小学奥数割补法、差不变原理求面积
第五讲 用等量代换求面积第六讲 用割补法求面积
第五讲用等量代换求面积一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。
前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。
分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。
因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。
直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米2）。
所以，阴影部分的面积是17厘米2。
例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。
已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。
分析与解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于10×8÷2+10=50（厘米2）。
例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。
求ED的长。
分析与解：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。
因为三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。
也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB 的面积和EC的长，从而求出ED的长。
《割补法巧算面积》课件
在本次PPT课件中，我们将讨论割补法巧算面积的方法。通过定义、原理、 应用范围、步骤与注意事项、示例演示、优缺点以及结论与展望，带您深入 了解这一计算面积的方法。
问题引入
我们经常需要计算不规则图形的面积，但传统的计算方法难以适用。割补法 是一种新颖而高效的解决方案，能够应对各种复杂的图形。接下来，我们将 介绍割补法的定义与原理。
割补法的定义与原理
割补法是一种将复杂图形分割成简单图形进行面积计算的方法。通过将图形 分解为多个易于计算的形状，然后逐个计算它们的面积，最后将所有结果相 加，我们可以准确而高效地得出整个图形的面积。
割补法的应用范围
割补法适用于各种复杂的几何图形，包括不规则多边形、曲线形状和非传统形状。它可以在建筑设计、土地测 量、地理学研究等领域发挥重要作用。
Hale Waihona Puke 2 优点：适用面广割补法适用于各种复杂图形，无论形状多么 奇特，都能计算其面积。
3 缺点：分割过程复杂
4 缺点：对计算要求较高
分割复杂图形可能需要耗费一些时间和努力。
使用割补法需要熟悉面积计算的相关公式和 方法，对于初学者可能有一定难度。
结论及展望
割补法是一种强大而实用的计算面积的方法，它可以解决传统方法难以处理 的复杂图形。未来，我们将继续研究和改进割补法，使其在更广泛的领域和 场景中发挥作用。
割补法的步骤与注意事项
步骤一：分割图形
将复杂图形分割为简单的几何形状，例如矩形、 三角形和圆。
步骤二：计算各个形状的面积
使用适当的公式计算每个简单图形的面积。
步骤三：求和
将所有计算出的面积相加，得出整个图形的面积。
注意事项
确保分割图形时不会产生重叠或遗漏的部分，以 确保计算的准确性。
割补法求面积经典例题
割补法求面积经典例题当涉及到计算面积的经典例题时，割补法是一种常用且有效的方法。
下面割补法求面积的经典例题：1. 一个矩形的长为10cm，宽为5cm，求其面积。
解：面积= 长×宽= 10cm ×5cm = 50cm²2. 一个正方形的边长为7cm，求其面积。
解：面积= 边长×边长= 7cm ×7cm = 49cm²3. 一个圆的半径为3cm，求其面积（取π=3.14）。
解：面积= π×半径²= 3.14 ×3cm ×3cm = 28.26cm²4. 一个梯形的上底长为6cm，下底长为8cm，高为4cm，求其面积。
解：面积= （上底长+ 下底长）×高÷2 = （6cm + 8cm）×4cm ÷2 = 28cm²5. 一个三角形的底边长为9cm，高为12cm，求其面积。
解：面积= 底边长×高÷2 = 9cm ×12cm ÷2 = 54cm²6. 一个平行四边形的底边长为10cm，高为6cm，求其面积。
解：面积= 底边长×高= 10cm ×6cm = 60cm²7. 一个等边三角形的边长为5cm，求其面积。
解：面积= （边长²×√3）÷4 = （5cm ×5cm ×√3）÷4 ≈10.83cm ²8. 一个正五边形的边长为8cm，求其面积。
解：面积= （5 ×边长²×√5）÷4 = （5 ×8cm ×8cm ×√5）÷4 ≈110.85cm²9. 一个正六边形的边长为12cm，求其面积。
解：面积= （6 ×边长²×√3）÷4 = （6 ×12cm ×12cm ×√3）÷4 ≈374.12cm²10. 一个扇形的半径为5cm，圆心角为60°，求其面积（取π=3.14）。
(完整版)用割补法求面积
在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。
就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。
例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。
可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。
如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。
可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。
例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。
