九年级第一章特殊的平行四边形知识点总结
九年级数学上册第一章特殊平行四边形核心知识点新版北师大版.doc
特殊平行四边形核心知识点正方形、矩形、菱形和平行四边形四者之间关系图形 定义平行四边形 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 菱形 一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 矩形 一个内角是直角的平行四边形叫做矩形 正方形一组邻边相等的矩形叫做正方形图形 边角对角线平行四边形 对边平行且相等 对角相等,邻角互补 对角线互相平分 菱形 对边平行，四条边相等 对角相等 两对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 矩形 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 正方形对边平行、四条边都相等四个角都是直角两条对角线互相平分、垂直、相等，每一条对角线平分一组对角图形判别方法平行四边形1、两组对边分别平行的四边形是平行四边形2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形3、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两组对角分别相等的四边形是平行四边形5、对角线互相平分的四边形是平行四边形 菱形1、一组邻边相等的平行四边形是菱形2、四条边都相等的四边形是菱形3、对角线互相垂直的平行四边形是菱形 矩形1、一个内角是直角的平行四边形是矩形2、对角线相等的平行四边形是矩形正方形1、一组邻边相等的矩形是正方形2、对角线互相垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形二、梯形常见的辅助线 1.延长两腰交于一点作用：使梯形问题转化为三角形问题。
若是等腰梯形则得到等腰三角形。
2.平移一腰作用：使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。
3.作高作用：使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。
4.平移一条对角线 作用：（1）得到平行四边形ACED ，使CE=AD ，BE 等于上、下底的和 （2）等腰梯形时，S 梯形ABCD =S △DBE5.当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的延长线。
对角线相等 对角线互相垂直 有一个角是直角 一组邻边相等 平行四边形 矩形 菱形正方形作用：可得△ADE≌△FCE，所以使S梯形ABCD=S△ABF。
初三数学九年级上册知识点——特殊的平行四边形
初三数学九年级上册知识点——特殊的平行四边形九年级数学上册知识点特殊的平行四边形一、平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质1）平行四边形的对边平行且相等。
（对边）2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）3）平行四边形的对角线互相平分。
（对角线）4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
3.平行四边形的判定1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（对边）（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（对边）（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（对边）（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（对角）（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（对角线）4.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
注意：平行线间的距离处处相等。
5.平行四边形的面积:S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质1）菱形的四条边相等，对边平行。
（边）2）菱形的相邻的角互补，对角相等。
（对角）3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
（对角线）4）菱形既是中央对称图形又是轴对称图形；对称中央是对角线的交点（对称中央到菱形四条边的间隔相等）；对称轴有两条，是对角线地点的直线。
3.菱形的判定1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。
（边）3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。
（对角线）4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
特殊平行四边形知识点归纳
特殊平行四边形知识点归纳1.对角线：特殊平行四边形的对角线分别连接了两对相对顶点，它们相交于一个点，并且该交点将对角线分为两个相等的部分。
2.平行线性质：特殊平行四边形的两对边分别是平行的。
根据平行线的性质，可以推论出特殊平行四边形的一些重要性质，如对边相等和内角和为180度。
3.对角线性质：特殊平行四边形的对角线相等，即对角线BD=AC。
这个性质可以通过两个相似三角形的性质证明得出。
4.垂直线性质：特殊平行四边形的对角线相交于一个垂直点，即∠BOC=90度。
这个性质可以通过垂直线的性质证明得出。
5.邻补角性质：特殊平行四边形的邻补角（共享一条边且内角和为180度的两个角）之和为180度。
这个性质可以通过平行线的性质证明得出。
6.夹角性质：特殊平行四边形的夹角（相邻且共享一条边的两个内角）之和为180度。
这个性质也可以通过夹角的定义和平行线的性质证明得出。
7.对角线中点连线性质：特殊平行四边形的对角线的中点分别连接，即中点E和F相连，则EF平行于对边AB和CD，并且EF=AB=CD。
这个性质可以通过对角线中点连线构造等腰直角三角形的性质证明得出。
特殊平行四边形的这些性质和概念在几何学中有着广泛的应用。
例如，在解决平行四边形的面积、周长、角度和边长等问题时，可以利用这些性质来求解。
特殊平行四边形还与三角形、四边形和多边形等几何图形的关系密切相关，在几何证明和问题求解中起着重要的作用。
总之，特殊平行四边形是一个重要的几何概念，它具有一系列的重要性质和应用。
通过深入理解这些知识点，并善于运用它们来解决问题，可以提高我们的几何学思维能力和分析问题的能力。
北师大九年级上册平行四边形 第一章 小结与复习
说明理由； (1) 证明：∵ CE 平分∠BCO，CF
平分∠GCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF， ∴∠ECF＝ 1×180°＝90°.
