大学物理2-3功 动能 动能定理
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大学物理第四章--功和能
a
a
l
xdx
2l
前已得出：
Af
mg(l a)2
2l
mg(l 2 a2 ) mg(l a)2 1 mv2
2l
2l
2
得v
g l
1
(l 2 a 2 ) (l a)2 2
§3 保守力的功与势能 一、 保守力
rB
B
两个质点之间的引力
B
第四章 功和能
§4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 保守力功与势能 §4.4 功能原理机械能守恒定律
§1 功和功率
一、恒力做功 直线运动
A=Fcos S
记作A F S F r
F
F
M
M
S
位移无限小时：
dA
F
dr
dA称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积(标积)
例１一水平放置的弹簧，其一端固定，另一端系一小球，求小
球的位置由A到B的过程中弹力对它所做的功。（在O处弹簧无 形变）
解：根据胡克定律 F F kx
W F dr
xB Fdx
xA
xB xA
kxdx
O
1 2
A
k xB2
B
xA2
1 2
k xA2
作用在质点
上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R)位
置过程中，力
F
对它所作的功为多少？
y
b
b
A a F.dr a (Fxdx Fydy)
R
x O
例4 如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩 擦系数为μ 求：两种情况下摩擦力作的功
a
l
xdx
2l
前已得出：
Af
mg(l a)2
2l
mg(l 2 a2 ) mg(l a)2 1 mv2
2l
2l
2
得v
g l
1
(l 2 a 2 ) (l a)2 2
§3 保守力的功与势能 一、 保守力
rB
B
两个质点之间的引力
B
第四章 功和能
§4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 保守力功与势能 §4.4 功能原理机械能守恒定律
§1 功和功率
一、恒力做功 直线运动
A=Fcos S
记作A F S F r
F
F
M
M
S
位移无限小时：
dA
F
dr
dA称为元功
功等于质点受的力和它的位移的点积(标积)
例１一水平放置的弹簧，其一端固定，另一端系一小球，求小
球的位置由A到B的过程中弹力对它所做的功。（在O处弹簧无 形变）
解：根据胡克定律 F F kx
W F dr
xB Fdx
xA
xB xA
kxdx
O
1 2
A
k xB2
B
xA2
1 2
k xA2
作用在质点
上．在该质点从坐标原点运动到(0，2R)位
置过程中，力
F
对它所作的功为多少？
y
b
b
A a F.dr a (Fxdx Fydy)
R
x O
例4 如图，水平桌面上有质点 m ，桌面的摩 擦系数为μ 求：两种情况下摩擦力作的功
大学物理-动能定理
(4) 势能是状态的函数 Ep Ep (x, y, z) 25
4. 势能曲线
Ep (h)
E
Eh
Ep
o
H H h
重力势能
Ep
E
o
Ek
Ep
3-4 动能定理
Ep (x)
AE
B
Ek
Ep
o
x
弹性势能
Ek 0
x
引力势能
26
势能曲线的作用：
3-4 动能定理
（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向。
力提供园周运动的向心力而不做功，摩擦力做负
功使滑块动能减少。
W
1 mv2 2
1 2
mv0
2
(1)
34
3-4 动能定理
v2 N m
(2)
R
N m dv
(3)
dt
将式(2)代入式(3)，整理变形为
v2 dv dv d v dv R dt dt d R d
分离变量并积分，得
做功，它们所做元功之和为
dA fij dri f ji drj
因
fij f ji
mi
drji
dri
rij
rij drij
所以
fij
dA fij (dri drj ) fij drij
f ji m j drj
讨论：内力做功的特点
14
成对力的功
对它所作的功为零．
非保守力：力所作的功与路径有关． （例如摩擦力）
23
3. 势能
3-4 动能定理
4. 势能曲线
Ep (h)
E
Eh
Ep
o
H H h
重力势能
Ep
E
o
Ek
Ep
3-4 动能定理
Ep (x)
AE
B
Ek
Ep
o
x
弹性势能
Ek 0
x
引力势能
26
势能曲线的作用：
3-4 动能定理
（1）根据势能曲线的形状可以讨论物体的运动。
（2）利用势能曲线，可以判断物体在各个位置 所受保守力的大小和方向。
力提供园周运动的向心力而不做功，摩擦力做负
功使滑块动能减少。
W
1 mv2 2
1 2
mv0
2
(1)
34
3-4 动能定理
v2 N m
(2)
R
N m dv
(3)
dt
将式(2)代入式(3)，整理变形为
v2 dv dv d v dv R dt dt d R d
分离变量并积分，得
做功，它们所做元功之和为
dA fij dri f ji drj
因
fij f ji
mi
drji
dri
rij
rij drij
所以
fij
dA fij (dri drj ) fij drij
f ji m j drj
讨论：内力做功的特点
14
成对力的功
对它所作的功为零．
非保守力：力所作的功与路径有关． （例如摩擦力）
23
3. 势能
3-4 动能定理
哈里德大学物理第三章
注意
Fi内 0 I i内 0
i i
W
i
i内
0
二、变力的功
微元分析法：
ds dr
P
P
a
F
r
F r
o
b
取微元过程
以直代曲
以不变代变
再求和
§3-1 功 功率
ds
P
dr
P
r
a
F
r
F
o
b
元功： dW F dr F dr cosθ Fcosθds
F
M
m
r
r
o
以上这些力的共同特点？
保守力
1）做功与路径无关，只与起、末点位置有关；
