第一讲实数
第一讲实数
第一讲 实数§考点归纳及典型例题：一、实数的分类与有关概念：1.实数的定义与分类；2.实数的大小比较；3.数轴；4.相反数、倒数、绝对值；5.无理数的估算 二、实数的运算：1.平方根与立方根；2.实数的混合运算 三、科学计数法与近似数： 1.科学记数法；2.近似数§例题讲解：例1．若a=-a ，则a ；若a=a1，则a ；若a =a ，则a ；若a =a ，则a . 例2．实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ． a c ＞bcB ． |a ﹣b|=a ﹣bC ． ﹣a ＜﹣b ＜cD ． ﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c例3．若a ，b 互为负倒数，c ，d 互为相反数，e 的绝对值为2，求c 2-d 2+（ab ）-1÷（1-2e+e 2）值.例4．设n 为正整数，且n ＜＜n+1，则n 的值为（ ） A ． 5B ． 6C ． 7D ． 8例5.下面是按一定规律排列的一列数：248163579--⋅⋅⋅⋅⋅⋅，，，，，那么第n 个数是___________．例6.计算(1)()()10221312315-++⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-+ (2) 2001( 3.14)tan 60π--++--例7. 未来三年，国家将投入8450亿元用于缓解群众“看病难、看病贵”的问题．将8450亿元用科学记数法表示为（ ） A ． 0.845×104亿元 B ． 8.45×103亿元 C ． 8.45×104亿元 D ． 84.5×102亿元§基础知识过关：1. 81的平方根是______ , -12的绝对值是_____ , 2-1=______ ,（-1）2008= ． 2. 某种零件，标明要求是φ=20±0.02 mm （φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是19.9 mm ，该零件 .（填“合格” 或“不合格”） 3. 下列各数中：－3，41，0，23，364，0.31，722，2π，2.161 161 161…，（－2 005）0是无理数的是___________________________．4．若0)1(32=++-n m ，则的值为 ．5.已知a b ，互为相反数，b c ，互为倒数，d 的绝对值等于3，试求2120049a b bc d d +++的值是 ．6. 2.40万精确到__________位，有效数字有__________个.7.若53+的小数部分是a ， 5-3的小数部分是b ，则a+b= ．8.，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是（ ）A. 0B. 2C. 4D. 8 9最接近的数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．510．若x 的相反数是3，│y │＝5，则x ＋y 的值为（ ） A ．－8 B ．2 C ．8或－2 D ．－8或2 11．已知|a|＝8，|b|＝2，|a －b|=b －a,则a+b 的值是（ ） A.10 B.－6 C.－6或－10 D.－1012．2010年5月27日，上海世博会参观人数达到37.7万人，37.7万用科学记数法表示应为（ ） A ． 0.377×l06B ．3.77×l05C ．3.77×l04D ．377×10313.计算：m n +12345314,3110,3128,3182,31244,+=+=+=+=+=L 200931+§拓展提升：例1.若y =x -3＋3-x ＋1，求（x ＋y ）x 的值例2．已知实数a 、b 、c 满足a +b +c ＝0，abc ＜0，x ＝++，则x 2019的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．32019D ．﹣32019例4．（1）数轴上表示2-和5-的两点之间的距离是 ．数轴上表示x 和2-的两点A 和B 之间的距离是 如果2=AB ，那么=x（2）当代数式++1x 2-x 取最小值时，相应的X 的取值范围是 ．§课堂练习：1. 已知有理数a 满足a a a =-+-20052004，求a -20042的值。
第1讲 实数及其有关概念
数和式班级___________姓名__________学号__________ 一、选择题1. 如果一个正数的平方根为2a ＋1和3a －11，则a ＝( )A ．±1B ．1C ．2D ．9 2. (－13)－1－4cos 30°＋|－12|的计算结果为( ) A ．－4 B ．4 C ．－3 D ．－23. 小红要购买珠子串成一条手链，黑色珠子每个a 元，白色珠子每个b 元，要串成如图所示的手链，小红购买珠子应该花费( ) A ．(3a ＋4b )元 B ．(4a ＋3b )元 C ．4(a ＋b )元 D ．3(a ＋b )元4.(2016·雅安)已知a 2＋3a ＝1，则代数式2a 2＋6a －1的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．35. (2015·天水)定义运算：a ⊗b ＝a (1－b )．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2⊗(－2)＝6；②a ⊗b ＝b ⊗a ；③若a ＋b ＝0，则(a ⊗a )＋(b ⊗b )＝2ab ；④若a ⊗b ＝0，则a ＝0或b ＝1，其中结论正确的序号是( )A ．①④B ．①③C ．②③④D ．①②④ 6. (2016·北京)如果a ＋b ＝2，那么代数式(a －b 2a )·a a －b的值是( )A ．2B ．－2 C.12 D. －127.在平面直角坐标系中，对于平面内任一点()a b ，，若规定以下三种变换：()()()()1313;f a b a b f -=-如①，=，．，，，()()()()1331;g a b b a g =如②，=，．，，，()()()()1313h a b a b h --=--如③，=，．，，，． 按照以上变换有：(())()()233232f g f -=-=，，，，那么()()53f h -，等于（ ）A ．()53--， B ．()53， C ．()53-， D ．()53-，8．计算的值是( ) .(A ) 1 (B ) 5 (C ) (D ) 59．当219941+=x 时，多项式20013)199419974(--x x 的值为( ) （A ）1； （B ）-1； （C ）22001（D ）-22001二、填空题1. 若实数m ，n 满足|m －2|＋(n －2014)2＝0，则m －1·n 2＝___________．2. 计算：(π－2015)0＋(－12)－3－2cos 60°＝__________．3. 已知x 2＋x －5＝0，则代数式(x －1)2－x (x －3)＋(x ＋2)(x －2)的值为_____________．4. (2016·滨州)观察下列式子：1×3＋1＝22; 7×9＋1＝82; 25×27＋1＝262; 79×81＋1＝802； …可猜想第2016个式子为________________________．5. (2016·雅安)P 为正整数，现规定P ！＝P (P －1)(P －2)×…×2×1，若m ！＝24，则正整数m ＝______________．6. 刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a ，b ）进入其中时，会得到一个新的实数： a 2+b －1，例如把（3，－2）放入其中，就会得到32+（－2）－1=6.现将实数对（m ，－2m ）放入其中，得到实数2，则m =______．7. (2015·黔西南)已知x ＝5－12，则x 2＋x ＋1＝______________． 8.,0141258422=+-++a b b a 则=-b a 3271________ 三、解答题1. (2016·哈尔滨)先化简，再求代数式(2a ＋1－2a －3a 2－1)÷1a ＋1的值，其中a ＝2sin 60°＋tan 45°.2. 利民商店出售一种原价为a 的商品，有如下几种方案：(1)先提价10%，再降价10%；(2)先降价10%，再提价10%；(3)先提价20%，再降价20%.问用这三种方案调价的结果是否一样？最后是不是都恢复了原价？3. 已知a ，b 为有理数，m ，n 分别表示5－7的整数部分和小数部分，且amn ＋bn 2＝1，求2a ＋b 的值．4. 求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22016的值．5. (2016·重庆A)我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p×q(p ，q 是正整数，且p≤q)，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q 是n 的最佳分解．并规定：F(n)＝pq .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所有3×4是12的最佳分解，所以F(12)＝34.(1)如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数． 求证：对任意一个完全平方数m ，总有F(m)＝1;(2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y(1≤x≤y≤9，x ，y 为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F(t)的最大值．6. 如图所示，在矩形ABCD 中，AB =12，AC =20，两条对角线相交于点O . 以OB 、OC 为邻边作第1个平行四边形OBB 1C ，对角线相交于点A 1；再以A 1B 1、A 1C 为邻边作第2个平行四边形A 1B 1C 1C ，对角线相交于点O 1；再以O 1B 1、O 1C 1为邻边作第3个平行四边形O 1B 1B 2C 1……依次类推. （1）求矩形ABCD 的面积；（2）求第1个平行四边形OBB 1C 、第2个平行四边 形A 1B 1C 1C 和第6个平行四边形的面积.O1 ABD2A 2B 2A 1B 1O 16．(2015·重庆A)如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…都是“和谐数”．(1)请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由；(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x(1≤x≤4，x为自然数)，十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．21．利民商店出售一种原价为a的商品，有如下几种方案：(1)先提价10%，再降价10%；(2)先降价10%，再提价10%；(3)先提价20%，再降价20%.问用这三种方案调价的结果是否一样？最后是不是都恢复了原价？解：(1)a(1＋10%)(1－10%)＝0.99a；(2)a(1－10%)(1＋10%)＝0.99a；(3)a (1＋20%)(1－20%)＝0.96a ，∴调价结果不都一样，只有(1)(2)相同，最后都没有恢复原价15．已知a ，b 为有理数，m ，n 分别表示5－7的整数部分和小数部分，且amn ＋bn 2＝1，求2a ＋b 的值． (导学号 02052050)解：∵4＜7＜9，即2＜7＜3，∴2＜5－7＜3，∴m ＝2，n ＝(5－7)－2＝3－7，将m ，n 代入amn ＋bn 2＝1，得a ×2×(3－7)＋b ×(3－7)2＝1，(6－27)a ＋(16－67)b －1＝0，(6a ＋16b －1)＋(－2a －6b )7＝0，∵a ，b 为有理数，∴⎩⎪⎨⎪⎧6a ＋16b －1＝0－2a －6b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32b ＝－12，∴2a ＋b ＝2×32＋(－12)＝3－12＝5216．(2016·重庆A )我们知道，任意一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p ×q (p ，q 是正整数，且p ≤q )，在n 的所有这种分解中，如果p ，q 两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解．并规定：F (n )＝pq .例如12可以分解成1×12，2×6或3×4，因为12－1＞6－2＞4－3，所有3×4是12的最佳分解，所以F (12)＝34.(1)如果一个正整数a 是另外一个正整数b 的平方，我们称正整数a 是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m ，总有F (m )＝1; (2)如果一个两位正整数t ，t ＝10x ＋y (1≤x ≤y ≤9，x ，y 为自然数)，交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t 为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F (t )的最大值．(导学号 02052019)(1)证明：设m ＝n 2＝n ×n ，其中m 和n 均为正整数， ∴F (m )＝nn ＝1；(2)解：由题意得：10y ＋x －(10x ＋y )＝18， 即：y ＝x ＋2，∴t 可能的值为13，24，35，46，57，68，79，当t ＝13时，F (t )＝113，当t ＝24时，F (t )＝23，当t ＝35时，F (t )＝57，当t ＝46时，F (t )＝223，当t ＝57时，F (t )＝319，当t ＝68时，F (t )＝417，当t ＝79时，F (t )＝179， ∴F (t )的最大值为5716．(2015·重庆A )如果一个自然数各数位上的数字从最高位到个位依次排出的一串数字与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是6，4，7，4，6，从个位到最高位排出的一串数字也是：6，4，7，4，6，所以64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…都是“和谐数”．(1)请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位数“和谐数”能否被11整除，并说明理由；(2)已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x (1≤x ≤4，x 为自然数)，十位上的数字为y ，求y 与x 的函数关系式． (导学号 02052010)解：(1)四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666(答案不唯一)；任意一个四位“和谐数”都能被11整除，理由如下：设任意四位数“和谐数”形式为：abba (a ，b 为自然数)，则a ×103＋b ×102＋b ×10＋a ＝1001a ＋110b ，∵1001a ＋110b 11＝91a ＋10b ，∴四位数“和谐数”abba 能被11整数；∴任意四位数“和谐数”都可以被11整除；(2)设能被11整除的三位“和谐数”为：xyx ，则x ×102＋y ×10＋x ＝101x ＋10y ，101x ＋10y11＝9x＋y ＋2x －y 11，∵1≤x ≤4，101x ＋10y 能被11整除，∴2x －y ＝0，∴y ＝2x (1≤x ≤4)(32016－2)×32016＋1＝(32016－1)2。
中考第一轮复习--第一章数与式
第一章 数与式第一讲 实数【基础知识回顾】 一、实数的分类： 1、按实数的定义分类： 实数 有限小数或无限循环数2、按实数的正负分类：实数【名师提醒：1、正确理解实数的分类。
如：2π是 数，不是 数，722是 数，不是 数。
2、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数】二、实数的基本概念和性质1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。
2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，a 、b 互为相反数⇔3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，a 、b 互为倒数⇔4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离开 的距离叫做这个数的绝对值。
a =因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 、 。
【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】三、科学记数法、近似数和有效数字。
1、科学记数法：把一个较大或较小的数写成 的形式叫做科学记数法。
其中a 的取值范围是 。
2、近似数和有效数字：一般的，将一个数四舍五入后的到的数称为这个数的近似数，这时，从 数字起到近似数的最后一位止，中间所有的数字都叫这个数的有效数字。
【名师提醒：1、科学记数法不仅可以表示较大的数，也可以表示较小的数，其中a 的取值⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ 正无理数 无理数 负分数 零 正整数 整数 有理数 无限不循环小数 ⎧⎨⎩⎧⎨⎩正数正无理数零 负有理数负数 （a ＞0） （a ＜0） 0 （a=0）范围一样，n 的取值不同，当表示较大数时，n 的值是原整数数位减一，表示较小的数时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数（含整数数位上的零）。
2022年中考数学分类复习强化练 -第一讲 实数(含答案)
第一讲 实 数专项一 实数及有关概念知识清单1. 实数的分类⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎧⎫⎨⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正整数负整数实数分数有限小数或无限循环小数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 2.规定了_____、_____和_____的直线叫做数轴.实数与数轴上的点具有______的关系．3.相反数、绝对值、倒数定 义 性 质 相反数 只有______不同的两个数互为相反数，0的相反数是______若a 与b 互为相反数，则a+b=______ 绝对值 数轴上表示数a 的点到原点的______叫做数a 的绝对值 |a|=(0)00(0)a a a a a ⎧⎪=⎨⎪-⎩＞（）＜ 倒数 乘积为______的两个数互为倒数.0是唯一没有倒数的数，倒数等于它本身的数是_____若a 与b 互为倒数，则ab=1 考点例析例1 （2021•模考 福建）2020年6月9日，我国全海深自主遥控潜水器“海斗一号”在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录，最大下潜深度达10 907米．假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准，记为 0米，高于马里亚纳海沟所在海域的海平面100米的某地的高度记为+100米，根据题意，“海斗一号”下潜至最大深度10 907米处，该处的高度可记为 米．分析：在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示，理解了“正”与“负”的意义后再根据题意作答即可．解：例2 （2021•模考 郴州）如图，表示互为相反数的两个点是（ ）A ．点A 与点B B ．点A 与点DC ．点C 与点BD ．点C 与点D分析：根据只有符号不同的两个数互为相反数可得答案．解：例3 （2021•模考 武威）下列实数是无理数的是（ ）A ．－2B ．16C ．9D ．11 分析：根据无理数的定义逐一分析.解：归纳：判断一个实数是不是无理数，关键是掌握几种常见的无理数：（1）含根号型，如322，等开方开不尽的数；⑵三角函数型：如sin60°，tan30°等；⑶特定结构型，如0.101 001 000 1…（每相邻两个1之间依次多一个0）；⑷与π有关的数：如4π，π-1等．（注：在判断无理数时，不能只根据某些无理数的形式来判断，关键要看化简后的结果，如题中9含根号，但它是有理数）跟踪训练1．（2021•模考 无锡）－7的倒数是（ ）A ．7B ．17C ．－17D ．－7 2.（2021•模考 鄂尔多斯）实数－3的绝对值是（ ）A ．3B ．－33C ．－3D ．333．（2021•模考 天水）下列四个实数中，是负数的是（ ）A ．－（－3） B. （－2）2 C. |－4| D.－54．（2021•模考 烟台）实数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示，那么这三个数中绝对值最大的是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．无法确定第4题图5．