高考数学二轮复习必考的导数知识点总结
高考数学二轮复习必考的导数知识点总结
高考数学二轮复习必考的导数知识点总结我们从一出生到耋耄之年，向来就没有走开过数学，或者说我们根本没法走开数学，这全部有点像水之于鱼同样。
以下是查词典数学网为大家整理的导数知识点总结，希望可以解决您所碰到的有关问题。
一、函数的单一性在(a， b)内可导函数 f(x) ， f(x) 在(a， b)随意子区间内都不恒等于 0.f(x)f(x) 在(a，b)上为增函数 .f(x)f(x) 在(a，b)上为减函数 .二、函数的极值1、函数的极小值：函数 y=f(x) 在点 x=a 的函数值 f(a) 比它在点 x=a 邻近其余点的函数值都小， f(a)=0 ，并且在点 x=a 邻近的左边 f(x)0 ，右边 f(x)0 ，则点 a 叫做函数 y=f(x) 的极小值点， f(a) 叫做函数y=f(x) 的极小值 .2、函数的极大值：函数 y=f(x) 在点 x=b 的函数值 f(b) 比它在点 x=b 邻近的其余点的函数值都大， f(b)=0 ，并且在点 x=b 邻近的左边 f(x)0 ，右边f(x)0 ，则点 b 叫做函数 y=f(x) 的极大值点， f(b) 叫做函数 y=f(x) 的极大值 .极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值 .三、函数的最值1、在闭区间 [a， b]上连续的函数f(x) 在 [a， b]上必有最大值与最小值 .2、若函数 f(x) 在 [a， b]上单一递加，则f(a) 为函数的最小值，f(b) 为函数的最大值;若函数 f(x) 在 [a， b]上单一递减，则f(a)为函数的最大值，f(b) 为函数的最小值.四、求可导函数单一区间的一般步骤和方法1、确立函数f(x) 的定义域 ;2、求 f(x) ，令 f(x)=0 ，求出它在定义域内的一确实数根;3、把函数 f(x) 的中断点 ( 即 f(x) 的无定义点 )的横坐标和上边的各实数根按由小到大的次序摆列起来，而后用这些点把函数 f(x) 的定义区间分红若干个小区间;4、确立 f(x) 在各个开区间内的符号，依据f(x) 的符号判断函数 f(x) 在每个相应小开区间内的增减性.五、求函数极值的步骤1、确立函数的定义域;2、求方程 f(x)=0 的根 ;3、用方程 f(x)=0 的根按序将函数的定义域分红若干个小开区间，并形成表格;4、由 f(x)=0 根的双侧导数的符号来判断f(x) 在这个根处取极值的状况 .六、求函数f(x) 在 [a， b]上的最大值和最小值的步骤1、求函数在 (a， b)内的极值 ;2、求函数在区间端点的函数值f(a) ， f(b);3、将函数 f(x) 的各极值与f(a) ，f(b) 比较，此中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.特别提示：1、f(x)0 与 f(x) 为增函数的关系：f(x)0 能推出 f(x) 为增函数，但反之不必定 .如函数 f(x)=x3 在(- ，+) 上单一递加，但f(x)0 ，因此 f(x)0 是 f(x) 为增函数的充足不用要条件.2、可导函数的极值点一定是导数为0 的点，但导数为0 的点不必定是极值点，即f(x0)=0 是可导函数f(x) 在 x=x0 处取得极值的必需不充足条件 .比如函数 y=x3 在 x=0 处有y|x=0=0 ，但 x=0 不是极值点 .别的，函数不可以导的点也可能是函数的极值点.单靠“死”记还不可以 ,还得“活”用 ,临时称之为“先死后活”吧。
高中《导数》知识点总结
《导数》知识点一.导数公式：0='C 1)(-='n n nx x x x cos )(sin =' x x sin )(cos -='a a a x x ln )(=' x x e e =')( a x x a ln 1)(log =' xx 1)(ln =' 二.运算法则：(1) )()(])()([x g x f x g x f '±'='±； (2) )()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='⋅；(3) )(])([x f C x f C '⋅='⋅，C 为常数； (4) 2)]([)()()()()()(x g x g x f x g x f x g x f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡. 三.导数的物理意义：位移的导数是速度，速度的导数是加速度．四.导数的几何意义：导数就是切线斜率．函数)(x f y =在0x x =处的导数是曲线)(x f y =在点())(,00x f x 处切线的斜率，即)(0x f k '=.注：点())(,00x f x 是切点五.对于函数)(x f y =给定区间[,]a b 内，1.(1)若0)(>'x f ，则()f x 在[,]a b 内是增函数；若0)(<'xf ，则()f x 在[,]a b 内是减函数．(2)若()f x 在[,]a b 内是增函数，则0)(≥'x f 在[,]a b 内恒成立；若()f x 在[,]a b 内是减函数，则0)(≤'x f 在[,]a b 内恒成立. 注：0)(>'x f ⇒()f x 递增；()f x 递增⇒0)(≥'x f 2.极值：图中1x ，3x 是极大值点，相应的函数值为极大值；2x ，4x 为极小值点，相应的函数值为极小值. 且=')(1x f =')(2x f =')(3x f 0)(4='x f 3.已知)(x f y =是可导函数，则“0x 为极值点”是“0)(0='x f ”的充分不必要条件.（0x 为极值点⇒0)(0='x f ；但满足0)(0='x f 的0x 不一定．．．是极值点.例如：函数3)(x x f =，虽然0)0(='f ，但0=x 不是其极值点，因为3)(x x f =在定义域内单调递增，没有极值点）4.利用导数求极值的步骤：第一步：求导数)(x f '； 第二步：令0)(='x f ，解方程； 第三步：由方程的根将定义域分为若干个区间； 第四步：判断)(x f '在每个区间上的正负； 第五步：确定极值点，并求出极值.5.利用导数求函数)(x f y =在闭区间],[b a 内最值：(1)若)(x f y =在闭区间],[b a 内有唯一的极大(小)值，那么这个极大(小)值就是函数的最大(小)值；(2)若)(x f y =在闭区间],[b a 内的极值不唯一，那么将所有的极值和)(a f ，)(b f 比大小，最大者为 函数的最大值，最小者为函数的最小值.六.含参数的恒成立问题：（分离参数法）（1）若)(x f a ≥恒成立，则)(max x f a ≥； （2）若)(x f a ≤恒成立，则)(min x f a ≤； )(x f。
高考导数常用知识点
高考导数常用知识点导数作为高中数学中重要的概念之一，在高考中占据着很大的比重。
掌握导数的常用知识点是解决导数相关问题的基础。
本文将介绍高考中常出现的导数知识点，帮助同学们在备考过程中更好地掌握导数的应用。
一、导数的定义与求导法则1. 导数的定义导数表示函数在某一点处的变化率，定义为函数变化的极限。
对于函数y=f(x)，导数可表示为f'(x)、dy/dx或者y'，其中f'(x)表示导数的常用符号。
2. 常用求导法则(1) 基本导数法则- 常数函数的导数为0；- 幂函数求导，指数为n的幂函数的导数为nx^(n-1)；- 指数函数求导，底数为e的指数函数的导数仍然是它自己；- 对数函数求导，以e为底的对数函数的导数为1/x。
(2) 基本四则运算法则- 和差法则：(f±g)'=f'±g'；- 乘法法则：(f·g)'=f'·g+g'·f；- 商法则：(f÷g)'=(f'·g-g'·f)/g^2。
(3) 复合函数的求导法则- 链式法则：若y=f(g(x))，则y'=(dy/dg)·(dg/dx)。
二、常用导数函数1. 基本初等函数的导数(1) 常数函数的导数为0；(2) 幂函数的导数为nx^(n-1)，其中n为常数；(3) 指数函数的导数为e^x；(4) 对数函数的导数为1/x。
2. 三角函数的导数(1) 正弦函数的导数为cosx；(2) 余弦函数的导数为-sinx；(3) 正切函数的导数为sec^2x。
3. 反三角函数的导数(1) 反正弦函数的导数为1/√(1-x^2)；(2) 反余弦函数的导数为-1/√(1-x^2)；(3) 反正切函数的导数为1/(1+x^2)。
三、高级求导法则1. 高阶导数高阶导数指多次求导后得到的导函数。
导数知识点总结大全高中
导数知识点总结大全高中一、导数的基本概念1. 函数的变化率函数在定义域内的某一点上的变化率就是导数。
函数在某一点的导数描述了函数在这一点附近的变化趋势，是函数曲线的切线斜率。
当函数在某一点的导数为正时，表示函数在这一点附近是增加的；当函数在某一点的导数为负时，表示函数在这一点附近是减小的；当函数在某一点的导数为零时，表示函数在这一点附近有极值。
2. 导数的几何意义函数在某一点的导数是该函数曲线在这一点的切线斜率，即切线的倾斜程度。
当导数为正时，表示切线斜率为正，曲线是逐渐上升的；当导数为负时，表示切线斜率为负，曲线是逐渐下降的；当导数为零时，表示切线水平，曲线在该点可能有极值。
3. 导函数如果函数f(x)在x处可导，则在这一点导函数f'(x)给出了函数在这一点的变化率。
导函数是原函数f(x)关于自变量x的导数函数，通常使用f'(x)来表示。
4. 导数的符号函数f(x)在某一点的导数为正时，表示函数在这一点附近是增加的；函数f(x)在某一点的导数为负时，表示函数在这一点附近是减小的；函数f(x)在某一点的导数为零时，表示函数在这一点附近有极值。
二、导数的定义1. 函数可导如果函数f(x)在某一点x处的导数存在，那么称函数f(x)在这一点可导。
函数在某一点可导的条件是函数在这一点存在切线。
2. 函数导数的极限定义函数f(x)在x处的导数被定义为：f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h其中，lim表示极限，h→0表示当h趋近于0时的极限，f(x+h) - f(x)表示函数在x+h处和x处的高度差，h为x的增量。
3. 导数的等价形式导数的等价形式有有限增量与自变量增量之比求极限、差商公式等形式。
三、导数的性质1. 可导函数的和、差的导数如果函数f(x)和g(x)在x处可导，则它们的和f(x)+g(x)和差f(x)-g(x)在x处也可导，且导数为f'(x)+g'(x)和f'(x)-g'(x)。
二轮复习之导数的运算法则及基本公式应用(基础篇)
教学过程一、高考解读导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导二、复习预习基本初等函数的导数公式表（学生填写）三、知识讲解考点1 1深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数 x y ∆∆表示函数的平均改变量，它是Δx 的函数，而f ′(x 0)表示一个数值，即f ′(x )=x y x ∆∆→∆lim 0，知道导数的等价形式 )()()(lim )()(lim 0000000x f x x x f x f x x f x x f x x x '=--=∆-∆+→∆→∆ 2求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键考点21对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误2复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系四、例题精析例题1 已知1=，用导数的定义求y'。
yx【规范解答】11()x y x x x x x x ∆∆=-=-+∆+∆，)(1x x x x y ∆+-=∆∆，所以201lim x y y x x ∆→∆'==-∆。
【总结与思考】 利用导数的定义求函数()y f x =的导数的一般方法是：（1）求函数的改变量()()f f x x f x ∆=+∆-；（2）求平均变化率()()f f x x f x xx∆+∆-=∆∆； （3）取极限，得导数y '＝0lim x f x ∆→∆∆。
例题2求函数的导数 )1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-=x f y x b ax y xx x y ω【规范解答】22222(1)(1)cos (1)[(1)cos ](1):(1)cos x x x x x x y x x''-+--+'=+-解 2222222222222222(1)cos (1)[(1)cos (1)(cos )](1)cos (1)cos (1)[2cos (1)sin ](1)cos (21)cos (1)(1)sin (1)cos x x x x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x x x x''-+--+++=+-+---+=+--+-+=+(2)解y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γγ=ωxy ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′=3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′)=3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx )(3)解法一设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21v －21·2x =f ′(12+x )·21112+x ·2x =),1(122+'+x f x x解法二y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′=f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·(x 2+1)′ =f ′(12+x )·21(x 2+1)21-·2x =12+x x f ′(12+x ) 【总结与思考】本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法这是导数中比较典型的求导类型解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数例题3已知函数()f x=32+++的图象过点P（0，2），且在点M（-1，f（-1））处的切线方程为6x-y+7=0，求x bx cx d函数()=的解析式。
