高中数学必修3综合测试题
高中数学人教A版必修三 第三章 概率 章末综合测评及答案
会，估计运动会期间不．下．雨．的概率． 【解】 (1)在容量为 30 的样本中，不下雨的天数是 26，以频率
估计概率，4 月份任选一天，西安市不下雨的概率为 2360＝1153. (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如，1 日与 2 日，2 日与 3
日等)．这样，在 4 月份中，前一天为晴天的互邻日期对有 16 个，其中 后一天不下雨的有 14 个，所以晴天的次日不下雨的频率为 78.
(2)该班成绩在[60，100]内的概率是 P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)
＋P(C)＋P(D)＝0.17＋0.36＋0.25＋0.15＝0.93.
19．(本小题满分 12 分)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均 匀)游戏，规则：小王先掷一枚骰子，向上的点数记为 x；小李后掷一 枚骰子，向上的点数记为 y.
【答案】 C
二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在
题中横线上)．
13．一个袋子中有 5 个红球，3 个白球，4 个绿球，8 个黑球，如
果随机地摸出一个球，记 A＝{摸出黑球}，B＝{摸出白球}，C＝{摸出
绿球}，D＝{摸出红球}，则 P(A)＝________；P(B)＝________；P(C∪D)
A，B，C 和 3 名女同学 X，Y，Z，其年级情况如下表：
一年级 二年级 三年级
男同学 A
＝________．
【解析】 由古典概型的算法可得 P(A)＝280＝25，P(B)＝230，P(C∪D)
＝P(C)＋P(D)＝240＋250＝290.
【答案】
2 5
3 20
9 20
14．在区间(0，1)内任取一个数 a，能使方程 x2＋2ax＋12＝0 有两
高中数学模块综合检测新人教A版选择性必修第三册
模块综合检测(时间：120分钟,满分150分)一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{5},B ＝{1,2},C ＝{1,3,4},若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标,则确定的不同点的个数为( )A ．36B ．35C ．34D ．33【答案】D 【解析】不考虑限定条件确定的不同点的个数为C 12C 13A 33＝36,但集合B ,C 中有相同元素1,由5,1,1三个数确定的不同点的个数只有三个,故所求的个数为36－3＝33.2．在4次独立重复试验中,事件A 出现的概率相同,若事件A 至少发生一次的概率是6581,则事件A 在一次试验中出现的概率是( )A ．13B ．25C ．56D ．23【答案】A 【解析】设事件A 在一次试验中出现的概率是p .由事件A 至少发生1次的概率为6581,可知事件A 一次都不发生的概率为1－6581＝1681,所以(1－p )4＝1681,则p ＝13.3．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝12k ,k ＝1,2,…,则P (2＜X ≤4)等于( )A ．516B ．316C ．116D ．14【答案】B 【解析】P (2＜X ≤4)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝123＋124＝316.4．抛掷一枚质地均匀的硬币两次,在第一次正面向上的条件下,第二次反面向上的概率为( )A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C 【解析】记事件A 表示“第一次正面向上”,事件B 表示“第二次反面向上”,则P (AB )＝14,P (A )＝12,∴P (B |A )＝P AB P A ＝12.5．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12x 2n 的展开式的二项式系数之和为64,则展开式中含x 3项的系数是( )A ．1B ．32C ．52D ．3【答案】D 【解析】由2n＝64得n ＝6,T r ＋1＝C r 6x 6－r·⎝⎛⎭⎪⎫12x 2r ＝12rC r 6x 6－3r ,令6－3r ＝3,得r＝1,故含x 3项的系数为121C 16＝3.6．为了考察某种中成药预防流感的效果,抽样调查40人,得到如下数据：项目 患流感 未患流感 服用药 2 18 未服用药812下表是χ2独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值：α 0.1 0.05 0.01 0.005 x α2.7063.8416.6357.579根据表中数据,计算χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d,若由此认为“该药物有效”,则该结论出错的概率不超过( )A ．0.05B ．0.1C ．0.01D ．0.005【答案】A 【解析】完成2×2列联表项目 患流感 未患流感 合计 服用药 2 18 20 未服用药 8 12 20 合计103040χ2＝40×2×12－8×18210×30×20×20＝4.8＞3.841＝x 0.05.7．某机构对儿童记忆能力x 和识图能力y 进行统计分析,得到如下数据：记忆能力x 4 6 8 10 识图能力y3568由表中数据,求得经验回归方程为y ＝0.8x ＋a ,若某儿童记忆能力为12,则预测他的识图能力为( )A ．9.5B ．9.8C ．9.2D ．10【答案】A 【解析】∵x ＝14×(4＋6＋8＋10)＝7,y ＝14×(3＋5＋6＋8)＝5.5,∴样本点的中心为(7,5.5),代入回归方程得5.5＝0.8×7＋a ^,∴a ^＝－0.1,∴y ＝0.8x －0.1,当x ＝12时,y ＝0.8×12－0.1＝9.5.8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五5天中参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两位前面,则不同的安排方法共有( )A ．40种B ．30种C ．20种D ．60种【答案】C 【解析】分类解决．甲排周一,乙,丙只能是周二至周五4天中选两天进行安排,有A 24＝12(种)方法；甲排周二,乙,丙只能是周三至周五选两天安排,有A 23＝6(种)方法；甲排周三,乙,丙只能安排在周四和周五,有A 22＝2(种)方法．由分类加法计数原理可知,共有12＋6＋2＝20(种)方法．二、多项选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分．9．若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0,则( ) A ．a 0＝1B ．a 1＋a 2＋…＋a 7＝129C ．a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝8 256D ．a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝8 128【答案】BC 【解析】令x ＝0,则a 0＝－1,A 错误；令x ＝1,得a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128①,所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝129,B 正确；令x ＝－1,得－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7②,①－②,得2(a 1＋a 3＋a 5＋a 7)＝128－(－4)7,∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝8 256,C 正确；①＋②,得2(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝128＋(－4)7,∴a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－8 128,D 错误．10．设离散型随机变量X 的分布列为若离散型随机变量Y )A ．E (X )＝2B ．D (X )＝1.4C ．E (Y )＝5D ．D (Y )＝7.2【答案】ACD 【解析】由离散型随机变量X 的分布列的性质得q ＝1－0.4－0.1－0.2－0.2＝0.1,E (X )＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2,D (X )＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8,∵离散型随机变量Y 满足Y ＝2X ＋1,∴E (Y )＝2E (X )＋1＝5,D (Y )＝4D (X )＝7.2.故选ACD ．11．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法错误的是( )A ．若任意选择三门课程,选法总数为A 37 B ．若物理和化学至少选一门,选法总数为C 12C 26 C ．若物理和历史不能同时选,选法总数为C 37－C 15D ．若物理和化学至少选一门,且物理和历史不同时选,选法总数为C 12C 25－C 15【答案】ABD 【解析】对于A,若任意选择三门课程,选法总数为C 37,错误；对于B,若物理和化学选一门,有C 12种方法,其余两门从剩余的5门中选,有C 25种选法,选法为C 12C 25；若物理和化学选两门,有C 22种选法,剩下一门从剩余的5门中选,有C 15种选法,有C 22C 15种,由分类加法计数原理知,总数为C 12C 25＋C 22C 15,错误；对于C,若物理和历史不能同时选,选法总数为C 37－C 22C 15＝(C 37－C 15)种,正确；对于D,有3种情况：①只选物理且物理和历史不同时选,有C 11C 24种选法；②选化学,不选物理,有C 11C 25种选法；③物理与化学都选,有C 22C 14种选法,故总数为C 11C 24＋C 11C 25＋C 22C 14＝6＋10＋4＝20(种),错误．故选ABD ．12．为研究需要,统计了两个变量x ,y 的数据情况如下表：其中数据x 1,x 2,x 3,…,x n 和数据y 1,y 2,y 3,…,y n 的平均数分别为x 和y ,并且计算相关系数r ＝－0.8,经验回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^,则下列结论正确的为( )A ．点(x ,y )必在回归直线上,即y ＝b ^ x ＋a ^B ．变量x ,y 的相关性强C ．当x ＝x 1,则必有y ＝y 1D ．b ^＜0【答案】ABD 【解析】A ．回归直线y ^＝b ^x ＋a ^过样本点中心(x ,y ),即y ＝b ^ x ＋a ^,所以A 正确；B ．相关系数r ＝－0.8,|r |＞0.75,变量x ,y 的相关性强,所以B 正确；C ．当x ＝x 1时,不一定有y ＝y 1,因此C 错误；D ．因为r ＝－0.8＜0,是负相关,所以b ^＜0,D 正确；故选ABD ．三、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分．13．一射击测试中,每人射击3次,每击中目标一次记10分,没有击中目标记0分,某人每次击中目标的概率为23,则此人得分的均值是________,得分的方差是________．【答案】202003 【解析】记此人3次射击击中目标η次,得分为ξ分,则η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23,ξ＝10η,所以E (ξ)＝10E (η)＝10×3×23＝20,D (ξ)＝100D (η)＝100×3×23×13＝2003. 14．在二项式(2＋x )9的展开式中,常数项是________．【答案】16 2 【解析】由二项展开式的通项公式可知T r ＋1＝C r 9·(2)9－r·x r,令r ＝0,得常数项为C 09·(2)9·x 0＝(2)9＝16 2.15．某城市新修建的一条道路上有12盏路灯,为了节省用电而又不能影响正常的照明,可以熄灭其中的3盏灯,但两端的灯不能熄灭,也不能熄灭相邻的两盏灯,则熄灯的方法有________种(填数字)．【答案】56 【解析】由题意可知,最终剩余的亮着的灯共有9盏,且两端的必须亮着,所以可用插空的方法,共有8个空可选,所以应为C 38＝56(种)．四、解答题：本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．某校高三年级有6个班,现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛,且规定每班至少要选1人参加．求这10个名额有多少种不同的分配方法．解：除每班1个名额以外,其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分为以下几类：(1)4个名额全部分给某一个班,有C 16种分法； (2)4个名额分给两个班,每班2个,有C 26种分法；(3)4个名额分给两个班,其中一个班1个,一个班3个,共有A 26种分法；(4)4个名额分给三个班,其中一个班2个,其余两个班每班1个,共有C 16·C 25种分法； (5)4个名额分给四个班,每班1个,共有C 46种分法． 故共有C 16＋C 26＋A 26＋C 16·C 25＋C 46＝126(种)分配方法．17．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项,而(a 2＋1)n的展开式的系数最大的项等于54,求a 的值．解：⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 25－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－r C r 5x 20－5r 2,令20－5r ＝0,得r ＝4,故常数项T 5＝165×C 45＝16.又(a 2＋1)4展开式的各项系数之和等于2n, 由题意知2n＝16,得n ＝4,由二项式系数的性质知,(a 2＋1)4展开式中系数最大的项是中间项T 3, 故有C 24a 4＝54,解得a ＝± 3.18．某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A 饮料,另外4杯为B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对,则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯,则月工资定为2 800元,否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数,假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求X 的分布列； (2)求此员工月工资的均值．解：(1)依题意知X 所有可能取值为0,1,2,3,4, P (X ＝0)＝C 04C 44C 48＝170,P (X ＝1)＝C 14C 34C 48＝835,P (X ＝2)＝C 24C 24C 48＝1835,P (X ＝3)＝C 34C 14C 48＝835,P (X ＝4)＝C 44C 04C 48＝170.所以X 的分布列为X 0 1 2 3 4 P1708351835835170(2)令Y 表示此员工的月工资,则Y 的所有可能取值为2 100,2 800,3 500, 则P (Y ＝3 500)＝P (X ＝4)＝170, P (Y ＝2 800)＝P (X ＝3)＝835,P (Y ＝2 100)＝P (X ≤2)＝1835＋835＋170＝5370.所以E (Y )＝170×3 500＋835×2 800＋5370×2 100＝2 280(元)．所以此员工月工资的均值为2 280元．19．“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如下列联表：态度 性别合计 男性 女性反感 10不反感 8总计30已知在这30人中随机抽取1人,抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是815.(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果,不需要写求解过程),并据此资料分析是否有90%的把握认为反感“中国式过马路”与性别是否有关？(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X ,求X 的分布列和均值．附：χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋c b ＋d. α 0.10 0.05 0.010 0.005 x α2.7063.8416.6357.879解：(1)态度 性别合计 男性 女性 反感 10 6 16 不反感6814合计1614 30由已知数据得χ2＝30×10×8－6×6216×14×16×14≈1.158＜2.706＝x 0.1.所以,没有90%的把握认为反感“中国式过马路”与性别有关．(2)X 的可能取值为0,1,2,P (X ＝0)＝C 28C 214＝413,P (X ＝1)＝C 16C 18C 214＝4891,P (X ＝2)＝C 26C 214＝1591.所以X 的分布列为X 0 1 2 P41348911591X 的均值为E (X )＝0×413＋1×4891＋2×1591＝67.20．近年来,随着以煤炭为主的能源消耗大幅攀升、机动车持有量急剧增加,某市空气中的PM2.5(直径小于等于2.5微米的颗粒物)的含量呈逐年上升的趋势,如图是根据该市环保部门提供的2016年至2020年该市PM2.5年均浓度值画成的散点图(为便于计算,把2016年编号为1,2017年编号为2,…,2020年编号为5)．(1)以PM2.5年均浓度值为因变量,年份的编号为自变量,利用散点图提供的数据,用最小二乘法求出该市PM2.5年均浓度值与年份编号之间的经验回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)按世界卫生组织(WHO)过渡期－1的标准,空气中的PM2.5的年均浓度限值为35微克/立方米,该市若不采取措施,试预测到哪一年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期－1设定的限值．解：(1)由散点图可得,变量x i ,y i 组成的几组数据为(1,13),(2,15),(3,20),(4,22),(5,25),则x ＝3,y ＝19,所以b ^＝－2×－6＋－1×－4＋0×1＋1×3＋2×6－22＋－12＋02＋12＋22＝3.1.a ^＝y －b ^x ＝19－3.1×3＝9.7.所以所求经验回归方程为y ^＝3.1x ＋9.7.(2)由3.1x ＋9.7＞35,得x ＞8.16,因为x ∈N ,所以x ＝9.故可预测到2024年该市空气中PM2.5的年均浓度值将超过世界卫生组织(WHO)过渡期－1设定的限值．21．某品牌专卖店准备在国庆期间举行促销活动．根据市场调查,该店决定从2种不同型号的洗衣机、2种不同型号的电视机和3种不同型号的空调中(不同种商品的型号不同),选出4种不同型号的商品进行促销,该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高150元,同时,若顾客购买任何一种型号的商品,则允许有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都获得m (m ＞0)元奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是12.(1)求选出的4种不同型号商品中,洗衣机、电视机、空调都至少有1种型号的概率； (2)设顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额(单位：元)为随机变量X ,请写出X 的分布列,并求X 的均值；(3)该店若想采用此促销方案获利,则每次中奖奖金要低于多少元？解：(1)设“选出的4种不同型号商品中,洗衣机、电视机、空调都至少有1种型号”为事件A ,则P (A )＝2C 12C 13＋C 12C 12C 23C 47＝2435. (2)X 的所有可能的取值为0,m,2m,3m .P (X ＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫120×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18, P (X ＝m )＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫121×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38, P (X ＝2m )＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＝38,P (X ＝3m )＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18,所以顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额X 的分布列为于是顾客在3E (X )＝0×18＋m ×38＋2m ×38＋3m ×18＝1.5m .(3)要使促销方案对商场有利,应使顾客获得的奖金总额的均值低于商场的提价数额,因此应有1.5m ＜150,所以m ＜100.故每次中奖奖金要低于100元,才能使促销方案对商场有利．。
高中数学必修三答案
高中数学必修三答案【篇一：高一数学必修3测试题及答案】ass=txt>数学第一章测试题一．选择题1.下面的结论正确的是（）a．一个程序的算法步骤是可逆的b、一个算法可以无止境地运算下去的 c、完成一件事情的算法有且只有一种 d、设计算法要本着简单方便的原则 2、早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5 min)、刷水壶(2 min)、烧水(8 min)、泡面(3 min)、吃饭(10 min)、听广播(8 min)几个步骤、从下列选项中选最好的一种算法 ( )a、 s1 洗脸刷牙、s2刷水壶、s3 烧水、s4 泡面、s5 吃饭、s6 听广播 b、 s1刷水壶、s2烧水同时洗脸刷牙、s3泡面、s4吃饭、s5听广播 c、 s1刷水壶、s2烧水同时洗脸刷牙、s3泡面、s4吃饭同时听广播 d、 s1吃饭同时听广播、s2泡面、s3烧水同时洗脸刷牙、s4刷水壶 3．算法 s1 m=as2 若bm，则m=b s3 若cm，则m=c s4 若dm，则 m=ds5 输出m，则输出m表示 ( ) a．a，b，c，d中最大值b．a，b，c，d中最小值c．将a，b，c，d由小到大排序d．将a，b，c，d由大到小排序 4.右图输出的是a．2005 b．65 c．64d．635、下列给出的赋值语句中正确的是( )a. 5 = mb. x =－x （第4题）c. b=a=3d. x +y = 06、下列选项那个是正确的（）a、input a;bb. input b=3 c. print y=2*x+1d. print 7、以下给出的各数中不可能是八进制数的是（） a.123 b.10 110 c.4724 d.7 8578、如果右边程序执行后输出的结果是990，那么在程序until后面的“条件”应为（） a.i 10 b. i 8 c. i =9 d.i9 9．读程序甲： i=1 乙：i=1000s=0 s=0 while i=1000 do s=s+i s=s+i i=i+l i=i一1 wend loop until i1 print s prints4*xend end对甲乙两程序和输出结果判断正确的是( )a．程序不同结果不同b．程序不同，结果相同c．程序相同结果不同d．程序相同，结果相同10．在上题条件下，假定能将甲、乙两程序“定格”在i=500，即能输出i=500 时一个值，则输出结果（）a．甲大乙小 b．甲乙相同 c．甲小乙大 d．不能判断二.填空题.11、有如下程序框图（如右图所示），则该程序框图表示的算法的功能是第（第11题）( 第12题)12、上面是求解一元二次方程ax?bx?c?0(a?0)的流程图，根据题意填写：（1）；（2）；（3）。
高中数学必修3 测试题2
1a = 3b = a a b =+ b a b =-PRINT a ，b必修3 测试题(二)一、选择题(每题5分,共12小题,满分60分)1.计算机执行下面的程序段后，输出的结果是（ ）．A ．1,3B ．4,1C ．0,0D ．6,01.B 解析:把1赋给变量a ,把3赋给变量b ,把4赋给变量a ,把1赋给变量b ,输出,a b ．A.9%B.18%C.27%D.82% 2.B 解析:优秀的学生共9人,该班总人数为50人,故优秀率为918%50=.3.下列抽样问题中最适合用系统抽样法抽样的是( ) A.从全班48名学生中随机抽取8人参加一项活动B.一个城市有210家百货商店,其中大型商店20家,中型商店40家,小型商店150家.为了掌握各商店的营业情况,要从中抽取一个容量为21的样本C.从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取100人分析试题作答情况D.从参加模拟考试的1 200名高中生中随机抽取10人了解某些情况3.C 解析:A 项,总体容量较小,样本容量也较小,可采用抽签法;B 项,总体中的个体有明显的层次,不适宜用系统抽样法;C 项,总体容量较大,样本容量也较大,可用系统抽样法;D 项,总体容量较大,样本容量较小,可用随机数表法.4.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7,现在用分层抽样的方法抽出容量为n 的样本,样本中A 型号产品有15件,那么样本容量n 为( ) A ．50B ．60C ．70D ．804.C 解析:由分层抽样方法得：33＋4＋7×n ＝15,解得n ＝70.5.若由图中输出的y 值为18,则输入的实数x 的值为( )A.34B.34或3 C.2或3 D. 34或25.A 解析:若输入的实数0x >,则21218x -=,34x =;若0x ≤,则11()28x =,3x =舍去.6. 在长为60m ，宽为40m 的矩形场地上有一个椭圆形草坪，在一次大风后，发现该场地内共落有300片树叶，其中落在椭圆外的树叶数为96片，以此数据为依据可以估计出草坪的面积约为（ ）A ．2768mB ．21632mC ．21732mD ．2868m6.B 解析:根据随机模拟的思想,可以认为树叶落在该场地上是随机的,这样椭圆草坪的面积和整个矩形场地的面积之比就近似地等于落在椭圆草坪上的树叶数目和落在整个矩形场地上的树叶数目之比.23009660401632()300m -⨯⨯=．7.为了解一片大约一万株树木的生长情况,随机测量了其中100株树木的底部周长(单位:㎝).根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图,那么在这片树木中,底部周长小于110㎝的株树大约是A.3000B.6000C.7000D.80007.C 解析:底部周长小于110cm 的树木所占的频率为:(0.010.020.04)100.7++⨯=,则10000株树木底部周长超过110cm 的有7000株.8.某品牌产品,在男士中有10%使用过,女士中有40%的人使用过,若从男女人数相等的人群中任取一人,恰好使用过该产品,则此人是位女士的概率是( ) A.51 B.52 C.53 D.548.D 解析:假设有100男士和100女士,则使用过该品牌的男士有10人,女士有40人,从这些人中选出一人,是女士的概率为40410405=+.9.对一个作直线运动的质点的运动过程观测了8次, 第i 次观测得到的数据为i a ，具体如下表所示：乙甲7518736247954368534321在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程 图(其中a 是这8个数据的平均数)，则输出的S 的值是( )A.8B.7C.6D.59.B 解析:易求22212844,()()()56.a a a a a a a =∴-+-++-= 故输出的结果为7.10.用秦九韶算法计算多项式65432()3456781f x x x x x x x =++++++当0.5x =时的值时,需要做乘法和加法的次数分别是（ ）A ．6,6B ．5,6C ．5,5D ．6,510.A 解析:秦九韶算法计算多项式的值运算特点是通过一次式的反复计算,逐步得出高次多项式的值,对于一个n 次多项式,只需做n 次乘法和n 次加法即可.故选A.11.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ）A.62B.63C.64D.6511.C 解析:甲的中位数为28，乙的中位数为36. 所以甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是64.12.从数字1,2,3,4,5中,随机抽取3个数字（允许重复）组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ） A.13125B.16125C.18125D.1912512.D 解析:从1,2,3,4,5中,随机抽取3个数字（允许重复）,可以组成5×5×5=125个不同的三位数,其中各位数字之和等于9的三位数可分为以下情形: ①由1,3,5三个数字组成的三位数:135,153,315,351,513,531共6个; ②由1,4,4三个数字组成的三位数:144,414,441,共3个; ③同理由2,3,4三个数字可以组成6个不同的三位数; ④由2,2,5三个数字可以组成3个不同的三位数; ⑤由3,3,3三个数字可以组成1个三位数,即333.故满足条件的三位数共有6+3+6+3+1=19，所求的概率为19125.二、填空题(每题5分,共4小题,满分20分)13.某校按分层抽样方法从高中三个年级抽取部分学生参加社会实践活动：调查当地农村居民收入来源,三个年级抽取人数比例按如图扇形面积比表示,已知高二年级共有学生1200人,抽取了40人,则这个学校共有学生人数为 . 13.120 解析:扇形面积公式3602R n S π=,因为三个扇形半径相同,所以面积比就是圆心角之比.高一、高二、高三三个年级抽取的人数比为150:120:90=5:4:3,高二抽 取了40人,则高一抽取了50人,高三抽取了30人.共抽取了40＋50＋30＝120人. 14. 给出以下程序: 3x =-IF 0x > THEN (2)y x =+*(2)x + END IF IF 0x = THEN4y =ELSE(2)y x =-*(2)x -︒90︒120︒150高一高二高三END IF PRENT yEND则该程序输出的结果是 .14.25 解析:由于30x =-<,故(2)y x =-(2)x -(23)(23)25=++=.15.已知一组数据1210,,,x x x 的方差是2，且2221210(3)(3)(3)x x x -+-++- =120， 则x = ..15.3±解析:由条件可得:222212101210()102()20x x x x x x x x ++++-+++= , ①22212101210()1096()120x x x x x x ++++⨯-⨯+++= ②将②-①得29010(26)10100x x x -+-⨯=,即2610x x --=,解得3x =+3-16.甲,乙两人玩猜数字游戏,先由甲在心中任想一个数字,记为a ,再由乙猜甲刚才所想的数字,把乙猜的数字记为b ,且,{1,2,3,4}a b ∈.