大学物理16高斯定理

S
S
∑q
i
i内
ε0
S
4πε0 r
v E
点电荷产生的电场, 2). 点电荷产生的电场, 高斯面为任意闭合曲面 S
v dS
ε0
v dS v E
q
+
r
v r q Φe = ∫ E⋅ dS =
S
q r
ε0
+
面外： 若q在S面外： 在 面外
S’ 由于电场线的连续性 ， 穿过闭 由于电场线的连续性，
合曲面S’和穿过球面 的电场线 合曲面 和穿过球面S的电场线 和穿过球面 数目是一样的， 因此通过闭曲 数目是一样的 ， q 面的电通量值也等于 。 ε0 9
v v v v ∫ E⋅ dS = ∫ E⋅ dS = 2ES
s
高斯面内电荷
∑q =σS
底 两
S
E E
由高斯定理得
2ES =σS / ε0
σ E= 20 ε
σ
16
分布具有某种对称性的情况下 具有某种对称性 对 Q 分布具有某种对称性的情况下 r 利用高斯定理解 E较为方便 常见的电量分布的对称性： 常见的电量分布的对称性： 球对称 轴对称 均匀带电的 无限长 球壳 球体 球面 (点电荷) 点电荷) 带电线 柱体 柱面 面对称 无限大 平面 平板 高斯面的选取： 高斯面的选取： 1）选规则闭合曲面 ） 2）面上： ）面上：
4πε 0 r
R
r
R
14
r
例2 均匀带电的无限长的直线 对称性的分析 取合适的高斯面 计算电通量 r r r r E ⋅ d s = ∫ E ⋅ ds + ∫
线密度 λ
r
•
r ds
P r
dE
∫
S
r r ∫ E ⋅ ds
两底面
侧面
= E 2πrl + 0
利用高斯定理解出E
λl E 2πrl = ε0
r E
a
几种带电体的电场线分布图如下： 几种带电体的电场线分布图如下：
2
+
负电荷 正电荷
++ ++ + + + + +
带电平行板电容器
+
一对等量异号电荷
+
+
一对等量同号电荷
2.电场线的性质 2.电场线的性质
电场线起始于正电荷 或无穷远） 起始于正电荷（ 1) 电场线起始于正电荷（或无穷远）、终止于负电 或无穷远） 不会形成闭合曲线； 荷（或无穷远） ， 不会形成闭合曲线； 两条电场线不会相交； 2) 两条电场线不会相交； 不会相交
r r E r r dS S
Q
P
r r ∫ E ⋅ dS =
S
∫
S
= E 4π r 2 EdS = E∫ dS
S
12
根据高斯定理解方程
∫
E=
E 4π r =
2
∑q
i
i内
∑q
i
S
i
r r = E4π r 2 E ⋅ dS Q
ε0
4π ε 0 r 2
过场点的高斯面内电量代数和 r < R1 E 1 = 0 r < R1 ∑ q i = 0 i 4 π ( r 3 − R1 3 ) Q 3 R1 < r < R2 ∑ qi = 4 π ( R2 3 − R1 3 ) i 3 3
r > R2
E3 =
Q
4πε 0 r
2
Q( r − R1 ) E2 = 3 3 2 4πε 0 r ( R2 − R1 )
3
13
E1 = 0
讨论： 讨论：
Q( r − R1 ) E2 = 3 3 2 4πε 0 r ( R2 − R1 )
3 3
Q
Q
2
E3 =
1) R1 → 0 均匀带电球体 E Qr Q E内 = E外 = 3 2 4πε 0 r 4πε 0 R2 2) R1 → R2 均匀带电球面 E Q E外 = E内 = 0 2 4πε 0 r
一、电场线 1.形象描述场强分布的一组 形象描述场强分布的一组有向空间曲线 1.形象描述场强分布的一组有向空间曲线 场强 电场线 方向 切线方向 大小 电场线密度 E = ∆N r ∆S⊥ Eb =穿过垂直于场强方向的 穿过垂直于场强方向 穿过垂直于场强方向的 ∆S⊥ b 单位面积的电场线数目
r Ea
∫∑
S i
S
i
i
ε0
说明
r r 有贡献的只有面内 对电通量∫ E ⋅ dS 有贡献的只有面内电荷
S
r 1.闭合面 闭合面内 1.闭合面内、外电荷对E 都有贡献
有源场
2.静电场性质的基本方程 2.静电场性质的基本方程
10
∫
S
r r E ⋅ dS =
∑q
i的电场线的条数是多少？ 1.一个点电荷q所产生的电场线的条数是多少？ 一个点电荷
S S
ρ (rv)
o
r
S
v v 2 r<a: ∫ E ⋅ dS = E ∫ dS = E 4πr
v a
3
∑ q = ∫ ρdV = ∫