高中导数知识点总结
高中导数知识点总结导数是微积分学中的一个重要概念，它描述了函数在某一点处的变化率。
在高中数学中，导数的概念和计算是高考数学中的一个重要考点。
以下是高中阶段需要掌握的导数知识点的总结：1. 导数的定义：导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
如果函数\( f(x) \)在点\( x=a \)的导数存在，那么它可以用极限的形式定义为：\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]2. 导数的几何意义：导数的几何意义是曲线在某点的切线斜率。
对于函数\( y = f(x) \)，其在点\( (a, f(a)) \)的导数\( f'(a) \)就是曲线在该点的切线斜率。
3. 基本初等函数的导数：熟练掌握基本函数的导数公式是解决导数问题的基础。
例如：- \( (x^n)' = nx^{n-1} \)（\( n \)为实数）- \( (\sin x)' = \cos x \)- \( (\cos x)' = -\sin x \)- \( (\tan x)' = \sec^2 x \)- \( (e^x)' = e^x \)- \( (\ln x)' = \frac{1}{x} \)（\( x > 0 \)）4. 导数的运算法则：包括和、差、积、商的导数法则，以及复合函数的链式法则。
- \( (f \pm g)' = f' \pm g' \)- \( (fg)' = f'g + fg' \)- \( \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2} \)- \( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) \)5. 高阶导数：对于函数的一阶导数再次求导，得到的是函数的二阶导数，依此类推。
导数高考知识点总结（最全）
导数知识点归纳及应用●知识点归纳 一、相关概念 1．导数的概念函数y=f(x),y=f(x),如果自变量如果自变量x 在x 0处有增量x D ，那么函数y 相应地有增量y D =f （x 0+x D ）－）－f f （x 0），比值x yDD 叫做函数y=f y=f（（x ）在x 0到x 0+x D 之间的平均变化率，即x y D D =x x f x x f D -D +)()(00。
如果当0®D x 时，x y D D 有极限，我们就说函数y=f(x)y=f(x)在点在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim ®D x x y D D=0lim ®D x x x f x x f D -D +)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0®D x 时，x y D D 有极限。
如果xyD D 不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
处不可导，或说无导数。
（2）x D 是自变量x 在x 0处的改变量，0¹D x 时，而y D 是函数值的改变量，可以是零。
以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f y=f（（x ）在点x 0处的导数的步骤：处的导数的步骤： ① 求函数的增量y D =f =f（（x 0+x D ）－）－f f （x 0）； ② 求平均变化率x y D D =xx f x x f D -D +)()(00；③ 取极限，得导数f’(x 0)=xyx D D ®D 0lim 。
例：设f(x)= x|x|, f(x)= x|x|, 则则f ′( 0)= . [解析]：∵0||lim ||lim )(lim )0()0(lim 0000=D =D D D =D D =D -D +®D ®D ®D ®D x x xx x x f x f x f x x x x ∴f ′( 0)=02．导数的几何意义函数y=f y=f（（x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f y=f（（x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。
高二数学《导数》知识点总结
高二数学《导数》知识点总结广阔同学要想顺当通过高考，承受更好的高等教育，就要做好考试前的复习预备。
如下是我给大家整理的高二数学《导数》学问点总结，盼望对大家有所作用。
1、导数的定义：在点处的导数记作 .2. 导数的几何物理意义：曲线在点处切线的斜率①=f/(x0)表示过曲线=f(x)上P(x0,f(x0))切线斜率。
V=s/(t) 表示即时速度。
a=v/(t) 表示加速度。
3.常见函数的导数公式: ① ;② ;③ ;⑤ ;⑥ ;⑦ ;⑧。
4.导数的四则运算法则：5.导数的应用：(1)利用导数推断函数的单调性：设函数在某个区间内可导,假如 ,那么为增函数;假如 ,那么为减函数;留意：假如已知为减函数求字母取值范围,那么不等式恒成立。
(2)求极值的步骤：①求导数 ;②求方程的根;③列表：检验在方程根的左右的符号，假如左正右负,那么函数在这个根处取得极大值;假如左负右正,那么函数在这个根处取得微小值;(3)求可导函数最大值与最小值的步骤：ⅰ求的根; ⅱ把根与区间端点函数值比拟,最大的为最大值,最小的是最小值。
导数与物理，几何，代数关系亲密：在几何中可求切线;在代数中可求瞬时变化率;在物理中可求速度、加速度。
学好导数至关重要，一起来学习高二数学导数的定义学问点归纳吧!导数是微积分中的重要根底概念。
当函数=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δ与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a假如存在，a即为在x0处的导数，记作f(x0)或df(x0)/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点四周的变化率。
假如函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。
导数的本质是通过极限的概念对函数进展局部的线性靠近。
例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。
不是全部的函数都有导数，一个函数也不肯定在全部的点上都有导数。
高三数学二轮复习专题讲解14 函数与导数
高三数学二轮复习专题讲解 第14讲 易错点-函数与导数专题综述函数与导数是高考中的重点和难点，各种题型都有考查，也有一定的计算量！但我们要必拿选择填空的中等题分数，主要考查的知识点有函数的概念（函数的定义域、解析式、值域）、性质（单调性、奇偶性、对称性）、图象，导数的概念及其几何意义；对这些知识理解不到位或把握不全面或对题意理解不准确，就容易造成会而不对、对而不全的结果专题探究探究1:函数性质掌握不牢致错函数的单调性、奇偶性、周期性等在考题中不限制于以课本的定义给出，我们要关注它们等价变形形式和相关结论，如单调性的等价变形形式有： (1)若[]12,,x x a b ∀∈,12x x ≠,()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦()()12120f x f x x x -⇔>-()f x ⇔在[],a b 上是增函数；()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦()()12120f x f x x x -⇔<-()f x ⇔在[],a b 上是减函数.(2) 若12x x ≠,且()()1212f x f x k x x ->-,则()y f x kx =-是增函数.奇偶性的相关结论有：(1)()f x 是偶函数⇔()()()()()()0f x f x f x f x f x f x =-⇔=⇔--=； (2)()f x 是奇函数⇔()()()()0f x f x f x f x -=-⇔+-=； (3)若函数()f x 在0x =处有意义,则()00f =；(4)()f x a +是偶函数,则()()f x a f x a +=-+,()f x 是偶函数,则()()f x a f x a +=-+. 利用函数的对称性与奇偶性会推导函数的周期性：(1)函数()y f x =满足()()f a x f a x +=-（0a >）,若()f x 为奇函数,则其周期为4T a =；若()f x 为偶函数,则其周期为2T a =.(2)函数()y f x =()x ∈R 的图象关于直线x a =和x b =()a b <都对称,则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；函数()y f x =()x R ∈的图象关于两点()0,A a y 、()0,B b y ()a b <都对称,则函数()f x 是以()2b a -为周期的周期函数；函数()y f x =()x ∈R 的图象关于()0,A a y 和直线x b =()a b <都对称,则函数()f x 是以()4b a -为周期的周期函数.(2022江苏联考)已知函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =-对称，且对x R ∀∈有()() 4.f x f x +-=当(0,2]x ∈时，() 2.f x x =+则下列说法正确的是(). ()f x 的最小正周期是8 . ()f x 的最大值为5 . (2022)0f = . (2)f x +为偶函数 【规范解析】解：.A 因为(1)y f x =-的图象关于直线1x =-对称，所以()f x 关于直线2x =-对称；即有()(4)f x f x =--，()(4)f x f x -=-，又()()4f xf x +-=，所以(4)(4)4f x f x --++=，即()(4)4f x f x ++=，所以()4(f x f x =-+，又()4f x f x=--，()(4)(4)f x f x f x -=+=-，所以()(8)f x f x =+，所以()f x 的周期8T =，故 正确； .由 知(2022)(20228)f f =-(202288)(6)(2)4(2)440f f f f =--===-=-=-=，故 正确； .由 知()(4)f x f x -=+所以(2)(2)f x f x +=-+，则(2)f x +为偶函数，故 正确； .当(0,2]x ∈时，()2f x x =+，结合以上知函数图象大致为则()f x 的最大值为4，故 错误.故答案选：.ACD(2022福建联考)已知定义在 上的函数()f x ，对任意实数x 有(4)()f x f x +=-，函数(1)f x +的图象关于直线1x =-对称，若当(0,1]x ∈时()f x x =，则()A. ()f x 为偶函数B. ()f x 为周期函数C. (2023)1f =-D. 当[3,4)x ∈时，()f x =探究2:函数图象识别时不细致致错函数图象是函数性质的直观反映,由函数表达式识别函数图象时由于我们平时形成的一些错误的认识,还有惯性思维,不做深入的研究,导致得出错误的结论.我们在辨别图象时可从奇偶性、单调性、特殊值等方面来排除不合适的，从而得到正确答案.(2022福建联考)函数31()cos (66)31x x f x x x -=-+剟的图象大致为()A. B. C. D.【规范解析】解：函数31()cos (66)31x x f x x x -=-+剟，满足3113()cos()cos ()3113x xx x f x x x f x -----=-==-++，()f x ∴为奇函数，()f x 的图象关于原点对称，排除 ，.B 当x π=时，13()013f πππ-=<+，排除.C 故选.D (2022福建省福州市期中)我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.观察以下四个图象的特征，试判断与函数()1sin ,(,0)f x x x x x x ππ⎛⎫=--≠ ⎪⎝⎭剟相对应的图象是()A. B. C.D.探究3:比较大小时没有选对方法致错在比较数与式的大小时常利用指数函数、幂函数及对数函数单调性比较大小.若比较指数式与对数式的大小，或同是指数式（对数式）但底数不相同，这些情况下常利用中间量比较大小，常用的中间量是0,1,1-，有时也可借助13,2,22等中间量来比较大小.若两个式子结构比较复杂，但结构类似，这种情况下常利用式子的结构构造函数，然后利用函数单调性比较大小.