高中数学定积分解题方法知识点总结与经典例题专题训练及答案解析
定积分的例题分析及解法
定积分的例题分析及解法本章的基本内容是定积分的概念、计算和应用 一、定积分的概念1．定积分是下列和式的极限xi i f dx x f i nba∆∑==→⎰)(lim )(10ξλ其中{}xi ni ∆=≤≤1max λ因此，定积分是一个数，它依赖于被积函数)(x f 和积分区间〔a,b 〕 定积分与积分变量用什么字母无关：⎰⎰=babadt t f dx x f )()(定积分的几何意义是曲边梯形的面积（当被积函数0)(≥x f 时）。
2．定积分的性质 （1）线性性质[]⎰⎰⎰+=+bab abadx x g k dx x f k dx x g k x f k)()()()(2121（2） ⎰⎰⎰=-=aaabba dx x f dx x f dx x f 0)(,)()( （3） ⎰⎰⎰+=bccaba dx x f dx x f dx x f )()()(（4）若),()(x g x f ≥则⎰⎰≥babadx x g dx x f )()(（5）积分中值定理：设)(x f 在〔a,b 〕上连续，则在〔a,b 〕上至少存在一点ξ，使下式成立),()()(a b f dx x ba-=⎰ξ其中].[b a ∈ξ。
（6）估值定理：若)(x f 在〔a,b 〕上可积，且M x f m ≤≤)(，则有不等式⎰-≤≤-baa b M dx x f a b m )()()(（7）若函数)(x f 在〔a,b 〕上连续，则有⎰=xa x f dt t f dxd )()( 3．广义积分。
二、定积分的计算 1．牛顿—莱布尼茨公式：⎰-=baa Fb F dx x f )()()(2．换元法：注意，在换元的同时不要忘记换积分限 3．分部积分法：⎰⎰-=babab a x du x x x u x d x u )()()()()()(υυυ4．定积分的近似计算：梯形，抛物线法。
三、定积分的应用基本方法是：（1）代公式；（2）微元法1．平面图形的面积（1）直角坐标系。
定积分的计算公式和例题
定积分的计算公式和例题定积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在这篇文章中，我们将介绍定积分的计算公式和一些例题，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、定积分的计算公式。
1. 定积分的定义。
在介绍定积分的计算公式之前，我们首先来回顾一下定积分的定义。
设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，且在该区间上连续，则称函数f(x)在区间[a, b]上的定积分为：∫[a, b] f(x)dx。
其中，∫表示积分的符号，a和b分别为积分的下限和上限，f(x)为被积函数，dx表示自变量。
2. 定积分的计算公式。
定积分的计算公式有很多种，常见的包括：（1）定积分的基本性质。
定积分具有一些基本的性质，例如线性性质、区间可加性等。
这些性质对于定积分的计算非常有用，可以帮助我们简化计算过程。
（2）牛顿-莱布尼茨公式。
牛顿-莱布尼茨公式是定积分的重要公式之一，它表示函数的不定积分与定积分之间的关系。
具体而言，如果函数F(x)是f(x)的一个不定积分，那么函数f(x)在区间[a, b]上的定积分可以表示为：∫[a, b] f(x)dx = F(b) F(a)。
这个公式为我们提供了一种通过求函数的不定积分来计算定积分的方法，非常方便和实用。
（3）换元积分法。
换元积分法是定积分计算中常用的一种方法，它通过引入新的变量来简化被积函数的形式，从而更容易进行积分。
具体而言，如果被积函数的形式比较复杂，我们可以通过引入新的变量来简化计算过程，然后再进行积分。
（4）分部积分法。
分部积分法是定积分计算中另一种常用的方法，它通过对被积函数进行分解，然后再进行积分。
具体而言，如果被积函数可以表示为两个函数的乘积，我们可以通过分部积分法将其分解为两个函数的积分，然后再进行计算。
以上是定积分的一些常用计算公式，它们在定积分的计算中起着重要的作用，可以帮助我们更加高效地进行积分计算。
二、定积分的例题。
下面我们通过一些具体的例题来演示定积分的计算过程，以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
高中数学定积分的概念及相关题目解析
高中数学定积分的概念及相关题目解析在高中数学中，定积分是一个重要的概念，它在数学和实际问题中都有广泛的应用。
本文将介绍定积分的概念，并通过具体的题目解析来说明其考点和解题技巧，帮助高中学生更好地理解和应用定积分。
一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个区间上的积分结果的确定值。
定积分的符号表示为∫，下面是定积分的定义：设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，将[a, b]分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx，选取每个小区间中的一个点ξi，作为f(x)在该小区间上的取值点。
那么，定积分的近似值可以表示为：∫[a, b]f(x)dx ≈ Σf(ξi)Δx当n趋向于无穷大时，定积分的近似值趋向于定积分的准确值，即：∫[a, b]f(x)dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx这个准确值就是函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。
二、定积分的考点和解题技巧1. 计算定积分的基本方法对于一些简单的函数，可以直接使用定积分的定义进行计算。
例如，计算函数f(x) = x²在区间[0, 1]上的定积分：∫[0, 1]x²dx = lim(n→∞)Σf(ξi)Δx = lim(n→∞)Σ(ξi)²Δx在这个例子中，可以将区间[0, 1]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = 1/n。
然后，选取每个小区间中的一个点ξi，可以选择ξi = i/n。
这样，定积分的近似值可以表示为：∫[0, 1]x²dx ≈ Σ(ξi)²Δx = Σ(i/n)²(1/n)当n趋向于无穷大时，可以求出定积分的准确值。
在这个例子中，计算过程如下：∫[0, 1]x²dx = lim(n→∞)Σ(i/n)²(1/n)= lim(n→∞)(1/n³)Σi²= lim(n→∞)(1/n³)(1² + 2² + ... + n²)= lim(n→∞)(1/n³)(n(n+1)(2n+1)/6)= 1/3因此，函数f(x) = x²在区间[0, 1]上的定积分的值为1/3。
高中高考考点难点常见题型(带答案解析) 定积分与微积分的基本定理(解析版)
