自动控制原理课程设计高阶系统的时域分析

武汉理工大学《自动控制原理》课程设计说明书
目
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录
系统稳定性分析...................................................................................................................... 1 1.1 给定参数系统稳定性分析............................................................................................... 1 1.2 未给定参数系统稳定参数范围....................................................................................... 1
sE(s)=
=
当输入为单位加速度函数信号时，R(s)=
sE(s)=
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=
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3 根轨迹图绘制
3.1 根轨迹数据计算
当 a=1，b=4 时， GF= 根轨迹相关参数计算如下： 1）系统开环零点为 z=-4； 2）开环极点为 s1=0,s2=-2+j2,s3=-2-j2,s4=-1； 3）系统有 max{ m，n }=4 根分支； 4）实轴上的根轨迹为（-1，0）和（-∞，-4） ； 5）系统的 m=1，n=4，故根轨迹的渐近线为 3 条，渐近线与实轴的交角分 、 、 。渐近线与横轴交点为（，0） ； 6）根轨迹的分离点：由方程 0） ； 7）根轨迹与虚轴的交点，用劳斯判据可算得 w= K=6.65 A’B-B’A=0 可计算得约为（-5，0）和（-0.475，
图 2-2 单位斜坡响应
5
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2.3 系统单位加速度响应曲线
当输入为单位加速度函数信号时，R(s)=,系统响应为 C(s)=· 运用 MATLAB 程序作图如图 2-3，程序为： num=[10 70]; den=[1 10 32 58 70]; G=tf(num,den); t=0:0.01:10; u=(0.5*t.^2); lsim(G,u,t) grid on; xlabel('t');ylabel('c(t) '); title('单位加速度响应')
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心得体会................................................................................................................................ 12
参考文献....................................................................................................................................... 13
2 2 2 2
2
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2 高阶系统的时域响应
在系统稳定的参数范围内，选取一组参数，令 K=10，a=6，b=7。则系统的开环传递函 数为 Gp= 系统为型系统，可以跟踪单位阶跃信号、单位斜坡信号，不能跟踪单位加速度信号。 系统响应为 C(s)=R(s)
2.1 系统单位阶跃响应曲线
3
根轨迹图绘制........................................................................................................................ 10 3.1 根轨迹数据计算............................................................................................................. 10 3.2 用 MATLAB 绘制根轨迹图..............................................................................................11
在本学期学习自动控制原理的时间里， 很少涉及到高阶系统分析与设计， 只在根轨迹、 稳定性判定等方面对高阶系统有一些了解。本次课程设计要求对高阶系统的根轨迹、稳定 性、单位阶跃响应、单位斜坡响应与单位加速度响应等作出分析，在分析过程中需要一个 专门的工具 MATLAB 帮助解决问题。 MATLAB 计算功能强大、图形功能丰富方便、编程效率高且易学易用，很多的问题都 能迎刃而解。本次课设任务书中要求画图的地方较多，直接调用 MATLAB 的相应函数就可 以轻松实现相关要求。另外，在求解高次方程中遇到的困难，MATLAB 也能方便地解决。 本次课程设计的重要部分为系统稳定性的判断以及在各种典型信号作用下系统的响 应性能分析。在求解多元不等式组方面有较大的困难。通过查阅书本资料，觉得使用函数 图像表征个参变量之间的关系比较可行，但实际做的过程中，发现三变量之间的函数图像 并不好作，而且涉及到高次的方程求解，十分困难。在解高阶系统的斜坡响应与加速度响 应时，做时域的变换也比较困难。 通过本次课设，我不但对所学的自动控制原理的相关知识有了更深入的认识和更牢固 的掌握，而且学会了运用 MATLAB 来解决高阶系统的分析和设计的相关问题。特别是对于 有关绘图和校正等人工解决较困难的问题，学会运用有效的工具能够起到事半功倍的效果。 在以后的学习和生活中，我不断要加强理论的学习，也要加强这些使用工具的学习，从理 论和实际操作两方面提高自己的能力。
4 3 2
1
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S S S S S
4
1 a+4 4(a+2) +K+16
2 2