（2021•模考 株洲）一实验室检测A ，B ，C ，D 四个元件的质量（单位：克），超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，结果如图所示，其中最接近标准质量的元件是（ ）A B C D专项二 科学记数法知识清单科学记数法就是把一个数写成 的形式，其中a 的范围是 ．当表示一个大于10 的数时，n 的值等于原数的整数位数减去1；当表示一个大于0小于1的数时，n 是负整数，且其绝对值等于原数左起第一个非零数前所有零的个数（包括小数点前的零）.考点例析例1 （2021•模考 成都）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心成功发射并顺利进入预定轨道，它的稳定运行标志着全球四大卫星导航系统之一的中国北斗卫星导航系统全面建成，该卫星距离地面约36 000千米，将数据36 000用科学记数法表示为（）A．3.6×103 B．3.6×104 C．3.6×105 D．36×104分析：根据科学记数法的表示方法表示即可.解：例2 （2021•模考滨州）冠状病毒的直径约为80～120纳米，1纳米=1.0×10-9米，若用科学记数法表示110纳米，则正确的结果是（）A．1.1×10-9米 B．1.1×10-8米 C．1.1×10-7米 D．1.1×10-6米分析：先将110纳米转化成110×10-9米，再根据科学记数法的表示方法移动小数点即可.解：归纳：对于含有计数（量）单位的数用科学记数法表示时，应先把计数（量）单位转化为数字，然后再表示为科学记数法的形式.常见的计数单位：1千可以表示为103 ，1万可以表示为104 ，1亿可以表示为108 ；常考的计量单位：1毫米可以表示为10-3 米，1纳米可以表示为10-9 米等.跟踪训练1．（2021•模考长沙）为了将“新冠”疫情对国民经济的影响降至最低，中国政府采取积极的财政税收政策，切实减轻企业负担，以促进我国进出口企业平稳发展．据国家统计局相关数据显示，2020年1月至5月，全国累计办理出口退税632 400 000 000元，其中632 400 000 000用科学记数法表示为（）A．6.324×1011 B．6.324×1010 C．632.4×109 D．0.6324×10122．（2021•模考江西）教育部近日发布了2019年全国教育经费执行情况统计快报．经初步统计，2019年全国教育经费总投入为50 175亿元，比上年增长8.74%．将50 175亿用科学记数法表示为（）A．5.017 5×1011 B．5.017 5×1012 C．0.501 75×1013 D．0.50 175×10143．（2021•模考苏州）某种芯片每个探针单元的面积为0.000 001 64 cm²，0.000 001 64用科学记数法可表示为（）A．1.64×10-5 B．1.64×10-6 C．16.4×10-7 D．0.164×10-54．（2021•模考威海）人民日报讯，2020年6月23日，中国成功发射北斗系统第55颗导航卫星．至此中国提前半年全面完成北斗三号全球卫星导航系统星座部署．北斗三号卫星上配置的新一代国产原子钟，使北斗导航系统授时精度达到了十亿分之一秒．十亿分之一用科学记数法可以表示为（）A．10×10-10 B．1×10-9 C．0.1×10-8 D．1×109专项三无理数的估算知识清单无理数的估算，最常见的就是对带根号的无理数的估算，通常用“夹逼法”，即将被开方数限定在两个连续的平方数之间，然后确定无理数的整数部分和小数部分.考点例析例1（2021•模考）A．3和4之间B．4和5之间C．5和6之间D．6和7之间，开方即可求得答案.解：例2 （2021•模考南通）若m＜＜m+1，且m为整数，则m＝．分析：m的值．解：跟踪训练1.（2021•模考 黔东南州）实数 ）A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间2.（2021•模考 临沂）设a +2，则（ ）A ．2＜a ＜3B ．3＜a ＜4C ．4＜a ＜5D ．5＜a ＜63.（2021•模考 河南）请写出一个大于1且小于2的无理数 ．4.（2021•模考 最接近的自然数是 ．专项四 实数的大小比较知识清单实数的大小比较有以下几种常用方法：（1）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的 ；（2）正数 零，负数 零，正数 负数；两个负数，绝对值大的 ；（3）作差比较法：若a-b>0，则a>b ；若a-b=0，则a=b ；若a-b<0，则a<b ；（4）平方比较法：,则a>b （a ＞0，b ＞0）.考点例析例1 （2021•模考 聊城）在实数－10，41中，最小的实数是（ ）A ．－1B ．41 C ．0 D 分析：思路一：把这几个数在数轴上表示出来，根据它们在数轴上的位置来比较大小；思路二：根据解：例2 （2021•模考 菏泽）下列各数中，绝对值最小的数是（ ）A ．﹣5B ．12C ．﹣1 D分析：先求出四个数的绝对值，再进行比较即可得出结果．解：归纳：对含有无理数的实数在比较其大小时，可先估算出无理数的近似值，再和其他的有理数比较大小．跟踪训练1．（2021•模考 内江）下列四个数中，最小的数是（ ）A. 0B. 12020C. 5D. －12．（2021•模考 天门）下列各数中，比－2小的数是（ ）A ．0B ．－3C ．－1D ．|－0.6|3.（2021•模考 大庆）在﹣1，0 ）A ．﹣1B ．0C ．πD 4.（2021•模考 株洲）下列不等式错误的是（ ）A ．﹣2＜﹣1B C ．52．13＞0.3专项五 平方根、立方根知识清单1. 平方根：若一个数的____等于a ，则这个数叫做a 的平方根.一个正数有___个平方根，它们____，0的平方根是_____，负数____平方根.一个正数____的平方根，叫做它的算术平方根，0的算术平方根是 .2.立方根：若一个数的____等于a ，则这个数叫做a 的立方根.正数有一个____的立方根；负数有一个____的立方根；0的立方根是____.3.开平方：求一个非负数a 的______的运算，叫做开平方.4.开立方：求一个数a 的______的运算，叫做开立方.考点例析例1 （2021•模考 烟台）4的平方根是（ ）A ．±2B ．－2C ．2D 分析：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例2 （2021•模考 常州）8的立方根是（ ）A ．B ．±C ．2D ．±2分析：根据立方根的定义求解即可.解：跟踪训练1.（2021•模考 0，则x 的值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．22.（2021•模考 金昌）若一个正方形的面积是12，则它的边长是（ ）A ．B ．3C ．D ．43.（2021•模考 攀枝花）下列说法中正确的是（ ）A ．0.09的平方根是0.3B 4C ．0的立方根是0D ．1的立方根是±14．（2021•模考 恩施州）9的算术平方根是 ．5．（2021•模考 徐州）7的平方根是 ．6．（2021•模考 的结果是 ．专项六 实数的运算知识清单1. 实数的运算法则（1）加法：同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值；一个数同零相加仍得这个数.（2）减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数.（3）乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘，积为零.（4）除法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不为零的数都得零；除以任何一个不为零的数等于乘以这个数的倒数.2．求______________的运算，叫做乘方，乘方可以转化为乘法运算.3．用字母表示运算律：交换律：a+b=________，ab=________；结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）_________，（ab ）c=________；乘法对加法的分配律m （a+b+c ）=_________．4．实数的运算顺序：先算_____，再算______，最后算______；有括号的要先算_____；同级运算，要按________的顺序依次进行计算．5．若实数0≠a ，m 为整数，则0a =______，m a -=______．考点例析例1 （2021•模考 铜仁）计算：2÷12﹣（﹣1）20200． 分析：先根据除法法则、乘方的意义、算术平方根的定义、零指数幂的运算公式分别求得2÷12=4，（﹣1）2020=1=20=1，然后再进行实数的运算．解：归纳：在进行实数的运算时，一定要养成良好的习惯：运算前要认真审题，确定顺序（包括使用简便方法）；运算过程中，要耐心细致；得出结果后，要认真检查，谨防出错.要特别注意a 0=1（a ≠0），（-1）2n+1=-1（n 是整数），（-1）2n =1（n 是整数）.例2 （2021•模考 ＝0，则（a+b ）2020＝ ．分析：由非负数的意义，得a-2=0，b+1=0，求出a ，b 的值，代入计算即可．解：归纳：对非负数的考查是中考的一个热点，一个数的绝对值a ，一个非负数的算术平方根()0≥a a ，一个数的偶数次方n a 2是初中阶段常见的非负数.在解题时要正确理解并熟练应用非负数的性质：非负数有最小值（为零），但无最大值；如果几个非负数的和等于零，那么每一个非负数都等于零．例3 （2021•模考 娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（ ）A ．135B ．153C ．170D ．189分析：由前三个正方形可知规律为：左上方的数等于序号数，左下方的数比左上方的数大1，右上方的数是左下方数的2倍，右下方的数为左下方数与右上方数的乘积加上序号数，由此即可求得答案． 归纳：实数问题中的找规律问题是中考的常考内容，解题的关键是通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后进行归纳总结，得出一般的结论，从而将问题解决. 跟踪训练 1．（2021•模考 凉山州）－12020＝（ ）A ．1B ．－1C ．2020D ．－20202．（2021•模考 咸宁）早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年．下列各式计算结果为负数的是（ ）A ．3+（－2）B ．3－（－2）C ．3×（－2）D ．（－3）÷（－2）3.（2021•模考 雅安）已知2a -+|b ﹣2a|＝0，则a+2b 的值是（ ）A ．4B ．6C ．8D ．104．（2021•模考 连云港）我市某天的最高气温是4℃，最低气温是-1℃，则这天的日温差是 ℃．5．（2021•模考 常州）计算：|－2|＋（π－1）0＝ ．6．（2021•模考 随州）（－1）2＋9＝ ．7．（2021•模考 张家界）观察下面的变化规律：213⨯＝1－13，235⨯＝13－15，257⨯＝15－17，279⨯＝17－19，…根据上面的规律计算：213⨯+235⨯+257⨯+…+220192021⨯＝ ． 8．（2021•模考 宜宾）计算：()()1020*******π-⎛⎫----+- ⎪⎝⎭． 专项七 数轴与数形结合知识清单数和形是数学研究的两个方面，数形结合实质就是把问题中的数量关系转化为图形的性质，或者把图形的性质转化为数量关系来解决问题，这样可以使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化. 考点例析例1 （2021•模考 北京）实数a 在数轴上对应点的位置如图1所示，若实数b 满足－a ＜b ＜a ，则b 的值可以是（ ）A ．2B ．－1C ．－2D ．－3图1分析：根据数轴可得1＜a ＜2，所以-2＜-a ＜-1.如图1，在数轴上找出-a 的对应点，即可确定符合条件的b 的值．解：例2 （2021•模考 铜仁）实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图2所示，下列结论正确的是（ ）A．a＞b B．﹣a＜b C．a＞﹣b D．﹣a＞b图2分析：先由数轴，得-2＜a＜-1，0＜b＜1，所以1＜-a＜2，-1＜-b＜0，再根据实数的大小比较方法进行比较即可求解．解：归纳：实数与数轴上的点具有一一对应的关系，把数和点对应起来，也就是说把“数”和“形”结合起来，二者相互补充，相辅相成，把许多复杂问题转化为简单的问题.跟踪训练1.（2021•模考盐城）实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，则（）A．a＞0 B．a＞b C．a＜b D．|a|＜|b|第1题图2．（2021•模考福建）如图，数轴上两点M，N所对应的实数分别为m，n，则m－n的结果可能是（）A．－1 B．1 C．2 D．3第2题图3.（2021•模考枣庄）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列判断正确的是（）A．|a|＜1 B．ab＞0 C．a+b＞0 D．1﹣a＞1第3题图参考答案专项一实数及有关概念例1 －10 907 例2 B 例3 D1．C 2．A 3．D 4．A 5．D专项二科学记数法例1 B 例2 C1．A 2．B 3．B 4．B专项三无理数的估算例1 B 例2 51．C 2．C 3．2专项四实数的大小比较例1 D 例2 B1．D 2．B 3．C 4．C专项五平方根、立方根例1 A 例2 C1．C 2．A 3．C 4．3 5 6．3专项六实数的运算例1 0．例2 1 例3 C1．B 2．C 3.D 4．5 5．3 6．4 7．202020218．1.专项七数轴与数形结合例1 B 例2 D1．C 2．C 3．D。
湘教版解读-第一讲实数的有关概念及运算
仓 猛 江苏省盐城市射阳县陈南初级中学 手机：XX邮编：224361 电子邮箱：XX第一讲 实数的有关概念及运算【课改热点】◆中考要求◆1．了解实数分类及其有关的概念，2．掌握实数各种运算，灵活运用运算律、公式进行计算和化简，体验实数的实际意义，探索数与式的规律。
◆命题趋势◆数与式（即实数与代数式）是初中代数的重要内容之一，又是最基本的知识，在中考中所涉及的考点大多是大都是基础知识和基本技能，考查的分值平均约占到16％左右,主要题型是填空、选择、计算、阅读理解、归纳猜想等。
试题反映出的考点和注意点具体有：1．实数有关概念的理解和认识；2．实数有关计算、化简和求值；3．探索数、形中所蕴涵的关系和规律，考查合情猜想能力；4．以实际问题为背景，体会数学与现实生活的紧密联系，增强数学应用意识，提高运用代数知识与方法解决问题的能力。
考点诠释 典例精析考点一： 实数的分类：知识点：有理数和无理数统称为实数。
有理数分为正有理数、0和负有理数。
例1 在“(5)，3.14，3(3)，2(3)-，sin 60，cos 60”这六个数中，无理数的个数有 （ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个【解析】 直接运用概念进行辨析。
3.14是有理数，又(5)1=，3(3)33=，2211(3)3(3)-==，3sin 602=，1cos602=，所以3(3)， sin 60是无理数，(5)，2(3)-，cos 60是有理数。
【解答】 选A 。
方法规律 判断一个数是有理数还是无理数，关键是正确理解它们的定义，如“无理数”它的本质属性是“无限不循环小数”不要被实数的表面所迷惑，要看它的实质。
【变式练习1】1．（2008年黄石）在实数23-，0，2，π，9中，无理数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个考点2 实数的有关概念知识点：1．数轴：我们把规定了原点、正方向和均匀的单位长度的一条直线叫数轴．原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．数轴上的点和实数是一一对应的．2．相反数：实数a 的相反数记作－a ，零的相反数是零．互为相反数的两个数的和为零，反过来，和为零的两个数互为相反数．互为相反数的两个数所表示的点在数轴上关于原点对称．3．倒数：积为1的两个实数互为倒数，零没有倒数．4．绝对值：一个数a 的绝对值记作a ，非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数． 即：(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩。
初中奥数-专题一(实数)
专题一 实数第一讲 数的整除（一）一、内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征能被7整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。
如 1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征：①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如 1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）二、例题例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。
求x,y例2己知五位数x 1234能被12整除，求X例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数三、练习1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296987能被3整除，那么a=_______________2若四位数a12X能被11整除，那么X＝__________-3若五位数3435m能被25整除4当m=_________时，59610能被7整除5当n=__________时，n6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。
10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？1234能被15整除，试求A的值。
第一讲 实数辅导讲义
重点考点例析考点一：无理数的识别。
例1 （2012•六盘水）实数312,,,8,cos 45,0.323o &&中是无理数的个数有（ ）个．A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 点评：此题考查了无理数的定义，属于基础题，关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数。
对应训练1．（2012•盐城）下面四个实数中，是无理数的为（ ）A ．0B ．3C ．﹣2D ．27考点二、实数的有关概念。
例2 （2012•乐山）如果规定收入为正，支出为负．收入500 元记作500元，那么支出237元应记作（ ）A ．﹣500元B ． ﹣237元C ． 237元D ． 500元点评： 此题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．例3 （2012•遵义）﹣（﹣2）的值是（ ）A ．﹣2B ． 2C ． ±2D ． 4点评： 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．例4 （2012•扬州）﹣3的绝对值是（ ）A ．3B ． ﹣3C ． ﹣3D ．点评： 此题主要考查了绝对值的定义，规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．例5 （2012•黄石）13-的倒数是（ ） A ．13 B ． 3 C ． ﹣3 D ．13- 点评： 此题考查倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．例6 （2012•怀化）64的立方根是（ ）A ．4B ． ±4C ． 8D ． ±8点评： 此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．例7 （2012•荆门）若29x y -+与|3|x y --互为相反数，则x+y 的值为（ ）A ．3B ． 9C ． 12D ． 27点评： 本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0．对应训练2．（2012•丽水）如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作（ ）A ．﹣3℃B ． ﹣2℃C ． +3℃D ． +2℃3．（2012•张家界）﹣2012的相反数是（ ）A ．﹣2012B ． 2012C ．12012-D ．120124．（2012•铜仁地区）|﹣2012|= ．5．（2012•常德）若a 与5互为倒数，则a=（ ）A ．15 B ． 5 C ． ﹣5 D ．156．（2011•株洲）8的立方根是（ ）A ．2B ． ﹣2C ． 3D ． 4 7．（2012•广东）若x ，y 为实数，且满足|x ﹣3|+=0，则（）2012的值是 ．考点三、实数与数轴。
浙江省2020届中考一轮复习浙教版数学课件：第1讲 实数及其运算(共39张PPT)
点拨
解
答案
(2)在一列数：a1，a2，a3，…，an中，a1＝3，a2＝7，从第三个数开始， 每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2017 个数是( B )
A.1
B.3
C.7
D.9
解 依题意得：a1＝3，a2＝7，a3＝1，a4＝7，a5＝7，a6＝9，a7＝3， a8＝7；周期为6； ∵2017÷6＝336…1， ∴a2017＝a1＝3.