2
(2)解：当点 O 运动到 AC 的中点时，四边形 AECF 是 矩形. 理由如下：
∵ MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠GCF. 又∵ CE 平分∠BCO，CF 平分∠GCO， ∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠GCF. ∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC. ∴ OE＝OC，OF＝OC. ∴ OE＝OF. 当点 O 运动到 AC 的中点时，OA＝OC， ∴ 四边形 AECF 是平行四边形. ∵∠ECF＝90°，∴ 四边形 AECF 是矩形.
针对训练 5. 如图，两个含有 30° 角的完全相同的三角板 ABC 和 DEF 沿直线 FC 滑动，下列说法错误的是 ( B ) A. 四边形 ACDF 是平行四边形 B. 当点 E 为 BC 中点时，四边形 ACDF 是矩形 C. 当点 B 与点 E 重合时，四边形 ACDF 是菱形 D. 四边形 ACDF 不可能是正方形
第一章 特殊的平行四边形
小结与复习
要点梳理
一、菱形、矩形、正方形的性质
对边
角
平行
对角相等
且四边相等 邻角互补
平行且相等
四个角 都是直角
平行
四个角
且四边相等 都是直角
对角线
互相垂直且平分， 每一条对角线平分
一组对角
互相平分且 相等
互相垂直平分且相 等，每一条对角线
平分一组对角
二、菱形、矩形、正方形的判定方法
九年级第一章特殊的平行四边形知识点总结
第一章特别平行四边形一、矩形1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．2、矩形的性质：(1)对边平行且相等。
(2) 矩形的四个角都是直角。
(3)矩形的对角线相等。
(4) 矩形是轴对称、中心对称图形。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半4、矩形的图形分解OA=OB=OC=OD A DOBC5、矩形的判断(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形．(2)有三个角是直角的四边形是矩形．(3)对角线相等的平行四边形是矩形．注意：①用定义判断一个四边形是矩形一定同时知足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说有一角是直角的四边形，不必定是矩形，一定加上平行四边形这个条件，它才是矩形．②用定理证明一个四边形是矩形，也一定知足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形．也就说明：两条对角线相等的四边形不必定是矩形，一定加上平行四边形这个条件，它才是矩形．二、菱形1．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．注意：菱形一定知足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．2．菱形的性质(1) 拥有平行四边形的全部性质．(2)菱形的四条边都相等．(3)菱形的对角线相互垂直，而且每一条对角线均分一组对角．(4)菱形是轴对称、中心对称图形．(5) 菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半．3．菱形的判断：(1) 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2) 四边都相等的四边形是菱形．(3)对角线相互垂直的平行四边形是菱形．注意：①对角线相互垂直的四边形不必定是菱形，一定加上平行四边形这个条件它才是菱形．三．正方形1．正方形的观点：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．从正方形的定义可知正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，因此既是矩形又是菱形的四边形是正方形．矩形、菱形、正方形都是特别的平行四边形，它们的包括关系如图：2．正方形的性质(1)正方形拥有四边形、平行四边形、矩形、菱形的全部性质．(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等．(3)正方形的两条对角线相等，而且相互垂直均分，每条对角线均分一组对角．(4)正方形是轴对称图形，有 4 条对称轴．(5)正方形的一条对角线把正方形分红两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分红四个小的全等的等腰直角三角形．(6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两头距离相等．S a 2b2(7) 正方形的面积：若正方形的边长为a，对角线长为 b ，则 2 ．3．正方形的判断(1)判断一个四边形为正方形主要依据定义，门路有两种：①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等．②先证它是菱形，再证它有一个角为直角．(2) 判断正方形的一般次序：①先证明它是平行四边形，②再证明它是菱形( 或矩形 ) ；③最后证明它是矩形( 或菱形 ) ．四、三角形中位线定理：（1）三角形的中位线平行于第三边，而且等于第三边的一半。
北师大版九年级数学上册 知识点归纳
九年级数学上册知识点归纳第一章特殊平行四边形1.菱形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
2.矩形的性质与判定※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形．．。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3.正方形的性质与判定正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图所示)：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
※夹在两条平行线间的平行线段相等。
※在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半第二章一元二次方程1.认识一元二次方程※只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为02=bxax（a、+c+b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程．．．．．．。
※把02=bxax（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一+c+般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。
特殊平行四边形知识点总结及题型
新天宇教育授课讲义授课科目初三上册授课时间（2016.9．11）授课内容特殊的平行四边形1基础知识1.基础知识点(概念、公式）1.菱形菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．菱形的性质性质1菱形的四条边都相等；性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；菱形的判定菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．2.矩形矩形定义: 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形或正方形).矩形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，矩形也是轴对称图形，对称轴是通过对边中点的直线，有两条对称轴；矩形的性质:(具有平行四边形的一切特征)矩形性质1: 矩形的四个角都是直角．矩形性质2: 矩形的对角线相等且互相平分．矩形的判定方法．矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形判定方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形判定方法4：对角线相等且互相平分的四边形是矩形．2.正方形正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：①有一组邻边相等的平行四边形（菱形②有一个角是直角的平行四边形（矩形）正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：边：对边平行，四边相等；角：四个角都是直角；对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．正方形的判定方法：(1)有一个角是直角的菱形是正方形；(2)有一组邻边相等的矩形是正方形．注意：1、正方形概念的三个要点：（1）是平行四边形；（2）有一个角是直角；（3）有一组邻边相等．2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.2.本节课的重点、难点（1）对平行四边形和特殊的几种图形的性质要注意理解（2）对证明特殊平行四边形的方法进行掌握3.学生容易混淆的知识点（1）各种四边形对角线的特点。
