匀变速直线运动的应用
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追及问题中常用的临界条件:
⑴速度小者追速度大者,追上前两个物体速度相等时,有 最大距离; ⑵速度大者减速追赶速度小者,追上前在两个物体速度 相等时,有最小距离.即必须在此之前追上,否则就不能追 上.
例2、一车从静止开始以1m/s2的加速度前进，车后相距 x0为25m处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能 否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。
分析：画出运动的示意图如图所示：
vA= 4m/s
vB= 10m/s a= -2m/s2
7m
A车追上B车可能有两种不同情况：
追上处
B车停止前被追及和B车停止后被追及。
究竟是哪一种情况，应根据解答结果，由实际情况
判断。
解答：设经时间t 追上。依题意： vBt + at2/2 + x = vAt
10t - t 2 + 7 = 4 t
匀变速直线运动的应用（一）
01 2
3
4
5
S1 S2
S3
S4
S5
6
S6
2
Δs=s2-s1=s3-s2=s4-s3=…=sn-sn-1=aT
推导过程：
01 2
3
4
5
S1 S2
S3
S4
S5
6
S6
• 结论：（匀变速直线运动的判别式）
连续（相邻）相等时间里的位移之差相等
（为一恒量）。
即：
2
Δs=s2-s1=s3-s2=s4-s3=…=sn-sn-1=aT
推论：Sm-Sn=(m-n) a T2
扩展：纸带分析（逐差法）
01 2
3
4
5
6
S1 S2
S3
S4
Δ S1 = S 4 - S1 = 3a1 T2
Δ S2 = S 5 – S2 = 3a2 T2
Δ S3 = S6 – S3 = 3a3 T2
S5
S6
a1 = （S 4 - S1 ） / 3 T2
a2 = （S 5 – S2 ） / 3 T2
△x=x0+x车－x人=25+18－36=7m
例3. 在平直公路上有两辆汽车A、B平行同向行驶， A 车 以 vA=4m/s 的 速 度 做 匀 速 直 线 运 动 ， B 车 以 vB=10m/s的速度做匀速直线运动，当B车行驶到A车 前x=7m处时关闭发动机以2m/s2的加速度做匀减速直 线运动，则从此时开始A车经多长时间可追上B车？
∴ 相距最远
x=
vt2 － v02 2a
=
－ 62 2×3
=－6m
2．什么时候汽车追上自行车，此时汽车的 速度是多少？
解：汽车追上自行车时，二车位移相等（位移关系）
则 vt′=at′2/2 6×t′= at′2/2， t′=4 s v′= at′= 3×4=12 m/s
小结：分析相遇问题时，一定要分析所需满 足的两个关系：
1.找出两个物体的运动时间之间的关系; 2.利用两个物体相遇时必须处于同一位置(同时同地),
找出两个物体位移之间的关系
思考：若自行车超过汽车2s后，汽车才开始加速。那 么，前面的1、2两问如何？
追及和相遇问题的分析方法:
1.根据对两个物体的运动过程的分析，画出运动过程的 示意图 2.根据追逐的两个物体的运动性质,选择同一参照物,列 出两个物体的位移方程，注意要将两物体运动时间的关 系反映在方程中 3.由运动示意图找出两个物体的位移间的关系方程，这 是关键 4.联立方程进行求解.
