大学物理2-6动能定理
大学物理2-6碰撞
系统损失的机械能
1 m1m2 2 2 E (1 e ) (v10 v20 ) 2 m1 m2
例题2-18 在碰撞实验中，常用如图所示的仪器.A为一 小球，B为蹄状物，质量分别为m1和m2.开始时，将A 球从张角θ处落下，然后与静止的B物相碰撞，嵌入B 中一起运动，求两物到达最高处的张角φ． 解：(1)小球A从开始位置下落h， 而到最低位置，这是小球与蹄状物 B碰撞前的过程，此过程机械能守 恒．
§2-6
碰撞
特点：碰撞时间短 碰撞体间的作用力 >> 外力(外力可略) 正碰：碰撞前后的速度都沿着球心的联线(碰撞体 可作球体) 设 v10和v20分别表示两球在碰撞前的速度，v1和 v2 分别表示两球在碰撞后的速度， m1和 m2 分别为两球 的质量。
v10
v20
f1
v1
v2
m2
f2
质心
质心运动定理
动量守恒定律 动能定理 成对力的功 势能 机械能守恒定律
§2-5 质点系的功能原理
§2-6 碰撞
§2-7 质点的角动量和角动量守恒定律 §2-8 对称性和守恒定律
m1
碰撞前
m2
m1
m2
碰撞时
m1
应用动量守恒定律得
m1v10 m2v20 m1v1 m2v2
碰撞后
牛顿的碰撞定律：碰撞后两球的分离速 度 (v2 v1 ) ，与碰撞前两球的接近速度 (v10 v20 ) 成正 比，比值由两球的材料性质决定。
恢复系数
e 0,碰撞后两球以同一速度运动，并不分开，
(1 e)m1 (v10 v20 ) v2 v20 m1 m2
大学物理-动能定理
4. 势能曲线
Ep (h)
E
Eh
Ep
o
H H h
重力势能
Ep
E
o
Ek
Ep
3-4 动能定理
Ep (x)
AE
B
Ek
Ep
o
x
弹性势能
Ek 0
x
引力势能
26
势能曲线的作用：
3-4 动能定理
（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向。
力提供园周运动的向心力而不做功，摩擦力做负
功使滑块动能减少。
W
1 mv2 2
1 2
mv0
2
(1)
34
3-4 动能定理
v2 N m
(2)
R
N m dv
(3)
dt
将式(2)代入式(3)，整理变形为
v2 dv dv d v dv R dt dt d R d
分离变量并积分，得
做功，它们所做元功之和为
dA fij dri f ji drj
因
fij f ji
mi
drji
dri
rij
rij drij
所以
fij
dA fij (dri drj ) fij drij
f ji m j drj
讨论：内力做功的特点
14
成对力的功
对它所作的功为零．
非保守力：力所作的功与路径有关． （例如摩擦力）
23
3. 势能
3-4 动能定理
大学物理功-动能定理-保守力的功
解： 抛体在重力场中运动，
m g 是一恒量，
y
但m 的轨迹是一抛物线， 取一元位移d r
dr b
a
m g 与位移的夹角θ时时在变 在这一元段内写出元功
mg
x
dA Fdrmgdr
m gdscosmgdy
b
b
b
A
Fdr
a
Fcosds mg
a
a
dy
m g(ybya) 9
解：(1)建坐标系如图
l-a O
fμ m(lg x)/l l l μmg
A f afdra l (lx)dx μm(g lx)2l μm(g la)2
a x
2l
a 2l
注意：摩擦力作负功！ 21
(2)对链条应用动能定理：
l-x O
A＝ AP＋ Af 1 2m2v 1 2m0 2v
x
v0
0AP＋ Af
1m2v 2
x
A Pa lp d r a lm l x gd m x(l2 2 g l a 2 )
前已得出： Af
μm (gl a)2
2l
m(lg 2a2)μ m(lg a)21m2v
2l
2l
2
得 v
g l
1
(l2 a 2)μ (l a )22
13
3） A为合外力作功的代数和，不是合外力中某 一个力的功。动能定理中的速度必须相对同一 个惯性系。
4）通过作功，质点与外界进行能量交换。 如果 外力对物体做正功，质点动能增加； 如果 外力对物体做负功，质点的动能减少，
即物体克服外力作功，是以减少自身的动能为 代价。
所以，动能是物体因运动而具有的作功的本领。
动能定理教案大学物理
一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解动能的概念，掌握动能的表达式和计算方法。
（2）掌握动能定理的表述和推导过程，能够运用动能定理分析实际问题。
（3）了解动能定理在物理学中的应用，如运动学、动力学等领域。
2. 过程与方法：（1）通过实验探究，体会动能定理的物理意义。
（2）运用数学工具，推导动能定理的表达式。