北师大版初中数学九年级上册第一章知识点
九年级第一章特殊的平行四边形一、菱形知识点1：菱形的概念概念：有一组邻边相等的平行四边形叫菱形知识点2：菱形的性质1 面积：①底×高②对角线乘积的一半2 边：四条边相等；对边平行；对边相等3 角：对角相等；邻角互补4 对角线：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角5 对称性：轴对称图形 + 中心对称图形知识点3：菱形的判定1 四边形＋四条边相等2 平行四边形＋一组邻边相等3 平行四边形＋对角线互相垂直二、矩形知识点1：矩形的概念概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形知识点2：矩形的性质1 面积：长×宽2 边：对边平行；对边相等3 角：四个角都是直角；对角相等；邻角互补4 对角线：对角线相等，对角线互相平分5 对称性：轴对称图形 + 中心对称图形6 斜边中线性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半知识点3：矩形的判定1 四边形＋三个角是直角2 平行四边形＋对角线相等三、正方形知识点1：正方形的概念概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形知识点2：正方形的性质1 面积：边长×边长2 边：四条边相等；对边平行；对边相等3 角：四个角都是直角；对角相等；邻角互补4 对角线：对角线相等且互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角5 对称性：轴对称图形 + 中心对称图形知识点3：正方形的判定1 从平行四边形出发：平行四边形＋一组邻边相等＋一个直角2 从矩形出发：矩形＋一组邻边相等矩形＋对角线互相垂直3 从菱形出发：菱形＋一个直角菱形＋对角线相等四、中点四边形知识点1：中点四边形的概念概念：顺次链接任意四边形各边中点所组成的四边形叫中点四边形知识点2：常见的中点四边形1 任意四边形的中点四边形是平行四边形2 平行四边形的中点四边形是平行四边形3 矩形的中点四边形是菱形4 菱形得到中点四边形是矩形5 正方形的中点四边形是正方形。
北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结
北师大版-数学九年级上册知识点归纳总结第一章特殊的平行四边形一、平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。
（对边）（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）（3）平行四边形的对角线互相平分。
（对角线）（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
3.平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（对边）（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（对边）（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（对边）（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（对角）（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（对角线）4.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
注意：平行线间的距离处处相等。
5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。
（边）（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。
（对角）（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
（对角线）（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3.菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。
（边）（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。
（对角线）4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
北师大版九年级数学上册知识点归纳：第一章特殊平行四边形
第一章特殊平行四边形1.菱形的性质与判定2.矩形的性质与判定3.正方形的性质与判定菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
※菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。
※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。
对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
四条边都相等的四边形是菱形。
※矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
矩形是特殊的平行四边形。
※矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。
（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）※矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。
对角线相等的平行四边形是矩形。
四个角都相等的四边形是矩形。
※推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。
※正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。
（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）※正方形常用的判定：有一个内角是直角的菱形是正方形；邻边相等的矩形是正方形；对角线相等的菱形是正方形；对角线互相垂直的矩形是正方形。
正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系(如图3所示)：※梯形定义：一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
※两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
※一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
※等腰梯形的性质：等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。