i i
r
0
4 ′ 4πr ′ dr ′ = Kπr 5 Kr 5
2 2
1 4 Kr 5 由高斯定理： 由高斯定理： E 4πr = K πr E = ε0 5 5ε 0
E 与 dS 有固定夹角 v 剩下的面上： 剩下的面上： E = 0 v v v v 或 E ⊥ dS E ⋅ dS = 0
v 一部分面上： 为常量， 一部分面上： 为常量， E v v
17
已知: 半径为 a 的带电球 电荷体密度ρ=Kr2, 的带电球,电荷体密度 电荷体密度ρ 例4. 已知 其中 r 是球心到体内任一点的距离 球内外场强的大小? 求:球内外场强的大小 球内外场强的大小 电荷球对称分布， 解：电荷球对称分布，故电场 球对称分布， 球对称分布，方向沿径向 作高斯球面如图示
1 λ E= 2πε 0 r
l
r
r r ds E
15
均匀带电无限大平面的电场. 例3 均匀带电无限大平面的电场 对称性分析：电场分布具有面对称性，方向沿法向。 解： 对称性分析：电场分布具有面对称性，方向沿法向。 作高斯面：作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面， 作高斯面：作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面， 底面积为S，两底面到带电平面距离相同。 底面积为 ，两底面到带电平面距离相同。
20
2
18
r>a: a a 2 qi = ∫ ρ 4πr ′ dr ′ = ∫ Kr ′ 2 4πr ′ 2 dr ′ ∑
i 0 0
ρ (r ) v
o
4π 5 Ka ∴ E 4π r = 5ε 0
2
4π Ka 5 = 5
r
S
v a
Ka E= 2 5ε 0 r
5
19
作
7-13， ， 7-18， ，
业
7-15， ， 7-21
∴ Φe = 0
3).一般情况： 3).一般情况： 一般情况 r r ∑ q i内 E ⋅ dS = i 任意电荷系产生的电场, 任意电荷系产生的电场, ∫ ε0 S 高斯面为任意闭合曲面 r r v v r r q i内 证毕 ∫ E ⋅ dS = ( E i ) ⋅ dS = ∑ ( ∫ E i ⋅ dS ) = ∑
上 次 课 内 容：
电荷 q 1
力 电场
v F 库仑定律： 库仑定律： =
电荷 q 2
v r F 电场强度 E = q0
q1q2 ˆ r 2 4πε 0 r
1
4πε 0 r n v 1 qi 任意电荷系场强 E = ∑ ˆ r 2 i i = 1 4πε 0 ri
2
r 点电荷场强 E =
q
ˆ r
1
四、 电场线 电场强度通量
德国数学家、 德国数学家、物理 学家、 学家、天文学家
8
格丁根大学教授和天文台台长 主要成就有高斯定理， 。主要成就有高斯定理，高斯 光学，高斯分布， 光学，高斯分布，高斯二项式 定理，散度定理等等。 定理，散度定理等等。
2.高斯定理的证明 2.高斯定理的证明 r r 点电荷产生的电场, 1). 点电荷产生的电场,高斯面为球面 ∫ E ⋅ dS = S q v v q 2 ⋅ 4π r = Φe = ∫ E⋅ dS= ∫ E ⋅ dS = E ∫ dS = 2
2.
若通过一闭合曲面的 则此闭合曲面上的
（2）处处为零。 处处为零。
通量为零， 通量为零，
ε0
（1）为零，也可能不为零。 为零，也可能不为零。
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二. 高斯定理在解场方面的应用
例1 均匀带电球壳 总电量为 Q 内外半径R 内外半径 1R2 求：电场强度分布 电荷分布球对称， 解:电荷分布球对称，故场强分布球对称 方向沿径向 ∴取过场点的以球心O为心的球面 过场点的以球心 为心的球面 先从高斯定理等式的左方入手 先计算高斯面的电通量
v n
θ θ
r E
r E
r dS ⊥
r dS
5
3）通过任意曲面的电通量 ） 将曲面分割为无限多个面 称为面积元矢量 元，称为面积元矢量
vθ n
v E
r dS
v v v v dΦe = E⋅ d S Φe = ∫ E⋅ dS
S
电通量可正也可负
θ < 900 ， Φ e > 0, θ > 90 0 ， Φ e < 0,
6
4）通过闭合曲面的电通量 ）
φe=
∫
S
r r E ⋅ dS
v n