(2022江苏联考)如果01a <<，那么下列不等式中正确的是()A. 1132(1)(1)a a ->- B. (1)log (1)0a a -+>C. 32(1)(1)a a ->+D. 1(1)1a a +->【规范解析】解：由题意 01a <<，所以()()10,1a -∈，()()11,2a +∈，得()1xy a =-为R 上的减函数，又1123>，所以()()113211a a ->-，10(1)(1=)1a a a +-<-而(1)log a y x -=单调递减，(1)(1)log (1)log 1=0a a a --+<， 32(1)1(1)a a -<<+，故选：.A(2022安徽省池州市单元测试)已知函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，在(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增．若ln3(4)a f =，(2)eb f -=，1(ln)(c f π=其中e 为自然对数的底数，π为圆周率)，则a ，b ，c 的大小关系为()A. a c b >>B. a b c >>C. c a b >>D. c b a >>探究4:混淆两类切线致错求曲线的切线方程一定要注意区分“过点A 的切线方程”与“在点A 处的切线方程”的不同．虽只有一字之差,意义完全不同,“在”说明这点就是切点,“过”只说明切线过这个点,这个点不一定是切点,求曲线过某点的切线方程一般先设切点把问题转化为在某点处的切线,求过某点的切线条数一般也是先设切点,把问题转化为关于切点横坐标的方程实根个数问题.(2022山东模拟)已知直线y kx =是曲线x y e =的切线，也是曲线ln y x m =+的切线，则实数k =__________，实数m =__________. 【规范解析】解：设y kx =与x y e =和ln y x m =+的切点分别为11(,)x x e ，22(,ln )x x m +，x y e =的导数xy e '=，1x e k ∴=，且11x k x e=，解得11x =，k e ∴=；ln y x m =+的导数1y x'=，21k e x ∴==，21x e ∴=，又22ln kx x m =+，11ln 2.m e e e∴=⨯-=故答案为 ；2.(2022河南信阳月考)若曲线2y x =与ln()y x a =-有一条斜率为2的公切线，则()a =A. 1ln 22- B. 1ln 22C. ln 2-D. ln 2探究5:混淆导数与单调性的关系致错研究函数的单调性与其导函数的关系时一定要注意:一个函数的导函数在某个区间上单调递增(减)的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大(小)于等于0,且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为零.若研究函数的单调性可转化为解不等式()()()()1200a x x x x x --><>或0,首先根据a 的符号进行讨论,当a 的符号确定后,再根据12,x x 是否在定义域内讨论,当12,x x 都在定义域内时在根据12,x x 的大小进行讨论.(2022福建省福州市期中)已知函数()ln nx f x x mx xe =+-(1)当0n =时，讨论函数()f x 在区间(0,3)的单调性【规范解析】解：(1)当0n =时，函数()ln (03)f x x mx x x =+-<<，1(1)1()1m x f x m x x-+'=+-=当1m …时，(0,3)x ∈，()0f x '>，()f x ∴在(0,3)上单调递增， 当1m <时，令1()0,1f x x m'==-， ①当131m <-时，即23m <时， 由()0f x '>得：101x m <<-，由()0f x '<得：131x m<<-， ∴当23m <时，函数()f x 在1(0,)1m -上单调递增，在1(,3)1m-上单调递减. ②当131m-…时，即213m <…时，由03,()0x f x <<'>得03x <<，∴当213m <…时，函数()f x 在(0,3)上单调递增，综上所述：当23m …时，函数()f x 在(0,3)上单调递增；当23m <时，函数()f x 在1(0,)1m -上单调递增，在1(,3)1m -上单调递减.(2022河北联考)已知函数()ln sin f x a x x x =-+，其中a 为非零常数．(1)若函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，求a 的取值范围；探究6:混淆导数与极值的关系致错对于可导函数f (x )：x 0是极值点的充要条件是在x 0点两侧导数异号,且0()0f x '=,即0()0f x '=是x 0为极值点的必要而不充分条件.对于给出函数极大(小)值的条件,一定要既考虑0()0f x '=,又考虑检验“左正右负”或“左负右正”,防止产生增根．(2022河北省张家口市期中)已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图，则下列叙述正确的是()A. 函数()f x 只有一个极值点B. 函数()f x 满足(4)(1)f f -<-，且在4x =-处取得极小值C. 函数()f x 在2x =处取得极大值D. 函数()f x 在(),4-∞-内单调递减【规范解析】解：由导函数的图象可得，当2x <时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增；当2x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减.所以函数()f x 的单调递减区间为()2,+∞， 只有当2x =时函数取得极大值，无极小值. 故选：.AC(2022湖南联考)已知函数()(3)2.x f x x e x -=++(1)证明：()f x 恰有两个极值点;探究7:函数零点与方程的根不会转化致错确定函数零点所在区间、零点个数或已知函数零点情况求参数，常通过数形结合转化为两个函数图象的交点个数问题，所以研究函数与方程问题不要得“意”忘“形”.(2022河北期中)已知函数,()e ,x xx a f x x x a⎧⎪=⎨⎪<⎩…，若存在不相等的1x ，2x ，3x ，满足123()()()f x f x f x ==，则实数a 的取值范围是__________.【规范解析】解：由题意可知，对于()xx f x e=，则1().x xf x e -'=当1x <时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1x >时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x =时，函数()f x 取得最大值为1(1)f e =，如图，分别画出函数x xy e =和y x =在 上的图象，用一条平行于x 轴的直线y m =截图象，有3个交点时，即存在1x ，2x ，3x ，使得123()()()f x f x f x m ===，当(1,)a ∈+∞或(,0]a ∈-∞时，最多有2个交点，所以不成立;当(0,1)a ∈时，存在3个交点，所以a 的取值范围是(0,1). 故答案为：(0,1)(2022福建月考)函数()ln (),0()(2),(0)x x f x x x x ⎧-<=⎨-⎩…，若关于x 的方程22()()10f x af x -+=有6个不相等的实数根，则a 的取值范围是__________.专题升华函数的定义域是研究函数图象与性质的第一要素，性质是函数的基本属性，图象是其性质的外在表现；把握各性质的定义和等价表达式是根本；导数是研究函数性质的的根本工具，遇到参数时要紧记“分类讨论”；导函数图象与原函数图象的关系不能混淆！复合函数要会分解，定义域先行，内层函数的值域是外层函数的定义域，要清醒对待两者的身份！【答案详解】变式训练1【答案】.ABD【解析】由函数(1)f x +的图象关于直线1x =-对称可知，函数()f x 的图象关于 轴对称， 故()f x 为偶函数.选项 正确;由(4)()f x f x +=-，得(44)(4)()f x f x f x ++=-+=，()f x ∴是周期8T =的偶函数，(2023)(25381)(1)(1) 1.f f f f ∴=⨯-=-==选项 正确，选项 错误;设[3,4)x ∈，则4[1,0),4(0,1],x x -∈--∈()f x 为偶函数，(4)(4)f x f x ∴-=-，由(0,1]x ∈时，()f x =，得(4)(4.f x f x -=--又(4)()f x f x +=-，()(4)f x f x ∴=--=选项 正确.故选：.ABD变式训练2【答案】【解析】因为()1sin ,(,0)f x x x x x x ππ⎛⎫=--≠ ⎪⎝⎭剟，所以()()1sin f x x x f x x ⎛⎫-=-+=- ⎪⎝⎭，所以()f x 为奇函数，其图象关于原点中心对称，故排除 、 选项； 又0x π<<时，()10f =，令6x π=，则6sin 0666f ππππ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故排除 选项.故选：.D变式训练3【答案】【解析】根据题意，函数(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称，则函数()f x 的图象关于 轴对称，即函数()f x 为偶函数，满足()()f x f x -=，则1(l n )(l n )c f f ππ==，ln31444ln ln 120e e π->=>>=>>， 又由(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递增，则有a c b >>；故选：.A变式训练4【答案】【解析】由2y x =得2y x '=，令22y x '==，解得1x =，由点斜式得切线方程：12(1)y x -=-，即21y x =-，由l n ()y x a =-，得1y x a '=-，令12y x a '==-，解得12x a =+，代入ln()y x a =-得：ln 2y =-，将1(,ln 2)2a +-代入21y x =-，得：11ln 22()1ln 222a a -=+-⇒=-，故选：.A变式训练5【解析】(1)由题知()cos 1(0)af x x x x'=-+>，若0a >，因为0x >，1cos 0x -…，则()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，若0a <，则当0,2a x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2a x <-，从而11 / 11 ()2cos 1(1cos )0f x x x '<--+=-+…，所以()f x 在0,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，不满足题意，综上分析，a的取值范围是(0,).+∞变式训练6【解析】(1)证明：依题意()f x 的定义域为 ，()(2)2x f x x e -'=-++，令()(2)2x m x x e -=-++，()(1).x m x x e -'=+当(1,)x ∈-+∞时，()0m x '>，所以()f x '在(1,)-+∞单调递增；当(,1)x ∈-∞-时，()0m x '<，所以()f x '在(),1-∞-单调递减．又因为(1)20f e '-=-<，(0)0f '=，(2)20f '-=>，所以()f x '在(),1-∞-恰有1个零点0x ，在()1,-+∞恰有1个零点0，且当0(,)x x ∈-∞时，()0f x '>，当0(,0)x x ∈时，()0f x '<，当(0,)x ∈+∞时，()0.f x '>所以()f x 在0(,)x -∞单调递增，在0(,0)x 单调递减，在(0,)+∞单调递增．所以()f x 恰有一个极大值点0x 和一个极小值点0，即()f x 恰有两个极值点．变式训练7【解析】函数()f x 的图象如图所示，令()t f x =，结合图象可知，若关于x 的方程22()()10f x af x -+=有6个不等的实数根，则关于 的方程2210t at -+=在[0,1)有两个不等实数根，因为221y t at =-+的图象过点(0,1)，则280014210a a a ⎧∆=->⎪⎪<<⎨⎪-+>⎪⎩，解得3.a <<故答案为：。
新高考数学二轮复习知识点总结与题型归纳 第6讲 导数的应用之单调性、极值和最值(解析版)