123
n
例4、一列火车由等长的车厢连接而成，车厢 之间的间隙忽略不计，一人站在站台上与 第一节车厢的最前端相齐。当列车由静止 开始做匀加速直线运动时，测得第一节车 厢通过他的时间为2s，则从第4节车厢通过 他的时间为多少？
情境设置 (三)追及和相遇问题
一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时 汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆 自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽 车。试求： 1秒末自行车与汽车的距离： △x1=4.5m 2秒末自行车与汽车的距离： △x2=6.0m 3秒末自行车与汽车的距离： △x3=4.5m 4秒末自行车与汽车的距离： △x4= 0 m 5秒末自行车与汽车的距离： △x5=7.5m 6秒末自行车与汽车的距离： △x6=18m
解：（1）汽车速度减到4m/s时运动的时间 和发生的位移分别为 t=(v自- v汽)/a=（4-10）/(-6）s=1s x汽= （v自2-v汽2）/2a=(16-100)/(-12)=7m 这段时间内自行车发生的位移x自= v自t=4m 因为 x0+x自>x汽 所以，汽车不能撞上自行车。 汽车与自行车间的最近距离为 △x=x0+x自－x汽=（10+4－7）m=7m （2）要使汽车与自行车不相撞
s5
s6
图(3)
解：a
( s4
s5
s6 ) ( s1 ( 3T )2
s2
s3
)
4.31 102 0.09
0.48m/s 2
例题2 在“探究小车速度随时间变化的关系”的实验中，所
用交流电的频率为50Hz。某次实验中得到的一条纸带
如图所示，从比较清晰的点起，每五个点取一个点作
为计数点,分别标明0、1、2、3、4.量得x1=30.0mm, x2=36.0mm, x3=42.0mm, x4=48.0mm,则打点2时小车的 瞬时速度为 0.390 m/s和小车的加速度为 0.600 m/s2 。(实验结果保留三位有效数字)
∴ △xm=6t － 3t2/2= 6×2 － 3 ×22 /2=6 m
解法三 用相对运动求解更简捷
选匀速运动的自行车为参考系，则从运动开始到相距 最远这段时间内，汽车相对参考系的各个物理量为：
初速度 v0= v汽初－v自=0 － 6= －6 m/s
末速度 vt= v汽末－v自=6 － 6= 0 加速度 a= a汽－a自=3 － 0= 3 m/s2
t=7s t=-1s(舍去)
B车刹车的时间 t′= vB / a =5s 显然，B车停止后A再追上B。
B车刹车的位移 xB=vB2/2a=102/4=25m
A车的总位移 xA=xB+x=32m ∴t =xA/vA=32/4=8s 思考：若将题中的7m改为3m，结果如何？
答：甲车停止前被追及
例4.汽车正以10m/s的速度在平直公路上做匀速直线运动,突 然发现正前方10m处有一辆自行车以4m/s的速度同方向做 匀速直线运动,汽车立即关闭油门,做加速度为6m/s2的匀减 速运动,问： （1）汽车能否撞上自行车?若汽车不能撞上自行车，汽车 与自行车间的最近距离为多少？
xAB=15cm，xBC=20cm，试求：
• （1）小球的加速度
• （2）拍摄时B球的速度VB
A B
• （3）拍摄时xCD •(
C D
中间时刻的瞬时速度
V
Vo Vt 2
Vt / 2
中点位置瞬时速度:(尝试推导)
vS
2
v02
v
2 t
2
练习.做匀加速运动的列车出站时,车头
经过某标牌时的速度为1m/s,车尾经 过该标牌时的速度为7m/s,则车身的 中部经过该标牌时的速度大小为 ()
【思考分析】 1．汽车从路口开动后，在追上自行车之前经 过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ 分析：汽车追上自行车之前，
v汽<v自时 △x变大 v汽=v自时 △x最大 v汽>v自时 △x变小
解法一 物理分析法
两者速度相等时，两车相距最远。
v汽=at=v自 （速度关系）
∴ t= v自/a=6/3=2s
A、4m/s
B、5m/s
C、3.5m/s D、5.5m/s
v v 请思考: t 与 s 的大小关系???
2
2
结论:
无论是匀加速直线运动还是 匀减速直线 运动 中点位置的速度>中点时刻的速度.
