九年级第一章特殊的平行四边形知识点总结

第一章特殊平行四边形

一、矩形

1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．

2、矩形的性质：

(1)对边平行且相等。(2)矩形的四个角都是直角。 (3)矩形的对角线相等。(4)矩形是轴对称、中心对称图形。 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

4、矩形的图形分解 OA=OB=OC=OD

5、矩形的判定

(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形．

(2)有三个角是直角的四边形是矩形．

(3)对角线相等的平行四边形是矩形．

注意：①用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说有一角是直角的四边形，不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形．

②用定理证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形．也就说明：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形．

二、菱形

1．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

注意：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．

2．菱形的性质

(1)具有平行四边形的一切性质． (2)菱形的四条边都相等．

(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．

(4)菱形是轴对称、中心对称图形． (5) 菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半．

3．菱形的判定：

(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2)四边都相等的四边形是菱形．

(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

注意：①对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形．

O

D C B A

三．正方形

1．正方形的概念：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．

从正方形的定义可知正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，所以既是矩形又是菱形的四边形是正方形．

矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，

它们的包含关系如图：

2．正方形的性质

(1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．

(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等．

(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴．

(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形．

(6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等．

(7)正方形的面积：若正方形的边长为a ，对角线长为b ，则22

2

b a S ==． 3．正方形的判定

(1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种：

①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等．

②先证它是菱形，再证它有一个角为直角．

(2)判定正方形的一般顺序：①先证明它是平行四边形，②再证明它是菱形(或矩形)；③最后证明它是矩形(或菱形)．

四、三角形中位线定理：

（1）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。、

（2）过三角形一边的中点，平行于另一边的直线，必平分第三边。

五、中点四边形

1、连接任何四边形各边中点所得的四边形都是平行四边形

2、中点四边形的形状只与原四边形的对角线相等和垂直有关，若不相等也不垂直是平行四边形；若相等是菱形；若垂直是矩形；若相等且垂直是正方形。

1．如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86 cm，对角线长是13 cm，那么矩形的周长是多少？

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC.

(1)求证：△ADC≌△ECD；

(2)若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．

3．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.

(1)求证：BD＝EC；

(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．

4．如图，已知在▱ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点，BD是对角线，AG∥BD交CB的延长线于点G.

(1)求证：△ADE≌△CBF；

(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？证明你的结论．

5．如图，已知菱形ABCD，AB＝AC，点E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，CF.

(1)求证：四边形AECF是矩形；

(2)若AB＝8，求菱形的面积．

6．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE＝∠CDF.

(1)求证：AE＝CF；

(2)连接DB交EF于点O，延长OB至G，使OG＝OD，连接EG，FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由．

7．如图，在矩形ABCD中，点M，N分别是AD，BC的中点，点P，Q分别是BM，DN的中点．

(1)求证：△MBA ≌△NDC；

(2)四边形MPNQ是什么特殊四边形？请说明理由．

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