若||1a b -≤,则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为 . 16.58解析:甲随便想一数字,有4种结果,乙随便猜也有4种结果,故总的情况有4×4=16种;符合条件的有(1,1),(1,2),(2,2),(2,3),(3,3),(3,4),(4,4),(4,3),(3,2),(2,1)共10种情况,故概率为105168=.三、解答题(本题共6小题,满分70分)17.(本题满分10分) 移动公司某种通话套餐规定:拨打市内电话时,如果通话时间不超过3分钟,则收取通话费0.22元,如果通话时间超过3分钟,则超过部分以每分钟0.11元收取通话费(通话不足1分钟时按1分钟计),如果拨打一次市话. (Ⅰ)试写出话费y 关于通话时长的函数表达式;(Ⅱ)试编写一个计算通话费用的程序.17.解:(Ⅰ)我们用ｙ(单位:元)表示通话费,t(单位:分钟)表示通话时间， 则依题意有 0.22(03)0.220.11(3)(3)t y t t <≤⎧=⎨+⨯->⎩(Ⅱ)程序如下:INPUT “请输入通话时间（单位：分钟）”, t IF t<= 3 THEN y =0.22 ELSEy =0.22＋0.11*(t －3) END IF PRINT ｙ END18.(本题满分12分) 已知x 、y 之间的一组数据如下表：对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为y ＝13x ＋1与y ＝12x ＋12，试利用最小二乘法判断哪条直线拟合程度更好? 18.解:用y ＝13x ＋1作为拟合直线时,所得y 值与y 的实际值的差的平方和为s 1＝⎝⎛⎭⎫43－12＋(2－2)2＋(3－3)2＋⎝⎛⎭⎫103－42＋⎝⎛⎭⎫113－52＝73; 用y ＝12x ＋12作为拟合直线时，所得y 值与y 的实际值的差的平方和为s 2＝(1－1)2＋(2－2)2＋⎝⎛⎭⎫72－32＋(4－4)2＋⎝⎛⎭⎫9252＝12.∵s 2＜s 1,故用直线y ＝12x ＋12拟合程度更好．19.(本题满分12分) ,b c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数.设2{20,}A x x bx c x R =-+<∈求A ≠∅的概率.19.解:∵A ≠∅,即280b c -> ,∴当1c =时,3,4,5,6b =;2c =时,5,6b =; 3c =时,5,6b =; 4c =时,6b =共9种情况,因此A ≠∅的概率为：91364P ==．20.(本题满分12分) 用秦九韶算法求这个多项式8.07.16.25.325)(2345-+-++=x x x x x x f 当5=x 时的值.(Ⅰ)用秦九韶算法的方法分析:计算时需要多少次乘法计算?多少次加法计算? (Ⅱ)试设计一个计算五次多项式在x=x 0值的算法,写出程序框图. 20.解:(Ⅰ)所给多项式可以化为()((((52) 3.5) 2.6) 1.7)0.8f x x x x x x =++-+-从内到外依次计算可知需要进行乘法5次，加法5次.(Ⅱ)可以利用秦九韶算法进行计算,程序框图如图:21.(本题满分12分)某中学高三年级有12个班,要从中选2个班代表学校参加某项活动,由于某种原因,一班必须参加,另外再从二至十二班中选1个班,有人提议用如下方法:掷两个骰子得到的点数和是几就选几班.(Ⅰ)任意投掷两个骰子的点数共有36种情况,请用表格列出所有投掷点数的可能性;(Ⅱ)你认为这种方法公平吗?如果不公平,哪个班被选中的概率最小?(Ⅱ)这种方法是不公平的.任意投掷两个骰子共有36种结果,由上表可以看出,在这36种结果中,点数和为2的只有一种情况,故概率为136,也就是说,选二班的概率只有136;点数和为3的有两种情况,即点数和为3的概率为236,以此类推可知每班被选中的可能性是不同的,其中七班被选中的可能性最大为16;其次是六班和八班为536;可能性最小的是二班和十二班,可能性只有136.22.(本题满分12分)某中学共有1000名学生参加了该地区高三第一次质量检测的数学考试,数学成绩统计结果如下表所示:(Ⅰ)为了了解同学们前段复习的得失,以便制定下阶段的复习计划,学校将采用分层抽样的方法抽取100名同学进行问卷调查,甲同学在本次测试中数学成绩为95分,求他被抽中的概率;(Ⅱ)已知本次数学成绩的优秀线为110分,试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数;(Ⅲ)作出频率分布直方图,并估计该学校本次考试的数学平均分. 22.解:(Ⅰ)分层抽样中，每个个体被抽到的概率 均为样本容量总体中个体总数,故甲同学被抽到的概率110p =;(Ⅱ)由题意1000(6090300160)390x =-+++=. 故估计该中学达到优秀线的人数12011016039029012090m -=+⨯=-（人）;(Ⅲ)频率分布直方图. 该学校本次考试数学平均分6015904530075390105160135100090.x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==估计该学校本次考试的数学平均分为90分.。
2021_2022学年新教材高中数学3圆锥曲线的方程章末综合测评含解析新人教A版选择性必修第一册20
章末综合测评(三) 圆锥曲线的方程(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y 2＝4x 的焦点到双曲线x 2－y 23＝1的渐近线的距离是( )A ．12B ．32C ．1D ．3B [抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，到双曲线x 2－y 23＝1的一条渐近线3x －y ＝0的距离为|3×1－0|32＋－12＝32，故选B ．]2．已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－3,0)，F 2(3,0)，点P 为椭圆C 上一点，且|PF 1|＋|PF 2|＝10，那么椭圆C 的短轴长是( )A ．6B ．7C ．8D ．9C [设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．依题意得，2a ＝10，∴a ＝5，又c ＝3， ∴b 2＝a 2－c 2＝16，即b ＝4，因此椭圆的短轴长是2b ＝8，故选C ．]3．在平面直角坐标系Oxy 中，动点P 关于x 轴对称的点为Q ，且OP →·OQ →＝2，则点P 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝2B ．x 2－y 2＝2C ．x ＋y 2＝2D ．x －y 2＝2B [设P (x ，y )，Q (x ，－y )，则OP →·OQ →＝(x ，y )·(x ，－y )＝x 2－y 2＝2，故选B ．]4．椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的长轴长为4，则C 的离心率为( )A ．12B ．22C ．32D ．2B [由椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的长轴长为4，可知焦点在x 轴上即2a ＝4，a ＝2.∴椭圆的标准方程为：x 24＋y 22＝1，a ＝2，b ＝2，c ＝4－2＝2，椭圆的离心率为e ＝c a＝22，故答案为B ．]5．“m >3”是“曲线mx 2－(m －2)y 2＝1为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 A [当m >3时，m －2>0，mx 2－(m －2)y 2＝1⇒x 21m －y 21m －2＝1，则原方程是双曲线方程；当原方程为双曲线方程时，有m (m －2)>0⇒m >2或m “m >3”是“曲线mx 2－(m －2)y 2＝1为双曲线”的充分不必要条件．故选A ．]6．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，经过点F 且斜率为3的直线l 1与抛物线在x轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△AKF 的面积是( )A ．4B ．3 3C ．43D ．8C [∵y 2＝4x ，∴焦点F (1,0)，准线l ：x ＝－1，过焦点F 且斜率为3的直线l 1：y ＝3(x－1)，将其与y 2＝4x联立，解得x ＝3或x ＝13(舍)，故A (3,23)，∴|AK |＝4，∴S △AKF ＝12×4×23＝43.故选C ．]7．已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 与抛物线C 2：y 2＝2px (p >0)的焦点相同，C 1与C 2交于A ，B 两点，且直线AB 过点F ，则双曲线C 1的离心率为( )A ．2B ．3 C ．2D ．2＋1D [由图形的对称性及题设条件得AF ⊥x 轴，且c ＝p2，则p ＝2c .不妨设交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，y 1，代入y 2＝2px 可得y 1＝p ，故A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，代入双曲线方程可得p 24a 2－p 2b 2＝1，即e 2－1＝4c 2b 2，即e 2－1＝4c 2c 2－a 2，由此可得(e 2－1)2＝4e 2，即e 2－1＝2e ，所以e ＝2＋1(负值舍去)．故选D ．]8．直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于A 、B 两点，以线段AB 为直径的圆过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( )A ．32B ．3－12C ．3－1D ．4－23C [直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)联立方程得(3a 2＋b 2)x 2＝a 2b 2，设A (x 0，y 0)，∴B (－x 0，－y 0)，右焦点F (c ,0)，由FA →·FB →＝0代入坐标得c 2＝4a 2b 23a 2＋b2，整理得c 4－8a 2c 2＋4a 4＝0， ∴e 4－8e 2＋4＝0，∴e ＝3－1故选C ．]二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对得3分)9．若方程x 25－t ＋y 2t －1＝1所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是( )A ．若1<t <5，则C 为椭圆B ．若t <1，则C 为双曲线 C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3<t <5BD [若方程x 25－t ＋y2t －1＝1表示椭圆，则满足⎩⎪⎨⎪⎧5－t >0，t －1>0，5－t ≠t －1，解得1<t <3或3<t <5.对于A ，当t ＝3时，此时方程为x 2＋y 2＝2表示圆，所以A 不正确；对于B ，当t <1时，5－t >0，t －1<0，此时表示焦点在x 轴上的双曲线，所以B 正确； 对于C ，当t ＝0时，方程x 25－y 21＝1所表示的曲线为双曲线，此时双曲线的焦距为26，所以C 不正确；若方程x 25－t ＋y2t －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则满足⎩⎪⎨⎪⎧5－t >0，t －1>0，5－t <t －1，解得3<t <5，所以D 正确．故选BD ．]10．已知椭圆C 1：x 2a2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1，椭圆C 1的上顶点为M ，且MF 1→·MF 2→＝0，双曲线C 2和椭圆C 1有相同焦点，且双曲线C 2的离心率为e 2，P 为曲线C 1与C 2的一个公共点．若∠F 1PF 2＝π3，则下列各项正确的是( )A ．e 2e 1＝2B ．e 1e 2＝32C ．e 21＋e 22＝52D ．e 22－e 21＝1 BD [因为MF 1→·MF 2→＝0且|MF 1→|＝|MF 2→|，所以△MF 1F 2为等腰直角三角形． 设椭圆的半焦距为c ，则c ＝b ＝22a ，所以e 1＝22.在焦点三角形PF 1F 2中，∠F 1PF 2＝π3，设|PF 1|＝x ，|PF 2|＝y ，双曲线C 2的实半轴长为a ′，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－xy ＝4c 2，x ＋y ＝22c ，|x －y |＝2a ′，故xy ＝43c 2，故(x －y )2＝x 2＋y 2－xy －xy ＝8c 23，所以(a ′)2＝2c 23，即e 2＝62，故e 2e 1＝3，e 1e 2＝32，e 21＋e 22＝2，e 22－e 21＝1，故选BD ．] 11．已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，A 为左顶点，P 为双曲线右支上一点，若|PF 1|＝2|PF 2|，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则( )A ．双曲线的离心率为3B ．双曲线的渐近线方程为y ＝±2xC ．∠PAF 2＝45°D ．直线x ＋2y －2＝0与双曲线有两个公共点ABD [依题意得，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，又知|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a . 又∵|F 1F 2|＝2c ，且a <c ， ∴在△PF 1F 2中，PF 2是最小的边， ∴∠PF 1F 2＝30°，∴4a 2＝4c 2＋16a 2－2×2c ×4a ×32，整理得c 2－23ac ＋3a 2＝0，即(c －3a )2＝0，∴c ＝3a ，∴|F 1F 2|＝2c ＝23a ，b ＝c 2－a 2＝2a .∴双曲线的离心率e ＝ca ＝3a a＝3，A 正确．双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2aax ＝±2x ，B 正确．根据前面的分析可知，△PF 1F 2为直角三角形，且∠PF 2F 1＝90°， 若∠PAF 2＝45°，则|PF 2|＝|AF 2|. 又知|PF 2|＝2a ， |AF 2|＝a ＋c ＝a ＋3a ＝(1＋3)a ≠|PF 2|，∴∠PAF 2≠45°，C 不正确．直线x ＋2y －2＝0，即y ＝－12x ＋1，其斜率为－12，－12∈[－2，2]，∴直线x ＋2y －2＝0与双曲线有两个公共点，D 正确．故选ABD ．] 12．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线l 的斜率为3且经过点F ，直线l与抛物线C 交于A ，B 两点(点A 在第一象限)，与抛物线的准线交于点D ．若|AF |＝8，则以下结论正确的是( )A ．p ＝4B ．DF →＝FA →C ．|BD |＝2|BF |D ．|BF |＝4ABC [如图，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线l 的斜率为3，则直线方程为y＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2得12x 2－20px ＋3p 2＝0.解得x A ＝32p ，x B ＝16p ，由|AF |＝32p ＋p2＝2p ＝8，得p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x . x B ＝16p ＝23，则|BF |＝23＋2＝83；|BD |＝|BF |cos 60°， 所以|BD |＝2|BF |， |BD |＋|BF |＝83＋163＝8，则F 为AD 的中点，DF →＝FA →. 所以运算正确的是ABC ．]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．抛物线y 2＝8x 的焦点到双曲线x 22－y 22＝1的渐近线的距离为________．2[由抛物线y 2＝8x 可得其焦点为(2,0)，又双曲线x 22－y 22＝1的渐近线方程为x ±y ＝0，∴所求距离为d ＝22＝ 2.]14．过直线y ＝2与抛物线x 2＝8y 的两个交点，并且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．x 2＋(y －2)2＝16[由题意知，抛物线x 2＝8y 的焦点(0,2)即为圆心，圆的半径为4，则圆的方程为x 2＋(y －2)2＝16.]15．椭圆x 25＋y 24＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点M ，N ，当△FMN 的周长最大时，△FMN 的面积是________．855[如图，设右焦点为F ′，连接MF ′，NF ′，因为△FMN 的周长|MF |＋|NF |＋|MN |＝2a －|MF ′|＋2a －|NF ′|＋|MN |＝4a ＋|MN |－|MF ′|－|NF ′|，且|MN |≤|MF ′|＋|NF ′|，当M ，N ，F ′三点共线，即m ＝1时，等号成立，所以当△FMN 的周长最大时，|MN |＝2b 2a＝855，所以△FMN 的面积S ＝12×855×2＝855.]16．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n 2N 的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．(第一空2分，第二空3分)3－1 2[如图，六边形ABF 1CDF 2为正六边形，直线OA 、OB 是双曲线的渐近线，则△AOF 2是正三角形，∴直线OA 的倾斜角为π3，∴其斜率k ＝|n ||m |＝3，∴双曲线的离心率e 1＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n m 2＝1＋3＝2；连接F 1A ，∵正六边形的边长为c ，∴|F 1A |＝3c .由椭圆的定义得|F 1A |＋|F 2A |＝2a ，即c ＋3c ＝2a ，∴椭圆的离心率e 2＝c a ＝21＋3＝3－1.]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，求椭圆C的标准方程．[解] 因为椭圆的离心率为32，所以e ＝c a ＝32，c 2＝34a 2＝a 2－b 2，所以b 2＝14a 2，即a 2＝4b 2.双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，代入椭圆方程得x 2a 2＋x 2b 2＝1，即x 24b 2＋x 2b 2＝5x 24b2＝1，所以x 2＝45b 2，x ＝±25b .所以y ＝±25b ，则在第一象限，双曲线的渐近线与椭圆C 的交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫25b ，25b ，所以四边形的面积为4×25b ×25b ＝165b 2＝16，所以b 2＝5，所以椭圆C 的方程为x 220＋y 25＝1.18．(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交于点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线的方程和双曲线的方程． [解] 依题意，设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在抛物线上，∴6＝2p ×32.∴p ＝2，∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .∵双曲线的左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6在双曲线上，∴94a 2－6b 2＝1，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝14，b 2＝34或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，b 2＝－8(舍去)．∴所求双曲线的方程为4x 2－43y 2＝1.19．(本小题满分12分)已知F 1，F 2分别为椭圆x 2100＋y 2b 2＝1(0＜b ＜10)的左、右焦点，P 是椭圆上一点．(1)求|PF 1|·|PF 2|的最大值；(2)若∠F 1PF 2＝60°，且△F 1PF 2的面积为6433，求b 的值．[解] (1)|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝100(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)， ∴|PF 1|·|PF 2|的最大值为100.(2)S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝6433，∴|PF 1|·|PF 2|＝2563，①由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝4a 2，|PF 1|2＋|PF 2|2－4c 2＝2|PF 1|·|PF 2|cos 60°，∴3|PF 1|·|PF 2|＝400－4c 2.② 由①②得c ＝6，∴b ＝8.20.(本小题满分12分)如图所示，已知抛物线C ：x 2＝4y ，过点M (0,2)任作一直线与C 相交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的平行线与直线AO 相交于点D (O 为坐标原点)．(1)证明：动点D 在定直线上；(2)作C 的任意一条切线l (不含x 轴)，与直线y ＝2相交于点N 1，与(1)中的定直线相交于点N 2.证明：|MN 2|2－|MN 1|2为定值，并求此定值．[证明] (1)依题意可设AB 的方程为y ＝kx ＋2，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(kx ＋2)，即x 2－4kx －8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1x 2＝－8，直线AO 的方程为y ＝y 1x 1x ， BD 的方程为x ＝x 2，则交点D 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 2，y 1x 2x 1. 又x 1x 2＝－8，x 21＝4y 1，则有y 1x 2x 1＝y 1x 1x 2x 21＝－8y 14y 1＝－2，即D 点在定直线y ＝－2上(x ≠0)．(2)依题意，切线l 的斜率存在且不等于0.设切线l 的方程为y ＝ax ＋b (a ≠0)，代入x 2＝4y ，得x 2＝4(ax ＋b )，即x 2－4ax －4b ＝0，由Δ＝0得(－4a )2＋16b ＝0，化简整理，得b ＝－a 2，故切线的方程为y ＝ax －a 2.分别令y ＝2，y ＝－2，得N 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a ，2，N 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2a ＋a ，－2， 则|MN 2|2－|MN 1|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －a 2＋42－⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋a 2＝8，即|MN 2|2－|MN 1|2为定值8.21．(本小题满分12分)设M (x ，y )与定点F (1,0)的距离和它到直线l 1：x ＝3的距离的比是常数33.记点M 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)过定点F 的直线l 2交曲线C 于A ，B 两点，以O 、A 、B 三点(O 为坐标原点)为顶点作平行四边形OAPB ，若点P 刚好在曲线C 上，求直线l 2的方程．[解] (1)由题意得，x －12＋y 2|x －3|＝33，则3[(x －1)2＋y 2]＝(x －3)2，即2x 2＋3y 2＝6，∴x 23＋y 22＝1， 故曲线C 的方程为x 23＋y 22＝1. (2)设直线l 2的方程为x ＝my ＋1，P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋1，2x 2＋3y 2＝6，消去x ， 得(2m 2＋3)y 2＋4my －4＝0.则y 1＋y 2＝－4m 2m 2＋3，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋2＝－4m 22m 2＋3＋2＝62m 2＋3， ∴x 0＝x 1＋x 2＝62m 2＋3，y 0＝y 1＋y 2＝－4m 2m 2＋3. ∵P (x 0，y 0)在椭圆x 23＋y 22＝1上， ∴122m 2＋32＋8m 22m 2＋32＝1，即2m 2＋3＝4，解得m ＝±22.∴直线l 2的方程为x ＝22y ＋1或x ＝－22y ＋1，即2x －y －2＝0或2x ＋y －2＝0. 22．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，22在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M ，N 时，能在直线y ＝53上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足PM →＝NQ →？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．[解] (1)设椭圆C 的焦距为2c ，则c ＝1，∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，22在椭圆C 上， ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫222＋22＝22， ∴a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)假设这样的直线存在，设直线l 的方程为y ＝2x ＋t ， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P ⎝⎛⎭⎪⎫x 3，53，Q (x 4，y 4)，MN 的中点为D (x 0，y 0)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋t x 2＋2y 2＝2，消去x ，得9y 2－2ty ＋t 2－8＝0， ∴y 1＋y 2＝2t 9，且Δ＝4t 2－36(t 2－8)＞0，故y 0＝y 1＋y 22＝t 9且－3＜t ＜3， 由PM →＝NQ →，知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此D 为线段PQ 的中点，∴y 0＝53＋y 42＝t 9，得y 4＝2t －159，又－3＜t ＜3，可得－73＜y 4＜－1， ∴点Q 不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l .。