3. 零指数幂，负整数指数幂
(1)任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a0＝_1__(a≠0)．
(2)任何不等于零的数的－p次幂，等于这个数p次幂的倒数，即a－p
＝
1 ap
(a≠0，p为正整数)．
4. 实数的大小比较 (1)代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个 正数，绝对值大的数大；两个负数，绝对值大的数反而小． (2)数轴比较法：将两个实数分别表示在数轴上，右边的数总比左边的 数大． (3)差值比较法：设a，b是任意两个实数，则a－b＞0⇔a＞b；a－b＜ 0(4⇔)商a＜值b比；较a－法b：＝设0⇔a，a＝b b是. 两个正数，则：ab＞1⇔a＞b；ab＝1⇔a＝b；ab＜ 1⇔a＜b. 在具体解题时，视题目的情况灵活选择最优方法．
解
题型四 科学计数法
自主演练
1.据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第
一，其运算速度达到了每秒338 600 000亿次，数字338 600 000用科学
记数法可简洁表示为( A )
A.3.386×108
B.0.3386×109
C.33.86×107
D.3.386×109
答案
2.近似数5.0×102精确到( C )
(中考复习)第1讲 实数的有关概念 公开课获奖课件
对接点一：有理数与无理数
常考角度：1.实数的分类，无理数的定义； 2．算术平方根、零指数、负整数指数的直接计算； 3．特殊角的三角函数值．
【例题 1】 (2013·湖州)实数π ，15，0，－1 中，无理数
是
()
A．π
1 B.5
Hale Waihona Puke C．0D．－1解析 根据常见的无理数的三种形式判断，只有π
是无理数．
－1，∴a2 013＝(－1)2 013＝－1.
答案 B
对接点三：科学记数法、近似数与有效数字
常考角度：1.用科学记数法表示一个数及单位换算；
2．根据要求取近似数和保留有效数字；
3．近似数精确到的位数．
【例题3】 (2013·嘉兴)据统计，1959年南湖革命纪念馆成
立以来，约有2 500万人次参观了南湖红船(中共一大会
－1 在 3 和 4 之间．
答案 C
【名师课堂】
1．两边逼近法：用能开的尽方的两个正数的算术平方根逼 近：如(1) 9＜ 13＜ 16，即 3＜ 13＜4；(2) 2.42＜ 6＜
2.52，2.4＜ 6＜2.5. 2．要特别注意算术平方根和平方根的区别和联系．
【预测4】 实数－27的立方根是____________． 解析 ∵(－3)3＝－27，∴－27的立方根是－3. 答案 －3
第一板块 基础知识梳理
第一部分 数与式 第一讲 实数的有关概念
考纲要求
1.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数； b 2.理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数、 b
倒数和绝对值(绝对值符号内不含字母)； 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点的 a
一一对应关系； 4.了解平方根、算术平方根、立方根的概念；知道开方 a
2013版中考总复习数学(人教版 全国通用)基础讲练 第1讲 实数(含答案点拨)
第一单元数与式第1讲实数考纲要求命题趋势1．理解有理数、无理数和实数的概念，会用数轴上的点表示有理数．2．借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求一个数的相反数、倒数与绝对值．3．理解平方根、算术平方根、立方根的概念，会求一个数的算术平方根、平方根、立方根．4．理解科学记数法、近似数与有效数字的概念，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值，能正确识别一个数的有效数字的个数，会用科学记数法表示一个数．5．熟练掌握实数的运算，会用各种方法比较两个实数的大小.实数是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题和简单的计算题的形式出现，主要考查基本概念、基本技能以及基本的数学思想方法．另外，命题者也会利用分析归纳、总结规律等题型考查考生发现问题、解决问题的能力.知识梳理一、实数的分类实数⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数⎩⎪⎨⎪⎧零负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧正分数负分数有限小数或无限循环小数无理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫负无理数无限不循环小数二、实数的有关概念及性质1．数轴(1)规定了______、________、____________的直线叫做数轴；(2)实数与数轴上的点是一一对应的．2．相反数(1)实数a的相反数是____，零的相反数是零；(2)a与b互为相反数⇔a＋b＝____.3．倒数(1)实数a(a≠0)的倒数是____；(2)a与b互为倒数⇔______.4．绝对值(1)数轴上表示数a的点与原点的______，叫做数a的绝对值，记作|a|.(2)|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧(a >0)， (a ＝0)， (a <0).5．平方根、算术平方根、立方根(1)平方根①定义：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个数x 叫做a 的平方根(也叫二次方根)，数a 的平方根记作______．②一个正数有两个平方根，它们互为________；0的平方根是0；负数没有平方根． (2)算术平方根①如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，a 的算术平方根记作____．零的算术平方根是零，即0＝0.②算术平方根都是非负数，即a ≥0(a ≥0)．③(a )2＝a (a ≥0)，a 2＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0).(3)立方根①定义：如果一个数x 的立方等于a ，即x 3＝a ，那么这个数x 叫做a 的立方根(也叫三次方根)，数a 的立方根记作______．②任何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号相同． 6．科学记数法、近似数、有效数字 (1)科学记数法把一个数N 表示成______(1≤a ＜10，n 是整数)的形式叫做科学记数法．当N ≥1时，n 等于原数N 的整数位数减1；当N ＜1时，n 是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)．(2)近似数与有效数字一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从______第1个不为0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．三、非负数的性质 1．常见的三种非负数|a |≥0，a 2≥0，a ≥0(a ≥0)． 2．非负数的性质(1)非负数的最小值是零；(2)任意几个非负数的和仍为非负数；(3)几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0. 四、实数的运算 1．运算律(1)加法交换律：a ＋b ＝______.(2)加法结合律：(a ＋b )＋c ＝________. (3)乘法交换律：ab ＝____.(4)乘法结合律：(ab )c ＝______.(5)乘法分配律：a (b ＋c )＝__________. 2．运算顺序(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减；(2)同级运算，按照从____至____的顺序进行；(3)如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．3．零指数幂和负整数指数幂(1)零指数幂的意义为：a 0＝____(a ≠0)；(2)负整数指数幂的意义为：a －p ＝______(a ≠0，p 为正整数)． 五、实数的大小比较 1．实数的大小关系在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数____．正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小． 2．作差比较法(1)a －b ＞0⇔a ＞b ；(2)a －b ＝0⇔a ＝b ；(3)a －b ＜0⇔a ＜b . 3．倒数比较法 若1a ＞1b ，a ＞0，b ＞0，则a ＜b . 4．平方法因为由a ＞b ＞0，可得a ＞b ，所以我们可以把a 与b 的大小问题转化成比较a 和b 的大小问题．(提示：本书[知识梳理]栏目答案见第122～123页) 自主测试1．－2的倒数是( )A ．－12B ．.12C ．－2D ．22．－2的绝对值等于( )A ．2B ．－2C ．12D ．－123．下列运算正确的是( )A ．－|－3|＝3B ．⎝⎛⎭⎫13－1＝－3 C ．9＝±3 D ．3－27＝－34．2012年世界水日主题是“水与粮食安全”．若每人每天浪费水0.32 L ，那么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为( )A ．3.2×107 LB ．3.2×106 LC ．3.2×105 LD ．3.2×104 L5．已知实数m ，n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是( )A ．m ＞0B ．n ＜0C ．mn ＜0D ．m －n ＞0 6．计算：|－5|＋16－32.考点一、实数的分类【例1】四个数－5，－0.1，12，3中为无理数的是( )A ．－5B ．－0.1C ．12D ． 3解析：因为－5是整数属于有理数，－0.1是有限小数属于有理数，12是分数属于有理数，3开不尽方是无理数，故选D. 答案：D方法总结 一个数是不是无理数，应先计算或者化简再判断．有理数都可以化成分数的形式．常见的无理数有四种形式：(1)含有π的式子；(2)根号内含开方开不尽的式子；(3)无限且不循环的小数；(4)某些三角函数式．触类旁通1 在实数5，37，2，4中，无理数是( )A ．5B ．37C ． 2D ． 4考点二、相反数、倒数、绝对值与数轴【例2】(1)－15的倒数是__________；(2)(－3)2的相反数是( )A ．6B ．－6C ．9D ．－9(3)实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简|a ＋b |＋(b －a )2＝__________.解析：(1)－15的倒数为1－15＝－5；(2)因为(－3)2＝9,9的相反数是－9，故选D ；(3)本题考查了绝对值，平方根及数轴的有关知识． 由图可知，a ＜0，b ＞0，|a |＞|b |，所以a ＋b ＜0，b －a ＞0，原式＝－a －b ＋b －a ＝－2a . 答案：(1)－5 (2)D (3)－2a方法总结 1．求一个数的相反数，直接在这个数的前面加上负号，有时需要化简得出． 2．解有关绝对值和数轴的问题时常用到字母表示数的思想、分类讨论思想和数形结合思想．3．相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是0和正数(即非负数)；倒数是它本身的数是±1.触类旁通2 下列各数中，相反数等于5的数是( ) A ．－5 B ．5C ．－15D ．15考点三、平方根、算术平方根与立方根 【例3】(1)(－2)2的算术平方根是( )A ．2B ．±2C ．－2D ． 2 (2)实数27的立方根是__________．解析：(1)(－2)2的算术平方根，即(－2)2＝|－2|＝2； (2)27的立方根是327＝3. 答案：(1)A (2)3方法总结 1．对于算术平方根，要注意：(1)一个正数只有一个算术平方根，它是一个正数；(2)0的算术平方根是0；(3)负数没有算术平方根；(4)算术平方根a 具有双重非负性：①被开方数a 是非负数，即a ≥0；②算术平方根a 本身是非负数，即a ≥0.2．(3a )3＝a ，3a 3＝a .触类旁通3 4的平方根是( ) A ．2 B ．±2 C ．16 D ．±16考点四、科学记数法、近似数、有效数字【例4】2012年安徽省有682 000名初中毕业生参加中考，按四舍五入保留两位有效数字，682 000用科学记数法表示为( )A ．0.69×106B ．6.82×105C ．0.68×106D ．6.8×105解析：用科学记数法表示的数必须满足a ×10n (1≤|a |＜10，n 为整数)的形式；求近似数时注意看清题目要求和单位的换算；查有效数字时，要从左边第1个非零数查起，到精确到的数为止.682 000＝6.82×105≈6.8×105.答案：D方法总结 1．用科学记数法表示数，当原数的绝对值大于或等于1时，n 等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n 是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数．2．取一个数精确到某一位的近似数时，应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入，而之后的数不予考虑．3．用科学记数法表示的近似数，乘号前面的数(即a )的有效数字即为该近似数的有效数字；而这个近似数精确到哪一位，应将用科学记数法表示的数还原成原来的数，再看最后一个有效数字处于哪一个数位上．触类旁通4 某种细胞的直径是5×10－4毫米，这个数是( ) A ．0.05毫米 B ．0.005毫米 C ．0.000 5毫米 D ．0.000 05毫米 考点五、非负数性质的应用【例5】若实数x ，y 满足x －2＋(3－y )2＝0，则代数式xy －x 2的值为__________． 解析：因为x －2≥0，(3－y )2≥0，而x －2＋(3－y )2＝0，所以x －2＝0,3－y ＝0，解得x ＝2，y ＝3，则xy －x 2＝2×3－22＝2.答案：2方法总结 常见的非负数的形式有三种：|a |，a (a ≥0)，a 2，若它们的和为零，则每一个式子都为0.触类旁通5 若|m －3|＋(n ＋2)2＝0，则m ＋2n 的值为( ) A ．－4 B ．－1 C ．0 D ．4 考点六、实数的运算【例6】计算：(1)2－1＋3cos 30°＋|－5|－(π－2 011)0.(2)(－1)2 011－⎝⎛⎭⎫12－3＋⎝⎛⎭⎫cos 68°＋5π0＋|33－8sin 60°|. (1)分析：2－1＝12，cos 30°＝32，|－5|＝5，(π－2 011)0＝1.解：原式＝12＋3×32＋5－1＝12＋32＋5－1＝6.(2)分析：⎝⎛⎭⎫12－3＝(2－1)－3＝23＝8，⎝⎛⎭⎫cos 68°＋5π0＝1，sin 60°＝32. 解：原式＝－1－8＋1＋⎪⎪⎪⎪33－8×32＝－8＋ 3.点拨：(1)根据负整数指数幂的意义可把负整数指数幂转化为正整数指数幂运算，即a －p ＝1ap (a ≠0)．(2)a 0＝1(a ≠0)． 方法总结 提高实数的运算能力，首先要认真审题，理解有关概念；其次要正确、灵活地应用零指数、负整数指数的定义、特殊角的三角函数、绝对值、相反数、倒数等相关知识及实数的六种运算法则，根据运算律及顺序，选择合理、简捷的解题途径．要特别注意把好符号关．考点七、实数的大小比较【例7】比较2.5，－3，7的大小，正确的是( ) A ．－3＜2.5＜7 B ．2.5＜－3＜7 C ．－3＜7＜2.5 D ．7＜2.5＜－3 解析：由负数小于正数可得－3最小，故只要比较2.5和7的大小即可，由2.52＜(7)2，得2.5＜7，所以－3＜2.5＜7. 答案：A方法总结 实数的各种比较方法，要明确应用条件及适用范围．如：“差值比较法”用于比较任意两数的大小，而“商值比较法”一般适用于比较符号相同的两个数的大小，还有“平方法”、“倒数法”等．要依据数值特点确定合适的方法．触类旁通6在－6,0,3,8这四个数中，最小的数是( ) A ．－6 B ．0 C ．3 D ．81．(2012湖北黄石)－13的倒数是( )A ．13B ．3C ．－3D ．－132．(2012江苏南京)下列四个数中，负数是( )A ．|－2|B ．(－2)2C ．－ 2D ．(－2)23．(2012北京)首届中国(北京)国际服务贸易交易会(京交会)于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元．