分析与解：阴影部分是一个梯形。
我们用三种方法解答。
（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。
将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。
积和平行四边行面积同时除以2，商不变。
所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。
也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。
例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。
高斯小学奥数四年级下册含答案第05讲_割补法巧算面积
第五讲割补法巧算面积在上一讲中，我们学习了如何计算格点图形的面积，介绍了正方形格点图形和三角形格点图形的面积计算公式．根据公式，我们可以求出正方形格点图形的面积是最小正方形面积的几倍，或者求出三角形格点图形面积是最小正三角形面积的几倍．随着几何学习的步步深入，大家会发现除了用公式法直接求面积之外，还有很多间接求面积的方法．尤其是对于不规则图形，我们并不知道这些图形的面积公式，但是可以把它们通过分割、添补等各种方式变换为规则的图形．例题1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）「分析」这是一个不规则图形，我们能不能把它切成很多规则的小块，一块一块地求面积呢？ 练习1图中的数字分别表示对应线段的长度，试求下面多边形的面积．（单位：厘米）我们可以看到，在没有格点的情况下，割补的方法仍然可以使用．我们将来做几何面积计算时，就要视情况灵活运用割补法．例题2如图所示，在正方形ABCD 内部有一个长方形EFGH ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 都等于2厘米．求长方形EFGH 的面积．「分析」所求长方形的长、宽都是未知且不可求的，但是正方形面积以及周围四个直角三角形面积都是可以计算出来的，那么长方形面积怎么计算呢？1 223 453 2 4341249 DG如图所示，在正方形ABCD 内部有三角形CEF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AF 都等于2厘米．求三角形CEF 的面积．例题3如图所示，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？「分析」阴影部分零零散散，能不能通过割补的方法把它变成规则的图形嗯？ 练习3如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米．连接大正三角形的各边中点得到四个小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？例题4如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点．已知图1中阴影部分的面积是48平方分米．请问：图2中阴影部分的面积是多少平方分米？「分析」图1和图2中最小正三角形的面积是不一样的，但两个大正三角形面积却是一样的，你能求出大正三角形的面积吗？D图2如图，把两个同样大小的正方形分别分成55⨯和33⨯的方格表．图1阴影部分的面积是162，请问图2中阴影部分的面积是多少？例题4中的阴影部分都是同样形状的花图形，我们不能直接看出花图形和大正三角形的面积之间有什么倍数关系，但是借助一块块小正三角形，我们把花图形和大正三角形之间联系起来，看看它们各自占了多少个小正三角形．找到面积之间的联系，是解决类似问题的钥匙．有些图形看起来没有分割成一些相同的小图形，实际上不过是将分割线隐藏起来或者只出现了其中的一部分，需要我们自己进行分割． 例题5如图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A 的面积是36平方厘米，那么正方形B 的面积是多少平方厘米？「分析」乍一看上去和例题2有些相似，我们能不能求出大等腰直角三角形的面积呢？它的面积和正方形A 、B 之间有什么关系呢？ 例题6如图所示，已知一个四边形的两条边的长度和三个角的度数，这个四边形的面积是多少平方厘米？（单位：厘米）「分析」这个四边形并不规则，直接求面积似乎有些困难．我们已经知道了其中的三个角，其中有直角也有45°角．你能从这两种“特殊角”发现图形的特点吗？图1课堂内外毕式定理据说毕达哥拉斯有次应邀参加一位富有政要的餐会，这位主人豪华宫殿般的餐厅铺着正方形美丽的大理石地砖，由于大餐迟迟不上桌，这些饥肠辘辘的贵宾颇有怨言；但这位善于观察和理解的数学家却凝视脚下这些排列规则、美丽的方形瓷砖，但毕达哥拉斯不仅仅是欣赏瓷砖的美丽，而是想到它们和数之间的关系，于是拿了画笔并且蹲在地板上，选了一块瓷砖以它的对角线AB为边画一个正方形，他发现这个正方形面积恰好等于两块瓷砖的面积和．他很好奇……于是再以两块瓷砖拼成的矩形之对角线作另一个正方形，他发现这个正方形之面积等于5块瓷砖的面积，也就是以两股为边作正方形面积之和．至此毕达哥拉斯作了大胆的假设：任何直角三角形，其斜边的平方恰好等于另两边平方之和．那一顿饭，这位古希腊数学大师，视线都一直没有离开地面．这就是著名的毕式定理：在任何一个直角三角形中（等腰直角三角形也算在内），两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方．实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查．相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的这个故事都是后人辗转传播的．可以说真伪难辨．这个现象的确不太公平，之所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上．他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了．