2）做功等于与相互作用物体的相对位置有关的 某函数在始末位置的值之差。
势能
§3-2 保守力与非保守力 势能
二、保守力与非保守力
势能
1. 保守力与非保守力
• 做功与路径无关，只与起点、终点位置有关
b m L1 a
§3-2 保守力与非保守力 势能
保守力在 x 轴的分力，等于其相关势 能对坐标 x 的导数的负值:
F
dW F dr
x
Fx dx dEp x
m
θ
Fx
Fx
dEp x dx
§3-2 保守力与非保守力 势能
练习3：
一质量为 m 的人造地球卫星沿一圆形轨道运动，
§3-4 功能原理
1. 动能定理与功能原理的区别与联系：
功能原理是从动能定理推出的，完全包含在 动能定理之中； 由于保守力的功已反映在势能的改变中，运 用功能原理时，只需要计算非保守力的功， 而动能定理，则需要计算所有力做的功 。 2. 功与能的联系与区别： 功与能的单位与量纲相同； 功是过程量，能量是状态量； 功是能量传递和转化的一种方式和量度。
大学物理功-动能定理-保守力的功
解： 抛体在重力场中运动，
m g 是一恒量，
y
但m 的轨迹是一抛物线， 取一元位移d r
dr b
a
m g 与位移的夹角θ时时在变 在这一元段内写出元功
mg
x
dA Fdrmgdr
m gdscosmgdy
b
b
b
A
Fdr
a
Fcosds mg
a
a
dy
m g(ybya) 9
解：(1)建坐标系如图
l-a O
fμ m(lg x)/l l l μmg
A f afdra l (lx)dx μm(g lx)2l μm(g la)2
a x
2l
a 2l
注意：摩擦力作负功！ 21
(2)对链条应用动能定理：
l-x O
A＝ AP＋ Af 1 2m2v 1 2m0 2v
x
v0
0AP＋ Af
1m2v 2
x
A Pa lp d r a lm l x gd m x(l2 2 g l a 2 )
前已得出： Af
μm (gl a)2
2l
m(lg 2a2)μ m(lg a)21m2v
2l
2l
2
得 v
g l
1
(l2 a 2)μ (l a )22
13
3） A为合外力作功的代数和，不是合外力中某 一个力的功。动能定理中的速度必须相对同一 个惯性系。
4）通过作功，质点与外界进行能量交换。 如果 外力对物体做正功，质点动能增加； 如果 外力对物体做负功，质点的动能减少，
即物体克服外力作功，是以减少自身的动能为 代价。
所以，动能是物体因运动而具有的作功的本领。
大一物理公式大全
大一物理公式大全力学：1. 牛顿第二定律：F = ma，力等于质量乘以加速度。
2. 动能定理：K = 1/2 mv²，动能等于质量乘以速度的平方的一半。
3.势能定理：W=ΔU，功等于势能的变化量。
4. 弹簧势能：U = 1/2 kx²，弹簧的势能等于弹性系数乘以位移的平方的一半。
5.万有引力定律：F=G(m₁m₂)/r²，两个质点之间的引力等于引力常数乘以质量的乘积除以两点距离的平方。
热学：1.热力学第一定律：ΔU=Q-W，内能的变化等于热量减去做功。
2. 热容量：Q = mcΔT，热量等于质量乘以比热容乘以温度变化。
3.理想气体状态方程：PV=nRT，压强乘以体积等于摩尔数乘以气体常数乘以温度。
4.热传导定律：Q=kA(ΔT/d)，热量传导等于导热系数乘以传热面积乘以温度差除以厚度。
电磁学：1.库仑定律：F=k(q₁q₂)/r²，两个电荷之间的力等于库仑常数乘以电荷的乘积除以两点距离的平方。
2.电场强度：E=F/q₀，电场强度等于力除以测试电荷的大小。
3.高斯定理：∮E•dA=Q/ε₀，电场通过封闭曲面的通量等于包围在曲面内的电荷除以真空电介质常数。
4.电势能：U=qV，电势能等于电荷乘以电势。
5.安培定律：B=(μ₀/4π)(I/R)，电流元产生的磁感应强度等于真空磁导率的乘积除以4π乘以电流除以电流元到磁场观察点的距离。
光学：1. Snell定律：n₁sinθ₁ = n₂sinθ₂，光线在两个介质界面上的折射定律。
2.薄透镜公式：1/f=1/d₀+1/d₁，透镜的焦距和物距、像距的关系。
3.杨氏干涉公式：Δy=λL/d，相邻两条干涉条纹之间的位移。
这些公式只是物理学中的冰山一角，还有更多公式需要学习和掌握，希望以上公式能对您有所帮助。
大学物理第四章
解：利用功能原理：
A=DE
q
kF
m
Fl0tgq
=
1 2
k (l0 setq
- l0 )2
1 2
mv2
F
m
解得：
v=
2 m
Fl0tgq
-
1 m
k (l0 setq
-
l0
)2
[例13] 作业、p-55 功和能 自-20
一质量为m的球，从质量为M的圆弧
形槽中由A位置静止滑下，设圆弧形槽的半
径为R，(如图)。所有摩擦都略，试求：
+12 MV2
l
L
解得：
vr=
2(m +M) gR M
V= m
2gR M(m +M)
(2)小球到最低点B处时，槽滑行的距离。
∵ SFx = 0 ∴ DPx = 0
mvx = MVx
Am
m vxdt = M Vxdt
R
ml=ML
MB
l+L=R
L
=
mR m+M
lL
(3)小球在最低点B处时，槽对球的作用力；
1、动量： P
P = mv 2、第二定律：
F
=
dP dt
= ma
3、冲量： I
I
=
F t 2
t1
dt
4、动量原理
I = DP
5、力矩 M M = r × F
6、动量矩 L
L = r × P = r × mv
7、角动量原理:
t 2 t1
M dt
=
ω ω
2 1
J
dω
= Jω 2
大学物理第二章动能定理
例题3. 如图，一轻绳跨过一定滑轮，两边分别拴有质量
为m及M的物体，M离地面的高度为h: (1)若滑轮质量及
摩擦力不计，m与桌面的摩擦也不计，开始时两物体均静
止，求M落到地面时的速度(m始终在桌面上); (2)若m与
桌面的静摩擦系数和滑动摩擦系数均为，结果又如何？
解：
m
(1)不计摩擦,系统(m,M,地球)机械能守恒:
v
m
0 M f c
f
s
s
Wf Wf 0
N
v c
N
WN WN 0
质点系动能定理：
质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力与
内力做功之和.