将60 110 000 000用科学记数法表示应为( )A ．6.011×109B ．60.11×109C ．6.011×1010D ．0.6011×10114．(2012四川南充)计算2－(－3)的结果是( ) A ．5 B ．1 C ．－1 D ．－55．(2012四川乐山)计算：⎪⎪⎪⎪－12＝__________. 6．(2012重庆)计算：4＋(π－2)0－|－5|＋(－1)2 012＋⎝⎛⎭⎫13－2.1．下列各数中，最小的数是( )A ．0B ．1C ．－1D ．－ 2 2．若|a |＝3，则a 的值是( )A ．－3B ．3C ．13D ．±33．下列计算正确的是( )A ．(－8)－8＝0B ．⎝⎛⎭⎫－12×(－2)＝1 C ．－(－1)0＝1 D ．|－2|＝－24．如图，数轴上A ，B 两点对应的实数分别为1和3，若点A 关于点B 的对称点为C ，则点C 所表示的实数是( )A ．23－1B ．1＋ 3C ．2＋ 3D ．23＋15．(1)实数12的倒数是____．(2)写出一个比－4大的负无理数__________．6．若将三个数－3，7，11表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________．7．定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝1a ＋1b，根据这个规则，计算2☆3的值是__________．8．如图，物体从点A 出发，按照A →B (第1步)→C (第2步)→D →A →E →F →G →A →B →…的顺序循环运动，则第2 012步到达点________处．9．计算：|－2|＋(－1)2 012－(π－4)0.参考答案导学必备知识 自主测试1．A 1－2＝－12.2．A3．D A 中－|－3|＝－3，B 中⎝⎛⎭⎫13－1＝3，C 中9＝3.4．C 0.32×100万＝320 000＝3.2×105.5．C 因为从数轴可知：m 小于0，n 大于0，则mn ＜0，m －n ＜0. 6．解：|－5|＋16－32＝5＋4－9＝0. 探究考点方法触类旁通1．C 因为5是整数，37是分数，4＝2是整数．触类旁通2．A 因为5的相反数是－5，－15的相反数是15，15的相反数是－15.触类旁通3．B触类旁通4．C 因为0.05＝5×10－2,0.005＝5×10－3,0.000 5＝5×10－4,0.000 05＝5×10－5，故选C.触类旁通5．B 因为|m －3|≥0，且(n ＋2)2≥0，又因为|m －3|＋(n ＋2)2＝0，所以m －3＝0且n ＋2＝0.所以m ＝3，n ＝－2，所以m ＋2n ＝3＋2×(－2)＝－1.触类旁通6．A 因为根据正数大于0,0大于负数，正数大于负数，解答即可． 品鉴经典考题1．C ∵－3×⎝⎛⎭⎫－13＝1，∴－13的倒数是－3. 2．C A 中，|－2|＝2，是正数，故本选项错误；B 中，(－2)2＝4，是正数，故本选项错误；C 中，－2＜0，是负数，故本选项正确；D 中，(－2)2＝4＝2，是正数，故本选项错误．3．C 因为科学记数法的形式为a ×10n ，用科学记数法表示较大的数，其规律为1≤a ＜10，n 是比原数的整数位数小1的正整数，所以60 110 000 000＝6.011×1010.4．A 原式＝2＋3＝5.5．12根据负数的绝对值是它的相反数，得⎪⎪⎪⎪－12＝12. 6．解：原式＝2＋1－5＋1＋9＝8. 研习预测试题1．D 因为正数和0都大于负数，2＞1，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以－2最小．2．D 绝对值为3的数有＋3和－3两个，且互为相反数．3．B (－8)－8＝－16，⎝⎛⎭⎫－12×(－2)＝1，－(－1)0＝－1，|－2|＝2. 4．A 因为数轴上A ，B 两点对应的实数分别为1和3， 所以OA ＝1，OB ＝ 3.所以AB ＝OB －OA ＝3－1. 由题意可知，BC ＝AB ＝3－1.所以OC ＝OB ＋BC ＝3＋(3－1)＝23－1. 5．(1)2 (2)－4＋2(答案不唯一)6．7 因为－3＜0，11＞3,1＜7＜3. 7．56 因为2☆3＝12＋13＝36＋26＝56. 8．A 由题意知，每隔8步物体到达同一点，因为2 012÷8＝251余4，所以第2 012步到达A 点．9．解：原式＝2＋1－1＝2.。
第一讲 实数的有关概念和计算(讲练)(解析版)
备战2020年中考数学总复习一轮讲练测第一单元数与式第一讲实数的有关概念和计算1、了解：平（立）方根、算术平方根的概念；无理数、实数的概念；近似数、有效数字的概念；2、理解：有理数的意义；借助数轴理解相反数和绝对值的意义；了解a 的含义；实数与数轴上的点一一对应；有理数的运算律.3、会：比较有理数大小；能求实数的相反数与绝对值；用根号表示数的平（立）方根；求平（立）方根；进行简单的实数运算.4、掌握：有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算；能用有理数估计一个无理数的大致范围.5、能：用有理数的运算解决简单问题；用有理数估计无理数的大致范围.1．（2018•朝阳区模拟）如图所示，数轴上表示绝对值大于3的数的点是( )A ．点EB ．点FC ．点MD ．点N【解答】解：| 3.5| 3.5-=，3，|1|13-=<，|1.5| 1.53=<，|3|33==，所以数轴上表示绝对值大于3的数的点是点E ，故选：A ．2．（2019•北京中考）4月24日是中国航天日.1970年的这一天，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东方红一号”成功发射，标志着中国从此进入了太空时代，它的运行轨道，距地球最近点439000米，将439000用科学记数法表示应为( )A ．60.43910⨯B ．64.3910⨯C ．54.3910⨯D ．343910⨯【解答】解：将439000用科学记数法表示为54.3910⨯．故选：C ．3．（2019•丰台区模拟）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，如果0a b +=，那么下列结论正确的是( )A ．||||a c >B ．0a c +<C ．0abc <D ．0a b =【解答】解：0a b +=Q ，∴原点在a ，b 的中间，如图，由图可得：||||a c <，0a c +>，0abc <，1a b=-， 故选：C ．4．（2019•海淀区一模）实数a 、b 、c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若||||a b =，则下列结论中错误的是( )A ．0a b +>B ．0a c +>C ．0b c +>D ．0ac < 【分析】根据||||a b =，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．【解答】解：||||a b =Q ，∴原点在a ，b 的中间，如图，由图可得：||||a c <，0a c +>，0b c +<，0ac <，0a b +=，故选项A 错误， 故选：A ．5．（2019秋•海淀月考）下列说法正确的是( )A ．有理数和数轴上的点一一对应B ．不带根号的数一定是有理数C ．一个数的平方根仍是它本身D 42【解答】解：A 、和数轴上的点一一对应的是实数，故选项错误； B 、不带根号也可以无限不循环，即也可以是无理数，故选项错误；C 、一个数的平方根不一定是它本身，故选项错误；D 42，2的平方根是2±故选：D ．6．（2018•海淀区二模）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，若||||a b >，则下列结论中一定成立的是( )A ．0b c +>B ．2a c +<-C ．1ba < D ．0abc …【解答】解：不妨设0a c b <<<，则A ，D 错误，0a c +<，无法判断a c +与2-的大小，1ba <，故选：C ．7．（2019秋•朝阳区模拟）下列计算错误的是( )A 30.0080.2B 3621010--C 9311164 D 2(3)3-=【解答】解：A 、原式0.2=，不符合题意；B 、原式210=-，不符合题意；C 、原式255164==，符合题意；D 、原式|3|3=-=，不符合题意，故选：C ．8．（2019秋•大兴区期中）若2(2)2x +=，则x 的值是( )A 24B 22C 2222D 22或22-【解答】解：因为2(2)2x +=， 所以22x +=± 所以22x =，或22x =．故选：D ．9．（201921(2)0x y -+=，则2020()x y +等于( )A ．1-B ．1C ．20203D ．20203-【解答】解：Q 21(2)0x y -+=，10x ∴-=，20y +=，1x ∴=，2y =-，20202020()(12)1x y ∴+=-=，故选：B ．10．（2019•北京中考）计算：011|3|(4)2sin 60()4π----+︒+． 【解答】解：原式331243134323=-+⨯+=-++=+．1．实数的有关概念（1） 整数 和 分数 统称为有理数.（2） 有理数 和 无理数 统称实数.（3）数轴的三要素为 原点 、 正方向 和 单位长度 . 数轴上的点与 实数 一一对应.（4）实数a 的相反数为a - .若a ，b 互为相反数，则b a += 0 .（5）非零实数a 的倒数为1a. 若a ，b 互为倒数，则ab = 1 . （6）绝对值(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩．若=a a ，则a 为 非负数 ；若a a =-，则a 为 非正数 .（7）科学记数法：把一个数表示成10n a ⨯的形式，其中1≤a ＜10的数，n 是整数. 2.实数的计算（1）n a 表示n 个a 相乘，na 称为幂，其中a 叫做 底数 ，n 叫做 指数 . =0a 1 （其中a ≠ 0）；0的任何非零次幂都等于0；=-p a 1p a （其中a ≠ 0，p 为整数） （2）平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个数x 叫做a 的平方根或二次方根，记为a ±．一个正数有 两个 平方根，它们互为 相反数 ；负数没有平方根；0的平方根是 0 ．（3）算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，则这个正数x 为a 的算术平方根，记为a ±．一个正数有 一个 算术平方根，0的算术平方根是 0 ．（4）立方根：一个数x 的立方等于a ，那么这个数x 叫做a 的立方根或三次方根，记为3a ． 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个 负 的立方根；0的立方根是 0 ．3. 实数运算顺序及运算律（1）先算 乘方 ，再算 乘除 ，最后算 加减 ；如果有括号，先算 括号 里面的，同一级运算按照从 左 到 右 的顺序依次进行．（2）运算律：交换律、结合律、乘法分配律．4. 实数大小的比较（1） 数轴上两个点表示的数， 右边 的点表示的数总比 左边 的点表示的数大.（2）正数 大于 0，负数 小于 0，正数 大于 负数；两个负数比较大小，绝对值大的 绝对值小的．考点一 实数分类例1．（2019春•丰台区期末）下列各数中，无理数是( )A ．0.3B ．12C 3D ．4【解答】解：A 、0.3是有理数，选项不合题意；B 、12是有理数，选项不合题意； C 3D 、42-=-，是有理数，选项不合题意；故选：C ．【变式训练】1．（2019春•海淀区校级月考）49-2π，3.1415，227-5这五个实数中，是无理数的有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【解答】解：无理数有2π5，共2个． 故选：B ．考点二 实数与数轴（相反数、绝对值）例2．（2018•北京中考）实数a ，b ，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )A ．||4a >B ．0c b ->C ．0ac >D ．0a c +>【解答】解：43||4a a A -<<-∴<∴Q 不正确；又c b >Q ，0c b ∴->，B ∴正确；又0a <Q ，0c >，0ac ∴<，C ∴不正确；又3a <-Q ，3c <，0a c ∴+<，D ∴不正确；故选：B ．【变式训练】（2019•朝阳区一模）实数m ，n 在数轴上对应的点的位置如图所示，若0mn <，且||||m n <，则原点可能是( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D【分析】由若0mn <可知，m 、n 异号，所以原点可能是点B 或点C ，而又由||||m n <即可根据距离正确判断．【解答】解：0mn <Qm ∴、n 异号∴原点可能是点B 或点C又由||||m n <，观察数轴可知，原点应该是点B ．故选：B ．2．（2019春•海淀区校级期末）如图，点A 表示的实数是( )A ．2-B 2C ．12D 21【解答】解：设点A 所表示的实数为a ，Q 边长为1212a ∴-+=12a ∴=∴点A 在数轴上表示的实数是12-．故选：C ．12．（2018•东城一模）若实数a ，b 满足||||a b >，则与实数a ，b 对应的点在数轴上的位置可以是( )A ．B ．C ．D ． 【解答】解：由||||a b >，得a 与原点的距离比b 原点的距离远，故选：D ．13．（2018•海淀区一模）实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示．若0b d +=，则下列结论中正确的是( )A ．0b c +>B ．1c a >C ．ad bc >D ．||||a d >【解答】解：由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得0a b c d <<<<，A 、0b d +=，0b c ∴+<，故A 不符合题意；B 、0c a<，故B 不符合题意； C 、0ad bc <<，故C 不符合题意；D 、||||||a b d >=，故D 正确；故选：D ．14．（2018•朝阳区二模）如图，在数轴上有点O ，A ，B ，C 对应的数分别是0，a ，b ，c ，2AO =，1OB =，2BC =，则下列结论正确的是( )A ．||||a c =B ．0ab >C ．1a c +=D ．1b a -=【解答】解：2AO =Q ，1OB =，2BC =，2a ∴=-，1b =，3c =，||||a c ∴≠，0ab <，1a c +=，1(2)3b a -=--=，故选：C ．考点三 科学记数法例3．（2019•怀柔区一模）据央广网消息，近年来，数字技术推动数字贸易兴起，通过采用数字技术，提高员工生产力、降低成本、创造新收益，数字贸易在中国国内创造了高达人民币3200000000000元的经济效益．将3200000000000用科学记数法表示应为( )A ．113.210⨯B ．123.210⨯C ．123210⨯D ．130.3210⨯【解答】解：将32000 0000 0000用科学记数法表示应为123.210⨯．故选：B ．【变式训练】1．（2019•朝阳区一模）电影《流浪地球》中，人类计划带着地球一起逃到距地球4光年的半人马星座比邻星．已知光年是天文学中的距离单位，1光年大约是95000亿千米，则4光年约为( )A ．49.510⨯亿千米B ．49510⨯亿千米C ．53.810⨯亿千米D ．43.810⨯亿千米【考点】科学记数法-表示较大的数【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中1||10a <„，n 为整数，据此判断即可．【解答】解：950004380000⨯=380000亿千米53.810=⨯亿千米．故选：C ．2．（2019•海淀区一模）2019年2月，美国宇航局()NASA 的卫星监测数据显示地球正在变绿，分析发现是中国和印度的行为主导了地球变绿，尽管中国和印度的土地面积加起来只占全球的9%，但过去20年间地球三分之一的新增植被两国贡献的，面积相当于一个亚马逊雨林，已知亚马逊雨林的面积为26560000m ，则过去20年间地球新增植被的面积约为( )A ．626.5610m ⨯B ．726.5610m ⨯C ．72210m ⨯D ．82210m ⨯ 【分析】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a <„，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．【解答】解：过去20年间地球新增植被的面积2726560000319680000210m m =⨯=≈⨯故选：C ．3．（2019•石景山区一模）在北京筹办2022年冬奥会期间，原首钢西十筒仓一片130000平方米的区域被改建为北京冬奥组委办公区．