简单已测：424次正确率：91.8 %1.定积的值是（ ）A.B.C.D.考点：⽤定义求定积分、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的概念、微积分基本定理答案：D 解析：，故选：．⼀般已测：3296次正确率：69.9 %2.计算（ ）A.B.C.D.考点：利⽤定积分的⼏何意义解题、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的概念、定积分的⼏何意义答案：B解析：选⼀般已测：4642次正确率：87.5 %3.若,,则,,的⼤⼩关系为( )A.B.C.D.考点：⽤定义求定积分、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的基本性质、定积分的常⽤结论答案：B解析：由于,,,且,所以，故选.⼀般已测：3883次正确率：75.3 %4.若,则( )2xdx ∫0212342xdx =x =4∫202∣∣∣∣20D (1−cos x )dx =∫− 2π2ππ+2π−2π−2(1−cos x )dx=(x −sin x )∫− 2π2π =π−2.∣∣∣∣ 2π− 2πB .S = x dx 1∫122S = dx 2∫12x 1S =e dx 3∫12x S 1S 2S 3S <S <S 123S <S <S 213S <S <S 231S <S <S321S = x dx = x ∣ = − = 1∫12231312383137S = dx =lnx ∣ =ln 22∫12x 112S = e dx =e ∣ =e −e 3∫12x x 122ln 2< <e −e 372S <S <S 213B f (x )=x +2 f (x )dx 2∫01 f (x )dx=∫01A.B.C.D.考点：微积分基本定理求定积分、运⽤定积分的相关性质解题知识点：被积函数的原函数、微积分基本定理答案：B解析：令(常数),则,所以,解得,故选:.中等已测：4750次正确率：71.2 %5.在如图所⽰平⾯直⻆坐标系中,正⽅形的边⻓为,曲线是函数图象位于正⽅形内的部分,直线恰好是函数在处的切线,现从正⽅形内任取⼀点,那么点取⾃阴影部分的概率等于（ ）A.B.C.D.考点：利⽤定积分的⼏何意义解题、微积分基本定理求定积分知识点：曲边梯形的⾯积、定积分的⼏何意义答案：D解析：正⽅形的边⻓为,由函数,得,则,得.⼜当时,,可得,曲线的解析式为,阴影部分⾯积.点取⾃阴影部分的概率等于.故选:.−1−31 311f (x )dx =m ∫01f (x )=x +2m 2m = f (x )dx =( x +2mx ) = +2m ∫01313∣∣0131m =− 31B OABC 1m y =a (x −1)+b 2AC y=a (x −1)+b 2x =0P P1213141 61∵OABC 1,∴S =1正方形OABC y =a (x −1)+b 2y =2a (x −1)′y ∣ =−2a =−1′x =0a =21x=0y =a +b =1b = 21∴m y = (x −1)+ 21221∴S = [ (x −1)+ −(−x +1)]dx = x dx = x ∣=∫0121221∫012126130161∴P 61D⼀般已测：4665次正确率：92.6 %6.已知,则⼆项式的展开式中的系数为（ ）A.B.C.D.考点：利⽤定积分的性质解题、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的概念、微积分基本定理答案：C 解析：,的展开式的通项公式为,令得,,展开式中的系数为.⼀般已测：2948次正确率：92.5 %7.实数使得复数是纯虚数,则的⼤⼩关系是（ ）A.B.C.D.考点：⽤定义求定积分、⽤所求定积分的⼏何意义求定积分知识点：定积分的概念、复数的概念答案：C解析：,它为纯虚数,所以,表⽰单位圆的四分之⼀的⾯积为,所以,应选.中等已测：3726次正确率：56.3 %8.若，则=（ ）A.B.a = dx ∫ e 1e x1(1− )x a 5x −316080−80−160∵a= dx =lne −ln =2∫ e 1e x 1e 1∴(1−)=(1−)xa 5x25T=C (−2)x r +15r r −r −r=−3r =3∴x −3C (−2)=−80533a1−i a +i b = xdx ,c= dx ∫01∫011−x 2a ,b ,c a <b <c a <c <b b <c <a c <b <a= = 1−i a +i1−i 1+i ()()a +i 1+i ()()2a −1+a +1i ()a =1,b = xdx = ∣ = ,c = dx ∫012x 20121∫011−x 2 4πb <c <a C f x + f x dx =x ()∫01() f x dx ∫01()41 21C.D.考点：⽤定义求定积分、利⽤定积分的性质解题知识点：定积分的基本性质、基本积分公式答案：A 解析：由，则，则，，则，故选A ．⼀般已测：2708次正确率：72.5 %9.⼀个⼈骑⻋以⽶/秒的速度匀速追赶停在交通信号灯前的汽⻋,当他离汽⻋⽶时，交通信号灯由红变绿,汽⻋开始做变速直线⾏驶(汽⻋与⼈的前进⽅向相同),若汽⻋在时刻的速度⽶/秒，那么此⼈（ ）．A.可在秒内追上汽⻋B.不能追上汽⻋,但其间最近距离为⽶C.不能追上汽⻋,但其间最近距离为⽶D.不能追上汽⻋,但其间最近距离为⽶考点：⼆次函数的单调性、利⽤定积分的⼏何意义解题知识点：微积分基本定理、基本积分公式答案：D解析：设该⼈骑⻋⾏驶距离和汽⻋⾏驶距离的差为，则，所以，所以该⼈不能追上汽⻋，但其间最近距离为⽶⼀般已测：391次正确率：82.7 %10.甲、⼄两⼈从同⼀起点出发按同⼀⽅向⾏⾛，已知甲、⼄⾏⾛的速度与⾏⾛的时间分别为，(如图)，当甲⼄⾏⾛的速度相同(不为零)时刻( )A.甲⼄两⼈再次相遇B.甲⼄两⼈加速度相同12fx +f x dx =x ()∫01()f x =x − f x dx ()∫01() fx dx = x − f x dx dx∫01()∫01(∫01())= xdx − f x dx dx = − f x dx ∫01∫01[∫01()]21∫01()∴ f x dx = − f x dx ∫01()21∫01() f x dx =∫01()41625t v (t )=t 716147S (t )S (t )= 6−t dt =6t −t ∫0t()212S (t ) =S (6)=36−18=18max 7v =甲t v =t 乙2C.甲在⼄前⽅D.⼄在甲前⽅考点：微积分基本定理求定积分、运⽤定积分的相关性质解题知识点：定积分的物理意义、变速运动问题答案：C解析：由，得，解得(舍)，或．由．．所以当甲⼄⾏⾛的速度相同(不为零)时刻甲在⼄前⽅．故选：．中等已测：1818次正确率：73.8 %11.已知，若函数满⾜，则称为区间上的⼀组``等积分''函数，给出四组函数：①②；③；④函数分别是定义在上的奇函数且积分值存在.其中为区间上的“等积分”函数的组数是( )A.B.C.D.考点：利⽤定积分的⼏何意义解题、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的基本性质、微积分基本定理答案：C解析：本题是新定义问题，主要考查对定义的理解和定积分的计算.对于①，⽽,所以①是⼀组“等积分”函数；对于②，,⽽,所以②不是⼀组``等积分''函数；对于③，函数的图像是以原点为圆⼼，为半径的半圆，故,⽽,所以③是⼀组``等积分''函数；对于④，由于函数分别是定义在上的奇函数且积分值存在，利⽤奇函数的图像关于原点对称和定积分的⼏何意义，可以求得函数的定积分,所以④是⼀组``等积分''函数.故选.简单已测：3293次正确率：86.3 %12..v =v 甲乙 =t t 2t =0t =1 dt = t ∣ = ∫01t 32 230132 t dt = t ∣= ∫0123130131C a <b f (x ),g (x ) f (x )dx = g (x )dx ∫a b∫a bf (x ),g (x )[a ,b ]f (x )=2∣x ∣,g (x )=x +1;f (x )=sinx ,g (x )=cosx f (x )=,g (x )= πx 1−x 2432f (x ),g (x )[−1,1][−1,1]1234f x dx = 2x dx = 2−x dx + 2xdx =2,∫−11()∫−11∣∣∫−10()∫01g x dx = x +x ∣ =2∫−11()(212)−11 f (x )dx = sinxdx =0∫−11∫−11 g x dx = cos xdx =2sin 1≠0∫−11()∫−11f (x )1 f x dx = dx = ∫−11()∫−111−x 22πg x dx = πx ∣ = ∫−11()413−112πf (x ),g (x )[−1,1] f (x )dx = g x dx =0∫−11∫−11()C (sinx +cosx )dx =∫− 2π2π考点：⽤定义求定积分、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的概念、被积函数的原函数答案：解析：；故填.