2016考研数学二真题及解析

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2016年考研数学(二)真题及答案解析完整版

2
故渐近线为 y x . 2
（10）极限
lim
n
1 n2
sin
1 n
2 sin
2 n
nsin
n n
.
【答案】 sin1 cos1
【解析】由 I
lim
n
n i 1
i sin
i n
1 n2
lim n i sin i 1 n n i1 n n
1
x sin xdx
0
x cos x |10
（A） AT 与 BT 相似. （B） A1 与 B1 相似.
（C） A AT 与 B BT 相似.
（D） A A1 与 B B1 相似.
【答案】（C）
【解析】此题是找错误的选项.由 A 与 B 相似可知，存在可逆矩阵 P, 使得 P1AP B ，则 (1) (P1AP)T BT PT AT (PT )1 BT AT ~ BT , 故（A ）不选； (2) (P1AP)1 B1 P1A1P B1 A1 ~ B1，故（B）不选； (3)P1( A A1)P P1AP P1A1P B B1 A A1 ~ B B1, 故（D ）不选；此外，在（ C ）中，对于 P1( A AT )P P1AP P1AT P ，若 P1AP=B ，则
PT AT (PT )1 BT ，而 P1AT P 未必等于 BT ，故（C）符合题意.综上可知，（C）为正确选
项.
（8）设二次型 f (x1, x2 , x3 ) a(x12 x22 x32) 2x1x2 2x2x3 2x1x3 的正负惯性指数分别
为1, 2 ，则( )
（A） a 1. （B） a 2. （C） 2 a 1. （D） a 1 或 a 2.

2016考研数学二真题和答案

2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

；；；，因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分(2)函数在(-,+)内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点【答案】B【解析】这是“ ”型极限，直接有,在处无定义，且所以是的可去间断点，选B。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数，().若在处连续，则(A) (B)(C) (D)【答案】A【解析】易求出，再有不存在，，于是，存在，此时.当时，，=不存在，，因此，在连续。

选A综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-,+)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-,+)内连续，除点外处处二阶可导。

的可疑拐点是的点及不存在的点。

的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧异号，对应的点就是的拐点。

虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数单调性，曲线的凹凸性和拐点(5)设函数满足，则与依次是(A) (B)(C) (D)【答案】D【解析】先求出令于是因此综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学-多元函数微分学-多元函数的偏导数和全微分(6)设D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则(A)(B)(C)(D)【答案】 B【解析】D是第一象限中由曲线与直线围成的平面区域，作极坐标变换，将化为累次积分。

2016年考研数学二真题及解析

2016 年全国硕士研究生入学统一考试
数学（二）试题及解答
本文档仅供学习交流之用. 试题来源于网络, 解答由孟庆鑫提供, 个人观点仅供参考.
一、选择题：1 ∼ 8 小题, 每小题 4 分, 共 32 分. 下列每题给出的四个选项中, 只有一个选项是符合题目要求的.
1.
设
a1
=
x
(
√ cos x
x < 1, 则 f (x) 的一个原函数是 x ⩾ 1,
(D) a3, a2, a1. [D]
(x − 1)2, x < 1, (A) F (x) = x(lnx − 1), x ⩾ 1.
(x − 1)2,
x < 1,
(C) F (x) = x(lnx + 1) + 1, x ⩾ 1.
(x − 1)2, (B) F (x) = x(lnx + 1) − 1, (x − 1)2, (D) F (x) = x(lnx − 1) + 1,
[B]
y
(A) 函数 f (x) 有 2 个极值点, 曲线 y = f (x) 有 2 个拐点.
(B) 函数 f (x) 有 2 个极值点, 曲线 y = f (x) 有 3 个拐点.
(C) 函数 f (x) 有 3 个极值点, 曲线 y = f (x) 有 1 个拐点.
(D) 函数 f (x) 有 3 个极值点, 曲线 y = f (x) 有 2 个拐点.
[A]
数学（二）试题及解答 · 第 1 页（共 6 页）
长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
(A) f1(x) ⩽ f2(x) ⩽ g(x). (C) f1(x) ⩽ g(x) ⩽ f2(x).

2016年考研数学二真题及答案解析

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.1、设1(cos 1)a x x =-，32l n(1)a x x =+，3311a x =+-.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是()（A ）123,,a a a .（B ）231,,a a a .（C ）213,,a a a .（D ）321,,a a a .【答案】（B ）【解析】当0x +→时，211(cos 1)~2a x x x =--,5362l n(1)~a x x x =+,33111~3a x x=+-所以3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是231,,a a a ，故选B.2、已知函数2(1),1,()ln ,1,x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩则()f x 的一个原函数是（A ）2(1), 1.()(ln 1), 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-≥⎩（B ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨+-≥⎩（C ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨++≥⎩（D ）2(1), 1.()(ln 1)1, 1.x x F x x x x ⎧-<=⎨-+≥⎩【答案】（D ）【解析】2(1)1()()ln 1x x F x f x dx x x x Cx ⎧-<==⎨-+>⎩⎰，()F x 需连续，(1)(1)F F +-=1C ⇒=3、反常积分121x e dx x -∞⎰①，1+201x e dx x∞⎰②的敛散性为（A ）①收敛，②收敛.（B ）①收敛，②发散.（C ）①发散，②收敛.（D ）①发散，②发散.【答案】（B ）【解析】11111020011(lim lim )1x x x x x x x e dx e d e e e x x--∞-∞→-∞→=-=-=--=-∞⎰⎰，收敛111111+2000011(lim lim )1lim 0x x x x x xx x x e dx e d e e e e x x++∞+∞→+∞→→+∞=-=-=--=-+=+∞⎰⎰，发散故选B.4、设函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则()（A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.（B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点.（C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点.（D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点.【答案】（B ）【解析】根据极值的必要条件可知，极值点可能是驻点或导数不存在的点。

2016考研数学二真题答案

2016全国研究生入学考试考研数学二解析本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设()(1231,1,1a x a a ===，当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（）()A 123,,a a a ()B 231,,a a a ()C 213,,a a a ()D 321,,a a a【答案】：B【解析】2121~x a -，562~a x ，x a 31~3，则321,,a a a 从低阶到高阶排列应为132,,a a a 。

（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x ⎧-<=⎨≥⎩，则()f x 的一个原函数是（）()()()21,1()ln 1,1x x A F x x x x ⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩ ()()()21,1()ln 11,1x x B F x x x x ⎧-<⎪=⎨+-≥⎪⎩()()()21,1()ln 11,1x x C F x x x x ⎧-<⎪=⎨++≥⎪⎩ ()()()21,1()ln 11,1x x D F x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩【答案】：()D【解析】：由于原函数一定是连续，可知函数()F x 在1x =连续，而()A 、()B 、()C 中的函数在1x =处均不连续，故选()D 。