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最新人教版高中数学必修三测试题及答案全套阶段质量检测（一）（A 卷 学业水平达标） (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．下列给出的赋值语句正确的有( ) ①2＝A ； ②x ＋y ＝2； ③A －B ＝－2； ④A ＝A *AA ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选B 对于①，赋值语句中“＝”左右不能互换，即不能给常量赋值，左边必须为变量，右边必须是表达式，若改写为A ＝2就正确了；②赋值语句不能给一个表达式赋值，所以②是错误的，同理③也是错误的，这四种说法中只有④是正确的．2．计算机执行下面的程序段后，输出的结果是( )a ＝1b ＝3a ＝a ＋b b ＝a －bPRINT a ，bA ．1 3B ．4 1C ．0 0D ．6 0解析：选B 输出a ＝1＋3＝4，b ＝4－3＝1. 3．把二进制数10 110 011(2)化为十进制数为( ) A ．182 B ．181 C ．180D ．179解析：选D 10 110 011(2)＝1×27＋0×26＋1×25＋1×24＋0×23＋0×22＋1×21＋1×20＝128＋32＋16＋2＋1＝179.4．下图是计算函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ， x ≤－1，0， －1＜x ≤2x 2， x ＞2的值的程序框图，则在①、②和③处应分别填入的是( )A．y＝－x，y＝0，y＝x2B．y＝－x，y＝x2，y＝0C．y＝0，y＝x2，y＝－xD．y＝0，y＝－x，y＝x2解析：选B当x＞－1不成立时，y＝－x，故①处应填“y＝－x”；当x＞－1成立时，若x＞2，则y＝x2，即②处应填“y＝x2”，否则y＝0，即③处应填“y＝0”．5．下面的程序运行后的输出结果为()A．17 B．19C．21 D．23解析：选C第一次循环，i＝3，S＝9，i＝2；第二次循环，i＝4，S＝11，i＝3；第三次循环，i＝5，S＝13，i＝4；第四次循环，i＝6，S＝15，i＝5；第五次循环，i＝7，S＝17，i＝6；第六次循环，i＝8，S＝19，i＝7；第七次循环，i＝9，S＝21，i＝8.此时i＝8，不满足i＜8，故退出循环，输出S＝21，结束．6．下面的程序运行后，输出的值是( )i ＝0DOi ＝i ＋1LOOP UNTIL 2^i ＞2 000 i ＝i －1PRINT i ENDA ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 由题意知，此程序为循环语句，当i ＝10时，210＝1 024；当i ＝11时，211＝2 048＞2 000，输出结果为i ＝11－1＝10.7．下列程序框图运行后，输出的结果最小是( )A ．2 015B ．2 014C ．64D ．63解析：选D 由题图知，若使n (n ＋1)2＞2 015，n 最小为63.8．(全国甲卷)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图．执行该程序框图，若输入的x＝2，n ＝2，依次输入的a 为2,2,5，则输出的s ＝( )A ．7B ．12C．17 D．34解析：选C第一次运算：s＝0×2＋2＝2，k＝1；第二次运算：s＝2×2＋2＝6，k＝2；第三次运算：s＝6×2＋5＝17，k＝3>2，结束循环，s＝17.9．执行如图所示的程序框图，输出的结果为()A．55 B．89C．144 D．233解析：选B初始值：x＝1，y＝1，第1次循环：z＝2，x＝1，y＝2；第2次循环：z＝3，x＝2，y ＝3；第3次循环：z＝5，x＝3，y＝5；第4次循环：z＝8，x＝5，y＝8；第5次循环：z＝13，x＝8，y ＝13；第6次循环：z＝21，x＝13，y＝21；第7次循环：z＝34，x＝21，y＝34；第8次循环：z＝55，x ＝34，y＝55；第9次循环：z＝89，x＝55，y＝89；第10次循环时z＝144，循环结束，输出y，故输出的结果为89.10.(四川高考)秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州(现四川省安岳县)人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为()A．9B．18C．20 D．35解析：选B由程序框图知，初始值：n＝3，x＝2，v＝1，i＝2，第一次循环：v＝4，i＝1；第二次循环：v＝9，i＝0；第三次循环：v＝18，i＝－1.结束循环，输出当前v的值18.故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．459与357的最大公约数是________．解析：459＝357×1＋102,357＝102×3＋51,102＝51×2，所以459与357的最大公约数为51. 答案：5112．对任意非零实数a ，b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则log 28⊗⎝⎛⎭⎫12－2＝________.解析：log 28＜⎝⎛⎭⎫12－2，由题图，知log 28⊗⎝⎛⎭⎫12－2＝3⊗4＝4－13＝1.答案：113．(山东高考)执行如图所示的程序框图，若输入的a ，b 的值分别为0和9，则输出的i 的值为________．解析：第1次循环：a ＝0＋1＝1，b ＝9－1＝8，a ＜b ，此时i ＝2； 第2次循环：a ＝1＋2＝3，b ＝8－2＝6，a ＜b ，此时i ＝3； 第3次循环：a ＝3＋3＝6，b ＝6－3＝3，a ＞b ，输出i ＝3. 答案：314．(天津高考改编)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为________．解析：S＝4不满足S≥6，S＝2S＝2×4＝8，n＝1＋1＝2；n＝2不满足n＞3，S＝8满足S≥6，则S＝8－6＝2，n＝2＋1＝3；n＝3不满足n＞3，S＝2不满足S≥6，则S＝2S＝2×2＝4，n＝3＋1＝4；n＝4满足n＞3，输出S＝4.答案：4三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤．)15．(本小题满分12分)如图是求1＋12＋13＋…＋1100的算法的程序框图．(1)标号①②处应分别是什么？(2)根据框图用“当”型循环语句编写程序．解：(1)①k＜101？(k＜＝100？)②S＝S＋1k. (2)程序如下：16．(本小题满分12分)以下是一个用基本算法语句编写的程序，根据程序画出其相应的程序框图．解：算法语句每一步骤对应于程序框图的步骤，其框图如下：17．(本小题满分12分)画出求12－22＋32－42＋…＋992－1002的值的程序框图．解：程序框图如图所示：18．(本小题满分14分)已知某算法的程序框图如图所示，若将输出的(x，y)值依次记为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)．(1)若程序运行中输出的一个数组是(9，t)，求t的值；(2)程序结束时，共输出(x，y)的组数为多少？(3)写出程序框图的程序语句．解：(1)由程序框图知：当x＝1时，y＝0；当x＝3时，y＝－2；当x＝9时，y＝－4，所以t＝－4；(2)当n＝1时，输出一对，当n＝3时，又输出一对，…，当n＝2 015时，输出最后一对，共输出(x，y)的组数为1 007；(3)程序框图的程序语句如下：（B卷能力素养提升）（时间90分钟，满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．算法的每一步都应该是确定的，能有效执行的，并且得到确定的结果，这是指算法的( ) A ．有穷性 B ．确定性 C ．普遍性 D ．不唯一性 答案：B2．已知函数y ＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，x ＋1，x <0，输入自变量x 的值，输出对应的函数值．设计程序框图时，需用到的基本逻辑结构是( )A ．顺序结构B ．条件结构C ．顺序结构、条件结构D ．顺序结构、循环结构 答案：C3．用“辗转相除法”求得360和504的最大公约数是( ) A ．72 B ．36 C ．24D ．2520解析：选A 504＝360×1＋144,360＝72×5＋0，故最大公约数是72. 4．若十进制数26等于k 进制数32，则k 等于( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．8解析：选D 由题意知，26＝3×k 1＋2，解得k ＝8.5．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是( )A ．3B ．11C ．38D ．123解析：选B 根据框图可知第一步的运算为：a ＝1＜10，满足条件，可以得到a ＝12＋2＝3，又因为a＝3＜10，满足条件，所以有a＝32＋2＝11，因为a＝11＞10，不满足条件，输出结果a＝11.6．对于下列算法：如果在运行时，输入2，那么输出的结果是()A．2,5 B．2,4C．2,3 D．2,9解析：选A本题主要考查条件语句的应用．输入a的值2，首先判断是否大于5，显然2不大于5，然后判断2与3的大小，显然2小于3，所以结果是b＝5，因此结果应当输出2,5.7．根据下面的算法，可知输出的结果S为()第一步，i＝1；第二步，判断i＜10是否成立，若成立，则i＝i＋2，S＝2i＋3，重复第二步，否则执行下一步；第三步，输出S.A．19 B．21C．25 D．27解析：选C该算法的运行过程是：i＝1，i＝1<10成立，i＝1＋2＝3，S＝2×3＋3＝9，i＝3<10成立，i＝3＋2＝5，S＝2×5＋3＝13，i＝5<10成立，i＝5＋2＝7，S＝2×7＋3＝17，i＝7<10成立，i＝7＋2＝9，S＝2×9＋3＝21，i＝9<10成立，i＝9＋2＝11，S＝2×11＋3＝25，i＝11<10不成立，输出S＝25.8．按下列程序运行的结果是()A．10.5 B．11.5C．16 D．25解析：选D A＝4.5，第一个条件结构中的条件不满足，则B＝6－3＝3，B＝3＋2＝5；而第二个条件结构中的条件满足，则B＝5×5＝25，所以运行结果为25.9．如图是求x1，x2，…，x10的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为()A．S＝S*(n＋1)B．S＝S*x n＋1C．S＝S*nD．S＝S*x n解析：选D由题意知，由于求乘积，故空白框中应填入S＝S*x n.10．(全国卷Ⅱ)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a＝()A．0 B．2C．4 D．14解析：选B a＝14，b＝18.第一次循环：14≠18且14<18，b＝18－14＝4；第二次循环：14≠4且14>4，a＝14－4＝10；第三次循环：10≠4且10>4，a＝10－4＝6；第四次循环：6≠4且6>4，a＝6－4＝2；第五次循环：2≠4且2<4，b＝4－2＝2；第六次循环：a＝b＝2，跳出循环，输出a＝2，故选B.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．将二进制数110 101(2)化成十进制数，结果为________，再转为七进制数，结果为________．解析：110 101＝1×25＋1×24＋0×23＋1×22＋0×21＋1＝32＋16＋0＋4＋0＋1＝53.110 101(2)＝104(7)．答案：53104(7)12．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是________．解析：第一次进入循环体有T ＝0＋0，第二次有T ＝0＋1，第三次有T ＝0＋1＋2，……，第n 次有T ＝0＋1＋2＋…＋n －1(n ＝1,2,3，…)，令T ＝n (n －1)2>105，解得n>15，故n ＝16，k ＝15.答案：1513．输入8，下列程序执行后输出的结果是________．解析：∵输入的数据为8，t ≤4不成立， ∴c ＝0.2＋0.1(8－3)＝0.7. 答案：0.714．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为________．解析：第1次循环：s ＝1＋(1－1)＝1，i ＝1＋1＝2；第2次循环：s ＝1＋(2－1)＝2，i ＝2＋1＝3；第3次循环：s ＝2＋(3－1)＝4，i ＝3＋1＝4；第4次循环：s ＝4＋(4－1)＝7，i ＝4＋1＝5.循环终止，输出s 的值为7.答案：7三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)阅读下列两个程序，回答问题． ①x ＝3 y ＝4 x ＝y PRINT x ，y END(1)上述两个程序的运行结果是：①________________；②_____________________________________________. (2)上述两个程序中的第三行有什么区别？ 解：(1)两个程序的运行结果是①4 4；②3 3；(2)程序①中的x ＝y 是将y 的值4赋给x ，赋值后，x 的值变为4，程序②中的y ＝x 是将x 的值3赋给y ，赋值后y 的值变为3.16．(本小题满分12分)用秦九韶算法求多项式f (x )＝7x 7＋6x 6＋5x 5＋4x 4＋3x 3＋2x 2＋x ，当x ＝3时的值．解：f (x )＝((((((7x ＋6)x ＋5)x ＋4)x ＋3)x ＋2)x ＋1)x ， v 0＝7，v 1＝7×3＋6＝27， v 2＝27×3＋5＝86， v 3＝86×3＋4＝262， v 4＝262×3＋3＝789， v 5＝789×3＋2＝2 369， v 6＝2 369×3＋1＝7 108， v 7＝7 108×3＋0＝21 324， ∴f (3)＝21 324.17．(本小题满分12分)在音乐唱片超市里，每张唱片售价25元，顾客购买5张(含5张)以上但不足10张唱片，则按九折收费，顾客购买10张以上(含10张)唱片，则按八五折收费，编写程序，输入顾客购买唱片的数量a ，输出顾客要缴纳的金额C .并画出程序框图．②x ＝3 y ＝4 y ＝x PRINT x ，yEND解：由题意得C ＝⎩⎪⎨⎪⎧25a ，a <5，22.5a ，5≤a ＜10，21.25a ，a ≥10.程序框图，如图所示：程序如下：18．(本小题满分14分)设计一个算法，求f(x)＝x 6＋x 5＋x 4＋x 3＋x 2＋x ＋1，当x ＝2时的函数值，要求画出程序框图，并写出程序．解：则程序框图为：程序为：S ＝0i ＝0WHILE i ≤6S ＝S ＋2^i i ＝i ＋1WEND PRINT S END阶段质量检测（二）（A 卷 学业水平达标） (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．某学校为了调查高一年级的200名学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机抽取20名同学进行抽查；第二种由教务处对该年级的学生进行编号，从001到200，抽取学号最后一位为2的同学进行调查．则这两种抽样的方法依次是( )A ．分层抽样，简单随机抽样B ．简单随机抽样，分层抽样C ．分层抽样，系统抽样D ．简单随机抽样，系统抽样解析：选D 由抽样方法的概念知选D.2．将某班的60名学生编号为01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是( )A ．09,14,19,24B ．16,28,40,52C ．10,16,22,28D ．08,12,16,20解析：选B 分成5组，每组12名学生，按等间距12抽取．选项B 正确．3．某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n 的样本，若女学生一共抽取了80人，则n 的值为( )A ．193B ．192C ．191D ．190解析：选B 1 000×n200＋1 200＋1 000＝80，求得n ＝192.4．某商品的销售量y (件)与销售价格x (元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝－10x ＋200，则下列结论正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．若r 表示变量y 与x 之间的线性相关系数，则r ＝－10C ．当销售价格为10元时，销售量为100件D ．当销售价格为10元时，销售量在100件左右解析：选D y 与x 具有负的线性相关关系，所以A 项错误；当销售价格为10元时，销售量在100件左右，因此C 错误，D 正确；B 项中－10是回归直线方程的斜率．5．设有两组数据x 1，x 2，…，x n 与y 1，y 2，…，y n ，它们的平均数分别是x 和y ，则新的一组数据2x 1－3y 1＋1,2x 2－3y 2＋1，…，2x n －3y n ＋1的平均数是( )A ．2x －3yB ．2x －3y ＋1C ．4x －9yD ．4x －9y ＋1解析：选B 设z i ＝2x i －3y i ＋1(i ＝1,2，…，n )，则z ＝1n (z 1＋z 2＋…＋z n )＝2n (x 1＋x 2＋…＋x n )－3n (y 1＋y 2＋…＋y n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋…＋1n ＝2x －3y ＋1.6．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是( )A ．85,85,85B ．87,85,86C ．87,85,85D ．87,85,90解析：选C ∵得85分的人数最多为4人，∴众数为85，中位数为85，平均数为110(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87.7．某出租汽车公司为了了解本公司司机的交通违章情况，随机调查了50名司机，得的他们某月交通违章次数的数据制成了如图所示的统计图，根据此统计图可得这50名出租车司机该月平均违章的次数为( )A ．1B ．1.8C ．2.4D ．3解析：选B5×0＋20×1＋10×2＋10×3＋5×450＝1.8.8．下表是某厂1～4月份用水量情况(单位：百吨)的一组数据：用水量y 与月份x 之间具有线性相关关系，其线性回归方程为y ＝－0.7x ＋a ，则a 的值为( ) A ．5.25 B ．5 C ．2.5D ．3.5解析：选A 线性回归方程经过样本的中心点，根据数据可得样本中心点为(2.5,3.5)，所以a ＝5.25. 9．在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A.84,4.84 B ．84,1.6 C ．85,1.6D ．85,4解析：选C 去掉一个最高分93，去掉一个最低分79，平均数为15×(84＋84＋86＋84＋87)＝85，方差为15[(85－84)2＋(85－84)2＋(85－86)2＋(85－84)2＋(85－87)2]＝1.6.10．图甲是某县参加2017年高考学生的身高条形统计图，从左到右各条形表示的学生人数依次记为A 1，A 2，…，A 10{如A 2表示身高(单位：cm)在[150,155)内的学生人数}，图乙是统计图甲中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180 cm(含160 cm ，不含180 cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是( )A ．i ＜6?B ．i ＜7?C ．i ＜8?D ．i ＜9?解析：选C 由图甲可知身高在160～180 cm 的学生都在A 4～A 7内，∴i ＜8. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为____件．解析：设乙设备生产的产品总数为x 件， 则4 800－x 50＝x80－50，解得x ＝1 800，故乙设备生产的产品总数为1 800件． 答案：1 80012．一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下：[25,25.3)，6；[25.3,25.6)，4；[25.6,25.9)，10；[25.9,26.2)，8；[26.2,26.5)，8；[26.5,26.8)，4，则样本在[25,25.9)上的频率为________．解析：[25,25.9)包括[25,25.3)，6；[25.3,25.6)，4；[25.6,25.9)，10；频数之和为20，频率为2040＝12.答案：1213．要考察某种品牌的500颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验，利用随机数表法抽取种子时，先将500颗种子按001,002，…，500进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的5颗种子的编号：____________________，_______，_______，_______，_______. (下面摘取了随机数表第7行至第9行) 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 7663 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 7933 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54解析：选出的三位数分别为331,572,455,068,877,047,447，…，其中572,877均大于500，将其去掉，剩下的前5个编号为331,455,068,047,447.答案：331 455 068 047 44714．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：厘米)数据绘制成频率分布直方图(如下图)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为________．解析：∵0.005×10＋0.035×10＋a ×10＋0.020×10＋0.010×10＝1， ∴a ＝0.030.设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生分别有x ，y ，z 人，则x100＝0.030×10，解得x ＝30.同理，y ＝20，z ＝10.故从[140,150]的学生中选取的人数为1030＋20＋10×18＝3.答案：0.030 3三、解答题(本大题共4题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分12分)某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量(单位：kg)，分别记录抽查数据如下：甲：102,101,99,98,103,98,99； 乙：110,115,90,85,75,115,110. (1)这种抽样方法是哪一种方法？(2)试计算甲、乙车间产品重量的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？ 解：(1)甲、乙两组数据间隔相同，所以采用的方法是系统抽样法． (2)x 甲＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100， x乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100， s 2甲＝17(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43， s 2乙＝17(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)＝228.57， ∴s 2甲＜s 2乙，故甲车间产品比较稳定． 16．(本小题满分12分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；(2)若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)的人数． 解：由分组[10,15)的频数是10，频率是0.25， 知10M ＝0.25，所以M ＝40.因为频数之和为40，所以10＋25＋m ＋2＝40，解得m ＝3.故p ＝3M ＝340＝0.075.因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商， 所以a ＝2540×5＝0.125.(2)因为该校高一学生有360人，分组[10,15)的频率是0.25，所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.25＝90.17．(本小题满分12分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝b x ＋a ； (2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2016年的粮食需求量．解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的．对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得x ＝0，y ＝3.2，b ^＝(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×2942＋22＋22＋42＝26040＝6.5. a ^＝y －b ^x ＝3.2.由上述计算结果知所求回归直线方程为 y ^－257＝b ^(x －2 010)＋a ^＝6.5(x －2 010)＋3.2. 即y ^＝6.5(x －2 010)＋260.2.①(2)利用直线方程①，可预测2016年的粮食需求量为 6．5×(2 016－2 010)＋260.2 ＝6.5×6＋260.2 ＝299.2(万吨)．18．(本小题满分14分)(四川高考)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．(1)求直方图中a 的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由； (3)估计居民月均用水量的中位数．解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]内的频率分别为0.08，0.21，0.25,0.06,0.04,0.02.由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2a ×0.5， 解得a ＝0.30.(2)由(1)知，该市100位居民中月均用水量不低于3吨的频率为0.06＋0.04＋0.02＝0.12.由以上样本的频率分布，可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000. (3)设中位数为x 吨．因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73＞0.5，而前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48＜0.5，所以2≤x＜2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨．（B卷能力素养提升）(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．我校在检查学生作业时，抽出每班学号尾数为5的学生作业进行检查，这里运用的是() A．分层抽样B．抽签抽样C．随机抽样D．系统抽样答案：D2．下列各选项中的两个变量具有相关关系的是()A．长方体的体积与边长B．大气压强与水的沸点C．人们着装越鲜艳，经济越景气D．球的半径与表面积解析：选C A、B、D均为函数关系，C是相关关系．3．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的2 500名城镇居民．这2 500名城镇居民的寿命的全体是()A．总体B．个体C．样本D．样本容量答案：C4．已知总体容量为106，若用随机数表法抽取一个容量为10的样本．下面对总体的编号最方便的是()A．1,2，…，106 B．0,1,2，…，105C．00,01，…，105 D．000,001，…，105解析：选D由随机数抽取原则可知选D.5．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为()A ．18B ．36C ．54D ．72解析：选B 易得样本数据在区间[10,12)内的频率为0.18，则样本数据在区间[10,12)内的频数为36. 6．对一组数据x i (i ＝1,2,3，…，n )，如果将它们改变为x i ＋c (i ＝1,2,3，…，n )，其中c ≠0，则下面结论中正确的是( )A ．平均数与方差均不变B ．平均数变了，而方差保持不变C ．平均数不变，而方差变了D ．平均数与方差均发生了变化解析：选B 设原来数据的平均数为x －，将它们改变为x i ＋c 后平均数为x ′，则x ′＝x －＋c ，而方差s ′2＝1n[(x 1＋c －x －－c )2＋…＋(x n ＋c －x －－c )2]＝s 2.7．某中学高三从甲、乙两个班中各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分100分)的茎叶图如图，其中甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，则x ＋y 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选B 甲班学生成绩的众数为85，结合茎叶图可知x ＝5；又因为乙班学生成绩的中位数是83，所以y ＝3，即x ＋y ＝5＋3＝8.8．相关变量x ，y 的样本数据如下表：经回归分析可得y 与x 线性相关，并由最小二乘法求得回归直线方程为y ^＝1.1x ＋a ，则a ＝( ) A ．0.1 B ．0.2 C ．0.3D ．0.4 解析：选C ∵回归直线经过样本点的中心(x ，y )，且由题意得(x ，y )＝(3,3.6)，∴3.6＝1.1×3＋a ，∴a ＝0.3.9．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数是3.2，全年进球数的标准差为3；乙队平均每场进球数是1.8，全年进球数的标准差为0.3.下列说法中，正确的个数为( )①甲队的技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选D因为甲队的平均进球数比乙队多，所以甲队技术较好，①正确；乙队的标准差比甲队小，标准差越小越稳定，所以乙队发挥稳定，①也正确；乙队平均每场进球数为1.8，所以乙队几乎每场都进球，①正确；由于s甲＝3，s乙＝0.3，所以甲队与乙队相比，不稳定，所以甲队的表现时好时坏，①正确．10．已知数据：①18,32，－6,14,8,12；②21,4,7,14，－3,11；③5,4,6,5,7,3；④－1,3,1,0,0，－3.各组数据中平均数和中位数相等的是()A．①B．②C．③D．①②③④解析：选D运用计算公式x＝1n(x1＋x2＋…＋x n)，可知四组数据的平均数分别为13,9,5,0.根据中位数的定义：把每组数据从小到大排列，取中间一位数(或两位的平均数)即为该组数据的中位数，可知四组数据的中位数分别为13,9,5,0.故每组数据的平均数和中位数均对应相等．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为________．解析：由分层抽样得，此样本中男生人数为560×280560＋420＝160.答案：16012．(山东高考)下图是根据部分城市某年6月份的平均气温(单位：℃)数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5,26.5]．样本数据的分组为[20.5，21.5)，[21.5,22.5)，[22.5,23.5)，[23.5,24.5)，[24.5，25.5)，[25.5，26.5]．已知样本中平均气温低于22.5 ℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5 ℃的城市个数为________．解析：设样本容量为n，则n×(0.1＋0.12)×1＝11，所以n＝50，故所求的城市数为50×0.18＝9.答案：913．(江苏高考)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：解析：对于甲，平均成绩为x －＝90，所以方差为s 2＝15×[(87－90)2＋(91－90)2＋(90－90)2＋(89－90)2＋(93－90)2]＝4，对于乙，平均成绩为x －＝90，方差为s 2＝15×[(89－90)2＋(90－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2＋(92－90)2]＝2.由于2<4，所以乙的平均成绩较为稳定．答案：214．某班12位学生父母年龄的茎叶图如图所示，则12位同学母亲的年龄的中位数是________，父亲的平均年龄比母亲的平均年龄多________岁.解析：由41＋432＝42，得中位数是42.母亲平均年龄＝42.5， 父亲平均年龄为45.5，因而父亲平均年龄比母亲平均年龄多3岁． 答案：42 3三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)某花木公司为了调查某种树苗的生长情况，抽取了一个容量为100的样本，测得树苗的高度(cm)数据的分组及相应频数如下：[107,109)3株；[109,111)9株；[111,113)13株； [113,115)16株；[115,117)26株；[117,119)20株； [119,121)7株；[121,123)4株；[123,125]2株． (1)列出频率分布表； (2)画出频率分布直方图；(3)据上述图表，估计数据在[109,121)范围内的可能性是百分之几？ 解：(2)频率分布直方图如下：(3)由上述图表可知数据落在[109,121)范围内的频率为：0.94－0.03＝0.91，即数据落在[109,121)范围内的可能性是91%.16．(本小题满分12分)甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，记录如下：甲 82 81 79 78 95 88 93 84 乙 92 95 80 75 83 80 90 85 (1)用茎叶图表示这两组数据；(2)现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度(在平均数、方差或标准差中选两个)考虑，你认为选派哪位学生参加合适？请说明理由？解：(1)作出茎叶图如下：(2)x 甲＝18(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，x 乙＝18(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.s 2甲＝18[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，s 2乙＝18[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41， ∵x甲＝x 乙，s 2甲<s 2乙，∴甲的成绩较稳定，派甲参赛比较合适．17．(本小题满分12分)某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y (元)与该周每天销售这些服装件数x 之间有如下一组数据：已知∑i ＝17x 2i ＝280，∑i ＝17x i y i ＝3 487， (1)求x ，y ；(2)求纯利y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程； (3)每天多销售1件，纯利y 增加多少元？ 