第6讲 导数的应用之单调性、极值和最值1．函数单调性与导函数符号的关系一般地，函数的单调性与其导数正负有以下关系：在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在该区间内单调递增；如果()0f x '<，那么函数()y f x =在该区间内单调递减.2．求可导函数单调区间的一般步骤 （1）确定函数()f x 的定义域；（2）求()f x '，令()0f x '=，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； （3）把函数()f x 的间断点（即()f x 的无定义点）的横坐标和()0f x '=的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数()f x 的定义域分成若干个小区间；（4）确定()f x '在各小区间内的符号，根据()f x '的符号判断函数()f x 在每个相应小区间内的增减性.注①使()0f x '=的离散点不影响函数的单调性，即当()f x '在某个区间内离散点处为零，在其余点处均为正（或负）时，()f x 在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在(,)-∞+∞上，3()f x x =，当0x =时，()0f x '=；当0x ≠时，()0f x '>，而显然3()f x x =在(,)-∞+∞上是单调递增函数.②若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增，则()0f x '≥（()f x '不恒为0），反之不成立.因为()0f x '≥，即()0f x '>或()0f x '=，当()0f x '>时，函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递增.当()0f x '=时，()f x 在这个区间为常值函数；同理，若函数()y f x =在区间(,)a b 上单调递减，则()0f x '≤（()f x '不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论： ()0f x '>⇒()f x 单调递增； ()f x 单调递增()0f x '⇒≥； ()0f x '<⇒()f x 单调递减； ()f x 单调递减()0f x '⇒≤.3．函数极值的概念设函数()y f x =在点0x 处连续且0()0y f x '==，若在点0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，则0x 为函数的极大值点；若在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，则0x 为函数的极小值点.函数的极值是相对函数在某一点附近的小区间而言，在函数的整个定义区间内可能有多个极大值或极小值，且极大值不一定比极小值大.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点. 4．求可导函数()f x 极值的一般步骤 （1）先确定函数()f x 的定义域； （2）求导数()f x '；（3）求方程()0f x '=的根；（4）检验()f x '在方程()0f x '=的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那么函数()y f x =在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数()y f x =在这个根处取得极小值.注①可导函数()f x 在点0x 处取得极值的充要条件是：0x 是导函数的变号零点，即0()0f x '=，且在0x 左侧与右侧，()f x '的符号导号.②0()0f x '=是0x 为极值点的既不充分也不必要条件，如3()f x x =，(0)0f '=，但00x =不是极值点.另外，极值点也可以是不可导的，如函数()f x x =，在极小值点00x =是不可导的，于是有如下结论：0x 为可导函数()f x 的极值点0()0f x '⇒=；但0()0f x '=⇒0x 为()f x 的极值点. 5．函数的最大值、最小值若函数()y f x =在闭区间[],a b 上的图像是一条连续不间断的曲线，则该函数在[],a b 上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在极值点或区间端点处取得.6．求函数的最大值、最小值的一般步骤设()y f x =是定义在区间[],a b 上的函数，()y f x =在(,)a b 可导，求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值，可分两步进行：（1）求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.注①函数的极值反映函数在一点附近情况，是局部函数值的比较，故极值不一定是最值；函数的最值是对函数在整个区间上函数值比较而言的，故函数的最值可能是极值，也可能是区间端点处的函数值；②函数的极值点必是开区间的点，不能是区间的端点； ③函数的最值必在极值点或区间端点处取得.1．已知0x 是函数()e ln x f x x =-的极值点，若()00,a x ∈， ()0,b x ∈+∞，则 A. ()0f a '>， ()0f b '< B. ()0f a '<， ()0f b '< C. ()0f a '>， ()0f b '> D. ()0f a '<， ()0f b '> 【答案】D【解析】因为()1(0)x f x e x x '=->，令()1=0x f x e x '=-，即1=x e x ，在平面直角坐标系画出1,x y e y x==的图象，如图：根据图象可知， ()()()()000,,0,,,0x x f x x x f x '∞'∈∈+，所以 ()0f a '<， ()0f b '>，故选D.2．已知20a b =≠，且关于x 的函数()321132f x x a x a bx =++⋅在R 上有极值，则a 与b 的夹角范围为（ ）A. 0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B. ,6ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦C. ,3ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 2,33ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】()321132f x x a x a bx =++⋅在R 有极值， ()2'0f x x a x a b ∴=++⋅=有不等式的根， 0∴∆>，即2240,4cos 0a a b a a b θ-⋅>∴->，120,cos 2a b θ=≠∴<， 0,3πθπθπ≤≤∴<≤，即向量,a b 夹角范围是,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦，故选C. 【方法点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、利用导数研究函数的极值，属于难题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=，二是1212a b x x y y ⋅=+，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， ·cos ·a ba bθ=（此时·a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影， a 在b 上的投影是a b b⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.3．在ABC ∆中， ,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠所对的边，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，则sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小值是（ ） A. 0 B. 32- C. 32D. -1 【答案】D【解析】()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+，∴f′（x ）=x 2+2bx+（a 2+c 2-ac ），又∵函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+有极值点，∴x 2+2bx+（a 2+c 2-ac ）=0有两个不同的根，∴△=（2b ）2-4（a 2+c 2-ac ）＞0，即ac ＞a 2+c 2-b 2，即ac ＞2accosB ；即cosB ＜12，故∠B 的范围是（π3π，），所以23B π- 5,33ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当3112B 326B πππ-==，即 时sin 23B π⎛⎫- ⎪⎝⎭的最小值是-1 故选D4．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足xf′(x)－f(x)＝xlnx ， 11f e e⎛⎫= ⎪⎝⎭，则f(x)( )A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值，又有极小值D. 既无极大值，又无极小值 【答案】D【解析】因为xf ′(x )－f (x )＝x ln x ，所以()()2ln xf x f x x x x -='，所以()'ln ()f x xx x=，所以f (x )＝12x ln 2x ＋cx .因为f (1e )＝12e ln 21e ＋c ×1e ＝1e ，所以c ＝12，所以f ′(x )＝12ln 2x ＋ln x ＋12＝12(ln x ＋1)2≥0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(0，＋∞)上既无极大值，也无极小值，故选D.点睛：根据导函数求原函数，常常需构造辅助函数，一般根据导数法则进行：如()()f x f x '-构造()()x f x g x e =， ()()f x f x '+构造()()x g x e f x =，()()xf x f x '-构造()()f xg x x=， ()()xf x f x '+构造()()g x xf x =等 5．设a R ∈，若函数,x y e ax x R =+∈有大于零的极值点，则（ ）A. 1a e<- B. 1a e >- C. 1a >- D. 1a <-【答案】D【解析】()x f x e a '=+（x>0）,显然当0a ≥时， ()0f x '>，f(x)在R 上单调递增，无极值点，不符。
导数知识点笔记总结高中
导数知识点笔记总结高中一、导数的定义导数是函数的一种特殊的变化率，描述了函数在某一点附近的局部变化情况。
导数可以通过极限的概念来定义，如果函数f(x)在点x0处可导，则其导数f'(x0)表示函数在该点处的斜率，即切线的斜率。
导数可以用来描述函数在某一点的变化趋势，其绝对值表示了函数曲线在该点的斜率大小，正负号表示了函数曲线的增减性。
二、导数的计算1. 用极限定义导数：对于函数f(x)，其在点x0处的导数可以通过以下极限计算得到：\[ f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h)-f(x_0)}{h} \]如果该极限存在，则函数在点x0处可导，其导数即为该极限的值。
2. 使用导数的性质：导数具有一些常用的性质，如常数的导数为0，幂函数的导数为其指数乘以原函数的导数等，可以利用这些性质来简化导数的计算。
3. 使用导数的基本公式：常见函数的导数有一些基本的求导公式，例如：- f(x) = k，导数为0；- f(x) = x^n，导数为n*x^(n-1)；- f(x) = e^x，导数仍为e^x；- f(x) = sin(x)，导数为cos(x)；- f(x) = cos(x)，导数为-sin(x)；- f(x) = tan(x)，导数为sec^2(x)。
通过这些基本公式，可以快速求得常见函数的导数。
三、导数的应用导数在数学中有着广泛的应用，常见的应用包括：1. 描述曲线的斜率：导数可以描述函数曲线在某一点的斜率，通过导数可以了解函数在各个点的斜率，进而描绘出整个曲线的形状。
2. 确定函数的增减性：当导数大于0时，函数增加；当导数小于0时，函数减小；当导数等于0时，函数可能达到极值。
通过导数可以判断函数在某一区间上的增减性。
3. 寻找极值点：通过导数可以确定函数的极值点，即在导数等于0或不存在的点处，函数可能取得极大值或极小值。
4. 切线方程与切线问题：导数可以用来求解函数曲线在某一点的切线方程，从而描述曲线在该点的局部性质。
高考数学求导知识点大全
高考数学求导知识点大全高考数学中的求导是一个非常重要的知识点，涉及到函数的变化率和极值问题。
掌握好求导知识，对于解题和理解数学概念非常有帮助。
本文将全面介绍高考数学求导的各种知识点，帮助考生更好地应对考试。
一、基本概念1. 导数的定义：导数是函数在某点处的变化率，即函数在该点的切线斜率。
2. 导函数的定义：函数的导数也可以看作是函数的斜率函数，用f'(x)表示。
3. 函数可导性：一个函数在某个点可导的条件是在该点左右两侧的左极限和右极限存在且相等。
二、求导法则1. 基本求导法则：包括常数函数的导数、幂函数的导数、指数函数的导数等。
2. 乘法法则：若函数由两个函数相乘而成，则求导时可以分别对两个函数求导，然后相乘。
3. 除法法则：若函数由两个函数相除而成，则求导时可以将两个函数分别求导，然后应用商的导数公式。
4. 复合函数求导法则：一个函数中由多个子函数相互嵌套而成，对复合函数求导时可以运用链式法则，即外函数求导乘以内函数的导数。
三、特殊函数的导数1. 反函数的导数：若函数y=f(x)的反函数是x=g(y)，则g'(y) =1/f'(x)，其中x是由y=f(x)确定的。
2. 对数函数的导数：对数函数y=loga(x)的导数是y' = 1/(xlna)。
3. 指数函数的导数：指数函数y=a^x的导数是y' = a^xlna。
四、隐函数求导当一个函数的表达式无法直接确定时，称为隐函数。
求解隐函数的导数需要运用隐函数求导公式，将待求的隐函数的导数表示为已知的已知函数和未知函数的导数之比。
五、参数方程的导数参数方程是由多个参数形式确定的函数关系。
求参数方程的导数时，需要对各个参数分别求导，然后形成一个参数对应的导数关系。