（3）反常积分()1211x e dx x -∞⎰与()12012x e dx x+∞⎰的敛散性为（） ()A ()1收敛，()2收敛 ()B ()1收敛，()2发散 ()C ()1发散，()2收敛 ()D ()1发散，()2发散【答案】B【解析】1101102=-=∞-∞-⎰xx e dx e x ，故()1收敛。

∞+∞+-=⎰11021x xe dx e x，由于1lim x x e +→=+∞，故()2发散（4）设函数()y f x =在()-+∞∞，内连续，其导数的图像，如图所示，则（A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点（B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点（C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点（D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点【答案】：（B ）【解析】由图可知曲线有两个点左右两边导数符号不一样，有三个点左右两边导函数单调性不一样，故有2个极值点，3个拐点.（5）设函数()i y f x =()1,2i =具有二阶连续导数，且()0i f x ''<()1,2i =，若两条曲线()i y f x =()1,2i =在点()00,x y 处具有公切线()y g x =，且在该点处曲线()1y f x =的曲率大于曲线()2y f x =的曲率，则在点0x 的某个邻域内，有（）()()()()12A f x f x g x ≤≤ ()()()()21B f x f x g x ≤≤ ()()()()12C f x g x f x ≤≤ ()()()()21D f x g x f x ≤≤【答案】A【解析】：由于()0i f x "<可知，)(1x f 与)(2x f 均为凸函数，可知)(1x f y =，)(2x f y =的图像均在其切线下方，故)()(),(21x g x f x f ≤，由曲率公式232222232111))((1)(,))((1)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+"-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'+"-=x f x f k x f x f k ，由21k k >可知，1020()()f x f x ""<，则)()(21x f x f <.（6）已知函数(),xe f x y x y=-，则（A ）''0x y f f -= （B ）''+0x y f f = （C ） ''x y f f f -= （D ） ''x y f f f += 【答案】：（D ）【解析】()()''''22,,x x x xy x y e e e f f f f f x y x y x y =-=+=---. （7）设,A B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（）()A T A 与T B 相似 ()B 1A -与1B -相似()C T A A +与T B B +相似 ()D 1A A -+与1B B -+相似【答案】：()C【解析】：因为A 与B 相似，所以存在可逆矩阵P ，使得1,P AP B -=两端取转置与逆可得：()1TTTT P A PB -=,111P A P B ---=,()111P A A P B B ---+=+,可知()A 、()B 、()D 均正确，故选择()C 。

考研数学二真题2016年.doc

考研数学二真题2016年(总分：150.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 4.00）A.a1，a2，a3B.a2，a3，a1C.a2，a1，a3D.a3，a2，a12.已知函数f(x)的一个原函数是______A．B．C．D． 4.00）A.B.C.D.3. 4.00）A.①收敛，②收敛B.①收敛，②发散C.①发散，②收敛D.①发散，②发散4.设函数f(x)在(-∞，+∞)内连续，其导函数的图形如图所示，则______4.00）A.函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点B.函数f(x)有2个极值点，曲线y=f(x)有3个拐点C.函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有1个拐点D.函数f(x)有3个极值点，曲线y=f(x)有2个拐点5.设函数f i (x)(i=1，2)具有二阶连续导数，且f" i (x 0 )＜0(i=1，2)，若两条曲线y=f i (x)(i=1，2)在点(x 0，y 0 )处具有公切线y=g(x)，且在该点处曲线y=f 1 (x)的曲率大于曲线y=f 2 (x)的曲率，则在x 0的某个邻域内有______（分数：4.00）A.f1(x)≤f2(x)≤g(x)B.f2(x)≤f1(x)≤g(x)C.f1(x)≤g(x)≤f2(x)D.f2(x)≤g(x)≤f1(x)6. 4.00）A.f"x-f"y=0B.f"x+f"y=0C.f"x-f"y=fD.f"x+f"y=f7.设A，M是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是______∙ A.A T与B T相似∙ B.A-1与B-1相似∙ C.A+A T与B+B T相似∙ D.A+A-1与B+B-1相似（分数：4.00）A.B.C.D.8. 4.00）A.a＞1B.a＜-2C.-2＜a＜1D.a=1或a=-2二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.曲线 4.00）10.极限 4.00）11.以y=x 2 -e x和y=x 2为特解的一阶非齐次线性微分方程为 1．（分数：4.00）12.已知函数f(x)在(-∞，+∞)上连续， 4.00）13.已知动点P在曲线y=x 3上运动，记坐标原点与点P间的距离为l．若点P的横坐标时间的变化率为常数v 0，则当点P运动到点(1，1)时，l对时间的变化率是 1．（分数：4.00）14.设矩阵 4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.求极限10.00）__________________________________________________________________________________________16.设函数10.00）__________________________________________________________________________________________ 17.已知函数z=z(x，y)由方程(x 2 +y 2 )z+lnz+2(x+y+1)=0确定，求z=z(x，y)的极值．（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________18.设D是由直线y=1，y=x，y=-x围成的有界区域，计算二重积分10.00）__________________________________________________________________________________________19.已知y 1 (x)=e x，y 2 (x)=u(x)e x是二阶微分方程(2x-1)y"-(2x+1)y"+2y=0的两个解．若u(-1)=e，u(0)=-1，求u(x)并写出微分方程的通解．（分数：10.00）__________________________________________________________________________________________20.设D是由曲线11.00）__________________________________________________________________________________________已知函数f(x)11.00）(1).求f(x) 5.50）__________________________________________________________________________________________(2).证明f(x) 5.50）__________________________________________________________________________________________11.00）(1).求a的值；（分数：5.50）__________________________________________________________________________________________ (2).求方程组A T Ax=A Tβ的通解．（分数：5.50）__________________________________________________________________________________________11.00）(1).求A 99；（分数：5.50）__________________________________________________________________________________________ (2).设3阶矩阵B=(α1，α2，α3 )满足B 2 =BA．记B 100 =(β1，β2，β3 )，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．（分数：5.50）__________________________________________________________________________________________。