（3）通过实例分析，提高学生运用动能定理解决实际问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对物理学的兴趣，激发学生的求知欲。
（2）培养学生严谨的学术态度，提高学生的科学素养。
（3）引导学生关注物理现象，培养发现问题、分析问题和解决问题的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）动能定理的表述和推导过程。
（2）动能定理的应用。
2. 教学难点：（1）动能定理的推导过程。
（2）动能定理在复杂问题中的应用。
三、教学过程1. 导入新课（1）回顾动能的概念和计算方法。
（2）提出问题：如何解释物体在受到外力作用下动能的变化？2. 动能定理的推导（1）回顾功的定义和计算方法。
（2）通过实验探究，验证功与动能变化的关系。
（3）运用数学工具，推导动能定理的表达式。
3. 动能定理的应用（1）分析动能定理在运动学中的应用，如速度、加速度、位移等。
（2）分析动能定理在动力学中的应用，如牛顿第二定律、能量守恒定律等。
（3）通过实例分析，提高学生运用动能定理解决实际问题的能力。
4. 课堂小结（1）总结动能定理的表述和推导过程。
（2）强调动能定理在物理学中的应用。
（3）布置课后作业，巩固所学知识。
5. 课后作业（1）完成课后习题，巩固动能定理的基本概念和推导过程。
（2）分析实际问题，运用动能定理解决问题。
四、教学反思1. 教学过程中，注重启发学生思考，引导学生主动探究。
2. 运用多种教学方法，如实验探究、实例分析等，提高学生的学习兴趣。
3. 注重培养学生运用动能定理解决实际问题的能力，提高学生的综合素质。
4. 课后及时反思，总结教学经验，不断改进教学方法。
大学物理教案_动能定理
课时：2课时教学目标：1. 理解动能定理的概念，掌握其表达式和物理意义。
2. 能够运用动能定理解决实际问题，分析物体运动状态。
3. 培养学生逻辑思维能力和分析问题的能力。
教学重点：1. 动能定理的概念和表达式。
2. 动能定理的应用。
教学难点：1. 动能定理的理解和应用。
2. 复杂问题中动能定理的应用。
教学过程：一、导入1. 回顾牛顿第二定律和功的定义，引出动能定理。
2. 提问：动能定理与牛顿第二定律和功有何关系？二、新课讲授1. 动能定理的概念：物体动能的变化等于物体所受合外力所做的功。
2. 动能定理的表达式：ΔE_k = W3. 动能定理的物理意义：动能定理揭示了物体运动状态与外力做功之间的关系。
4. 动能定理的应用：a. 计算物体在一段时间内的动能变化。
b. 确定物体运动状态。
c. 分析物体受力情况。
三、例题分析1. 例题1：一个质量为m的物体，从高度h自由落下，求落地时的速度。
2. 例题2：一辆质量为m的汽车，从静止开始加速，在时间t内通过距离s，求汽车所受合外力。
3. 例题3：一个物体在水平面上做匀速直线运动，求物体所受合外力。
四、课堂练习1. 练习1：一个质量为m的物体，从高度h自由落下，求落地时的动能。
2. 练习2：一辆质量为m的汽车，从静止开始加速，在时间t内通过距离s，求汽车所受合外力。
3. 练习3：一个物体在水平面上做匀速直线运动，求物体所受合外力。
五、总结1. 总结动能定理的概念、表达式和物理意义。
2. 强调动能定理的应用。
教学反思：1. 本节课通过引入牛顿第二定律和功的概念，引出动能定理，使学生更容易理解动能定理的物理意义。
2. 通过例题分析和课堂练习，使学生掌握动能定理的应用，提高学生的实际操作能力。
3. 在教学过程中，注重培养学生的逻辑思维能力和分析问题的能力，使学生能够灵活运用动能定理解决实际问题。
大学物理第二章动能定理
例题3. 如图，一轻绳跨过一定滑轮，两边分别拴有质量
为m及M的物体，M离地面的高度为h: (1)若滑轮质量及
摩擦力不计，m与桌面的摩擦也不计，开始时两物体均静
止，求M落到地面时的速度(m始终在桌面上); (2)若m与
桌面的静摩擦系数和滑动摩擦系数均为，结果又如何？
解：
m
(1)不计摩擦,系统(m,M,地球)机械能守恒:
v
m
0 M f c
f
s
s
Wf Wf 0
N
v c
N
WN WN 0
质点系动能定理：
质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力与
内力做功之和.
W ex
W in
n i1
1 2
mi vi2
n i1
1 2
mi vi20
2.2.1 质点系动量定理
作用于质点系的合外力的冲量等于质点系动量的增量.
t2
系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和称为
质点系的角动量.