V V 即:
S t
2
2
(二)、初速为零的匀加速直线运动的几个比例 式
1、1T末、2T末、3T末……的瞬时速度之比为 v1﹕v2﹕v3 … vn = 1﹕2﹕3 … ﹕n
所以，人追不上车。
在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度，因 此人车间的距离逐渐减小；当车速大于人的速度时， 人车间的距离逐渐增大。因此，当人车速度相等时， 两者间距离最小。
at′= v人 t′=6s 在这段时间里，人、车的位移分别为：
x人=v人t=6×6=36m
x车=at′2/2=1×62/2=18m
（2）汽车减速时，他们间距离至少多大不相撞？
分析：画出运动的示意图如图所示
v汽= 10m/s a= -6m/s2
v自= 4m/s
10m
追上处
汽车在关闭油门减速后的一段时间内，其速度大于自行车 速度，因此，汽车和自行车之间的距离在不断的缩小，当 这距离缩小到零时，若汽车的速度减至与自行车相同，则 能满足汽车恰好不碰上自行车
画出）, 如图(3)所示，图中s1=4.81cm，s2=5.29cm, s3=5.76cm，s4=6.25cm，s5=6.71cm，s6=7.21cm。已知 打点计时器所用交流电频率为50Hz，则加速度的大小 为 _0_.4_8___ m/s2（结果保留两位有效数字）。
AB C D E
F
G
s1 s2 s3 s4
△x= v自t－ at2/2=6×2 － 3 ×22 /2=6m
小结：初速度为零的匀加速直线运动物体追 及同向匀速物体时，追上前具有最大距离的 条件： 两者速度相等
解法二 用数学求极值方法来求解 设汽车在追上自行车之前经过t时间两车相距最远
∵△x=x1－x2=v自t － at2/2 （位移关系） ∴ △x=6t －3t2/2 由二次函数求极值条件知 t= －b/2a = 6/3s = 2s时， △x最大
2、1T内、2T内、3T内的位移之比为 x1﹕x2﹕x3 … xn = 1﹕4﹕9 … n2
3、第1个T内、第2个T内、第3个T内…的位移比为 xⅠ﹕xⅡ﹕xⅢ …xN = 1﹕3﹕5 …（2n – 1）
4、通过连续相等的位移所用的时间之比为
t : t : t : t 1: 2 1 : 3 2: n n 1
a3 = （S6 – S3 ） / 3 T2
a
(
wenku.baidu.coma1
a2 3
a3
)
(
S4
S5
S6 (
) 3T
( S1 )2
S2
S3
)
逐差法的实质是将纸带分为两大 段: 设T′为大段的时间，则
a
S后 S前 T2
第n点的瞬时速度
Vn
Sn
Sn1 2T
例题1：
某同学用打点计时器测定加速度，在得到的纸带上
选取七个计数点（相邻两个计数点之间还有四个点未
位移关系指两物体同地运动还是一前一后，通过画运 动示意图找两物体间的位移关系是解题的关键。 2.若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意，追上 前该物体是否停止运动。 3.仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘 题目中隐含条件，如“刚好”、“恰巧”、“最多” 、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的 临界条件。
则汽车减速时它们之间的距离至少为 x=x汽－x自=（7-4）m=3m
分析追及和相遇问题时要注意：
1.一定要抓住一个条件两个关系 （1）一个条件是两个物体速度相等时满足的临界条件 ，如两个物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上 等。 （2）两个关系是时间关系和位移关系 时间关系指两物体是同时运动还是一前一后
x0 v=6m/s
a=1m/s2
解析：依题意，人与车运动的时间相等，设为t,
当人追上车时，两者之间的位移关系为：
x车+x0= x人
即： at2／2 + x0= v人t 由此方程求解t，若有解，则可追上；
若无解，则不能追上。
代入数据并整理得：t2－12t+50=0 △=b2－4ac=122－4×50×1=－56＜0
01 2
3
x1 x2
x3
4 x4
练习
有一个做匀加速直线运动的物体，从第2s末至 第6s末的位移为24m，从第6s末至第10s末的位 移为40m，则该物体的加速度为多大?初速度为 多大?
• 例3 从斜面上某一位置，每隔0.1s释放一个
小球，在连续释放几个后，对在斜面上滑
动的小球拍下照片，如图所示，测得
⑴速度小者追速度大者,追上前两个物体速度相等时,有 最大距离; ⑵速度大者减速追赶速度小者,追上前在两个物体速度 相等时,有最小距离.即必须在此之前追上,否则就不能追 上.
