10-1勒让德多项式

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勒让德多项式

勒让德多项式[编辑]维基百科，自由的百科全书伴随勒让德多项式有时也简称为“勒让德多项式”。

数学上，勒让德函数指以下勒让德微分方程的解：为求解方便一般也写成如下施图姆-刘维尔形式（Sturm-Liouville form）:上述方程及其解函数因法国数学家阿德里安-马里·勒让德而得名。

勒让德方程是物理学和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程。

当试图在球坐标中求解三维拉普拉斯方程（或相关的其他偏微分方程）时，问题便会归结为勒让德方程的求解。

勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式。

当方程满足|x| < 1 时，可得到有界解（即解级数收敛）。

并且当n 为非负整数，即n = 0, 1, 2,... 时，在x = ±1 点亦有有界解。

这种情况下，随n 值变化方程的解相应变化，构成一组由正交多项式组成的多项式序列，这组多项式称为勒让德多项式（Legendre polynomials）。

勒让德多项式Pn(x)是n 阶多项式，可用罗德里格公式表示为：目录 [隐藏]1 正交性2 部分实例3 在物理学中的应用4 其他性质4.1 奇偶性4.2 递推关系5 移位勒让德多项式6 分数阶勒让德多项式7 参见8 外部链接9 参考文献正交性[编辑]勒让德多项式的一个重要性质是其在区间−1 ≤x ≤ 1 关于L2内积满足正交性，即：其中δmn 为克罗内克δ记号，当m = n 时为1，否则为0。

事实上，推导勒让德多项式的另一种方法便是关于前述内积空间对多项式{1, x, x2, ...}进行格拉姆-施密特正交化。

之所以具有此正交性是因为如前所述，勒让德微分方程可化为标准的strum-liouville问题：其中本征值λ对应于原方程中的n(n+1)。

部分实例[编辑]下表列出了头11阶（n 从0到10）勒让德多项式的表达式：n12345678910头6阶（n 从0到5）勒让德多项式的曲线如下图所示：在物理学中的应用[编辑]在求解三维空间中的球对称问题，譬如计算点电荷在空间中激发的电势时，常常要用到勒让德多项式作如下形式的级数展开：其中和分别为位置向量和的长度，为两向量的夹角。

勒让德多项式

边( z − z0 )的各次幂的系数均为零 ]来确定。
一、勒让德方程的级数解
2
− 2x l (l + 1) p(x ) = , q(x ) = , 2 2 − 1− x 1 x ∞
令
∞ ∞
(1 − x )y′′ − 2 xy′ + l (l + 1)y = 0
y = ∑ ck x
k =0 k
§14.1 勒让德多项式
(11)
( ( − 1) (4 − 0 )! − 1) (4 − 2)! 2 P2 (x ) = 2 x + 2 x0 2 0!(2 − 0 )!(2 − 0 )! 2 1!(2 − 1)!(2 − 2)!
1 2 = (3x − 1) 2
→ 无穷级数
三、本征值问题
§14.1 勒让德多项式
总之，本征值问题 1 − x 2 y ′′ − 2 xy ′ + l (l + 1) y = 0, l (l + 1) − 常数 (8) y x = ±1 → 有限,
(
)
本征值 : l (l + 1), l = 0,1,2,...
本征函数：
n
y0 ( x ) = c0 + c2 x + ... + cl x , l = 2n
( 2l )! cl = l 2 2 (l !)
记上述l次多项式y0 ( x )或y1 (x )为Pl ( x ),
称之为l阶Legendre多项式。
四、勒让德多项式
l 2
§14.1 勒让德多项式
l -勒让德多项式 , l = 2n l 2 其中 = 2 l − 1 , l = 2n + 1 2 1 − x 2 y ′′ − 2 xy ′ + l (l + 1) y = 0, l (l + 1) − 常数 (8 ) 于是： y x = ±1 → 有限 ,