将130000用科学记数法表示应为( )A ．41310⨯B ．51.310⨯C ．60.1310⨯D ．71.310⨯【解答】解：将130000用科学记数法可表示为51.310⨯．故选：B ．考点四 实数的非负性及最值例4．（2019春•东城区校级期末）若2(2)0a -=，则3a = 8 ．【解答】解：Q 2(2)0a -=，20a ∴-=，解得2a =，3328a ∴==．故答案为：8．例5．如果x 为有理数，式子2019|2|x --存在最大值，这个最大值是( )A ．2016B ．2017C ．2019D ．2021【解答】解：x Q 为有理数，式子2019|2|x --存在最大值，|2|0x ∴-=时，2019|2|x --最大为2019，故选：C ．【变式训练】1．（2019春•海淀区校级期末）如果2(21)|5|0x y x y -+++-=，那么y x = 9 ．【解答】解：2(21)|5|0x y x y -+++-=Q ，∴215x y x y -=-⎧⎨+=⎩①②，②-①得：36y =，解得：2y =，把2y =代入①得：3x =，则原式9=，故答案为：92．（2018春•朝阳区期末）若21(1)0x y ++-=，则x y += 0 ．【解答】解：Q 21(1)0x y ++-=，10x ∴+=且10y -=，则1x =-、1y =，110x y ∴+=-+=，故答案为：0．考点五 实数的估算例6．（2018•西城区二模）下列实数中，在2和3之间的是( )A ．πB ．2π-C ．325D ．328【解答】解：A 、34π<<，故本选项不符合题意；B 、122π<-<，故本选项不符合题意；C 、32253<<，故本选项符合题意；D 、33284<<，故本选项不符合题意；故选：C ．【变式训练】1．（2018•大兴一模）若10a =，则实数a 在数轴上对应的点的大致位置是()A ．点EB ．点FC ．点GD ．点H【解答】解：Q 910163104∴<<，10a =Q ，34a ∴<<，故选：C ．2．（2019a ，小数部分是b ，则2a b -= 24【解答】解：89<Q ，8a ∴=，8b ，2288)24a b ∴-=⨯-=．故答案为：24考点六 实数比较大小例7．比较大小：（填“>”、“=”、“<”)．【解答】解：Q =∴<∴<故答案为：<．【变式训练】1 58．（填“>”，“<”或“=”)58-58=-=Q 229808110-=-=-<，9∴，∴90<，∴508-<，∴58<． 故答案为：<．考点七 实数中的规律例8．（1）填写下表，观察被开方数a（2）根据你发现的规律填空：① 2.6838.485=，；②6.164=61.64=，则x = ，（3a 的大小．【解答】解：（1）20.040.0016=Q，∴0.04；0.4，4=；40=故答案为：0.04；0.4；4；40；（2）①由表格可知，被开方数a动1位，84.85=0.02683=；故答案为：84.85；0.02683；②由表格可知，被开方数a 1位， Q 6.164=61.64，3800x ∴=，故答案为：3800；（3）0;01;1;1;a a a a a a a ==<=><当时当时当时当时【变式训练】1 2.477= 1.8308，填空：= 24.77 ②0.18308=，则x = ．【解答】解：①Q 2.477=，∴24.77；② 1.8308=0.18308=，则0.006137x =，故答案为：①24.77；②0.006137考点八 实数的运算例9．（2019•海淀区一模）计算：04sin 60(1)1|π︒+-．【分析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：04sin 60(1)|1|π︒+--411=+-11=-=．【变式训练】1．（2019•北京大学附中期末）计算1)-的结果为 ．【解答】解：原式24=-2=，故答案为：22．（2019春•海淀区期中）求出下列等式中x 的值：（1）21236x =；（2）33388x-=．【解答】解：（1）23x=x∴=（2）3243x-=327x=3x∴=3．（2019•西城区一模）计算0|5|2sin60(2019)π-︒--【分析】先分别计算绝对值、二次根式、三角函数值、零指数幂，然后算加减法．【解答】解：原式521=+51=+4=+。
实数(第1课时)-七年级数学下册讲练课件(人教版)
故选：C．
【点评】本题考查了实数的比较大小，绝对值，注意负数的绝对值等于它的相反数．
感受中考
4.（3分）（2021•天津6/25）估计 17 的值在（
A．2和3之间
B．3和4之间
）
C．4和5之间
D．5和6之间
【解答】解：∵ 17 4.12 ，
∴ 17 的值在4和5之间．
故选：C．
）
典例分析
例1：将下列各数分别填入下列相应的括号内：
3
1
9 , ， 7 , π, 16, 5, 3 8,
4
4
25, 0.3232232223
, 0,
9
无理数： 9,
3
7, π, 5, 0.3232232223
1
4
，
3
, 0, 25
有理数： 4 16, 8,
9
1
4
为圆心，直角三角形的最大边为半径画弧，交数轴正半轴于点 A，那么点 A 表示的数
是
．
（3）如图 3，网格中每个小正方形的边长为 1，若能把阴影部分剪拼成一个新的正方形，
求新的正方形的面积和边长．
解：
（1）设拼成的正方形的边长为 a，
则 a2＝5，
a= 5，
即拼成的正方形的边长为 5，
故答案为： 5；
整数
有理数：
有限小数或无限循环小数
实
数
分数
含开方开不尽的数
无理数：
无限不循环小数
含有
π 的数
有规律但不循环的小数
（2）按性质分：
＝﹣3 5 +3；
（4）| 6 − 2|+| 2 −1|﹣|3− 6|
七年级下册第一讲实数(一)解析
实数专题复习（一）一．选择题（共1小题）1．（2018•承德模拟）如果（0＜x＜150）是一个整数，那么整数x可取得的值共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个二．填空题（共28小题）2．（2018春•遵义期末）定义新运算2*3＝2X+3Y，3*2＝3X+2Y，若2*3＝5，3*2＝10，则3X+3Y的平方根是．3．（2018春•怀来县期中）一个数的平方根是a+4和2a+5，则a＝，这个正数是．4．（2018春•浦东新区期中）若x2＝5，则x＝．5．（2018春•南昌期末）（﹣5）2的平方根是．6．（2017秋•祁东县校级期中）一个正数m的平方根是1+2a和﹣4a+3，则m＝．7．（2017秋•金牛区校级月考）若m是49的正的平方根，n是81的负的平方根，则（m+n）2的平方根是．8．（2017春•禹会区校级月考）方程9x2＝4与3x2＝a的解相同，则a＝．9．（2017•正定县二模）9的平方根的绝对值是．10．（2016秋•建湖县期末）的平方根是．11．（2017•新华区校级模拟）若的平方根为±3，则a＝．12．（2017秋•江阴市校级月考）下列各数：0，﹣4，（﹣3）2，﹣32，﹣（﹣2），有平方根的数有个．13．（2016秋•丰县期中）当x满足时，x﹣3有平方根．14．（2016春•鄂城区期中）的平方根是；＝．15．（2016春•南陵县期中）“平方根”节是数学爱好者的节日，这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两位数字的算术平方根，例如2009年的3月3日，2016年的4月4日，请你再写出本世纪你喜欢的一个“平方根”节（题中所举例子除外）年月日．16．（2009秋•萧山区期中）已知9，16和a三个数，使这三个数中的一个数是另外两个数乘积的一个平方根，写出所有符合条件的数a的值．17．（2009秋•安化县校级期中）设a 是倒数等于本身的数，b 是最大的负整数，c 是平方根等于本身的数，则a +b +c ＝ ．18．（2017秋•高密市期末）如图，两个正方形的边长分别为4，3，两阴影部分的面积分别为a ，b （a ＞b ），则a ﹣b 等于 ．19．（2018秋•射阳县期中）如图，一块形如“z ”字形的铁皮，每个角都是直角，且AB ＝BC ＝EF ＝CF ＝1，CD ＝DE ＝GH ＝AH ＝3，现将铁片裁剪并拼接成一个和它等面积的正方形，则正方形的边长的平方是 ．20．（2018春•永安市期末）计算：＝ ．21．（2018春•钟祥市期末）已知实数a ，b ，c 满足b ﹣4＝，c 的平方根等于它本身，则a ﹣的值为 ．22．（2018春•仓山区期末）已知a ﹣1＝20172+20182，则＝ ．23．（2018•澧县三模）计算下列各式的值：＝ ；＝ ；＝ ；……观察所得结果，尝试发现蕴含在其中的规律，由此可得92018920189199999个个 ＝ ．24．（2018春•青县期末）观察：＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1试猜想：＝25．（2018•洪山区二模）计算的结果为26．（2017秋•南岗区期末）自由落体的公式为s＝gt2（g为重力加速度，g＝9.8m/s2）．若物体下落的高度s为78.4m，则下落的时间t是s．27．（2018春•潮州期中）若≈1.003，≈3.173，则，．28．（2018春•莒县期中）已知2a﹣1的平方根是0，b的算术平方根是1，则2a﹣b＝．29．（2018春•白云区期中）已知是整数，则n是自然数的值是．三．解答题（共11小题）30．（2018春•丹阳市期末）如图，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD 相交于点B，D．若∠1＝∠2，∠3＝75°，（1）求∠4的度数．（2）若y＝+3+8，求xy的平方根．（1）（x﹣1）2＝5 （2）（x+2）2﹣27＝0．32．（2017秋•仪征市期中）求下列各式中x的值：（1）4x2＝81；（2）（x+4）3＝﹣27．33．（2017秋•太仓市校级期中）已知2x﹣y的平方根为±3，﹣4是3x+y的平方根，求x﹣y 的平方根．34．（2017秋•南江县校级月考）已知a，b是正数m的两个平方根且3a+2b＝2，求a，b及m的值．（1）（x+1）2＝9 （2）3（x+1）2＝48．（3）25（x+2）2﹣36＝0．36．（2016秋•怀远县期中）请根据光头强与熊二的对话内容回答下列问题（1）求该魔方的棱长；（2）求该长方体纸盒的长．37．计算：（1）；（2）++4﹣（精确到0.01）．38．“2＝3”就是一个著名的数学“诡辩”，有人用下述方法“说明”这一结果是“正确”的．因为4﹣10＝9﹣15，所以4﹣10+＝9﹣15+，22﹣2×2×+（）2＝32﹣2×3×+（）2，（2﹣）2＝（3﹣）2，2﹣＝3﹣，所以2＝3．“2＝3”这个结果显然是不正确的，但问题出现在哪里呢？请你找一找，并与同学交流．39．若a、b都为有理效，且满足a﹣b+＝1+2．求a+b的平方根．40．（2009秋•巴州区期末）阅读题：先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．，，，＝（）……（1）计算＝．（2）探究+…+＝．（用含有n的式子表示）（3）若+…+的值为，求n的平方根．2019年02月27日华晟教育的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（2018•承德模拟）如果（0＜x＜150）是一个整数，那么整数x可取得的值共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】如果（0＜x＜150）是一个整数，则它一定是一个数的平方的形式．把150分解因数得5，5，2，3，凑质数的平方即可解决问题．【解答】解：∵＝，而（0＜x＜150）是一个整数，且x为整数，∴5×5×2×3x一定可以写成平方的形式，所以可以是6，24，54，96共有4个．故选：B．【点评】本题主要考查了算术平方根的性质，解题关键是把150分解因数得5，5，2，3，凑质数的平方即可．二．填空题（共28小题）2．（2018春•遵义期末）定义新运算2*3＝2X+3Y，3*2＝3X+2Y，若2*3＝5，3*2＝10，则3X+3Y的平方根是±3．【分析】根据新定义运算法则得到关于x、y的方程组，通过解方程组求得（X+Y）的值，然后求3X+3Y的平方根，【解答】解：依题意得：由①+②，得5X+5Y＝15，所以X+Y＝3所以＝±＝±＝±3．故答案是：±3．【点评】考查了平方根．注意此题首先利用了＝|a|，然后要注意区分平方根、算术平方根的概念．3．（2018春•怀来县期中）一个数的平方根是a+4和2a+5，则a＝﹣3，这个正数是1．【分析】根据平方根的定义构建方程即可解决问题．【解答】解：∵一个数的平方根是a+4和2a+5，∴a+4+2a+5＝0，∴a＝﹣3，∴这个数的平方根是±1，这个数是1，故答案为﹣3，1．【点评】本题考查平方根的定义、一元一次方程等知识，解题的关键是记住平方根的定义，学会构建方程解决问题．4．（2018春•浦东新区期中）若x2＝5，则x＝．【分析】根据平方根的定义即可得．【解答】解：∵x2＝5，则x＝±，故答案为：．【点评】本题主要考查平方根，解题的关键是掌握平方根的定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．5．（2018春•南昌期末）（﹣5）2的平方根是±5．【分析】先求得（﹣5）2的值，然后依据平方根的性质求解即可．【解答】解：（﹣5）2＝25，25的平方根是±5．故答案为：±5．【点评】本题主要考查的是平方根的性质，熟练掌握平方根的性质是解题的关键．6．（2017秋•祁东县校级期中）一个正数m的平方根是1+2a和﹣4a+3，则m＝．【分析】根据一个正数有两个平方根，它们互为相反数求出a的值，再代入1+2a后平方即可得出答案．【解答】解：∵正数m的平方根是1+2a和﹣4a+3，∴1+2a+4a+3＝0，解得a＝﹣，∴1+2a＝1+2×（﹣）＝﹣，∴m＝（﹣）2＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．7．（2017秋•金牛区校级月考）若m是49的正的平方根，n是81的负的平方根，则（m+n）2的平方根是±2．【分析】利用平方根定义求出m与n的值，即可求出所求．【解答】解：根据题意得：m＝7，n＝﹣9，则（m+n）2＝4，4的平方根是±2，故答案为：±2【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．8．（2017春•禹会区校级月考）方程9x2＝4与3x2＝a的解相同，则a＝．【分析】依据等式的性质两边同时除以3即可．【解答】解：∵9x2＝4，∴3x2＝．又∵3x2＝a，∴a＝．故答案为：．【点评】本题主要考查的是等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．9．（2017•正定县二模）9的平方根的绝对值是3．【分析】利用平方根的意义，计算9的平方根，根据绝对值的意义，计算|±3|的值．【解答】解：9的平方根是±3，|±3|＝3．故答案是：3．【点评】本题考查了一个数的平方根、绝对值．一个正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根．正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．10．（2016秋•建湖县期末）的平方根是±3．【分析】根据平方根、算术平方根的定义即可解决问题．【解答】解：∵＝9，9的平方根是±3，∴的平方根是±3．故答案为±3．【点评】本题考查算术平方根、平方根的定义，解题的关键是记住平方根的定义，正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根，属于基础题，中考常考题型．11．（2017•新华区校级模拟）若的平方根为±3，则a＝81．【分析】利用平方根的定义计算即可求出a的值．【解答】解：∵的平方根为±3，∴＝9，解得：a＝81，故答案为：81【点评】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．12．（2017秋•江阴市校级月考）下列各数：0，﹣4，（﹣3）2，﹣32，﹣（﹣2），有平方根的数有3个．【分析】先求得各数的值，然后根据正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根解答即可．【解答】解：（﹣3）2＝9；﹣32＝﹣9；﹣（﹣2）＝2∵正数和零有平方根，∴有平方根的是：0，（﹣3）2，﹣（﹣2），共3个．故答案为：3．【点评】本题主要考查的是平方根的性质，掌握平方根的性质是解题的关键．13．（2016秋•丰县期中）当x满足x≥3时，x﹣3有平方根．【分析】根据负数没有平方根，可得答案．【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，解得：x≥3．故答案是：x≥3．【点评】本题主要考查了平方根的定义．关键是掌握一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．