例2、一车从静止开始以1m/s2的加速度前进，车后相距 x0为25m处，某人同时开始以6m/s的速度匀速追车，能 否追上？如追不上，求人、车间的最小距离。
分析：画出运动的示意图如图所示：
vA= 4m/s
vB= 10m/s a= -2m/s2
7m
A车追上B车可能有两种不同情况：
追上处
B车停止前被追及和B车停止后被追及。
究竟是哪一种情况，应根据解答结果，由实际情况
判断。
解答：设经时间t 追上。依题意： vBt + at2/2 + x = vAt
10t - t 2 + 7 = 4 t
匀变速直线运动的应用（一）
01 2
3
4
5
S1 S2
S3
S4
S5
6
S6
2
Δs=s2-s1=s3-s2=s4-s3=…=sn-sn-1=aT
推导过程：
01 2
3
4
5
S1 S2
S3
S4
S5
6
S6
• 结论：（匀变速直线运动的判别式）
连续（相邻）相等时间里的位移之差相等
（为一恒量）。
即：
2
Δs=s2-s1=s3-s2=s4-s3=…=sn-sn-1=aT
推论：Sm-Sn=(m-n) a T2
扩展：纸带分析（逐差法）
01 2
3
4
5
6
S1 S2
S3
S4
Δ S1 = S 4 - S1 = 3a1 T2
Δ S2 = S 5 – S2 = 3a2 T2
Δ S3 = S6 – S3 = 3a3 T2
S5
S6
a1 = （S 4 - S1 ） / 3 T2
a2 = （S 5 – S2 ） / 3 T2
△x=x0+x车－x人=25+18－36=7m
例3. 在平直公路上有两辆汽车A、B平行同向行驶， A 车 以 vA=4m/s 的 速 度 做 匀 速 直 线 运 动 ， B 车 以 vB=10m/s的速度做匀速直线运动，当B车行驶到A车 前x=7m处时关闭发动机以2m/s2的加速度做匀减速直 线运动，则从此时开始A车经多长时间可追上B车？
∴ 相距最远
x=
vt2 － v02 2a
=
－ 62 2×3
=－6m
2．什么时候汽车追上自行车，此时汽车的 速度是多少？
解：汽车追上自行车时，二车位移相等（位移关系）
则 vt′=at′2/2 6×t′= at′2/2， t′=4 s v′= at′= 3×4=12 m/s
小结：分析相遇问题时，一定要分析所需满 足的两个关系：
1.找出两个物体的运动时间之间的关系; 2.利用两个物体相遇时必须处于同一位置(同时同地),
找出两个物体位移之间的关系
思考：若自行车超过汽车2s后，汽车才开始加速。那 么，前面的1、2两问如何？
追及和相遇问题的分析方法:
1.根据对两个物体的运动过程的分析，画出运动过程的 示意图 2.根据追逐的两个物体的运动性质,选择同一参照物,列 出两个物体的位移方程，注意要将两物体运动时间的关 系反映在方程中 3.由运动示意图找出两个物体的位移间的关系方程，这 是关键 4.联立方程进行求解.