W ex
W in
n i1
1 2
mi vi2
n i1
1 2
mi vi20
2.2.1 质点系动量定理
作用于质点系的合外力的冲量等于质点系动量的增量.
t2
系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和称为
质点系的角动量.
L Li ri pi ri mivi
i
i
i
dL dt
d dt
Li
i
Mi外
i
Mi内
i
0
M外
M 外
dL dt
积分得：
t2 t1
M外dt
L2
L1
注意：只有外力矩对质点系的角动量变化有贡献，
内力矩对质点系的角动量变化没有贡献.
W
F dr
l
F dr
acb
F dr
bda
0
a
c
F dr F dr F dr
acb
adb
bda
d
动能和动能定理课件ppt
动能的推导过程
定义：合外力的功等于物体动能的改变量合外力做的功为：$W_{总}=Fs$动能的改变量为：$\Delta E{k}=E{k2}-E_{k1}$代入得：$\Delta E_{k}=\frac{2mx^{2}}{t^{2}}-\frac{2mx^{1}}{t^{1}}$由于物体做匀加速运动，所以有：$a=\frac{2x}{t^{2}}$代入得：$\Delta E{k}=\frac{4mx}{t^{3}}[(t{1}+t{2})t{1}t{2}-(t{1}+t{2})t{1}t_{2}]$由于物体做匀加速运动，所以有：$a=\frac{2x}{t^{2}}$代入得：$\Delta E{k}=\frac{4mx}{t^{3}}[(t{1}+t{2})t{1}t{2}-(t{1}+t{2})t{1}t_{2}]$
动能和动能定理课件ppt
xx年xx月xx日
动能和动能定理的基本概念动能和动能定理的推导过程动能和动能定理的实例分析动能和动能定理的拓展应用动能和动能定理的实验验证动能和动能定理的教学建议
contents
目录
动能和动能定理的基本概念
01
动能定义
物体由于运动而具有的能叫做动能。
动能计算公式
$E_k = \frac{1}{2}mv^2$
当物体做匀加速直线运动时，其动能随时间增加。
匀加速直线运动
当物体做匀减速直线运动时，其动能随时间减少。
匀减速直线运动
平抛运动
当物体做平抛运动时，其动能随时间变化，但总动能保持不变。
圆周运动
当物体做圆周运动时，其动能随速度变化，但总动能保持不变。
曲线运动中的动能定理
弹性碰撞
当两个物体发生弹性碰撞时，其总动能保持不变。
大学物理能量及能量守恒定律
物体在场中某点的势能等于将物体从该点移到 零势点过程中保守力做的功。
3）保守力为其相关势能梯度的负值:
F
d A F d l Fldl d E p
m
θ
dl
l
Fl
dE p Fl dl
保守力在 l 方向投影
F 保 grad E p E p
v0 m
mv
2 0
4 J
x (m)
1
4
7 9
E 守恒,当 Ek=0时
E
p
max
E 0 4J
E p 4J
作曲线
2）要
F
知运动范围
dE p dx 0
x 1
dE p dx
0
势能曲线斜率为负:
1 x 4,
x 9
3） x = 4m 处,势能最小
ml
2
2
所以棒撞击地板时的角速度是
；
3g l
练习3.
如图所示， 已知: M , l , m , , v0 ;击中
求:击中时 ; max ? o
3 4
3 4
l处
(只列方程)
分两个阶段求解,各遵循什么规律? 1）相撞: 质点
l
M
v0
定轴刚体
c
对 O 轴角动量守恒
1 4
i
A
i
i内
0
2.变力的功
dr
微元分析法：
ds
P
b
F r
取微元过程
P
r
以直代曲
【大学物理】第六章 能量 能量守恒定律
f
dl
L
由势能定义有保守力与相 应势能的关系是： f dl dEP
根据矢量计算可写成：f l dl dEP
dEP fl dl
l方向的方向导数
结论：保守力在l方向的分量就是
相应势能在l方向的方向导数
34
直角坐标系中，势能函数在三个坐标轴上的 方向导数分别是:
2 2
2
kx m2 L
2
联立可解
27
28
同学们好！
29
保守力（conservative force）定义有两种表述
表述一（文字叙述）： 作功与路径无关,只与始末位置有关的力 称为保守力
表述二（数学表示） ： f保 dr 0
L
保守力的环流为零 描述矢量场基本性质的方程形式
以向下为正：
x
mx G g l
mg 0 mgl AG Fdx xdx l 0.2 l 50
mgl AF AG 50
24
0.8 l
0
m
质心 c
Ep 0
0.2 l
解二: 用保守力做功与势能变 化的关系计算
令桌面 初态: 末态:
Ep 1
Ep 0
mg 5
0 1 2 2 0.1 0.1 0.2
k x |0 Mgx |0.1 3J
k
M
20
S
F
练习2： 一质量为 m 的人造地球卫星沿一圆形轨道运动， （v ＜＜ c）离开地面的高度等于地球半径的二倍
（即2R）。试以 m、R、引力恒量 G、地球质量M
表示出： (1) 卫星的动能； (2) 卫星在地球引力场中
f EP grad EP
大学物理 功和能汇总
0 1
2 动能定理： A 1 2 mv 0
2A v 4 m s m
[思考] 在 x =0 至 x =1m 过程中， F 的冲量？
10
§4.3 质点系的动能定理
Theorem of Kinetic Energy for a system of Particle