14．（2016春•鄂城区期中）的平方根是±3；＝4．【分析】根据平方根的定义，即可解答．【解答】解：＝9，9的平方根是±3，＝4，故答案为：±3，4．【点评】本题考查了平方根，解决本题的关键是熟记平方根的定义．15．（2016春•南陵县期中）“平方根”节是数学爱好者的节日，这一天的月份和日期的数字正好是当年年份最后两位数字的算术平方根，例如2009年的3月3日，2016年的4月4日，请你再写出本世纪你喜欢的一个“平方根”节（题中所举例子除外）2025年5月5日．【分析】首先确定月份和日子，最后确定年份即可（答案不唯一）．【解答】解：2025年5月5日（答案不唯一）．故答案是：2025，5，5．【点评】本题考查了平方根的定义，正确理解三个数字的关系是关键．16．（2009秋•萧山区期中）已知9，16和a三个数，使这三个数中的一个数是另外两个数乘积的一个平方根，写出所有符合条件的数a的值．【分析】根据题意先分3种情况：①a2＝9×16；②16a＝92，③9a＝162．然后分别解之即可求出a．【解答】解：依题意可知：①a2＝9×16，解得a＝±12；②16a＝92，解得a＝；③9a＝162，解得a＝．【点评】本题考查了平方根概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．17．（2009秋•安化县校级期中）设a是倒数等于本身的数，b是最大的负整数，c是平方根等于本身的数，则a+b+c＝0或﹣2．【分析】根据倒数的定义可以求出a，根据负整数的定义求出b，根据平方根的定义求出c 的值，再代入所求代数式计算即可．【解答】解：依题意可知：a＝，解得a＝±1；∵b是最大的负整数，∴b＝﹣1；∴c是平方根等于本身的数，所以c＝0．故a+b+c＝0或﹣2．【点评】本题考查了平方根的定义和几个特殊的值．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．注意：1或0平方等于它的本身．18．（2017秋•高密市期末）如图，两个正方形的边长分别为4，3，两阴影部分的面积分别为a，b（a＞b），则a﹣b等于7．【分析】设空白出的面积为x，根据题意列出关系式，相减即可求出a﹣b的值．【解答】解：设空白出图形的面积为x，根据题意得：a+x＝16，b+x＝9，则a﹣b＝7．故答案为：7．【点评】此题考查了算术的定义，熟练掌握算术的定义是解本题的关键．19．（2018秋•射阳县期中）如图，一块形如“z”字形的铁皮，每个角都是直角，且AB＝BC＝EF＝CF＝1，CD＝DE＝GH＝AH＝3，现将铁片裁剪并拼接成一个和它等面积的正方形，则正方形的边长的平方是10．【分析】延长BC交HG于点M，延长HG交DE于点N，先计算出不规则铁皮的面积，再计算面积相等的正方形的面积．【解答】解：如图所示，延长BC交HG于点M，延长HG交DE于点N，则四边形ABMH、CDNM为矩形，四边形GFEN为正方形．所以“Z”字形的铁皮的面积＝S矩形ABMH+S矩形CDNM+S正方形GFEN＝AH•AB+CD•DN+GF•EF＝3×1+3×2+1×1＝10．∴正方形的边长＝，即正方形的边长的平方是10．故答案为：10．【点评】本题考查了矩形、正方形的判定和面积及算术平方根．解决本题的关键是利用割补的办法计算出不规则铁皮的面积．20．（2018春•永安市期末）计算：＝4035．【分析】设2017＝a，代入化简利用完全平方公式计算即可；【解答】解：设2017＝a，则＝＝＝＝2a+1＝4035．【点评】本题考查算术平方根的性质、完全平方公式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．21．（2018春•钟祥市期末）已知实数a，b，c满足b﹣4＝，c的平方根等于它本身，则a﹣的值为1．【分析】根据二次根式的性质确定a、b的值，根据平方根的性质确定c的值即可解决问题；【解答】解：∵b﹣4＝，﹣（a﹣3）2≥0，∴a＝3，b＝4，∵c的平方根等于它本身，∴c＝0，∴a﹣＝3﹣＝3﹣2＝1，故答案为1【点评】本题考查算术平方根、平方根等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，所以中考常考题型．22．（2018春•仓山区期末）已知a﹣1＝20172+20182，则＝4035．【分析】先求出a＝20172+20182，+1，再代入求值即可求解．【解答】解：∵a﹣1＝20172+20182，∴a＝20172+20182+1，∴＝＝＝＝＝4035．故答案为：4035．【点评】考查了算术平方根，完全平方公式，关键是得到＝．23．（2018•澧县三模）计算下列各式的值：＝10；＝102；＝103；……观察所得结果，尝试发现蕴含在其中的规律，由此可得＝102018．【分析】先计算得到＝10＝101，＝100＝102，＝1000＝103，计算的结果都是10的整数次幂，且这个指数的大小与被开方数中每个数中9的个数相同，即可得出规律．【解答】解：＝10；＝100＝102；＝1000＝103；……；＝102018．故答案为：10；102；103；102018．【点评】本题考查了算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为．24．（2018春•青县期末）观察：＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1＝1+﹣＝1试猜想：＝1【分析】根据题中等式归纳总结得到一般性规律，作出猜想即可．【解答】解：根据题意猜想得：＝1+﹣＝1，故答案为：1【点评】此题考查了算术平方根，弄清题中的规律是解本题的关键．25．（2018•洪山区二模）计算的结果为7【分析】利用算术平方根定义开方即可得到结果．【解答】解：＝7，故答案为：7【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根定义是解本题的关键．26．（2017秋•南岗区期末）自由落体的公式为s＝gt2（g为重力加速度，g＝9.8m/s2）．若物体下落的高度s为78.4m，则下落的时间t是4s．【分析】把物体下落的高度s＝78.4、g＝9.8代入，利用算术平方根计算即可．【解答】解：将s＝78.4、g＝9.8代入＝gt2，得：78.4＝×9.8t2，整理可得：t2＝16，则t＝4或t＝﹣4（舍），即下落的时间t是4s，故答案为：4．【点评】此题考查算术平方根，关键是根据实际问题分析．27．（2018春•潮州期中）若≈1.003，≈3.173，则0.03173，100.3．【分析】根据算术平方根中被开方数与结果之间小数点的关系解答可得．【解答】解：∵≈1.003，≈3.173，∴≈0.03173，≈100.3，故答案为：0.03173、100.3．【点评】本题主要考查了算术平方根，关键是熟练掌握被开方数与计算结果之间的关系．28．（2018春•莒县期中）已知2a﹣1的平方根是0，b的算术平方根是1，则2a﹣b＝0．【分析】利用平方根及算术平方根的定义求出a与b的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：∵2a﹣1的平方根是0，b的算术平方根是1，∴2a﹣1＝0，即a＝、b＝1，则2a﹣b＝1﹣1＝0，故答案为：0．【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．29．（2018春•白云区期中）已知是整数，则n是自然数的值是4或7或8．【分析】求出n的范围，再根据是整数得出8﹣n＝0或8﹣n＝1或8﹣n＝4，求出即可．【解答】解：∵是整数，∴8﹣n＞0，∴n＜8，∵n是自然数，∴8﹣n＝0或8﹣n＝1或8﹣n＝4，解得：n＝8或7或4，故答案为：4或7或8．【点评】本题考查了算术平方根，能求出符合的所有情况是解此题的关键．三．解答题（共11小题）30．（2018春•丹阳市期末）如图，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD 相交于点B，D．若∠1＝∠2，∠3＝75°，（1）求∠4的度数．（2）若y＝+3+8，求xy的平方根．【分析】（1）首先利用同位角相等，两直线平行可得AB∥CD，再根据平行线的性质可得∠3＝∠4＝75°；（2）根据算术平方根具有非负性可得x＝2，进而可得y的值，然后可得xy的值，然后可得平方根．【解答】解：（1）∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，∴∠3＝∠4＝75°；（2）∵y＝+3+8，∴，解得：x＝2，∴y＝8，∴xy＝16，16的平方根是±4．【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，以及平方根，关键是掌握同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．31．（2017秋•相城区期中）求出下列x的值．（1）（x﹣1）2＝5（2）（x+2）2﹣27＝0．【分析】（1）根据直接开平方法可以解答本题；（2）根据直接开平方法可以解答本题．【解答】解：（1）∵（x﹣1）2＝5，∴x﹣1＝，∴x＝1，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（2）∵（x+2）2﹣27＝0∴（x+2）2＝27∴x+2＝，∴x＝﹣2，∴x1＝﹣2+3，x2＝﹣2．【点评】本题考查平方根、解方程，解答本题的关键是明确直接开平方解方程的方法．32．（2017秋•仪征市期中）求下列各式中x的值：（1）4x2＝81；（2）（x+4）3＝﹣27．【分析】（1）根据平方根的定义，即可解答；（2）根据立方根的定义，即可解答．【解答】解：（1）4x2＝81，x2＝，x＝±．（2）（x+4）3＝﹣27，x+4＝﹣3，x＝﹣7．【点评】本题考查了平方根、立方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根的定义．33．（2017秋•太仓市校级期中）已知2x﹣y的平方根为±3，﹣4是3x+y的平方根，求x﹣y 的平方根．【分析】根据平方根定义得出方程组，求出方程组的解，求出x﹣y的值，根据平方根定义求出即可．【解答】解：由题意得：2x﹣y＝9，3x+y＝16，即，解得：，所以x﹣y＝4，所以x﹣y平方根为±2．【点评】本题考查了平方根的定义和解二元一次方程组，能熟记平方根定义是解此题的关键，注意：a（a≥0）的平方根是．34．（2017秋•南江县校级月考）已知a，b是正数m的两个平方根且3a+2b＝2，求a，b及m的值．【分析】根据正数的平方根有2个，且互为相反数，以及3a+2b＝2求出a与b的值即可．【解答】解：因为a，b是正数m的两个平方根，可得：a＝﹣b，把a＝﹣b代入3a+2b＝2，﹣3b+2b＝2，解得：b＝﹣2，所以a＝2，所以m＝4．【点评】此题考查了平方根，算术平方根，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．35．（2017春•宁津县校级月考）求下列x的值：（1）（x+1）2＝9（2）3（x+1）2＝48．（3）25（x+2）2﹣36＝0．【分析】根据平方根的含义和求法，求出每个x的值各是多少即可．【解答】解：（1）∵（x+1）2＝9，∴x+1＝±3，解得x＝2或x＝﹣4．（2）∵3（x+1）2＝48，∴（x+1）2＝16，∴x+1＝±4，解得x＝3或x＝﹣5．（3）∵25（x+2）2﹣36＝0，∴（x+2）2＝，∴x+2＝±，解得x＝﹣或x＝﹣．【点评】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．36．（2016秋•怀远县期中）请根据光头强与熊二的对话内容回答下列问题（1）求该魔方的棱长；（2）求该长方体纸盒的长．【分析】（1）根据正方体的体积即可得出魔方的棱长；（2）再由长方体的体积公式得出长方体纸盒的长．【解答】解：（1）设魔方的棱长为xcm，则x3＝343，x＝7，答：该魔方的棱长7cm3；（2）设长方体的长为ycm，则7y2＝1008，∴y＝12，答：长方体纸盒的长为12cm．【点评】本题考查了平方根、立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．37．计算：（1）；（2）++4﹣（精确到0.01）．【分析】（1）（2）先将各二次根式化为最简二次根式，然后再进行实数的加减运算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣0.8＝2.5﹣0.8＝1.7；（2）原式＝＝1.732+2×1.414+4﹣3×1.732≈3.36．【点评】本题考查了平方根的运算，要求掌握一些常见的平方根，如＝1.414，＝1.732，＝2.236，＝2.449．38．“2＝3”就是一个著名的数学“诡辩”，有人用下述方法“说明”这一结果是“正确”的．因为4﹣10＝9﹣15，所以4﹣10+＝9﹣15+，22﹣2×2×+（）2＝32﹣2×3×+（）2，（2﹣）2＝（3﹣）2，2﹣＝3﹣，所以2＝3．“2＝3”这个结果显然是不正确的，但问题出现在哪里呢？请你找一找，并与同学交流．【分析】由x2＝y2可得出|x|＝|y|，但不能得出x＝y，所以错在由（2﹣）2＝（3﹣）2得2﹣＝3﹣这一步．【解答】解：错在由（2﹣）2＝（3﹣）2得2﹣＝3﹣这一步，显然2﹣＜0，3﹣＞0，所以2﹣≠3﹣．【点评】此题主要考查了利用平方根、平方运算法则解决阅读题目的问题，特别注意x2＝y2可得出|x|＝|y|，但不能得出x＝y，这是学生开平方时常犯的错误．39．若a、b都为有理效，且满足a﹣b+＝1+2．求a+b的平方根．【分析】利用实数相等的条件求出a与b的值，代入确定出a+b的值，进一步求出a+b的平方根即可．【解答】解：由a﹣b+＝1+2得到a﹣b＝1，b＝12，解得：a＝13，b＝12，则a+b＝13+12＝25，25的平方根为±5．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．40．（2009秋•巴州区期末）阅读题：先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．，，，＝（）……（1）计算＝1﹣．（2）探究+…+＝1﹣．（用含有n的式子表示）（3）若+…+的值为，求n的平方根．【分析】根据＝﹣结合题意规律即可得出各题的答案．【解答】解：（1）1﹣＝．（2）1﹣＝．（3），∵变形后的等式为原式的两倍，∴，∴1﹣＝，∴＝，∴2n+1＝99，∴2n＝98，∴n＝49．∴n的平方根是±7．【点评】本题考查了平方根的知识，有一定难度，关键是掌握＝﹣这个规律．。
第一讲 实数的有关概念
要点梳理
2．频数分布直方图及折线图
频数 ． (1)把每个对象出现的次数叫做________ (2) 每个对象出现的次数与总次数的比 ( 或者百分比 ) 频率 ，频数和频率都能够反映每个对象出现的频繁 叫________ 程度． (3)频数分布表、频数分布直方图和频数分布折线图都 能直观、清楚地反映数据在各个小范围内的分布情况．
第17课
统计的应用
要点梳理
1 ．统计图是表示统计数据的图形，是数据及其之间关 ．统计图是表示统计数据的图形，是数据及其之间关 ．统计图是表示统计数据的图形，是数据及其之间 1 ．统计图是表示统计数据的图形，是数据及其之间关 1 系的直观表现的反映． 系的直观表现的反映． 系的直观表现的反映． 关系的直观表现的反映．
1. (2012·济宁) 空气是由多种气体混合而成的，为了简明 扼要的介绍空气的组成情况，较好的描述数据，最适合 使用的统计图是 ( A ) A．扇形图 B．条形图 C．折线图 D．直方图
解析 根据题意，要求直观反映空气的组成情况，即各部分 在总体中所占的百分比，结合统计图各自的特点，应选择扇 形统计图．
要点梳理
(4)频数分布直方图的绘制步骤是： ①计算最大值与最小值的差(即：极差)； ②决定组距与组数，一般将组数分为 5～12 组； ③确定分点，常使分点比数据多一位小数，且把第一组的起 点稍微减小一点； ④列频数分布表； ⑤用横轴表示各分段数据，纵轴反映各分段数据的频数，小 长方形的高表示频数，绘制频数分布直方图．
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由图表获取信息 由统计图表获取信息， 关键是明确图表中数据所表示的 意义． 依据所表示的实际意义获取正确的信息． 如果在一个 题目中用两种统计图来描述数据， 就可以充分发挥各自的优 势．最近几年的中考试题中出现了一些“双统计图”题目， 解答此类题的关键是综合两个统计图中的信息进行求解．
1 实数的有关概念课件
三.知识要点
x 5.非负数：正实数与零的统称 （表示为： ≥ 0 ） 非负数：正实数与零的统称.（表示为： 非负数
a 2 (a 为一切实数 常见的非负数形式有： ① 常见的非负数形式有： a (a 为一切实数 a (a ≥ 0 )
) )
性质：若干个非负数的和为0， ② 性质 ： 若干个非负数的和为 ， 则所有非负数均为 0.
