人教版九年级上册数学 二次函数单元测试卷 (word版,含解析)

人教版九年级上册数学 二次函数单元测试卷 （word 版，含解

析）

一、初三数学 二次函数易错题压轴题（难）

1．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax （a >0）与x 轴正半轴交于点A ．抛物线L 的顶点为M ，对称轴与x 轴交于点D ．

（1）求抛物线L 的对称轴． （2）抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax 关于x 轴对称的抛物线记为L '，抛物线L '的顶点为M '，若以O 、M 、A 、M '为顶点的四边形是正方形，求L '的表达式．

（3）在（2）的条件下，点P 在抛物线L 上，且位于第四象限，点Q 在抛物线L '上，是否存在点P 、点Q 使得以O 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点P 坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）2x =；（2）2122y x x =-+ ；（3）存在，P 点的坐标为(33,3或(33,3-或(13,3或(13,3+-或31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【解析】

【分析】

（1）根据抛物线的对称轴公式计算即可．

（2）利用正方形的性质求出点M ，M ′的坐标即可解决问题．

（3）分OD 是平行四边形的边或对角线两种情形求解即可．

【详解】

解：（1）∵抛物线L ：y ＝ax 2﹣4ax (a ＞0)，

∴抛物线的对称轴x ＝﹣

42a a

-＝2． （2）如图1中，

对于抛物线y＝ax2﹣4ax，令y＝0，得到ax2﹣4ax＝0，解得x＝0或4，

∴A(4，0)，

∵四边形OMAM′是正方形，

∴OD＝DA＝DM＝DM′＝2，

∴M((2，﹣2)，M′(2，2)

把M(2，﹣2)代入y＝ax2﹣4ax，

可得﹣2＝4a﹣8a，

∴a＝1

2

，

∴抛物线L′的解析式为y＝﹣1

2(x﹣2)2+2＝﹣

1

2

x2+2x．

（3）如图3中，由题意OD＝2．

当OD为平行四边形的边时，PQ＝OD＝2，设P(m，1

2

m2﹣2m)，则Q[m﹣2，﹣

1

2

(m﹣

2)2+2(m﹣2)]或[m+2，﹣1

2

(m+2)2+2(m+2)]，

∵PQ∥OD，

∴1

2m2﹣2m＝﹣

1

2

(m﹣2)2+2(m﹣2)或

1

2

m2﹣2m＝﹣

1

2

(m+2)2+2(m+2)，

解得m ＝3±3或1±3，

∴P (3+3，3)或(3﹣3，﹣3)或(1﹣3，3)和(1+3，﹣3)，

当OD 是平行四边形的对角线时，点P 的横坐标为1，此时P (1，﹣32

)， 综上所述，满足条件的点P 的坐标为(3+3，3)或(3﹣3，﹣3)或(1﹣3，3)和(1+3，﹣3)或(1，﹣

32

)． 【点睛】

本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质，正方形的性质,平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题

2．在平面直角坐标系中，抛物线2

2(0)y ax bx a =++≠经过点(2,4)A --和点(2,0)C ，与y 轴交于点D ，与x 轴的另一交点为点B ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，连接BD ，在抛物线上是否存在点P ，使得2PBC BDO ∠=∠？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，连接AC ，交y 轴于点E ，点M 是线段AD 上的动点（不与点A ，点D 重合），将CME △沿ME 所在直线翻折，得到FME ，当FME 与AME △重叠部分的面积是AMC 面积的14

时，请直接写出线段AM 的长． 【答案】（1）22y x x =-++；（2）存在，（23，209）或（103，529

-）；（3）6102 【解析】

【分析】

（1）根据点A 和点C 的坐标，利用待定系数法求解；

（2）在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，构造出

∠PBC=∠BDE ，分点P 在第三象限时，点P 在x 轴上方时，点P 在第四象限时，共三种情况分别求解；

（3）设EF 与AD 交于点N ，分点F 在直线AC 上方和点F 在直线AC 下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN ，FN=NE ，从而证明四边形FMEA 为平行四边形，继而求解．

【详解】

解：（1）∵抛物线22(0)y ax bx a =++≠经过点A （-2，-4）和点C （2，0），

则44220422a b a b -=-+⎧⎨=++⎩，解得：11a b =-⎧⎨=⎩

， ∴抛物线的解析式为22y x x =-++；

（2）存在，理由是：

在x 轴正半轴上取点E ，使OB=OE ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，

在22y x x =-++中，

令y=0，解得：x=2或-1，

∴点B 坐标为（-1，0），

∴点E 坐标为（1，0），

可知：点B 和点E 关于y 轴对称，

∴∠BDO=∠EDO ，即∠BDE=2∠BDO ，

∵D （0，2），

∴=，

在△BDE 中，有12×BE ×OD=12

×BD ×EF ，

即2×EF ，解得：EF=

5，

∴5，

∴tan ∠BDE=EF DF =43， 若∠PBC=2∠BDO ，

则∠PBC=∠BDE ，

∵BE=2，

则BD 2+DE 2＞BE 2，

∴∠BDE 为锐角，

当点P 在第三象限时，