至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究．因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了．不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，更普遍地则称为勾股定理．中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦．作业1. 下图中的数字分别表示对应线段的长度，图中多边形的面积是多少？2. 如下图所示，在正方形ABCD 内部有梯形EHGF ．已知正方形ABCD 的边长是6厘米，图中线段AE 、AH 、BF 、DG 都等于2厘米．则梯形EHGF 的面积是多少平方厘米？3. 如图所示，平行四边形的面积是12，把一条对角线四等分，将四等分点与平行四边形另外两个顶点相连．图中阴影部分的面积总和是多少？4. 下图中空白部分的面积是100，那么阴影正方形的面积是多少？5. 如图所示，正六边形ABCDEF 的面积是36．阴影正六边形的面积是多少？D G324 34 1242 3 33 3第五讲 割补法巧算面积1. 例题1答案：32平方厘米详解：对这个图形进行简单分割后，分别求面积再相加． 32243632⨯+⨯+⨯=平方厘米．也可对图形进行添补．（如右图）2.例题2答案：16平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEH 、FCG 的面积是2平方厘米，三角形EBF 、GDH 的面积是8平方厘米．长方形EFGH 的面积是36228216-⨯-⨯=平方厘米．3. 例题3答案：50平方厘米详解：首先可把小正方形中间的阴影部分添补到相对应的空白处，中间小正方形的面积等于四个角上的阴影三角形的面积和．可连接正方形对边的中点，也可以把四个三角形向中间对折都可以说明阴影部分的面积是正方形面积的一半，即为1010250⨯÷=平方厘米. 4. 例题4答案：27平方厘米详解：图1中大三角形被分成9块，阴影部分面积占3块，面积是48平方分米，那么每个小三角面积是16平方分米，大三角形面积是169144⨯=平方分米． 图2中大三角形被分成了16块，那么每个小三角形的面积是144169÷=平方分米，阴影部分面积是9327⨯=平方分米． 5. 例题5答案：32平方厘米详解：对图形进行如左图的分割，通过第一个图，我们知道等腰直角三角形的面积8平方厘米，正方形B 的面1 2 2 3 4 5 1 22 3 45积是32平方厘米．6. 例题6答案：20平方厘米详解：如图所示，把原图添补成一个大的等腰直角三角形．需要将多余的小直角三角形去掉才是原图．大等腰直角三角形的底是7厘米，高是7厘米，所以面积是77224.5⨯÷=平方厘米；小等腰直角三角形的底是3厘米，高是3厘米，所以面积是332 4.5⨯÷=平方厘米．所以四边形的面积是24.5 4.520-=平方厘米．7. 练习1答案：78平方厘米详解：492331278⨯+⨯+⨯=平方厘米.8. 练习2答案：10平方厘米详解：正方形面积是36平方厘米，三角形AEF 的面积是2平方厘米，三角形BEC 、DFC 的面积都是12平方厘米．三角形EFC 的面积是362121210---=平方厘米．9. 练习3答案：5简答：大正三角形被分成12块，阴影部分占6块，占总个数的一半，面积为5平方厘米．10. 练习4答案：1503 243 4124 9简答：图1中大正方形被分成25块，阴影部分面积占18块，面积是162，那么每个小正方形面积是9，大正方形面积是259225⨯=．图2中大正方形被分成了9块，那么每个小正方形的面积是225925÷=，阴影部分面积是256150⨯=．11. 作业1答案：84简答：()312433332284⨯+⨯+++⨯⨯=平方厘米．12. 作业2答案：18简答：首先求出大正方形的面积，再求出各个角上的小三角形的边长和面积．然后把大正方形的面积减去四个小三角形的面积就得梯形的面积． 13. 作业3答案：6简答：将右上两个阴影三角形切下来添到左侧空白处，使其拼成一个大的三角形．阴影面积是平行四边形面积的一半．所以阴影部分的面积是6． 14. 作业4答案：80简答：对三角形进行分割，能知道每个小三角形的面积是100520÷=，阴影正方形的面积是80．15. 作业5答案：9简答：把大六边形划分为24个小正三角形，其中阴影部分可以分成6个小正三角形，所以大六边形是阴影部分面积的4倍，正六边形面积是36，阴影部分的面积是3649÷=．。
小学六年级奥数专题训练：不规则图形的面积求法
一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了。
二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。
三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它是一个底2，高4的三角形，就可以直接求面积了。
四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了。
五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便。
六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半. 七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求上图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积. 九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。
割补法、差不变原理
割补法、差不变原理分割法在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。
就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到分割、拼补的方法。