⼀般已测：4543次正确率：94.5 %13..考点：利⽤定积分的⼏何意义解题知识点：定积分的概念、定积分的⼏何意义答案：解析：函数即：，表⽰以为圆⼼，为半径的圆在轴上⽅横坐标从到的部分，即四分之⼀圆，结合定积分的⼏何意义可得．故答案为．⼀般已测：2478次正确率：65.4 %14.⼀辆汽⻋在⾏驶中由于遇到紧急情况⽽刹⻋，以速度⾏驶⾄停⽌，在此期间汽⻋继续⾏驶的距离是.考点：定积分在求⾯积中的应⽤、微积分基本定理求定积分知识点：定积分的物理意义、基本积分公式答案：解析：本题考查定积分的概念.令，化为,⼜,解得.汽⻋继续⾏驶的距离.⼀般已测：4698次正确率：91.6 %15.若正实数满⾜,则的最⼩值为.考点：利⽤基本不等式求最值、利⽤公式求定积分知识点：定积分的基本性质、基本积分公式答案：解析：由题意得;即,所以(当且仅当时等号成⽴).所以,即的最⼩值为.简单已测：1192次正确率：87.8 %16.有⼀⾮均匀分布的细棒，已知其线密度为，棒⻓为，则细棒的质量.考点：⽤定义求定积分、微积分基本定理求定积分2(sinx +cosx )dx =−cosx +sinx ∣ ∫− 2π 2π()−2π2π=1+1=22 ( )dx ∫121−(x −1)2=4πy=1−(x −1)2(x −1)+y =1(x ≥1,y ≥0)22(1,0)1x 12 ( )dx = ×π×1=∫121−(x −1)24124π 4πv (t )=7−3t +1+t 254+25ln 5v (t )=7−3t + =01+t253t −4t −32=02t >0t =4S = (7−3t + )dt =(7t − t +25ln (1+t ))∣ =4+25ln 5∫041+t 2523204m ,n + = (x +)dx m 2n 1∫−22π14−x 2log (m +2n )22(x + )dx = dx = × π×2=2∫−22π14−x 2π1∫−224−x 2π1212 + =2m 2n 1m +2n =(m +2n )( + )= + +2≥2 +2=4m 12n 1m 2n 2n m × m 2n 2n m m =2n log m +2n ≥log 4=22()2log (m +2n )22ρx =x ()32M =(1)(2)知识点：定积分的物理意义、定积分的常⽤结论答案：解析：依题意有：.⼀般已测：3051次正确率：65.2 %17.在区间上给定曲线.试在此区间内确定点的值,使图中的阴影部分的⾯积与之和最⼩,并求最⼩值．考点：导数在最⼤值、最⼩值问题中的应⽤、定积分在求⾯积中的应⽤知识点：利⽤导数求函数的最值、微积分基本定理答案：时,最⼩,且最⼩值为解析：⾯积等于边⻓分别为与的矩形⾯积去掉曲线与轴、直线所围成的⾯积,即.的⾯积等于曲线与轴,,围成的⾯积去掉矩形边⻓分别为,⾯积,即.所以阴影部分的⾯积．令,得或.时,；时,；时,.所以当时,最⼩,且最⼩值为.⼀般已测：401次正确率：92.8 %18.已知．求的单调区间；求函数在上的最值．考点：利⽤导数研究函数的单调性、利⽤导数求闭区间上函数的最值知识点：函数单调性和导数的关系、利⽤导数求函数的最值(1)答案：单调调增区间是,单调递减区间是．解析：依题意得,,定义域是．,令,得或； 令得,且函数定义域是,函数的单调增区间是,单调递减区间是．(2)答案：最⼤值是,最⼩值是．解析：由(1)知函数在区间上为减函数,区间上为增函数, 且,在上的最⼤值是,最⼩值是．4x dx= ∣ =4∫0234x 402[0,1]y =x 2t S 1S 2t=21S (t )41S 1t t 2y =x 2x x =t S =t ⋅t − x dx = t 12∫0t 2323S 2y =x 2x x =t x =1t 21−t S = x dx −t (1−t )= t −t + 2∫t 122323231S (t )=S +S = t −t + (0≤t ≤1)12343231S (t )=4t −2t =4t (t − )=0′221t =0t = 21t =0S (t )= 31t = 21S (t )= 41t =1S (t )= 32t = 21S (t )41F (x )= (t +2t −8)dt ,(x >0)∫0x2F (x )F (x )[1,3](2,+∞)(0,2)F (x )= (t +2t −8)dt =( t +t−8t )∣ = x +x −8x ∫0x 231320x 3132(0,+∞)(1)F (x )=x +2x −8′2F (x )>0′x >2x <−4F (x )<0,′−4<x <2(0,+∞)∴F (x )(2,+∞)(0,2)F (3)=−6F (2)=− 328F (x )(0,2)(2,3)F (1)=− ,F (2)=− ,F (3)=−6320328∴F (x )[1,3]F (3)=−6F (2)=− 328(1)(2)中等已测：3275次正确率：52.7 %19.已知⼆次函数，直线，直线(其中，为常数)，若直线,与函数的图象以及,、轴与函数的图象所围成的封闭图形(阴影部分)如图所⽰.求,,的值；求阴影⾯积关于的函数的解析式.考点：求函数解析式的常⽤⽅法、利⽤定积分的⼏何意义解题知识点：⼆次函数的解析式、⼆次函数的图象(1)答案：, , 解析：由图形可知⼆次函数的图象过点，，并且的最⼤值为，则解得，函数的解析式为.(2)答案：解析：由得,,,,直线与的图象的交点坐标为由定积分的⼏何意义知：.f (x )=ax +bx +c 2l :x =21l :y =−t +8t 220≤t ≤2t l 1l 2f (x )l 1l 2y f (x )a b c S t S (t )a=−1b =8c =0(0,0)(8,0)f (x )16 ⎩⎨⎧c =0,a ⋅8+b ⋅8+c =02=164a 4ac −b 2 ⎩⎨⎧a =−1b =8c =0∴f (x )f (x )=−x +8x 2S (t )=− t +10t −16t + 3432340{ y =−t +8t 2y =−x +8x2x −8x −t (t −8)=02∴x =t 1x =8−t 2∵0≤t ≤2∴l 2f (x )(t ,−t +8t )2S (t )= −t +8t −−x +8x dx + [(−x +8x )−(−t +8t )]dx ∫0t [(2)(2)]∫t 222=[(−t +8t )x −(− +4x )]∣ +[(− +4x )−(−t +8t )x ]∣ 23x 320t 3x 322t 2=− t +10t −16t + 3432340。
高中数学常见题型解法归纳 求定积分的方法
高中数学常见题型解法归纳 求定积分的方法【知识要点】 一、曲边梯形的定义我们把由直线,,0x a x b y ===和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形. 二、曲边梯形的面积的求法分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限 三、定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x D （b ax n-D =），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n x =L ，作和式：11()()nnn ii i i b aS f x x f n ξ==-=∆=∑∑如果x D 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记为：()baS f x dx =⎰，其中⎰是积分号，b 是积分上限，a 是积分下限，()f x 是被积函数，x 是积分变量，[,]a b 是积分区间，()f x dx是被积式.