六、高阶导数1. 一阶导数：函数的一阶导数表示函数在某一点的切线斜率。
2. 二阶导数：函数的二阶导数表示一阶导数的斜率函数。
可通过对一阶导数再求导得到。
高中数学导数知识点总结
高中数学导数知识点总结一、导数的基础1. 导数的定义- 导数表示函数在某一点的切线斜率。
- 符号表示：$f'(x)$ 或 $\frac{df}{dx}$。
2. 极限表达- 导数可以用极限表达：$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$。
3. 几何意义- 导数的几何意义是曲线在某一点的切线斜率。
二、导数的计算1. 基本导数公式- 常数函数：$(C)' = 0$。
- 幂函数：$(x^n)' = nx^{n-1}$（其中n为实数）。
- 指数函数：$(a^x)' = a^x \ln(a)$（其中a > 0且a ≠ 1）。
- 对数函数：$(\ln(x))' = \frac{1}{x}$。
- 三角函数：- $(\sin(x))' = \cos(x)$- $(\cos(x))' = -\sin(x)$- $(\tan(x))' = \sec^2(x)$2. 导数的运算法则- 和/差的导数：$(u \pm v)' = u' + v'$。
- 乘积的导数：$(uv)' = u'v + uv'$。
- 商的导数：$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$。
3. 链式法则- 如果有一个复合函数$g(f(x))$，则其导数为：$(g(f(x)))' = g'(f(x)) \cdot f'(x)$。
三、高阶导数1. 高阶导数的定义- 第二导数：函数的导数的导数，表示为$f''(x)$。
- 更高阶导数：同理，可以计算第三导数、第四导数等。
2. 高阶导数的计算- 通过重复应用导数的基本运算法则来计算。
四、导数的应用1. 切线问题- 利用导数求曲线在某一点的切线方程。
高二数学导数重点知识点
高二数学导数重点知识点导数是高中数学中的一个重要概念，它在很多数学问题的解答中扮演着重要角色。
通过求解导数，我们能够计算函数在不同点上的斜率，进而研究函数的变化规律。
本文将介绍高二数学中的导数重点知识点，帮助大家更好地理解和应用这一概念。
一、导数的定义和性质导数的定义是：对于函数y=f(x)，在x点处的导数定义为：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，lim表示极限，h表示一个无穷小的增量。
导数表示函数变化率的大小，可以用来研究函数的增减性、极值等性质。
导数的性质包括：1. 基本导数公式：对于幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等常见函数，有相应的导数公式可以直接使用。
2. 运算法则：导数具有线性性质，即求导数的和（或差）等于函数对应的和（或差）的导数；求导数的常数倍等于函数对应的常数倍的导数。
3. 导数的乘积法则：两个函数相乘的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数再加上另一个函数的导数乘以第一个函数。
4. 导数的商法则：两个函数相除的导数等于分子的导数乘以分母再减去分母的导数乘以分子，最后再除以分母的平方。
5. 高阶导数：导数的导数称为高阶导数，可以通过多次求导获得。
二、导数的应用导数在数学中有广泛的应用，下面介绍几个常见的应用场景。
1. 切线和法线：导数可以用来求解曲线在某一点的切线和法线。
切线的斜率等于该点的导数值，而法线的斜率等于切线的相反数。
2. 函数的极值：导数可以帮助我们找到函数的极大值和极小值。
在导数为零或不存在的点处，函数可能有极值。
3. 函数的凹凸性：通过导数的变化可以研究函数的凹凸性。
如果导数的值递增，则函数的曲线凸向上；如果导数的值递减，则函数的曲线凹向上。
4. 函数的图像：导数可以揭示函数的图像特征。
通过分析导数的正负变化可以确定函数的增减性，通过分析导数的零点可以确定函数的极值点。
5. 近似计算：导数可以用来进行数值的近似计算。
高中数学知识点记忆(导数)
高考数学知识点小结导 数1.基本函数的导数公式：①()c x f =，则()0'=x f ； ②()()*N n x x f n ∈=，则()1'-=n nx x f ； ③()x x f sin =，则()x x f cos '=； ④()x x f cos =，则()x x f sin '-=； ⑤()x a x f =，则()a a x f x ln '=； ⑥()x e x f =，则()x e x f ='； ⑦()x x f a log =，则()e x x f a log 1'=；⑧()x x f ln =，则()xx f 1'=．2.导数运算法则： ①()()[]()()x g x f x g x f ''±='±；② ()()[]()()()()x g x f x g x f x g x f ''⋅+⋅='⋅③()()()()()()()x g x g x f x g x f x g x f 2''-='⎥⎦⎤⎢⎣⎡；3.复合函数的导数：分别求导，再相乘.4.导函数的几何意义：导函数等于切线的斜率.5.用导数如何求切线斜率：将切点的横坐标代入导数所得的值就是切线的斜率.6.切点的特点：既在切线又在函数()x f 上.7.点斜式：()00x x k y y -=-8.画直线的方法：分别令x =0和y =0求出两点. 9.已知直线方程的一般式求直线斜率，需将直线化为 b kx y += .10.()1f '11.若两直线垂直（斜率存在）： 121-=k k ；两直线平行（斜率存在）： 21k k = .12.对数与指数互化：如b a x=写成对数的形式是 b x a log = .13.对数x ln表示以 e 为底的对数；对数x lg 表示以 10 为底的对数.14.计算：32a=-2a21a . ()>083a a21a54a=54a. ()>-021a a15.解一元二次不等式的步骤：（1）保证2x 前系数为正数；（2）令不等式等于0求两个根；（3）大于取两边，小于取中间. 16.斜率k 与倾斜角的关系：αtan =k .倾斜角的范围：︒<≤︒1800θ17.若()x f 在[]b a ,上递增，则()0≥'x f ；同理，若()x f 在[]b a ,上递减，则 ()0≤'x f .18.求单调性的步骤：（1）求导，求定义域；（2）令()0>'x f 和()0<'x f ，求出x 的范围；（3）综上：.19.求单调性注意两点：一是： 两个或两个以上的单调区间要用“，”或“和”隔开 ； 二是： 注意定义域的范围 .20.求定义域的四种情况：（1）分母不为0； （2）真数>0； （3）偶次根号下0≥； （4）()00≠x x .21.原函数看 增减 ；导函数看 正负 . 22.极值点的两个特点：一是： 将极值点代入导数中等于0； 二是： 将极值点代入原函数等于极值.23.做题时，极值点常用三种形式出现： （1）在a x =处取得极值； （2）通过导函数的图像； （3）通过原函数的单调区间.24.()0='x f 求出的x 的值 不一定是 极值点.25.原函数存在极值且该函数的导函数为二次函数，则该导函数必须满足 0>∆ .26.已知一元二次方程的两个根，求系数，用 韦达定理 . 27.韦达定理： ax x a b x x =-=+2121, . 28.求极值的步骤：（1）求导，求定义域；（2）令()0='x f ，求出x 的值；（3）将求出的x 的值代入到原函数求极值.29.求曲线上的点到直线距离的最小值：求曲线上与该直线平行的切线所过的切点.30.求一元二次方程的公式法： aac b x 242-= .31.函数()()()321213123+'-'+=x f x f x x f 求导得 .函数()θθθtan 2cos 33sin 23++=x x x f 求导得 . 32.()0x f x '⋅≤可化为()()0000x x f x f x ≥<⎧⎧⎪⎪⎨⎨''<>⎪⎪⎩⎩或.33.单调区间含有字母时，需分类讨论：（1） 利用十字相乘法，求出两根，再分三种情况讨论两根的情况； （2） 利用∆，分0,0≤∆>∆两种情况.（注意：当∆>0时，函数是有增区间也有见区间；当0≤∆时，函数只有减区间或增区间；另外，注意看二次项前的系数是否为正）34.求最值时，极值点含有其他字母，则需讨论极值点与已知区间的关系.（左中右） 35.已知()x f 为三次函数，若()0=x f 时，仅有一个实数根，则()()00><极小值极大值或x f x f .若()0=x f 时，仅有两个实数根，则()()00==极小值极大值或x f x f .若()0=x f 时，仅有三个实数根，则()()00<>极小值极大值且x f x f .36.题目中若让求极值，而该函数只有极大值，则书写时要注明“无极小值”.37.已知函数的递增或递减区间，求字母的取值范围的步骤是：（1）求导； （2）令导函数0≥或0≤；（3）将所求字母分离到不等式一边，形如()x g a≥或()x g a ≤.38.导数中求证题的证明方法：（1）构造新函数法；（2）利用()()max min x g x f >；（3）放缩法；（4）利用已证结论.39.穿针引线法：从右往左穿，当最高次数为“正”时，就从上往下穿；当最高次数为“负”数时，就从下往上穿.40.过某点求切线方程的步骤：（1）设巧设切点；（2）利用导函数得的切线斜率=两点所求切线斜率.。
高三第二轮知识点总结数学
高三第二轮知识点总结数学一、函数与导数1. 函数的概念函数是自变量与因变量之间的对应关系。
如果每个自变量对应唯一的因变量，并且每个因变量都由自变量确定，则称这种对应关系为函数。
2. 函数的性质（1）定义域：一个函数的定义域是指所有可能的自变量的取值，是函数的合法输入值的范围。
（2）值域：一个函数的值域是指所有可能的因变量的取值，是函数的合法输出值的范围。
3. 导数的概念函数的导数，简称导数，是函数在某一点处的变化率。
导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，例如速度，加速度等。
如果函数y=f(x)在点x=x0处可导，则称函数在该点可导。
如果函数在某一点处可导，那么导数就是这个点处函数的斜率。
4. 导数的计算导数的计算是通过极限的概念来定义的。
对于一个函数y=f(x)，它的导数$f'(x)$可以通过以下公式来计算：$$f'(x) = \lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$5. 导数的性质（1）导数与函数的关系：如果函数f(x)在任意一点可导，则称f(x)是可导的。
（2）可导函数的性质：如果函数f(x)在某一点可导，则它在该点处必然连续。
6. 导数的应用导数在很多实际问题中都有着重要的应用，如切线与切线方程、极值与最优化问题、微分与微分方程等。
二、不等式1. 绝对值不等式（1）绝对值函数：$|x|$表示x的绝对值。
绝对值函数的性质有：a. $|x|\geq 0$；b. $|ab|=|a|\cdot |b|$；c. $|x-y|\leq |x|+|y|$。
（2）绝对值不等式：绝对值不等式是带有绝对值的不等式，解题时会对不等式的两边取绝对值，然后分类讨论。
2. 一元二次不等式一元二次不等式是指一元二次函数的不等式，它的解法主要通过构造零点法，求不等式的根，或者使用图像法，构造抛物线的图像来求解。
3. 二元一次不等式二元一次不等式是指两个变量的一次不等式，通常使用图像法，分析直线在坐标轴上的位置以及不等式的解集。
导数概念及几何意义意义-2023届高三数学二轮复习讲义
目录4.1 导数的概念及运算..................................................................................................................... 1 4.2 导数的几何意义 .. (14)4.1 导数的概念及运算【知识点一】一、导数的基本概念 1．函数的平均变化率：2．函数的瞬时变化率、函数的导数：3．设函数的图象如图所示．为过点与的一条割线．由此割线的斜率是，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点沿曲线趋近于点时，割线绕点转动，它的最终位置为直线，这条直线叫做此曲线过点的切线，即切线的斜率．由导数意义可知，曲线过点的切线的斜率等于．()y f x =AB 00(,())A x f x 00(,())B x x f x x +∆+∆00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆B A AB A AD AD A 000()()limx f x x f x x∆→+∆-=∆AD ()y f x =00(,())x f x 0()f x '二：导数公式，为正整数(0,)αα≠∈Q ，为有理数注：，称为的自然对数，其底为，是一个和一样重要的无理数．注意．()y f x =()y f x ''=y c =0y '=n y x =()n +∈N 1n y nx -'=n y x α=1y x αα-'=αx y a =(0,1)a a >≠ln x y a a '=log a y x =(0,1,0)a a x >≠>1ln y x a'=sin y x =cos y x '=cos y x =sin y x '=-e a e e π2.7182818284e =()x x e e '=【典型例题】考点一： 导数的基本概念例1．如图,函数()f x 的图象是折线段ABC ,其中A ,B ,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则((0))f f =_____；函数()f x 在1x =处的导数'(1)f =_____．