点,过O点作OE⊥AB,垂足为E.(1)求∠ABD的度数;(2)求线段BE的长.【拓展探究】10.如图所示,在菱形ABCD中,对角线AC＝6,BD＝8,点E,F分别是边AB,BC的中点,点P在AC上运动,在运动过程中,存在PE＋PF的最小值,则这个最小值是()A.3B.4C.5D.611.如图所示,在菱形ABCD中,F是BC上任意一点,连接AF交对角线BD于点E,连接EC.(1)求证AE＝EC;(2)当∠ABC＝60°,∠CEF＝60°时,点F在线段BC上的什么位置?说明理由.【答案与解析】1.C(解析:因为菱形ABCD的四条边相等,所以菱形的周长为5×4＝20(cm).故选C.)2.C(解析:如图所示,因为菱形的周长为8 cm,所以AD＝2 cm.因为高DE＝1 cm,所以DE＝AD,所以∠A＝30°,所以∠ADC＝180°-30°＝150°,所以菱形两邻角的度数比为5∶1.故选C.)3.A (解析:因为四边形ABCD是菱形,所以OA＝AC＝3,OB＝BD＝4,∠AOB＝90°,所以AB＝＝5.故选A.)4.4(解析:因为四边形ABCD是菱形,所以O是AC的中点,且AD＝AB＝8.又因为E是CD的中点,所以OE是ΔACD的中位线,所以OE＝AD＝AB＝4.故填4.)5.5 (解析:因为点A,B在数轴上对应的数为-4和1,所以AB＝1-(-4)＝5.因为四边形ABCD 是菱形,所以BC＝AB＝5.故填5.)6.证明:在菱形ABCD中,有AB＝AD,∠B＝∠D.在ΔABE和ΔADF中,,∴ΔABE≌ΔADF.∴AE＝AF.∴∠AEF＝∠AFE.7.G(解析:因为两个全等菱形的边长均为1 cm,所以蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序走一圈的路程为8×1＝8(cm),2015÷8＝251(cm)……7(cm),所以当蚂蚁走完第251圈后再走7 cm正好到达G点.)8.2或49.解:(1)在菱形ABCD中,AB＝AD,∠A＝60°,∴ΔABD为等边三角形.∴∠ABD＝60°.(2)由(1)可知BD＝AB＝4.又∵O为BD的中点,∴OB＝2.又∵OE⊥AB,∠ABD＝60°,∴∠BOE＝30°.∴BE＝1.10.C11.证明:(1)如图所示,连接AC,∵BD是菱形ABCD的对角线,∴BD垂直平分AC,∴AE＝EC.(2)点F是线段BC的中点.理由如下.∵四边形ABCD是菱形,∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°,∴ΔABC是等边三角形,∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC,∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°,∴∠EAC＝30°.∴AF是ΔABC中∠BAC的平分线,∴BF＝CF,∴点F是线段BC的中点.本课时的主要教学内容为菱形的定义和性质.学生已经学习了平行四边形的性质,这是本课时知识的基础.关于菱形的定义和性质,就是在平行四边形的基础上,进一步强化条件得到的.本课时授课思路为“创设情境——猜想归纳——逻辑证明——知识运用”.课堂上的折纸活动,可以让学生直观感知图形的特点,还可以激发学生学习的兴趣和积极性.教师应该留给学生充分的独立思考时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.教师要引导学生积极思考,抓住表面现象中的本质.在性质的证明和应用过程中,教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法,提倡证明方法的多样性,并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法的比较,优化证明方法,有利于提高学生的逻辑思维水平.随堂练习(教材第4页)解:根据菱形的对角线互相垂直,可知ΔAOB是直角三角形,由勾股定理可求出OB＝3 cm,再根据菱形的对角线互相平分可得BD＝2OB＝6 cm.习题1.1(教材第4页)1.证明:在菱形ABCD中,AB＝BC,BC∥AD,∴∠B＋∠BAD＝180°,∵∠BAD＝2∠B,∴∠B＝60°,又∵BA＝BC,∴ΔABC是等边三角形.2.解:∵四边形ABCD是菱形,∴AD＝DC＝CB＝BA,AC⊥BD,AO＝AC＝×8＝4,DO＝BD＝×6＝3,在RtΔAOD中,由勾股定理,得AD＝＝5.∴菱形ABCD的周长为4AD＝4×5＝20.3.证明:在菱形ABCD中,AD＝AB,AC⊥BD,∴AC平分∠DAB,同理,CA平分∠DCB,BD平分∠ABC 和∠ADC.4.解:共有4个等腰三角形,分别为ΔBAD,ΔBCD,ΔADC,ΔABC.共有4个直角三角形,分别为ΔAOB,ΔAOD,ΔCOD,ΔBOC.(1)在折纸过程中,教师要与学生探讨折纸的方法,明确折叠过程中的对应点及相应的对称轴,便于学生正确迅速地找出菱形中的对称关系.掌握数学知识离不开“实践——认识——再实践——认识”这个重要的学习方法,通过说理论证可以使学生充分理解菱形的性质,在这个过程中,教师要充分关注学生使用几何语言的规范性和严谨性.(2)类比方法是数学中重要的方法,所以本课时类比以前学过的平行四边形的有关概念、性质,让学生通过自主学习,共同探究,很自然地突破了重难点.(3)本课时重难点、易错点的掌握要通过不同形式的练习加以巩固,让学生积极参与,培养合作意识,激发学习兴趣,同时教师随时注意学生们出现的问题,及时引导和反馈,使学生在快乐中掌握知识.(2014·莆田中考)如图所示,菱形ABCD的边长为4,∠BAD＝120°.点E是AB的中点,点F是AC上的一动点,则EF＋BF的最小值是.〔解析〕如图所示,连接DE,EC,DF,则BF＝DF.∵四边形ABCD为菱形,∠BAD＝120°,∴∠ABC＝60°.∴ΔABC为等边三角形.∵E是AB的中点,∴CE⊥AB,∴CE⊥CD.在Rt ΔBEC中,∠ABC＝60°,BC＝4,∴BE＝BC＝2,CE＝＝2.在RtΔECD中,CE＝2,DC＝4,∴ED＝2.根据两点之间线段最短,可知EF＋DF的最小值为2.∴EF＋BF的最小值为2.故填2.第课时1.理解菱形的定义,掌握菱形的判定方法;会用这些判定方法进行有关的论证和计算.2.在菱形的判定方法的探索与综合应用中,培养学生的观察能力、动手能力及逻辑思维能力.尝试从不同角度寻求菱形的判定方法,并能有效地解决问题,尝试比较不同判定方法之间的差异,并获得判定四边形是菱形的经验.启发引导学生理解探索结论和证明结论的过程,掌握合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系,培养学生合作交流的能力,以及独立思考的良好习惯.【重点】探索证明菱形的两个判定方法,掌握证明的基本要求和方法.【难点】明确推理证明的条件和结论能用数学语言正确表达.【教师准备】木条和橡皮筋【学生准备】复习上课时的相关知识.导入一:人们戴的帽子的形状千奇百怪,有一段时间,电视上经常看到大学生戴的菱形帽,它是受到外国博士帽的启发.在日本,到第二次世界大战为止,戴菱形帽一直是年轻人的梦想,戴上它显得有知识有学问.这是由于菱形的特殊因素能给人一种舒服的感觉.那么,我们怎样判断一个四边形是否是菱形呢?导入二:什么样的四边形是平行四边形?它有哪些判定方法?教师提示:判定方法应该从三个方面分析:边:两组对边分别平行的四边形是平行四边形;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.角:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.对角线:对角线互相平分的四边形是平行四边形.那么,菱形的判定有什么方法呢?[设计意图]通过类比的方法引导学生发现判定菱形的方法.一、由菱形的定义判定[过渡语]接下来我们研究怎样判断一个四边形是菱形.