大学物理第二章动能定理

W保 (Epb Epa ) Ep
保守力做正功，系统势能减少；保守力做负功，系 统势能增加. 系统具有势能，就具有了做功的本领.
3. 势能曲线: 由势能函数确定的势能随坐标变化的曲线
E p Ep mgh
Ep
Ep
1 2
k x2
o
h
重力势能曲线
o
x
弹性势能曲线
Ep
Ep
G0
Mm r
o
r
万有引力势能曲线
dt
Mdt dL
t2 t1
Mdt
L2
L1
质点的角动量定理的积分形式
冲量矩
F
dp
dt
t2 t1
Fdt
p2
p1
2.4.4 质点角动量守恒定律
t2 t1
M 0
dt
L2
Lr
L1
mv
0
常矢量
质点角动量守恒
质点角动量守恒定律：当质点所受对参考点O的
合力矩为零时, 质点对该参考点的角动量为一恒矢量.
M
F
O. r
r P
M F r F r sin
M rF
➢力矩是矢量，其方向由右手螺旋法则确定.
F
F
F
F
Fi 0 , M i 0 Fi 0 , M i 0
2.4.2 质点角动量 (动量矩)
L r mv
注 L r mvsin mvr
意
L
mv
Or
r
1). 必须指明参考点;
上次课内容小结
质点动量定理：
t2 t1
Fdt
p2
p1
mv2
mv1
质点系动量定理：
t2 t1
F exdt
n i 1
mi vi
n i 1
mi vi0
动量守恒定律：
P
n
mi vi
常矢量
i 1
分 Px mivix C1
量
式
Py
mi viy C2
Pz miviz C3
力相对很小，可忽略不计，因此可认为相碰撞的两个
物体的总动量守恒.
常见的碰撞: 1. 完全弹性碰撞
动量守恒、机械能守恒
特点：碰撞前后机械能没有损失
2. 完全非弹性碰撞
动量守恒、机械能不守恒
特点：碰撞后两物体粘在一起，有共同运动速度
例题4. 如图所示，轻质弹簧劲度系数为k，两端各固定一质量均
为M的物块A和B，放在水平光滑桌面上静止.今有一质量为m的
W
1 2
mv22
1 2
mv12
1). 动能定理中的增量为末状态的动能减去初状态 的动能，可正可负:
合力做正功——质点动能增加
合力做负功——质点动能减少
2). 动能与功量纲相同，但却是两个不同的概念: 动 能是状态量，而功是过程量; 由状态量的变化求过程 量可以简化计算;
3). 只适用于惯性系，并且功和动能的计算必须统一 到同一惯性系中.
例题3. 如图，一轻绳跨过一定滑轮，两边分别拴有质量
为m及M的物体，M离地面的高度为h: (1)若滑轮质量及
摩擦力不计，m与桌面的摩擦也不计，开始时两物体均静
止，求M落到地面时的速度(m始终在桌面上); (2)若m与
桌面的静摩擦系数和滑动摩擦系数均为，结果又如何？
解：
m
(1)不计摩擦,系统(m,M,地球)机械能守恒:
2). 角动量的方向由右手螺旋法则确定;
3). 单位：kg m2 s1;
4). 若质点在半径为r 的圆周上运动，质点对
圆心的角动量为：L r mv mr2
例题1：一质点m，速度为v，如
图所示，A、B、C 分别
为三个参考点，此时m 相对三个点的距离分别
A
d1
d2
为d1 、d2 、 d3.
B
求：此时刻质点对参考点A和B的角动量.
势能
做功是能量变化的量度 保守力的功可用势能变化来表示.
物体在保守力场中由a点移动到b点过程中，保守力 所做的功： Wab (Epb Epa ) Ep
结论：保守力做的功等于势能增量的负值！
令 Epb=0
则a点处的势能为：Epa
b
a F保守 dr
物体在某点所具有的势能: 将物体从该点移至势能
t1
F exdt
n i 1
mi vi
n i 1
mi vi0
1. 保守力
2.3.4 势能和势能曲线
1). 做功只与始末位置有关，而与路径无关的力称为
保守力：(如：万有引力、重力、弹性力等.)