数学物理方程课件第六章勒让德多项式

0
2 (2n)!
2n n!
2n n! 2n n!2n 1 2n 153
2 (2n)!
2n 1!
2 2n 1
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
性质2 递推公式
(n 1)Pn1 (x) (2n 1)xPn (x) nPn1 (x) 0
Pn1 (x) Pn1 (x) 2n 1Pn (x)
n0
Cn
2n 1 2
1 1
x Pn (x)dx
C0
1 2
1
1 x P0 (x)dx
1 2
1
x dx
1
1 2
C2n1 0
C2n
4n 1 2
1 1
x
P2n
(x)dx
4n
1
1 0
xP2n
( x)dx
4n 1
22n 2n!
1 d2n 0 x dx2n
(x2 1)2n dx
4n 1 22n 2n !
数学物理方程与特殊函数
第6章勒让德多项式
三勒让德多项式
y APn (x) BQn (x)
Pn
(x)
M
(1)m
m0
2n 2m!
2n m!(n m)!(n
2m)!
xn2m
Pn
1 2n n!
dn dx n
(x2
1)n
当n为偶数时M
n 2
当n为奇数时 M
n 1 2
P0 (x) 1
P1(x) x
2)(n 1)(n 4!
3)
x4
]
c 1 c0
y2
a1[ x
(n
1)(n 3!
2)

勒让德(legendre)多项式及其性质

勒让德（legendre）多项式及其性质一．勒让德多项式勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幂级数解，勒让德方程的表达式如下：其中为非负实数（1.1）它的幂级数解如下：（1.2）其中：（1.3）（1.4）由达朗贝尔判别法可知，当不为整数时，这两个级数的收敛半径为1，在（1.3）式和（1.4）式中，与可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（－1，1）内和都是方程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。

上面（1.3）和（1.4）幂级数当时级数收敛，此外级数是发散的。

并且，我们发现，当取非负整数时，和中有一个便退化为次多项式，它就是方程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有界解。

此时，适当的选定这个多项式的最高次幂系数，所得的多项式称为阶勒让德多项式或第一类勒让德函数，记作，下面我们来推导勒让德多项式的表达式。

1 当为正偶数时退化为次多项式。

为求得的表达式，在中我们通过来表示其它各项的系数。

为此，将系数递推关系式改写成下列形式：（1.5）在（1.5）式中取，得：（1.6）习惯上取为（1.7）于是有：（1.8）在（1.5）式中取，并利用之值得：（1.9）一般地，我们有（）（1.10）我们将这些系数带入（1.3）中，并把此时的记作，可得：（1.11）这就是当为正偶数时勒让德多项式。

2 当为正奇数时退化为次多项式，我们把记作，同理可得：（1.12）把（1.11）和（1.12）写成统一的形式，得（1.13）其中表示的整数部分由上述讨论可知，当为非负整数时，和中有一个是阶勒让德多项式，而另一个是无穷级数，记作，称为第二类勒让德函数，此时方程（1.1）通解为：（1.14）特别当时，由（1.11）和（1.12）式得：它们的图形如下：二．勒让德多项式的性质首先介绍一下勒让德多项式的母函数：试将函数（1.15）展开成的幂级数（1.16）可以证明级数展开式中的系数恰好是勒让德多项式，最终得到（1.17）因此称为勒让德多项式的母函数。

勒让德多项式及其应用

勒让德多项式及其应用勒让德多项式是一种经典的特殊函数，它是由法国数学家勒让德于18世纪末研究长城摆的运动方程时发现的。

作为一个基本的特殊函数，勒让德多项式在物理、数学和工程学等领域中都有广泛应用。

本文将介绍勒让德多项式的定义、性质及其在物理和数学中的一些应用。

一、勒让德多项式的定义勒让德多项式P_n(x)的定义如下：其中n为整数，x为实数。

勒让德多项式是一类具有特殊结构的多项式函数，它可以通过递推关系式来求解。

具体来说，勒让德多项式满足以下递推公式：其中n+1次勒让德多项式可以通过n次和n-1次勒让德多项式来表达。

这个递推公式还有一个等价的形式：由此可以得到勒让德多项式的一些基本性质，例如P_n(x)在[-1,1]上有n个实根，其中n-1个简单实根和一个n阶重根。

此外，勒让德多项式还满足下列正交性：其中w(x)为勒让德多项式的权函数。

二、勒让德多项式的一些性质除了递推公式和正交性以外，勒让德多项式还有一些重要的性质。

例如，勒让德多项式是一个偶函数，即P_n(-x)=(-1)^nP_n(x)。

此外，勒让德多项式还有如下的反演公式：其中f(y)和g(x)分别是两个函数，而K_n(x,y)是勒让德函数的核函数：其中P_n(x)和P_n(y)分别是n次勒让德多项式在x和y处的取值。