2016考研数学二真题及答案

2016考研数学二真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210【详解】αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα211211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧>>121αα所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin+= （D ）x x y 12sin +=【详解】对于xx y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y = 应该选（C ）3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ） 4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（）（Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 【详解】曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式321)'("y y K +=，曲率半径KR 1=．本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222122tt t dx y d -=-=，对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10101132=+=)'("y y K ，曲率半径10101==KR ．应该选（C ）5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22x x ξlim（）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21 （Ｄ）31 【详解】注意（1）211xx f +=)('，（2）)(arctan ,33310x o x x x x +-=→时．由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=211ξξ，22)(arctan arctan x x x -=ξ，313133302022=+--=-=→→→xx o x x x x x xarx x x x x x )()(lim )(arctan tan limlimξ． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u 及02222=∂∂+∂∂yux u ，则（）．（A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；（C ）),(y x u 的最大值点在区域D 的内部，最小值点在区域D 的边界上；（D ）),(y x u 的最小值点在区域D 的内部，最大值点在区域D 的边界上．【详解】),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，所以),(y x u 在D 内必然有最大值和最小值．并且如果在内部存在驻点),(00y x ，也就是0=∂∂=∂∂yux u ，在这个点处x y u y x u B yu C x u A ∂∂∂=∂∂∂=∂∂=∂∂=222222,,，由条件，显然02<-B AC ，显然),(y x u 不是极值点，当然也不是最值点，所以),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上．所以应该选（A ）．7．行列式dc d c ba b a0000000等于（A ）2)(bc ad - （B ）2)(bc ad -- （C ）2222c b d a - （D ）2222c b d a +-【详解】20000000000000000)(bc ad dc ba bc d cb a ad dc c ba b d c db a a dc d c ba b a --=+-=+-=应该选（B ）．8．设321ααα,, 是三维向量，则对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关是向量321ααα,,线性无关的（A ）必要而非充分条件（B ）充分而非必要条件（C ）充分必要条件（D ）非充分非必要条件【详解】若向量321ααα,,线性无关，则（31ααk +，32ααl +）K l k ),,(),,(3213211001αααααα=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=，对任意的常数l k ,，矩阵K 的秩都等于2，所以向量31ααk +，32ααl +一定线性无关．而当⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001321ααα,,时，对任意的常数l k ,，向量31ααk +，32ααl +线性无关，但321ααα,,线性相关；故选择（A ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．⎰∞-=++12521dx x x ．【详解】⎰⎰∞-∞-∞-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+=++=++11122832421212141521πππ)(|arctan )(x x dx dx x x ． 10．设)(x f 为周期为4的可导奇函数，且[]2012,),()('∈-=x x x f ，则=)(7f ．【详解】当[]20,∈x 时，C x x dx x x f +-=-=⎰2122)()(，由00=)(f 可知0=C ，即x x x f 22-=)(；)(x f 为周期为4奇函数，故1117==-=)()()(f f f ． 11．设),(y x z z =是由方程4722=+++z y x eyz确定的函数，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz ．【详解】设4722-+++=z y x ez y x F yz),,(，1222122+=+==yz z yz y x ye F y ze F F ,,，当21==y x 时，0=z ，21-=-=∂∂z x F F x z ，21-=-=∂∂z y F F y z ，所以=⎪⎭⎫ ⎝⎛2121,|dz dy dx 2121--．12．曲线L 的极坐标方程为θ=r ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为．【详解】先把曲线方程化为参数方程⎩⎨⎧====θθθθθθθθsin sin )(cos cos )(r y r x ，于是在2πθ=处，20π==y x ,，πθθθθθθππ222-=-+=|sin cos cos sin |dx dy ，则L 在点⎪⎭⎫⎝⎛=22ππθ,),(r 处的切线方程为)(022--=-x y ππ，即.22ππ+-=x y13．一根长为1的细棒位于x 轴的区间[]10,上，若其线密度122++-=x x x )(ρ，则该细棒的质心坐标=x ．【详解】质心坐标20113512111221021231010==++-++-==⎰⎰⎰⎰dx x x dx x x x dx x dxx x x )()()()(ρρ． 14．设二次型3231222132142x x x ax x x x x x f ++-=),,(的负惯性指数是1，则a 的取值范围是．【详解】由配方法可知232232231323122213214242xa x x ax x x x x ax x x x x x f )()()(),,(-+--+=++-=由于负惯性指数为1，故必须要求042≥-a ，所以a 的取值范围是[]22,-．三、解答题15．（本题满分10分）求极限)ln())((limxx dt t e t x tx 1112112+--⎰+∞→．【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．【详解】21121111111222121122112=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++=--=--=+--∞→∞→+∞→+∞→⎰⎰x x o x x x x e x xdtt e t x x dtt e t x xx xtx x tx )((lim ))((lim ))((lim)ln())((lim16．（本题满分10分）已知函数)(x y y =满足微分方程''y y y x -=+122，且02=)(y ，求)(x y 的极大值和极小值．【详解】解：把方程化为标准形式得到2211x dxdyy -=+)(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分可得方程通解为：C x x y y +-=+333131，由02=)(y 得32=C ，即32313133+-=+x x y y ．令01122=+-=y x dx dy ，得1±=x ，且可知3222222211212)()()(y x y y x dx y d +--+-=；当1=x 时，可解得1=y ，01<-="y ，函数取得极大值1=y ；当1-=x 时，可解得0=y ，02>="y ，函数取得极小值0=y ． 17．（本题满分10分）设平面区域{}004122≥≥≤+≤=y x y x y x D .,|),(．