同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。
※多边形内角和：n边形的内角和等于（n－2）·180°※多边形的外角和都等于360°※在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图开叫做中心对称图形。
※中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段被对称中心平分。
四种特殊四边形的性质边角对角线对称性平行四边对边平行且相等对角相等互相平分中心对称形轴对称中心对矩形对边平行且相等四个角都是直角互相平分且相等称菱形对边平行四条边对角相等互相垂直平分且每条对角线轴对称中心对四种特殊四边形常用的判定方法：面积公式： S 平行四边形=底边长×高=ah S 矩形=长×宽=ab S 菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半 2221对角线边长正==S。
初三数学九年级上册知识点——特殊的平行四边形
九年级数学上册知识点特殊的平行四边形一、平行四边形1.平行四边形的定义:两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2.平行四边形的性质（1）平行四边形的对边平行且相等。
（对边）（2）平行四边形相邻的角互补，对角相等（对角）（3）平行四边形的对角线互相平分。
（对角线）（4）平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
常用点：（1）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段的中点是对角线的交点，并且这条直线二等分此平行四边形的面积。
（2）推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
3.平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（对边）（2）定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（对边）（3）定理2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（对边）（4）定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
（对角）（5）定理4：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（对角线）4.两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
注意：平行线间的距离处处相等。
5.平行四边形的面积: S平行四边形=底边长×高=ah二、菱形1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.菱形的性质（1）菱形的四条边相等，对边平行。
（边）（2）菱形的相邻的角互补，对角相等。
（对角）（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。
（对角线）（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到菱形四条边的距离相等）；对称轴有两条，是对角线所在的直线。
3.菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形。
（边）（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
（对角线）（4）定理3：对角线垂直且平分的四边形是菱形。
（对角线）4.菱形的面积：S菱形=底边长×高=两条对角线乘积的一半三、矩形1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
特殊平行四边形知识点归纳
仅供个人学习参考特殊的平行四边形知识点归纳附：平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2.平行四边形的性质 （1）边：平行四边形的对边平行且相等．（2）角：平行四边形的对角相等．（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分．（4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心． 3.平行四边形的判定方法（1）定义识别：两组对边分别平行的四边形是平行四边形． （2）用平行四边形的判定定理识别：判定定理①：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 判定定理②：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 判定定理③：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 4.三角形中位线（1）定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．每个三角形都有三条中位线． （2）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 5.直角三角形特殊性质（1）斜边上的中线等于斜边的一半。
（2)300所对的直角边等于斜边的一半。
（3）勾股定理矩形菱形正方形定义有一角是直角的平行四边形叫做矩形 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 有一组邻边相等．．．．．．并且有一个角是．．．．．直角．．的平行四边形．．．．．叫做正方形 性 质边对边平行且相等 对边平行，四边相等对边平行，四边相等 角 四个角都是直角 对角相等四个角都是直角对角线互相平分且相等 互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角判定·有一个角是直角的平行四边形;·有三个角是直角的四边形;·两条对角线相等的平行四边形;.·对角线相等且互相平分的四边形是矩形·有一组邻边相等的平行四边形；·四边相等的四边形；·两条对角线互相垂直的平行四边形;。
·对角线互相垂直平分的是四边形·有一组邻边相等的矩形； ·对角线互相垂直的矩形； ·有一个角是直角的菱形； ·对角线相等的菱形。
九年级数学上特殊平行四边形知识点理论总结北师大版
（特殊）平行四边形知识点总结一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2ABCD，读作“平行四边形ABCD”．2．熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S=底高ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．=⨯3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形二、．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线及边的夹角为450；④对称性：轴对称图形（4条）．3．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形；③对角线互相垂直的矩形．④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形；。
完整版九年级上册-特殊的平行四边形知识点
九年级上册-特殊的平行四边形知识点总结一、平行四边形1、定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、表示：字母按顺序书写。
3、性质：①边：对边平行且相等；②角：对角相等；③对角线：互相平分4、判定：①以定义证明：两组对边平行的四边形是平行四边形；②对角线互相平分的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
二、矩形1、定义：有一个角是直角的平行四边形。
2、性质：①边：对边平行且相等（具有平行四边形的一切性质）；②角：四个角相等，都是直角；③对角线：相等，互相平分。