【学生活动】明确菱形的定义既是菱形的性质,又可作为菱形的第一种判定方法,即有一组邻边相等的平行四边形是菱形.【思考】除了运用菱形的定义,类比平行四边形的性质定理和判定定理,你能找出判定菱形的其他方法吗?二、菱形的判定(1)思路一已知:在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC⊥BD.求证▱ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC.∵AC⊥BD,∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线.∴BA＝BC.∴▱ABCD是菱形(菱形的定义).【思考】从上述证明过程中,你得出什么结论?定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.思路二【学生活动】用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.(1)转动木条,这个四边形总有什么特征?你能证明你发现的结论吗?猜想:四边形的对角线互相平分.(2)继续转动木条,观察什么时候橡皮筋围成的四边形变成菱形?猜想:当木条互相垂直时,平行四边形的一组邻边相等,此时四边形为菱形.(3)你能证明你的猜想吗?猜想:如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直,那么这个平行四边形是菱形.已知:在▱ABCD中,对角线AC,BD互相垂直.求证▱ABCD是菱形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分).又∵AC⊥BD,∴BD所在的直线是线段AC的垂直平分线,∴AB＝BC,∴▱ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).定理:对角线互相垂直的平行四边形是菱形.[过渡语]菱形的判定还有其他的方法吗?学生先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧的交点C,连接BC,CD,就得到了一个四边形,猜一猜,这是什么四边形?请你画一画.通过探究,容易得到:四条边相等的四边形是菱形.证明上述结论.[设计意图]采用观察、操作、交流、演绎的手法来突破难点,通过严谨的推理和证明培养学生的几何思维.思路二问题我们如何画一个菱形呢?通常先画两条等长的线段AB,AD,然后分别以B,D为圆心,AB长为半径画弧,得到两弧交点C,连接BC,CD即可.【学生活动】(1)观察画图的过程,你能说明得到的四边形为什么是菱形吗?学生思考后,展开讨论寻找原因.原因:这个四边形的四条边相等,根据菱形定义即可判定.(2)你能得出什么结论?学生得出从一般的四边形直接判定菱形的方法:四条边相等的四边形是菱形.[设计意图]通过教师画图演示,让学生从直观操作的角度去发现问题,使探究的问题形象化、具体化,培养学生的形象思维能力.利用平行四边形的判定和菱形的定义判定该四边形是菱形,进一步提高学生的抽象思维能力.本活动进一步体现了试验几何和论证几何的有机结合.猜想:四条边相等的四边形是菱形.如图所示,在四边形ABCD,已知AB＝BC＝CD＝DA.求证四边形ABCD是菱形.证明:∵AB＝CD,BC＝AD,∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).又∵AB＝BC,∴平行四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形).[设计意图]由菱形的定义得出从一般的四边形直接判定菱形的方法:四条边相等的四边形是菱形,并激发学生探究的欲望.[知识拓展]四条边相等的四边形是菱形.在▱ABCD中,已知对角线AC与BD相交于点O,AB＝,OA＝2,OB＝1.求证▱ABCD是菱形.证明:在ΔAOB中,∵AB＝,OA＝2,OB＝1,∴AB2＝AO2＋OB2.∴ΔAOB是直角三角形,即∠AOB是直角.∴AC⊥BD.∴▱ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).[知识拓展](1)菱形的判断可以从两个基本图形(四边形或平行四边形)考虑,进行证明.(2)菱形的性质定理和菱形的判定定理是互逆定理.。

北师大版2020九年级数学上册第一章特殊的平行四边形自主学习基础过关测试A(附答案详解)

北师大版2020九年级数学上册第一章特殊的平行四边形自主学习基础过关测试A （附答案详解）1．下列说法中：①在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD 为AB 边上的中线，若CD=2，则AB=4； ②八边形的内角和度数为1080°； ③2、3、4、3这组数据的方差为0.5； ④分式方程1x =31x x-的解为x=23；⑤已知菱形的一个内角为60°，一条对角线为2，则另一对角线为．正确的序号有（）A ．①②③⑤B ．①②③④C ．①③④⑤D ．②③④⑤ 2．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40，则两条对角线相交所成的锐角是（） A ．20 B ．40 C ．80 D ．1003．将等腰△ABC 沿对称轴折叠，使点B 与C 重合，展开后得到折痕AF ，再沿DE 折叠，使点A 与F 重合，展开后得到折痕DE ，则四边形ADFE 是（）A ．平行四边形B ．菱形C ．矩形D ．等腰梯形 4．已知四边形ABCD 中，AC BDEFGH ⊥，，，，分别是AB BC CD DA ，，，的中点，则四边形EFGH 是（）A ．菱形B ．矩形C ．正方形D ．梯形5．如图，在菱形ABCD 中，E 为AB 中点，P 是BD 上一个动点，则下列线段的长度等于P A +PE 最小值的是（）A ．BCB ．CEC ．DED ．AC6．如图，第1个正方形(设边长为2)的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰三角形的斜边……依此不断连接下去．通过观察与研究，写出第2008个正方形的边长a 2008为（）A ．a 2008＝4200712⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．a 2008＝220072⎛ ⎝⎭C ．a 2008＝4200812⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．a 2008＝220082⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭7．菱形具有而平行四边形不具有的性质是（）A ．对角线互相平分B ．两组对边分别相等C ．对角线互相垂直D ．相邻两角互补 8．如图，AD 是ABC 的角平分线，E 、F 分别是边AB 、AC 的中点，连接DE 、DF ，在不再连接其他线段的前提下，要使四边形AEDF 成为菱形，还需添加一个条件，这个条件不可能是（）A ．BD=DCB ．AB=AC C ．AD=BCD ．AD ⊥BC9．由矩形(非正方形)各内角平分线所围成的四边形一定是( )A ．平行四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形10．下列命题错误的是（）A ．若一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是四边形B ．矩形一定有外接圆C ．对角线相等的菱形是正方形D ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形11．如图，四边形OABC 是矩形，点A 的坐标为(8,0)，点C 的坐标为(0,4)，把矩形OABC 沿OB 折叠，点C 落在点D 处，则点D 的坐标为__________．