对第 i 质点 求和
O 张力不做功，重力做功： 用动能变化定理解：
l
m
T
A mg dl mg dl cos
mgl cos d mgl sin 0 1 2 mgl sin mv 2
ˆn e
v
mg
ˆt e
比直接解牛顿方程简单，但仍作积分运算。
13
§4.4 *柯尼希定理
i
14
一对力 的功
内力总是成对出现 dr1 两质点间的内力 f ij 和 f ji ,
B1
B2
dr2
f 12
称为一对力 f ij f ji
m1
r21
f 21
m2
A1
A2
一对力做的功之和
dA = f12 dr1 + f21 dr2
f 21 dr2 dr1 f 21 dr21
mi ac dri
m i ac
z
y
mi
= ac mi dri
ri
ac
C 质心 O
12
= ac d mi ri = 0 A i
B
x
=
0
【例】柔软细绳长为l，小球质量为m，求摆下至 角时小球的速度和绳的张力。
2 动能定理： A 1 2 mv 0
2A v 4 m s m
[思考] 在 x =0 至 x =1m 过程中， F 的冲量？
10
§4.3 质点系的动能定理
Theorem of Kinetic Energy for a system of Particle
对第 i 质点 求和
O 张力不做功，重力做功： 用动能变化定理解：
l
m
T
A mg dl mg dl cos
mgl cos d mgl sin 0 1 2 mgl sin mv 2
ˆn e
v
mg
ˆt e
比直接解牛顿方程简单，但仍作积分运算。
13
§4.4 *柯尼希定理
i
14
一对力 的功
内力总是成对出现 dr1 两质点间的内力 f ij 和 f ji ,
B1
B2
dr2
f 12
称为一对力 f ij f ji
m1
r21
f 21
m2
A1
A2
一对力做的功之和
dA = f12 dr1 + f21 dr2
f 21 dr2 dr1 f 21 dr21
mi ac dri
m i ac
z
y
mi
= ac mi dri
ri
ac
C 质心 O
12
= ac d mi ri = 0 A i
B
x
=
0
【例】柔软细绳长为l，小球质量为m，求摆下至 角时小球的速度和绳的张力。
动能定理教案大学
教学对象：大学物理专业学生教学目标：1. 理解动能定理的概念及其适用范围。
2. 掌握动能定理的推导过程及其应用。
3. 培养学生运用动能定理解决实际问题的能力。
教学重点：1. 动能定理的概念及其适用范围。
2. 动能定理的推导过程。
3. 动能定理的应用。
教学难点：1. 动能定理的推导过程。
2. 动能定理在复杂问题中的应用。
教学准备：1. PPT课件2. 动能定理相关习题教学过程：一、导入1. 复习动能的概念及其计算公式。
2. 引出动能定理，提出问题：如何理解动能定理？其适用范围是什么？二、讲授新课1. 动能定理的概念- 动能定理是描述物体动能变化与合外力做功之间关系的定理。
- 动能定理的数学表达式为：ΔE_k = W，其中ΔE_k表示动能的变化量，W表示合外力做的功。
2. 动能定理的适用范围- 动能定理适用于一切宏观物体，包括质点、刚体和弹性体。
- 动能定理适用于各种运动，包括匀速直线运动、匀加速直线运动、匀速圆周运动等。
3. 动能定理的推导- 以一个质点为例，推导动能定理的数学表达式。
- 分析合外力做功与质点动能变化之间的关系。
4. 动能定理的应用- 举例说明动能定理在解决实际问题中的应用。
- 分析动能定理在复杂问题中的应用，如变力作用下物体的运动。
三、课堂练习1. 学生独立完成PPT课件中的相关习题。
2. 教师解答学生提出的问题。
四、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结动能定理的概念、适用范围、推导过程及应用。
2. 强调动能定理在解决实际问题中的重要性。
五、课后作业1. 完成课后习题，巩固所学知识。
2. 查阅资料，了解动能定理在实际工程中的应用。
教学反思：1. 本节课通过讲解、推导、应用等方式，使学生掌握了动能定理的概念、适用范围、推导过程及应用。
2. 在课堂练习环节，学生能够运用所学知识解决实际问题，提高了学生的实际操作能力。
3. 在教学过程中，注重培养学生的自主学习能力和创新思维，提高学生的综合素质。
大学物理 动能定理
推导过程：根据能量守恒定律，物体在某一过程中所受合外力对物体所做的功等于物体动能的 改变量
表达式：合外力对物体所做的功等于物体动能的改变量，即W=ΔE
应用：动能定理可以用来解决许多实际问题，如机械能守恒、动能变化等问题
06
动能定理的注意事 项
动能定理适用条件
仅适用于质点，若为质点系则应将其各部分动能和势能分别求和 只有保守力做功才可用动能定理 公式中各物理量均应为同一惯性参考系中的量 动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动
动能定理的应 用范围：适用 于一切宏观低 速运动的物体
动能定理的意 义：揭示了功 与能量变化之 间的关系，是 能量守恒定律
的特殊形式
动能定理中各物理量的含义
动能：物体由于运动而具有的能量，用符号E表示，单位为焦耳(J)。
势能：物体由于高度或弹性形变而具有的能量，用符号E表示，单位为焦耳(J)。
动能定理描述了物体动能的 变化与合外力做功的关系
动能定理是能量守恒定律在 力学中的具体表现