勒让德函数的核函数经常被用于计算物理中的各种耦合系统中的能量本征状态。

三、勒让德多项式在物理学中的应用勒让德多项式在物理学中有广泛的应用，特别是在电磁场和量子力学中。

在电磁场中，勒让德函数的核函数可以用来描述两个电荷或磁荷之间的相互作用。

在量子力学中，勒让德多项式则被用来表示转动不变性系统的波函数，比如氢原子和氢分子离子。

此外，在量子力学和粒子物理中，勒让德多项式还经常用来表示原子轨道和粒子的旋转等。

四、勒让德多项式在数学中的应用勒让德多项式在数学的一些分支中也有广泛的应用，特别是在微积分和数论等领域。

例如，在微积分中，勒让德多项式可以用来表示函数的幂级数展开式，而在数论中，勒让德多项式则被用来研究阶乘和高次导数等问题。

勒让德多项式递推公式证明

勒让德多项式递推公式证明以勒让德多项式是数学中一类重要的特殊函数，其递推公式是证明其性质的关键。

本文将通过介绍以勒让德多项式的定义、性质和递推公式的证明，来解释这一标题。

以勒让德多项式是数学中的一类正交多项式，它们是解决物理和工程问题中的常微分方程的重要工具。

以勒让德多项式的定义如下：$$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]$$其中，$n$为非负整数，$P_n(x)$表示以勒让德多项式的第$n$阶，$x$为自变量。

以勒让德多项式具有一系列重要的性质，如正交性、归一性等，这些性质使其在数学和物理学中得到广泛应用。

以勒让德多项式的递推公式是证明其性质的关键。

递推公式的形式如下：$$(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)$$下面我们来证明这个递推公式。

我们将以勒让德多项式的定义代入递推公式中，得到：$$(n+1)\left(\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right]\right) = (2n+1)x\left(\frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right]\right) - n\left(\frac{1}{2^{n-1} (n-1)!} \frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]\right) $$化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d^{n+1}}{dx^{n+1}} \left[(x^2 - 1)^{n+1}\right] = \frac{2n+1}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$我们将上式中的$n+1$分布到第一项中，并利用导数的链式法则进行化简，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} \frac{d}{dx}\left[(2n+1)x(x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right]$$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$继续化简上式，可以得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$再次化简上式，得到：$$\frac{1}{2^{n+1} (n+1)!} (2n+1)\left[x\frac{d}{dx}\left[(x^2-1)^n\right] + (x^2-1)^n\right] = \frac{(2n+1)}{2^n n!}x\frac{d^n}{dx^n} \left[(x^2 - 1)^n\right] - \frac{n}{2^{n-1} (n-1)!}\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}} \left[(x^2 - 1)^{n-1}\right] $$通过以上推导，我们证明了以勒让德多项式的递推公式。

常用十个勒让德展开公式

常用十个勒让德展开公式1. 勒让德展开公式的概念勒让德展开公式是数学分析中常用的展开方法之一。

它是指将一个函数展开成一系列勒让德多项式的线性组合的过程。

2. 勒让德多项式的定义勒让德多项式是一类特殊的正交多项式，在物理学和工程学中有广泛应用。

勒让德多项式满足勒让德微分方程，其系数具有一定的递推关系。

3. 常用的十个勒让德展开公式以下是常用的十个勒让德展开公式：- 勒让德多项式展开恒等式\[(1-x^2)^{-1/2} = \sum_{n=0}^{\infty} P_n(x)\]- 勒让德函数的勾股定理\[P_n^2(x) = \frac{2n+1}{2} \int_{-1}^{1} (1-x^2)^{-1/2} P_n(x) P_n(x) dx\]- 勒让德函数的正交归一性\[\int_{-1}^{1} P_n(x) P_m(x) dx = \frac{2}{2n+1} \delta_{nm} \]- 勒让德函数的递推关系\[(n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)\]- 勒让德函数的递推关系（化简形式）\[P_{n+1}(x) = \frac{(2n+1)xP_n(x) - nP_{n-1}(x)}{n+1}\]- 勒让德函数的导数公式\[P_n'(x) = n\left(P_{n-1}(x) - xP_n(x)\right)\]- 勒让德函数的微分方程\[(1-x^2)P_n''(x) - 2xP_n'(x) + n(n+1)P_n(x) = 0\]- 勒让德函数的极值性质P_n(x) \text{在} x = \pm 1 \text{处取到极值，且} |P_n(x)| \leq 1- 勒让德多项式的反转公式(x^2 - 1) P_n'(x) = n(xP_n(x) - P_{n-1}(x))- 勒让德多项式的幂和\frac{d}{dx} \left(\frac{P_{n+1}(x)}{(2n+1)(x^2-1)}\right) =P_n(x)- 勒让德多项式的复合公式P_n(uv) = \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} P_k(u)P_{n-k}(v)4. 总结上述是常用的十个勒让德展开公式，它们在数学分析、物理学和工程学等领域有广泛的应用。