解：(1)x ＝17(3＋4＋5＋…＋9)＝6，y ＝17(66＋69＋…＋91)≈79.86.(2)设回归直线方程为y ^＝a ^＋b ^x ，则b ^＝∑i ＝17x i y i －7x － y－∑i ＝17x 2i －7x2＝3 487－7×6×79.86280－7×62≈4.75. a ^＝y －b x －≈79.86－4.75×6＝51.36. ∴所求的回归直线方程为y ^＝51.36＋4.75x .(3)由回归直线方程知，每天多销售1件，纯利增加4.75元．18．(本小题满分14分)某地统计局就该地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1 000，1 500))．(1)求居民月收入在[3 000,3 500)的频率； (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[2 500，3 000)的这段应抽多少人？解：(1)月收入在[3 000,3 500)的频率为0.000 3×(3 500－3 000)＝0.15. (2)∵0.000 2×(1 500－1 000)＝0.1， 0．000 4×(2 000－1 500)＝0.2， 0．000 5×(2 500－2 000)＝0.25， 0．1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5.∴样本数据的中位数为2 000＋0.5－(0.1＋0.2)0.000 5＝2 000＋400＝2 400(元)．(3)居民月收入在[2 500,3 000)的频率为0.000 5×(3 000－2 500)＝0.25， 所以10 000人中月收入在[2 500,3 000)的人数为0.25×10 000＝2 500(人)．再从10 000人中分层抽样方法抽出100人，则月收入在[2 500，3 000)的这段应抽取100×2 50010 000＝25(人)．阶段质量检测（三）（A 卷 学业水平达标） (时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( ) A ．对立事件 B ．互斥但不对立事件 C ．不可能事件D ．必然事件解析：选B 根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件．2．已知集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( ) A.23 B ．12C.13D ．16解析：选C 从A ，B 中各取一个数有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6种情况，其中和为4的有(2,2)，(3,1)，共2种情况，所以所求概率P ＝26＝13.3．在区间[－3,3]上任取一个实数，所得实数是不等式x 2＋x －2≤0的解的概率为( ) A.16 B ．13C.12D ．23解析：选C 由x 2＋x －2≤0，得－2≤x ≤1， 所求概率为1－(－2)3－(－3)＝12.4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中随机取点，则点落在四棱锥O ABCD 内(O 为正方体的对角线的交点)的概率是( )A.13 B ．16C.12D ．14解析：选B 设正方体的体积为V ，则四棱锥O ABCD 的体积为V6，所求概率为V 6V ＝16.5．从{}a ，b ，c ，d ，e 的所有子集中任取一个，这个集合恰是集合{}a ，b ，c 子集的概率是( ) A.35 B ．25C.14D ．18解析：选C 符合要求的是∅，{}a ，{}b ，{}c ，{}a ，b ，{}a ，c ，{}b ，c ，{}a ，b ，c 共8个，而集合{}a ，b ，c ，d ，e 共有子集25＝32个，∴P ＝14.6．(全国乙卷)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A.13B.12C.23D.56解析：选C 从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P ＝46＝23，故选C.7．连续掷两次骰子，以先后得到的点数m ，n 为点P (m ，n )的坐标，那么点P 在圆x 2＋y 2＝17内部的概率是( )A.19 B ．29C.13D ．49解析：选B 点P (m ，n )的坐标的所有可能为6×6＝36种，而点P 在圆x 2＋y 2＝17内部只有⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1n ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝2，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2n ＝3，⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3n ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝2，共8种，故概率为29.8．甲、乙、丙三人在3天节假日中值班，每人值班1天，则甲排在乙的前面值班的概率是( ) A.16 B ．14C.13 D ．12解析：选C 甲、乙、丙三人在3天中值班的情况为甲，乙，丙；甲，丙，乙；丙，甲，乙；丙，乙，甲；乙，甲，丙；乙，丙，甲共6种，其中符合题意的有2种，故所求概率为13.9．一袋中装有大小相同，编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个卡片，从中无放回．．．地每次抽一张卡片，共抽2次，则取得两张卡片的编号和不小于．．．14的概率为( )A.128 B ．156C.356D ．114 解析：选D 从中无放回地取2次，所取号码共有56种，其中和不小于14的有4种，分别是(6,8)，(8,6)，(7,8)，(8,7)，故所求概率为456＝114.10．小莉与小明一起用A ，B 两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)玩游戏，以小莉掷的A 立方体朝上的数字为x ，小明掷的B 立方体朝上的数字为y 来确定点P (x ，y )，那么他们各。
2019年人教版高中数学必修三综合测试题(含答案)
必修3综合模拟测试卷A（含答案）一、选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、用冒泡排序算法对无序列数据进行从小到大排序，则最先沉到最右边的数是A、最大数B、最小数C、既不最大也不最小D、不确定2、甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是A、16B、12C、13D、233、某单位有老年人28 人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中间抽取一个容量为36样本，则老年人、中年人、青年人分别各抽取的人数是A、6，12，18B、7，11，19C、6，13，17D、7，12，174、甲、乙两位同学都参加了由学校举办的篮球比赛，它们都参加了全部的7场比赛，平均得分均为16分，标准差分别为5.09和3.72，则甲、乙两同学在这次篮球比赛活动中，发挥得更稳定的是A、甲B、乙C、甲、乙相同D、不能确定5、从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是A、16B、C、13D、6、如图，是由一个圆、一个三角形和一个长方形构成的组合体，现用红、蓝两种颜色为其涂色，每个图形只能涂一种颜色，则三个形状颜色不全相同的概率为A 、34B 、38C 、14D 、187、阅读下列程序：输入x ；if x ＜0， then y ：＝32x π+；else if x ＞0， then y ：＝52x π-+；else y ：＝0； 输出 y ．如果输入x ＝－2，则输出结果y 为A 、3＋πB 、3－πC 、π－5D 、－π－5 8、一射手对同一目标独立地进行4次射击，已知至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率是 A 、31 B 、32 C 、41 D 、529、根据下面的基本语句可知，输出的结果T 为 i:=1; T:=1;For i:=1 to 10 do; Begin T:=T+1;End 输出T开始 S ：＝0 i ：＝3 i ：＝i ＋1S ：＝S ＋ii ＞5 输出S结束是 否A 、10B 、11C 、55D 、56 10、在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 A 、11 B 、12 C 、13 D 、15二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题纸上） 11、一个容量为20的样本数据,分组后，组距与频数如下：(]10,20，2；(]20,30， 3；(]30,40，4；(]40,50，5；(]50,60，4 ；(]60,70，2。
高中数学必修3测试题答案详解
4．某市公用电话（市话）的收费标准为： 3 分钟之内（包括 3 分钟）收取 0.30 元；超过 3 分钟部分按 0.10 元/分钟加收费。设计一个程序，根据通话时间计算话费。
新课程高中数学训练题组（咨询 13976611338）
（数学 3 必修）第一章：算法初步
[综合训练 B 组]
一、选择题
1．用“辗转相除法”求得 459 和 357 的最大公约数是（ ） A． 3 B． 9 C．17 D． 51
2．当 x 2 时，下面的程序段结果是 ( )
i=1
s=0
WHILE i<=4
s=s*x+1
i=i+1
WEND
PRINT s
END
A． 3 B． 7
C．15
D．17
③求三个数 a, b, c 中输入一个数的最大数.
④求函数
f
(x)
x x
1, x 0 2, x 0
的函数值.
其中不需要用条件语句来描述其算法的有 ( )
A. 1个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
3．右边程序执行后输出的结果是（ ）
A. 1 B． 0 C．1 D． 2
4．意大利数学家菲波拉契,在 1202 年出版的一书里提出了这样的一个问题:一对兔子饲养 到第二个月进入成年,第三个月生一对小兔,以后每个月生一对小兔,所生小兔能全部存活 并且也是第二个月成年,第三个月生一对小兔,以后每月生一对小兔.问这样下去到年底应 有多少对兔子? 试画出解决此问题的程序框图,并编写相应的程序.
本套资料按照必修系列和选修系列及部分选修 4 系列的章节编 写，每章分三个等级：[基础训练 A 组]，
最新北师大版高中数学必修三测试题全套及答案
最新北师大版高中数学必修三测试题全套及答案章末综合测评(一)统计(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的2 500名城镇居民，这个问题中“2 500名城镇居民的寿命的全体”是()A．总体B．个体C．样本D．样本容量【解析】每个人的寿命是个体，抽出的2 500名城镇居民的寿命的全体是从总体中抽取的一个样本．【答案】 C2．为了了解1 200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为()A．40B．30C．20D．12【解析】系统抽样也叫间隔抽样，抽多少就分成多少组，总数除以组数＝间隔数，即k＝1 20040＝30.【答案】 B3．一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则应将样本数据分为()A．10组B．9组C．8组D．7组【解析】根据频率分布表的步骤，极差组距＝140－5110＝8.9，所以分成9组．【答案】 B4．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为()A．11 B．12C．13 D．14【解析】依据系统抽样的特点分42组，每组20人，区间[481,720]包含25组到36组，每组抽一个，则抽到的人数为12.【答案】 B5．甲、乙两名篮球运动员在某几场比赛中得分的茎叶图如图1所示，则甲、乙两人在这几场比赛中得分的中位数之和是()图1A．63 B．64C．65 D．66【解析】由茎叶图知甲比赛得分的中位数为36，乙比赛得分的中位数为27，故甲、乙两人得分的中位数之和为27＋36＝63.【答案】 A6．甲、乙两支女子曲棍球队在去年的国际联赛中，甲队平均每场进球数为3.2，全年比赛进球个数的标准差为3；乙队平均每场进球数为1.8，全年比赛进球数的标准差为0.3.下列说法中，正确的个数为()①甲队的进球技术比乙队好；②乙队发挥比甲队稳定；③乙队几乎每场都进球；④甲队的表现时好时坏．A．1 B．2C．3 D．4【解析】因为甲队的平均进球数比乙队多，所以甲队技术较好，①正确；乙队的标准差比甲队小，标准差越小越稳定，所以乙队发挥稳定，②也正确；乙队平均每场进球数为1.8，所以乙队几乎每场都进球，③正确；由于s甲＝3，s乙＝0.3，所以甲队与乙队相比，不稳定，所以甲队的表现时好时坏，④正确，故选D.【答案】 D7．某学校为调查学生的学习情况，对学生的课堂笔记进行了抽样调查，已知某班级一共有56名学生，根据学号(001～056)，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知007号、021号、049号在样本中，那么样本中还有一个学生的学号为()A．014 B．028C．035 D．042【解析】由系统抽样的原理知，抽样的间隔为564＝14，故第一组的学号为001～014，所以007为第一组内抽取的学号，所以第二组抽取的学号为021；第三组抽取的学号为035；第四组抽取的学号为049.故选C.【答案】 C8．从800件产品中抽取60件进行质检，利用随机数表法抽取样本时，先将800件产品按001,002，…，800进行编号．如果从随机数表第8行第8列的数8开始往右读数(随机数表第7行至第9行的数如下)，则抽取的第4件产品的编号是()844217533157245506887704744767217633502583921206766301637859169556671998105071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954A．169 B．556C．671 D．105【解析】找到第8行第8列的数8，并开始向右读，每次读取三位，凡不在001～800中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，从而最先抽取的4件产品的编号依次是169,556,671,105.故抽取的第4件产品的编号是105.【答案】 D9．对具有线性相关关系的变量x，Y有一组观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，8)，其回归直线方程是：y＝16x＋a，且x1＋x2＋x3＋…＋x8＝3，y1＋y2＋y3＋…＋y8＝6，则a＝()A.116 B.18C.14D.1116【解析】 因为x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 8＝3，y 1＋y 2＋y 3＋…＋y 8＝6， 所以x ＝38，y ＝34，所以样本中心点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫38，34，代入回归直线方程得34＝16×38＋a ，所以a ＝1116. 【答案】 D10．(2015·安徽高考)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的标准差为( )A ．8B ．15C ．16D ．32【解析】 已知样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为s ＝8，则s 2＝64，数据2x 1－1,2x 2－1，…，2x 10－1的方差为22s 2＝22×64，所以其标准差为22×64＝2×8＝16，故选C.【答案】 C11．(2015·福建高考)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元【解析】 由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)． 【答案】 B12．(2016·日照高一检测)样本(x 1，x 2，…，x n )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y m )的平均数为y (x ≠y )．若样本(x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y m )的平均数z ＝ax ＋(1－a )y ，其中0<a <12，则n ，m 的大小关系为( )A ．n <mB ．n >mC ．n ＝mD ．不能确定【解析】 由题意知，样本(x 1，…，x n ，y 1，…，y m )的平均数为z ＝nx ＋my m ＋n＝nn ＋m x ＋m n ＋m y ，且z ＝ax ＋(1－a )y ，所以a ＝n n ＋m ，1－a ＝m n ＋m .又因为0<a <12，所以0<n n ＋m<12，解得n <m . 【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．(2015·江苏高考)已知一组数据4,6,5,8,7,6，那么这组数据的平均数为______． 【解析】 x －＝4＋6＋5＋8＋7＋66＝6.【答案】 614．甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位：t/hm 2)：【解析】 由题意，需比较s 2甲与s 2乙的大小．由于x 甲＝x 乙＝10，s 2甲＝0.02，s 2乙＝0.244，则s 2甲＜s 2乙，因此甲产量比较稳定． 【答案】 甲15．(2015·湖北高考)某电子商务公司对10 000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图2所示．(1)直方图中的a＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为________．图2【解析】(1)由0.1×1.5＋0.1×2.5＋0.1a＋0.1×2.0＋0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得a＝3.(2)区间[0.3,0.5)内的频率为0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4，故[0.5,0.9]内的频率为1－0.4＝0.6.因此，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数为0.6×10 000＝6 000.【答案】(1)3(2)6 00016．(2016·潍坊高一检测)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]．将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，图3是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________．图3【解析】因为第一组与第二组共有20人，并且根据图像知第一组与第二组的频率之比＝12.又因为第一组与第三组的频率之比是是0.24∶0.16＝3∶2，所以第一组的人数为20×350.24∶0.36＝2∶3，所以第三组有12÷23＝18人．因为第三组中没有疗效的人数为6，所以第三组中有疗效的人数是18－6＝12.【答案】 12三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某校高中三年级有503名学生，为了了解他们的身体状况，准备按1∶10的比例抽取一个样本，试用系统抽样方法进行抽取，并写出抽样过程．【解】 (1)用简单随机抽样法从503名学生中剔除3名学生． (2)采用随机的方式将500名学生编号为1,2,3，…，500. (3)确定分段间隔，样本容量为500×110＝50， 分段间隔k ＝50050＝10，即将500名学生分成50部分，其中每一部分包括10名学生，即把1,2,3，…，500均分成50段．(4)在第一段用简单随机抽样法确定起始的个体编号l ，例如，l ＝8.(5)按照事先确定的规则抽取样本：从8号起，每隔10个抽取1个号码，这样得到一个容量为50的样本：8,18,28,38，…，488,498.编号为8,18,28，…，488,498的学生便作为抽取的一个样本参与试验．18．(本小题满分12分)两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天的次品数如下：甲：1,0,2,0,2,3,0,4,1,2； 乙：1,3,2,1,0,2,1,1,0,1.(1)哪台机床次品数的平均数较小？ (2)哪台机床的生产状况比较稳定？ 【解】 (1)x甲＝(1＋0＋2＋0＋2＋3＋0＋4＋1＋2)×110＝1.5，x乙＝(1＋3＋2＋1＋0＋2＋1＋1＋0＋1)×110＝1.2.∵x甲＞x乙，∴乙车床次品数的平均数较小．(2)s2甲＝110[(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(3－1.5)2＋(0－1.5)2＋(4－1.5)2＋(1－1.5)2＋(2－1.5)2]＝1.65，同理s2乙＝0.76，∵s2甲＞s2乙，∴乙车床的生产状况比较稳定．19．(本小题满分12分)为了了解小学生的体能情况，抽取了某校一个年级的部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将取得数据整理后，画出频率分布直方图(如图4)．已知图中从左到右前三个小组频率分别为0.1,0.3,0.4，第一小组的频数为5.图4(1)求第四小组的频率；(2)参加这次测试的学生有多少人；(3)若次数在75次以上(含75次)为达标，试估计该年级学生跳绳测试的达标率是多少．【解】(1)由累积频率为1知，第四小组的频率为1－0.1－0.3－0.4＝0.2.(2)设参加这次测试的学生有x人，则0.1x＝5，∴x＝50.即参加这次测试的学生有50人．(3)达标率为0.3＋0.4＋0.2＝0.9，∴估计该年级学生跳绳测试的达标率为90%.20．(本小题满分12分)为了了解中学生的身体发育情况，对某一中学同年龄的50名男生的身高进行了测量，结果如下：[157,161)3人；[161,165)4人；[165,169)12人；[169,173)13人；[173,177)12人；[177,181]6人.(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)估计总体在[165,177)间的比例．【解】(1)列出频率分布表：分组频数频率频率组距[157,161)30.060.015[161,165)40.080.02[165,169)120.240.06[169,173)130.260.065[173,177)120.240.06[177,181]60.120.03合计50 1.00(2)画出频率分布直方图如图：(3)因0.24＋0.26＋0.24＝0.74，所以估计总体在[165,177)间的比例为74%.21．(本小题满分12分)(2014·全国卷Ⅱ)某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：甲部门乙部门3 5 9440 4 4 89 75 1 2 2 4 5 6 6 7 7 7 8 99 7 6 6 5 3 3 2 1 1 060 1 1 2 3 4 6 8 89 8 8 7 7 7 6 6 5 5 5 5 5 4 4 4 3 3 3 2 1 0 070 0 1 1 3 4 4 96 6 5 5 2 0 0 8 1 2 3 3 4 56 3 2 2 2 090 1 1 4 5 6100 0 0(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；(2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；(3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价．【解】(1)由所给茎叶图知，将50位市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是75,75，故样本的中位数为75，所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25,26位的是66,68，故样本中位数为66＋682＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.(2)由所给茎叶图知，50位市民对甲、乙部门的评分高于90的比率分别为550＝0.1，850＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于90的概率的估计值分别为0.1,0.16.(3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．22．(本小题满分12分)(2015·广东高考)某城市100户居民的月平均用电量(单位：度)，以[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图6.图6(1)求直方图中x的值；(2)求月平均用电量的众数和中位数；(3)在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？【解】(1)由(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1得x＝0.007 5，∴直方图中x的值为0.007 5.(2)月平均用电量的众数是220＋2402＝230.∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，∴月平均用电量的中位数在[220,240)内，设中位数为a，则(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＋0.012 5×(a－220)＝0.5，解得a＝224，即中位数为224.(3)月平均用电量在[220,240)的用户有0.012 5×20×100＝25(户)，同理可求月平均用电量为[240,260)，[260,280)，[280,300]的用户分别有15户、10户、5户，故抽取比例为1125＋15＋10＋5＝1 5，∴从月平均用电量在[220,240)的用户中应抽取25×15＝5(户)．章末综合测评(二)算法初步一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下面的叙述中，不是解决问题的算法的是()A．从北京到海南岛旅游，先坐火车，再坐飞机抵达B．按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100C．方程x2－4＝0有两个实根D．求1＋2＋3＋4＋5的值，先计算1＋2＝3，再计算3＋3＝6,6＋4＝10,10＋5＝15，最终结果为15【解析】算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，C只是描述了事实，没有解决问题的步骤．【答案】 C2．用二分法求方程x2－10＝0的近似根的算法中要用哪种算法结构()A．顺序结构B．选择结构C．循环结构D．以上都用【解析】由求方程x2－10＝0的近似根的算法设计知以上三种结构都用到．【答案】 D3．下列程序中的For语句终止循环时，S等于()S＝0For M＝1To10S＝S＋MNext输出S.A．1B．5C．10D．55【解析】S＝0＋1＋2＋3＋…＋10＝55.【答案】 D4．下列给出的赋值语句中正确的是()A．0＝M B．x＝－xC．B＝A＝－3 D．x＋y＝0【解析】赋值语句不能计算，不能出现两个或两个以上的“＝”且变量在“＝”左边．【答案】 B5．当A＝1时，下列程序输入A；A＝A*2A＝A*3A＝A*4A＝A*5输出A.输出的结果A是()A．5 B．6C．15 D．120【解析】运行A＝A*2得A＝1×2＝2.运行A＝A*3得A＝2×3＝6.运行A＝A*4得A＝6×4＝24.运行A＝A*5得A＝24×5＝120.即A＝120.故选D.【答案】 D6．(2014·福建高考)阅读如图1所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值为()图1A．1 B．2C．3 D．4【解析】当n＝1时，21＞12成立，执行循环，n＝2；当n＝2时，22＞22不成立，结束循环，输出n＝2，故选B.【答案】 B7．(2016·菏泽高一检测)执行如图2所示的算法框图，输出的S值为()图2A．2 B．4C．8 D．16【解析】运行如下：①k＝0，S＝1；②S＝1×20＝1，k＝1；③S＝1×21＝2，k＝2；④S ＝2×22＝8，k ＝3.此时输出S .【答案】 C8．(2015·福建高考)阅读如图3所示的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出y 的值为( )图3A ．2B ．7C ．8D ．128【解析】 由程序框图知，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，9－x ，x <2.∵输入x 的值为1，比2小，∴执行的程序要实现的功能为9－1＝8，故输出y 的值为8. 【答案】 C9．(2016·北京高考)执行如图4所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为( )图4A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 开始a ＝1，b ＝1，k ＝0；第一次循环a＝－1，k＝1；2第二次循环a＝－2，k＝2；第三次循环a＝1，条件判断为“是”，跳出循环，此时k＝2.【答案】 B10．阅读如图5所示的算法框图，若输出s的值为－7，则判断框内可填写()图5A．i≥3 B．i≥4C．i≥5 D．i≥6【解析】此算法框图运行如下：①i＝1，s＝2；②s＝1，i＝3；③s＝－2，i＝5；④s ＝－7，i＝7此时应结束循环．所以i＝5时不满足循环条件，i＝7时满足循环条件．【答案】 D11．当a＝16时，下面的算法输出的结果是()If a＜10 Theny＝2*aElsey＝a *aEnd If输出y.A.9B.32 C ．10D ．256【解析】 该程序是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a (a ＜10)，a 2(a ≥10)的函数值，所以当a ＝16时y ＝162＝256.【答案】 D12．阅读如图6所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m 的值为2，则输出的结果i ＝( )图6A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 m ＝2，A ＝1，B ＝1，i ＝0. 第一次：i ＝0＋1＝1，A ＝1×2＝2， B ＝1×1＝1，A >B ；第二次：i ＝1＋1＝2，A ＝2×2＝4， B ＝1×2＝2，A >B ；第三次：i ＝2＋1＝3，A ＝4×2＝8， B ＝2×3＝6，A >B ；第四次：i ＝3＋1＝4，A ＝8×2＝16， B ＝6×4＝24，A <B . 终止循环，输出i ＝4.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13．如图7是求12＋22＋32＋…＋1002的值的算法框图，则正整数n＝________.图7【解析】由题意知s＝12＋22＋32＋…＋1002，先计算s＝s＋i2，i再加1，故n＝100.