4a+8 8a+K Kb(a+4)
2 2
Kb
3
2
1
32a[(a+2) +4]+3K(a+4)(a+2)+K -Kb(a+4) Kb(a+4)
0
由劳斯稳定判据可知，该系统稳定的条件是： a>-4 Kb>0 4(a+2) +K+16>0 32a[(a+2) +4]+3K(a+4)(a+2)+K -Kb(a+4) >0
3
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图 2-1 系统阶跃响应
由图中数据可得: 上升时间为 tr=0.835s 峰值时间 tp=1.99s 调节时间 ts=5.75s 超调量 =26.3 稳态误差为 ess=0
4
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2.2 系统单位斜坡响应曲线
当输入为单位斜坡函数信号时，R(s)=,系统响应为 C(s)=· 运用 MATLAB 程序作图如图 2-2，程序为： num=[10 70]; den=[1 10 32 58 70]; G=tf(num,den); t=0:0.01:10; u=t; lsim(G,u,t); grid on; xlabel('t');ylabel('c(t)'); title('单位斜坡响应')
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高阶系统的时域分析
1 系统稳定性分析
1.1 给定参数系统稳定性分析
对于开环传递函数 G p ( s )
K ( s b) s ( s 4s 8)( s a )
2
在给定条件 K=10,a=1,b=4 时用劳斯判据判断系统的稳定性，经过化简可得系统的特 征方程为: D(s)=S +5S +12S +18S+40=0 其劳斯表为 S S S S S
2
高阶系统的时域响应.............................................................................................................. 3 2.1 系统单位阶跃响应曲线................................................................................................... 3 2.2 系统单位斜坡响应曲线................................................................................................... 5 2.3 系统单位加速度响应曲线............................................................................................... 6 2.4 动态性能指标计算........................................................................................................... 7 2.5 稳态性能指标计算.......................................................................................................... 8
当输入为单位阶跃函数信号时，R(s)=，系统响应为 C(s)=· 运用 MATLAB 程序作图如图 2-1，程序为： num=[10 70]; den=[1 10 32 58 70]; G=tf(num,den); step(G); grid on; xlabel('t ');ylabel('c(t) '); title('单位阶跃响应')
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3.2 用 MATLAB 绘制根轨迹图
运用 MATLAB 作图如图 2-4 所示，程序如下 num=[1 4]; den=[1 5 12 8 0]; rlocus(num,den)
图 3-1 根轨迹图
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4 心得体会
图 2-3 单位加速度响应
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2.4 动态性能指标计算
控制系统的暂态性能指标通常是零初始条件下，通过系统的阶跃响应的特征定义的， 系统的暂态性能指标实际上就是刻画阶跃响应曲线特征的一些量。 本系统属于高阶系统， 无法用处理二阶系统的方法得到系统性能指标的精确解析表达 式。即使用数值计算的方法，也会遇到求解复杂的超越方程的困难。所以对于高阶系统的 暂态性能分析一般采取主导极点法。 系统的闭环传递函数为： Φ(s)== 闭环零极点如图 2-4 所示
4 4 3 2
1 5 8.4 -5.8 40
12 18 40
40
3
2
1
0
从表中可以看出，第一列有两次符号变化，故系统不稳定，且有两个正实部根。
1.2 未给定参数系统稳定参数范围
当 K、a、b 未知时，需要确定系统的参数范围，从而进一步判断系统是否稳定。 经过简化可得系统的特征方程为： D(s) =S +(a+4)S +(4a+8)S +(8a+k)S+Kb=0 其劳斯表为：
图 2-4 闭环零极点图
取主导极点为 s1,2=-0.64 则高阶系统的单位阶跃响应可以近似为：
c(t)=
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计算得：
==2.01s
计算得：
=0.272
2.5 稳态性能指标计算
=
当输入信号为单位阶跃响应时，R(s)=
sE(s)=
=0 当输入为单位斜坡函数信号时，R(s)=
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参考文献
[1] 胡寿松.自动控制原理（第四版）.科学出版社,2002 [2] 胡寿松.自动控制原理习题解析（第五版） ．科学出版社,2006 [3] 黄忠霖.完全手册 MATLAB 使用详解.电子工业出版社,2009 [4] 邹伯敏.自动控制理论.机械工业出版社,2007 [5] 刘泉、江雪梅.信号与系统.高等教育出版社.2006