计算⎰⎰++Ddxdy yx y x x )sin(22π【详解】由对称性可得432112121212022222222-==+=+++=++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰D DD Ddr r r d dxd y x dxdyy x y x y x dxd y x y x y dxd y x y x x πθπππππsin )sin()sin()()sin()sin(18．（本题满分10分）设函数)(u f 具有二阶连续导数，)cos (y e f z x=满足x x e y e z yzx z 222224)cos (+=∂∂+∂∂．若0000==)(',)(f f ，求)(u f 的表达式．【详解】设y e u xcos =，则)cos ()(y e f u f z x==，y e u f y e u f xz e u f xzxx y x cos )('cos )(",)('cos +=∂∂=∂∂2222; y e u f y e u f yz y e u f y z xx x cos )('sin )(",sin )('-=∂∂-=∂∂2222； x x x e y e f e u f yzx z 222222)cos (")("==∂∂+∂∂ 由条件xx e y e z yz x z 222224)cos (+=∂∂+∂∂，可知u u f u f +=)()("4这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．对应齐次方程的通解为：u u e C e C u f 2221-+=)(其中21C C ,为任意常数．对应非齐次方程特解可求得为u y 41-=*．故非齐次方程通解为u e C eC u f u u412221-+=-)(．将初始条件0000==)(',)(f f 代入，可得16116121-==C C ,．所以)(u f 的表达式为u e e u f u u 4116116122--=-)(． 19．（本题满分10分）设函数)(),(x g x f 在区间[]b a .上连续，且)(x f 单调增加，10≤≤)(x g ，证明：（1） []b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0；（2）⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．【详解】（1）证明：因为10≤≤)(x g ，所以[]b a x dt dt t g dx xax axa,)(∈≤≤⎰⎰⎰10．即[]b a x a x dt t g xa,,)(∈-≤≤⎰0．（2）令⎰⎰⎰-=+xa dtt g a axadu u f du u g u f x F )()()()()(，则可知0=)(a F ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰xa dt t g a f x g x g x f x F )()()()()('，因为,)(a x dt t g xa-≤≤⎰0且)(x f 单调增加，所以)()()(x f a x a f dt t g a f xa=-+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰．从而0=-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰)()()()()()()()()('x f x g x g x f dt t g a f x g x g x f x F xa ，[]b a x ,∈也是)(x F 在[]b a ,单调增加，则0=≥)()(a F b F ，即得到⎰⎰≤⎰+badtt g a adx x g x f dx x f ba )()()()(．20．（本题满分11分）设函数[]101,,)(∈+=x xxx f ，定义函数列 )()(x f x f =1，))(()(x f f x f 12=，ΛΛ)),(()(,x f f x f n n 1-=设n S 是曲线)(x f y n =，直线01==y x ,所围图形的面积．求极限n n nS ∞→lim ．【详解】x xxx x xx f x f x f x x x f 21111111121+=+++=+=+=)()()(,)(，Λ,)(x x x f 313+=，利用数学归纳法可得.)(nxxx f n +=1))ln(()()(nn n dx nx n dx nx x dx x f S n n +-=+-=+==⎰⎰⎰1111111110101，111=⎪⎭⎫⎝⎛+-=∞→∞→n n nS n n n )ln(lim lim ． 21．（本题满分11分）已知函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf，且y y y y y f ln )()(),(--+=212，求曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积．【详解】由于函数),(y x f 满足)(12+=∂∂y yf ，所以)(),(x C y y y x f ++=22，其中)(x C 为待定的连续函数．又因为y y y y y f ln )()(),(--+=212，从而可知y y y C ln )()(--=21，得到x x y y x C y y y x f ln )()(),(--++=++=212222．令0=),(y x f ，可得x x y ln )()(-=+212．且当1-=y 时，2121==x x ,．曲线0=),(y x f 所成的图形绕直线1-=y 旋转所成的旋转体的体积为πππ)ln (ln )()(45222121212-=-=+=⎰⎰dx x x dx y V22．（本题满分11分）设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=302111104321A ，E 为三阶单位矩阵．（1）求方程组0=AX 的一个基础解系；（2）求满足E AB =的所有矩阵．【详解】（1）对系数矩阵A 进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=310020101001310011104321134011104321302111104321A ，得到方程组0=AX 同解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==-=43424132xx x x x x得到0=AX 的一个基础解系⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=13211ξ．（2）显然B 矩阵是一个34⨯矩阵，设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=444333222111z y x z y x z y x z y x B 对矩阵)(AE 进行进行初等行变换如下：⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=141310013120101621001141310001011100014321101134001011100014321100302101011100014321)(AE由方程组可得矩阵B 对应的三列分别为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011214321c x x x x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321043624321c y y y y ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1321011134321c z z z z ，即满足E AB =的所有矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+-++-+-----=321321321321313431212321162c c cc c c c c c c c c B 其中321c c c ,,为任意常数． 23．（本题满分11分）证明n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111ΛM M M ΛΛ与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100ΛM M M ΛΛ相似．【详解】证明：设=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111ΛM M M ΛΛ，=B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100ΛM M M ΛΛ．分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：1111111111--=---------=-n n A E λλλλλλ)(ΛM M MΛΛ，所以A 的n 个特征值为0321====n n λλλλΛ,；而且A 是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00Λλ~A ； 1002010--=---=-n n nB E λλλλλλ)(ΛM M M ΛΛ所以B 的n 个特征值也为0321====n n λλλλΛ,；。