2). 做功与路径有关的力称为非保守力：(如：摩擦力等.)
若物体沿acbda闭合路径运动一周，保守力所做的功为：
簧压缩最大.应用动量守恒定律，求得两物块的共同速度v
(2M m)v (M m)vA
v
(M m) (2M m)
vA
m (2M
m)
v0
应用机械能守恒定律，求得弹簧最大压缩长度:
1 2
(2M
m)v2
1 2
kx2
1 2
(M
m
)
v
2 A
x mv0
wk.baidu.com
M k(M m)(2M m)
2.4 质点的角动量和角动量守恒定律
在自然界中经常会遇到质点围绕着一定的 中心运转的情况. 例如，行星绕太阳的公转， 人造卫星绕地球的运转，电子绕原子核的转 动等等. 在这些问题中，动量定理及其守恒定律未必 适用，这时采用角动量的概念讨论问题就比较 方便.
2.4 质点的角动量和角动量守恒定律
2.4.1 力对参考点的力矩
定义：力F对参考点O的力矩M 的大小等于此力和力臂(从参考 点到力的作用线的垂直距离)的 乘积.
系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和称为
质点系的角动量.
L Li ri pi ri mivi
i
i
i
dL dt
d dt
Li
i
Mi外
i
Mi内
i
0
M外
M 外
dL dt
积分得：
t2 t1
M外dt
L2
L1
注意：只有外力矩对质点系的角动量变化有贡献，
内力矩对质点系的角动量变化没有贡献.
W ex --所有外力的功 W in --所有内力的功
W W ex W in Ek2 Ek1
质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力与内力 做功之和.
单选题 25分 一对作用力与反作用力做功的代数和不一定为零， 是否正确？ A 正确，不一定为零 B 不正确，一定为零
提交
一对作用力与反作用力做功的代数和不一定为零. 原因：作用力与反作用力的作用点的位移不一定相同.
子弹沿弹簧的轴线方向以速度 弹簧的最大压缩长度.
v0射入一物v0块而不复出
，求此后
解：明确各个过程
mA
B
第一阶段：子弹射入到相对静止的物块A中.由于时间极短，可认
为( M物块mA) v还A 没 有m v移0 动，vA应用(动M量m守m恒) 定v0律，求得物块A的速度vA
第二阶段：物块A移动，直到当物块A和B有相同的速度时，弹
1).势能是状态（相对位置）的函数: Ep Ep (x, y, z) 2).势能具有相对性，势能大小与势能零点选取有关; 3).势能属于以保守力相互作用着的系统，不属于某一
物体所有; 4).系统引入势能的条件是系统内物体间存在着保守力；
对于系统内的非保守力不能引入势能; 5).保守力所做的功等于系统势能增量的负值：
v
m
0 M f c
f
s
s
Wf Wf 0
N
v c
N
WN WN 0
质点系动能定理：
质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力与
内力做功之和.
W ex
W in
n i1
1 2
mi vi2
n i1
1 2
mi vi20
2.2.1 质点系动量定理
作用于质点系的合外力的冲量等于质点系动量的增量.
t2
零点处保守力所做的功.
几种势能：Epa
E a
p
0
F保守
dr
1). 重力势能
势能零点在 z = 0处:
0
Ep
mgdz mg z
z
2). 弹性势能
势能零点在弹簧原长处:
Ep
0 kxdx 1 kx2
x
2
3). 万有引力势能
势能零点在r 处:
Ep
r
G
Mm r2
dr
G
Mm r
有关势能的几点说明
注意： 1). M 和 L必须是相对于同一参考点的;
2). 质点所受合力不为零，但只要该力对参考点的 力矩为零，质点对该参考点的角动量就守恒;
3). 有心力相对于力心的力矩恒为零. 因此，在有心 力作用下的质点对力心的角动量都是守恒的.