练1．已知函数()f x 在0x x =处可导,则000(3)()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆_____0'()f x ．练2．设函数2()24f x x =-的图像上一点(1,2)以及邻近一点(1,2)x y +∆+∆,则yx∆∆等于__________．考点二： 导数公式及其应用例1．求下列函数的导数: 3x ,13x ,21x练1．求下列函数的导数: x ,3log x ,cos x练2．下列结论不正确的是 A ．若3y =,则'0y = B ．若3x y =,则1'3x y x -=-⋅C ．若y x =-则'2y x=D ．若3y x =,则'3y =【知识点二：导数的四则运算法则】（1）函数和（或差）的求导法则:设()f x ,()g x 是可导的,则(()())()()f x g x f x g x '''±=±,即两个函数的和（或差）的导数,等于这两个函数的导数和（或差）． （2）函数积的求导法则:设()f x ,()g x 是可导的,则[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+,即两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘上第二个函数,加上第一个函数的乘上第二个函数的导数．由上述法则即可以得出[()]()Cf x Cf x ''=,即常数与函数之积的导数,等于常数乘以函数的导数．（3）函数的商的求导法则: 设()f x ,()g x 是可导的,()0g x ≠,则2()()()()()[]()()f xg x f x f x g x g x g x ''-'=． 特别是当()1f x ≡时,有21()[]()()g x g x g x ''=-．【典型例题】例1．求下列函数的导数:（1）()3sin=;f x x x（2）()ln x=;f x e x（3）()sin xf x=;x（4）()tanf x x=．例2．2=+-的导数为()(2)()f x x a x aA．22x a2()+ 2()x a-B．22 C．22x a+3() 3()x a-D．22练习1．求下列函数的导数:2xx e 1ln x211x x ++练习2．求下列函数的导数: （1）()e sin x f x x -=；（2）2()()ln f x x x x =-； （3）2()()e x f x x ax a -=-+⋅;（4）()3ln x f x x =．【知识点三：复合函数求导】一般地,对于两个函数()y f u =和()u g x =,如果通过变量,u y 可以表示成x 的函数．那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数,记(())y f g x =．复合函数(())y f g x =的导数和函数(),y f u =()u g x =的导数间的关系为'''x u x y y u =⋅ （注：'x y 表示y 对x 的导数,'u y 表示y 对u 的导数）【典型例题】例1．（1）函数2sin y x =的导数是_____．（2）函数2412x y e +=的导数是_____．（3）函数2(1cos )y x =-的导数是_____．（4)设3121y x =+,则y '=_____．2'2cos y x x =练习1．求下列复合函数的导数:（1）2()ln(5)f x x =+；（2）10(35)()x f x x +=；（3）1()ln()1xf x x+=-．【小试牛刀】1．已知函数()f x 在1x =处可导,则0(1)(1)__________lim3x f x f x∆→+∆-=∆．2．求下列函数的导数: （1）ln y x = （2）53y x = （3）2x y =3．求下列函数导数值： （1）()f x x =,求(1)f ',1()2f '（2）()sin f x x =,求π()4f '（3）2()log f x x =,求1()2f '4．求下列函数的导数: （1）2()2ln f x x x =+（2）3()x f x x e =+【巩固练习——基础篇】1．若小球自由落体的运动方程为21()2s t gt =（g 为常数），该小球在13t t ==到的平均速度为v ，在2t =的舒适速度为2v ，2v v 和关系为A ．2v v >B ．2v v <C ．2v v =D ．不能确定2. 已知函数()f x 和()g x 在区间[]a b ，上的图像如图所示，纳闷下列说法正确的是A ．()f x 在a 到b 之间的平均变化率大于()g x 在a 到b 之间的平均变化率B ．()f x 在a 到b 之间的平均变化率小于()g x 在a 到b之间的平均变化率C ．对于任意0()x a b ∈，，函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率总大于函数()g x 在0x x =处的瞬时变化率D ．存在0()x a b ∈，，使得函数()f x 在0x x =处的瞬时变化率总小于函数()g x 在0x x =处的瞬时变化率3．求下列函数在给定点的导数 （1）34=16y x x =， (2) sin =2y x x π=， (3)cos =2y x x π=，4．已知函数，则的最小正周期是；如果的导函数是，则________．21()sin 23cos 2f x x x =+()f x ()f x ()f x '()6f π'=t 4t 3t 2100t 1tOV5．求下列函数的导数:（1）()sin cos 22x xf x x =-（2）()sin(21)x f x e x =+6．求下列函数的导数: （1）()sin(ln )f x x =;（2）43()(21)f x x +【巩固练习——提高篇】1．某堆雪在融化过程中,其体积V （单位:3m ）与融化时间t （单位:h ）近似满足函数关系:31()(10)10V t H t =-（H 为常数）,其图象如图所示．记此堆雪从融化开始到结束的平均融化速度为3(m /)v h ．那么瞬时融化速度等于3(m /)v h 的时刻是图中的A ．1tB ．2tC ．3tD ．4t2．已知函数，则A ．B ．C ．D ．03．设函数，其中，则导数的取值范围是A ．B ．C ．D ．4．设、是上的可导函数，、分别是、的导函数，且，则当时，有A ．B ．C ．D ．5．已知是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足，对任意正数、，若<，则，的大小关系为A ．<B ．=C ．≤D ．≥6．求下列函数的导数:()(1)(2)(3)(100)f x x x x x =----(1)f '=99!-100!-98!-()32sin 3cos tan 3f x x x θθθ=++5π012θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()1f '[]22-，23⎡⎤⎣⎦，32⎡⎤⎣⎦22⎡⎤⎣⎦()f x ()g x R ()f x '()g x '()f x ()g x ()()()()0f x g x f x g x ''+<a x b <<()()()()f x g x f b g b >()()()()f x g a f a g x >()()()()f x g b f b g x >()()()()f x g x f a g a >()f x '()()0xf x f x ->a b a b ()af a ()bf b ()af a ()bf b ()af a ()bf b ()af a ()bf b ()af a ()bf b（1）1()sin tan ln cos f x x x x x=++； （2）2()cos(ln(1))f x x =+；（3）121()()xf x e x a x=++．7．已知1()sin cos f x x x =+,记21()'()f x f x =,32()'()f x f x =,…,1()'()(,2)n n f x f x n N n *-=∈≥,则122018()()()_________222f f f πππ+++=．4.2 导数的几何意义【课前诊断】成绩（满分10分）：_____ 完成情况: 优/中/差1．曲线在处切线的倾斜角为A ．B ．C ．D ．2．直线l 经过点(,0)A t ,且与曲线2y x =相切,若直线l 的倾斜角为45︒,则t =______．3． 已知函数()ln()f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行． （Ⅰ）求a 的值;4．已知函数2()ln (,)f x a x bx a b =-∈R ．（Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线12y =-相切,求,a b 的值;313y x =1=x 1π4-π45π4【知识点一：切线的求法】1、曲线的切线的求法：若已知曲线过点00(,)P x y ，求曲线过点P 的切线，则需分点00(,)P x y 是切点和不是切点两种情况求解．（1）当点00(,)P x y 是切点时，切线方程为000()()y y f x x x '-=-； （2）当点00(,)P x y 不是切点时，可分以下几步完成： 第一步：设出切点坐标11(,())P x f x '；第二步：写出过11(,())P x f x '的切线方程为111()()()y f x f x x x '-=-； 第三步：将点P 的坐标00(,)x y 代入切线方程求出1x ；第四步：将1x 的值代入方程111()()()y f x f x x x '-=-，可得切线方程． 2、求曲线=()y f x 的切线方程的类型及方法（1）已知切点00(,)P x y ，求=()y f x 过点P 的切线方程：求出切线的斜率0()f x '，由点斜式写出方程；（2）已知切线的斜率为k ，求=()y f x 的切线方程：设切点00(,)P x y ，通过方程0()k f x '=解得0x ，再由点斜式写出方程；（3）已知切线上一点(非切点)，求=()y f x 的切线方程：设切点00(,)P x y ，利用导数求得切线斜率0()f x '，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得0x ，最后由点斜式或两点式写出方程．（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜率，再由0()k f x '=求出切点坐标00(,)x y ，最后写出切线方程． （5）①在点P 处的切线即是以P 为切点的切线，P 一定在曲线上．②过点P 的切线即切线过点P ，P 不一定是切点．因此在求过点P 的切线方程时，应首先检验点P 是否在已知曲线上．【典型例题】考点一：导数的几何意义例1．若过曲线上的点的切线的斜率为, 则点的坐标是．例2． 已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程;练习1．已知函数()()ln 1f x x a x x =+-+．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(e (e))f ,处的切线斜率为1，求实数a 的值；练习2． 已知函数()ln()f x x a =+在点(1,(1))f 处的切线与直线20x y -=平行． （Ⅰ）求a 的值;()ln f x x x =P 2P ______例1．曲线在处的切线方程为A ．B ．C ．D ．例2．曲线在处切线的倾斜角为A ．B ．C ．D ．练习1．曲线在点处的切线方程是 A ． B ． C ． D ．练习2．已知函数()(sin )ln f x x a x =+，a ∈R ．若0a =，求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；练习3．已知函数2()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ,且在点P 处的切线相同．（Ⅰ）若点P 的坐标为1(,1)e-,求,a b 的值;e ()1xf x x =-0=x 10--=x y 10++=x y 210--=x y 210++=x y 313y x =1=x 1π4-π45π42()1xf x x =+(1,(1))f 1x =12y =1+=x y 1-=x y例1．曲线在点处的切线经过点,则．例2．直线l 经过点(,0)A t ,且与曲线2y x =相切,若直线l 的倾斜角为45︒,则t =______．练习1． 已知函数ln ()xf x ax x=-,曲线()y f x =在1x =处的切线经过点(2,1)-． （Ⅰ）求实数a 的值;考点四： 切线证明例1．已知函数()e (sin cos )x f x x x =+．（切线斜率）（Ⅱ）求证：曲线()y f x =在区间(0,)2π上有且只有一条斜率为2的切线．练1．已知函数()3(0)ax f x e ax a =--≠．()e x f x =00(,())x f x (1,0)P 0=x ______（Ⅱ）当0a >时,设211()32ax g x e ax x a =--,求证:曲线()y g x =存在两条斜率为1-且不重合的切线．例2．已知函数32()f x x ax =-．（3a >）（切线个数） （Ⅱ）求证:过点(1,(1))P f 恰有2条直线与曲线()y f x =相切．练2．已知函数321()3()3f x x x ax a =--∈R ．（Ⅱ）在直线1x =上是否存在点P ，使得过点P 至少有两条直线与曲线()y f x =相切？