12．如图，长方形ABCD中，AB=6，BC=4，在长方形的内部以CD边为斜边任意作Rt△CDE，连接AE，则线段AE长的最小值是_____．13．如图所示，正方形ABCD与菱形PQCD的面积分别为25cm2和20cm2，阴影部分的面积为_____cm2．14．如图，一张矩形纸片ABCD，AD＝9 cm，AB＝12 cm，将纸片折叠使A，C两点重合，那么折痕MN＝________cm.15．如图，在平面直角坐标系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，OA=1．现将菱形OABC沿x轴的正方向无滑动翻转，每次翻转60°，连续翻转2018次，点B的落点依次为B1，B2，B3，B4，…，则B2018的坐标为________．∠的16．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，30ACB∠=，则AOB 大小为______ ．17．菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为．=，AE交DC于F，18．如图，正方形ABCD中，E为BC延长线上一点，且CE AC∠=________．则AFC19．如图，菱形ABCD的对角线AC＝24，BD＝10，则菱形的周长＝________．20．顺次连接矩形ABCD各边中点，所得四边形形状必定是__________．21．如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点B作AC的平行线，过点C作DB的平行线，它们相交于点E．求证：四边形OBEC是正方形．22．在ABC内画正方形DEFG，使顶点E，F在BC上，顶点D，G分别在AB，AC上．（不求写画法，但要保留画图痕迹）23．如图，点P是正方形ABCD对角线AC上一动点，点E在射线BC上，且PE＝PB，连接PD，O为AC中点．（1）如图1，当点P在线段AO上时，试猜想PE与PD的数量关系和位置关系，请说明理由；（2）①如图2，当点P在线段OC上时，（1）中的猜想还成立吗？请说明理由；②如图2，试用等式来表示PB,BC,CE 之间的数量关系，并证明．（3）如图3，把正方形ABCD 改为菱形ABCD ，其他条件不变，当120BAD ∠=︒时，连接DE ，试探究线段PB 与线段DE 的数量关系，并说明理由．24．如图1，四边形ABCD 是正方形，G 是CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以CG 为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG ，连接BG ，DE ．（1）①猜想图1中线段BG 、线段DE 的长度关系及所在直线的位置关系，不必证明； ②将图1中的正方形CEFG 绕着点C 按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．（2）将原题中正方形改为矩形（如图3、4），且AB=a ，BC=b ，CE=ka ，CG=kb（a≠b ，k ＞0），第（1）题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图4为例简要说明理由．（3）在第（2）题图4中，连接DG 、BE ，且a=3，b=2，k=12，求BE 2+DG 2的值． 25．如图所示，在梯形ABCD 中，AD∥BC，E ，F ，M ，N 分别为AD ，AB ，BC ，CD 的中点，•连接EF ，FM ，MN ，EN ，你能肯定四边形EFMN 是平行四边形吗？为什么？若将梯形ABCD 改变成等腰梯形，其他条件不变，你又会得到EFMN 是什么四边形呢？为什么？26．如图，把一张长方形纸片ABCD 折叠起来，使其对角顶点A 与C 重合，D 与G 重合，若长方形的长BC 为8，宽AB 为4，求：（1）DE 的长；（2）求阴影部分△GED 的面积．27．如图1，在长方形ABCD 中，12AB cm =，BC 10cm =，点P 从A 出发，沿A B C D →→→的路线运动，到D 停止；点Q 从D 点出发，沿D C B A →→→路线运动，到A 点停止．若P 、Q 两点同时出发，速度分别为每秒lcm 、2cm ，a 秒时P 、Q 两点同时改变速度，分别变为每秒2cm 、54cm (P 、Q 两点速度改变后一直保持此速度，直到停止)，如图2是APD ∆的面积2()s cm 和运动时间x (秒)的图象．(1)求出a 值；(2)设点P 已行的路程为1()y cm ，点Q 还剩的路程为2()y cm ，请分别求出改变速度后，12,y y 和运动时间x (秒)的关系式；(3)求P 、Q 两点都在BC 边上，x 为何值时P ，Q 两点相距3cm ？28．如图，正方形ABCD 中，E 、F 分别是AD 、BC 上的一点，12∠=∠，请探求BE 与DF 有何数量关系和位置关系？写出你所得到的结论并给予证明．参考答案1．B【解析】分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断出①的正误；根据多边形的内角和公式：()2180n -⋅︒（3n ≥且n 为整数）可以计算出②的正误；根据方差公式可计算出③的正误；解分式方程可判断出④的正误；⑤要分两种情况进行讨论．详解：①根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB =2CD =4，故此说法正确； ②八边形的内角和度数为：()821801080-⨯︒=︒，故此说法正确；③2、3、4、3这组数据的平均数为(2+3+4+3)÷4=3，方差为()()()()22221233343330.54⎡⎤-+-+-+-=⎣⎦，故此说法正确； ④分式方程131x x x -=的解为23x =，说法正确；⑤已知菱形的一个内角为60︒,一条对角线为2，则另一对角线为3，故此说法错误；故选B.点睛：考查直角三角形的性质，多边形的内角和公式，方差，解分式方程，菱形的性质等，比较基础.2．C【解析】【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等求出另一条对角线与一边的夹角，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．【详解】解：矩形一条对角线与一边的夹角是40°， ∴另一条对角线与一边的夹角也是40°，根据三角形的外角性质，两条对角线所成锐角的度数为404080︒+︒=︒．故选C ．【点睛】本题考查的知识点是矩形的对角线互相平分且相等的性质，解题关键是注意三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质.3．B【解析】【分析】要证四边形AEFD是菱形，只需通过定义证明四边相等即可．此题实际是对判定菱形的方法“对角形垂直平分的四边形为菱形”的证明．【详解】解：∵等腰△ABC沿对称轴折叠后点B与C重合，∴AF⊥BC∵沿DE折叠，使点A与F重合，∴ED∥CB∴AF⊥DE又∵点A与F重合，点B与C重合，∴AF与DE互相平分，∵AF与DE是四边形AEFD的对角线，AF与DE垂直且平分，∴四边形AEFD是菱形．故选：B．【点睛】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．4．B【解析】如图，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF∥AC，HG∥AC，∴EF∥AC，同理可得HE∥GF，∴四边形EFGH是平行四边形，∵EF∥AC，AC⊥BD，∴EF⊥BD，∵HE∥BD，∴EF⊥HE，∴∠HEF=90°，∴平行四边形EFGH是矩形.故选B.5．B【解析】【分析】作点A关于BD的对称点，然后连接对称点和点E就是最小距离．