三.知识要点
11.实数的运算法则： 实数的运算法则： 实数的运算法则
①加法运算法则： 加法运算法则： A.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 同号两数相加， 同号两数相加 取相同的符号，并把绝对值相加； B.异号两数相加， 绝对值相等的和为 ； 绝对值不等 ， 取绝对 异号两数相加， 异号两数相加 绝对值相等的和为0；绝对值不等， 值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值 减法运算法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. ②减法运算法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数 即 a − b = a + (− b ) ； 乘法运算法则：两数相乘，同号得正，异号得负， ③乘法运算法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对 值相乘. 值相乘 除法运算法则：两数相除，同号得正，异号得负， ④除法运算法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对 值相除;0除以任何一个非 除以任何一个非0数 都得0. 值相除 除以任何一个非 数，都得 除以一个数，等于乘以这个数的倒数. 除以一个数，等于乘以这个数的倒数 1 即 a ÷ b = a ⋅ (b ≠ 0 ) ； b
三.知识要点 12.实数的运算法则： 实数的运算法则： 实数的运算法则
⑤乘方运算性质： 乘方运算性质： A.正数的任何次幂都是正数 ； 负数的偶次幂是正数 ； 正数的任何次幂都是正数； 正数的任何次幂都是正数 负数的偶次幂是正数； 负数的奇次幂是负数； 负数的奇次幂是负数； B.任何数的偶次幂都是非负数； 任何数的偶次幂都是非负数； 任何数的偶次幂都是非负数 C.1 的任何次幂都是 ；0 的任何次幂都是 ；－ 的 的任何次幂都是1； 的任何次幂都是0；－ ；－1的 偶次幂是1；－ 的奇次幂是－ ；－1的奇次幂是 偶次幂是 ；－ 的奇次幂是－1. 开方运算： 主要针对开平方运算 主要针对开平方运算) ⑥开方运算：(主要针对开平方运算
第1课时实数的有关概念
第1课时实数的有关概念【知识梳理】1.实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数. 有理数和无理数统称为实数.2.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴．实数和数轴上的点一一对应.3.绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣，正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.4.相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数．a的相反数是-a，0的相反数是0.5.有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似数的有效数字.6.叫做科学记数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5.7.大小比较：正数大于0，负数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.8.数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂.9.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a那么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．10.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．11.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0．12.立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0的立方根是0．13.开立方：求一个数a的立方根的运算叫做开立方．【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】例1.下列运算正确的是（）A．33--=B．3)31(1-=-C3=±D3=-例）A．B C．2-D．2例3.2的平方根是（）A．4 B C．D．例4.《广东省2009年重点建设项目计划（草案）》显示，港珠澳大桥工程估算总投资726亿元，用科学记数法表示正确的是（）A．107.2610⨯元B．972.610⨯元C ．110.72610⨯ 元D ．117.2610⨯元例5.实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（ ）A ．0a b +>B ．0a b -<C ．0ab >D ．0a b< 例6.（改编题）有一个运算程序，可以使： a ⊕b = n (n 为常数)时，得（a +1）⊕b = n +2， a ⊕（b +1）= n -3现在已知1⊕1 = 4，那么2009⊕2009 = ．【当堂检测】1.计算312⎛⎫- ⎪⎝⎭的结果是（ ） A ．16 B ．16- C ．18 D ．18- 2.2-的倒数是（ ） A ．12- B ．12 C ．2 D ．2-3.下列各式中，正确的是（ ）A ．3152<<B ．4153<<C ．5154<<D ．161514<<4.已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简|1|a -的结果为（ ）A ．1B ．1-C ．12a -D ．21a -5.2-的相反数是（ ）A ．2B ．2-C ．12D ．12- 6.-5的相反数是____,-12的绝对值是=_____.7.写出一个有理数和一个无理数，使它们都是小于－1的数 .8.如果2()13⨯-=，则“”内应填的实数是（ ） A ．32 B ． 23 C ．23- D ．32-第2课时 实数的运算第4题图0 例5图【知识梳理】1．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同0相加，仍得这个数．2．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．3．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘； 任何数与0相乘，积仍为0．4．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0除以任何非0的数都得0；除以一个数等于乘以这个数的倒数．5．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的．6．有理数的运算律：加法交换律：a+b=b+a(a b 、为任意有理数)加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(a, b,c 为任意有理数)【思想方法】数形结合，分类讨论【例题精讲】 例1.某校认真落实苏州市教育局出台的“三项规定”，校园生活丰富多彩．星期二下午4 点至5点，初二年级240名同学分别参加了美术、音乐和体育活动，其中参加体育活动人数是参加美术活动人数的3倍，参加音乐活动人数是参加美术活动人数的2倍，那么参加美术活动的同学其有____________名.例2.下表是5个城市的国际标准时间（单位：时）那么北京时间2006年6月17日上午9时应是( )A ．伦敦时间2006年6月17日凌晨1时.B ．纽约时间2006年6月17日晚上22时.C ．多伦多时间2006年6月16日晚上20时 .D ．汉城时间2006年6月17日上午8时.例3.如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，……，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由__________例4.下列运算正确的是（） 9 0 -4 国际标准时间（时）-5 例2图 ……例3图A ．523=+B ．623=⨯C ．13)13(2-=-D ．353522-=-例5.计算： (1) 911)1(8302+-+--+-π(2)0(tan 45π--+º(3)102)21()13(2-+--；(4)2008011(1)()3π--+-.【当堂检测】1.下列运算正确的是（ ）A ．a 4×a 2=a 6B ．22532a b a b -=C ．325()a a -=D ．2336(3)9ab a b =2.某市2008年第一季度财政收入为76.41亿元，用科学记数法（结果保留两个有效数字）表示为( )A ．81041⨯元B ．9101.4⨯元C ．9102.4⨯元D ．8107.41⨯元3.估计68的立方根的大小在( )A.2与3之间B.3与4之间C.4与5之间D.5与6之间4.如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ）AB． C ． 3.2- D．5.计算： (1)02200960cos 16)21()1(-+--- （2）)10112-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭第3课时 整式与分解因式第4题图【知识梳理】1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即n m n m a a a +=⋅（m 、n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷（a≠0，m 、n 为正整数，m>n ）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）；④零指数：10=a （a≠0）；⑤负整数指数：n n a a 1=-（a≠0，n 为正整数）；2.整式的乘除法:(1)几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除.(2)单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.(3)多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.(4)多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式.(5)平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方， 即22))((b a b a b a -=-+；(6)完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去） 它们的积的2倍，即2222)(b ab a b a +±=±3.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式分解因式．4.分解因式的方法：⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．⑵运用公式法：公式22()()a b a b a b -=+- ； 2222()a ab b a b ±+=±5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解．6．分解因式时常见的思维误区：⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉．(3) 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等【例题精讲】【例1】下列计算正确的是（ ）A. a ＋2a=3a 2B. 3a －2a=aC. a 2•a 3=a 6D.6a 2÷2a 2=3a 2【例2】（2008年茂名）任意给定一个非零数，按下列程序计算，最后输出的结果是（ ）A ．mB ．mC ．m +1D ．m -1【例3】若2320a a --=，则2526a a +-= ．【例4】下列因式分解错误的是( )A ．22()()x y x y x y -=+-B ．2269(3)x x x ++=+C ．2()x xy x x y +=+D ．222()x y x y +=+【例5】如图7-①，图7-②，图7-③，图7-④，…，是用围棋棋子按照某种规律摆成的一行“广”字，按照这种规律，第5个“广”字中的棋子个数是________，第n 个“广”字中的棋子个数是________【例6】给出三个多项式：21212x x +-，21412x x ++，2122x x -．请选择你最喜欢的两个多项式进行加法运算，并把结果因式分解．【当堂检测】1.分解因式：39a a -= ， _____________223=---x x x2.对于任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ），规定：当且仅当a ＝c 且b ＝d 时， （a ，b ）=（c ，d ）．定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）=（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）⊗（p ，q ）=（5，0），则p ＝ ，q ＝ ．3. 已知a=1.6⨯109，b=4⨯103，则a 2÷2b=( )A. 2⨯107B. 4⨯1014C.3.2⨯105D. 3.2⨯1014 ．4.先化简，再求值：22()()(2)3a b a b a b a ++-+-，其中2332a b =-=，．5．先化简，再求值：22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，．。
第1讲 实数及其有关概念
3．(2015·丹东 1 题 3 分)－2015 的绝对值是( B )
A．－2015
B．2015
1 C.2015
D．－20115
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4．(2016·锦州 1 题 2 分)|－6|的相反数是( B )
A•．单6•击第B．此二－处级6 编C.辑16 母D．版－文16 本样式
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命题点 4 实数的大小比较
1•．单(20击15此·沈处阳 1编题辑3 分母)比版0文大的本数样是式( D )
A．－• 2第•二B第．级三－级32 C．－0.5 D．1
2．(2016·朝阳• 第1 题四级3 分)在下列实数中，－3， 2，0，2，－1，绝对值最
小的数是( B ) • 第五级
1．(2015·朝阳 1 题 3 分)计算－2＋1 的结果是( B )
A．－3 B．－1 C．3 D．1
2．(2014·锦州 11 题 3 分)计算：tan45°－13(
2 3－1)0＝_3__．
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3．(2016·大连 17 题 9 分)计算：( 5＋1)( 5－1)＋(－2)0－3 27.
•1．单(2击014此·鞍处山 1编题辑3 分母)4版的文平方本根样是(式B )
A．2• 第B．二±级2 C. 2 D．± 2
2．(2014•·沈第阳三9级题 4 分)计算： 9＝_3_． 3．(2014·本溪• 第13四题级3 分)一个数的算术平方根是 2，这个数是_4__． 命题点 6 实数的• 运第算五级
•_－_单_a_，击0此的相处反编数是辑0母；a版与文b 互本为样相反式数⇔a＋b＝_0_．
(3)绝•对第值二级
著名机构初中数学培优讲义实数.第01讲(A).教师版
内容 基本要求略高要求较高要求平方根、算数平方根了解开方与乘方互为你运算，了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根会用平方运算的方法，求某些非负数的平方根立方根 了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根 会用立方运算的方法，求某些数的立方根能运用圆的性质解决有关问题 实数 了解实数的概念会进行简单的实数运算1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系；2.会求一个数的平方根和立方根并了解其限定条件3.能进行实数的运算无 理 数 的 发 现 ── 第 一 次 数 学 危 机大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论．当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性．他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此．这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机．到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了．他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中．欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致．今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些中考要求重难点课前预习实 数困难和微妙之处． 第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击．这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了．危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！模块一 平方根、算术平方根平方根:如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根． 也就是说，若2x a =，则x 就叫做a 的平方根． 一个非负数a 的平方根可用符号表示为“a ±”． 算术平方根：一个正数a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为“a ”；0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a ≥，则0a ≥． 平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．对定义和性质的考察【例1】 判断题：（1）a 一定是正数． ( ) （2）2a 的算术平方根是a ． ( ) （3）若2()6a -=，则6a =-．( )（4）若264x =，则648x =±=±． ( ) （5）64的平方根是8±． ( ) （6）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) （7）如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数． ( ) （8）2a -没有平方根． ( ) （9）如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等． ( )【难度】1星 【解析】略【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×；（6）×；（7）×；（8）×；（9）√．【巩固】若()4216A a=+，则A 的算术平方根是_________．例题精讲【难度】2星【解析】A 22(16)a +，故A 的算术平方根为216a +．【答案】216a +【巩固】设a a 的值是________． 【难度】2星【解析】a 48a 必须是完全平方数， 因为24843=⨯整数的整数a 为3．【答案】3【例2】 x 为何值时，下列各式有意义？（1； （2 （3（4） ； （5）； （6；【难度】1星 【解析】略【答案】（1）0x ≥；（2）x =0；（3）2x ≤；（4）x 为任意数；（5）x >1；（6）112x -≤≤．对计算的考察【例3】 求下列等式中的x ：（1）若x 2＝1．21，则x ＝______； （2）x 2＝169，则x ＝______；（3）若294x =，则x ＝______； （4）若x 2＝2(2)-，则x ＝______．【难度】1星【解析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数．【答案】（1） 1.1x =±；（2）x =±13；（3）32x =±；（4）x 2=±．【例4】 求下列各式的值（1） （2（3 （4（5 （6【难度】1星（1）2612⨯=； （27512=+=；（30.30.80.5-=-； （4290.91365=⨯=；（520===； （6110.8250.25 5.245=⨯+⨯=+=；【答案】（1）12； （2）12； （3）0.5-； （4）965； （5）20； （6）5.2．【巩固】求下列各式中x 的值．（1）29x =； （2）22500x -=（3）21(51)303x --= （4）2(100.2)0.64x -=【难度】1星【解析】本题考察的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．（1）3x =±； （2）225,5x x ==±；（3）221(51)3,(51)9,513,5133x x x x -=-=-=±=+；或513x =-，解得45x =或25x =-．（4）100.20.8,0.2100.8,0.210.8x x x -=±=±=或0.29.2x =解得54x =或x =46．【答案】（1）3x =±； （2）5x =±；（3）45x =或25x =-； （4）54x =或x =46．对非负性的考察【例5】 如果3a b -+【难度】2星【解析】由绝对值和算术平方根的非负性及相反数的定义解题．有题可知30220a b a b -+=⎧⎨+-=⎩解得4353a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3==．【答案】3【例6】已知2b =，求11a b+的平方根． 【难度】2星【解析】由题可知940490a a -≥⎧⎨-≥⎩，49a ∴=，b =2，=【答案】【巩固】已知x ，y ，z满足21441()02x y z -+-=，求()x z y -的值． 【难度】2星 【解析】由题可知441020102x y y z z ⎧⎪-+=⎪+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，()x z y -1111()()22416=--⨯-=．【答案】116总结： （1）当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)．（2）平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：①若0a ≥，则2a =；②不管a(0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩注意二者之间的区别及联系．（3）若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<时，它的算术平方根也之间，即：0≤<的算术平方根的大致范围．模块二 立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根， 一个数a 的立方根可用符号表，其中“3”叫做根指数，不能省略． 前面学习的其实省略了根指数“2”“三次根号a ”“二次根号a ”“根号a ”．任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0．立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．对立方根定义和性质的考察【例7】 （1）下列说法中，不正确的是 （ ）A ． 8的立方根是2B ． 8-的立方根是2-C ． 0的立方根是0D ．a（2）61164-的立方根是（ ）A ．- B ．114± C ． 114 D ．