【答案】10014．下面的程序运行后输出的结果是________．x＝1i＝1Dox＝x＋1i＝i＋1Loop While i＜＝5输出x.【解析】每循环一次时，x与i均增加1直到i＞5时为止，所以输出的结果为6.【答案】 615．如图8给出一个程序框图，其作用是输入x的值，输出相应的y的值，若要使输入的x的值与输出的y的值相等，则这样的x的值的集合为________．图8【解析】这个程序框图对应的函数为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤2，2x －3，2＜x ≤5，1x ，x ＞5.当x ≤2时，由x 2＝x ，得x ＝0或1； 当2＜x ≤5时，由2x －3＝x ，得x ＝3；当x ＞5时，由1x ＝x ，得x ＝±1(舍)，故x ＝0或1或3.【答案】 {0,1,3} 16．已知程序：【解析】 由程序知，当x ＞0时， 3x2＋3＝6.解得x ＝2； 当x ＜0时，－3x 2＋5＝6，解得x ＝－23， 显然x ＝0不成立． 【答案】 2或－23三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)下面给出了一个问题的算法： 1．输入x .2．若x ≥4，则y ＝2x －1；否则，y ＝x 2－2x ＋3.3．输出y .问题：(1)这个算法解决的问题是什么？ (2)当输入的x 值为多少时，输出的y 值最小？【解】 (1)这个算法解决的问题是求分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥4，x 2－2x ＋3，x ＜4的函数值．(2)当x ≥4时，y ＝2x －1≥7；当x ＜4时，y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，所以y min ＝2，此时x ＝1.即当输入的x 值为1时，输出的y 值最小．18．(本小题满分12分)将某科成绩分为3个等级：85分～100分为“A”；60分～84分为“B”；60分以下为“C”．试用条件语句表示某个成绩等级的程序(分数为整数)．【解】 程序：19．(本小题满分12分)已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ＜0，1，x ＝0，x 2＋1，x ＞0.画出算法框图并编写算法语句，输入自变量x 的值，输出相应的函数值． 【解】 算法框图如图所示：算法语句如下：输入x；If x＜0 Theny＝2*x＋1ElseIf x＝0 Theny＝1Elsey＝x2＋1End IfEnd If输出y.20．(本小题满分12分)给出30个数：1,2,4,7，…，其规律是：第1个数是1，第2个数比第1个数大1，第3个数比第2个数大2，第4个数比第3个数大3，依此类推．要计算这30个数的和，现已给出了解决该问题的算法框图(如图9所示)，图9(1)请在图中处理框内①处和判断框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能；(2)根据算法框图写出算法．【解】 (1)因为是求30个数的和．故循环体应执行30次，其中i 是计数变量，因此判断框内的条件就是限制计数变量i 的，故应为i ＞30.算法中的变量p 实质是表示参与求和的各个数，由于它也是变化的，且满足第i 个数比其前一个数大i －1，第i ＋1个数比其前一个数大i ，故应有p ＝p ＋i .故①处应填p ＝p ＋i ；②处应填i ＞30.(2)根据框图．写出算法如下： i ＝1 p ＝1 S ＝0 Do S ＝S ＋p p ＝p ＋i i ＝i ＋1Loop While i ＜＝30 输出S .21．(本小题满分12分)如图10所示，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，沿着折线BCDA 由点B (起点)向点A (终点)运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式．并写出算法，画出算法框图，写出程序．图10【解】 函数关系如下 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (0≤x ≤4)，8(4＜x ≤8)，2(12－x )(8＜x ≤12).算法如下： 1．输入x .2．如果0≤x ≤4，则使y ＝2x ；否则执行3. 3．如果4＜x ≤8，则使y ＝8；否则执行4.4．如果8＜x≤12，则使y＝2(12－x)；否则结束．5．输出y.算法框图如图所示：算法语句：输入x；If x＞＝0And x＜＝4Theny＝2*xElseIf x＜＝8Theny＝8ElseIf x＜＝12Theny＝2*(12－x)End IfEnd IfEnd If输出y.22．(本小题满分12分)设计一个算法，求满足1×2＋2×3＋…＋n×(n＋1)<1 000的最大整数n，画出框图，并用循环语句描述．【解】算法框图如下所示：用语句描述为：n＝0S＝0Don＝n＋1S＝S＋n*(n＋1)Loop While S<1 000输出n－1.章末综合测评(三)概率(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件：①如果a，b是实数，那么b＋a＝a＋b；②某地1月1日刮西北风；③当x是实数时，x2≥0；④一个电影院某天的上座率超过50%，其中是随机事件的有() A．1个B．2个C．3个D．4个【解析】由题意可知①③是必然事件，②④是随机事件．【答案】 B2．(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n个数x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n，构成n 个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为()A.4nm B.2nmC.4mn D.2mn【解析】分别确定n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)和m 个两数的平方和小于1的数对所在的平面区域，再用随机模拟的方法和几何概型求出圆周率π的近似值．因为x1，x2，…，x n，y1，y2，…，y n都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n个数对(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)都在正方形OABC内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得S扇形S正方形＝mn，即π4＝mn，所以π＝4mn.【答案】 C3．从含有3个元素的集合中任取一个子集，所取的子集是含有两个元素的集合的概率是()A.310 B.112C.4564 D.38【解析】所有子集共8个，其中含有2个元素的为{a，b}，{a，c}，{b，c}，所以概率为38.【答案】 D4．(2016·山东青岛一模)如图1所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角θ＝π6.现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是()图1A.2－32B.2＋32 C.1＋32D.1－32【解析】 易知小正方形的边长为3－1，故小正方形的面积为S 1＝(3－1)2＝4－23，大正方形的面积为S ＝2×2＝4，故飞镖落在小正方形内的概率P ＝S 1S ＝4－234＝2－32.【答案】 A5．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4.从这4张卡片中随机抽取2张，则抽取的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )A.13B.12C.23D.34【解析】 基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)共6个，其中两数字之和为奇数的有(1,2)，(2,3)，(1,4)，(3,4)，所以概率为23.【答案】 C6．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积不小于S3的概率是( ) A.23 B.13 C.34D.14【解析】 如图，设点M 为AB 的三等分点，要使△PBC 的面积不小于S3，则点P 只能在AM 上选取，由几何概型的概率公式得所求概率|AM ||AB |＝23|AB ||AB |＝23.【答案】 A7．(2016·东北八校二模)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b ，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，就称甲、乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( )A.19 B.29 C.718D.49【解析】 任意找两人玩这个游戏，共有6×6＝36种猜数字结果，其中满足|a －b |≤1的有如下情形：①a ＝1，b ＝1,2；②a ＝2，b ＝1,2,3；③a ＝3，b ＝2,3,4；④a ＝4，b ＝3,4,5；⑤a ＝5，b ＝4,5,6；⑥a ＝6，b ＝5,6，总共16种，故他们“心有灵犀”的概率为P ＝1636＝49.【答案】 D8．ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A.π4 B ．1－π4 C.π8D ．1－π8【解析】 长方形面积为2，以O 为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为π2，因此取到的点到O 的距离小于1的概率为π2，取到的点到O 的距离大于1的概率为2－π22＝1－π4.【答案】 B9．设a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x 2＋ax ＋2＝0有两个不相等的实数根的概率为( )A.23B.13C.12D.512【解析】 若方程有实根，则a 2－8>0.a 的所有取值情况共6种，满足a 2－8>0的有4种情况，故P ＝46＝23.【答案】 A10．(2016·石家庄高一检测)有分别写着数字1到120的120张卡片，从中取出1张，这张卡片上的数字是2的倍数或是3的倍数的概率是( )A.12B.34C.47D.23【解析】 是2的倍数的数有60个，是3的倍数的数有40个，是6的倍数的数有20个，∴P ＝60＋40－20120＝23.【答案】 D11．(2015·湖北高考)在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≤12”的概率，p 2为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<12 B ．p 2<12<p 1 C.12<p 2<p 1D ．p 1<12<p 2【解析】 如图，满足条件的x ，y 构成的点(x ，y )在正方形OBCA 内，其面积为1.事件“x ＋y ≤12”对应的图形为阴影△ODE ，其面积为12×12×12＝18，故p 1＝18<12，事件“xy ≤12”对应的图形为斜线表示部分，其面积显然大于12，故p 2>12，则p 1<12<p 2，故选D.【答案】 D12．如图2所示，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝7.现在向该矩形内随机投一点P ，则∠APB ＞90°的概率为( )图2A.536B.556πC.18πD.18【解析】 由于是向该矩形内随机投一点P ，点P 落在矩形内的机会是均等的，故可以认为矩形ABCD 为区域Ω.要使得∠APB ＞90°，需满足点P 落在以线段AB 为直径的半圆内，以线段AB 为直径的半圆可看作区域A .记“点P 落在以线段AB 为直径的半圆内”为事件A ，于是求∠APB ＞90°的概率转化为求以线段AB 为直径的半圆的面积与矩形ABCD 的面积的比，依题意，得μA ＝12π×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝25π8，矩形ABCD 的面积μΩ＝35，故所求的概率为P (A )＝25π835＝5π56.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．某产品分一、二、三级，其中一、二级是正品，若生产中出现正品的概率是0.98，二级品的概率是0.21，则出现一级品与三级品的概率分别是________，________.【解析】 由题意知出现一级品的概率是0.98－0.21＝0.77，又由对立事件的概率公式可得出现三级品的概率是1－0.98＝0.02.【答案】 0.77 0.0214．如图3的矩形，长为5 m ，宽为2 m ，在矩形内随机地撒300粒黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138粒，则我们可以估计出阴影部分的面积为________m 2.图3【解析】 由题意得138300＝S 阴5×2，S 阴＝235.【答案】 23515．在箱子中装有十张卡片，分别写有1到10的十个整数；从箱子中任取一张卡片，记下它的读数x ，然后再放回箱子中；第二次再从箱子中任取一张卡片，记下它的读数y ，则x ＋y 是10的倍数的概率为________.【解析】 先后两次取卡片，形成的有序数对有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(1,10)，…，(10,10)，共计100个．因为x ＋y 是10的倍数，这些数对应该是(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)，(5,5)，(6,4)，(7,3)，(8,2)，(9,1)，(10,10)共10个，故x ＋y 是10的倍数的概率为P ＝10100＝110.【答案】 11016．(2015·重庆高考)在区间[0,5]上随机地选择一个数p ，则方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根的概率为________．【解析】 ∵方程x 2＋2px ＋3p －2＝0有两个负根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4p 2－4(3p －2)≥0，x 1＋x 2＝－2p <0，x 1x 2＝3p －2>0，解得23<p ≤1或p ≥2.故所求概率P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋(5－2)5－0＝23.【答案】23三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别，公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料，若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为合格．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率； (2)求此人被评为良好及以上的概率．【解】 将5杯饮料编号为1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A 饮料，编号4,5表示B 饮料，则从5种饮料中选出3杯的所有可能情况为(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，共有10种，令D 表示此人被评为优秀的事件，E 表示此人被评为良好的事件，F 表示此人被评为良好及以上的事件，则(1)P (D )＝110.(2)P (E )＝35，P (F )＝P (D )＋P (E )＝710.18．(本小题满分12分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为x ，第二次出现的点数为y .(1)求事件“x ＋y ≤3”的概率； (2)求事件“|x －y |＝2”的概率．【解】 设(x ，y )表示一个基本事件，则掷两次骰子包括(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,5)，(6,6)，共36个基本事件．(1)用A 表示事件“x ＋y ≤3”，则A 的结果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3个基本事件． ∴P (A )＝336＝112.即事件“x ＋y ≤3”的概率为112. (2)用B 表示事件“|x －y |＝2”，则B 的结果有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(4,6)，(6,4)，(5,3)，(4,2)，(3,1)共8个基本事件． ∴P (B )＝836＝29.即事件“|x －y |＝2”的概率为29.19．(本小题满分12分)在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1,2,3,4,5的五个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等．(1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率；(2)求取出的两个球上标号之和与标号之积都不小于5的概率．【解】 设从甲、乙两个盒子中各取出1个球，编号分别为x ，y ，用(x ，y )表示抽取的结果，结果有以下25种：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)．(1)取出的两个球上标号为相邻整数的结果有以下8种：(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，故所求概率为P ＝825，即取出的两个球上标号为相邻整数的概率为825.(2)标号之和与标号之积都不小于5的结果有以下17种：(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，故所求概率为P ＝1725，故取出的两个球上标号之和与标号之积都不小于5的概率是1725.20. (本小题满分12分)把一颗骰子抛掷两次，第一次出现的点数记为a ，第二次出现的点数记为b .试就方程组⎩⎨⎧ ax ＋by ＝3，x ＋2y ＝2解答下列各题： (1)求方程组只有一组解的概率；(2)求方程组只有正数解(x 与y 都为正)的概率．【解】 (1)当且仅当a b ≠12时，方程组只有一组解；a b ＝12的情况有三种：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝6.而抛掷两次的所有情况有6×6＝36(种)，所以方程组只有一组解的概率为P ＝1－336＝1112.(2)因为方程组只有正数解，所以两直线的交点一定在第一象限，解方程组得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6－2b 2a －b ，y ＝2a －32a －b .当⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b ＞0，6－2b ＞0，2a －3＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b ＜0，6－2b ＜0，2a －3＜0，且a ＞0，b ＞0，。
新素养同步人教B高中数学必修第三册练习：第七章 章末综合检测七 含解析
章末综合检测(七)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若α的终边过点(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α的值为( ) A.12 B ．－12C ．－32D ．－33解析：选C.2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－3， 所以x ＝1，y ＝－3，r ＝x 2＋y 2＝2，所以sin α＝y r ＝－32.故选C.2．已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A ．－15B ．－35C.15D.35解析：选B.因为sin α＝55，所以sin 2α＝15，cos 2 α＝1－sin 2 α＝45，所以sin 4 α－cos 4 α＝(sin 2α＋cos 2α)(sin 2α－cos 2α)＝15－45＝－35.故选B.3．已知函数y ＝f (x )＝2sin 2x ，则函数的图像的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π B ．x ＝－π C ．x ＝π2D ．x ＝－π4解析：选D.由2x ＝π2＋k π(k ∈Z )可得，x ＝π4＋k π2(k ∈Z )，当k ＝－1时，x ＝－π4.故选D.4．已知函数y ＝2cos x 的定义域为[π3，4π3]，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( )A ．2B ．3 C.3＋2D ．2 3解析：选B.根据函数y ＝2cos x 的定义域为[π3，4π3]，故它的值域为[－2，1]，再根据它的值域为[a ，b ]，可得b －a ＝1－(－2)＝3.故选B.5．对于函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫132π－x ，下面说法中正确的是( ) A ．函数是最小正周期为π的奇函数 B ．函数是最小正周期为π的偶函数 C ．函数是最小正周期为2π的奇函数 D ．函数是最小正周期为2π的偶函数 解析：选D.y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13π2－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤6π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ．所以T ＝2π且为偶函数．6．已知f (sin x )＝x ，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f ⎝⎛⎭⎫12的值等于( ) A ．sin 12B.12 C ．－π6D.π6解析：选D.因为f (sin x )＝x ，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以求f ⎝⎛⎭⎫12，即解sin x ＝12，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以x ＝π6，故选D.7．已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝13，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan α等于( )A ．－2 2B ．2 2C ．－24D.24解析：选A.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝13.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以sin α＝－1－cos 2 α＝－223，所以tan α＝sin αcos α＝－2 2. 8．将函数y ＝sin x 的图像上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20解析：选C.由题意可得，y ＝sin x ――→向右平移π10个单位y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π10――→横坐标伸长2倍y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10. 9．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图像关于直线x ＝π3对称；(3)在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增”的一个函数是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6解析：选C.由(1)知T ＝π＝2πω，ω＝2，排除A.由(2)(3)知x ＝π3时，f (x )取最大值，验证知只有C 符合要求．10．已知α∈(0，π2)，且4tan(2π＋α)＋3sin(6π＋β)－10＝0，－2tan(－α)－12sin(－β)＋2＝0，则tan α的值为( )A ．－3B ．3C ．±3D ．不确定解析：选B.将条件化为⎩⎪⎨⎪⎧4tan α＋3sin β－10＝0，①2tan α＋12sin β＋2＝0.②由①×4－②得14tan α－42＝0， 所以tan α＝3.故选B.11．如图为函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(M >0，ω>0，π2≤φ≤π)的部分图像，若点A ，B分别为函数f (x )的最高点与最低点，且|AB |＝5，那么f (－1)＝( )A ．2 B. 3 C ．－ 3D ．－2解析：选A.由题图，可知M ＝2，f (0)＝1， 即2sin φ＝1，解得sin φ＝12，又因为π2≤φ≤π，所以φ＝5π6.又A ，B 两点是函数图像上的最高点和最低点，设A (x 1，2)，B (x 2，－2)， 由题意知|AB |＝5，即（x 2－x 1）2＋（－2－2）2＝5，解得|x 2－x 1|＝3.由题图，可知A ，B 两点横坐标之差的绝对值为最小正周期的一半，即|x 2－x 1|＝T2，而T＝2πω，故πω＝3，解得ω＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋5π6，故f (－1)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋5π6＝2sin π2＝2，故选A.12．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R )，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数 解析：选A.由函数的周期可得ω＝13，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋φ，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2sin ⎝⎛⎭⎫16π＋φ＝2，解得16π＋φ＝2k π＋π2⇒φ＝2k π＋π3(k ∈Z )，又－π＜φ≤π，故φ＝π3，因此f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋π3.即当x ∈[－2π，0]，13x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3，函数在区间[－2π，0]上为增函数，故选A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．函数y ＝25－x 2＋log 3sin(π－x )的定义域为________. 解析：因为y ＝25－x 2＋log 3sin(π－x )＝25－x 2＋log 3sin x ，所以要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧25－x 2≥0，sin x >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤5，2k π<x <2k π＋π（k ∈Z ）.所以－5≤x <－π或0<x <π.答案：[－5，－π)∪(0，π)14．将cos 0，cos 12，cos 1，cos 30°按从小到大的顺序排列为________．解析：因为0＜12＜π6＜1，cos x 在(0，π)上是减函数．所以cos 0＞cos 12＞cos 30°＞cos 1.答案：cos 1＜cos 30°＜cos 12＜cos 015．已知tan θ＝2，则4sin θ－2cos θ5cos θ＋3sin θ＝________．解析：原式＝4tan θ－25＋3tan θ＝611.答案：61116．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ∈[0，2π)的部分图像如图所示，则f (2 016)＝________．解析：由题图可知，T4＝2，所以T ＝8，所以ω＝π4.由点(1，1)在函数图像上，可得f (1)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，故π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， 所以φ＝2k π＋π4(k ∈Z )，又φ∈[0，2π)，所以φ＝π4.故f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4，所以f (2 016)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 016π4＋π4 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫504π＋π4＝sin π4＝22.答案：22三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知α是第三象限角，且f (α)＝sin （－α－π）cos （5π－α）tan （2π－α）cos ⎝⎛⎭⎫π2－αtan （－π－α）.(1)化简f (α)；(2)若tan(π－α)＝－2，求f (α)的值．解：(1)f (α)＝sin α·（－cos α）·（－tan α）sin α·（－tan α）＝－cos α.(2)由已知得tan α＝2，sin αcos α＝2，sin α＝2cos α，sin 2α＝4cos 2α，1－cos 2α＝4cos 2α，cos 2α＝15.因为α是第三象限角， 所以cos α<0， 所以cos α＝－55，所以f (α)＝－cos α＝55. 18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫π3－2x . (1)若f (x )＝1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π4，求x 的值；(2)求f (x )的单调递增区间．解：(1)根据题意知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝12，所以π3－2x ＝2k π±π3(k ∈Z )．又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4，所以x ＝0.(2)易知2k π≤π3－2x ≤2k π＋π(k ∈Z )，解得－k π－π3≤x ≤－k π＋π6(k ∈Z )，即k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，从而f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．19．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图像的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π8，0.