2014～2016考研数学二真题及参考答案

2014～2016考研数学二真题及参考答案2014考研数学二真题及参考答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1) 当0x +→时，若ln (12)x +α，1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小，α的取值范围是( )(A) (2,)+∞(B) (1,2)(C) 1(,1)2(D) 1(0,)2(2) 下列曲线中有渐近线的是( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1siny x x =+(D) 21siny x x=+ (3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（）(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥(B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤(C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥(D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是（）(C)(D)(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则22limx x →=ξ（） (A)1(B)23(C)12(D)13(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y∂≠∂∂及22220u ux y ∂∂+=∂∂，则（）(A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得(7) 行列式0000000a b a bc dc d= （）(A) 2()ad bc - (B) 2()ad bc -- (C) 2222a d b c -(D) 2222b c a d -(8) 设123,,ααα均为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l ++αααα线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（）(A) 必要非充分条件 (B) 充分非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分也非必要条件二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. ((9)12125dx x x -∞=++⎰__________.(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________.(11) 设(,)z z x y =是由方程2274yzex y z +++=确定的函数，则11(,)22dz=__________.(12) 曲线()r r =θ的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________.(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________.(14) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围为_______.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xt x t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰(16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小值.(17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y xy x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.(18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x x z z z y x y∂∂+=+∂∂，若'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式. (19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 的区间[a,b]上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤.证明：(I)0(),[,]xag t dt x a x a b ≤≤-∈⎰,(II)()()d ()g()ba a g t dtb aaf x x f x x dx +⎰≤⎰⎰.(20)(本题满分11分)设函数[](x),0,11xf x x=∈+，定义函数列121()(),()(()),f x f x f x f f x ==,1()(()),n n f x f f x -=，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞. (21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积. (22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵.(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与00100200n ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似. 参考答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1) 当0x +→时，若ln (12)x +α，1(1cos )x -α均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是( )(A) (2,)+∞(B) (1,2)(C) 1(,1)2(D) 1(0,)2【答案】B【解析】由定义 1000ln (12)(2)limlim lim 20x x x x x x x x-→→→+===αααα 所以10->α，故1>α.当0x +→时，211(1cos )~2xx -ααα是比x 的高阶无穷小，所以210->α，即2<α.故选B(2) 下列曲线中有渐近线的是( )(A) sin y x x =+ (B) 2sin y x x =+ (C) 1sin y x x =+(D) 21siny x x=+ 【答案】C【解析】关于C 选项：11sinsinlimlim1lim 101x x x x x x x x →∞→∞→∞+=+=+=. 11lim[sin ]limsin 0x x x x x x →∞→∞+-==，所以1sin y x x =+存在斜渐近线y x =.故选C(3) 设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]上（）(A) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≥(B) 当()0f x '≥时，()()f x g x ≤(C) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥(D) 当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤【答案】D【解析】令()()()(0)(1)(1)()F x g x f x f x f x f x =-=-+-，则(0)(1)0F F ==,()(0)(1)()F x f f f x ''=-+-,()()F x f x ''''=-.若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，()F x 在[0,1]上为凸的.又(0)(1)0F F ==，所以当[0,1]x ∈时，()0F x ≥，从而()()g x f x ≥. 故选D.(4) 曲线22741x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是（）(C)(D)【答案】C 【解析】1112'21122432212t t t t t dy t dxtd y dy tdx dx t=====+==-===-()()''33'22211,11y k R kq y ==∴==++ 故选C(5) 设函数()arctan f x x =，若()()f x xf '=ξ，则22limx x→=ξ（）(A)1(B)23(C)12(D)13【答案】D 【解析】因为'2()1()1f x f x ==+ξξ，所以2()()x f x f x -=ξ22222200011()arctan 11limlimlim lim()arctan 33x x x x x f x x xx x x f x x x x →→→→---+====ξ故选D.(6) 设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20u x y ∂≠∂∂及22220u ux y∂∂+=∂∂，则（）(A)(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 (B) (,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部上取得(C) (,)u x y 的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得 (D) (,)u x y 的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得【答案】A【解析】记22222,,,0,,u u uA B C B A C x x y y∂∂∂===≠∂∂∂∂相反数则2=AC-B 0∆<,所以(x,y)u 在D 内无极值，则极值在边界处取得.故选A(7)行列式0000000ab a bc d c d= ( )(A)2()ad bc - (B)2()ad bc -- (C)2222a dbc -(D)2222b c a d -【答案】B【解析】由行列式的展开定理展开第一列000000000000a b a b a b a b a cd c b c d dcdc d=--()()ad ad bc bc ad bc =--+- 2()ad bc =--.(8) 设123,,a a a 均为三维向量，则对任意常数,k l ,向量组13a ka +,23a la +线性无关是向量组123,,a a a 线性无关的( )(A)必要非充分条件 (B)充分非必要条件 (C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】()()13231231001k l k l ⎛⎫⎪++= ⎪ ⎪⎝⎭ααααααα.)⇐ 记()1323A k l =++αααα，()123B =ααα，1001k l ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C . 若123,,ααα线性无关，则()()()2r A r BC r C ===，故1323,k l ++αααα线性无关.)⇒ 举反例. 令30=α，则12,αα线性无关，但此时123,,ααα却线性相关.综上所述，对任意常数,k l ，向量1323,k l ++αααα线性无关是向量123,,ααα线性无关的必要非充分条件.故选A二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上.(9) 12125dx x x -∞=++⎰__________.【答案】38π【解析】()111221111arctan 252214132428x dx dx x x x -∞-∞-∞+==++++⎡⎤⎛⎫=--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰πππ(10) 设()f x 是周期为4的可导奇函数，且()f x '2(1),x =-[0,2]x ∈，则(7)f =__________.【答案】1【解析】()()[]'210,2f x x x =-∈，且为偶函数则()()[]'212,0f x x x =--∈-，又()22f x x x c =--+且为奇函数，故=0c()[]222,0f x x x x ∴=--∈-，又()f x 的周期为4，()()711f f ∴=-=(11) 设(,)z z x y =是由方程2274yzex y z +++=确定的函数，则11(,)22dz=__________.【答案】1()2dx dy -+ 【解析】对2274yzex y z +++=方程两边同时对,x y 求偏导22210(22)20yzyz z z e y x x z z e z y y y y ∂∂⎧⋅⋅++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=∂∂⎪⎩当11,22x y ==时,0z = 故1111(,)(,)222211,22z z x y∂∂=-=-∂∂故11(,)22111()()222dzdx dy dx dy =-+-=-+(12) 曲线lim n n nS →∞的极坐标方程是r =θ，则L 在点(,)(,)22r =ππθ处的切线的直角坐标方程是__________. 【答案】22y x =-+ππ【解析】由直角坐标和极坐标的关系 cos cos sin sin x r y r ==⎧⎨==⎩θθθθθθ，于是(),,,22r ⎛⎫=⎪⎝⎭ππθ对应于(),0,,2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭π 切线斜率cos sin cos sin dydy d dx dx d +==-θθθθθθθθ0,22dy dx ⎛⎫⎪⎝⎭∴=-ππ所以切线方程为()202y x -=--ππ即2=2y x -+ππ(13) 一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上,若其线密度()221x x x =-++ρ,则该细棒的质心坐标x =__________.