123
n
例4、一列火车由等长的车厢连接而成，车厢 之间的间隙忽略不计，一人站在站台上与 第一节车厢的最前端相齐。当列车由静止 开始做匀加速直线运动时，测得第一节车 厢通过他的时间为2s，则从第4节车厢通过 他的时间为多少？
情境设置 (三)追及和相遇问题
一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮起时 汽车以3m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆 自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽 车。试求： 1秒末自行车与汽车的距离： △x1=4.5m 2秒末自行车与汽车的距离： △x2=6.0m 3秒末自行车与汽车的距离： △x3=4.5m 4秒末自行车与汽车的距离： △x4= 0 m 5秒末自行车与汽车的距离： △x5=7.5m 6秒末自行车与汽车的距离： △x6=18m
解：（1）汽车速度减到4m/s时运动的时间 和发生的位移分别为 t=(v自- v汽)/a=（4-10）/(-6）s=1s x汽= （v自2-v汽2）/2a=(16-100)/(-12)=7m 这段时间内自行车发生的位移x自= v自t=4m 因为 x0+x自>x汽 所以，汽车不能撞上自行车。 汽车与自行车间的最近距离为 △x=x0+x自－x汽=（10+4－7）m=7m （2）要使汽车与自行车不相撞
s5
s6
图(3)
解：a
( s4
s5
s6 ) ( s1 ( 3T )2
s2
s3
)
4.31 102 0.09
0.48m/s 2
例题2 在“探究小车速度随时间变化的关系”的实验中，所
用交流电的频率为50Hz。某次实验中得到的一条纸带
如图所示，从比较清晰的点起，每五个点取一个点作
为计数点,分别标明0、1、2、3、4.量得x1=30.0mm, x2=36.0mm, x3=42.0mm, x4=48.0mm,则打点2时小车的 瞬时速度为 0.390 m/s和小车的加速度为 0.600 m/s2 。(实验结果保留三位有效数字)
∴ △xm=6t － 3t2/2= 6×2 － 3 ×22 /2=6 m
解法三 用相对运动求解更简捷
选匀速运动的自行车为参考系，则从运动开始到相距 最远这段时间内，汽车相对参考系的各个物理量为：
初速度 v0= v汽初－v自=0 － 6= －6 m/s
末速度 vt= v汽末－v自=6 － 6= 0 加速度 a= a汽－a自=3 － 0= 3 m/s2
t=7s t=-1s(舍去)
B车刹车的时间 t′= vB / a =5s 显然，B车停止后A再追上B。
B车刹车的位移 xB=vB2/2a=102/4=25m
A车的总位移 xA=xB+x=32m ∴t =xA/vA=32/4=8s 思考：若将题中的7m改为3m，结果如何？
答：甲车停止前被追及
例4.汽车正以10m/s的速度在平直公路上做匀速直线运动,突 然发现正前方10m处有一辆自行车以4m/s的速度同方向做 匀速直线运动,汽车立即关闭油门,做加速度为6m/s2的匀减 速运动,问： （1）汽车能否撞上自行车?若汽车不能撞上自行车，汽车 与自行车间的最近距离为多少？
xAB=15cm，xBC=20cm，试求：
• （1）小球的加速度
• （2）拍摄时B球的速度VB
A B
• （3）拍摄时xCD •(
C D
中间时刻的瞬时速度
V
Vo Vt 2
Vt / 2
中点位置瞬时速度:(尝试推导)
vS
2
v02
v
2 t
2
练习.做匀加速运动的列车出站时,车头
经过某标牌时的速度为1m/s,车尾经 过该标牌时的速度为7m/s,则车身的 中部经过该标牌时的速度大小为 ()
【思考分析】 1．汽车从路口开动后，在追上自行车之前经 过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？ 分析：汽车追上自行车之前，
v汽<v自时 △x变大 v汽=v自时 △x最大 v汽>v自时 △x变小
解法一 物理分析法
两者速度相等时，两车相距最远。
v汽=at=v自 （速度关系）
∴ t= v自/a=6/3=2s
A、4m/s
B、5m/s
C、3.5m/s D、5.5m/s
v v 请思考: t 与 s 的大小关系???
2
2
结论:
无论是匀加速直线运动还是 匀减速直线 运动 中点位置的速度>中点时刻的速度.