勒让德多项式

函数： Φ 函数： (ϕ + 2π ) = Φ (ϕ ) 。这就是说上面的那个常数必须等于 m 2 ( m = 0,1, 2, ⋯),
从而得到
1
ห้องสมุดไป่ตู้
Θ
sin θ
d dΘ (sin θ ) + n( n + 1) sin 2 θ = m 2 dθ dθ
( 6. 4 )
( 6. 5 )
1 d 2Φ + m2 = 0 2 Φ dϕ
（2 勒让德多项式的一些性质；）
有关的定解问题。（3 会用勒让德多项式求解有关的定解问题。）
§6.1
勒让德方程的引出
u xx + u yy + uzz = 0
在第四章中，域内的迪利克雷问题：在第四章中，我们用格林函数法解决了球形区域内的迪利克雷问题：
{
球函数
z
θ
●
拉普拉斯方程第一类边界条件
数学物理方法
第六章勒让德多项式 ( Legendre polynomials )
勒让德（勒让德（1752～1833）～） Legendre . Adrien-Marie 阿德利昂·玛利埃勒让德公元1752─公元1833 为法国数学家，勒让德（ 1752─公元1833）阿德利昂玛利·埃·勒让德（公元1752─公元1833）为法国数学家，生于玛利巴黎，卒于巴黎。 1770年毕业于马扎兰学院 1775年任巴黎军事学院数学年毕业于马扎兰学院。巴黎，卒于巴黎。约1770年毕业于马扎兰学院。1775年任巴黎军事学院数学教授。1782年以关於阻尼介质中的弹道研究》获柏林科学院奖金，年以《教授。1782年以《关於阻尼介质中的弹道研究》获柏林科学院奖金，次年当选为巴黎科学院院士。1787年成为伦敦皇家学会会员年成为伦敦皇家学会会员。选为巴黎科学院院士。1787年成为伦敦皇家学会会员。曾与拉格朗日（）、拉普拉斯拉普拉斯（勒让德 (Legendre) 曾与拉格朗日（Lagrange）、拉普拉斯（Laplace）并列为法国数学界的“ 世纪末19世纪初法国数学的复兴，并列为法国数学界的“三 L ”，为18世纪末19世纪初法国数学的复兴，做出了， 18世纪末19世纪初法国数学的复兴卓越的贡献。卓越的贡献。

勒让德多项式

数学物理方法于承斌泰山医学院第十六章勒让德函数球坐标系中求解物理方程,解函数是一类特殊函数,其形式为多项式，最早研究的是法国数学家勒让德，故称其为勒让德函数以及勒让德多项式。