说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b af n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰ 四、定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： 性质1()()()bba akf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数（定积分的线性性质）；性质21212[()()]()()bb baaaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）；性质3()()()()bc baacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）五、定积分的几何意义（1）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积.（2）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≤，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（3）从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续，且函数()y f x =的图像有一部分在x 轴上方，有一部分在x 轴下方，那么定积分()baf x dx ⎰表示x 轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积.（4）图中阴影部分的面积S=12[()()]baf x f x dx -⎰六、微积分基本定理一般地，如果()f x 是区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式.为了方便，我们常把()()F b F a -记成()baF x ，即()()()()bb a af x dx F x F b F a ==-⎰.计算定积分的关键是找到满足()()F x f x '=的函数()F x . 七、公式（1） 1()cx c = （2）1(sin )cos x x = （3）1(cos )sin x x -=( 4)11()(1)1n n m x mx n n +=≠-+ (5)(ln )a a x x '=； (6) x x e e =')(（7）1(sin 2)cos 22x x ¢= （8）1(ln(x 1))1x ¢+=+八、求定积分的方法(1)代数法： 利用微积分基本原理求；（2）几何法：数形结合利用面积求.【方法讲评】【例1】 定积分11(||1)x dx --ò的值为____________.【点评】本题要先利用定积分的性质化简，再利用微积分基本原理求解. 【反馈检测1】220sin 2x dx π=⎰ ．【反馈检测2】若)(x f 在R 上可导,3)2('2)(2++=x f x x f ,则3()f x dx =⎰( )A ．16B ．18-C ．24-D ．54【例2】计算10(1dx +⎰的结果为（ ）.A ．1B ．4π C ．14π+ D ．12π+【解析】先利用定积分的几何意义求dx x ⎰-121：令)10(12≤≤-=x x y ，即)0,10(122≥≤≤=+y x y x 表示单位圆的41（如图），dx x ⎰-1021即是41圆面积，即4π；所以 1(1dx +⎰=4111121π+=-+⎰⎰dx x dx .【点评】（1）本题中函数1y =所以先利用定积分的性质化简原式，再利用数形结合分析解答.（2）利用数形结合分析解答时，主要变量的范围，不要扩大了变量的范围，导致扩大了平面区域.)10(12≤≤-=x x y ，即)0,10(122≥≤≤=+y x y x 表示单位圆的41（如图），不是右半圆或整个圆.(3)等价转化是数学里的重要数学思想，它要求我们在每一步的变形和推理时，都必须注意等价变换.【反馈检测3】313)___________dx =⎰参考答案【反馈检测1答案】142π-【反馈检测1详细解析】⎰⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2020202022cos 212cos 212sin ππππdx x dx dx x dx x 2140214|sin 21|22020-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=ππππx x 【反馈检测2答案】18-【反馈检测3答案】263π 【反馈检测3详细解析】由于313)dx =ò1⎰+313dx ⎰．其中1⎰值相当于（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x 从1到3部分与x 轴所围成的图形的面积的大小，即图中阴影部分的面积．故其值是S △ACQ +S 扇形ABQ +S △BDQ =211121212623ππ⨯⨯⨯+⨯=+又313dx ⎰=6，∴313)dx =ò263π+ ．故答案为：263π．。
定积分典型例题及习题答案
04 定积分习题答案及解析
习题一答案及解析
要点一
答案
$frac{1}{2}$
要点二
解析
根据定积分的几何意义，该积分表示一个半圆的面积，半径 为1，因此结果为半圆的面积，即$frac{1}{2}$。
习题二答案及解析
答案：$0$
解析：由于函数$f(x) = x$在区间$[-1, 1]$上为奇函数，根据定积分的性质，奇函数在对称区间上的积 分为0。
定积分的分部积分法
总结词
分Hale Waihona Puke 积分法是一种通过将两个函数的乘积进行求导来计算定积分的方法。
详细描述
分部积分法是通过将两个函数的乘积进行求导来找到一个函数的定积分。具体来说，对于两 个函数u(x)和v'(x)，其乘积的导数为u'v+uv'，其中u'表示u对x的导数。分部积分法可以表示 为∫bau(x)v'(x)dx=∫bau'(x)v(x)dx+∫bau(x)v(x)dx，其中u'(x)和u(x)分别是u对x的导数和函
定积分典型例题及习题答案
目录
• 定积分的基本概念 • 定积分的计算方法 • 定积分典型例题解析 • 定积分习题答案及解析
01 定积分的基本概念
定积分的定义
总结词
定积分的定义是通过对函数进行分割、 近似、求和、取极限等步骤来得到的。
详细描述
定积分定义为对于一个给定的函数f(x)，选择一 个区间[a,b]，并将其分割为n个小区间，在每 个小区间上选择一个代表点，并求出函数在这 些点的近似值，然后将这些近似值进行求和， 最后取这个和的极限。
数值。通过分部积分法，可以将复杂的定积分转换为更简单的形式进行计算。
定积分知识点和例题
定积分知识点和例题
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的极限。
定积分的概念起源于求图形面积和其他实际应用的问题。
下面我将列举一些定积分的知识点和例题：
知识点：
1. 定积分的定义：定积分是积分和的极限，即对一个给定区间[a,b]上的函数f(x)和任意分割法，求各小区间上函数值的点乘积和的极限。
如果存在一个常数I，对于任意给定的正数ε，总存在一个δ>0，使得当|ΔSi|<δ时，对区间[a,b]的任意分割法，和Si与I的差的绝对值都小于ε，则称I为f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作∫abf(x)dx，其中a、b和I分别为定积分的下限、上限和值。
2. 定积分的几何意义：定积分的值等于由曲线y=f(x)与直线x=a、x=b 以及x轴所围成的曲边梯形的面积。
3. 定积分的性质：定积分的性质包括线性性质、积分中值定理、积分上限函数与被积函数的联系等。
4. 定积分的计算方法：主要包括基本初等函数的积分公式和不定积分的性质及计算方法，如换元法、分部积分法等。
例题：
1. 计算定积分∫10(x^2+1)dx的值。
2. 计算定积分∫π20(sinx+cosx)dx的值。
3. 计算定积分∫10|x-1|dx的值。
4. 计算定积分∫10x^2dx的值。
5. 计算定积分∫21(1/x)dx的值。
定积分应用方法总结(经典题型归纳)