例题1.在直角三角形ABC中，四边形DECF为正方形，若AD=5，DB=6,则ADE 与BDF的面积之和是多少？例题2、五边形的三条边的长和四个角的度数，如下图所示，那么它的面积是多少？例题3、下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。
求乙正方形的面积。
例题4、如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
例题5、在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几？练习1.在直角三角形ABC中，四边形DECF为正方形，若AD=7，DB=8,则ADE 与BDF的面积之和是多少？练习2.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。
练习3.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45厘米2。
求甲、乙的面积之和。
练习4.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。
已知梯形的面积为36厘米2，上底为3厘米，求下底和高。
练习5、如图，三个正方形的边长分别为5厘米、6厘米、4厘米拼在一起，求阴影部分的面积？练习6、下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）有多大？等差法解题关键：找出组合图形的公共部分解题技巧：利用差不变原理进行等量代换：例题1、如图ABCG是的长方形，AB=7,AG=4,DEFG是的长方形,GF=2,FE=10。
小学奥数——用割补法求面积
小学奥数解析十三用割补法求面积在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。
就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。
例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。
可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。
如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。
可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。
例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。
分析与解：阴影部分是一个梯形。
我们用三种方法解答。
（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。
将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。
积和平行四边行面积同时除以2，商不变。
所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。
也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。
例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。
割补法求面积PPT课件
❖ 方法二：也可以把右上角的长方形补完整，用大长方形的面 积减去阴影部分周围的三个三角形的面积和。
❖ （7+4）×7-[（7+4）×（7-4）÷2+4×4÷2+7×7÷2]=28 （平方厘米）
❖ 答：阴影部分面积是28平方厘米。
画龙点睛
❖ “割”是一种最常见的求面积的辅助方法，即把要 求面积的图形分割成若干小块，并且每一小块的面 积都可以直接用公式算出，最后求和；“补”也是 一种辅助解决问题的好办法，它能得到的一个更加 完整的图形，使要求面积的图形包含在整个图形之 中，解法二就是利用的此思路。
举一反三
❖ 1.求图形阴影部分的面积。（单位:厘米）
5 5
3 3
❖ 2.如图：AB=8厘米，CE=12厘米，CD=10厘米，
AF=9厘米，求四边形ABCD的面积。
B
E
A
F
D
C
❖ 3.如图：直角三角形中有一个矩形，求矩形 的面积。（单位：厘米）
4
6经Leabharlann 例题下图中ABCD和DEFG都是正方形，求阴影部分的 面积。（单位：厘米）
B
7
A
F
4
C
D
E
解题策略
❖ 方法一：题中所求是阴影部分的面积，实际是求三 角形BDF的面积，此三角形的底和高都是未知的，我 们无法直接用公式来计算，但是，如果把阴影部分 分割成△BGF、 △DFG和△BDG这三块，先分别求出 这三个小三角形的面积，再把它们相加起来，就能 得到阴影部分的面积。
小学奥数《三角形的面积》教学课件
复习巩固
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作业1：请分别以三角形的三条边为底边，作出每条底边对应的高。
复习巩固
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作业2：求下图中三角形的周长和面积。（单位：厘米）
复习巩固
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作业3：图中两个正方形的边长分别是 6 厘米和 4 厘米，问图中阴影部分的面积是多少平方 厘米？
4 5
4
4
4
4 6
数学例题
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练习2：如图，将两个正方形拼接在一起，已知小正方形的边长是 8，求阴影三角形的面积。
数学例题
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例题3：如图，已知三角形 ABC 的面积是 80 平方厘米，AD=10 厘米，求 BC 的长。
数学例题
