高中数学必修五课件 简单的线性规划问题

z 28 是直线在y轴上的
5/7 M
o
3/7
5/76/7ຫໍສະໝຸດ xy4 x 3
7 x 7 y 5 14x 7 y 6 1 x 7 得M点的坐标为： y 4 7
所以zmin＝28x＋21y＝16
M点是两条直线的交点，解方程组
由此可知，每天食用食物A143g，食物B约 571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低， 最低成本为16元。
二、例题
例5、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提 供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的 脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白 质，0.14kg脂肪，花费28元；而1食物B含有0.105kg碳 水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元。为 了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最 低，需要同时食用食物A和食物B多少kg？
3.3.2 简单的线性规划问题（1）
y
o
x
问题 某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生 产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品 使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16 个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可 能的日生产安排是什么？ 按甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得 二元一次不等式组
y
4 3
o
4
8
问题：
若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3 万元，采用那种生产安排利润最大？
y
4
把z＝2x＋3y变形为
2 z y x 3 3
3
M
它表示斜率为 的直 线系，z与这条直线的 截距有关。
2 3
o
4
8
x
设工厂获得的利润为z，则z＝2x＋3y
2 z 把z＝2x＋3y变形为 y x 3 3 2 它表示斜率为 的直线系，z与这条直线的截距有关。
目标函数为：z＝28x＋21y
作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域
4 z 把目标函数z＝28x＋21y 变形为 y x 3 28
4 它表示斜率为 3
随z变化的一组平行 直线系
6/7
y
截距，当截距最小时， z的值最小。 3/7 如图可见，当 直线z＝28x＋21y 经过可行域上的点 M时，截距最小， 即z最小。
线性目标函数
可行解 可行域 最优解 线性规划问题
关于x, y的一次解析式
满足线性约束条件的解（x, y) 所有可行解组成的集合 使目标函数取得最大值或最小值的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或 最小值问题
【小结】
用线性规划的方法解题的一般步骤是：
1.设未知数;
2.列出约束条件及目标函数;
分析：将已知数据列成表格
食物／kg 碳水化合物／kg 蛋白质/kg 脂肪／kg
A B
0.105 0.105
0.07 0.14
0.14 0.07
解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z， 那么
0.105x＋0.105y 0.075 7 x 7 y 5 0.07x＋0.14 y 0.06 7 x 14 y 6 14x 7 y 6 0.14x 0.07 y 0.06 x 0 x 0 y 0 y 0
满足线性约束的解（x，y）叫做可行解。 由所有可行解组成的集合叫做可行域。 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做 这个问题的最优解。
y
可行域
3
4
最优解
可行解
x
o
4
8
线型规划的有关概念
名称 约束条件 线性约束条件 目标函数 意义 由变量x, y 组成的不等式组 由x,y的一次不等式（或方程）组成的不等式组 关于x, y的函数解析式，如z=2x+3y等
求得A（1.5，2.5）， B（-2，-1），则 Zmax=17，Zmin=-11。
作出直线3x＋5y ＝z 的图像，可知直线经过A 点时，Z取最大值；直线 经过B点时，Z取最小值。
3.3.2简单的线性规划问题（2）
y
o
x
一、线性规划在实际中的应用：
线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用 一、在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何 使用它们来完成最多的任务； 二、给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少 的人力、物力、资金等资源来完成该项任务 下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：
1.解：作出平面区域
y
A o x C
y x x＋y 1 y － 1
z＝2x＋y
B
作出直线y=－2x＋z的图 像，可知z要求最大值，即 直线经过C点时。 求得C点坐标为（2，－1）， 则Zmax=2x＋y＝3
2.解：作出平面区域
y
A
o B
C
x
5 x＋3 y 1 5 1 y x＋ x－5 y 3 z＝3x＋5y
x＋2 y 8 x 2 y 8 4 x 1 6 x 4 y 3 4 y 1 2 x 0 x 0 y 0 y 0
将上述不等式组表示成平面上的区域，图中的阴影 部分中的整点（坐标为整数）就代表所有可能的日生 产安排。
3.作出可行域;
4.求出最优解;
5.答题.
实际 问题
数学 模型
练习：
1、求z＝2x＋y的最大值，使x、y满足约束条件： y x x＋y 1 y － 1
2、求z＝3x＋5y的最大值，使x、y满足约束条件：
5 x＋3 y 1 5 1 y x＋ x－5 y 3
3
由上图可以看出，当实现直线 x=4 与直线 x+2y-8=0 的 z 交 点 M（4，2） 时 ， 截 距 的 值 最 大 ，最大值 3 14 为 ，
3
这时 2x+3y=14. 所以，每天生产甲产品 4 件，乙产品 2
件时，工厂可获得最大利润14万元。
基本概念
一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件。 把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为它 是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问 题，统称为线性规划问题。