动能定理是解决力学问题的 重要工具之一
03
动能定理的表述
动能定理的数学表达式
动能定理的表 述：合力对物 体所做的功等 于物体动能的
变化量
数学表达式： 合外力对物体 所做的功等于 物体动能的变
化量，即 W=ΔE
表达式：动能定理的表达式为ΔEቤተ መጻሕፍቲ ባይዱW，其中ΔE表示物体动能的变化量，W表示物体 所受合外力做的功。
应用范围：动能定理适用于直线运动，也适用于曲线运动。
实例：以一个质量为m的物体在水平面上做匀加速直线运动为例，其受到的合外力为 F，位移为s，则根据动能定理可得Fs=ΔE，即合外力做的功等于物体动能的变化量。
动能定理在曲线运动中的应用
表达式：合外力对物体所做的功等于物体动能的改变量，即W=ΔE
应用：动能定理可以用来解决许多实际问题，如机械能守恒、动能变化等问题
06
动能定理的注意事 项
动能定理适用条件
仅适用于质点，若为质点系则应将其各部分动能和势能分别求和 只有保守力做功才可用动能定理 公式中各物理量均应为同一惯性参考系中的量 动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动
动能定理的应 用范围：适用 于一切宏观低 速运动的物体
动能定理的意 义：揭示了功 与能量变化之 间的关系，是 能量守恒定律
的特殊形式
动能定理中各物理量的含义
动能：物体由于运动而具有的能量，用符号E表示，单位为焦耳(J)。
势能：物体由于高度或弹性形变而具有的能量，用符号E表示，单位为焦耳(J)。
动能定理描述了物体动能的 变化与合外力做功的关系
动能定理是能量守恒定律在 力学中的具体表现
动能定理是解决力学问题的 重要工具之一
03
动能定理的表述
动能定理的数学表达式
动能定理的表 述：合力对物 体所做的功等 于物体动能的
变化量
数学表达式： 合外力对物体 所做的功等于 物体动能的变
化量，即 W=ΔE
表达式：动能定理的表达式为ΔEቤተ መጻሕፍቲ ባይዱW，其中ΔE表示物体动能的变化量，W表示物体 所受合外力做的功。
应用范围：动能定理适用于直线运动，也适用于曲线运动。
实例：以一个质量为m的物体在水平面上做匀加速直线运动为例，其受到的合外力为 F，位移为s，则根据动能定理可得Fs=ΔE，即合外力做的功等于物体动能的变化量。
动能定理在曲线运动中的应用
大学物理第二章 守恒定律
2.2保守力与势能
• 2.2.1保守力与非保守力 • 保守力：沿闭合路径做功为0，做功只与始 末位置有关 • 保守力： 重力，弹力， 万有引力， • 非保守力：摩擦力 • 2.2.2势能 • A = EPA - EPB • （1）势能是相对量，与势能零点选择有关
• （2）势能的引进条件是物体间存在着相互 作用的保守力，对于一种保守力就有一种 相关的势能 • （3）保守力不存在势能的概念 • （4）势能是属于系统的，而不是属于一种 物体的
第二章 守恒定律
2.1功与动能定理
• 2.1.1 变力做功 • dA = Fdr 即F对物体做的功等于力在物体 位移方向的分量与位移大小的乘积 • 2.1.2 功率 • P = F*dr/dt=FV • 2.1.3 质点的动能定理 • A= EK2-EK1 EK = 1/2*M*V*V; 即合外力 对物体做功等于物体动能的增量
2.5动能定理和动量守恒定律
• 2.5.1动量 P =MV • F= Ma • 2.5.2 质点的动量定理 I = P2 - P1即物体 所受合外力在一段时间内的冲量等于物体 动量的增量 • 2.5.3质点系的动量定理 • 质点系的动量定理:作用于系统的合外力的 冲量的增量
• 2.5.4 质点系的动量守恒定律 • 质点系的动量守恒定律：当系统所受的合 外力为0时，系统总动量保持不变 • 质点系的动量守恒定律注意： （1）系统不受外力或者所受外力的矢量和 为0 （2）在研究打击，爆炸的问题时所受的外 力如摩擦力，重力，空气阻力可以忽略
2.3功能定理与机械能守恒定律
• 2.3.1 A外 + A非保守内力 = E2 - E1 即外力 和非保守力所做的功的总和等于系统机械 能的增量，这一结论称为质点系的功能定 理
大学物理动量定理
子弹穿过两木块所用的时间分别为t1和t2，木块对子 弹的阻力为恒力F，则子弹穿出后，木块A的速度大小
为
，木块B的速度大小为
.
解：
F t1 m1vA m2vA
vA
F m1
t1 m2
F t2 m2vB m2vA
vB
F t2 m2
vA
F t2 m2
F m1
t1 m2
2-8. 一质量为m的质点在xoy平面上运动，其位置矢量
机械能守恒：
1 2
m2 v02
1 2
(m1
m2 )v2
1 2
kxm2 ax
1 xmax 2 x0
下次课内容：
§3-1 刚体运动的描述 §3-2-1 力矩 §3-2-2 刚体绕定轴转动定律
j
t
i
v bs
a in t
sin j]
t
i
b cost Fx m 2 x
j
dt
m2[x i y j ]
Fy m2 y
A(a,0) B(0, b)
Wx
0
a Fxdx m2
0 xdx 1 ma22
a
2
Wy
b
0 Fydy m 2
bydy 1 mb2 2
0
2
质点动能定理
W
为
r
a
cos
t
i b sin t j
(SI).
式中a，b， 是正值常
数, 且a > b.
(1)求质点在A点(a，0)和B 点(0，b)的动能; (2)求质点所 受的作用力 F 以及质点从A点运动到B点 的过程中 F 的分力Fx和Fy分别做的功.