L Li ri pi ri mivi
i
i
i
dL dt
d dt
Li
i
Mi外
i
Mi内
i
0
M外
M 外
dL dt
积分得：
t2 t1
M外dt
L2
L1
注意：只有外力矩对质点系的角动量变化有贡献，
内力矩对质点系的角动量变化没有贡献.
W
F dr
l
F dr
acb
F dr
bda
0
a
c
F dr F dr F dr
acb
adb
bda
d
动能定理角动量定理
注意 1)守恒条件： M 0
能否为 Mdt 0 ?
2)与动量守恒定律对比：
当
F 0
时，
当
M
0
时，
p
恒矢量
L 恒矢量
彼此独立
《大学物理C》
第三章 刚体定轴转动
角动量守恒定律适用于以下情况：
(1)对于单一刚体：J、 均不变， 则匀速转动
(2) 对于系统: Ji、 均可以变化，但
角动量守恒
角动量守恒；
角动量守恒；
机械能不守恒 .
机械能不守恒 .
圆锥摆系统 动量不守恒； 角动量守恒； 机械能守恒 .
《大学物理C》
第三章 刚体定轴转动
注意：区分两类冲击摆
角动量守恒
(1)
O
l v0
m M
质点
质点 柔绳无切向力
➢水平方向： Fx = 0 ， px 守恒
mv0 = (m+M)v
➢ 对 O点：
解 碰撞前 M 落在
A点的速度
vM (2gh)1 2
碰撞后的瞬间, M、
N具有相同的线速度
N
u l
B
2
M
h
C
A
l/2 l
《大学物理C》
第三章 刚体定轴转动
角动量守恒
vM (2gh)1 2
u l
2
N
C
M h
A
B
l/2
l
解得
mvM
l 2
J
2mu
l 2
1 12
ml 2
1 2
ml 2
mvMl 2 ml 2 12 ml2
6m(2gh)1 2 2 (m 6m)l
演员 N 以 u 起 跳, 达到的高度
大学物理能量及能量守恒定律
物体在场中某点的势能等于将物体从该点移到 零势点过程中保守力做的功。
3）保守力为其相关势能梯度的负值:
F
d A F d l Fldl d E p
m
θ
dl
l
Fl
dE p Fl dl
保守力在 l 方向投影
F 保 grad E p E p
v0 m
mv
2 0
4 J
x (m)
1
4
7 9
E 守恒,当 Ek=0时
E
p
max
E 0 4J
E p 4J
作曲线
2）要
F
知运动范围
dE p dx 0
x 1
dE p dx
0
势能曲线斜率为负:
1 x 4,
x 9
3） x = 4m 处,势能最小
ml
2
2
所以棒撞击地板时的角速度是
；
3g l
练习3.
如图所示， 已知: M , l , m , , v0 ;击中
求:击中时 ; max ? o
3 4
3 4
l处
(只列方程)
分两个阶段求解,各遵循什么规律? 1）相撞: 质点
l
M
v0
定轴刚体
c
对 O 轴角动量守恒
1 4
i
A
i
i内
0
2.变力的功
dr
微元分析法：
ds
P
b
F r
取微元过程
P
r
以直代曲
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ab Fτ
ds
ab maτ
ds
b
a
m
d d
v t
d
s
vb va
mv d v
1 2
m vb2
1 2
m va2
定义质点的动能为：Ek
1 mv2 2
动能定理
质点动能定理:合外力对质点所做的功等于质点 动能的增量。
Aab Ekb Eka Ek
几点注意： a.合力做正功时，质点动能增大；反之，质
点动能减小。
b.动能的量值与参考系有关。
c.动能定理只适用于惯性系。 d.功是一个过程量，而动能是一个状态量。
动能定理
(3)质点系动能定理
多个质点组成的质点系，既要考虑外力，又要 考虑质点间的相互作用力（内力）。
二质点组成的 系统
推 广
多个质点组成 的系统
两个质点在外力及内
力作F用1下如图所示F：2
m1
f1 2
下从a运动到b。
b
a
怎样计算这个力
的功呢？
采用微元分割法
动能定理
第1段近似功： A1 F1 r1
第2段近似功： A2 F2
r2
Δ
r3
Δ
r4
Δ r2
F4
Δ r1
F3
a
F2
F1
Δ ri
b Fi
第i 段近似功：
Δ Ai Fi • ri
总功近似：
Aab Δ Ai Fi • ri
i
i
F
N
F
300
(a)
100
fr
(b)
G
动能定理
解： 木箱所受的力为：拉力F ，方向与斜面成100 角向上；重力G ，方向竖直向下；斜面对木箱的支 持力N ，方向垂直于斜面向上，斜面对木箱的摩擦 力 fr 方向和斜面平行，与木箱运动方向相反， 如图 (b).已知l=3m,每个力所作的功可计算如下。