【详解】解：将点A作关于BD的对称点，即点C，连接CE就是PA+PE的最小值，故选B．点睛：本题主要考查的是菱形的性质以及最小值的计算法则，属于基础题型．作出对称点是解决这个问题的关键．6．B【解析】设第1个正方形的边长a1=2，a1，根据题意得，第2个正方形的边长为a2=2第3个正方形的边长为a3a2a1）=）2a1，第4个正方形的边长为a4a3）2a1=）3a1，…，第2008个正方形的边长a2008=（）2007a1，2∵a1=2，∴a2008=2）2007．故选：B．点睛：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的直角边与斜边的关系，根据变化规律求出指数与正方形的序数的关系是解题的关键．7．C【解析】【分析】平行四边形两组对边平行且相等，对角线互相平分，相邻两角互补．【详解】由分析可知，选项A. B.D均正确，但平行四边形的对角线并不垂直，而菱形，的对角线垂直，故C选项错误，故选：C.【点睛】考查平行四边形以及菱形的性质，掌握菱形的对角线互相垂直是解题的关键.8．C【解析】【分析】可以添加BD=CD或AB=AC或AD⊥BC，然后利用三角形中位线证明四边形ADEF是平行四边形，再证明是菱形即可．【详解】添加BD=CD，∵E、F分别是边AB、AC的中点，∴DE，EF是三角形的中位线，∴DE∥AB，DF∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∵AB=AC，点E，F分别是AB，AC的中点，∴AE=AF，∴平行四边形ADEF为菱形．添加AB=AC，则三角形是等腰三角形，由等腰三角形的性质知，顶角的平分线与底边上的中线重合，即点D是BC的中点再证明即可；添加AD⊥BC，再由AD是△ABC的角平分线可证明△ABD≌△ACD，进而得到BD=CD，再证明四边形ADEF为菱形即可，故选C．【点睛】本题考查了菱形的判定．利用了三角形的中位线的性质和平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质．也可添加∠B=∠C或AE=AF．9．D【解析】【分析】根据矩形性质，三角形内角和定理及角平分线定义得到所求的四边形的各个角为90°，进而求解．【详解】如图，∵AF，BE是矩形的内角平分线．∴∠ABF=∠BAF-90°．故∠1=∠2=90°．同理可证四边形GMON四个内角都是90°，则四边形GMON为矩形．又∵有矩形ABCD且AF、BE、DK、CJ为矩形ABCD四角的平分线，∴有等腰直角△DOC，等腰直角△AMD，等腰直角△BNC，AD=BC．∴OD=OC，△AMD≌△BNC，∴NC=DM，∴NC-OC=DM-OD，即OM=ON，∴矩形GMON为正方形，故选D．【点睛】本题考查的是矩形性质，角平分线定义，联系三角形内角和的知识可求解．10．D【解析】【分析】A、任意多边形的外角和为360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可；B、判断一个四边形是否有外接圆，要看此四边形的对角是否互补，矩形的对角互补，一定有外接圆；C、根据正方形的判定方法进行判断；D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．【详解】A、一个多边形的外角和为360°，若外角和=内角和=360°，所以这个多边形是四边形，故此选项正确，不符合题意；B、矩形的四个角都是直角，满足对角互补，根据对角互补的四边形四点共圆，则矩形一定有外接圆，故此选项正确，不符合题意；C、对角线相等的菱形是正方形，故此选项正确，不符合题意；D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；而一对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形或是梯形，故此选项错误，符合题意，故选D．【点睛】本题考查的是多边形的内角和和外角和，四点共圆问题，正方形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握相关的定理和性质是解题的关键.11．1612 (,) 55【解析】分析：由折叠的性质得到一对角相等，再由矩形对边平行得到一对内错角相等，等量代换及等角对等边得到BE=OE，利用AAS得到三角形OED与三角形BEA全等，由全等三角形对应边相等得到DE=AE，过D作DF垂直于OE，利用勾股定理及面积法求出DF与OF的长，即可确定出D 坐标．详解：由折叠得：∠CBO=∠DBO ，∵矩形ABCO ，∴BC ∥OA ，∴∠CBO=∠BOA ，∴∠DBO=∠BOA ，∴BE=OE ，在△ODE 和△BAE 中，90D BAO OED BEA OE BE ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△ODE ≌△BAE （AAS ），∴AE=DE ，设DE=AE=x ，则有OE=BE=8-x ，在Rt △ODE 中，根据勾股定理得：42+（8-x ）2=x 2，解得：x=5，即OE=5，DE=3，过D 作DF ⊥OA ，∵S △OED =12OD•DE=12OE•DF ， ∴DF=125，165，则D （165，-125）．故答案为：（165，-125）．点睛：此题考查了翻折变化（折叠问题），坐标与图形变换，以及矩形的性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．12．2【解析】分析：取CD的中点F，连接AF，利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=12CD，然后根据AE=AF﹣EF计算即可得解．详解：如图，取CD的中点F，连接AF，当EF最长时则AE最短，则DF=12×6=3，在长方形ABCD中，AD=BC=4，由勾股定理得：AF．∵F是Rt△CDE斜边CD的中点，∴EF=12CD=12×6=3，∴AE=AF﹣EF=5﹣3=2，即线段AE长的最小值是2．故答案为2．点睛：本题考查了矩形的对边相等的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理的应用，判断出AE最短时的情况是解题的关键．13．11．【解析】由题意根据正方形的面积和菱形的面积，可得AB=BC=BP=PQ=QC=5，EC=4，在Rt△QEC中，可根据勾股定理求得3，又有PE=PQ-EQ=2，进而可得S阴影=S正方形ABCD-S梯形PBCE=25-12×（5+2）×4=25-14=11（cm2）.故答案为：11．点睛：本题考查了菱形的性质和面积，正方形的性质的应用，能综合运用性质进行计算是解此题的关键，难度适中．14．45 4【解析】分析：如下图，连接AC 交MN 于点O ，连接CM ，由已知易得AC=15，由折叠的性质易得AM=CM ，AO=CO=152，∠AOM=∠CON=90°，这样设AM=x ，在Rt △BCM 中建立关于x 的方程即可求得CM=758，进而在Rt △CMO 中可求得OM=458，再证△AMO ≌△CNO 即可得到ON=OM ，由此即可得到MN=454. 详解：如下图，连接AC 交MN 于点O ，连接CM ，∵在矩形ABCD 中，BC=AD=9cm ，AB=12cm ，∴15=，∵将矩形沿MN 折叠后，点C 与点A 重合，∴AM=CM ，AO=CO=152，∠AOM=∠CON=90°，设AM=x ，则CM=x ，BM=12-x ，∵在Rt △CBM 中，∠B=90°，BC=9cm ，∴222(12)9x x =-+，解得：758x =，即CM=AM=758，∴在Rt △CMO 中，458=， ∵在矩形ABCD 中，CD ∥AB ，∴∠MAO=∠NCO ，又∵AO=CO ，∠AOM=∠CON ，∴△AMO ≌△CNO ，∴ON=OM ，∴MN=2OM=454. 