解：
大学物理功与能
赵
承 均
W F rr cos
r
F
用矢量点积或标积表示：
rr
W
r F
rr
单位：焦耳( J )，N ·m
第一篇 力学
注意
重 ①.功是标量，只有大小正负之分。
大 数 理
(0, ), cos 0,W 0
学
2
院
,cos 0,W 0
赵
2
承
均
( , ), cos 0,W 0
2
力对物体做正功； 力对物体不作功； 力对物体做负功。
理
学 院
x
W k xdx xo
赵 承 均
1 k x2 2
x xo
1 2
kxo2
1 2
kx2
0
r F
x r x dx xo
即：此情形弹力做正功。
第一篇 力学
二、功率
力的功率描写该力对质点做功快慢的物理量，即单位时间内该力对质
重 点所做的功。
大
数 理
1.平均功率
mean power
学 院
外力作功与时间之比： P W
任何一对相互作用力做功的代数和仅决定于两物体的相对位移，而
与参考系的选择无关。
[D]
第一篇 力学
⑤.功是力与位移的点积，而位移依赖坐标系的选择，所以功与参照系有关。
重
大 数 理
例如：传送带将箱子从低处运到高处，地面上的人看摩擦力对箱子作正 功，而站在传送带上的人看摩擦力没有作功。
学
院
赵 承 均
第一篇 力学
②.多个力对物体作功，等于各力对物体作功的代数和。
证明： W
r F
rr
rr (F1 F2 L
大学物理-动能定理
Wx = ∫ Fx dx，Wy = ∫ Fy dy，Wz = ∫ Fz dz
xA yA zA zB
W = Wx + Wy + Wz
功的量纲和单位(焦耳 功的量纲和单位 焦耳) 焦耳
dim W = ML T ,1J = 1N × m
2 -2
第三章 动量守恒和能量守恒
5/12
物理学
第五版
3-4
动能定理
∆r
力对物体作做的功等于力在位移方向上的分量与该 位移大小的乘积作用下的功 The work on object by a force is equal to the product of the component of the force along the direction of the displacement & the magnitude of the displacement.
θi
F
*
dr θ
dr1 θ1 F 1 *
A
Fi
第三章 动量守恒和能量守恒
3/12
物理学
第五版
3-4
动能定理
讨论
1,功的正、负 功的正、 功的正
0 o < θ < 90 o ， d W > 0 o o 90 < θ < 180 ， d W < 0 θ = 90 o , F ⊥ d r , d W = 0
v1
dr
θ B
1 p 2 Ek = mv = 2 2m
第三章 动量守恒和能量守恒
2
F
v2
8/12
物理学
第五版
3-4
动能定理
质点的动能定理
(The theorem of kinetic energy of a mass point)
xA yA zA zB
W = Wx + Wy + Wz
功的量纲和单位(焦耳 功的量纲和单位 焦耳) 焦耳
dim W = ML T ,1J = 1N × m
2 -2
第三章 动量守恒和能量守恒
5/12
物理学
第五版
3-4
动能定理
∆r
力对物体作做的功等于力在位移方向上的分量与该 位移大小的乘积作用下的功 The work on object by a force is equal to the product of the component of the force along the direction of the displacement & the magnitude of the displacement.
θi
F
*
dr θ
dr1 θ1 F 1 *
A
Fi
第三章 动量守恒和能量守恒
3/12
物理学
第五版
3-4
动能定理
讨论
1,功的正、负 功的正、 功的正
0 o < θ < 90 o ， d W > 0 o o 90 < θ < 180 ， d W < 0 θ = 90 o , F ⊥ d r , d W = 0
v1
dr
θ B
1 p 2 Ek = mv = 2 2m
第三章 动量守恒和能量守恒
2
F
v2
8/12
物理学
第五版
3-4
动能定理
质点的动能定理
(The theorem of kinetic energy of a mass point)
大学物理第五讲 动量、动量守恒、功、动能和动能定理
0.3t)dt
0
36.45 (J)
24
二、质点的动能和动能定理
动能定理的推导
dA
r F
drr
F ds
ma
ds
m
dv dt
ds
mvdv
质点由a到b，力做总功为
Ek
1 mv2 2
r
r Fn
a• r
r F
•dsr
r F
• vb
b
va
Aab
b
dA
a
vb mvdv
M
LL
所以：
vr人车
vr人
m M
vr人
M M
m
vr人
12
t
M m t
0 v人车dt M 0 v人dt
vr人车
M M
m
vr人
L M mx x M L
M
M m
vr车
m M
vr人
v车
v人
m
x
M
X v车dt M v人dt
o
m x m L
M
(mvr )
1
r mv1
x
1
mvr2
7
二、质点系的动量定理
rr 设质点系中第 i 个质点受内力和外力分别为 fi 和Fi ,
应用质点动量定理
r ( Fi
r fi )dt
d
(mi
r vi
)
对整个系统求和
r r (Fi fi )dt d
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§2-3 功 动能 动能定理
一、功的概念
1.恒力的功
等于恒力在位移上的投影与位移的乘积。 F
F
A Fr cos F r
明确几点
r
f静
（1）功是标量，有正负之分
（2）作功与参照系有关
2.变力的功