114-（3）某数的立方根是它本身，这样的数有（ ） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 （4）下列说法正确的是（ ）① 正数都有平方根；② 负数都有平方根， ③ 正数都有立方根；④ 负数都有立方根；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（5）若a 立方比a 大，则a 满足（ ）A ． a <0B ． 0< a <1C ． a >1D ． 以上都不对 （6）下列运算中不正确的是（ ）A ．= B ．3C 1-D ．4【难度】1星 【解析】略【答案】（1）D ；（2）D ；（3）C ；（4）C ；（5）D ；（6）B ．【巩固】（1）若x 的立方根是4，则x 的平方根是______．（2）3311-+-x x 中的x 的取值范围是______，11-+-x x 中的x 的取值范围是______．（3）－27______．（40=则x 与y 的关系是______．（54那么(66)2a -⋅的值是______．（6则x ＝______．（7）若m ＜0，则m ．（8）若59x +的立方根是4，则34x +的平方根是______．【难度】2星 【解析】略【答案】 （1）8±；（2）任意数； x =1；（3）1-或5-；（4）互为相反数；（5）-12；（6）x =1； （7）0； （8）对计算的考察【例8】 求下列等式中的x ：（1）若x 3＝0．729，则x ＝______； （2）x 3＝6427-，则x ＝______；（3）若52，则x ＝______； （4）若x 3＝3(2)--，则x ＝______． 【难度】1星 【解析】略【答案】（1）0.9；（2）43-；（3）1258；（4）2．【例9】 求下列各式的值（1 （2（3） （4）3（5 （6（7【难度】1星 【解析】略【答案】（1）0.4；（2）2-；（3）25-；（4）64；（5）43；（6）9；（7）6．【巩固】（1）填表：（2（3） 根据你发现的规律填空：① 1.442== ，= ；② 7.696=，= ．【难度】2星 【解析】略【答案】（1）0.01； 0.1； 1； 10； 100．（2）当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍（3） ①14.42； 0.01442； ②0.7696．总结 ：（1） 当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍．（2）a =，3a =（3） 若一个数a 介于另外两个数1a 、2a 之间，即12a a a <<<综合应用【例10】 2(27)b +的立方根． 【难度】2星【解析】由题可知80270a b +=⎧⎨+=⎩，解得827a b =-⎧⎨=-⎩，235,+=．【答案】1【例11】 已知2x -的平方根是±2，27x y ++的立方根是3，求22x y +的平方根． 【难度】2星【解析】Q2(2)=±，6x ∴=；Q 3=，8y ∴=，10==±．【答案】10±总结：平方根与立方根的区别与联系： 区别：（1）根指数不同：平方根的根指数是2，通常省略不写；立方根的根指数是3，却不能省略． （2）被开方数取值范围不同：平方根中被开方数必须是非负数；而立方根中被开方数可以为任何数． （3）平方的结果不同：平方根的结果除0之外，还有两个互为相反数的结果；而立方根的结果只有一个．（4）平方根等于本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0，1，立方根等于它本身的数是0，1，1-；联系：（5）平方根与立方根相等的数是0．（6）平方根与立方根都是与乘方运算互为逆运算．模块三 实数1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数． 注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数． （2）圆周率π及一些含π的数是无理数． （3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2 无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数； 3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数． 实数的分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 ４实数的性质：（1）任何实数a ，都有一个相反数-a ．（2）任何非0实数a ，都有倒数1a．（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小． ５ 实数与数轴上的点一一对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．对实数定义的考察【例12】 判断正误．（1）实数是由正实数和负实数组成．（ ） （2）0属于正实数．（ ）（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（ ）（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是±1．（ ） （5）若x =则x =（ ） 【难度】2星 【解析】略【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√．【例13】 下列说法错误的是（ ）A ．实数都可以表示在数轴上B ．数轴上的点不全是有理数C ．坐标系中的点的坐标都是实数对 D【难度】1星 【解析】略【答案】D【例14】 下列说法正确的是（ ）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数【难度】1星 【解析】略 【答案】A对实数性质的考察【例15】的相反数是________；的倒数是________；35-的绝对值是________．【难度】1星 【解析】略【答案】【例16】 3.141π-＝______；=-|2332|______． 【难度】1星 【解析】略【答案】-3.141π；【例17】 若||x =x ＝______；若||1x =，则x ＝______． 【难度】1星 【解析】略【答案】1或1-实数的分类【例18】 把下列各数填入相应的集合：－1、π、 3.14-、127.0&、0（1）有理数集合｛ ｝； （2）无理数集合｛ ｝； （3）整数集合｛ ｝； （4）正实数集合｛ ｝； （5）负实数集合｛ ｝． 【难度】1星 【解析】略【答案】（1）－1 3.14-、1、7.0&、0；（2、π（3）－10（4π、1、7.0&；（5）－1、 3.14-、比较大小【例19】 估 ）A ．7～8之间B ．8.0～8.5之间C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间【难度】1星【解析】略 【答案】C【例20】 实数2.6 （ ）A ．2.6<<B ．2.6C 2.6<D 2.6< 【难度】２星【解析】略【答案】B【例21】 一个正方体水晶砖，体积为1002cm ，它的棱长大约在 （ ）A ．4～5cm 之间B ．5～6cm 之间C ．6～7cm 之间D ．7～8cm 之间【难度】1星【解析】略【答案】A【巩固】把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．4，4-，153-，1．414，π，0.6， 34-， 【难度】1星【解析】略 【答案】314 1.4140.64543π>>>>>>->-．对计算的考察【例22】 计算题（1）32716949+- （2）233)32(1000216-++ 【难度】1星【解析】（1）32716949+-71333=-+=-；（2）233)32(1000216-++226101633=++=． 【答案】（1）3-；（2）2163．综合应用【例23】 写出符合条件的数． （1）小于25的所有正整数； （2）绝对值小于22的所有整数．【难度】2星【解析】略【答案】（1）1，2，3，4；（2）1-，2-，0，1，2．【例24】 一个底为正方形的水池的容积是3150m 3，池深14m ，求这个水底的底边长．【难度】1星【解析】设这个水底的底边长为x ，则有2143150x =，解得15x =．【答案】15【例25】 已知a 是11的整数部分，b 是它的小数部分，求32()(3)a b -++的值．【难度】2星【解析】91116<<Q ，∴3114<<，11∴的整数部分为3，小数部分为113-，3,113a b ∴==-，32()(3)a b -++32(3)(1133)271116=-+-+=-+=-．【答案】16-总结：没有最小的实数，0是绝对值最小的实数；带根号的数不一定是无理数；一个实数的立方根只有一个；负数没有平方根．无理数大小的比较方法：（1）比较两个数的平方的大小：a ＞0，b ＞0，若2()a ＞2()b ，则a b >；若2()a ＜2()b ，则a b <； 若2()a ＝2()b ＞，则a b =．（2）比较被开方数的大小：a ＞0，b ＞0， 若a ＞b ，则a b >； 若a ＜b ， 则a b <；若a ＝b ，则a b =．（3）作差法：若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，则a ＜b ．（4）作商法：a ＞0，b ＞0，若a b ＞1，则a ＞b ；若a b ＝1，则a ＝b ；若a b＜1，则a ＜b ．【练习1】下列说法正确是（ ）A ．有理数都是实数B ．实数都是有理数C ．带根号的数都是无理数D ．无理数包含0【难度】1星课堂检测【解析】略【答案】A【练习2】下列命题中，真命题是（ ）A ．22011的平方根是2011B ．64-的平方根是8±C6=± D ．若22a b =【难度】1星【解析】略【答案】D【练习3】有一个数值转换器原理如图所示，则当输入x 为36时，输出的y 是（ ）输出y输入xA ．6 BCD．【难度】２星【解析】略【答案】B【练习4】数轴上，有一个半径为1个单位长度的圆上的一点A 与原点重合，该圆从原点向正方向滚动一周，这时点A 与数轴上一点重合，这点表示的实数是 ．【难度】1星【解析】略【答案】2π【练习5】计算：（1（2【难度】1星【解析】（1585355245420+=-+=-； （2340.60.4-+=-． 【答案】（1）3220-；（2）0.4-．【练习6】已知()0328322=+-+-+y x y x ，求yx xy +3的值． 【难度】2星【解析】利用非负性建立二元一次方程组，解出x ，y 的值，代入即可解决问题．【答案】21.通过本堂课你学会了 ．2.通过本节课，你复习的知识点 ．3.掌握的不太好的部分 ．4.老师点评：① ．② ．③ ．1. 下列命题中，错误的命题个数是（ ）（1）2a -没有平方根； （2）100的算术平方根是10，记作10100=±（3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数； （4）2是最小的无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】1星【解析】错误的有（1），（2），（4）．【答案】C2. 若22b a =，则下列等式成立的是（ ）A ．33b a =B ．b a =C ．b a =D ． ||||b a =【难度】1星【解析】略【答案】D3. 已知坐标平面内一点A(2-，3)，将点A 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到，则A′的坐标为 ．【难度】2星【解析】在坐标平面内点的平移是左减右加，上加下减．【答案】(22,33)-+-4.已知10<<x ，则21x x x x 、、、的大小关系是__________________________（用“>”连接）．【难度】1星 课后作业 总结复习【解析】可以采用特殊值法解题，如14x =． 【答案】21x x x>>>5.计算:（1 （2）2(2)-【难度】1星【解析】（111213333=-=- ；（2）2(2)-11433231423=⨯+-⨯=+-=． 【答案】（1） 13- ； （2）4．6.已知一个长方体封闭水箱的容积是1620立方分米，它的长、宽、高的比试5:4:3，则水箱的长、宽、高 各是多少分米？做这个水箱要用多少平方分米的板材？【难度】1星【解析】在列方程解应用题时，要注意见比设k 的应用．【答案】长、宽、高各是15分米，12分米，9分米；846平方分米．7.已知实数a ，满足0a +，求11a a -++的值．【难度】2星【解析】Q 0a +，0a a a ∴++=，20a a +=，0a ∴=，112a a -++=【答案】28.先阅读理解，再回答下列问题：=，且12<的整数部分为1；=23<2；34<3；n 为正整数）的整数部分为＿＿＿＿＿＿，请说明理由．【难度】2星【解析】nQ 2(1)n n n n +=+，又22(1)(1)n n n n <+<+Q ，1n n ∴<<+（n 为正整数），∴整数部分为n ．【答案】n9. 计算下列各组算式，观察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空．（1；（2（3（4（5= ；（6= (0,0)a b ≥≥．【难度】2星【解析】（5=（6=【答案】（5；（610.若a 为217-的整数部分，1-b 是9的平方根，且a b b a -=-||，求b a +的算术平方根．【难度】3星 【解析】161725,45,223,2a <<∴<∴<<∴=Q ，14b b -==或2b =-．又a b b a -=-Q ，b a ∴≥，2,4a b ∴==，==。
2019年中考数学专题复习第1讲《实数及有关概念》(含详细参考答案)
2019年中考数学精品专题复习第一章 数与式第一讲 实数及有关概念★★★核心知识回顾★★★知识点一、实数的分类 1．按实数的定义分类：⎧⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎪⎩⎪⎩整数有限小数或无限循环小数有理数实数：无限不循环小数 2．按实数的正负分类：⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩正实数正无理数实数零负有理数负实数知识点二、实数的基本概念和性质1．数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴，实数和数轴上的点是一一对应的。
2．相反数：（1）只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ； （2）a+b=0⇔a 、b 互为 ；（3）在数轴上，表示相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离 。
3．倒数：（1）乘积为 的两个数互为倒数，用数学语言表述为：1ab =，则a ，b 互为 ； （2）1和 的倒数还是它本身， 没有倒数。
4．绝对值：（1）一般地，数轴上表示数a 的点与原点的 叫做数a 的绝对值。
（2）(0)||0(0)(0)a a a a >⎧⎪==⎨⎪<⎩（3）因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数，我们学过的非负数有三个： 、 和 。
知识点三、平方根、算术平方根、立方根 1．平方根： （1）一般地，如果一个数的 等于a ，那么这个数就叫做a 的平方根或二次方根，记作 ； （2）正数的平方根有两个，它们互为 ，0的平方根为 ， 没有平方根。
2．算术平方根：（1）一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，记作 ；（2）正数的算术平方根为 ，0的算术平方根为 。
3．立方根： （1）一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数就叫做a 的立方根或三次方根，记作 ； （2）正数的立方根为 ， 0的立方根为 ，负数立方根为 ；每个实数有且只有一个立方根。
知识点四、科学记数法科学记数法：把一个较大或较小的数写成写成10na ⨯的形式（其中a 大于或等于1且小于10，n 是正整数），使用的是科学记数法。
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·
数 学
A．0
B．1
C．－3
D．－5.2
( C)
4．|－5|的倒数是
A．－5 C．5
B．－15 1
D.5
(D )
第一章 数与式
金
榜 之
5．据有关部门预测，恩施州煤炭总储量为2.91亿吨，
路 用科学记数法表示这个数是_2_._9_×__1_0_8 吨．(保留两个有效数
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数 字) 学
6.实数a,b在数轴上对应点的位置如图1-1-2所示，则a > b.（填“>”、“<”或“=”）
第一章 数与式
金
榜
之
·
路 数
【例 5】计算：22－5×15＋|－2|
学
思路分析：按照实数的运算顺序：括号→乘除→加减，
进行逐步运算，减法运算要统一为加法．
解：22－5×15＋|－2|＝4－1＋2＝5
第一章 数与式
金 榜 相反数是
A．2 1
C.2
B．－2 D．－12
第一章 数与式
金 榜 之 路
·
数
1.牢固掌握实数的有关概念，明确它们的意义、区别
学 与联系.
2.加强实数运算的练习，注意运算符号和顺序.
3.对于比较大小和与数轴有关的问题可采用图示、猜
想、验证的方法，灵活运用数形结合思想解答.
第一章 数与式
·
金 榜 之 路 数 学
请用活页作业
第一章 数与式
幂是_正__数_____，0的任何次幂都是__0______．
3．在实数范围内进行运算的顺序是：先算__乘__方____、
开 方 ， 再 算 __乘__除____ ， 最 后 算加 减 ， 如果 有 括 号 ， 先 算
__括__号__内__的，同一级运算从____左____到____右____依次进行．
金
榜
之
除法法则：
路
(1)两数相除，同号得_____正___，异号得_____负___，并把
·
数 学
___绝__对__值__相__除___；
(2)零除以任何一个___不__等__于__零___的数都得零．
2．求__几__个__相__同__因__数__积____的运算叫乘方；正数的任何
次幂都是正__数______，负数的奇次幂是__负__数____，负数的偶次
的热点之一，经常融合在一起与现实生活中的数据联系在
一起考查，弄清近似数精确的位数、有效数字的个数、科
学记数法的结构是解题关键．
第一章 数与式
金
榜
之
【例3】某校师生为青海玉树地震灾区举行的爱心捐款
路 活动中总计捐款18.49万元．把18.49万用科学记数法表示并
·
数 学
保留两个有效数字为
()
A．1.9×105
解析：为了避免出错，最好先用乘法分配律化成和的 形式，再运算．
第一章 数与式
金
榜
9．计算：－23×(－3)2
之
路
·
解：－23×(－3)2＝－8×9＝－72
数
学
10．计算：(－1)2011＋(－3)×(－)－42÷(－2)4
解：(－1)2011＋(－3)×(－49)－42÷(－2)4＝－1＋43－ 16÷16＝－1＋43－1＝－23
第一章 数与式
金
榜 之
【例1】在－1,0,1,2这四个数中，既不是正数也不是负
路 数的是
()
·
数 学
A．－1
B．0
C．1
D．2
思路分析：本题考查实数的分类，按数的正负性可分
为正数、零、负数，大于零的数是正数，小于零的数是负
数，负数明显的特征是带有负号，但带负号的不一定是负
数，如－(－2)．
答案：B
第一章 数与式
金
榜
之 路
【例 2】若|a|＝3，则 a 的值是
·
数
A．－3
学
1
C.3
B．3 D．±3
()
思路分析：题意是求“绝对值等于3的数是多少？”由 绝对值的意义知这个数是在数轴上到原点的距离等于3的数， 应当有两个．
答案：D
第一章 数与式
金 榜 之 路
·
数
学
近似数、有效数字及科学记数法的概念和应用是中考
金
榜 之
3．为了响应国家“发展低碳经济、走近低碳生活”的
路 号召，到目前为止沈阳市共有60000户家庭建立了“低碳节
·
数 学
能减排家庭档案”．则60000这个数用科学记数法表示为
(C )
A．60×104
B．6×105
C．6×104
D．0.6×106
第一章 数与式
金
榜
之
路
4．计算：
·
数
学
9＝___3___；1×(－3)＝__-_3___；(－3)2＝___9___.
4．乘法结合律：__(_a_b_)c_=__a_(b_c_)___；
5．乘法分配律：_a_(b_+__c_)=__a_b_+_a_c__.
第一章 数与式
金 榜 之 路
·
数 学
1．下面四个数中，负数是
A．－3
B．0
C．0.2
D．3
2．－5 的相反数是
A.15
B．－15
C．－5
D．5
( A) (D)
第一章 数与式
0<b<1，再运用运算法则判断．也可代数验证．
答案：D
第一章 数与式
金 榜 之 路
·
数
本考点包括有理数的运算、无理数的运算以及它们的
学 混合运算，一定要明确每个算式的意义、所表达的运算如
(－2)4与－24表示的运算完全不同，这些问题在运算时应尤
其小心．掌握好运算法则，熟练应用运算律，积累一些运
算技巧，养成良好的运算习惯是关键．
金 榜 之 路
·
数 学
第一部分
教材基础 高效复习
第一章 数与式
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金 榜 之 路 数 学
第一章 数与式
第一章 数与式
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金 榜 之 路 数 学
第1讲 实 数
第一章 数与式
金 榜 之 路
·
数 学 了 解 近似数与有效数字的概念.
理
解
①实数的概念及分类；②有理数的意义和乘方的 意义.
掌
握
①数轴上的点表示实数的方法，并会比较数的大 小；②求实数的相反数和绝对值.
熟练 有理数的运算法则并能进行加、减、乘、除、乘 掌握 方等混合计算.
第一章 数与式
金 榜 之 路
·
数 学
一、实数的有关概念
1. 有理数和无理数 统称实数；整数和分数 统称有理数；
叫无理无数限.不整循括环小数 、 、
正. 整数 零 负整数
2.规定了 原点 、正方向、单位长度 的 直线 叫数轴.只
有 符号 不同的两个数称之为互为相反数，0的相反数 是 0 ；在数轴上，一个数a的绝对值就是表示这个数的 点到原点的距.离
金
榜
二、实数的运算
之 路
1．有理数的运算法则
加法法则：
·
数 学
(1) 同 号 两 数 相 加 ， 取 __相__同____ 的 符 号 ， 并 把 ____绝__对__值__相__加____________；
(2)异号两数相加，取_____绝__对__值__较__大__的__加__数_____的
符号，并_用__较__大__的__绝__对__值__减__较__小__的__绝__对_值____；
第一章 数与式
金
榜
友情提示
之 路
（1）有理数的运算要适当运用运算律简化运算；
·
数 学
（2）正确理解乘方的意义，如 24 与 24 的意义不同，
结果也不同.
三、实数的大小比较
在数轴上表示的数右边的总比左边的 大 ；正数 >0，负
数 < 0，正数 > 负数；两个负数，绝对值大的 小于(或 绝
对值小的.
(3)互为相反数的两个数相加得零________．
减法法则：减去一个数，等于_____加__上__这__个__数__的_．相反数
乘法法则：
(1)两数相乘，同号得____正____，异号得___负_____，
并把__绝__对__值__相__乘__；
(2)任何数与零相乘，都得____零____．
第一章 数与式
第一章 数与式
金
榜 之
3．一个近似数，四__舍__五__入__到哪一位，就说这个近似数
路 精确到哪一位，此时，从左边第一个不是____零____的数字
·
数 学
起，到 精确的数位
为止，所有的数字都叫做这个数的有
效数字．
友情提示 实数按正负性又可分为正实数、负实数、零．整数按 奇偶性分为奇数、偶数．
第一章 数与式
(A )
第一章 数与式
金
榜 之
2．由四舍五入法得到的近似数8.8×103，下列说法中
路 正确的是
·
数
学
A．精确到十分位，有2个有效数字
(C )
B．精确到个位，有2个有效数字
C．精确到百位，有2个有效数字
D．精确到千分位，有4个有效数字
第一章 数与式
金
榜
之
路
3．在 0,1，－3，－5.2 中，是负整数的是
B．19×104
C．1.8×105
D．18×104
思路分析：通过“四舍五入”取近似值后，再将整数
位保留一位化为科学记数法．
答案：C
第一章 数与式
金 榜 之 路