故答案为：454.点睛：这是一道有关“矩形折叠的问题”，熟悉“矩形的性质、折叠的性质和勾股定理”是解答本题的关键.15．（1346，0）【解析】【分析】如图，连接AC，根据条件可以求出AC，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，容易发现规律：每翻转6次，图形向右平移4．由于2018=336×6+2，因此点B2向右平移1344（即336×4）即可到达点B2018，根据点B2的坐标就可求出点B2018的坐标．【详解】解：连接AC，如图所示，∵四边形OABC是菱形，∴OA=AB=BC=OC，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB，∴AC=OA，∵OA=1，∴AC=1，画出第5次、第6次、第7次翻转后的图形，如图所示，由图可知：每翻转6次，图形向右平移4，∵2018=336×6+2，∴点B2向右平移1344（即336×4）到点B2018，∵B2的坐标为（2，0），∴B2018的坐标为（2+1344，0），∴B2018的坐标为（1346，0），故答案为（1346，0）．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，考查了操作、探究、发现规律的能力．发现“每翻转6次，图形向右平移4”是解决本题的关键．16．60【解析】【分析】根据矩形的性质，可得∠ABC的度数，OA与OB的关系，根据等边三角形的判定和性质，可得答案．【详解】∵ABCD是矩形，∴∠ABC=90°．∵∠ACB=30°，∴∠BAO=90°﹣∠ACB=60°．∵OA=OB，∴△ABO是等边三角形，∴∠AOB=60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查了矩形的性质，利用矩形的性质得出∠ABC的度数是解答本题的关键．17．（3，2）．【解析】试题分析：点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可．试题解析：连接ED，如图，∵点B 的对称点是点D ，∴DP=BP ，∴ED 即为EP+BP 最短，∵四边形ABCD 是菱形，顶点B （2，0），∠DOB=60°，∴点D 的坐标为（1，∴点C 的坐标为（3，∴可得直线OC的解析式为：y x =，∵点E 的坐标为（﹣1，0），∴可得直线ED 的解析式为：(11y x =+-，∵点P 是直线OC 和直线ED 的交点，∴点P的坐标为方程组{(11y y x ==+-的解，解方程组得：3{2x y =-=，所以点P 的坐标为（3，2），故答案为（3，2）．考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题．18．112.5【解析】【分析】运用等腰三角形的性质求出∠CAE=∠E ，再根据平行线的内错角相等，得出∠EAD=∠E ，从而有∠CAE=∠EAD=22.5°再求∠AFC ．【详解】∵四边形ABCD 是正方形，AC 是一条对角线∴∠CAD=∠ACD=45°∵AC=CE∴∠CAE=∠E又∵AD ∥CE∴∠EAD=∠E∴∠CAE=∠EAD=22.5°∴∠AFC=180°-45°-22.5°=112.5°故答案为112.5°【点睛】本题主要考查了运用正方形的性质及等腰三角形的性质来求解．19．52【解析】试题解析：菱形ABCD的对角线AC=24，BD=10，则菱形的边长=13，则菱形的周长L=13×4=52．故答案为52．20．菱形【解析】【分析】连接BD,AC,根据矩形性质和三角形中位线性质，可证四条边相等，可得菱形. 【详解】如图连接BD,AC由矩形性质可得AC=BD,因为，E，F,G,H是各边的中点，所以，根据三角形中位线性质可得：HG=EF=12BD,EH=FG=12AC所以，EG=EF=EF=FG，所以，所得四边形EFGH是菱形.故答案为：菱形【点睛】本题考核知识点：矩形性质，菱形判定. 解题关键点: 由三角形中位线性质证边相等.21．见解析【解析】【分析】根据已知条件先证明四边形OBEC 是平行四边形，再证明∠BOC=90°，OC=OB 即可判定四边形OBEC 是正方形．【详解】∵//BE OC ，//CE OB ，∴四边形OBEC 是平行四边形，∵四边形ABCD 是正方形，∴OC OB =，AC BD ⊥，∴90BOC ∠=，∴四边形OBEC 是矩形，∵OC OB =，∴四边形OBEC 是正方形．【点睛】本题考查正方形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和判定．22．见解析【解析】【分析】首先在边AC 上找一点，过该点作垂直于底边的线段，依此线段作一正方形，再过三角形A 点作射线AL ，与BC 相交于G ，过G 点作底边的平行线与AC 交D 点，依线段DG 作正方形．【详解】解：画法（不要求）：()1在AC 上任取一点K ，画KN AB ⊥与N ；()2画正方形KLMN ，使M ，N 在AB 上；()3画射线AL ，与BC 相交于G ；()4画//DG AB ，与AC 相交于D ；()5画DE AB ⊥于E ，GF AB ⊥于F ．四边形DEFG 就是求作的正方形．【点睛】本题主要考查正方形的性质，正确作图是画出正方形DEFG的关键．23．（1）PE=PD,PE⊥PD，证明详见解析；（2）①成立PE=PD,PE⊥PD,证明详见解析；②222BC CE PB+=，证明详见解析；(3)PB=DE,证明详见解析.2【解析】试题分析：（1）如图1，过点P分别作PM⊥BC于点M，PN⊥CD于点N，则由已知条件可得PM=PN，∠MPN=90°，由正方形关于对角线对称可得PB=PD，结合PB=PE可得PE=PD，从而可得△PME≌△PND，由此可得∠EPM=∠DPN，从而可证得∠DPE=90°，得到PD⊥PE；（2）①如图2，过点P分别作PM⊥BC于点M，PN⊥CD于点N，同（1）可证得PD=PE，PD⊥PE仍然成立；②如图2，连接DE，在Rt△DCE中，由勾股定理可得DC2+CE2=DE2，结合在等腰Rt△DPE 中，DE2=2PE2及PE=PB，BC=DC即可得到BC2+CE2=2PB2；（3）如图3，由已知条件易得∠DCE=∠ACD=∠ACB=60°，由菱形关于对角线对称可得PB=PE，∠OBC=∠PDC，结合PB=PE可得∠PEC=∠PBC=∠PDC及PE=PD，再结合∠PHD=∠CHE可得∠DPE=∠DCE=60°，从而可得△PDE是等边三角形，由此即可得到DE=PE=PB.试题解析：（1）PD=PE且PD⊥PE，理由如下：如图1，过点P分别作PM⊥BC于点M，PN⊥CD于点N，∴∠PME=∠PND=90°，∵四边形ABCD是正方形，点P在AC上，∴∠BCD=90°，PM=PN，PB=PD，∴四边形PMCN是正方形，∴∠MPN=90°，∵PB=PE，∴PE=PD，∴Rt△PME≌Rt△PND，∴∠DPN=∠EPM，∴∠DPN+∠NPE=∠NPE+∠EPM=∠MPN=90°，∴PD⊥PE，∴PE与PE关系是：PD=PE且PD⊥PE；（2）①如图2，过点P分别作PM⊥BC于点M，PN⊥CD于点N，和（1）同法可证得PD=PE，PD⊥PE仍然成立；②如图2，连接DE，由①可得PE=PD，PE⊥PD，∴DE2=PD2+PE2=2PE2，∵四边形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠BCD=∠DCE=90°，∴在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，∴BC2+CE2=DE2=2PE2，又∵PE=PB，∴BC2+CE2=2PB2.（3）如图3，∵四边形ABCD是菱形，且∠BAD=120°，∴∠ACB=∠ACD=60°，∴∠DCE=180°-60°-60°=60°，∵点P在对称性AC上，∴由菱形是关于对角线对称的轴对称图形可得：PD=PB，∠PDC=∠PBC，∵PB=PE，∴PD=PE，∠PBC=∠PEC，∴∠PEC=∠PDC，又∵∠PHD=∠CHE，∴∠DPE=∠DCE=60°，∴△PED是等边三角形，∴DE=PE，∴DE=PB.