物体在变力的作 用下从a运动到b。
a
怎样计算这个力 的功呢？ 采用微元分割法
当物体前端在s处停止时，摩擦力做的功为 L m s A F d x f r d x gx d x mg d x 0 L L L L mg ( s L) mg ( s )
2 2
再由动能定理得
即得
L 1 2 mg ( s ) 0 mv0 2 2 L v0 2 g ( s ) 2
2
l G x
所得结果相同，而现在 的解法无疑大为简便。
x
B
例题2-11 传送机通过滑道将长为L，质量为m的柔软 匀质物体以初速v0向右送上水平台面，物体前端在台 面上滑动 S距离后停下来（如图）。已知滑道上的磨 擦可不计，物与台面间的摩擦系数为 μ ，而且 S>L ， 试计算物体的初速度v0。
动能定理:合外力对质点所做的功等于质点动 能的增量。
Aab Ekb Eka Ek
几点注意： a. 合力做正功时，质点动能增大；反之，质 点动能减小。 b.动能的量值与参考系有关。
c.动能定理只适用于惯性系。
d. 功是一个过程量，而动能是一个状态量， 它们之间仅仅是一个等量关系。
例题2-9 装有货物的木箱，重G＝980N，要把它运 上汽车。现将长 l ＝ 3m 的木板搁在汽车后部，构成一斜 面，然后把木箱沿斜面拉上汽车。斜面与地面成30o角， 木 箱 与 斜 面 间 的 滑 动 摩 擦 系 数 =0.20 ， 绳 的 拉 力 与斜面成10o角，大小为700N，如图所示。
b
（1）dr 位移内力所作的功为：
dA F dr
（2）整个过程变力作功为：
A
(b )
(a)
F dr
dr
a
b
在数学形式上，力的功等于力F 沿路径 L 从a到b的线积分。 F 积分形式：
F
Aa b
b
a
F dr
△r
F-△r图，A=曲线下的面积
直角坐标系： 受力 元位移
F Fx i Fy j Fz k (N)
dr dxi dyj dzk (m)
元功 d A Fx d x Fy d y Fz d z
总功 自然坐标系：
Aab Fx dx Fy dy Fz dz
xa ya za xb yb zb
Aab Ft ds
能量是各种运动形式的一般量度，是物体状 态的单值函数，反映物体做功的本领。
三、动能定理
根据功的积分形式
b
1 1 2 2 mv m va b 2 2 1 2 定义质点的动能为：Ek mv 2
b b Aab a F d r a Fτ d s a maτ d s vb dv b a m d s va mv d v dt
1 Ek mv 2 2
p F v
Aa b
b
a
F dr
E p ( x)
1 2 kx 2
3
G
正压力 FN所做的功A3
A3 FN l cos90 0
摩擦力f所作的功A4 分析木箱的受力，由于木箱在垂直于斜面方向上 没有运动，根据牛顿第二定律得
FN F sin10 G cos30 0
FN＝G cos30 －F sin10 727N 由此可求得摩擦力 f N 145N
A Fl sin 30 1.47 10 J
与（1）中F作的功相比较，用了起重机能够少作功。 我们还发现，虽然F’比F大，但所作的功A’却比A1为 小，这是因为功的大小不完全取决于力的大小，还和 位移的大小及位移与力之间的夹角有关。因此机械不 能省功，但能省力或省时间，正是这些场合，使我们 对功的概念的重要性加深了认识。现在，在（1）中推 力F 所多作的功
sa
sb
F dr (Fe t t F nen ) dset Ft ds
3.合力的功
Aab F dr ( F1 F2 Fn ) dr
a a
n i
b
b
A （1）平均功率 P t
A d A （2） 功率 P lim t 0 t dt
L
v0
解：由于物体是柔软匀质的，在物体完全滑上台面 之前，它对台面的正压力可认为与滑上台面的质量 成正比，所以，它所受台面的摩擦力 fr 是变化的。 本题如果用牛顿定律的瞬时关系求加速度是不太方 便的。我们把变化的摩擦力表示为
O
x
L
s
0 x L,
x L,
m f r gx L fr mg
求：（1）木箱所受各力所作的功；（2）合外力对木箱 所作的功；（3）如改用起重机把木箱直接吊上汽车能不 能少做些功？
F
300
解：木箱所受的力如图所示 （1）拉力F 所做的功A1
FN
F 10°
A1 Fl cos10 2.07 10 J
3
f
30°
重力G所做的功A2
A2 Fl cos （ 180 -60 ） -1.47 10 J
A4＝f l cos180 435J
（2）根据合力所作功等于各分力功的代数和，算 出合力所作的功
A A1 A2 A3 A4 165J
（3）如改用起重机把木箱吊上汽车，这时所用拉力 ' F 至少要等于重力 G 。在这个拉力的作用下， o 木箱移动的竖直距离是 l sin 30 。因此拉力所作的 功为 3
2.07 10 J 1.47 10 J 0.60 10 J
3 3 3
起的是什么作用呢？我们说：第一，为了克服摩 擦力，用去435J的功，它最后转变成热量；第二，余 下的165J的功将使木箱的动能增加。
A Fr cos F r
Aab
b
a
F dr
例题2-10
利用动能定理重做例题1-13。
解：如图所示，细棒下落过程中，合外力对它作的 l l 1 2 功为 2
应用动能定理，因初速度为0，末速度v可求得如下
A (G B)dx ( l x) gdx l g l g 0 0 2
1 2 1 2 1 2 l g l g mv lv 2 2 2 ( 2 l l ) v g
4.功率
A1 A2 An Ai
恒力的功率： p F v
dr dA F F v P dt dt
小笑话 一节物理课上，老师在讲电功。 小明睡得正香，不料老师提问：“电功的单 位是什么？”
小明站起来回答：“电工的单位在发电厂。”
二、能量
一、功的概念
1.恒力的功
等于恒力在位移上的投影与位移的乘积。 F
F
A Fr cos F r