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调递增区间．解：(1)因为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数y ＝f (x )的图像的对称中心，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π8＋φ＝0，所以π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－π4(k ∈Z )．因为－π<φ<0， 所以φ＝－π4.(2)由(1)知φ＝－π4，因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，由题意得，2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，所以函数y ＝sin(2x －π4)的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z )．20．(本小题满分12分)已知x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3.(1)求函数y ＝cos x 的值域；(2)求函数y ＝－3sin 2x －4cos x ＋4的值域．解：(1)因为y ＝cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0上为增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上为减函数，所以当x ＝0时，y 取最大值1；x ＝2π3时，y 取最小值－12.所以y ＝cos x 的值域为⎣⎡⎦⎤－12，1. (2)原函数化为y ＝3cos 2x －4cos x ＋1， 即y ＝3⎝⎛⎭⎫cos x －232－13， 由(1)知，cos x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故y 的值域为⎣⎡⎦⎤－13，154. 21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2，x ∈R 的部分图像如图所示．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2时，求f (x )的取值范围．解：(1)由图像知，A ＝2， 又T 4＝5π6－π3＝π2，ω>0， 所以T ＝2π＝2πω，得ω＝1.所以f (x )＝2sin(x ＋φ)，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2代入，得π3＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )， 即φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－32，1，即f (x )∈[－3，2]．22．(本小题满分12分)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2，在同一个周期内，当x ＝π4时，y 取最大值1，当x ＝7π12时，y 取最小值－1.(1)求函数的解析式y ＝f (x )，并说明函数y ＝sin x 的图像经过怎样的变换可得到y ＝f (x )的图像？(2)若函数f (x )满足方程f (x )＝a (0＜a ＜1)，求此方程在[0，2π]内的所有实数根之和． 解：(1)因为T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π4＝2π3，所以ω＝2πT ＝3.又sin ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝1，所以3π4＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .又|φ|＜π2，所以φ＝－π4，所以y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4.y ＝sin x 的图像向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图像，再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图像上的所有点的横坐标缩短为原来的13倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4的图像．(2)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4的最小正周期为2π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －π4在[0，2π]内恰有3个周期，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －π4＝a (0＜a ＜1)在[0，2π]内有6个实数根，从小到大设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，则x 1＋x 2＝π4×2＝π2，x 3＋x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2π3×2＝11π6， x 5＋x 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2π3×2×2＝19π6， 故所有实数根之和为π2＋11π6＋19π6＝11π2.。
高中数学必修3第一章(统计)测试题(北师大版).doc
高中数学必修3第一章(统计)检测题班级姓名得分一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人．为了调查他们的身体状况，需从他们中抽取一个容量为36的样本，最适合抽取样本的方法是( )．A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．先从老年人中剔除一人，然后分层抽样2．10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12．设其平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )．A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．c>b>a3．下列说法错误的是( )．A．在统计里，把所需考察对象的全体叫作总体B．一组数据的平均数一定大于这组数据中的每个数据C．平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势D．一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大4．下列说法中，正确的是( )．A．数据5，4，4，3，5，2的众数是4B．一组数据的标准差是这组数据的方差的平方C．数据2，3，4，5的标准差是数据4，6，8，10的标准差的一半D．频率分布直方图中各小长方形的面积等于相应各组的频数5．从甲、乙两班分别任意抽出10名学生进行英语口语测验，其测验成绩的方差分别为S12= 13.2，S22=26．26，则( )．A．甲班10名学生的成绩比乙班10名学生的成绩整齐B．乙班10名学生的成绩比甲班10名学生的成绩整齐C．甲、乙两班10名学生的成绩一样整齐D．不能比较甲、乙两班10名学生成绩的整齐程度6．下列说法正确的是( )．A．根据样本估计总体，其误差与所选择的样本容量无关B．方差和标准差具有相同的单位C．从总体中可以抽取不同的几个样本D．如果容量相同的两个样本的方差满足S12<S22，那么推得总体也满足S12<S22是错的7．右图是根据《湖南统计年整2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为（）29 1 1 5 8 （A）304．6（B）303．63 0 2 63 1 0 24 7 (C)302．6 (D)301．68．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点,公司为了调查产品销售的情况,需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本,记这项调查为(1)；在丙地区中有20个特大型销售点,要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况,记这项调查为(2)。
汕头市潮阳林百欣中学新课标必修3测试题
１新课标高中数学必修3测试题组题：汕头市潮阳林百欣中学 许吟裕（2006-4-9）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 从装有红球、黑球和白球的口袋中摸出１只球．若摸出的球是红球的概率是0.4，摸出的球是黑球的概率是0.25，那么摸出的球是白球的概率是（ ）Ａ．0.35 Ｂ．0.65 Ｃ．0.1 Ｄ．不能确定2. 掷一颗骰子，出现偶数点或出现不小于４的点数的概率是（ ） Ａ．23 Ｂ．34 Ｃ．56 Ｄ．453. 利用秦九韶算法，对求当23x =时，多项式3273511x x x +-+的算法 ①1S ：23x =2S ：3273511x x x +-+3S ：输出y②1S ：23x =2S ：((73)5)11y x x x =*+*-*+3S ：输出y③算６次乘法３次加法④算３次乘法３次加法 以上正确描述为（ ）Ａ．①③ Ｂ．②③、 Ｃ．②④ Ｄ．①④２4. 从总数为N 的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的概率为0.25，则N =（ ） Ａ．150 Ｂ．200 Ｃ．120 Ｄ．1005. 某市为了了解职工家庭生活状况，先把职工按所在行业分为B 类，然后每个行业抽1100的职工家庭进行调查，这种抽样是（ ） Ａ．简单随机抽样 Ｂ．系统抽样 Ｃ．分层抽样 Ｄ．不属于以上抽样6. 一个三位数字的密码锁，每位上的数字都在０到９这十个数字中任选，某人忘记了密码最后一个号码，那么此人开锁时，在对好前两位数码后，随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为（ ） Ａ．3110 Ｂ．2110 Ｃ．110Ｄ．11000 7. x 是1x ，2x ，…，100x 的平均数，a 是1x ，2x ，…，40x 的平均数，b 是41x ，42x ，…，100x 的平均数，则下列各式正确的是（ ）Ａ．4060100a b x += Ｂ．6040100a b x +=Ｃ．x a b =+ Ｄ．2a b x +=8.上图输出的是（ ）Ａ．2005 B ．65 Ｃ．64 Ｄ．639. 算法 1S ：输入n2S ：判断n 是否是２ 若2n =，则n 满足条件 若2n >，则执行3S3S ：依次从２到1n -检验能不能整除n ．若不能整除n 满足条件， 上述的满足条件是什么（ ）Ａ．质数 Ｂ．奇数 Ｃ．偶数 Ｄ．约数10. 盒子中有10只螺丝钉，其中有３只是坏的，现从盒中随机地抽取４个，那么310等于（）Ａ．恰有１只是坏的概率Ｂ．恰有２只是好的概率Ｃ．４只全是好的概率Ｄ．至多２只是坏的概率二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．11. 某厂的产品次品率为2%，该厂8000件产品中次品约为件．12. （１）在已分组的若干数据中，每组的频数是指，每组的频率是指．（２）一个公司共有N名员工，下设一些部门，要采用等比例分层抽样的方法从全体员工中抽取样本容量为n的样本，已知某部门有m名员工，那么从该部门抽取的员工人数是．13. 在1，2，3，4共４个数字中，可重复选取两个数，其中一个数是另一个数的２倍的概率是．14. 两次抛掷骰子，若出现的点子相同的概率是a，出现的点子之和为５的概率是b，那么a与b的大小关系是．三、解答题：本大题共6小题，共50分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．15.(本小题8分) 在一个盒中装有15枝圆珠笔，其中７枝一等品，５枝二等品和３枝三等品，从中任取３枝，问下列事件的概率有多大？（１）恰有一枝一等品；（２）恰有两枝一等品；（３）没有三等品．３４16.(本小题8分) 一支田径队有男运动员56人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本．17.(本小题8分) 用i N 代表第i 个学生学号，用i G 代表成绩，打印出每个班及格学生的学号和成绩，画出程序框图．18.(本小题8分) 某城市的电话号码是８位数，如果从电话号码本中任指一个电话号码，求： （１） 头两位数码都是８的概率； （２） 头两位数码都不超过８的概率； （３） 头两位数码不相同的概率．19.(本小题8分) 掷一枚均匀的硬币10次，求出现正面的次数多于反面次数的概率．20.(本小题10分) 假设每个人在任何一个月出生是等可能的，利用随机模拟的方法，估计在一个有10个人的集体中至少有两个人的生日在同一个月的概率？５６参考答案一、选择题： 1. Ａ．2. Ａ．3. Ｃ．4. Ｃ．5. Ｃ．6. Ｃ．7. Ａ．8. Ｄ．9. Ａ．10. Ｄ．二、填空题： 11. 160 12. （1）该组中的数据个数，该组的频数除以全体数据总数；（2）nm N ． 13. 1414. a b > 三、解答题： 15.(本小题8分) （１）2865；（２）2465；（３）4491． 16.(本小题8分) 田径队运动员的总人数是56＋42＝98（人）， 要得到28人的样本，占总体的比例为27．于是，应该在男 运动员中随机抽取256167⨯=（人），在运动员中随机抽取 28－16＝12（人）．这样我们就可以得到一个容量为28的样本． 17.(本小题8分)18.(本小题8分) 每一位可以是09 这10个数字中的一个，所以（１）1100；（２）81100；（３）109110010-=．19.(本小题8分) 第一步，先计算出现正面次数与反面次数相等的概率510102526321024256c ==． 第二步，利用对称性，即出现正面的次数多于反面次数的概率与出现 反面的次数多于正面次数的概率是相等的，所以出现正面的次数多于７反面次数的概率为6319312256512⎛⎫-÷= ⎪⎝⎭． 20.(本小题10分) 具体步骤如下：① 建立概率模型．首先要模拟每个人的出生月份，可用1，2， ，11，12表示月份，用产生取整数值的随机数的办法，随机产生112 之间的随机数．由于模拟的对象是一个有10个人的集体，故把连续产生的10个随机数作为一组模拟结果，可模拟产生100组这样的结果．② 进行模拟试验．可用计算器或计算机进行模拟试验．如使用Ｅxcel 软件， 可参看教科书125页的步骤，下图是模拟的结果：，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ，Ｉ，Ｊ的每一行表示对一个10人集体的模拟结果．这样的试验一共做了100次，所以共有100行，表示随机抽取了100个集体．③ 统计试验的结果．Ｋ，Ｌ，Ｍ，Ｎ列表示统计结果．例如，第一行前十列中至少有两个数相同，表示这个集体中至少有两个人的生日在同一个月．本题的难点是统计每一行前十列中至少有两个数相同的个数．由于需要判断的条件太多，所以用Ｋ，Ｌ，Ｍ三列分三次完成统计．其中Ｋ列的公式为“＝IF(OR(A1=B1，A1=C1，A1=D1，A1=E1，A1=F1，A1=G1，A1=H1，A1=I1，A1=J1，B1=C1，B1=D1，B1=E1，B1=F1，B1=G1，B1=H1，B1=I1，B1=J1，C1=D1，C1=E1，C1=F1，C1=G1，C1=H1，C1=I1，C1=J1，D1=E1，D1=F1，D1=G1，D1=H1，D1=I1，D1=J1)，1，0”，Ｌ列公式为“＝IF(OR(E1=F1，E1=G1，E1=H1，E1=I1，E1=J1，F1=G1，F1=H1，F1=I1，F1=J1，G1=H1，Ｇ1=I1，G1=J1，H1=I1，H1=J1，I1=J1)，1，0)”，Ｍ列的公式为“=IF(OR(K1=1，L1=1)，1，0)”．Ｍ列的值为１表示该行所代表的10人集体中至少有两个人的生日在同一个月，Ｎ１表示100个10人集体中至少有两个人的生日在同一个月的个数，其公式为“＝SUM(M$1：Ｍ$100)”．100所得的结果0.98，就是用模拟方法计算10人集体中至少有两个人的生日在同一个月的概率的估计值．可以看出，这个估计值很接近１．８。
2021年高中数学 第二章 统计综合测试题(含解析)新人教B版必修3
2021年高中数学 第二章 统计综合测试题（含解析）新人教B 版必修3一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列哪种工作不能使用抽样方法进行( ) A ．测定一批炮弹的射程B ．测定海洋某一水域的某种微生物的含量C ．高考结束后，国家高考命题中心计算数学试卷中每个题目的难度D ．检测某学校全体高三学生的身高和体重的情况 [答案] D[解析] 抽样是为了用总体中的部分个体(即样本)来估计总体的情况，选项A 、B 、C 都是从总体中抽取部分个体进行检验，选项D 是检测全体学生的身体状况，所以，要对全体学生的身体都进行检验，而不能采取抽样的方法．故选D.2．高一·一班李明同学进行一项研究，他想得到全班同学的臂长数据，他应选择的最恰当的数据收集方法是( )A ．做试验B ．查阅资料C ．设计调查问卷D ．一一询问[答案] A[解析] 全班人数不是很多，所以做试验最恰当．3．设有一个回归方程为y ^＝2－2.5x ，变量x 增加一个单位时，变量y ( ) A ．平均增加1.5个单位 B ．平均增加2个单位 C ．平均减少2.5个单位D ．平均减少2个单位 [答案] C[解析] 因为随变量x 增大，y 减小，x 、y 是负相关的，且b ^＝－2.5，故选C. 4．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n 且支出在[20,60)元的样本，其频率分布直方图如图所示，根据此图估计学生在课外读物方面的支出费用的中位数为( )元( )A ．45B ．3909C.4009D ．46[答案] C [解析] 40＋10×0.160.36＝4009. 5．一个单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤服务人员24人．为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，按下述三种方法抽取：①将160人从1至160编上号，然后用白纸做成1～160号的签160个放入箱内拌匀，然后从中抽取20个签，与签号相同的20个人被选出；②将160人从1至160编上号，按编号顺序分成20组，每组8人，即1～8号，9～16号，…，153～160号．先从第1组中用抽签方法抽出k 号(1≤k ≤8)，其余组的(k ＋8n )号(n ＝1、2、…、19)亦被抽出，如此抽取20人；③按20160＝18的比例，从业务人员中抽取12人，从管理人员中抽取5人，从后勤人员中抽取3人，都用随机数表法从各类人员中抽取所需的人数，他们合在一起恰好抽到20人．上述三种抽样方法，按简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的顺序是( ) A ．①、②、③ B ．②、①、③ C ．①、③、② D ．③、①、②[答案] C[解析] ①是简单随机抽样；②是系统抽样；③是分层抽样，故选C.6．样本中共有五个个体，其值分别为a 、0、1、2、3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )A.65 B ．65C. 2 D ．2[答案] D [解析] ∵a ＋0＋1＋2＋35＝1，∴a ＝－1，故S 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.7．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是( )8 9 79 3 1 6 4 0 2A ．91.5和91.5 C ．91和91.5 D ．92和92[答案] A[解析] 将这组数据从小到大排列，得87、89、90、91、92、93、94、96. 故平均数x －＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91．5，中位数为91＋922＝91.5，故选A.8．对变量x 、y 有观测数据理据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u 、v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断( )A ．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B ．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 [答案] C[解析] 本题主要考查了变量的相关知识，考查学生分析问题和解决问题的能力．由散点图可以判断变量x与y负相关，u与v正相关．9.已知样本容量为30，在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为2431，则第2组的频率和频数分别是( )A．0.4,12 B．0.6,16C．0.4,16 D．0.6,12[答案] A[解析]因为各小长方形的高的比从左到右依次为2431，所以第2组的频率为0.4，频数为30×0.4＝12.10．根据一位母亲记录儿子3～9岁的身高数据，建立儿子身高y(单位：cm)对年龄x(单位：岁)的回归直线方程y＝73.93＋7.19x，用此方程预测儿子10岁时的身高，有关叙述正确的是( )A．身高一定为145.83 cmB．身高大于145.83 cmC．身高小于145.83 cmD．身高在145.83 cm左右[答案] D[解析]用回归直线方程预测的不是准确值，而是估计值．当x＝10时，y＝145.83，只能说身高在145.83 cm左右．11．设矩形的长为a，宽为b，其比满足b a＝5－12≈0.618，这种矩形给人以美感，称为黄金矩形．黄金矩形常应用于工艺品设计中，下面是某工艺品厂随机抽取两个批次的初加工矩形宽度与长度的比值样本：甲批次：0.598 0.625 0.628 0.595 0.639乙批次：0.618 0.613 0.592 0.622 0.620根据上述两个样本来估计两个批次的总体平均数，与标准值0.618比较，正确结论是( )A．甲批次的总体平均数与标准值更接近B．乙批次的总体平均数与标准值更接近C．两个批次总体平均数与标准值接近程度相同D．两个批次总体平均数与标准值接近程度不能确定[答案] A[解析]本小题主要考查学生的知识迁移能力和统计的有关知识．x －甲＝0.598＋0.625＋0.628＋0.595＋0.6395＝0.617，x －乙＝0.618＋0.613＋0.592＋0.622＋0.6205＝0.613，故选A.12．某示范农场的鱼塘放养鱼苗8万条，根所这几年的经验知道，鱼苗的成活率为95%，一段时间后准备打捞出售，第一网捞出40条，称得平均每条鱼2.5 kg ，第二网捞出25条，称得平均每条鱼2.2 kg ，第三网捞出35条，称得平均每条鱼2.8 kg ，试估计鱼塘中鱼的总质量约为( )A ．192 280 kgB ．202 280 kgC ．182 280 kgD ．172 280 kg[答案] A[解析] 平均每条鱼的质量为x －＝40×2.5＋25×2.2＋35×2.840＋25＋35＝2.53(kg)，所以估计这时鱼塘中鱼的总质量约为80 000×95%×2.53＝192 280(kg)．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在题中的横线上．) 13．一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________．[答案] 12 [解析] ∵2898＝27，即每7人抽取2人，又知女运动员人数为98－56＝42， ∴应抽取女运动员人数为42×27＝12(人)．分层抽样中抓住“抽样比”是解决问题的关键．14．甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数．则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________．[答案] 24 23[解析] x －甲＝110(10×2＋20×5＋30×3＋17＋6＋7)＝24，x －乙＝110(10×3＋20×4＋30×3＋17＋11＋2)＝23.15．(xx·山东临沂高一期末测试)为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[45,55)、[55,65)、[65,75)、[75,85)、[85,95)，由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是________．[答案]13[解析]由频率分布直方图知[55,75)之间的频率为(0.040＋0.025)×10＝0.65，故[55,75)之间的人数为0.65×20＝13.16．某校甲、乙两个班级各有5名编号为1、2、3、4、5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：学生1号2号3号4号5号甲组67787乙组67679则以上两组数据的方差中较小的一个为s2＝______.[答案]2 5[解析]x甲＝6＋7＋7＋8＋75＝7，x乙＝6＋7＋6＋7＋95＝7.∴s2甲＝6－72＋7－72＋7－72＋8－72＋7－725＝25，s2乙＝7－62＋7－72＋7－62＋7－72＋7－925＝65，则两组数据的方差中较小的一个为s2甲＝25 .三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？(1)某班有40名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛；(2)一儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩，玩后放回，再拿一件，连续玩了5件；(3)从200个灯泡中逐个抽取20个进行质量检查． [解析] (1)不是简单随机抽样，因为这不是等可能抽样． (2)不是简单随机抽样，因为它是有放回的抽样．(3)是简单随机抽样，因为它满足简单随机抽样的几个特点．18．(本题满分12分)已知某班4个小组的人数分别为10、10、x 、8，这组数据的中位数与平均数相等，求这组数据的中位数．[解析] 该组数据的平均数为14(28＋x )，中位数一定是其中两个数的平均数，因为x不知是多少，所以要分几种情况讨论．(1)当x ≤8时，原数据按从小到大的顺序为x,8,10,10，其中位数为12(10＋8)＝9.若14(x＋28)＝9，则x ＝8，此时中位数为9.(2)当8<x ≤10时，原数据按从小到大顺序排列为8，x,10,10，其中位数为12(x ＋10)，若14(x ＋28)＝12(x ＋10)，则x ＝8，而8不在8<x ≤10的范围内， ∴舍去．(3)当x >10时，原数据为8,10,10，x ， 其中位数为12(10＋10)＝10.若14(x ＋28)＝10，则x ＝12，∴此时中位数为10. 综上所述，这组数据的中位数为9或10.19．(本题满分12分)一箱方便面共有50包，从中用随机抽样方法抽取了10包称量其重量(单位：g)结果为：60.5 61 60 60 61.5 59.5 59.5 58 60 60(1)指出总体、个体、样本、样本容量； (2)指出样本数据的众数、中位数、平均数； (3)求样本数据的方差．[解析] (1)总体是这50包方便面所有的包重，个体是这一箱方便面中每一包的包重，样本是抽取的10包的包重，样本容量为10.(2)这组样本数据的众数是60，中位数为60，样本平均数x －＝110×(60.5＋61＋60＋60＋61.5＋59.5＋59.5＋58＋60＋60)＝60.(3)样本数据的方差为s 2＝110[(60.5－60)2＋(61－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2＋(61.5－60)2＋(59.5－60)2＋(59.5－60)2＋(58－60)2＋(60－60)2＋(60－60)2]＝0.8.20．(本题满分12分)(xx·安徽黄山高一期末测试)某班的全体学生共有50人，参加数学测试(百分制)成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)、[40,60)、[60,80)、[80,100]．依此表可以估计这一次测试成绩的中位数为70分．(1)求表中a、b的值；(2)请估计该班本次数学测试的平均分．[解析](1)由中位数为70可得，0．005×20＋0.01×20＋a×10＝0.5，解得a＝0.02.又20(0.005＋0.01＋0.02＋b)＝1，解得b＝0.015.(2)该班本次数学测试的平均分的估计值为30×0.1＋50×0.2＋70×0.4＋90×0.3＝68分．21．(本题满分12分)有一容量为50的样本，数据的分组以及各组的频数如下：[12.5,15.5)，3；[15.5,18.5)，8；[18.5,21.5)，9；[21.5,24.5)，11；[24.5,27.5)，10；[27.5,30.5)，5；[30.5,33.5)，4.(1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图；(3)根据频率分布直方图估计，数据落在[15.5,24.5)内的可能性约是多少？[解析](1)频率分布表为：分组频数频数频率[12.5,15.530.06)[15.5,18.580.16)[18.5,21.590.18)[21.5,24.5110.22)[24.5,27.5)100.20[27.5,30.5)50.10[30.5,33.5)40.08合计50 1.00(2)频率分布直方图如图所示：(3)数据落在[15.5,24.5)内的可能性为：8＋9＋1150＝0.56.22.(本题满分14分)(x x·河南新乡市高一期末测试)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)908483807568(1)求线性回归方程y＝b x＋a；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是 3.5元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)．(参考公式与数据：6i＝1x i y i＝4 066，∑i＝16x2i＝434.2，∑i＝16x i＝51，∑i＝16y i＝480.b^＝∑i＝16x i y i－n x y∑i＝16x2i－n x2，a^＝y－b^x)[解析](1)x＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝516＝8.5，y＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝4806＝80.b ^＝∑i ＝16x i y i －n x y∑i ＝16x 2i －n x 2＝4 066－6×8.5×80434.2－6×8.52＝－20， a ^＝y －b ^x ＝80－(－20)×8.5＝250.∴线性回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂的利润为y ，依题意得y ＝(－20x ＋250)(x －3.5)＝－20(x －8)2＋405，∴当x ＝8时，y 取最大值405.即该产品的单价应定为8元时，工厂获得最大利润．i25332 62F4 拴! 7 23630 5C4E 屎26225 6671 晱32922 809A 肚360488CD0 賐22375 5767 坧(NF。