§16.1 勒让德多项式的定义及表示16.1.1. 定义及级数表示oϕθr xyz勒让德方程0,21(1)2c n n ⋅+−x+ x+4(23)2(1)!(2)!(24)!,n n n n n −−−−,0,1,2,,m =⎢ 220(22)!()(1)2!()!(2)!l k l k l l k l k P x x k l k l k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦−=−=−−−∑()l P x 221112122112(!)d d 1d (1)d d (1)d d (1)d d l ll l l l llll x l x x x x x x−−−−−⋅−⎢⎥⎣⎦⎡−−⋅⎢⎡⎤−⎢⎥⎣⎦∫∫注意到lllx x x )1()1()1(2+−=−以1±=x 为l 级零点，故其(1)l −阶导数121d (1)d l ll x x −−−必然以1±=x 112121222111(1)d (1)d (1)d 2(!)d d l l l ll ll l x x N x l x x−+−+−−−−=∫再进行l 次分部积分，即得221222221(1)d (1)(1)d 2(!)d ll llll l x N x x l x−−−=−∫为一级零点，从而上式已积出部分的值为零lx )1(2−是l 2次多项式，其l 2阶导数也就是最高幂项lx2的l 2阶导数为)!2(l ．故12221(2)!(1)(1)(1)d 2(!)ll llll N x x xl −=−−+∫再对上式分部积分一次112112211111221(2)!1(1)(1)(1)(1)(1)d 2(!)1(2)!(1)(1)(1)(1)d 2(!)1ll l l l ll l l l l l N x x l x x x l l l l x x x l l −+−−−+−⎡⎤=−⋅−+−−+⎢⎥⎣⎦+=−⋅−−++∫∫容易看出已积出部分以1±=x 为零点．至此，分部积分的结果是使)1(−x 的幂次降低一次，)1(+x 的幂次升高一次，且积分乘上一个相应的常数因子．继续分部积分（计l 次），即得120222112121(2)!11(1)(1)(1)(1)d 2(!)122112(1)22121ll lll l l l l l N x x x l l l l x l l −+−−=−⋅−⋅⋅⋅−+++=⋅+=++∫ 故勒让德多项式的模为122+=l N l ),2,1,0( =l 且有112P ()P ()d 21l lx x x l −=+∫=2m P ++16.2.4. 勒让德多项式的递推公式利用母函数(16.1.13)对x求导, 勒让德多项式有以下的递推公式11(2)(1)()(21)()()n n n n P x n xP x nP x +−+=+−1(3)()()()n n n nP x xP x P x −′′=−1(4)'()()(1)()n n n P x xP x n P x +′′=++11(1)()'()2'()'()n n n n P x P x xP x P x +−=−+11(5)(21)()()()n n n n P x P x P x +−′′+=−21(6)(1)'()()()n n n x P x nxP x nP x −−=−1(7)(21)()'()'()nln n l l P x P x P x +=+=+∑例16.2. 1求积分11P ()P ()d l n I x x x x−=∫【解】利用递推公式（2）11(1)P ()(21)P ()P ()k k k k x k x x k x +−+=+−．(1)k ≥故有1111111111111P ()P ()d {[(1)P ()P ()]}P ()d 211 P ()P ()d P ()P ()d 2121l n l l n l n l n I x x x x l x l x x x l l lx x x x x x l l +−−−+−−−==++++=+++∫∫∫∫22 (1)412(1) (1)(23)(21)0 (1)nl n n n l n n n l n ⎧⎪=−−⎪⎪+==+⎨++⎪⎪⎪−≠±⎩例16.2. 