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练习3：如图，把小正方形的每边延长 2 厘米后，得到一个大正方形．大正方形的面积比小 正方形的面积大 36 平方厘米，那么小正方形的边长是多少厘米？
数学例题
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例题7：如图，三角形 ABC 的周长是 72 厘米，在三角形 ABC 中有一点 P，过 P 分别作 AC、AB、BC 的垂线，已知 PE=PF=PD=5 厘米，求三角形 ABC 的面积。
数学例题
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练习7：如图，直角三角形 ABC 的面积是 96 平方厘米，在三角形 ABC 中有一点 P，过 P 分别作 AC、AB、BC的垂线，已知 PE=PF=PD=4 厘米，求直角三角形 ABC 的周长。
复习巩固
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作业6：如图，甲的面积比乙的面积大多少？平方厘米
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
下节课见！
你若盛开，清风自来
小学奥数割补法、差不变原理求面积
分割法 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。
就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到分割、拼补的方法。
例题2、五边形的三条边的长和四个角的度数，如下图所示，那么它的面积是多少？例题3、下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。
求乙正方形的面积。
例题4、如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
例题5、在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几？练习2.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。
练习3.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45厘米2。
求甲、乙的面积之和。
练习4.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。
已知梯形的面积为36厘米2，上底为3厘米，求下底和高。
练习5、如图，三个正方形的边长分别为5厘米、6厘米、4厘米拼在一起，求阴影部分的面积？练习6、下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）有多大？等差法解题关键：找出组合图形的公共部分解题技巧：利用差不变原理进行等量代换：例题1、如图ABCG是的长方形，AB=7,AG=4,DEFG是的长方形,GF=2,FE=10。
那么，三角形BCM的面积与三角形DCM面积之差是多少？练习1如图ABCG是的长方形，AB=5,AG=3,DEFG是的长方形,GF=1,FE=9。
那么，三角形BCM的面积与三角形DCM面积之差是多少？例题2、如图所示，平行四边形ABCD的边长BC长为8，直角三角形BCE的直角边CE长为6。
小学奥数——用割补法求面积
小学奥数解析十三用割补法求面积在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。
就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。
例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：(1)如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。
可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
(2)在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。
如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。
可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5X 5=25。
例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段 (见右图)，求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。
分析与解：阴影部分是一个梯形。
我们用三种方法解答。
(1)割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。
将这两个直角三角nX 4X 4-4-4X 4- 2=4.56。
形拼成一个长方形〔见下图）°显然，阴影部分正好是长方形的2,所以将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。
显然，图中阴影面积占平行四边形面积的苓根据商不变性质.将阴影面积和平行四边行面积同时除以2,商不变。
所以原题阴影部分占整个图形面积的！（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，所以阴影部分占整个圈形面积的I注意，后两种方法对任意三角形都适用。
也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。
例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
小学奥数专题： 巧求面积(1)
第二讲巧求面积（1）知识导航一、长方形与正方形的面积1、已知长方形的长与宽，长方形的面积等于长乘宽的积。
2、已知正方形的边长，正方形的面积等于正方形边长的平方。