高中数学必修3综合测试
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1.2012°终边所在的象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点。
公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为A；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为B．则完成A、B这两项调查宜采用的抽样方法依次是（）A.分层抽样法，系统抽样法B.分层抽样法，简单随机抽样法C.系统抽样法，分层抽样法D.简单随机抽样法，分层抽样法3.有20位同学，编号从1至20，现在从中抽取4个人作问卷调查，用系统抽样方法确定所抽的编号为（）A.5，6，7，8B.2，7，12，17C.2，4，6，8D.5，8，11，144.在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90 89 90 95 93 94 93去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为A.92 , 2B. 92 , 2.8C.93 , 2D.93 , 2.85. 200辆汽车通过某一段公路时，时速的频率分布直方图如下图所示，则时速在[50,70)的汽车大约有（）A.60辆B.80辆C.70辆D.140辆6．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）A ．至少有一个黒球与都是黒球B ．至多有一个黒球与都是黒球C ．至少有一个黒球与至少有1个红球D ．恰有1个黒球与恰有2个黒球7．掷两颗骰子，设出现点数之和为12，11，10的概率依次为123,,p p p ，则（ ） A. 123p p p =< B. 123p p p <= C. 123p p p << D. 123p p p >>8 右图给出的是计算201614121++++ 的值的一个流程图，其中判断 框内应填入的条件是（A ） 10>i （B ） 10<i （C ） 20>i （D ） 20<i9.自点 1)3()2()4,1(22=-+--y x A 作圆的切线，则切线长为（ ）(A) 5 (B) 3 (C) 10 (D) 510.将两个数8,17a b ==交换,使17,8a b ==,下面语句正确一组是 ( ) A. B. C. D.11、在40根纤维中，有12根的长度超过30mm ，从中任取一根，取到长度超过30mm的纤维的概率是（ ）A ．4030B ．4012C ．3012 D ．以上都不对12、某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为03.0,出现丙级品的概率为01.0,则对产品抽查一次抽得正品的概率是( )A ．09.0B ．98.0C ．97.0D ．96.0是否 开始 s : = 0i : = 1is s 21:+= i : = i+1输出s结束a=b b=a c=b b=a a=c b=a a=ba=cc=b b=a第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二．填空题：本大题共有4小题，每小题5分，共20分．13、用“秦九韶算法”计算多项式12345)(2345+++++=x x x x x x f ，当x=2时的值的过程中，要经过 次乘法运算和 次加法运算。
(必考题)高中数学必修三第一章《统计》测试(包含答案解析)(1)
一、选择题1．工人月工资y （元）与劳动生产率x （千元）变化的回归直线方程为=50+80x ，下列判断不正确的是（ ）A ．劳动生产率为1000元时，工资约为130元B ．工人月工资与劳动者生产率具有正相关关系C ．劳动生产率提高1000元时，则工资约提高130元D ．当月工资为210元时，劳动生产率约为2000元2．2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象.在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，下表为某小型工厂2-5月份生产的口罩数（单位：万） 月份x 2 3 4 5 口罩数y4.5432.5口罩数y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是0.7y x a =-+，则a 的值为（ ） A ．6.1B ．5.8C ．5.95D ．6.753．下表是某两个相关变量x ，y 的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆ0.70.35yx =+，那么表中t 的值为（ ） x 3 4 5 6 y2.5t44.5A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.54．已知一组数据的茎叶图如图所示，则该组数据的平均数为（ ）A ．85B ．84C ．83D ．815． 2.5PM 是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即 2.5PM 日均值在335/g m μ以下空气质量为一级，在335~75/g m μ空气量为二级，超过375/g m μ为超标．如图是某地12月1日至10日的 2.5PM （单位：3/g m μ)的日均值，则下列说法不正确．．．的是（ ）A ．这10天中有3天空气质量为一级B ．从6日到9日 2.5PM 日均值逐渐降低C ．这10天中 2.5PM 日均值的中位数是55D ．这10天中 2.5PM 日均值最高的是12月6日6．网上大型汽车销售某品牌A 型汽车，在2017年“双十一”期间，进行了降价促销，该型汽车的价格与月销量之间有如下关系 价格（万元） 25 23.5 22 20.5 销售量（辆）30333639已知A 型汽车的购买量y 与价格x 符合如下线性回归方程：8ˆ0ˆybx =+，若A 型汽车价格降到19万元，预测月销量大约是（ ） A ．39 B ．42C ．45D ．507．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是（ ）A ．91.5和91.5B ．91.5和92C ．91和91.5D ．92和928．为了了解某社区居民是否准备收看电视台直播的“龙舟大赛”，某记者分别从社区60～70岁，40～50岁，20～30岁的三个年龄段中的128，192，x 人中，采用分层抽样的方法共抽出了30人进行调查，若60～70岁这个年龄段中抽查了8人，那么x 为（ ） A ．64 B ．96C ．144D ．1609．若某中学高二年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数是（ ）A ．90.5B ．91.5C ．90D ．9110．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是()0 1nn P P k =+（1k >-），n P 为预测人口数，0P 为初期人口数，k 为预测期内年增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有10k -<<，那么在这期间人口数 A ．呈下降趋势B ．呈上升趋势C ．摆动变化D ．不变11．设有一个直线回归方程为2 1.5y x =-，则变量x 增加一个单位时（ ） A ．y 平均增加1.5个单位 B ．y 平均增加2个单位 C ．y 平均减少1.5个单位D ．y 平均减少2个单位12．有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表： 温度℃ -5 0 4 7 12 15 19 23 27 31 36 热饮杯数15615013212813011610489937654根据上表数据确定的线性回归方程应该是（ ）A ．ˆ 2.352147.767yx =-+ B ．ˆ 2.352127.765yx =-+ C ．ˆ 2.35275.501yx =+D ．ˆ 2.35263.674yx =+ 二、填空题13．已知某产品连续4个月的广告费i x （千元）与销售额i y （万元）（1,2,3,4i =）满足4115ii x==∑，4112i i y ==∑，若广告费用x 和销售额y 之间具有线性相关关系，且回归直线方程为^y bx a =+，0.6b =，那么广告费用为5千元时，可预测的销售额为___万元. 14．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从1～1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为_________15．某次测试共有100名考生参加，测试成绩的频率分布直方图如下图所示，则成绩在80分以上的人数为__________．16．已知一组数据为2，3，4，5，6，则这组数据的方差为______.17．已知一组数据：5.7，5.8，6.1，6.4，6.5，则该数据的方差是__________． 18．变量X 与Y 相对应的5组数据和变量U 与V 相对应的5组数据统计如表：X 1011.3 11.8 12.5 13 U 10 11.3 11.8 12.5 13 Y12345V54321用b 1表示变量Y 与X 之间的回归系数，b 2表示变量V 与U 之间的回归系数，则b 1与b 2的大小关系是___．19．某中学调查了400名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[]17.5,30，样本数据分组为[)17.5,20，[)20,22.5，[)22.5,25，[)25,27.5，[]27.5,30.根据直方图，这400名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是__________人．20．某校高一年级10个班级参加国庆歌咏比赛的得分（单位：分）如茎叶图所示，若这10个班级的得分的平均数是90，则19a b+的最小值为__________．三、解答题21．某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y (单位：千元)的数据如下表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号x 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9x （2）预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：77211134.4,140i ii i i x yx ====∑∑.回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-=-∑∑，a y bx =-22．随着人民生活水平的日益提高，某小区拥有私家车的数量与日俱增，物业公司统计了近六年小区私家车的数量，数据如下： 年份 2014 2015 20162017 2018 2019 编号x 1 2 3 4 5 6 数量y （辆）4196116190218275（1）若该小区私家车的数量y 与年份编号x 的关系可用线性回归模型来拟合，请求出y 关于x 的线性回归方程，并用相关指数2R 分析其拟合效果（2R 精确到0.01）；（2）由于该小区没有配套停车位，车辆无序停放易造成交通拥堵，因此物业公司预在小区内划定一定数量的停车位，若要求在2022年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划多少个停车位. 参考数据：61936ii y==∑，614081i i i x y ==∑，62191ii x ==∑，()62137586i i y y=-=∑.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑，a y bx =-，相关指数()()221211ni ii n ii y y R yy==-=--∑∑，残差e y y =-.23．2018年，依托用户碎片化时间的娱乐需求、分享需求以及视频态的信息负载力，短视频快速崛起；与此同时，移动阅读方兴未艾，从侧面反应了人们对精神富足的一种追求，在习惯了大众娱乐所带来的短暂愉悦后，部分用户依旧对有着传统文学底蕴的严肃阅读青睐有加．某读书APP 抽样调查了非一线城市M 和一线城市N 各100名用户的日使用时长（单位：分钟），绘制成频率分布直方图如下，其中日使用时长不低于60分钟的用户记为“活跃用户”．（1）请填写以下22⨯列联表，并判断是否有99．5%的把握认为用户活跃与否与所在城市有关？活跃用户 不活跃用户 合计城市M 城市N 合计（2）以频率估计概率，从城市M 中任选2名用户，从城市N 中任选1名用户，设这3名用户中活跃用户的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．（3）该读书APP 还统计了2018年4个季度的用户使用时长y （单位：百万小时），发现y 与季度（x ）线性相关，得到回归直线为ˆ4ˆyx a =+，已知这4个季度的用户平均使用时长为12.3百万小时，试以此回归方程估计2019年第一季度（5x =）该读书APP 用户使用时长约为多少百万小时． 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．()20P K k ≥ 0.025 0.010 0.005 0.001 0k5.0246.6357.87910.82824．学生甲在一次试验中用显微镜观察某种环境下细菌的个数，发现时间x （分钟）时刻的细菌个数为y 个，统计结果如下：x 1 2 3 4 5 y23445（Ⅰ）在给出的坐标系中画出x ，y 的散点图，说明细菌个数和时间是正相关还是负相关.（Ⅱ）根据表格中的5组数据，求y 关于x 的回归直线方程ˆˆˆybx a =+，并根据回归直线方程估计从实验开始，什么时刻细菌个数为12.参考公式：（1221ˆˆˆ,ni ii ni i x y nx yx n axby bx ====---∑∑） 25．某学校高一100名学生参加数学竞赛，成绩均在40分到100分之间.学生成绩的频率分布直方图如图：（1）估计这100名学生分数的中位数与平均数；（精确到0.1）（2）某老师抽取了10名学生的分数：12310,,,...,x x x x ，已知这10个分数的平均数90x =，标准差6s =，若剔除其中的100和80两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差.（参考公式：s =（3）该学校有3座构造相同教学楼，各教学楼高均为20米，东西长均为60米，南北宽均为20米.其中1号教学楼在2号教学楼的正南且楼距为40米，3号教学楼在2号教学楼的正东且楼距为72米.现有3种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为35,55,105米，每个售价相应依次为1500,2000,4000元.若屏蔽仪可在地下及地上任意位置安装且每个安装费用均为100元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费.（参考数据：22221044100,19236864,11012100===）26．某校的一个社会实践调查小组，在对该校学生的良好“用眼习惯”的调查中，随机发放了120分问卷.对收回的100份有效问卷进行统计，得到如22⨯下列联表：（1）现按女生是否能做到科学用眼进行分层，从45份女生问卷中抽取了6份问卷，从这6份问卷中再随机抽取3份，并记其中能做到科学用眼的问卷的份数X ，试求随机变量X 的分布列和数学期望；（2）若在犯错误的概率不超过P 的前提下认为良好“用眼习惯”与性别有关，那么根据临界值表，最精确的P 的值应为多少？请说明理由.附：独立性检验统计量22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b cd =+++.独立性检验临界值表：【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C【解析】试题分析：根据线性回归方程=50+80x 的意义，对选项中的命题进行分析、判断即可． 解：根据线性回归方程为=50+80x ，得；劳动生产率为1000元时，工资约为50+80×1=130元，A 正确； ∵=80＞0，∴工人月工资与劳动者生产率具有正相关关系，B 正确；劳动生产率提高1000元时，工资约提高=80元，C 错误；当月工资为210元时，210=50+80x ，解得x=2， 此时劳动生产率约为2000元，D 正确． 故选C ．考点：线性回归方程．2．C解析：C 【分析】求得 3.5x y ==，得到样本中心点(3.5,3.5)，再把样本中心点代入回归直线方程得解. 【详解】由表可得 3.5x y ==，带入线性回归方程中有 3.50.7 3.5 5.95=+⨯=a ， 故选：C . 【点睛】本题考查利用线性相关关系求回归直线方程，属于基础题.3．A解析：A 【分析】计算得到 4.5x =，114t y +=，代入回归方程计算得到答案. 【详解】3456 4.54x +++==， 2.54 4.51144t t y ++++==，中心点(),x y 过ˆ0.70.35yx =+， 即114.50.70.354t +=⨯+，解得3t =. 故选：A . 【点睛】本题考查了回归方程的相关问题，意在考查学生的计算能力.4．A解析：A 【解析】利用茎叶图、平均数的性质直接求解． 【详解】由一组数据的茎叶图得： 该组数据的平均数为：1(7581858995)855++++=． 故选：A ． 【点睛】本题考查平均数的求法，考查茎叶图、平均数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．C解析：C 【分析】认真观察题中所给的折线图，对照选项逐一分析，求得结果. 【详解】这10天中第一天，第三天和第四天共3天空气质量为一级，所以A 正确； 从图可知从6日到9日 2.5PM 日均值逐渐降低，所以B 正确； 从图可知，这10天中 2.5PM 日均值最高的是12月6日，所以D 正确； 由图可知，这10天中 2.5PM 日均值的中位数是4145432+=，所以C 不正确； 故选C. 【点睛】该题考查的是有关利用题中所给的折线图，描述对应变量所满足的特征，在解题的过程中，需要逐一对选项进行分析，正确理解题意是解题的关键.6．B解析：B 【解析】分析：先求均值，确定ˆb，再求自变量为19对应函数值得结果. 详解：因为2523.52220.5330333639122,344442x y ++++++====，所以1348022,3224ˆb-==- 所以19(2)8042y =⨯-+=选B.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求,a b ，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .7．A解析：A 【解析】8个班参加合唱比赛的得分从小到大排列分别是87，89,90,91,92,93,94,96，中位数是91,92,的平均数91.5，平均数是87+89+90+91+92+93+94+968=91.58．D解析：D 【解析】 【分析】根据60～70岁这个年龄段中128人中抽查了8人，可知分层抽样的抽样比为81=12816，因为共抽出30人，所以总人数为3016=480⨯人，即可求出20～30岁年龄段的人数. 【详解】根据60～70岁这个年龄段中128人中抽查了8人，可知分层抽样的抽样比为81=12816, 因为共抽出30人，所以总人数为3016=480⨯人,所以，20～30岁龄段的人有480128192160--=，故选D. 【点睛】本题主要考查了分层抽样，抽样，样本容量，属于中档题9．A解析：A 【分析】共有8个数据，中位数就是由小到大中间两数的平均数，求解即可. 【详解】根据茎叶图，由小到大排列这8个数为84，85，89，90，91，92，93，95， 所以中位数为90+91=90.52，故选A. 【点睛】本题主要考查了中位数，茎叶图，属于中档题.10．A解析：A 【分析】可以通过n P 与0P 之间的大小关系进行判断． 【详解】当10k -<<时，()011011nk k <+<<+<，，所以()001nn P P k P =+<，呈下降趋势． 【点睛】判断变化率可以通过比较初始值与变化之后的数值之间的大小来判断．11．C解析：C 【解析】 【分析】细查题意，根据回归直线方程中x 的系数是 1.5-，得到变量x 增加一个单位时，函数值要平均增加 1.5-个单位，结合回归方程的知识，根据增加和减少的关系，即可得出本题的结论. 【详解】因为回归直线方程是2 1.5ˆyx =-， 当变量x 增加一个单位时，函数值平均增加 1.5-个单位， 即减少1.5个单位，故选C. 【点睛】本题是一道关于回归方程的题目，掌握回归方程的分析时解题的关键，属于简单题目.12．A解析：A 【解析】分析：先观察表中数据的规律，确定回归系数b 的符号，再计算x 和y ，代入选项确定正确答案.详解：由表中数据规律发现：热饮杯数y 随当天气温x 升高而减少，则0b <，排除C 、D. 计算1169=(504712151923273136)1111x -++++++++++= 11228=(15615013212813011610489937654)111.641111y ++++++++++=≈ 将x 代入选项A ，得1692.352147.767111.6311ˆy=-⨯+= 将x 代入选项B ，得1692.352127.76591.6311ˆy=-⨯+= 所以选项A 正确. 故选A.点睛：本题考查线性回归方程的求法与应用，一次项系数b 符号的判断和回归直线过样本中心点(,)x y 是解题关键.二、填空题13．75【解析】【分析】计算然后将代入回归直线得从而得回归方程然后令x＝5解得y 即为所求【详解】∵∴∵∴∴样本中心点为（3）又回归直线过（3）即3＝06×+解得＝所以回归直线方程为y ＝06x+令x ＝5时解析：75 【解析】 【分析】计算x ，y ，然后将x ，y 代入回归直线得a ，从而得回归方程，然后令x ＝5解得y 即为所求． 【详解】 ∵4115i i x ==∑，∴154x =， ∵4112i i y ==∑，∴1234y ==， ∴样本中心点为（154，3）， 又回归直线0.6ˆyx a =+过（154，3），即3＝0.6×154+a ，解得a ＝34， 所以回归直线方程为y ＝0.6x +34， 令x ＝5时，y ＝0.6×5+34＝3.75万元 故答案为：3.75． 【点睛】本题考查线性回归方程的应用，以及利用线性回归方程进行预测，要注意回归直线必过样本中心点.14．18【解析】【分析】由题意知抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x 则第18组抽取的号码为即可解得【详解】因为抽样方法为系统抽样因此若第一组抽取号码为x 则第18组抽取的号码为解得【点睛】本题主要考解析：18 【解析】 【分析】由题意知，抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x ，则第18组抽取的号码为1725443x +⨯=，即可解得. 【详解】因为抽样方法为系统抽样，因此，若第一组抽取号码为x ，则第18组抽取的号码为1725443x +⨯=，解得18x =. 【点睛】本题主要考查了系统抽样，属于中档题.15．25【解析】分析：先求成绩在80分以上的概率再根据频数等于总数与对应概率乘积求结果详解：因为成绩在80分以下的概率为所以成绩在80分以上的概率为因此成绩在80分以上的人数为点睛：频率分布直方图中小长解析：25 【解析】分析：先求成绩在80分以上的概率，再根据频数等于总数与对应概率乘积求结果.详解：因为成绩在80分以下的概率为(0.0050.03+0.0410=0.75+⨯），所以成绩在80分以上的概率为10.750.25-=，因此成绩在80分以上的人数为0.25100=25.⨯点睛：频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间的概率,所有小长方形面积之和为1; 频率分布直方图中组中值与对应区间概率乘积的和为平均数; 频率分布直方图中小长方形面积之比等于对应概率之比,也等于对应频数之比.16．2【解析】分析：根据方差的计算公式先算出数据的平均数然后代入公式计算即可得到结果详解：平均数为：即答案为2点睛：本题考查了方差的计算解题的关键是方差的计算公式的识记它反映了一组数据的波动大小方差越大解析：2 【解析】分析：根据方差的计算公式，先算出数据的平均数，然后代入公式计算即可得到结果． 详解：平均数为：2345645+++++=，()22222211[2434445464]4114255s =⨯-+-+-+-+-=⨯+++=（）（）（）（）（）．即答案为2.点睛：本题考查了方差的计算，解题的关键是方差的计算公式的识记．它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．17．1【解析】分析：先利用平均数公式求出平均数再利用方差公式即可得结果详解：的平均数为的方差为故答案为点睛：本题考查主要考查平均数公式与方差公式属于基础题样本数据的算术平均数公式；样本方差公式标准差解析：1 【解析】分析：先利用平均数公式求出平均数，再利用方差公式即可得结果. 详解：5.7，5.8，6.1，6.4，6.5的平均数为5.7+5.8+6.1+6.4+6.56.15=，5.7,5.8,6.1,6.4,6.5∴的方差为()()()()()222225.76.1+5.8 6.1+6.1 6.1+6.4 6.1+6.5 6.10.15-----=，故答案为0.1.点睛：本题考查主要考查平均数公式与方差公式，属于基础题. 样本数据的算术平均数公式12n 1(x +x +...+x )x n =；样本方差公式2222121[()()...()]n s x x x x x x n =-+-++-，标准差s =18．【解析】分析：根据回归系数几何意义得详解：因为Y 与X 之间正增长所以因为V 与U 之间负增长所以因此点睛：函数关系是一种确定的关系相关关系是一种非确定的关系事实上函数关系是两个非随机变量的关系而相关关系是解析：12b b >. 【解析】分析：根据回归系数几何意义得120b b >> 详解：因为Y 与X 之间正增长，所以10b > 因为V 与U 之间负增长，所以20b < 因此120b b >>，点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求,a b ，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .b 的正负，决定正相关与负相关.19．280【解析】由频率分布直方图得这名大学生中每周的自习时间不少于小时的频率为这名大学生中每周的自习时间不少于小时的人数为故答案为解析：280 【解析】由频率分布直方图得这400名大学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为()0.16+0.080.04 2.50.7,+⨯=∴这400名大学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为4000.7280⨯=，故答案为280.20．2【解析】由茎叶图及10个班级的得分的平均数是90可得∴当且仅当即时取等号故答案为2解析：2 【解析】由茎叶图及10个班级的得分的平均数是90可得8a b += ∴1911919191()()(19)(10)(1023)28888b a b a a b a b a b a b a b +=⨯++=+++=++≥+⨯=，当且仅当9b aa b=，即36b a ==时，取等号 故答案为2三、解答题21．（1）0.5 2.3y x =+；（2）6800元. 【分析】（1）根据表中数据计算出4x =， 4.3y =，再结合参考数据利用公式即可计算出,b a ，进而得出线性回归方程； （2）将9x =代入即可预测. 【详解】解：（1）由表可得：123456747++++++==x ，2.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9 4.37y ++++++==，又77211134.4,140i ii i i x yx ====∑∑，71722217134.474 4.30.5140747i ii i i x y x yb x x==--⨯⨯∴===-⨯-∑∑ 4.30.54 2.3a y bx ∴=-=-⨯=y ∴关于x 的线性回归方程为0.5 2.3y x =+；（2）由（1）可得：0.5 2.3y x =+，∴当9x =时，0.59 2.3 6.8y =⨯+=，即该地区2015年农村居民家庭人均纯收入约为6800元. 【点睛】本题考查线性回归方程的求法，考查由线性回归方程进行预测，属于基础题. 22．（1）ˆ465yx =-；拟合效果较好；（2）至少需要规划409个停车位 【分析】（1）由已知数据求得ˆb与ˆa 的值，则线性回归方程可求，再求出残差平方和，代入相关指数公式求得2R ，根据与1的接近程度分析拟合效果；（2）在（1）中求得的线性回归方程中，取9x =求得y 值即可． 【详解】 解：（1）1(123456) 3.56x =+++++=，19361566y =⨯=．6162221640816 3.5156ˆ46916356i ii ii x yxy bxx ==--⨯⨯===-⨯-∑∑，ˆˆ15646 3.55ay bx =-=-⨯=-． y ∴关于x 的线性回归方程为ˆ465y x =-．1x =时，ˆ41y=，2x =时，ˆ87y =，3x =时，ˆ133y =， 4x =时，ˆ179y=，5x =时，ˆ225y =，6x =时，ˆ271y =． 621()556ii i yy =-=∑．6221621()556110.9737586()ii i ii yy R yy ==-=-=-≈-∑∑， 相关指数2R 近似为0.97，接近1，说明拟合效果较好； （2）在（1）中求得的线性回归方程中，取9x =， 可得ˆ4695409y=⨯-=． 故若要求在2022年小区停车位数量仍可满足需要，则至少需要规划409个停车位． 【点睛】本题考查线性回归方程与相关指数的求法，考查运算求解能力，属于中档题． 23．(1)见解析；(2)见解析；(3) 22.3百万小时 【分析】（1）根据频率分布直方图求数据填入对应表格，再根据卡方公式求2K ，最后对照数据作判断，（2）先确定随机变量取法，再判断从M 城市中任选的2名用户中活跃用户数服从二项分布，从N 城市中任选的1名用户中活跃用户数服从两点分布，进而求得对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式得期望，（3）先求均值，解得ˆa，再估计5x =对应函数值. 【详解】（1）由已知可得以下22⨯列联表：计算()2220060208040200K 9.5247.8791001001406021⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯ ， 所以有99．5%的把握认为用户是否活跃与所在城市有关． （2）由统计数据可知，城市M 中活跃用户占35，城市N 中活跃用户占45， 设从M 城市中任选的2名用户中活跃用户数为X ，则3~2,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭设从N 城市中任选的1名用户中活跃用户数为Y ，则Y 服从两点分布，其中()415P Y ==． 故0,1,2,3ξ=，()()()20221400055125P P X P Y C ξ⎛⎫===⋅==⋅=⎪⎝⎭； ()()()()()2012224321*********555125P P X P Y P X P Y C C ξ⎛⎫===⋅=+=⋅==⋅+⋅⋅⋅=⎪⎝⎭；()()()()()2122223431572112055555125P P X P Y P X P Y C C ξ⎛⎫===⋅=+=⋅==⋅⋅+⋅⋅=⎪⎝⎭；()()()222343632155125P P X P Y C ξ⎛⎫===⋅==⋅= ⎪⎝⎭． 