定积分复习重点定积分的考查频率不是很高，本讲复习主要掌握定积分的概念和几何意义，使用微积分基本定理计算定积分，使用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等． 1.定积分的运算性质1212(1)()()().(2)[()()]()().(3)()()()().bbaab bb aaab c baackf x dx k f x dx k f x f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx =±=±=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰为常数其中a<c<b2．微积分基本定理如果()f x 是区间[a ，b]上的连续函数，并且'()()F x f x =，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼兹公式。
3.求定积分的方法（1）利用微积分基本定理就定积分 ①对被积分函数,先简化,再求定积分.例如：230(1-2sin)2d πθθ⎰注：322()3x x '=，(-cos )sin x x '=②分段函数,分段求定积分,再求和.（被积函数中带有绝对值符号时，计算的基本思路就是用分段函数表示被积函数，以去掉绝对值符号，然后应用定积分对积分区间的可加性，分段进行计算）1．计算积分⎰---322|32|dx x x解1. 由于在积分区间]3,2[-上，被积函数可表示为⎩⎨⎧≤<-----≤≤---=--.31,)32(,12,32|32|222x x x x x x x x 所以⎰---322|32|dx x x 13)32()32(312122=-----=⎰⎰---dx x x dx x x .（2）利用定积分的几何意义求定积分如定积分12014x dx π-=⎰，其几何意义就是单位圆面积的14。
（课本P60 B 组第一题） (3)利用被积函数的奇偶性a. 若()f x 为奇函数，则()0aa f x dx -=⎰；b. 若()f x 为偶函数，则0()()a aa f x dx f x dx-=⎰⎰2；其中0a >。
2023高中数学定积分总结(重点)超详细
(每日一练)2023高中数学定积分总结(重点)超详细单选题1、已知a=∫20(x+1)dx，b=∫0−2√4−x2dx，c=∫2e x2dx，则a，b，c的大小关系是（）A．a<b<c B．b<c<a C．b<a<c D．a<c<b答案：B解析：利用微积分基本定理计算a,c,利用积分的几何意义求扇形面积得到b,然后比较大小.a=∫20(x+1)dx=(12x2+x)|2=4,b=∫0−2√4−x2dx表示以原点为圆心，半径为2的圆在第二象限的部分的面积，∴b=∫0−2√4−x2dx=14π×22=π；c=∫20ex2d x=2ex2|2=2e−2，∵e=2.71828…>2.7,∴2e−2>3.4>π，∵e<3,∴2e<6,∴2e−2<4，∴b<c<a,故选：B.2、已知m=2∫21|3−2x|dx，则(x+y)m(2x−y)m+4中x3y3的系数为（）A．−80B．−40C．40D．80先计算积分得到m =1，利用二项式展开式对x 3y 3的构成进行分类，求出x 3y 3的系数.m =2∫21|3−2x |dx =2∫321(3−2x)dx +2∫232(3−2x)dx =2[(3x −x 2)|132]+2[(x 2−3x)|322]=1， 则(x +y)m (2x −y)m+4=(x +y)(2x −y)5，(2x −y)5的通项公式T r+1=C 5r ⋅(2x)5−r ⋅(−y)r =(−1)r ⋅25−r ⋅C 5r ⋅x 5−r ⋅y r ，则两个通项公式为x ⋅T r+1=(−1)r ⋅25−r ⋅C 5r ⋅x 6−r ⋅y r ，当r =3时−4C 53⋅x 3⋅y 3=−40，y ⋅T r+1=(−1)r ⋅25−r ⋅C 5r ⋅x 5−r ⋅y r+1，当r =2时8C 52⋅x 3⋅y 3=80，则x 3⋅y 3的系数为−40+80=40.故选：C.小提示：方法点睛：在与二项式定理有关的问题中，主要表现为一项式和三项式转化为二项式来求解；若干个二项式积的某项系数问题转化为乘法分配律问题.3、已知t >0，若∫(2x −3)dx =4t 0，则t =（ ）A ．−1B ．2C ．4D ．−1或4答案：C解析：先根据微积分基本定理得∫t 0(2x −3)dx =t 2−3t ，再解方程t 2−3t −4=0即可得答案. 解：因为∫t 0(2x −3)dx =(x 2−3x )|t 0=t 2−3t ， 所以t 2−3t −4=0，解得t =4或t =−1（舍去）.本题考查微积分基本定理，是基础题.4、在(1+x )n (n ∈N *)二项展开式中x 2的系数为15，则∫x n dx 10（ ）A ．17B ．7C ．15D ．103答案：A解析：根据二项式定理得到n =6，带入计算定积分得到答案.(1+x )n (n ∈N *)二项展开式的通项为T r+1=C n r x r ，所以C n 2=15，解得n =6， 所以∫x n dx 10=∫x 6dx 10=17x 7|10=17. 故选：A.5、由曲线y =1x，直线y =x ，x =3所围成的封闭平面图形的面积为（ ） A ．2−ln3B ．4−ln3C ．4+ln3D ．329答案：B解析：分别由{y =1x y =x 和{y =1x x =3求得交点，画出图形，用定积分求解. 由{y =1x y =x 解得 {x =1y =1 或{x =−1y =−1 ， 由{y =1x x =3 解得{y =13x =3， 如图所示：所以由曲线y=1x ，直线y=x，x=3所围成的封闭平面图形的面积为S=∫(x−1x)31dx=(12x2−lnx)|13=92−ln3−12=4−ln3故选：B。
高考数学新课标定积分应用例题、习题及详解
图3定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算①连续曲线()(()0),y f x f x x a x b =≥==及及x 轴所围成的平面图形面积为()baA f x dx =⎰②设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为： dx x f x f S ba ⎰-=)]()([下上.③连续曲线()(()0),x y y c y d φφ=≥==及y 及y轴所围成的平面图形面积为()d cA y dy φ=⎰④由方程1()x y φ=与2()x y φ=以及,y c y d==所围成的平面图形面积为12[()()]dcA y y dy φφ=-⎰ 12()φφ>例１ 计算两条抛物线2x y =与2y x =所围成的面积．解 求解面积问题，一般需要先画一草图（图3），我们要求的是阴影部分的面积．需要先找出交点坐标以便确定积分限，为此解方程组：⎩⎨⎧==22y x x y得交点(0,0)和(1,1)．选取x 为积分变量，则积分区间为]1,0[，根据公式(1) ，所求的面积为31)3132()(103102=-=-=⎰x x x dx x x S ．一般地，求解面积问题的步骤为：(1) 作草图，求曲线的交点，确定积分变量和积分限． (2) 写出积分公式． (3) 计算定积分．例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积. 解 (1)画图.(2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)确定左右曲线: 4)( ,21)(2+==y y y y 右左ϕϕ.(4)计算积分⎰--+=422)214(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y .例3 求在区间[21,2 ]上连续曲线 y=ln x ,x 轴及二直线 x =21,与x = 2所围成平面区域（如图2）的面积 。