【答案】1120【解析】质心横坐标()()1010x x dx x x dx=⎰⎰ρρ ()()()()31122100042112310005=2133211=2143212x x dx x x dx x x x x x x dx x x x dx x ⎛⎫-++=-++= ⎪⎝⎭⎛⎫-++=-++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ρρ111112=5203x ∴=(13) 设二次型()22123121323,,24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数是1，则a 的取值范围_________. 【答案】[]2,2-【解析】配方法：()()()22222123133233,,24f x x x x ax a x x x x =+---+由于二次型负惯性指数为1，所以240a -≥，故22a -≤≤.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)求极限12121lim.1ln 1xt x t e t dt x x →+∞⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰【解析】11221122d d (e 1)(e 1)limlim 11ln(1)xx t t x x t t t t t t x x x x→+∞→+∞⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=+⋅⎰⎰12lim[(e 1)]xx x x →+∞=--12000e 1e 11lim lim lim 222t t t xt t t t t t t t +++=→→→---====.(16)(本题满分10分)已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且()20y =，求()y x 的极大值与极小值.【解析】由221x y y y ''+=-，得22(1)1y y x '+=-………………………………………………………① 此时上面方程为变量可分离方程，解的通解为331133y y x x c +=-+ 由(2)0y =得23c =又由①可得 221()1x y x y -'=+当()0y x '=时，1x =±，且有：1,()011,()01,()0x y x x y x x y x '<-<'-<<>'>< 所以()y x 在1x =-处取得极小值，在1x =处取得极大值 (1)0,(1)1y y -==即：()y x 的极大值为1，极小值为0.(17)(本题满分10分)设平面区域(){}22,14,0,0,D x y xy x y =≤+≤≥≥计算(sin Dx dxdy x y+⎰⎰.【解析】D 关于y x =对称，满足轮换对称性，则：D D=12D D I dxdy∴==⎢⎥⎣⎦⎰⎰1sin(2Ddxdy =⎰⎰ 221211sin 21()cos 4d r rdrrd r =⋅=-⎰⎰⎰πθππππ22111cos |cos 4r r rdr ⎡⎤=-⋅-⎢⎥⎣⎦⎰ππ211121sin |4r ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦ππ 34=-(18)(本题满分10分)设函数()f u 具有二阶连续导数，(e cosy)xz f =满足22222(4e cos )e x x z z z y x y∂∂+=+∂∂，若'(0)0,(0)0f f ==，求()f u 的表达式. 【解析】由()cos ,x z f e y =()(cos )cos ,(cos )sin x x x x z zf e y e y f e y e y x y∂∂''=⋅=⋅-∂∂ 22(cos )cos cos (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y x∂'''=⋅⋅+⋅∂， ()()()22(cos )sin sin (cos )cos x x x x xz f e y e y e y f e y e y y∂'''=⋅-⋅-+⋅-∂由 ()22222+4cos x xz z z e y e x y∂∂=+∂∂，代入得，()()22cos [4cos cos ]x x x x x f e y e f e y e y e ''⋅=+即()()cos 4cos cos x x x f e y f e y e y ''-=，令cos =,xe y t 得()()4f t f t t ''-=特征方程 240,2-==±λλ 得齐次方程通解2212t t y c e c e -=+设特解*y at b =+，代入方程得1,04a b =-=，特解*14y t =- 则原方程通解为()22121=4t ty f t c e c e t -=+-由()()'00,00f f ==，得1211,1616c c ==-, 则()22111=16164u u y f u e e u -=--.(19)(本题满分10分)设函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤，证明：（I ）0(),[,]xag t dt x a x a b ≤≤-∈⎰,（II ）()()d ()g()ba a g t dtb aaf x x f x x dx +⎰≤⎰⎰. 【解析】（I ）由积分中值定理()()(),[,]xag t dt g x a a x =-∈⎰ξξ()01g x ≤≤，()()()0g x a x a ∴≤-≤-ξ()()0xa g t dt x a ∴≤≤-⎰（II ）直接由()01g x ≤≤，得到()()01=x xaag t dt dt x a ≤≤-⎰⎰（II ）令()()()()()ua u a g t dt aaF u f x g x dx f x dx +⎰=-⎰⎰()()()()()()()()()()'uaua F u f u g u f a g t dt g u g u f u f a g t dt =-+⋅⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰由（I ）知()()0uag t dt u a ≤≤-⎰()uaa a g t dt u ∴≤+≤⎰又由于()f x 单增，所以()()()0u af u f ag t dt -+≥⎰()()'0F u F u ∴≥∴，单调不减，()()0F u F a ∴≥=取u b =，得()0F b ≥，即（II ）成立. (20)(本题满分11分)设函数[](x),0,11xf x x=∈+，定义函数列 1211()(),()(()),,()(()),n n f x f x f x f f x f x f f x -===，记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围成平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞.【解析】123(),(),(),,(),112131n x x x x f x f x f x f x x x x nx====++++ 11100011()11n n x x n n S f x dx dx dx nx nx+-∴===++⎰⎰⎰ 1110200111111ln(1)1dx dx nx n n nx n n =-=-++⎰⎰ 211ln(1)n n n=-+ ln(1)ln(1)1lim 1lim 1lim 1lim 1n n n x x n x nS n x x→∞→∞→∞→∞++∴=-=-=-+101=-= (21)(本题满分11分) 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln ,f y y y y y =+--求曲线(,)0f x y =所围成的图形绕直线1y =-旋转所成的旋转体的体积.【解析】因为2(1)fy y∂=+∂,所以2(,)2(),f x y y y x =++ϕ其中()x ϕ为待定函数.又因为()2(,)(1)2ln ,f y y y y y =+--则()()12ln y y y =--ϕ，从而()()22(,)212ln (1)2ln f x y y y x x y x x =++--=+--.令(,)0,f x y =可得()2(1)2ln y x x +=-，当1y =-时，1x =或2x =，从而所求的体积为()()2221122112ln ln 22V y dx x xdxx xd x =+=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰πππ22211221ln (2)222552ln 2(2)2ln 22ln 2.444x x x x dxx x ⎡⎤⎛⎫=--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫=--=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰πππππππ(22)(本题满分11分)设矩阵123401111203A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，E 为三阶单位矩阵.(I)求方程组0Ax =的一个基础解系； (II)求满足AB E =的所有矩阵B .【解析】()123410012341000111010011101012030010431101A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭123410010012610111010010213100131410013141---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭, (I)0Ax =的基础解系为()1,2,3,1T=-ξ (II)()()()1231,0,0,0,1,0,0,0,1TTT e e e ===1Ax e =的通解为()()111112,1,1,02,12,13,T Tx k k k k k =+--=--+-+ξ2Ax e =的通解为()()222226,3,4,06,32,43,T Tx k k k k k =+--=--+-+ξ3Ax e =的通解为()()333331,1,1,01,12,13,TTx k k k k k =+-=--++ξ123123123123261123212134313k k k k k k B k k k k k k ----⎛⎫ ⎪-+-++⎪∴= ⎪-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭（123,,k k k 为任意常数）(23)(本题满分11分)证明n 阶矩阵111111111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭与00100200n ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭相似. 【解析】已知()1111A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()12001B n ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=，则A 的特征值为n ，0(1n -重).A 属于n λ=的特征向量为(1,1,,1)T ；()1r A =，故0Ax =基础解系有1n -个线性无关的解向量，即A 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量；故A 相似于对角阵0=0n ⎛⎫ ⎪⎪Λ ⎪ ⎪⎝⎭. B 的特征值为n ，0(1n -重)，同理B 属于0λ=有1n -个线性无关的特征向量，故B 相似于对角阵Λ.由相似关系的传递性，A 相似于B .2015考研数学二真题及答案一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.(1) 下列反常积分收敛的是 ( )(A)2+∞⎰(B)2ln x dx x +∞⎰(C)21ln dx x x +∞⎰ (D)2x x dx e +∞⎰【答案】(D) 【解析】(1)x x xdx x e e-=-+⎰，则2222(1)3lim (1)3x x x x x dx x e e x e e e +∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰. (2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内 ( )(A) 连续(B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点【答案】(B)【解析】220sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x tt t f x e e x→→=+==，0x ≠，故()f x 有可去间断点0x =.(3)设函数()1cos ,00,0x x x f x x αβ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:( )(A)0αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'=()1001cos010lim lim cosx x x x f x x x αβαβ++-+→→-'== 0x >时，()()()11111cos 1sin f x x x x x x ααβββαβ-+'=+-- 1111cossin x x x xααβββαβ---=+ ()f x '在0x =处连续则：()()10100lim cos 0x f f x x αβ+--+→''===得10α->()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭得：10αβ-->，答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个。