点睛：解第2题第②小问的要点是连接DE，这样即可构造出以DE为斜边的等腰Rt△DPE 和Rt△DCE，结合PD=PE=PB及BC=CD即可使问题得到解决；24．（1）①BG⊥DE，BG=DE；②BG⊥DE，证明见解析；（2）BG⊥DE，证明见解析；（3）16.25．【解析】分析：（1）①根据正方形的性质，显然三角形BCG顺时针旋转90°即可得到三角形DCE，从而判断两条直线之间的关系；②结合正方形的性质，根据SAS仍然能够判定△BCG≌△DCE，从而证明结论；（2）根据两条对应边的比相等，且夹角相等可以判定上述两个三角形相似，从而可以得到（1）中的位置关系仍然成立；（3）连接BE、DG．根据勾股定理即可把BE2+DG2转换为两个矩形的长、宽平方和．详解：（1）①BG⊥DE，BG=DE；②∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°，∴∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE，∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（2）∵AB=a，BC=b，CE=ka，CG=kb，∴BC CG b DC CE a==，又∵∠BCG=∠DCE，∴△BCG∽△DCE，∴∠CBG=∠CDE，又∵∠CBG+∠BHC=90°，∴∠CDE+∠DHG=90°，∴BG⊥DE．（3）连接BE、DG．根据题意，得AB=3，BC=2，CE=1.5，CG=1，∵BG⊥DE，∠BCD=∠ECG=90°∴BE2+DG2=BO2+OE2+DO2+OG2=BC2+CD2+CE2+CG2=9+4+2.25+1=16.25．点睛：此题综合运用了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理．25．四边形EFMN是平行四边形；当梯形为等腰梯形时，四边形EFMN是菱形；【解析】【分析】连接AC和BD，由E，F，M，N分别为AD，AB，BC，CD的中点可知EN、EF、FM、MN均为中位线，再运用一组对边平行且相等即可证明四边形EFMN是平行四边形；若将梯形ABCD改变成等腰梯形，其他条件不变，则AC=BD，可得到EFMN是菱形.【详解】解：四边形EFMN是平行四边形；若将梯形ABCD改变成等腰梯形，其他条件不变，则四边形EFMN是菱形，证明：连接AC和BD，∵E，F，M，N分别是各边中点，∴EN//12AC，FM//12AC，∴EN//FM．∴四边形EFMN•是平行四边形，若将梯形ABCD改变成等腰梯形，其他条件不变：∵ABCD为等腰梯形，∴AC=BD，∴EF=EN，∴四边形EFMN•是菱形.【点睛】本题考察了三角形中位线、平行四边形以及菱形的判定等知识点.26．（1）3；（2）18 5【解析】【分析】（1）设DE=EG=x，则AE=8﹣x．在Rt△AEG中，由勾股定理得：AG2+EG2=AE2，解方程可求出DE的长；（2）过G点作GM⊥AD于M，根据三角形面积不变性，得到AG×GE=AE×GM，求出GM 的长，根据三角形面积公式计算即可．【详解】解：（1）设DE=EG=x，则AE=8﹣x．在Rt △AEG 中，AG 2+EG 2=AE 2，∴16+x 2=（8﹣x ）2，解得x =3，∴DE =3．（2）过G 点作GM ⊥AD 于M ，则12•AG ×GE =12•AE ×GM ，AG =AB =4，AE =CF =5，GE =DE =3， ∴GM =125， ∴S △GED =12GM ×DE =185．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键．27．（1）6；（2）126y x =-；259524y x =-；（3）10或15413；【解析】【分析】（1）根据图象变化确定a 秒时，P 点位置，利用面积求a ；（2）P 、Q 两点的函数关系式都是在运动6秒的基础上得到的，因此注意在总时间内减去6秒；（3）以（2）为基础可知，两个点相距3cm 分为相遇前相距或相遇后相距，因此由（2）可列方程．【详解】（1）由图象可知，当点P 在BC 上运动时，△APD 的面积保持不变，则a 秒时，点P 在AB 上． 110302AP ⨯=， ∴AP=6，则a=6；（2）由（1）6秒后点P 变速，则点P 已行的路程为y 1=6+2（x ﹣6）=2x ﹣6，∵Q 点路程总长为34cm ，第6秒时已经走12cm ，故点Q 还剩的路程为y 2=34﹣12﹣5595(6)424x x -=-；（3）当P 、Q 两点相遇前相距3cm 时，59524x -﹣（2x ﹣6）=3，解得x=10，当P 、Q 两点相遇后相距3cm 时，（2x ﹣6）﹣（59524x -）=3，解得x=15413， ∴当x=10或15413时，P 、Q 两点相距3cm 【点睛】本题是双动点问题，解答时应注意分析图象的变化与动点运动位置之间的关系．列函数关系式时，要考虑到时间x 的连续性才能直接列出函数关系式．28．//BE DF BE DF =且【解析】【分析】∠1=∠2，可得BE∥DF，所以可得其为平行四边形，即BE=DF ．【详解】解：BE DF =；证明：在正方形ABCD 中，1EBC ∠=∠，∵12∠=∠，∴2EBC ∠=∠，∴//BE DF ，又//AD BC ，∴四边形BEDF 为平行四边形，∴//BE DF BE DF =且【点睛】会在正方形内求解线段的平行及相等问题．。

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九年级数学（上）第一章特殊平行四边形暑假复习共 18 页第 1 页九年级数学（上）第一章特殊平行四边形暑假复习【一】知识点归纳：一、．矩形、1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2．矩形的性质：(1)对边平行且相等。

(2)矩形的四个角都是直角．(3)矩形的对角线相等．(4)矩形是轴对称、中心对称图形．3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、矩形的图形分解 OA=OB=OC=OD5．矩形的判定(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形．(2)有三个角是直角的四边形是矩形．(3)对角线相等的平行四边形是矩形．注意：①用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说有一角是直角的四边形，不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形．②用定理（3）证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形．也就说明：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形．二、菱形O DC B A1．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．注意：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．2．菱形的性质(1)具有平行四边形的一切性质．(2)菱形的四条边都相等．(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．(4)菱形是轴对称、中心对称图形．(5) 菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半．3．