有关定积分问题的常见题型解析(全题型)Word版
有关定积分问题的常见题型解析题型一 利用微积分基本定理求积分例1、求下列定积分：（1）()13031x x dx -+⎰ （2）()941x x dx +⎰ （3）⎰--2224x分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。
解：（1）因为3221312x x x x x '⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭， 所以()13031x x dx -+⎰=321102x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=32。
（2）因为()121x x x x +=+，312222132x x x x '⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以()941x x dx +⎰=3229211454326x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
练习：（1）⎰--a a x a 22 （2）⎰--2124x评注：利用微积分基本定理求定积分dx x f a b )(⎰的关键是找出)()(/x f x F =的函数)(x F 。
如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像， 图像为圆或者三角形则直接求其面积。
题型二 利用定积分求平面图形的面积例2 如图 ，求直线y=2x+3与抛物线y=x 2所围成的图形面积。
分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。
为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。
解：由方程组⎩⎨⎧=+=232x y x y ，可得3,121=-=x x 。
故所求图形面积为：S ＝()dx x ⎰-+3132－dx x ⎰-312＝（x 2＋3x）3323113313=---x 。
评注：求平面图形的面积的一般步骤：⑴画图，并将图形分割成若干曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。
关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上下限。
定积分简单计算例题及解析
定积分简单计算例题及解析
一、积分简介
积分是给出一种对函数进行求解的数学运算解法，它可以用来求解微分方程。
积分可分为定积分和不定积分，在定积分的过程中，我们利用某种数学运算方法，在一定的范围内把一个函数的定义域划分为多个小范围，并将该函数进行分段积分，最终得出的结果就是定积分的值。
二、积分计算例题及解析
例1：求解∫2 sinx dx
解：定积分，先使用积分公式将函数分段，
∫2sin x dx=∫0^2 sin x dx+∫2^2-2sin x dx
将分段积分求和，
∫2sin x dx= [-cosx]^2_0 + [-cosx]^2_2 - 2∫2^2-2sin x dx
消去 -2，得
∫2sin x dx= - cos2 + cos0 + 2∫2^2-2sin x dx
再次积分，
∫2^2-2sin x dx = x - 2∫ sin x dx
将它带入上面得，
∫2sin x dx= - cos2 + cos0 + 2(-2sin2 + 2sin20)
化简，
∫2sin x dx=-cos2 + 2sin20
最终结果得：
∫2sin x dx=-cos2 + 2sin20
三、总结
定积分是积分中一种重要的求解方法，它可以用来求解微分方程。
定积分的求解过程需要将函数分段，最后求得定积分的最终结果。
以上我们通过定积分的例题，总结出定积分的求解步骤，这也让我们对定积分的概念有了进一步的理解。
人教版2023高中数学定积分题型总结及解题方法
(每日一练)人教版2023高中数学定积分题型总结及解题方法单选题1、曲线y =x 2与直线y =3x 围成图形的面积为（ ）A ．274B ．272C ．92D ．9答案：C解析：先求出两个曲线的交点坐标，进而确定积分区间，再依据函数的图象的上下位置确定被积分函数，最后依据微积分基本定理求解即可得到答案.由直线y =3x 与曲线y =x 2，解得{x =0y =0 或{x =3y =3， 所以直线y =3x 与曲线y =x 2的交点为O (0,0)和A (3,3)，因此，直线y =3x 与曲线y =x 2所围成的封闭图形的面积是S =∫(3x −x 2)dx 30=(32x 2−13x 3)|30 =92. 故选：C.小提示：本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中确定积分区间，再依据函数的图象的上下位置确定被积分函数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2、∫2x+3x+22−1dx =（ ）A ．2+ln2B ．3−ln2C ．6−ln2D ．6−ln4答案：D解析：先求出不定积分，再代入上下限来求定积分.由题，∫2x+3x+2d x 2−1=∫(2−1x+2)d x 2−1 =[2x −ln(x +2)]|−12 =(4−ln4)−(−2−ln1)=6−ln4.故选：D小提示：本题考查定积分的运算，属于基础题.3、函数y =−x 3，y =√x 与y =1图象围成区域面积为S ，则（ ）A ．S >1B ．S <1C ．S =1D ．无法确定答案：A解析：在同一平面直角坐标系中作出三个函数的图象，求出交点坐标，再由定积分的几何意义可得S =∫[1−0−1(−x 3)]d x +∫(1−√x)d x 10，再由微积分基本定理计算S 的值即可求解. 分别作出函数y =−x 3，y =√x 与y =1图象如图所示：y =−x 3，y =√x 都过点O (0,0)，由{y =−x 3y =1得x =−1，所以A (−1,1)， 由{y =√x y =1得x =1，所以B (1,1)， 所以区域面积为S =∫[1−(−x 3)]d x +0−1∫(1−√x)d x 10 =∫(1+x 3)d x +0−1∫(1−√x)d x 10=(x +14x 4)|−10+(x −23x 32)|01 =0−(−1+14)+(1−23)−0=34+13=1312>1， 故选：A.填空题4、在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的侧面ABB 1A 1内有一动点P 到直线A 1B 1与直线BC 的距离相等，则在侧面ABB 1A 1上动点P 的轨迹与棱AB 、BB 1所围成的图形面积是______．答案：43解析：以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，设点P (x,0,z )，则0≤x ≤2，0≤z ≤2，求出点P 的轨迹方程，再利用定积分可求得结果.以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设点P (x,0,z )，则0≤x ≤2，0≤z ≤2，则点P 到直线A 1B 1的距离为2−z ，因为BC ⊥平面AA 1B 1B ，BP ⊂平面AA 1B 1B ，所以，BC ⊥BP ，所以，点P 到直线BC 的距离为|BP⃑⃑⃑⃑⃑ |=√(x −2)2+z 2， 由已知可得√(x −2)2+z 2=2−z ，化简可得z =x −x 24，当x =2时，z =1，即点P 的轨迹交棱BB 1于点(2,0,1)，因此，在侧面ABB 1A 1上动点P 的轨迹与棱AB 、BB 1所围成的图形面积是∫(x −x 24)dx 20=(12x 2−x 312)|02 =43.所以答案是：43.5、设a =∫sinxdx π0，则二项式(a √x √x )6的展开式中含x 2项的系数为__________.答案：−192解析：根据微积分基本定理首先求出a 的值，然后再根据二项式的通项公式求出r 的值，问题得以解决． ∵a =∫sinxdx π0=(−cosx)|x=0x=π=2，∴(a √x √x )6=(2√x √x )6的展开式通项为：T =C 6r (2√x)6−r √x )r =(−1)r 26−r C 6r x 3−r ，令3−r =2，得r =1，故含x 2项的系数为−26−1C 61=−192所以答案是：−192小提示：本题主要考查定积分，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于容易题．。