2016年考研数学二真题与详解详析

1
(−
x2
+
2x
+ 1)dx
5 20
0
3
14 ．设二次型
f
( x1 , x2 , x3 )
=
x12
−
x
2 2
+
2ax1 x3
+
4x2 x3
的负惯性
指数是
1，则 a 的取值范围
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是
．
【详解】由配方法可知
f ( x1 , x2 , x3 ) = x12 − x22 + 2ax1 x3 + 4 x2 x3 = ( x1 + ax3 )2 − ( x2 − 2 x3 )2 + (4 − a 2 ) x32
(1 + y'2 )3
K
dx
本题中
dt
= 2t, dy dt
= 2t + 4 ，所以 dy dx
=
2t + 4
2 d2y
2t = 1+ t ， dx 2
=
−
2 t2
2t
1 = − t3
，
对应于 t = 1的点处 y'= 3, y"= −1，所以 K =
y" = 1 ，曲率半径 R = 1 = 10 10 ．
∂u ∂u
∂2u
∂2u
∂2u ∂2u
内部存在驻点 ( x0 , y0 ) ，也就是 ∂x = ∂y = 0 ，在这个点处 A = ∂x 2 ,C = ∂y 2 , B = ∂x∂y = ∂y∂x ，由
条件，显然 AC − B 2 < 0 ，显然 u( x, y) 不是极值点，当然也不是最值点，所以 u( x, y) 的最大值点和最

2016考研数学二真题及答案解析

故渐近线为 y x （10）极限 lim n

2
1 1 2 n sin 2sin n sin 2 n n n n
【答案】 sin1 cos1 【解析】由 I lim
n
i sin
i 1
n
n 1 i 1 i i 1 lim sin x sin xdx 2 n nn nn 0 i 1 n
2 x 1 , x 1 B F x x ln x 1 1, x 1
）
2 x 1 , x 1 A F x x ln x 1 , x 1
2 2 x 1 , x 1 x 1 , x 1 C F x D F x x ln x 1 1, x 1 x ln x 1 1, x 1
x
x3 arctan 1 x 2 的斜渐近线方程为 2 1 x

2
x2 y arctan 1 x 2 lim 2 x x x 1 x

1

x3 2 b lim y x lim x arctan 1 x x x 1 x 2 x lim arctan 1 x 2 2 x 1 x 2
2 2 2
为 1, 2 ，则（
）
（A） a 1 （B） a 2 （C） 2 a 1 （D） a 1 或 a 2 【答案】（C）【解析】考虑特殊值法，当 a 0 时， f ( x1 , x2 , x3 ) 2 x1 x2 2 x2 x3 2 x1 x3 ，

2016考研数学二真题和答案解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

；；；，因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数，().若在处连续，则(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】易求出，再有不存在，，于是，存在，此时.当时，，=不存在，，因此，在连续。

选A综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数连续的概念，函数的左极限和右极限(4)设函数在(-,+)内连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为 A O B(A) (B)(C) (D)【答案】C【解析】在(-,+)内连续，除点外处处二阶可导。

的可疑拐点是的点及不存在的点。

的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧异号，对应的点就是的拐点。

虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。

综上所述，本题正确答案是C。

2016年数学真题(数二).pdf

所以应选（C）.
（8）设二次型fx1,x2,x3ax12x22x322x1x22x2x32x1x3的正负惯性指数分别
为 1,2，则
（A）a1（B）a2（C）2a1（D）a1与a2
【解析】C
a
1
1
1aBiblioteka 1二次型矩阵A =
1
1
a
(B)函数f(x)有 2 个极值点，曲线yf(x)有 3 个拐点
(C)函数f(x)有 3 个极值点，曲线yf(x)有 1 个拐点
(D)函数f(x)有 3 个极值点，曲线yf(x)有 2 个拐点
【解析】B
考研帮 2016 真题解析
导函数图形如图，可能为极值的点为 a,b,c,d
1
当xa时，f'(x)0
a 为极大值点a为极大值点
当xa时，f'(x)0
2
当xb时，f'(x)0
a 不是极大值点
当xb时，f'(x)0
3
当xc时，f'(x)0
c 为极小值点
当xc时，f'(x)0
4
当xd和xd时，f'(x)0故xd不是极值点
有 2 个极值点
排除 C，D.
又当xb时，f(x)当bxe时，f(x)
当bxe时，f(x)当exd时，f(x)
(x)f
(x)
1
0
0
1
0
2
0
又yf1(x)与yf2(x)在(x0
,y0)处的曲率关系为k1k2
因为k1
|f
(x) |
,k2
|f(x) |
1
0
2
0
[1f12
3
12
3

考研数学二解析2016

2016年数学（二）真题解析一、选择题（1）【答案】（B ）.[解] 因为 5 〜• （— —X j = — —x 2 , g 〜丘' Vx =x 6 , as 〜三工，所以以上三个无穷小量从低阶到高阶的次序为,应选（E ）.（2）【答案】（D ）.【解】F （_z ）=]\x (In x — 1) + C + I9 2彳1・（（工一 ]）2 工<]取C=o 得/'（工）的一个原函数为F （^）=■, '八… 、「应选（D ）.（In jc — 1） + 19 工乍 1.（3）【答案】【解】(B).fo因为'+°°1 1—e * Ax = 一 e r x 1丄 1―e T d:r = 一 e r x=—(0 — 1) =1，=+°°,°+°°1 丄-ve x Ax 发散9应选(B).0 XJ 01 丄二扌山收敛，-°° X（4）【答案】（E ）.【解】如图所示,f\x ）的零点从左到右依次为工1（< 1）,工2，工3・/■'（工）> 0, /（jc ） <0, /（^） <0, /a ） <0,'/■‘（工）< o,、f'（工）> 0,值点；八工）> 0,fO >o,故f （J7）有两个极值点.f"⑺在工=1处不存在，又切线水平对应的点为工。