2.4.5 质点系的角动量定理和角动量守恒定律
1. 质点系的角动量定理
2. 质点系的角动量守恒定律
t2 t1
M外dt
L2
L1
L 常矢量
0
即当系统所受合外力矩为零时，系统的总角动量
将保持不变.
说明:
1). M外 0有以下三种情况：
系统不受外力
所有外力都通过参考点
外力矩的矢量和为零
2). 质点系的角动量守恒和动量守恒条件不同，所以 角动量守恒时动量却不一定守恒.
解：以小孔O为原点，绳对小球 的拉力为有心力，其力矩为零， 则小球对O点的角动量守恒.
解：L r mv
垂直板面向里
垂直板面向里
m
d3
C
单选题 25分 质点m对C点的角动量大小为 ( ). A0 B C
提交
2.4.3
质dL点L的rd角rm动vm量v定 r两理边m 对dv时间
t 求导：
F
m
dv
dt M
dt
vmv 0
dt
M
r
F
dt
r
m
dv
dt
dL 质点的角动量定理的微分形式
2.3.3 质点系动能定理
设质点系由N个质点组成，质点系内所有质点动能
之和，称为质点系的动能.
把质点动能定理应用于质点系内每个质点，并把
所有方程相加：W
1 2
mv
2
2
1 2
mv12
Wi i
i
1 2
mi vi22
i
1 2
mi vi21
Ek 2
Ek1
质点系外作用于质点系内各质点的力称为外力;
质点系内各质点间的相互作用力称为内力.
W
F dr
l
F dr
acb
F dr
bda
0
a
c
F dr F dr F dr
acb
adb
bda
d
l F dr 0
b
即：物体沿任意闭合路径运动一周，保守力对它所做 的功为零.
2. 势能
由物体的相对位置所确定的系统的能量称为势能(Ep)
保守力做功的特点—只与始末位置有关
2.3.5 功能原理 机械能守恒定律 1. 质点系的功能原理
由质点系的动能定理: W ex W in Ek Ek 0 (Ep Ep0 ) W保in W非in
W ex W非in （Ek Ep）（Ek0 Ep0） E E0
动能和势能的总和机械能 W ex W非in E E0
功能原理：外力与非保守内力做功的代数和等于质点系 机械能的增量.
(Fxex 0) (Fyex 0) (Fzex 0)
力做功：
b
W a F cos ds
W重力 mgz1 mgz2
保 守 力
W弹性力
1 2
kx12
1 2
kx22
11
W引力
GMm( rb
ra
)
非
保守力：W摩擦力 mgs
2.3.2 动能和质点动能定理
设质点在外力作用下，由A运动到B: 在此过程中外力做的功为:
Ft
m
dv dt
B
B
B
F dr A
F cos ds
A
A Ft ds
B m dv ds
B
mvdv
A dt
A
v1
W
1 2
mv22
1 2
mv12
A
Ft dr
v2
B
F
动能
kinetic
energy:
Ek
1 2
mv2
质点动能定理：在一个过程中，作用在质点上合
外力的功，等于质点动能的增量.
关于质点动能定理的说明
1 mv2 1 M v2 Mgh v 2Mgh
M
2
2
mM
h
(2)若m与桌面有摩擦,则机械能不守恒,用功能原理:
mgh
1 2
mv12
1 2
M
v12
Mgh
v1
2(M m)gh
mM
当Mm时，M将保持静止不会下落.
碰撞 碰撞 (collision) 是指两个或两个以上的物体间的短促 作用. 由于碰撞时，物体间相互作用的冲力很大，其它外
本次课作业： P60: 2-44、2-47、2-48
下次课内容： 习题课（二）
2. 机械能守恒定律
0 W ex W非in E E0
Ek Ep Ek0 Ep0
当作用于质点系的外力和非保守内力都不做功时， 质点系的机械能守恒.
1). 只有保守力做功，系统的动能和势能可以互相 转化，但它们的总和始终保持不变;
2). 机械能守恒定律只适用于惯性系.
守恒定律的意义：
不研究过程细节而能对系统的状态下结论，这是 各个守恒定律的特点和优点.