菱形的判定：(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2四边都相等的四边形是菱形．(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．菱形的判定注意：①对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形．三．正方形1．正方形的概念：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．从正方形的定义可知正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，所以既是矩形又是菱形的四边形是正方形．矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，九年级数学（上）第一章特殊平行四边形暑假复习共18 页第2 页九年级数学（上）第一章特殊平行四边形暑假复习共 18 页第 3 页它们的包含关系如图：2．正方形的性质(1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等．(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴．(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形．(6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等．(7)正方形的面积：若正方形的边长为a ，对角线长为b ，则222b a S ==．3．正方形的判定(1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种： ①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等．②先证它是菱形，再证它有一个角为直角．(2)判定正方形的一般顺序：①先证明它是平行四边形，②再证明它是菱形(或矩形)；③最后证明它是矩形(或菱形)．正方形的面积=a 2= 12L 2四、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第九年级数学（上）第一章特殊平行四边形暑假复习共 18 页第 4 页三边，并且等于第三边的一半。

、（2）过三角形一边的中点，平行于另一边的直线，必平分第三边。

五、中点四边形1、连接任何四边形各边中点所得的四边形都是平行四边形2、中点四边形的形状只与原四边形的对角线相等和垂直有关，若不相等也不垂直是平行四边形；若相等是菱形；若垂直是矩形；若相等且垂直是正方形。

六补充：梯形1．梯形的相关概念（1）一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形．梯形中平行的两边叫做梯形的底．注意：通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形的上下底是以长短区分的，不是指位置说的．梯形中不平行的两边叫做梯形的腰．梯形两底的距离叫做梯形的高．两腰相等的梯形叫做等腰梯形．一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形．（2）梯形一般如下分类：（3）解决梯形问题的基本思路：梯形问题三角形或平行四边形问题．转化分割、拼{⎪⎩⎪⎨⎧等腰梯形直角梯形特殊梯形一般梯形梯形九年级数学（上）第一章特殊平行四边形暑假复习共 18 页第 5 页这种思路常通过平移或旋转来实现．2．梯形的判定(1)定义法：判定四边形中①一组对边平行；②另一组对边不平行．(2)有一组对边平行且不相等的四边形是梯形．注意：此判定可由梯形定义和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出．3．等腰梯形的性质(1)等腰梯形两腰相等、两底平行．(2)等腰梯形在同一底上的两个角相等．(3)等腰梯形的对角线相等．(4)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴．注意：等腰梯形在同一底上的两个角相等，不能说成：①等腰梯形两底上的角相等；②等腰梯形同一底上的两底角相等．4．等腰梯形的判定(1)两腰相等的梯形是等腰梯形．(2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形．(3)对角线相等的梯形是等腰梯形．5．梯形的面积(1)如图，DE AB CD S ABCD ⋅+=)(21梯形．(2)梯形中有关图形面积：①BAC ABD S S ∆∆=．②BOC AOD S S ∆∆=．③BCDADC S S ∆∆=（3）如图若梯形ABCD 是等腰梯形，则OA=OBOC=OD6．梯形问题的常用辅助线（1）延长两腰转化为三角形。

（2）平移一腰转化为平行四边形和三角形。

（3）平移一条对角线转化为平行四边形和三角形。

（4）过顶点作梯形的两条高线转化为直角三角形和矩形七、1、梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半2、梯形两对角线中点的连线等于两底差的一半【二】跟踪练习：九年级数学（上）矩形、菱形、正方形复习题则BC的长为（）A．1 B．2 C.2D．3(第4题图)(第5题图)九年级数学（上）第一章特殊平行四边形暑假复习共18 页第6 页3、在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，AB=AD．若BC+CD=8，则四边形ABCD的面积是（）A．16 B．32 C．48 D．644.如图，边长为2的正方形ABCD中,将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动，如果Q从点A出发，沿图中所示方向按A→B→C→D→滑到A为止，同时点R从B点出发，沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑到B为止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线与正方形的边围成的图形的面积为（）A.2B.4- πC. π.D. π-1二、细心填一填九年级数学（上）第一章特殊平行四边形暑假复习共18 页第7 页九年级数学（上）第一章特殊平行四边形暑假复习共 18 页第 8 页5、如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个(第1题图) (第2题图) (第3题图)6、如图，菱形花坛的边长为6cm ，一个内角为60°，在花坛中用花盆围出两个正六边形的7矩形的两邻边长的差为2，对角线长为4，则矩形的面积为cm 2．9、如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE=DF ．连接CF 交BD 于点G ，连接BE 交AG 于点H ．若正方形的边长为2，九年级数学（上）第一章特殊平行四边形暑假复习共 18 页第 9 页(第7题图) (第8题图) (第9题图)10、如图，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，BE=2，AE=3BE ，11、如图，正三角形和正方形的面积分别为10，6，两阴影部分的面三、用心做一做12、如图，在正方形ABCD 中，点M 是对角线BD 上的一个动点，过点M 作ME ∥CD 交BC 于点E ，作MF ∥BC交CD 于点F ．求EF 的最小值13、如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠度．