V V 即:
S t
2
2
(二)、初速为零的匀加速直线运动的几个比例 式
1、1T末、2T末、3T末……的瞬时速度之比为 v1﹕v2﹕v3 … vn = 1﹕2﹕3 … ﹕n
所以，人追不上车。
在刚开始追车时，由于人的速度大于车的速度，因 此人车间的距离逐渐减小；当车速大于人的速度时， 人车间的距离逐渐增大。因此，当人车速度相等时， 两者间距离最小。
at′= v人 t′=6s 在这段时间里，人、车的位移分别为：
x人=v人t=6×6=36m
x车=at′2/2=1×62/2=18m
（2）汽车减速时，他们间距离至少多大不相撞？
分析：画出运动的示意图如图所示
v汽= 10m/s a= -6m/s2
v自= 4m/s
10m
追上处
汽车在关闭油门减速后的一段时间内，其速度大于自行车 速度，因此，汽车和自行车之间的距离在不断的缩小，当 这距离缩小到零时，若汽车的速度减至与自行车相同，则 能满足汽车恰好不碰上自行车
画出）, 如图(3)所示，图中s1=4.81cm，s2=5.29cm, s3=5.76cm，s4=6.25cm，s5=6.71cm，s6=7.21cm。已知 打点计时器所用交流电频率为50Hz，则加速度的大小 为 _0_.4_8___ m/s2（结果保留两位有效数字）。
AB C D E
F
G
s1 s2 s3 s4
△x= v自t－ at2/2=6×2 － 3 ×22 /2=6m
小结：初速度为零的匀加速直线运动物体追 及同向匀速物体时，追上前具有最大距离的 条件： 两者速度相等
解法二 用数学求极值方法来求解 设汽车在追上自行车之前经过t时间两车相距最远
∵△x=x1－x2=v自t － at2/2 （位移关系） ∴ △x=6t －3t2/2 由二次函数求极值条件知 t= －b/2a = 6/3s = 2s时， △x最大
2、1T内、2T内、3T内的位移之比为 x1﹕x2﹕x3 … xn = 1﹕4﹕9 … n2
3、第1个T内、第2个T内、第3个T内…的位移比为 xⅠ﹕xⅡ﹕xⅢ …xN = 1﹕3﹕5 …（2n – 1）
4、通过连续相等的位移所用的时间之比为
t : t : t : t 1: 2 1 : 3 2: n n 1
a3 = （S6 – S3 ） / 3 T2
a
(
wenku.baidu.coma1
a2 3
a3
)
(
S4
S5
S6 (
) 3T
( S1 )2
S2
S3
)
逐差法的实质是将纸带分为两大 段: 设T′为大段的时间，则
a
S后 S前 T2
第n点的瞬时速度
Vn
Sn
Sn1 2T
例题1：
某同学用打点计时器测定加速度，在得到的纸带上
选取七个计数点（相邻两个计数点之间还有四个点未
位移关系指两物体同地运动还是一前一后，通过画运 动示意图找两物体间的位移关系是解题的关键。 2.若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意，追上 前该物体是否停止运动。 3.仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘 题目中隐含条件，如“刚好”、“恰巧”、“最多” 、“至少”等，往往对应一个临界状态，满足相应的 临界条件。
则汽车减速时它们之间的距离至少为 x=x汽－x自=（7-4）m=3m
分析追及和相遇问题时要注意：
1.一定要抓住一个条件两个关系 （1）一个条件是两个物体速度相等时满足的临界条件 ，如两个物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上 等。 （2）两个关系是时间关系和位移关系 时间关系指两物体是同时运动还是一前一后
x0 v=6m/s
a=1m/s2
解析：依题意，人与车运动的时间相等，设为t,
当人追上车时，两者之间的位移关系为：
x车+x0= x人
即： at2／2 + x0= v人t 由此方程求解t，若有解，则可追上；
若无解，则不能追上。
代入数据并整理得：t2－12t+50=0 △=b2－4ac=122－4×50×1=－56＜0
01 2
3
x1 x2
x3
4 x4
练习
有一个做匀加速直线运动的物体，从第2s末至 第6s末的位移为24m，从第6s末至第10s末的位 移为40m，则该物体的加速度为多大?初速度为 多大?
• 例3 从斜面上某一位置，每隔0.1s释放一个
小球，在连续释放几个后，对在斜面上滑
动的小球拍下照片，如图所示，测得