二、面积计算中的割补法1、如果一个复杂图形经过分割可以变成几个简单图形，可以通过算出简单图形的面积再相加来计算复杂图形的面积。
2、如果一个复杂图形可以看成一个简单图形去掉一个或几个简单图形，再通过算出整体与去掉部分的差来计算复杂图形的面积。
3、有时我们需要先割后补，分割后将分割成的几部分面积重新拼接，将复杂图形的面积转化成一个容易计算的图形面积，然后再进行计算。
典型例题一（基本图形的面积）例1 如图所示，两个正方形的边长分别为a=10厘米和b=20厘米，求阴影部分的面积。
典型例题二（通过分割将复杂图形转化为基本图形）例2 下图中各角度均为直角，求这个图形的面积。
（单位：厘米）练习如图所示，多边形ABEFGD是由一个长方形ABCD及一个正方形CEFG拼成的，线段的长度如图所示，求多边形ABEFGD的面积。
（单位：厘米）典型例题三（割补法求复杂图形的面积）例3 如图所示，小区里的草地长16米，宽8米，草地中间留了宽2米的路，把草地平均分成四块，每一块地的面积是多少？练习一个长方形，如果长减少5厘米，宽减少2厘米，那么面积就减少66平方厘米，这时剩下的部分恰好成为一个正方形，求原来长方形的面积。
典型例题四（其他方法求复杂图形的面积）例4 如图所示，一个长方形广场的正中央有一个长方形的水池，水池长8米，宽3米。
水池周围用边长为1米的方砖一圈一圈地向外铺，恰好铺了若干圈，共用了152块砖，那么共铺了多少圈？练习如图所示，从一个正方形的木板上锯下宽1米的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为6平方米，问锯下的长方形木条的面积是多少？课后巩固1．一个长方形铁板，长15分米，宽12分米，如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米？2．如图所示，街心花园里有一个正方形花坛，四周有一条宽1米的小路，如果小路的面积是12平方米，那么中间花坛的面积是多少平方米？3．如图所示，四边形ABCD为正方形，已知对角线AC长为12厘米，求正方形ABCD的面积。
小升初几何-用割补法巧求面积
小升初几何之---用割补法求面积在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。
就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。
例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。
可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。
如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。
可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。
例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。
分析与解：阴影部分是一个梯形。
我们用三种方法解答。
（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。
将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。
积和平行四边行面积同时除以2，商不变。
所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。
也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。
例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。
四年级下第5讲《割补法巧求面积》教学课件
图1
图2
例题讲解
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练习4：如图，把两个同样大小的正方形分别分成5×5和3×3的方格表，图1阴影部分的面积 是162，请问：图2中阴影部分的面积是多少?
图1
图2
例题讲解
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例题4中的阴影部分都是同样形状的花图形，我们不能直接看出花图形和大正三角形 的面积之间有什么倍数关系，但是借助一块块小正三角形，我们把花图形和大正三 角形之间联系起来，看看它们各自占了多少个小正三角形；找到面积之间的联系， 是解决类似问题的钥匙，有些图形看起来没有分割成一些相同的小图形，实际上不 过是将分割线隐藏起来或者只出现了其中的一部分，需要我们自己进行分割.
例题讲解
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练习3：如图所示，大正三角形的面积为10平方厘米，连接大正三角形的各边中点得到四个 小正三角形，取各个小正三角形的中心，再将每个小正三角形的中心和顶点相连，得到三个 一样的小三角形，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米?
例题讲解
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例题4：如图，把两个相同的正三角形的各边分别三等分和四等分，并连接这些等分点；已 知图1中阴影部分的面积是48平方分米，请问：图2中阴影部分的面积是多少平方分米? 分析：图1和图2中最小正三角形的面积是不一样的，但两个大正三角形面积却是一样的，
AF
D
E
B
C
例题讲解
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例题3：如图所示，大正方形的边长为10厘米，连接大正方形的各边中点得小正方形，将 小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部 分的面积总和等于多少平方厘米? 分析：阴影部分零零散散，能不能通过割补的方法把它变成规则的图形呢?