2求积分1P ()d l I x x=∫【解】利用递推公式（5）11110011101111P ()d d[P ()P ()]2111[P ()P ()][P (0)-P (0)]2(120)1=1l l l l l l l l I x x x x l x x l l l P +−−+−+−==−+=−=+++∫∫112x 0(1)(0)(21)0(0)(0)n n n n P n P nP +−+=+−利用递推式：令=代入11(0)(0)1l l lP P l −+−=+(1)(21)!!21(22)k k l k k −−=++!!02l k =111001P ()d d 12x x x x l ===∫∫11000P ()d d 1x x x l ===∫∫⎧⎪=⎨⎪⎩例16.2. 3求积分1P ()d l Ix x x=∫【解】利用递推公式（5）1111001111011021012011P ()d d[P ()P ()]211[P ()P ()]|[P ()P ()]d 2121P (0)P (0)P (0)1[-] = -212(2)(1)1d 021d 13021(1)(23)!!2(22)!!l l l l l l l l l l k I x x x x x x l x x x x x x l l l l ll l x x l x x l l k k l k +−+−+−−+==−+=−−−++=−+++−======+−−=+∫∫∫∫∫k⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩1101P ()d P (0)1∵l l x x l −=+∫112(0)(0)1(0)(0)1l l l l lP P l lP P l −+−−=+−=−例16.2. 4利用递推公式（2）可得如下结果；212021P ()P ()P ()33x x x x x ==+3212021P ()[P ()P ()]33x x x x x x x x x =⋅=⋅=⋅+3123P ()P ()55x x =+43142023841[P ()P ()]P ()P ()P ()553575x x x x x x x =+=++1()P x x=221()(31)2P x x =−331()(53)2P x x x =−4241()(35303)8P x x x =−+111()[(21)()()]1l l l P x l xP x lP x l +−=+++特别1()P x x=∵利用递推公式（2）P (cos )n θ，这时有0(cos )P (cos )n n n f C θθ+∞==∑θcos =x ,此时勒让德方程的解为在实际应用中,经常要作代换π21(cos )P (cos )sin d 2n n n C f θθθθ+=∫其中系数为结论1：设k 为正整数，可以证明：222222200212121232311P ()P ()P ()P ()P ()P ()k k k k k k k k k k x C x C x C x xC x C x C x −−−−−−−=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+结论2 ：根据勒让德函数的奇偶性，若需展开的函数()f x 为奇函数，则展开式的系数20n C =；若需展开的函数()f x 为偶函数，则展开式的系数.210n C +=0,1,2,3,n =⋅⋅⋅例16.2.6以勒让德多项式为基，在[-1,1]区间上把3()234f x x x =++展开为广义傅里叶级数．【解】本例不必应用一般公式，事实上，()f x 是三次多项式，设它表示为3323012323021323234P ()111(31)(53)221335()()2222n nn x x C x C C x C x C x x C C C C x C x C x=++==⋅+⋅+⋅−+⋅−=−+−++∑比较同次幂即得到3210421, 0, , 455C C C C ====由此得到30132142344P ()P ()P ()55x x x x x ++=++例16.2.7将函数cos 2 (0π)θθ≤≤展开为勒让德多项式P (cos )n θ的形式【解】用直接展开法令cos x θ=，则由22cos 22cos 121x θθ=−=−我们知道：20121P ()1, P (), P ()(31)2x x x x x ===−可设200112221P ()P ()P ()x C x C x C x −=++10C =2202121(31)2x C C x −=+−由20,x x 项的系数，显然得出2041, 33C C ==−02021414cos(2)P ()P ()P (cos )P (cos )3333x x θθθ=−+=−+考虑到勒让德函数的奇偶性，显然。

