因式分解 复习 专题 讲义 知识点 典型例题

因式分解复习

一、基础知识

1.因式分解概念：

把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为

将这个多项式分解因式，它与整式乘法互为逆运算。

2．常用的因式分解方法：

（1）提公因式法：把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是

各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因

式的方法叫做提公因式法。

①多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式。

②公因式的构成：系数：各项系数的最大公约数；

字母：各项都含有的相同字母；

指数：相同字母的最低次幂。

（2）公式法：

①常用公式

平方差：)b a )(b a (b a 22-+=-

完全平方：222)b a (b 2ab a ±=+±

②常见的两个二项式幂的变号规律：

22()()n n a b b a -=-；2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）

（3）十字相乘法

①二次项系数为1的二次三项式

q px x ++2中，如果能把常数项q 分解成两个因式b a ,的积，并且b a +等于一次项系数中p ，那么它就可以分解成

()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22 ②二次项系数不为1的二次三项式c bx ax ++2

中，如果能把二次项系数a 分解成两

个因数21,a a 的积，把常数项c 分解成两个因数21,c c 的积，并且1221c a c a +等于一次项系

数b ，那么它就可以分解成：()=+++=++2112212212c c x c a c a x a a c bx ax ()()221c x a a x a ++。

（4）分组分解法

①定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22

a b a b -+-没有公因式，

又不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。

再提公因式，即可达到分解因式的目的。

例如22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++， 这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法。

②原则：分组后可直接提取公因式或可直接运用公式，但必须使各组之间能继续分

解。

③有些多项式在用分组分解法时，分解方法并不唯一，无论怎样分组，只要能将多

项式正确分解即可。

二、经典例题

【例】将下列各式分解因式：

（1）332636a a a +-=_______； （2）4

1_______a -=； （3）22a b a b ---=_______； （4）22

421a b b -+-=_______。

[错因透视]

因式分解是中考中的热点内容，有关因式分解的问题应防止出现一下常见错误：①公因式没

有全部提出，如332636a a a +-=2(2636)(6)(26)a a a a a a +-=+-；②因式分解不彻底，如4221(1)(1)a a a -=+-；③丢项，如22a b a b ---=()()a b a b +-；④分组不合

理，导致分解错误，22421a b b -+-=22(41)(2)(21)(21)(2)a b b a a b b ---=+---，

无法再分解下去。

基础题：

1.如果

))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( ) A ．ab B ．a ＋b C ．－ab D ．－(a ＋b)

2.如果

305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为 ( ) A ．5 B ．－6 C ．－5 D ．6

3．多项式a x x +-32

可分解为(x －5)(x －b)，则a ，b 的值分别为 ( )

A ．10和－2

B ．－10和2

C ．10和2

D ．－10和－2

4．不能因式分解分解的是 ( )

A ．22-+x x

B ．

x x x 310322+- C ．242++x x D ．22865y xy x -- 5.分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是 ( )

A ．20)(13)(22++-+y x y x

B ．

20)(13)22(2++-+y x y x C ．20)(13)(22++++y x y x D ．

20)(9)(22++-+y x y x

6．=-+1032x x __________．

7．=--652

m m (m ＋a)(m ＋b)． a ＝__________，b ＝__________．

8．+2x ____=-22y (x －y)(__________)．

9．把下列各式分解因式：

(1)a 5－a (2)1162

2-b a (3)a 2 ＋2ab ＋b 2 －a －b

(4)3123x x - (5)

21222++x x (6)22)2()2(y x y x +--

(7)（y 2 ＋3y ）－（2y ＋6）2 (8)16a 2 －9b 2 (9)4x 2

－12x ＋9

(10)4x 3＋8x 2 ＋4x (11)3m(a －b)3－18n(b －a)3

(12)(x 2＋1)2 －4x 2 (13)6x 2＋13x ＋5 (14)4x 2 －12x ＋5