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．例3．已知函数()1e 1x x x f x --+=．（公切线问题）（Ⅲ）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线e x y =在点00(,e )x x 处的切线也是曲线ln y x =练3．已知函数()ln,()x==．f x xg x e（Ⅲ）判断曲线()f x与()g x是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由．【小试牛刀】1．若曲线的某一切线与直线垂直,则切线坐标为．2．已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线在点处的切线方程; 23122y x x =+-134y x =-+______()y f x =(0,(0))f1．已知函数2()ln (,)f x a x bx a b =-∈R ．（Ⅰ）若()f x 在1x =处与直线12y =-相切,求,a b 的值;2．已知函数321()3f x ax x bx c =+++． 曲线()y f x =在点()0,(0)f 处的切线方程为1y x =+．（Ⅰ）求b ，c 的值；3. 已知函数().xe f x x= （Ⅰ）若曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为0ax y -=,求0x 的值;1．已知函数()ln sin(1)f x x a x =-⋅-,其中a ∈R ． （Ⅰ）如果曲线()y f x =在1x =处的切线的斜率是1-,求a 的值;2．设函数32()(1)f x x b x bx =-++．（切线斜率） （Ⅱ）当1b >时，函数()f x 与直线y x =-相切，求b 的值；3．已知函数()ln 1a f x x x =--．（Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线,求实数a 的取值范围;5．已知函数2()(0)f x ax bx a=->和()lng x x=的图象有公共点P，且在点P处的切线相同．（公切线问题）（Ⅰ）若点P的坐标为1(,1)e-，求,a b的值；（Ⅱ）已知a b=，求切点P的坐标．。
高考数学二轮复习考点知识与题型专题解析20---导数的简单应用
高考数学二轮复习考点知识与题型专题解析导数的简单应用微专题1导数的几何意义及其应用导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P 处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．『典型题训练』1．若过函数f(x)＝ln x－2x图象上一点的切线与直线y＝2x＋1平行，则该切线方程为()A．2x－y－1＝0B．2x－y－2ln2＋1＝0C．2x－y－2ln2－1＝0D．2x＋y－2ln2－1＝02．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－ln x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l过定点()A．(0，2) B．(1，0)C．(1，a＋1) D．(e，1))，则曲线y＝f(x)在x＝0 3．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝cos x－xf′(π2处的切线方程是()A．2x－y－1＝0 B．2x＋y＋1＝0C．x－2y＋2＝0 D．x＋2y＋1＝04．已知函数f(x)＝a e x＋x2的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝(2e+2)x＋b，那么ab＝()A．2 B．1 C．－1 D．－25．[2021·重庆三模]已知曲线C1：f(x)＝e x＋a和曲线C2：g(x)＝ln (x＋b)＋a2(a，b∈R)，若存在斜率为1的直线与C1，C2同时相切，则b的取值范围是()，+∞)B．[0，＋∞)A．[−94]C．(−∞，1]D．(−∞，94在点(－1，－3)处的切线方程为________________．6．[2021·全国甲卷(理)]曲线y＝2x−1x+2微专题2利用导数研究函数的单调性『常考常用结论』导数与单调性的关系1．f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0；2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常数，函数不具有单调性．『提分题组训练』1．[2021·山东烟台模拟]已知a＝ln12 020+2 0192 020，b＝ln12 021+2 0202 021，c＝ln12 022+2 0212 022，则a，b，c的大小关系是()A.a>b>c B．a>c>bC．c>b>a D．c>a>b2．函数f(x)＝x2－a ln x在[1，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是()A．(0，2] B．(2，＋∞)C．(－∞，2] D．(－∞，2)3．已知函数f(x)＝23x3－ax2＋4x在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是()A．(2√2，＋∞) B．[2√2，＋∞)C．(－∞，－2√2) D．(－∞，－2√2]4．若函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈(－π，0)，f′(x)sin x<f(x)cos x恒成立，则()A．√2f(−5π6)>f(−3π4)B．f(−5π6)>√2f(−3π4)C．√2f(−5π6)<f(−3π4)D．f(−5π6)<√2f(−3π4)5．定义在R上的函数f(x)满足f(x)>1－f′(x)，f(0)＝6，则不等式f(x)>1＋5e x(e为自然对数的底数)的解集为()A．(0，＋∞) B．(5，＋∞)C．(－∞，0)∪(5，+∞) D.(−∞，0)6．[2021·山东济南一模]设a＝2022ln2020，b＝2021ln2021，c＝2020ln2022，则() A．a>c>b B．c>b>aC．b>a>c D．a>b>c微专题3利用导数研究函数的极值、最值『常考常用结论』导数与极值、最值(1)函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左正右负”⇔f(x)在x0处取极大值；函数f(x)在x0处的导数f′(x0)＝0且f′(x)在x0附近“左负右正”⇔f(x)在x0处取极小值．(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在该区间上的极值与该区间端点处函数值中的“最大者”；函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在该区间上的极值与该区间端点处函数值中的“最小者”．『提分题组训练』1．已知函数f(x)＝12sin2x＋sin x，则f(x)的最小值是()A．－3√32B．3√32C．－3√34D．3√342．[2021·全国乙卷(理)]设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则()A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜a 2D ．ab ＞a 23．函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则点(a ，b )为() A ．(3，－3) B ．(－4，11) C ．(3，－3)或(－4，11) D ．(4，11)4．若函数f (x )＝x 3－3x 在区间(2a ，3－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围是() A ．(－3，1) B ．(－2，1) C ．(−3，−12) D ．(－2，－1]5．若函数f (x )＝12e 2x －m e x －m2x 2有两个极值点，则实数m 的取值范围是() A ．(12，+∞) B ．(1，＋∞) C ．(e 2，+∞) D ．(e ，＋∞) 6．[2021·山东模拟]若函数f (x )＝{2x−2−2m ，x <12x 3−6x 2，x ≥1有最小值，则m 的一个正整数取值可以为________．参考答案导数的简单应用微专题1导数的几何意义及其应用典型题训练1．解析：由题意，求导函数可得y ′＝1x －2， ∵切线与直线y ＝2x ＋1平行， ∴1x －2＝2， ∴x ＝14，∴切点P 坐标为(14，−2ln 2−12)，∴过点P 且与直线y ＝2x ＋1平行的切线方程为y ＋2ln2＋12＝2(x −14)，即2x －y －2ln2－1＝0.故选C.答案：C2．解析：由f (x )＝ax －ln x ＋1⇒f ′(x )＝a －1x ，f ′(1)＝a －1，f (1)＝a ＋1，故过(1，f (1))处的切线方程为：y ＝(a －1)(x －1)＋a ＋1＝(a －1)x ＋2，故l 过定点(0，2)．故选A.答案：A3．解析：∵f (x )＝cos x －xf ′(π2)， ∴f ′(x )＝－sin x －f ′(π2)，∴f ′(π2)＝－sin π2－f ′(π2)＝－1－f ′(π2)， 解得：f ′(π2)＝－12，∴f (x )＝cos x ＋12x ，f ′(x )＝－sin x ＋12，∴f (0)＝1，f ′(0)＝12，∴y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －1＝12x ，即x －2y ＋2＝0.故选C.4．解析：因为f (x )＝a e x ＋x 2，所以f ′(x )＝a e x ＋2x ，因此切线方程的斜率k ＝f ′(1)＝a e ＋2，所以有a e ＋2＝2e ＋2，得a ＝2，又切点在切线上，可得切点坐标为(1，2e ＋2＋b )， 将切点代入f (x )中，有f (1)＝2e ＋1＝2e ＋2＋b ，得b ＝－1， 所以ab ＝－2.故选D. 答案：D5．解析：f ′(x )＝e x ，g ′(x )＝1x+b ，设斜率为1的切线在C 1，C 2上的切点横坐标分别为x 1，x 2，由题知e x 1＝1x2+b＝1，∴x 1＝0，x 2＝1－b ，两点处的切线方程分别为y －(1＋a )＝x 和y －a 2＝x －(1－b )， 故a ＋1＝a 2－1＋b ，即b ＝2＋a －a 2＝－(a −12)2＋94≤94.故选D. 答案：D6．解析：y ′＝(2x−1x+2)′＝2(x+2)−(2x−1)(x+2)2＝5(x+2)2，所以y ′|x ＝－1＝5(−1+2)2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即y ＝5x ＋2.答案：y ＝5x ＋2微专题2利用导数研究函数的单调性提分题组训练1．解析：构造函数f (x )＝ln x ＋1－x ，f ′(x )＝1x－1＝1−x x，当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以f (12 020)>f (12 021)>f (12 022)，a >b >c .故选A.2．解析：由题意得，f ′(x )＝2x －ax ≥0在x ∈[1，＋∞)上恒成立， 所以a ≤2x 2在x ∈[1，＋∞)上恒成立， 因为2x 2在x ∈[1，＋∞)的最小值为2， 所以m ≤2.故选C. 答案：C3．解析：f ′(x )＝2x 2－2ax ＋4，由题意得∃x ∈(－2，－1)，使得不等式f ′(x )＝2(x 2－ax ＋2)<0成立， 即x ∈(－2，－1)时，a <(x +2x )max ，令g (x )＝x ＋2x ，x ∈(－2，－1)， 则g ′(x )＝1－2x 2＝x 2−2x 2，令g ′(x )>0，解得－2<x <－√2， 令g ′(x )<0，解得－√2<x <－1，故g (x )在(－2，－√2)上单调递增，在(－√2，－1)上单调递减， 故g (x )max ＝g (－√2)＝－2√2，故满足条件的a 的范围是(－∞，－2√2)， 故选C. 答案：C4．解析：因为任意x ∈(－π，0)，f ′(x )sin x <f (x )cos x 恒成立， 即任意x ∈(－π，0)，f ′(x )sin x －f (x )cos x <0恒成立， 又x ∈(－π，0)时，sin x <0，所以[f (x )sin x ]′＝f ′(x )sin x−f (x )cos x(sin x )2<0，所以f (x )sin x 在(－π，0)上单调递减， 因为－5π6<－3π4，所以f(−5π6)sin(−5π6)>f(−3π4)sin(−3π4)，即f(−5π6)−12>f(−3π4)−√22，所以√2f (−5π6)<f (−3π4)，故选C.答案：C5．解析：设g (x )＝e x f (x )－e x ，因为f (x )>1－f ′(x )，所以g ′(x )＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]>0，所以g (x )是R 上的增函数， 又g (0)＝e 0f (0)－e 0＝5，所以不等式f (x )>1＋5e x 可化为e xf (x )－e x >5，即g (x )>g (0)，所以x >0.故选A.答案：A6．