明确几点
r
f静
（1）功是标量，有正负之分
（2）作功与参照系有关
2.变力的功
物体在变力的作 用下从a运动到b。
a
怎样计算这个力 的功呢？ 采用微元分割法
当物体前端在s处停止时，摩擦力做的功为 L m s A F d x f r d x gx d x mg d x 0 L L L L mg ( s L) mg ( s )
2 2
再由动能定理得
即得
L 1 2 mg ( s ) 0 mv0 2 2 L v0 2 g ( s ) 2
2
l G x
所得结果相同，而现在 的解法无疑大为简便。
x
B
例题2-11 传送机通过滑道将长为L，质量为m的柔软 匀质物体以初速v0向右送上水平台面，物体前端在台 面上滑动 S距离后停下来（如图）。已知滑道上的磨 擦可不计，物与台面间的摩擦系数为 μ ，而且 S>L ， 试计算物体的初速度v0。
动能定理:合外力对质点所做的功等于质点动 能的增量。
Aab Ekb Eka Ek
几点注意： a. 合力做正功时，质点动能增大；反之，质 点动能减小。 b.动能的量值与参考系有关。
c.动能定理只适用于惯性系。
d. 功是一个过程量，而动能是一个状态量， 它们之间仅仅是一个等量关系。
例题2-9 装有货物的木箱，重G＝980N，要把它运 上汽车。现将长 l ＝ 3m 的木板搁在汽车后部，构成一斜 面，然后把木箱沿斜面拉上汽车。斜面与地面成30o角， 木 箱 与 斜 面 间 的 滑 动 摩 擦 系 数 =0.20 ， 绳 的 拉 力 与斜面成10o角，大小为700N，如图所示。
b
（1）dr 位移内力所作的功为：
dA F dr
（2）整个过程变力作功为：
A
(b )
(a)
F dr
dr
a
b
在数学形式上，力的功等于力F 沿路径 L 从a到b的线积分。 F 积分形式：
F
Aa b
b
a
F dr
△r
F-△r图，A=曲线下的面积
直角坐标系： 受力 元位移
F Fx i Fy j Fz k (N)
dr dxi dyj dzk (m)
元功 d A Fx d x Fy d y Fz d z
总功 自然坐标系：
Aab Fx dx Fy dy Fz dz
xa ya za xb yb zb
Aab Ft ds
能量是各种运动形式的一般量度，是物体状 态的单值函数，反映物体做功的本领。
三、动能定理
根据功的积分形式
b
1 1 2 2 mv m va b 2 2 1 2 定义质点的动能为：Ek mv 2
b b Aab a F d r a Fτ d s a maτ d s vb dv b a m d s va mv d v dt
1 Ek mv 2 2
p F v
Aa b
b
a
F dr
E p ( x)
1 2 kx 2
3
G
正压力 FN所做的功A3
A3 FN l cos90 0
摩擦力f所作的功A4 分析木箱的受力，由于木箱在垂直于斜面方向上 没有运动，根据牛顿第二定律得
FN F sin10 G cos30 0
FN＝G cos30 －F sin10 727N 由此可求得摩擦力 f N 145N
A Fl sin 30 1.47 10 J
与（1）中F作的功相比较，用了起重机能够少作功。 我们还发现，虽然F’比F大，但所作的功A’却比A1为 小，这是因为功的大小不完全取决于力的大小，还和 位移的大小及位移与力之间的夹角有关。因此机械不 能省功，但能省力或省时间，正是这些场合，使我们 对功的概念的重要性加深了认识。现在，在（1）中推 力F 所多作的功
sa
sb
F dr (Fe t t F nen ) dset Ft ds
3.合力的功
Aab F dr ( F1 F2 Fn ) dr
a a
n i
b
b
A （1）平均功率 P t
A d A （2） 功率 P lim t 0 t dt
L
v0
解：由于物体是柔软匀质的，在物体完全滑上台面 之前，它对台面的正压力可认为与滑上台面的质量 成正比，所以，它所受台面的摩擦力 fr 是变化的。 本题如果用牛顿定律的瞬时关系求加速度是不太方 便的。我们把变化的摩擦力表示为
O
x
L
s
0 x L,
x L,
m f r gx L fr mg
求：（1）木箱所受各力所作的功；（2）合外力对木箱 所作的功；（3）如改用起重机把木箱直接吊上汽车能不 能少做些功？
F
300
解：木箱所受的力如图所示 （1）拉力F 所做的功A1
FN
F 10°
A1 Fl cos10 2.07 10 J
3
f
30°
重力G所做的功A2
A2 Fl cos （ 180 -60 ） -1.47 10 J
A4＝f l cos180 435J
（2）根据合力所作功等于各分力功的代数和，算 出合力所作的功
A A1 A2 A3 A4 165J
（3）如改用起重机把木箱吊上汽车，这时所用拉力 ' F 至少要等于重力 G 。在这个拉力的作用下， o 木箱移动的竖直距离是 l sin 30 。因此拉力所作的 功为 3
2.07 10 J 1.47 10 J 0.60 10 J
3 3 3
起的是什么作用呢？我们说：第一，为了克服摩 擦力，用去435J的功，它最后转变成热量；第二，余 下的165J的功将使木箱的动能增加。
A Fr cos F r
Aab
b
a
F dr
例题2-10
利用动能定理重做例题1-13。
解：如图所示，细棒下落过程中，合外力对它作的 l l 1 2 功为 2
应用动能定理，因初速度为0，末速度v可求得如下
A (G B)dx ( l x) gdx l g l g 0 0 2
1 2 1 2 1 2 l g l g mv lv 2 2 2 ( 2 l l ) v g
4.功率
A1 A2 An Ai
恒力的功率： p F v
dr dA F F v P dt dt
小笑话 一节物理课上，老师在讲电功。 小明睡得正香，不料老师提问：“电功的单 位是什么？”
小明站起来回答：“电工的单位在发电厂。”
二、能量