第18讲 求定积分的方式高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析
【知识要点】 一、曲边梯形的概念咱们把由直线,,0x a x b y ===和曲线()y f x =所围成的图形称为曲边梯形. 二、曲边梯形的面积的求法分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限 三、定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上持续，用分点 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每一个小区间长度为x （b axn），在每一个小区间1,i i x x 上任取一点1,2,,ii n ，作和式：11()()nnn i i i i b aS f x x f nξ==-=∆=∑∑若是x 无穷接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无穷趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记为：()baS f x dx =⎰，其中⎰是积分号，b 是积分上限，a 是积分下限，()f x 是被积函数，x 是积分变量，[,]a b 是积分区间，()f x dx是被积式.说明：（1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即n S 无穷趋近的常数S （n →+∞时）记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．（2）用概念求定积分的一般方式是：①分割：n 等分区间,a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求和：1()ni i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b af x dx f n ξ→∞=-=∑⎰四、定积分的性质按照定积分的概念，不宝贵出定积分的如下性质： 性质1()()()bba akf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数（定积分的线性性质）；性质21212[()()]()()bb ba aaf x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（定积分的线性性质）；性质3()()()()bc baacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中（定积分对积分区间的可加性）五、定积分的几何意义（1）从几何上看，若是在区间,a b 上函数()f x 持续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()yf x 所围成的曲边梯形的面积.（2）从几何上看，若是在区间,a b 上函数()f x 持续且恒有()0f x ≤，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()yf x 所围成的曲边梯形的面积的相反数.（3）从几何上看，若是在区间,a b 上函数()f x 持续，且函数()y f x =的图像有一部份在x 轴上方，有一部份在x 轴下方，那么定积分()ba f x dx ⎰表示x 轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积.（4）图中阴影部份的面积S=12[()()]baf x f x dx -⎰六、微积分大体定理一般地，若是()f x 是区间[,]a b 上的持续函数，而且()()F x f x '=，那么()()()baf x dx F b F a =-⎰，这个结论叫做微积分大体定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式.为了方便，咱们常把()()F b F a -记成()baF x ，即()()()()bb aaf x dx F x F b F a ==-⎰.计算定积分的关键是找到知足()()F x f x '=的函数()F x . 七、公式（1） 1()cx c = （2）1(sin )cos x x = （3）1(cos )sin x x -=( 4)11()(1)1n n m x mx n n +=≠-+ (5)(ln )aa x x '=； (6) x x e e =')(（7）1(sin 2)cos 22x x （8）1(ln(x 1))1x八、求定积分的方式(1)代数法： 利用微积分大体原理求；（2）几何法：数形结合利用面积求. 学科@网 【方式讲评】【例1】 定积分11(||1)x dx 的值为____________.【点评】本题要先利用定积分的性质化简，再利用微积分大体原理求解. 【反馈检测1】220sin 2x dx π=⎰ ．【反馈检测2】若)(x f 在R 上可导,3)2('2)(2++=x f x x f ,则3()f x dx =⎰( )A ．16B ．18-C ．24-D ．54【例2】计算10(1dx +⎰的结果为（ ）.A ．1B ．4π C ．14π+ D ．12π+【解析】先利用定积分的几何意义求dx x ⎰-121：令)10(12≤≤-=x x y ，即)0,10(122≥≤≤=+y x y x 表示单位圆的41（如图），dx x ⎰-1021即是41圆面积，即4π；所以 1(1dx +⎰=4111121π+=-+⎰⎰dx x dx .【点评】（1）本题中函数211y x 的原函数不是很容易找到，所以先利用定积分的性质化简原式，再利用数形结合分析解答.（2）利用数形结合分析解答时，主要变量的范围，不要扩大了变量的范围，致使扩大了平面区域.)10(12≤≤-=x x y ，即)0,10(122≥≤≤=+y x y x 表示单位圆的41（如图），不是右半圆或整个圆.(3)等价转化是数学里的重要数学思想，它要求咱们在每一步的变形和推理时，都必需注意等价变换.【反馈检测3】313)___________dx =⎰高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第18讲：求定积分的方式参考答案【反馈检测1答案】142π-【反馈检测1详细解析】 【反馈检测2答案】18-【反馈检测3答案】263π 【反馈检测3详细解析】由于321(4(2)3)x dx 1⎰+313dx ⎰．其中1⎰值相当于（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x 从1到3部份与x 轴所围成的图形的面积的大小，即图中阴影部份的面积．故其值是S △ACQ +S 扇形ABQ +S △BDQ =211121212623ππ⨯⨯⨯+⨯=+又313dx ⎰=6，∴321(4(2)3)x dx 263π+ ．故答案为：263π．。
高中数学积分的常用性质及相关题目解析
高中数学积分的常用性质及相关题目解析在高中数学中，积分是一个重要的概念和工具，它有着广泛的应用。
本文将介绍一些常用的积分性质，并通过具体的题目解析来说明这些性质的应用。