九年级数学（上）第一章特殊平行四边形暑假复习共18 页第10 页【三】诊断检测:第一章特殊平行四边形复习效果诊断检测(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．在学习“特殊平行四边形”一章时，小明的书上有一图因不小心被滴上墨水(如图)，看不清楚所印的字，请问被墨迹遮盖了的文字应是( )A．等边三角形B．四边形C．梯形D．菱形2．如图，矩形ABCD的对角线AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则AB的长为( )A. 3 cm B．2 cm C．2 3 cm D．4 cm九年级数学（上）第一章特殊平行四边形暑假复习共18 页第11 页九年级数学（上）第一章特殊平行四边形暑假复习共 18 页第 12 页3．平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点坐标分别是A (－3，0)，B (0，2)，C (3，0)，D (0，－2)，则四边形ABCD 是( )A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．平行四边形 4．下列命题是假命题的是( )A ．四个角相等的四边形是矩形B ．对角线相等的平行四边形是矩形C ．对角线垂直的四边形是菱形D ．对角线垂直的平行四边形是菱形（第1题图) （第2题图) （第5题图) （第6题图)5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，现将其沿AE 对折，使得点B 落在边AD 上的点B 1处，折痕与边BC 交于点E ，则CE 的长为( )A ．6 cmB ．4 cmC ．2 cmD ．1 cm6．如图，菱形纸片ABCD 中，∠A ＝60°，折叠菱形纸片ABCD ，使点C 落在DP (P 为AB 中点)所在的直线上，得到经过点D 的折痕DE ，则∠DEC 的大小为( )A ．78°B ．75°C ．60°D ．45°7．如图，每个小正方形的边长为1，A ，B ，C 是小正方形的顶点，则∠ABC 的度数为( )A ．90°B ．60°九年级数学（上）第一章特殊平行四边形暑假复习共 18 页第 13 页C ．45°D ．30°8．已知四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 互相垂直，则下列结论正确的是( )A ．当AC ＝BD 时，四边形ABCD 是矩形B ．当AB ＝AD ，CB ＝CD 时，四边形ABCD 是菱形C ．当AB ＝AD ＝BC 时，四边形ABCD 是菱形 D ．当AC ＝BD ，AD ＝AB 时，四边形ABCD 是正方形 9．已知：线段AB ，BC ，∠ABC ＝90°.求作：矩形ABCD . 以下是甲、乙两同学的作业：甲：(1)以点C 为圆心，AB 长为半径画弧；(2)以点A 为圆心，BC 长为半径画弧；(3)两弧在BC 上方交于点D ，连接AD ，CD ，四边形ABCD 即为所求．(如图①)乙：(1)连接AC ，作线段AC 的垂直平分线，交AC 于点M ；(2)连接BM 并延长，在延长线上取一点D ，使MD ＝MB ，连接AD ，CD ，四边形ABCD 即为所求．(如图②)对于两人的作业，下列说法正确的是( )A ．两人都对 B ．两人都不对 C ．甲对乙不对 D 甲不对，乙对九年级数学（上）第一章特殊平行四边形暑假复习共 18 页第 14 页（第9题图) （第10题图)10．如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，且AE ＝13AB ，将矩形沿直线EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上的点P 处，连接BP 交EF 于点Q ，对于下列结论：①EF ＝2BE ；②PF ＝2PE ；③FQ ＝4EQ ；④△PBF 是等边三角形．其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①④ 二、填空题(每小题3分，共18分)11．已知菱形的两条对角线长分别为2 cm ，3 cm ，则它的面积是____cm 2.12．如图，已知点P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，且BP ＝BC ，则∠ACP 的度数是____度．13．如图所示，将△ABC 绕AC 的中点O 顺时针旋转180°得到△CDA ，添加一个条件____，使四边形ABCD 为矩形．,（第12题图）（第13题图) （第14题图) （第15题图) 14．已知矩形ABCD ，AB ＝3 cm ，AD ＝4 cm ，过对角线BD 的中点O 作BD 的垂直平分线EF ，分别交AD ，BC 于点E ，F，九年级数学（上）第一章特殊平行四边形暑假复习共 18 页第 15 页则AE 的长为___cm.15．如图，菱形ABCD 的边长为4，过点A ，C 作对角线AC 的垂线，分别交CB 和AD 的延长线于点E ，F ，AE ＝3，则四边形AECF 的周长为__．16．如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边BC ，AB ，CA 上，且DE ∥CA ，DF ∥BA .下列四种说法：①四边形AEDF 是平行四边形；②如果∠BAC ＝90°，那么四边形AEDF 是矩形；③如果AD 平分∠BAC ，那么四边形AEDF 是菱形；④如果AD ⊥BC 且AB ＝AC ，那么四边形AEDF 是菱形．其中，正确的有___．(填序号)三、解答题(共72分)17．(10分)如图，矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86 cm ，对角线长是13 cm ，那么矩形的周长是多少？18．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC.(1)求证：△ADC≌△ECD；(2)若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．19．(10分)如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：BD＝EC；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．20．(10分)如图，已知在▱ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点，BD是对角线，AG∥BD交CB的延长线于点G.(1)求证：△ADE≌△CBF；九年级数学（上）第一章特殊平行四边形暑假复习共18 页第16 页九年级数学（上）第一章特殊平行四边形暑假复习共 18 页第 17 页(2)若四边形BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？证明你的结论．21．(10分)如图，已知菱形ABCD ，AB ＝AC ，点E ，F 分别是BC ，AD 的中点，连接AE ，CF . (1)求证：四边形AECF 是矩形； (2)若AB ＝8，求菱形的面积．22．(10分)如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边AB ，BC 上，∠ADE ＝∠CDF.(1)求证：AE ＝CF ；(2)连接DB 交EF 于点O ，延长OB 至G ，使OG ＝OD ，连接EG ，FG ，判断四边形DEGF 是否是菱形，并说明理由．23．(12分)如图，在矩形ABCD中，点M，N分别是AD，BC的中点，点P，Q分别是BM，DN的中点．(1)求证：△MBA≌△NDC；(2)四边形MPNQ是什么特殊四边形？请说明理由．九年级数学（上）第一章特殊平行四边形暑假复习共18 页第18 页。