故所求ξ的分布列为()428573601232125125125125E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）由已知可得 2.5x =，又12.3y =，可得12.34ˆ2.5a=⨯+，所以ˆ 2.3a =，所以4 2.3ˆy x =+． 以5x =代入可得ˆ22.3y=（百万小时）， 即2019年第一季度该读书APP 用户使用时长约为22.3百万小时． 【点睛】本题考查频率分布直方图、回归直线方程以及分布列和数学期望，考查基本分析求解能力，属中档题.24．（Ⅰ）图象见解析，正相关；（Ⅱ）ˆ0.7 1.5yx =+，当15x =时细菌个数为12个. 【分析】（Ⅰ）根据数据描点即得散点图，看图即判断结果； （Ⅱ）利用公式代入数据计算即可. 【详解】解：（Ⅰ）图形如下，观察图像可知细菌个数和时间是正相关.（Ⅱ）由数据计算得，()11234535x =⨯++++=，()123445 3.65y =⨯++++=，1122334445561ni ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，22222211234555n i i x ==++++=∑122216153 3.67ˆ0.7555310ni ii ni i x y nx yxbx n ==-⨯⨯====-⨯--∑∑，ˆˆ 3.60.73 1.5a y bx =-=-⨯=， 所以ˆ0.7 1.5yx =+， 当0.7 1.512x +=时，解得15x =. 所以当15x =时细菌个数为12个. 【点睛】本题考查了散点图、线性回归方程及其应用，属于基础题.25．（1）中位数为71.4；平均数为71；（2）平均数为90；标准差为53）3700元.【分析】（1）利用频率分布直方图能求出中位数、平均分；（2）由题意，求出剩余8个分数的平均值，由10个分数的标准差，能求出剩余8个分数的标准差；（3）求出将3座教学楼完全包裹的球的最小直径、将一座教学楼完全包裹的球的最小直径和将1号教学楼与2号教学楼完全包裹的球的最小直径，由此能求出让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费． 【详解】（1）因为0.050.150.250.450.5++=<0.050.150.250.350.80.5+++=> 所以中位数为x 满足7080x <<由80()0.350.10.10.510x -⨯++=，解得608071.47x =-≈ 设平均分为y ，则0.05450.15550.25650.35750.1850.19571y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）由题意，剩余8个分数的平均值为01010080908x x --==因为10个分数的标准差6s ==所以2222110...10(6)10(90)81360x x ++=⨯+⨯=所以剩余8个分数的标准差为0s ===（3）将3座教学楼完全包裹的球的最小直径为：210=<=因此若用一个覆盖半径为105米的屏蔽仪则总费用为4100元；70<= 因此若用3个覆盖半径为35米的屏蔽仪则总费用为4800元； 将1号教学楼与2号教学楼完全包裹的球的最小直径为：110=<=70>=因此若用1个覆盖半径为55米和1个覆盖半径为35米的屏蔽仪则总费用为3700元； 所以，让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费为3700元. 【点睛】本题考查中位数、平均数、标准差、最小费用的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．26．（1）分布列见解析，1；（2）0.10=P ，理由见解析. 【分析】（1）按照分层抽样计算“科学用眼”和“不科学用眼”的抽取人数，随机变量X 的取值可能为0，1，2，然后计算概率得出分布列及其数学期望； （2）按照公式计算2K 的值，然后由临界值表得出结果即可. 【详解】（1）“科学用眼”抽156245⨯=人，“不科学用眼”抽306445⨯=人，则随机变量X0=，1，2，∴343641(0)205====CP XC，122436123(1)205C CP XC====，21243641(2)205C CP XC====，分布列为：0120121555EX=⨯+⨯+⨯=；（2）22100(45153010)3.03075255545⨯-⨯=≈⨯⨯⨯K，由表可知2.706 3.030 3.840<<，∴0.10=P.【点睛】本题考查随机变量的分布列和数学期望，考查独立性检验，考查逻辑思维能力和计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于常考题.。
高中数学必修三第三章概率综合训练(含答案)
高中数学必修三概率综合训练一、单选题1.下列事件中，是随机事件的是（）①从10个玻璃杯（其中8个正品，2个次品）中任取3个，3个都是正品；②同一门炮向同一个目标发射多发炮弹，其中50%的炮弹击中目标；③某人给其朋友打电话，却忘记了朋友电话号码的最后一个数字，就随意在键盘上按了一个数字，恰巧是朋友的电话号码；④异性电荷，相互吸引；⑤某人购买体育彩票中一等奖．A. ②③④B. ①③⑤C. ①②③⑤D. ②③⑤2.下列说法正确的是（）A. 任何事件的概率总是在（0，1）之间B. 频率是客观存在的，与试验次数无关C. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率D. 概率是随机的，在试验前不能确定3.气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是（）A. 本市明天将有70%的地区降雨B. 本市明天将有70%的时间降雨C. 明天出行带雨具的可能性很大D. 明天出行不带雨具肯定要淋雨4.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A. “至少有一个红球”与“都是黑球”B. “至少有一个黑球”与“都是黑球”C. “至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D. “恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”5.已知事件A与事件B发生的概率分别为、，有下列命题：①若A为必然事件，则；②若A与B互斥，则；③若A与B互斥，则.其中真命题有（）个A. 0B. 1C. 2D. 36.设函数，若从区间内随机选取一个实数,则所选取的实数满足的概率为（）A. 0.5B. 0.4C. 0.3D. 0.27.如图，在矩形中，AB=4cm，BC=2cm，在图形上随机撒一粒黄豆，则黄豆落到阴影部分的概率是（）A. B. C. D.8.掷一个骰子，出现“点数是质数”的概率是（）A. B. C. D.9.抽查10件产品，设事件A：至少有2件次品，则A的对立事件为（）A. 至多有2件次品B. 至多有1件次品C. 至多有2件正品D. 至多有1件正品10.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续的时间为50秒，若一行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待20秒才出现绿灯的概率为（）A. B. C. D.11.在边长为4的正方形内随机取一点，该点到正方形的四条边的距离都大于1的概率是（）A. B. C. D.12.掷一枚均匀的硬币两次，事件M：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是（）A. P（M）=，P（N）=B. P（M）=，P（N）=C. P（M）=，P（N）=D. P（M）=，P（N）=13.从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（）A. 3个都是正品B. 至少有1个是次品C. 3个都是次品D. 至少有1个是正品14.设实数p在[0，5]上随机地取值，使方程x2+px+1=0有实根的概率为（）A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.315.在区间[0，1]上随机取两个数x，y，记P为事件“x+y≤”的概率，则P=（）A. B. C. D.16.在标准化的考试中既有单选题又有多选题，多选题是从A，B，C，D四个选项中选出所有正确的答案（正确答案可能是一个或多个选项），有一道多选题考生不会做，若他随机作答，则他答对的概率是（）A. B. C. D.17.甲、乙两歼击机的飞行员向同一架敌机射击，设击中的概率分别为0.4，0.5，则恰有一人击中敌机的概率为（）A. 0.9B. 0.2C. 0.7D. 0.518.某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率为（）A. B. C. D.19.已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点.在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足的概率为（）A. B. C. D.20.袋中共有5个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，2个白球和2个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )A. B. C. D.21.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且。
高中一年级数学必修3综合测试题
汤阴一中高中一年级数学必修（3）综合测试题（二）一． 选择题1．从12个同类产品（其中10个是正品，2个是次品）中任意抽取3个的必然事件是（ ） A.3个都是正品 B.至少有1个是次品 C.3个都是次品 D.至少有1个是正品2.从装有2个红球和2个白球的红袋内任取两个球,那么下列事件中,互斥事件的个数是( ) A.至少有一个白球;都是白球 B.至少有一个白球;至少有一个红球 C.恰好有一个白球;恰好有2个白球 D.至少有1个白球;都是红球3.一个三位数字的密码键,每位上的数字都在0到9这十个数字中任选,某人忘记后一个号码,那么此人开锁时,在对好前两位数码后,随意拨动最后一个数字恰好能开锁的概率为( ) A.10001 B. 1001 C. 101 D.104.从写上0,1,2,…,9 十张卡片中,有放回地每次抽一张,连抽两次,则两张卡片数字各不相同的概率是( ) A.109 B. 1001 C. 901 D. 15.下面有关抽样的描述中，错误的是（ ）A ．在简单抽样中，某一个个体被抽中的可能性与第n 次抽样有关，先抽到的可能性较大B ．系统抽样又称为等距抽样，每个个体入样的可能性相等C ．分层抽样又称为类型抽样，为了保证每个个体入样的可能性相等必须每层等可能性抽样D ．抽样的原则是“搅拌均匀”且“等可能地抽到每个个体”6．如果数据1x 、2x 、……nx 的平均值为x ，方差为2S ，则31x +5，32x +5， (3)nx +5的平均值和方差分别为（ ）A ．x 和2S B ．3x +5和92S C ．3x +5和2S D ．3x +5 和92S +30S +257组号 1 2 3 4 5 6 7 8 频数101314141513129则第三组的频率是（ ）A ．0.14B ． 141C ．0.03D ．14138．工人月工资（元）依生产率（千元）变化的回归方程为 y 50+80x ，下列判断正确的是（ ）A ．劳动生产率为1000元时，工资为130元B ．劳动生产率提高1000元，则工资提高80元C ．劳动生产率提高1000元，则工资提高130元D ．当月工资为210元时，劳动生产率为2000元9.把二进制数110011(2) 化为十进制数为( ) A.50 B.51 C.52 D.5310.把89化为五进制数,则此数为( ) A.)5(322 B.)5(323 C.)5(324 D.)5(32511.最大公约数是3的是( )A.819,333B.98,196C.153,111D.225,13512.二进制数111.11转换成十进制数是( ) A.7.3 B.7.5 C.7.75 D.7.125二.填空题1. 将一枚硬币连续抛掷3次,正面恰好出现两次的概率为___________.2. 一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒,当你到达路口时,看见绿灯的概率是__________ .3．相关关系与函数关系的区别是 ． 4．数据分布的直方图的总面积为 _______________．三.解答题1.甲、乙二人参加普法知识竞赛,共有10道不同的题目,其中选择题6道,判断题4道, 甲、乙二人依次各抽一题.(1)甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少?(2) 甲、乙二人中至少有一个抽到选择题的概率是多少?2.某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环, 7环以下的概率分别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13,计算这个射手在一次射击中,(1)射中10环或9环的概率 (2)至少射中7环的概率 (3)射中环数不是8环的概率?3. 乔和摩进行了一次关于他们前一天夜里进行的活动的谈话。
高中数学必修三全册练习题
本册综合素能检测时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列各项中最小的数是( ) A ．111111(2) B ．20106 C ．1000(4) D ．101(8)[答案] A[解析] 111111(2)＝1×25＋1×24＋1×23＋1×22＋1×21＋1×20＝63,210(6)＝2×62＋1×61＋0×60＝78,1000(4)＝1×43＋0×42＋0×41＋0×40＝64,101(8)＝1×82＋0×81＋1×80＝65，故最小的数为111111(2)．2．某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n 的样本．如果采用系统抽样和分层抽样抽取，则不用剔除个体；如果样本容量增加1，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，则n 的值为( )A ．6B ．12C ．18D ．3 [答案] A[解析] 由于要用分层抽样三层之比为123，因此，凡为6的整倍数，又样本容量增加1时需要删除1人，所以35n ＋1为整数，因此n ＝6，故选A.3．奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色’’与“乙分得红色”是( )A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．不是互斥事件[答案] C[解析] 甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．4．在长为12 cm 的线段AB 上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC ，CB 的长，则该矩形面积大于20 cm 2的概( )A.16B.13C.23D.45[答案] C[解析] 设AC ＝x cm ，则BC ＝(12－x )cm(0<x <12)．面积S ＝x ·(12－x )>20，解得2<x <10，∴矩形面积大于20 cm 2的概率为10－212＝23.故选C.5．某程序框图如图所示，现输入选项中的四个函数，则可以输出的是( )A ．f (x )＝|x |xB ．f (x )＝ln(x 2＋1－x )C ．f (x )＝e x ＋e －xe x －e －xD ．f (x )＝x 21＋x 4[答案] B[解析] 由框图知f (x )应满足：奇函数，有零点．A 中的函数不能输出，因为此函数没班级：_________姓名：_________学号：______-----------------------------密--------------------------------------封-----------------------------------线-------------------------------有零点；B 中函数可以输出；C 中函数不存在零点，故不能输出；D 中函数为偶函数，也不能输出，故选B.6．如图是某年青年歌手大奖赛中，七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m 为数字0～9中的一个)．去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别a 1，a 2，则一定有( )A ．a 1>a 2B ．a 1<a 2C ．a 1＝a 2D ．a 1，a 2的大小与m 的值有关 [答案] B[解析] 去掉一个最高分和一个最低分后，甲选手得分是81,85,85,84,85，则平均数是a 1＝15(81＋85＋85＋84＋85)＝84；乙选后得分是84,84,86,84,87，则平均数是a 2＝15(84＋84＋86＋84＋87)＝85>84，所以a 1<a 2.7．(2014·浙江)在3张奖卷中有一、二等奖各1张，另一张无奖，甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是( )A.16B.13C.12D.23[答案] B[解析] 设三张卷分别用A ，B ，C 代替，A 一等奖；B 二等奖；C 无奖，甲、乙各抽一张共包括(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )6种基本事件，其中甲、乙都中奖包括两种，P ＝26＝13，故选B.8．(2015·江苏卷)根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为( )A ．7B ．5C ．9D ．11[答案] A[解析] 第一次循环：S ＝3，I ＝4；第二次循环：S ＝5，I ＝7；第三次循环：S ＝7，I＝10；结束循环，输出S ＝7.9．如果数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，方差为s 2，则5x 1＋2,5x 2＋2，…，5x n ＋2的平均数和方差分别为( )A.x ，s 2 B ．5x ＋2，s 2 C ．5x ＋2,25s 2 D.x ，25s 2[答案] C[解析] 本题考查平均数与方差的计算公式．由平均数与方差的计算公式分析可得5x 1＋2,5x 2＋2，…，5x n ＋2的平均数为5x ＋2，方差为25s 2，故选C.10．(2015·广东佛山高三教学质量检测(一))某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S 的值是( )A ．－3B ．－12C.13 D ．2[答案] A[解析] 该程序框图的运行过程是： S ＝2，i ＝1，i ＝1≤2 010成立， S ＝1＋21－2＝－3； i ＝1＋1＝2，i ＝2≤2 010成立， S ＝1＋(－3)1－(－3)＝－12；i ＝2＋1＝3，i ＝3≤2010成立， S ＝1＋(－12)1－(－12)＝13；i ＝3＋1＝4， i ＝4≤2 010成立； S ＝1＋131－13＝2；i ＝4＋1＝5， …….对于判断框内i 的值，n ∈N ，当i ＝4n ＋1时，S ＝2；当i ＝4n ＋2时，S ＝－3；当i ＝4n ＋3时，S ＝－12；当i ＝4n ＋4时，S ＝13.由于2 010＝4×502＋2，则S ＝－3.该程序框图中含有当型循环结构，判断框内的条件不成立时循环终止，即i ＝2 011时开始不成立，输出S ＝－3.11．(2015·石家庄模拟)从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：身高 x (cm) 160 165 170 175 180 体重y (kg)6366707274根据上表可得回归直线方程y ^＝0.56x ＋a ^，据此模型预报身高为172 cm 的高三男生的体重为( )A ．70.09B ．70.12C ．70.55D ．71.05[答案] B[解析] 由表中数据得x ＝160＋165＋170＋175＋1805＝170，y ＝63＋66＋70＋72＋745＝69.将(x ，y )代入y ^＝0.56x ＋a ^，∴69＝0.56×170＋a ^，∴a ^＝－26.2，∴y ^＝0.56x －26.2. ∴当x ＝172时，y ＝70.12，故选B.12．(2015·全国卷)根据下面给出的2004年至2003年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图．以下结论不正确的是( )A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 [答案] D[解析] 由柱形图得，从2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年份负相关．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．(2012·江苏高考卷)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334，现用分层抽样的方法从该校高中三个年极的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．[答案]15[解析]由已知，高二人数占总人数的310，所以抽取人数为310×50＝15.14．102,238的最大公约数是________．[答案]34[解析]利用辗转相除法或更相减损术可得最大公约数是34.15．(2014·福建高考)如右图，在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为________．[答案]0.18[解析]由题意知，这是个几何概型问题，S阴影S正方形＝1801000＝0.18.∵S正方形＝1，∴S阴影＝0.18.16．某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示：队员12345 6三分球个数a1a2a3a4a5a6下图是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填________，输出的s＝________.[答案]i≤6？(i<7？)a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6[解析]由题意可知，程序框图是要统计6名队员投进的三分球的总数，由程序框图的循环逻辑知识可知，判断框应填i≤6？，输出的结果就是6名队员投进的三分球的总数，而6名队员投进的三分球数分别为a1，a2，a3，a4，a5，a6，故输出的s＝a1＋a2＋…＋a6.三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2014·山东)海关对同时从A、B、C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区 A B C数量50150100(1)求这6件样品中来自A、B、C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．[解析](1)因为工作人员是按分层抽样抽取样品，所以各地区抽取样品的比例为：AB C＝50150100＝13 2各地区抽取的商品数分别别为A：6×16＝1；B：6×36＝3；C：6×26＝2.(2)设各地商品分别为A、B1、B2、B3、C1、C2所以所含基本事件共有(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，C1)，(A，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)15种不同情况，样本事件包括(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)4种情况．所以，这两件商品来自同一地区的概率为P ＝415.18．(本小题满分12分)高一(1)班参加校生物竞赛学生的成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：(1)求高一(1)班参加校生物竞赛的人数及分数在[80,90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高；(2)若要从分数在[80,100]之间的学生中任选2人进行某项研究，求至少有1人分数在[90,100]之间的概率．[解析](1)因为分数在[50,60)之间的频数为2，频率为0.008×10＝0.08，所以高一(1)班参加校生物竞赛的人数为20.08＝25.分数在[80,90)之间的频数为25－2－7－10－2＝4，频率为425＝0.16，所以频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为0.1610＝0.016.(2)设“至少有1人分数在[90,100]之间”为事件A，将[80,90)之间的4人编号为1、2、3、4，[90,100]之间的2人编号为5、6.在[80,100]之间任取2人的基本事件有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．其中，至少有1人分数在[90,100]之间的基本事件有9个，根据古典概型概率的计算公式，得P(A)＝915＝35.[易错点拨]在茎叶图的基础上，计算频率分布直方图中某个小矩形的高是较新颖的命题方式，计算时，要注意理解小矩形的高的意义．对于古典概型的概率的求解很重要的一步是列举基本事件，此时，要注意避免重复与迹漏．19．(本小题满分12分)某城市理论预测2014年到2018年人口总数(单位：十万)与年份的关系如下表所示：年份2014＋x 0123 4人口总数y 5781119(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程y^＝b^x＋a^；(3)据此估计2019年该城市人口总数．(参考数据：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132,02＋12＋22＋32＋42＝30)[解析](1)概据题中数表画出数据的散点图如下图所示．(2)由题中数表，知x＝15(0＋1＋2＋3＋4)＝2，y＝15(5＋7＋8＋11＋19)＝10.所以b＝5i＝1x i y i－5x－y5i＝1x2i－5x－2＝3.2，a ^＝y －b ^x ＝3.6.所以回归方程为y ^＝3.2x ＋3.6.(3)当x ＝5时，y ^＝3.2×5＋3.6＝19.6(十万)＝196(万)． 答：估计2019年该城市人口总数约为196万．20．(本小题满分12分)(2014·福建)根据世行2013年新标准，人均GDP 低于1035美元为低收入国家；人均GDP 为1035～4085元为中等偏下收入国家；人均GDP 为4085～12616美元为中等偏上收入国家；人均GDP 不低于12616美元为高收入国家．某城市有5个行政区，各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表：行政区 区人口占城市人口比例区人均GDP(单位：美元)A 25% 8000B 30% 4000C 15% 6000D 10% 3000 E20%10000(1)判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准；(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个，求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率．[解析] (1)设城市人口总数为a ，该城市人均GDP 为：8000×0.25a ＋4000×0.30a ＋6000×0.15a ＋3000×0.10a ＋10000×0.20aa ＝6400因为6400∈[4085,12616)所以该城市人均GDP 达到了中等偏上国家标准．(2)从“5个行政区中随机抽取2个”所有的基本事件是：{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{C ，D }，{C ，E }，{D ，E }，共10种情况，其中2个行政区都达到中等以上国家标准的有{A ，C }，{A ，E }，{C ，E }，共3种情况因此P ＝310. 21．(本小题满分12分)随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．[探究] (1)茎叶图中的数据越集中在上部，则说明该班的平均身高较高；(2)先求出平均数，再代入方差公式即可；(3)写出所有基本事件，再统计基本事件的总数和所求事件包含的基本事件的个数，利用古典概型计算概率．[解析] (1)由题中茎叶图可知：甲班身高集中于160～179 cm 之间，而乙班身高集中于170～180 cm 之间，因此乙班平均身高高于甲班．(2)甲班的平均身高为x ＝110(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182)＝170，甲班的样本方差为 s 2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(3)设“身高为176 cm 的同学被抽中”的事件为A ，用(x ，y )表示从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173 cm 的同学的身高，则所有的基本事件有(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A 含有(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，共4个基本事件，故P (A )＝410＝25.22．(本小题满分12分)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的分类垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计 1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为a 、b 、c ，其中a ＞0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a 、b 、c 的方差s 2最大时，写出a 、b 、c 的值(结论不要求证明)，并求出此时s 2的值．[解析] (1)厨余垃圾投放正确的概率为P ＝“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设“生活垃圾投放错误”为事件A ，则事件A 表示“生活垃圾投放正确”．事件A 的概率为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P (A )＝400＋240＋601 000＝710，所以P (A )＝1－P (A )＝1－710＝310.(3)当a ＝600，b ＝0，c ＝0时，方差s 2取得最大值． 因为x ＝13(a ＋b ＋c )＝200，所以s 2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80 000.[名题点睛] 本题结合一个特殊设计的表格给出各类数据，显然，可用的与不可用的数据均在表中，合理应用表中的数据是求解本题的关键．在求解事件的概率时，可考虑利用对立事件求解题．在限定条件下，可根据条件及方差公式判断何时“方差最大”，抓住这一关键性的条件，问题就容易解决了．。