3、判定：①以定义证明：有一个角是直角的平行四边形；②有三个角是90°的四边形；③对角线相等的平行四边形；④对角线互相平分且相等的四边形。
三、菱形1、定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、性质：①边：四条边相等；②角：对角相等（具有平行四边形的一切性质）；③对角线：互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
④菱形的面积等于对角线乘积的一半。
3、判定：①以定义证明：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；②四条边都相等的平行四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四，正方形的性质-具有矩形的性质，也具有菱形的性质。
1，定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．2，性质：①边：对边平行，四边相等；②角：四个角都是直角；③对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角3，判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③有一组邻边相等的矩形是正方形．④对角线垂直的矩形是正方形；五，直角三角形斜边中线的性质与直角三角形的判定①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②判定：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
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第一章特殊平行四边形
一、矩形
1、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2、矩形的性质：
(1)对边平行且相等。
(2)矩形的四个角都是直角。
(3)矩形的对角线相等。
(4)矩形是轴对称、中心对称图形。
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
4、矩形的图形分解 OA=OB=OC=OD
5、矩形的判定
(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形．
(2)有三个角是直角的四边形是矩形．
(3)对角线相等的平行四边形是矩形．
注意：①用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说有一角是直角的四边形，不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形．
②用定理证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形．也就说明：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形．
二、菱形
1．定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
注意：菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．
2．菱形的性质
(1)具有平行四边形的一切性质． (2)菱形的四条边都相等．
(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
(4)菱形是轴对称、中心对称图形． (5) 菱形面积＝底×高＝对角线乘积的一半．
3．菱形的判定：
(1)定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．(2)四边都相等的四边形是菱形．
(3)对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意：①对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形．
O
D C B A
三．正方形
1．正方形的概念：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
从正方形的定义可知正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，所以既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，
它们的包含关系如图：
2．正方形的性质
(1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．
(2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等．
(3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
(4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴．
(5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰直角三角形．
(6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等．
(7)正方形的面积：若正方形的边长为a ，对角线长为b ，则22
2
b a S ==． 3．正方形的判定
(1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种：
①先证它是矩形，再证它有一组邻边相等．
②先证它是菱形，再证它有一个角为直角．
(2)判定正方形的一般顺序：①先证明它是平行四边形，②再证明它是菱形(或矩形)；③最后证明它是矩形(或菱形)．
四、三角形中位线定理：
（1）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
、
（2）过三角形一边的中点，平行于另一边的直线，必平分第三边。
五、中点四边形
1、连接任何四边形各边中点所得的四边形都是平行四边形
2、中点四边形的形状只与原四边形的对角线相等和垂直有关，若不相等也不垂直是平行四边形；若相等是菱形；若垂直是矩形；若相等且垂直是正方形。
1．如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86 cm，对角线长是13 cm，那么矩形的周长是多少？
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC.
(1)求证：△ADC≌△ECD；
(2)若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．
3．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.
(1)求证：BD＝EC；
(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．
4．如图，已知在▱ABCD中，点E，F分别是边AB，CD的中点，BD是对角线，AG∥BD交CB的延长线于点G.
(1)求证：△ADE≌△CBF；
(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？证明你的结论．
5．如图，已知菱形ABCD，AB＝AC，点E，F分别是BC，AD的中点，连接AE，CF.
(1)求证：四边形AECF是矩形；
(2)若AB＝8，求菱形的面积．
6．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，∠ADE＝∠CDF.
(1)求证：AE＝CF；
(2)连接DB交EF于点O，延长OB至G，使OG＝OD，连接EG，FG，判断四边形DEGF是否是菱形，并说明理由．
7．如图，在矩形ABCD中，点M，N分别是AD，BC的中点，点P，Q分别是BM，DN的中点．
(1)求证：△MBA ≌△NDC；
(2)四边形MPNQ是什么特殊四边形？请说明理由．
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