（1）拉力F 所做的功A1
动能定理
用d当A 表ri示,称0 为时元,可功用。d r表示,称为元位移; Ai
元功： d A F d r
总功：
Aab
lim
r 0
i
Fi ri
b F dr
a
在数学形式上，力的功等于力F 沿路径L
从a到b的线积分。
动能定理
(2)质点动能定理
根据功的积分形式
Aab
ab
F
d r
（3）如改用起重机把木箱吊上汽车，这时所用拉力
F 的大小至少要等于重力 G 。在这个拉力 F
的作用下，木箱移动的竖直距离是 l sin 30o 。因此
拉力所作的最小功为
A Fl sin 30 980 3 0.5J 1.47103 J
动能定理
它等于重力 所作的功，而符号相反。与（1） 中 F 作的功相比较，用了起重机能够少作功。为了 把木箱装上汽车，我们所需要做的最小功等于克服 重力所作的功，其大小为1.47×103J, 这对于斜面或 是利用起重机甚至其他机械都是一样的。机械不能 省功，但能省力。在（1）中拉力 F 多作的功
功率P：力d在A单位F时 间 d内r做的F功，v用P 表示
dt dt
功率是反映力做功快慢的物理量。
在国际单位制中，功的单位是N•m，叫做焦(J)， 功率的单位是J/s ，叫做W(瓦)。
动能定理
2. 能量
能量是反映各种运动形式共性的物理量，各种运 动形式的相互转化用能量来量度。各种运动形式的 相互转化遵循能量的转换和守恒定律。
f21
m2
动能定理
对m1运用质点动能定理：
b1 a1
F1
dr1
b1 a1
f12 dr1
1 2
m1v12b
1 2
m1v12a
对m2运用质点动能定理：
b
2
a2
F2
d
r2
b2
a2
f21d r2
1 2
m2v22b
1 2
m2v22a
F1Biblioteka 2m1f1 2f21
m2
动能定理
作为系统考虑时，得到：
A1 Fl cos10 700 3 0.985J 2.07 103 J
重力 G 所做的功A2
A2 Gl sin30 98030.5J －1.47103 J
动能定理
正压力 N 所做的功A3
A3 Nl cos 90 0 摩擦力 f r 所作的功A4；分析木箱的受力，由
于木箱在垂直于斜面方向上没有运动，根据牛顿第 二定律得
动能定理
例题2-10 装有货物的木箱，重G＝980N，要把它 运上汽车。现将长l＝3m的木板搁在汽车后部，构成一
斜面，然后把木箱沿斜面拉上汽车。斜面与地面成30o
角，木箱与斜面间的滑动摩擦系数=0.20，绳的拉力
与 斜 面 成 10o 角 ， 大 小 为 700N ， 如 图 (a) 所 示 。 求：（1）木箱所受各力所作的功；（2）合外力对木箱 所作的功；（3）如改用起重机把木箱直接吊上汽车能 不能少做些功？
§2-6 动能定理
1. 功的概念
功是表示力对空间累积效应的物理量。
功是能量变 化的量度。 物体在力 的F作用下发生一无限小的位移
dr
(元位移)时,d此A力对(它F做co的s功 )定d义r为
其中为力与位移的夹角。可以把上式写成两个
矢量的标积
dA F dr
功是标量，没有方向，但有正负。
动能定理
当0</2时，dA>0，力对物体做正功。 当=/2时， dA=0，力对物体不做功。 当/2<时，dA<0，力对物体做负功。
2.07 103 J 1.47 103 J 0.60 103 J
起的是什么作用呢？我们说：第一，为了克服摩擦 力，用去435J的功，它最后转变成热量；第二，余 下的165J的功将使木箱的动能增加。
动能定理
b1
a1
F d
1
r
1
b
2
a2
F 2
d
r 2
b1
a1
f12
d
r1
b2
a2
f 21d r2
1 2
m1v12b
1 2
m2v22b
1 2
m1v12a
1 2
m2v22a
A外 A内 Ekb Eka Ek
质点系动能定理：所有外力与所有内力对质点系 做功之和等于质点系总动能的增量。
推广:上述结论适用多个质点。
N F sin10 G cos 30 0 N＝G cos 30－F sin10 727N
由此可求得摩擦力
fr N 0.20 727N 145N
A4＝frl cos180 145 3J 435J
动能定理
（2）根据合力所作功等于各分力功的代数和，算 出合力所作的功
A A1 A2 A3 A4 165J
只有在能量的转换和守恒定律发现以后，人们才 认识功、动能和势能的真实含义。二十世纪初，爱 因斯坦建立了狭义相对论，得到了“质能关系”， 进一步揭示能量和质量的相当性，对于能量的认识 更深入了一步。
与机械运动对应的的能量是机械能。
动能定理
3. 牛顿第二定律的又一积分形式
(1)变力的功
物体在变力的作用