小学奥数 几何 割补法求面积、等差法 知识点+例题+练习 (分类全面)
巩固.在直角三角形ABC中，四边形DECF为正方形，若AD=7，DB=8,则ΔADE与ΔBDF的面积之和是多少？AD EB CF巩固、如图所示，用一张斜边长为29厘米的红色直角三角形纸片、一张斜边长为50厘米的蓝色直角三角形纸片、一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形.红、蓝两张三角形纸片面积之和是多少？例2、五边形的三条边的长和四个角的度数，如下图所示，那么它的面积是多少？巩固.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。
例3、如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
巩固.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。
已知梯形的面积为24平方厘米，上底为4厘米，求下底和高。
例4、在一个等边三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几？巩固、如图，三个正方形的边长分别为8厘米、10厘米、6厘米拼在一起，求阴影部分的面积？巩固、下图是两块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）分别有多大？等差法解题关键：找出组合图形的公共部分解题技巧：利用差不变原理进行等量代换：例1、如图ABCG是的长方形，AB=7,AG=4,DEFG是的长方形,GF=2,FE=10。
那么，三角形BCM的面积与三角形DEM面积之差是多少？巩固、如图ABCG是的长方形，AB=5,AG=3,DEFG是的长方形,GF=1,FE=9。
那么，三角形BCM的面积与三角形DEM面积之差是多少？例2、如图所示，平行四边形ABCD的边长BC长为8，直角三角形BCE的直角边CE长为6。
已知两块阴影部分的面积和比三角形EFG的面积大8，求CF的长度？巩固、如图，四边形BCEF是平行四边形，三角形ACB是直角三角形，BC的长是8厘米，AC长是7厘米。
割补法求面积技巧
割补法是一种常用的求面积的方法，其基本思想是将一个复杂的图形割补成几个简单的规则图形，然后利用这些规则图形的面积公式来求解原图形的面积。
以下是使用割补法求面积的一些技巧：
1.观察图形：首先观察要计算的图形，看是否可以通过割补将其变为简单的规则图形。
2.选择割补方式：根据图形的特点，选择合适的割补方式。
割补方式的选择对于简化问题非常重要。
3.计算规则图形面积：对于割补后的规则图形，使用相应的面积公式进行计算。
4.求和或相减：如果图形是通过割补多个部分得到的，那么需要将各部分的面积相加或相减，以得到原图形的面积。
5.验证答案：完成计算后，要验证答案是否正确。
可以通过将答案代回原图形，看是否与原图形的面积相等来进行验证。
下面是一个使用割补法求面积的例子：
题目：求下图中阴影部分的面积（单位：cm²）。
![阴影部分为不规则图形]
（请根据您所使用的软件或平台的功能进行适当的调整或
绘制）
解：观察图形，发现可以将阴影部分割补成一个半圆和一个等腰直角三角形。
半圆的半径为r = 5cm，面积为 21×π×r2。
等腰直角三角形的底为b = 10cm，高为h = 5cm，面积为 21×b×h。
因此，阴影部分的面积为半圆面积加上三角形面积，即 21×π×52+21×10×5=39.25cm2。
五年级数学思维 割补法巧算面积 利用差不变求面积 练习题
利用差不变求面积1.如图是两个相同的直角三角形组合而成。
请问：阴影部分的面积是多少平方厘米？2.下面是将两个完全相同的直角三角形ABC 与DEF 叠放在一起形成的图形，AB 长2 厘米，BE 长1 厘米，OE 长1.5 厘米。
求阴影部分的面积。
3.下面是两个完全相同的直角三角形叠放在一起形成的图形。
求阴影部分的面积。
4.下图是两个相同的直角梯形重叠在一起形成的组合图形，其中AB=8cm、CD=10cm、D=20cm。
请问：阴影部分的面积是多少平方厘米？5.下面是两个相同的直角梯形ABCD 和EFGH 叠放在一起形成的图形，FG 长10 厘米，OG 长5 厘米，OC 长2 厘米。
求阴影部分的面积。
6.下面是边长分别是4 厘米、3 厘米的两个正方形，它们重叠部分的面积是2 平方厘米。
求这两个正方形中阴影部分的面积差。
7.下图中，正方形ABCD 与长方形EFHG 交于I、J 两点，正方形ABCD 的边长是9 厘米，EG 长7 厘米，EF 长5 厘米。
求两个阴影部分的面积差。
8.下图中，两个正方形的边长分别是8 厘米和6 厘米，图中阴影部分是重叠部分。
两个正方形的空白部分的面积差是多少平方厘米？9.下面是将两个完全相同的直角三角形叠放在一起形成的图形，AB 长5 厘米，BF 长3.4 厘米，AC 长3 厘米。
求阴影部分的面积。
10.求下图中甲、乙两个阴影三角形的面积差。
11.下面是长方形ABCD与平行四边形CDEF叠放在一起形成的图形，且AB、EF在同一条直线上，AD长7厘米，CD长4厘米，BH长3厘米。
求阴影部分的面积。
12.下图中，平行四边形ABCD 的底边BC 是6 厘米，直角三角形BCE 的直角边CE 是5 厘米，两阴影部分的面积和比三角形FEG 的面积大12 平方厘米。