及工3,即 /"（工。

）=0,7""（工3）=0.由由“〃（工） "） fjf"⑺f ）即y =/（x ）有三个拐点，应选（E ）.所以*0x <L x },Hi <C x VIzi V 工 < 1,得工= \ <Z X x 21 < H V 「，F得xX 2 V z V H 3得工=x x 为f （工）的极大值点=X 2为f （工）的极小1不是/■&）的极值点;由由由、3'得工=g 不是y （z ）的极值点,工 > 工3由< 0,> 0,> 0,< 0,< 0,> 0,了 V ]' 得（1 ,/（1））为曲线y = f （工）的拐点；1 < H < X q、。

2016考研数学二真题和答案及解析

2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案解析一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)下列反常积分中收敛的是(A) (B)(C) (D)【答案】D。

【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。

；；；，因此(D)是收敛的。

综上所述，本题正确答案是D。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限(3)设函数，().若在处连续，则(A) (B) (C) (D)【答案】A【解析】易求出，再有不存在，，于是，存在，此时.当时，，=不存在，，因此，在连续。

选A综上所述，本题正确答案是C。

的可疑拐点是的点及不存在的点。

的零点有两个，如上图所示，A点两侧恒正，对应的点不是拐点，B点两侧异号，对应的点就是的拐点。

虽然不存在，但点两侧异号，因而() 是的拐点。

综上所述，本题正确答案是C。

2016年考研数学二试题及答案解析

【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．
【详解 1】如果对曲线在区间[a, b] 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．显然 g( x) f (0)(1 x) f (1)x 就是联接 (0, f (0)),(1, f (1)) 两点的直线方程．故当 f ( x) 0 时，曲线是凹的，也就是 f ( x) g( x) ，应该选（D）【详解 2】如果对曲线在区间[a, b] 上凹凸的定义不熟悉的话，可令 F ( x) f ( x) g( x) f ( x) f (0)(1 x) f (1)x ，则 F (0) F (1) 0 ，且 F"( x) f "( x) ，故当 f ( x) 0 时，曲线是凹的，从而 F ( x) F (0) F (1) 0 ，即 F ( x) f ( x) g( x) 0 ，也就是
0cd 0
cd cd
c 0d c0d
c00d
应该选（B）．
8．设1 , 2 ,3 是三维向量，则对任意的常数 k, l ，向量1 k3 ， 2 l3 线性无关是向量1 , 2 ,3
线性无关的（A）必要而非充分条件（C）充分必要条件
小值点必定都在区域 D 的边界上．所以应该选（A）．
0a b 0
a00b
7．行列式
等于
0cd 0
c00d
（A） (ad bc)2
（B） (ad bc)2 （C） a 2d 2 b2c 2 （D） a 2d 2 b2c 2
【详解】
0a b 0
a0b a0b
a 0 0 b a 0 d 0 b 0 c 0 ad a b bc a b (ad bc)2

2016年考研数学二真题及答案解析

（17）（本题满分 10 分）已知函数 z z x, y 由方程 x2 y2 z ln z 2 x y 1 0 确定，求
z z x, y 的极值。
（18）（本题满分 11 分） 3
设 D 是由直线 y 1, y x, y x 围成的有界区域，计算二重积分
D
x2 xy y2 x2 y2
dxdy
（19）（本题满分 10 分）
已知 y1 (x)= ex , y2 (x )= u (x )ex 是二阶微分方程 (2x- 1) y ''- (2x + 1) y '+ 2y = 0 的两个解，若
（13）已知动点 P 在曲线 y x3 上运动，记坐标原点与点 P 间的距离为 l .若点 P 的横坐标对时间的
变化率为常数 v0 ，则当点 P 运动到点 (1,1) 时， l 对时间的变化率是 _________ .
a 1 1 1 1 0
（14）设矩阵 1 a 1 与 0 1 1 等价，则 a _________ .
（11）以 y x2 ex 和 y x2 为特解的一阶非齐次线性微分方程为 _________ .
（12）已知函数 f (x) 在 (,) 上连续，且 f (x) (x 1)2 2 x f (t)dt ，则当 n 2 时，f n (0) 0 2
_________ .
按照从低阶到高阶的排序是（）
A a1, a2, a3
B a2, a3, a1
C a2, a1, a3
D a3, a2, a1
（2）已知函数
f
x

2
x 1, x
ln x, x 1

2016年全国硕士研究生招生考试考研数学二真题及详解【圣才出品】

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F
(
x)
(x x(ln
1)2 , x 1)
1,
x 1 x 1
为 f（x）的一个原函数。
3．反常积分①
0
1 x2
1
e x dx
，②
+ 0
1 x2
1
e x dx 的敛散性为（
）。
A．①收敛，②收敛
B．①收敛，②发散
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2016 年全国硕士研究生招生考试考研数学二真题及详解
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）
1．设
a1 x(cos x 1)
a2 x ln(1 3 x )
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内 F（x）≤0，也即 f1（x）≤f2（x）。同理设 G（x）＝fi（x）－g（x）（i＝1，2），可得在 x0 的某个邻域内 G（x）≤0，也即
fi（x）≤g（x）。综上，在 x0 的某个邻域内，f1（x）≤f2（x）≤g（x）。
6．已知函数 f（x，y）＝ex/（x－y），则（）。 A．fx′－fy′＝0 B．fx′＋fy′＝0 C．fx′－fy′＝f D．fx′＋fy′＝f 【答案】D 【考点】偏导数的计算
【解析】因为所以，
5
a2 x ln(1 3 x ) ~ x 6
1 / 26
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a3
3
x
1
1
(1

2016考研数学二试题及答案详解

2016 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及答案
一、选择题:1 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．． (1) 设 a1 x (cos x 1), a2 照从低阶到高阶的排序是 (A) a1 , a2 , a3 【答案】(B)
所以由定积分定义得，原极限

1
0
x sin xdx ( x cos x sin x) 0 sin1 cos1 .
1
(11) 以 y x 2 e x 和 y x 2 为特解的一阶非齐次线性微分方程为 ___________ . 【答案】 y y 2 x x 2 【解析】设一阶非齐次线性微分方程为 y p ( x ) y q( x) .根据线性微分方程齐次与非齐次解之间的关系知 x 2 ( x 2 e x ) e x 为 y p ( x ) y 0 的解 . 所以 p( x) 1 . 又因为 y x 2 为
0
x
f n 0 ?___________ .
5 n 2 2 【解析】当 x 0 时， f (0) 1 ；
【答案】
f ( x) ( x 1)2 2 f (t )dt 两边同时对 x 求导，得 f ( x) 2( x 1) 2 f ( x ) ， f (0) 4 ；
1 1 0 1 1 1 x x 【解析】① e dx = e d = e x x 2 x 0
0
( lim e lim e ) 1 ，收敛.
x 0 1 x 1 x 0 x 0 1
1 x