一、定积分的性质1. 定积分的线性性质定积分具有线性性质，即对于任意实数a、b和函数f(x)、g(x)，有：∫[a,b] (af(x) + bg(x))dx = a∫[a,b] f(x)dx + b∫[a,b] g(x)dx例如，考虑函数f(x) = 2x^2 + 3x和g(x) = 4x - 1，求∫[0,1] (2f(x) - 3g(x))dx。
根据定积分的线性性质，可以将式子拆分为两个定积分的和：∫[0,1] (2f(x) - 3g(x))dx = 2∫[0,1] f(x)dx - 3∫[0,1] g(x)dx然后，分别计算∫[0,1] f(x)dx和∫[0,1] g(x)dx即可。
2. 定积分的区间可加性定积分具有区间可加性，即对于函数f(x)和任意实数c，有：∫[a,b] f(x)dx = ∫[a,c] f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx例如，考虑函数f(x) = x^2，求∫[0,2] f(x)d x。
根据定积分的区间可加性，可以将积分区间[0,2]拆分为[0,1]和[1,2]两个区间的积分之和：∫[0,2] f(x)dx = ∫[0,1] f(x)dx + ∫[1,2] f(x)dx然后，分别计算∫[0,1] f(x)dx和∫[1,2] f(x)dx即可。
二、不定积分的性质1. 不定积分的线性性质不定积分具有线性性质，即对于任意实数a、b和函数f(x)、g(x)，有：∫(af(x) + bg(x))dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx + C其中C为常数。
例如，考虑函数f(x) = 2x^2 + 3x和g(x) = 4x - 1，求∫(2f(x) - 3g(x))dx。
根据不定积分的线性性质，可以将式子拆分为两个不定积分的和：∫(2f(x) - 3g(x))dx = 2∫f(x)dx - 3∫g(x)dx + C然后，分别计算∫f(x)dx和∫g(x)dx，并加上常数C即可。
通用版2023高中数学定积分解题技巧总结
(每日一练)通用版2023高中数学定积分解题技巧总结单选题1、由曲线y 2=8x(y ≥0)，直线y =−x +6以及x 轴围成的封闭图形面积为（ ）A ．203B ．323C ．403D ．16 答案：C解析：根据题意作出图形，把所求阴影分成两部分，分别利用积分求面积和利用三角形面积公式求面积即可求解. 如图示，所求面积即为阴影部分的面积.由{y 2=8x(y ≥0)y =−x +6解得：{x =2y =4 ，即B (2,4). 所以面积S =∫√8x 20dx +12×4×4=√8×23x 32|02+8=163+8=403.故选：C.2、∫√16−x 240dx 等于（ ） A ．π4B ．πC ．2πD ．4π答案：D解析：利用定积分的几何意义将∫√16−x 2dx 40转化为求圆的面积问题即可. ∫√16−x 240dx 表示的是圆x 2+y 2=16的上半部分与直线x =0与x =4及x 轴围成的图形的面积,即圆x 2+y 2=16的面积的14,所以∫√16−x 2d x 40=4π, 故选：D.小提示：本题考查定积分的几何意义计算定积分，解题的关键在于讲定积分转化为几何意义，进而求解，是基础题..3、如图，抛物线的方程是y =x 2−1，则阴影部分的面积是（ ）A ．∫(x 2−1)dx 20B ．∫(x 2−1)dx 2C ．∫|x 2−1|dx 20D ．∫(x 2−1)dx 10−∫(x 2−1)dx 21答案：C解析：微积分基本定理的几何意义可得答案.由微积分基本定理的几何意义可得图中阴影部分的面积为∫(1−x 2)dx +∫(x 2−1)dx 2110 =∫|x 2−1|dx 20.故选：C小提示：本题考查了微积分基本定理的几何意义，属于基础题.解答题4、（1）求证：√3−√5<√6−√8；（2）画出由y =x −4，曲线y =√2x 以及x 轴围成的图形，用阴影部分表示并计算其面积S .（用中性笔画在答题卡上）答案：（1）证明见解析；（2）图形见解析，S =403.解析：（1）利用分析法证明；（2）作出图形，利用定积分求解.（1）要证√3−√5<√6−√8，只需证√3+√8<√6+√5，只需证11+2√24<11+2√30，只需证√24<√30，只需证24<30，显然成立，故原命题得证；（2）由y =x −4，曲线y =√2x 以及x 轴围成的图形，如图所示阴影部分：由图形知：S =∫√2xdx −12×4×480=√2×23x 32|80 −8=403. 5、设两抛物线y =−x 2+2x,y =x 2所围成的图形为M ，求：（1）M 的面积；（2）将M 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.答案：（1）13；（2）π3.解析：（1）先求出积分区间和被积函数，利用定积分的几何意义即可求出M 的面积；（2）根据题意，旋转体体积可以用定积分表示出来，求出定积分的值即求出体积.解：（1）联立y =−x 2+2x,y =x 2得：x 2=−x 2+2x ，解得x =0或x =1.故M 面积为∫(−x 2+2x −10x 2)dx =∫(−2x 2+2x)10dx =(−23x 3+x 2)|01=13； （2）由题意得：V =π∫(−x 2+2x −x 2)10dx =π∫(−2x 2+2x)10dx =π3.小提示：本题考查利用定积分求曲边图像的面积和简单几何体的体积，解题关键是找对被积函数和积分区间，准确利用公式计算，属于基础题.。
2023高中数学定积分题型总结及解题方法
(每日一练)2023高中数学定积分题型总结及解题方法单选题1、∫(2x +sinx )π20d x =（ ）A ．1−π24B ．π24−1C ．−π24−1D ．π24+1 答案：D解析：利用微积分基本定理求解.∫(2x +sinx )π20d x =(x 2−cosx )|0π2=π24+1.故选：D . 2、已知t >0，若∫(2x −3)dx =4t 0，则t =（ ）A ．−1B ．2C ．4D ．−1或4答案：C解析：先根据微积分基本定理得∫t 0(2x −3)dx =t 2−3t ，再解方程t 2−3t −4=0即可得答案. 解：因为∫t 0(2x −3)dx =(x 2−3x )|t 0=t 2−3t ， 所以t 2−3t −4=0，解得t =4或t =−1（舍去）.故选：C.本题考查微积分基本定理，是基础题.3、∫[√1−(x −1)2−x]d x 2=（ ）A ．π4−1B ．π4−2 C ．π2−1D ．π2−2 答案：D解析：根据定积分的几何意义求∫√1−(x −1)2d x 20，由微积分基本定理求∫x d x 20，即可求解.∫[√1−(x −1)2−x]d x 20=∫√1−(x −1)2d x 20−∫x d x 20，由y =√1−(x −1)2可得：(x −1)2+y 2=1 (y ≥0)表示以(1,0)为圆心，半径等于1 的上半圆，所以∫√1−(x −1)2d x 2的值为该圆面积的一半，所以∫√1−(x −1)2d x 20=π×12×12=π2，∫x d x 20=12x 2|02=12×22−0=2， 所以∫[√1−(x −1)2−x]d x 20=π2−2， 故选：D.4、若∫(2x +1x )dx a 1=3＋ln2，则a 的值是A ．6B ．4C ．3D ．2答案：D先由微积分基本定理求解等式左边的积分，然后用求得的结果等于3+ln2，则a 可求．∫(2x +1x )dx =∫2xdx +∫1x dx =x 2|a 1a 1a 1a 1+lnx|a 1=a 2−1+lna =3+ln2，解得a =2.故选D小提示：本题考查了定积分的求法，解答的关键是找出被积函数的原函数，属基本题．5、计算∫cosxdx π20的值为（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．π答案：C解析：利用微积分基本定理即可得答案.∫cosxdx π20=sin x |0π2=sin π2-sin 0=1,故选：C小提示：本题主要考查了微积分基本定理，属于基础题.。