解析：令f (x )＝ln xx+1且x ∈(0，＋∞)，则f ′(x )＝1+1x−ln x (x+1)2，若g (x )＝1＋1x －ln x ，则在x ∈(0，＋∞)上g ′(x )＝－1x 2−1x <0，即g (x )单调递减， 又g (e)＝1e >0，g (e 2)＝1e 2－1<0，即∃x 0∈(1e ，e 2)使g (x 0)＝0， ∴在(x 0，＋∞)上g (x )<0，即f ′(x )<0，f (x )单调递减； ∴f (2021)<f (2020)，有ln 20212 022<ln 20202 021，即a >b ，令m (x )＝ln xx−1且x ∈(0，1)∪(1，+∞)，则m ′(x )＝1−1x−ln x (x−1)2，若n (x )＝1－1x －ln x ，则n ′(x )＝1x (1x －1)，即在x ∈(0，1)上n (x )单调递增，在x ∈(1，＋∞)上n (x )单调递减，∴n (x )<n (1)＝0，即m ′(x )<0，m (x )在x ∈(1，＋∞)上递减， ∴m (2022)<m (2021)，有ln 20222 021<ln 20212 020，即b >c ，故选D.答案：D微专题3利用导数研究函数的极值、最值提分题组训练1．解析：由题得f ′(x )＝cos2x ＋cos x ＝2cos 2x ＋cos x －1＝(2cos x －1)(cos x ＋1)， 所以当cos x >12时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当－1≤cos x <12时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．所以f (x )取得最小值时，cos x ＝12，此时sin x ＝±√32， 当sin x ＝－√32时，f (x )＝sin x cos x ＋sin x ＝－3√34； 当sin x ＝√32时，f (x )＝sin x cos x ＋sin x ＝3√34； 所以f (x )的最小值是－3√34.故选C.答案：C 2．解析：当a >0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图1所示，观察可知b >a .当a <0时，根据题意画出函数f (x )的大致图象，如图2所示，观察可知a >b .综上，可知必有ab >a 2成立．故选D.答案：D3．解析：由f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2，求导f ′(x )＝3x 2－2ax －b ，由函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则{f(1)=10f′(1)=0，即{1−a−b+a2=103−2a−b=0，解得{a=−4b=11或{a=3b=−3，当a＝3，b＝－3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，此时f(x)在定义域R上为增函数，无极值，舍去．当a＝－4，b＝11，f′(x)＝3x2＋8x－11，x＝1为极小值点，符合题意，故选B.答案：B4．解析：因为函数f(x)＝x3－3x，所以f′(x)＝3x2－3，当x<－1或x>1时，f′(x)>0，当－1<x<1时，f′(x)<0，所以当x＝－1时，f(x)取得最大值，又f(－1)＝f(2)＝2，且f(x)在区间(2a，3－a2)上有最大值，所以2a<－1<3－a2≤2，解得－2<a≤－1，所以实数a的取值范围是(－2，－1]故选D.答案：D5．解析：依题意，f′(x)＝e2x－m e x－mx有两个变号零点，令f′(x)＝0，即e2x－m e x－mx＝0，则e2x＝m(e x+x)，显然m≠0，则1m ＝e x+xe2x，设g(x)＝e x+xe2x，则g′(x)＝(e x+1)·e2x−(e x+x)·2e2xe4x ＝1−e x−2xe2x，设h(x)＝1－e x－2x，则h′(x)＝－e x－2<0，∴h(x)在R上单调递减，又h(0)＝0，∴当x∈(－∞，0)时，h(x)>0，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(0，＋∞)时，h(x)<0，g′(x)<0，g(x)单调递减，∴g(x)max＝g(0)＝1，且x→－∞时，g(x)→－∞，x→＋∞时，g(x)→0，<1，解得m>1.∴0<1m故选B.答案：B6．解析：y＝2x－2－2m在(－∞，1)上单调递增，∴y＝2x－2－2m>－2m；当x≥1时，y＝2x3－6x2，此时，y′＝6x2－12x＝6x(x－2)．∴y＝2x3－6x2在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，∴y＝2x3－6x2在[1，＋∞)上的最小值为－8，函数f(x)有最小值，则－2m≥－8，即m≤4，故m的一个正整数取值可以为4.答案：4。
完整版)高中数学导数知识点归纳总结
完整版)高中数学导数知识点归纳总结导数的定义：对于函数y=f(x)，在点x处的导数f'(x)定义为：f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Deltax}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}其中，$\Delta x$表示自变量的增量，$\Delta y$表示函数值的增量。
函数的连续性和可导性的关系：如果函数y=f(x)在点x处可导，则它在该点处必然连续。
但是，反过来并不成立，即函数在某点处连续并不一定可导。
导数的几何意义：函数y=f(x)在点x处的导数f'(x)表示曲线在该点处的切线的斜率。
因此，切线方程为：y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)其中，$y_0=f(x_0)$表示曲线在点$(x_0,y_0)$处的纵坐标。
导数的四则运算法则：对于任意可导函数f(x)和g(x)，有以下四则运算法则：1.$(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)$2.$(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)$3.$(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$4.$\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^2(x)}$其中，除法的分母$g(x)$不能为0.导数的应用：导数可以用来求函数的单调性、极值和最值。
函数单调递增的条件是导数大于0，函数单调递减的条件是导数小于0.函数在极值点处的导数为0，但反之不一定成立。
函数的最值可以通过求导数来确定。
注①：若点x是可导函数f(x)的极值点，则f'(x)=0.但反过来不一定成立。
对于可导函数，其一点x是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零。
2024年高中导数知识点总结
2024年高中导数知识点总结____年高中导数知识点总结导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
在____年高中数学课程中，学生将学习更深入的导数知识点。
本文将详细总结____年高中导数的基本概念、性质和运算法则，以及常见的导数应用。
一、导数的定义与基本概念：1. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数可以理解为函数f(x)在该点的瞬时变化率或切线的斜率。
导数用f'(x)或dy/dx表示。
2. 导数的几何意义：导数表示函数在某一点上的切线的斜率，切线是曲线与该点附近近似的直线。
二、导数的基本性质：1. 可导性：如果函数f(x)在某一点处存在导数，则称该函数在该点处可导。
2. 函数的连续性与可导性的关系：可导函数一定是连续函数，但连续函数不一定可导。
3. 求导法则：- 常数函数的导数为零。
- 幂函数的导数为幂次减一乘以原函数的导数。
- 指数函数和对数函数的导数可以通过换底公式相互转化。
- 三角函数和反三角函数的导数可以通过基本公式直接得到。
- 复合函数的导数可以通过链式法则求得。
- 参数方程的导数可以通过求导法则相应变量的导数求得。
三、导数的运算法则：1. 基本四则运算法则：- (f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- (c * f(x))' = c * f'(x) （c为常数）- (f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)- (f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) /g(x)^2 （g(x) ≠ 0）2. 复合函数的求导：- (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)四、常见的导数应用：1. 切线与法线：导数表示函数在某一点上的切线的斜率，通过求导可以求出函数在某点的切线方程。
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高考数学二轮复习必考的导数知识点总结我们从一出生到耋耄之年，一直就没有离开过数学，或者说我们根本无法离开数学，这一切有点像水之于鱼一样。
以下是查字典数学网为大家整理的导数知识点总结，希望可以解决您所遇到的相关问题。
一、函数的单调性
在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.
f(x)f(x)在(a，b)上为增函数.
f(x)f(x)在(a，b)上为减函数.
二、函数的极值
1、函数的极小值：
函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都小，f(a)=0，而且在点x=a附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
2、函数的极大值：
函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近的其他点的函数值都大，f(b)=0，而且在点x=b附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为
极值.
三、函数的最值
1、在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.
2、若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值.
四、求可导函数单调区间的一般步骤和方法
1、确定函数f(x)的定义域;
2、求f(x)，令f(x)=0，求出它在定义域内的一切实数根;
3、把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间;
4、确定f(x)在各个开区间内的符号，根据f(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性.
五、求函数极值的步骤
1、确定函数的定义域;
2、求方程f(x)=0的根;
3、用方程f(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格;
4、由f(x)=0根的两侧导数的符号来判断f(x)在这个根处取极值的情况.
六、求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
1、求函数在(a，b)内的极值;
2、求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b);
3、将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
特别提醒：
1、f(x)0与f(x)为增函数的关系：f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定.如函数f(x)=x3在(-，+)上单调递增，但f(x)0，所以f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件.
2、可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件.例如函数y=x3在x=0处有
y|x=0=0，但x=0不是极值点.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.
单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话
空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。
3、可导函数的极值表示函数在一点附近的情况，是在局部
对函数值的比较;函数的最值是表示函数在一个区间上的情况，是对函数在整个区间上的函数值的比较.
宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。
于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。
在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师为“院长、西席、讲席”等。
最后，希望小编整理的高考数学二轮复习必考的导数知识点总结对您有所帮助，祝同学们学习进步。