历年数列高考题大全答案

历年数列高考题大全答

案

Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】

历年高考《数列》真题汇编

1、(2011年新课标卷文) 已知等比数列{}n a 中，113

a =，公比1

3q =．

（I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12n

n a S -=

（II ）设31323log log log n n b a a a =++

+，求数列{}n b 的通项公式．

解：（Ⅰ）因为.31)3

1

(311

n n n a =⨯=-,23113

11)311(3

1n

n n S -=--= 所以,2

1n

n a S --

（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++= ).......21(n +++-= 2

)

1(+-

=n n

所以}{n b 的通项公式为.2

)

1(+-

=n n b n 2、(2011全国新课标卷理）

等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== （1）求数列{}n a 的通项公式.

(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前项和.

解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q ，由23269a a a =得32349a a =所以21

9

q =

。有条件可知a>0,故13

q =。

由12231a a +=得12231a a q +=，所以113a =。故数列{a n }的通项式为a n =1

3n 。

（Ⅱ?）111111log log ...log n b a a a =+++ 故

1211

2()(1)1

n b n n n n =-=--++ 所以数列1{}n b 的前n 项和为21

n

n -+

3、（2010新课标卷理）

设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-=

（1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S

解（Ⅰ）由已知，当n ≥1时，111211[()()()]n n n n n a a a a a a a a ++-=-+-+

+-+

21233(222)2n n --=++

++2(1)12n +-=。

而 12,a =所以数列{n a }的通项公式为212n n a -=。 （Ⅱ）由212n n n b na n -==⋅知

35211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅+

+⋅ ①

从而 23572121222322n n S n +⋅=⋅+⋅+⋅++⋅ ② ①-②得 2352121(12)22222n n n S n -+-⋅=+++

+-⋅ 。

即 211

[(31)22]9

n n S n +=-+

4、（20I0年全国新课标卷文） 设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-。 （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值。 解：（1）由a m = a 1 +（n-1）d 及a 1=5，a 10=-9得

解得

19

2

{a d ==-

数列{a n }的通项公式为a n =11-2n 。 ……..6分

(2)由(1) 知S n =na 1+

(1)

2

n n -d=10n-n 2。

因为S n =-(n-5)2+25.

所以n=5时，S n 取得最大值。 5、（2011年全国卷）

设等差数列{}n a 的前N 项和为n S ,已知26,a =12630,a a +=求n a 和n S 6、（ 2011辽宁卷）

已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）求数列⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧-12n n a 的前n 项和．

解：（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得11

0,

21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩

解得11,

1.

a d =⎧⎨=-⎩

故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =- ………………5分 （II ）设数列1

{

}2

n n n a n S -的前项和为，即2

111,122

n

n n a a S a S -=+++

=故， 所以，当1n >时，

=.2n n 所以1.2n n n S -= 综上，数列11{

}.22

n n n n a n

n S --=的前项和 7、（2010年陕西省）

已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列.（Ⅰ）求数列{a n }的通项; （Ⅱ）求数列{2an }的前n 项和S n . 解 （Ⅰ）由题设知公差d ≠0，

由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得121d +＝1812d

d

++，

解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n . (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m

a =2n

，由等比数列前n 项和公式得

S n =2+22

+23

+ (2)

=2(12)12

n --=2n+1

-2

8、（2009年全国卷）

设等差数列{n a }的前n 项和为n s ，公比是正数的等比数列{n b }的前n 项和为n T ，已知

1133331,3,17,12,},{}n n a b a b T S b ==+=-=求{a 的通项公式。

解： 设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q

由3317a b +=得212317d q ++= ① 由3312T S -=得24q q d +-= ② 由①②及0q >解得 2,2q d ==

故所求的通项公式为 121,32n n n a n b -=-=⨯ 9、（2011福建卷）

已知等差数列{a n }中，a 1=1，a 3=-3.