求平行四边形ABCD 的面积。
13.下图中，平行四边形ABCD 的底边BC 是12 厘米，直角三角形BCE 的直角边CE 是10 厘米，两阴影部分的面积和比三角形FEG 的面积大24 平方厘米。
(完整word版)小学奥数求面积专题
专题三组合图形的面积计算1.等量代换法一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。
前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。
这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。
例1小两个正方形组成下图所示的组合图形。
已知组合图形的周长是52厘米，DG=4厘米，求阴影部分的面积。
例2两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。
例3 下页上图中，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求三角形BCO与三角形EFO的面积之差。
例4在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。
求ED的长。
例5左下图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。
2.割补法在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。
就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。
、例6求下列各图中阴影部分的面积：例7如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
例8下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。
求乙正方形的面积。
作业：1.左下图中，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米，以C为圆心、CF为半径画弧线EF，组成扇形CEF。
如果图中甲、乙两部分的面积相等，那么扇形所在的圆的面积是多少？2.右上图（单位：厘米）是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积。
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分割法 在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。
就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到分割、拼补的方法。
例题2、五边形的三条边的长和四个角的度数，如下图所示，那么它的面积是多少？
例题3、下图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40厘米2。
求乙正方形的面积。
例题4、如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长
5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
例题5、
在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几？
练习2.求下图（单位：厘米）中四边形ABCD的面积。
练习3.下图是甲、乙两个正方形，甲的边长比乙的边长长3厘米，甲的面积比乙的面积大45厘米2。
求甲、乙的面积之和。
练习4.在左下图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。
已知梯形的面积为36厘米2，上底为3厘米，求下底和高。
练习5、如图，三个正方形的边长分别为5厘米、6厘米、4厘米拼在一起，求阴影部分的面积？
练习6、下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积（阴影部分）有多大？
等差法
解题关键：找出组合图形的公共部分
解题技巧：利用差不变原理进行等量代换：
例题1、如图ABCG是的长方形，AB=7,AG=4,DEFG是的长方形,GF=2,FE=10。
那么，三角形BCM的面积与三角形DCM面积之差是多少？
练习1如图ABCG是的长方形，AB=5,AG=3,DEFG是的长方形,GF=1,FE=9。
那么，三角形BCM的面积与三角形DCM面积之差是多少？
例题2、如图所示，平行四边形ABCD的边长BC长为8，直角三角形BCE的直角边CE长为6。
已知两块阴影部分的面积和比三角形EFG的面积大8，求CF的长度？
练习2、如图，四边形BCEF是平行四边形，三角形ACB是直角三角形，BC的长是8厘米，AC长是7厘米。
阴影部分的面积比三角形ADH的面积大12平方厘米，求AH 的长度？
例题3、如图是两个正方形拼起来，边长分别为7和10厘米，甲三角形的面积比乙三角形的面积多多少平方厘米？
练习3、如图所示，长方形的长为10厘米，宽为6厘米，阴影三角形ACE的面积比阴影三角形DEF的面积多10平方厘米，求DF的长度？。