勒让德多项式是区间什么的正交函数

勒让德多项式是一类具有重要性质的正交函数，它们在数学和工程领域中有着广泛的应用。

本文将介绍勒让德多项式的定义、性质、正交关系以及其在实际问题中的应用。

一、勒让德多项式的定义勒让德多项式是勒让德微分方程的解，该微分方程形式如下：\[ (1-x^2)y''-2xy'+n(n+1)y=0 \]其中n为非负整数。

根据其定义，勒让德多项式可以通过勒让德微分方程的解出来。

勒让德多项式的具体形式可以表示为：\[ P_n(x)= \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n \]其中n为非负整数，P_n(x)表示第n阶的勒让德多项式。

二、勒让德多项式的性质勒让德多项式具有许多重要的性质，例如：1. 勒让德多项式是正交的，即对于不同的n和m，有以下正交性质成立：\[ \int_{-1}^{1}P_n(x)P_m(x)dx=0, \quad(n\neq m) \]2. 勒让德多项式满足勒让德微分方程，这也是它的定义所在。

3. 勒让德多项式具有递推关系，即通过递推关系可以方便地计算高阶的勒让德多项式。

三、勒让德多项式的正交关系及应用勒让德多项式的正交性质在数学和工程领域中有着重要的应用。

在数学分析中，勒让德多项式的正交性质可以用来进行函数的展开和逼近，例如在傅立叶级数、泰勒级数及函数的插值逼近中。

在数值计算和数值分析中，勒让德多项式的正交特性也被广泛应用，例如在数值积分方法中，通过勒让德多项式的正交性质可以得到高效的数值积分算法。

勒让德多项式还具有广泛的物理应用，例如在量子力学中，勒让德多项式常常用来描述原子轨道的形状。

在实际问题中，勒让德多项式的正交性质为我们提供了一种简便而有效的数学工具，通过利用勒让德多项式的正交性质，我们可以更加方便地解决各种数学和工程问题。

勒让德多项式作为一类重要的正交函数，在数学和工程领域中具有着广泛的应用。

通过深入研究勒让德多项式的定义、性质、正交关系及其应用，我们可以更好地理解和运用这一类特殊的函数，从而为解决各种实际问题提供更加有效的数学工具。

勒让德多项式的微分表达式

勒让德多项式的微分表达式勒让德多项式是高等数学中一个非常重要的概念，它是一类特殊的多项式，有着优良的数学特性，并且在实际的科学研究中被广泛应用。

它的微分表达式也被广泛采用，因为它可以表示变量的变化，并且可以更直观地体现数学模型。

本文旨在介绍勒让德多项式的微分表达式，以期对勒让德多项式的微分表达式有更深入的了解。

首先，我们需要了解勒让德多项式的定义。

勒让德多项式是一类多项式，它以带有一定规律的系数表示，其标准形式为：a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0=0 其中，n是多项式的次数，a_n, a_{n-1}, a_{n-2},…, a_1, a_0是多项式的系数。

接下来，我们来讨论勒让德多项式的微分表达式，它可以通过对多项式的每项进行微分，并根据次数进行指数变化，来得到。

下面我们来看一个例子，如多项式f(x)=x^4+2x^2-3x+4，它的微分表达式可以表示为：f’(x)=4x^3+4x-3可以看到，所得到的微分表达式只有一项，并且是对原多项式每项的指数变化、系数变化的综合反映，其公式是：f’(x)=na_nx^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+(n-2)a_{n-2}x^{n-3}+... +2a_2x+a_1此外，我们还可以使用一些特殊的技巧来求解勒让德多项式的微分表达式。

首先，无论多项式有多少项，它们都可以被写作一阶分式的形式：f(x)=a_n(x-x_1)(x-x_2)…(x-x_n)其中，a_n是多项式的系数，x_1, x_2,…, x_n是多项式中全部根的表达式，他们都可以由简化的过程得到。

按照这种形式，勒让德多项式的微分表达式可以很容易地算出。

最后，为了更直观地理解勒让德多项式的微分表达式，我们可以使用拉格朗日的偏微分法，通过对多项式的拉格朗日函数进行求导来计算多项式的微分表达式。

例如，f(x)=x^4+2x^2-3x+4应的拉格朗日函数是：L=x^4+2x^2-3x+4-l_x其中，l_x拉格朗日变量，他可以看成是多项式中的未知数，通过对拉格朗日函数进行求导可以得出：f’(x)=4x^3+4x-3这也就是我们最终求解的勒让德多项式的微分表达式了。

勒让德多项式递推公式的证明

勒让德多项式递推公式的证明1 关于勒让德多项式勒让德多项式通常称为磁力线多项式，是一种特殊的线性代数多项式。

它由著名数学家勒让德在1898年提出，用来描述空间中磁场线的强度。

因为它有着易于计算的特性以及它的复杂性，它在磁学、电子、物理等很多领域得到了广泛的应用。

2 勒让德多项式递推公式勒让德多项式的定义有两种形式：一种是递推公式，另一种是泰勒级数展开。

其中，勒让德多项式递推公式常用来表示磁力线在空间上分布的状态：n^{2}B_{n,m}(\varphi,\theta)=\frac{1}{\sqrt{1-m^{2}}}\sum_{\substack{j=0\\j \neq m}}^{n-1}\left(\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-j}B_{j,m}(\varphi,\theta )-\frac{\sqrt{n^{2}-j^{2}}}{n-m}B_{n,j}(\varphi,\theta )\right)其中，B_{n, m}(\varphi,\theta) 表示一维勒让德多项式的系数，n、m是多项式的指数。

式中的\varphi, \theta表示空间坐标系，它们按照以下关系标准化：\varphi=2\pi(x/a) \, \theta=\pi(y/b)其中，a, b是所考虑空间的特定尺寸，x, y表示空间坐标系的x, y分量。

3 证明勒让德多项式递推公式首先，我们考虑一维勒让德多项式定义：B_{n, m} =\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{im\varphi }f(\varphi )d\varphi因此，由定义式可得：B_{n, m}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} e^{i(n-m)\varphi }f(\varphi )d\varphi我们可以把积分定义为，用p表示：p=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{i(n-m)\varphi }f(\varphi )d\varphi由Leibniz积分公式可得：\begin{aligned} p &=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}e^{i(n-m)\varphi }\dfrac{\partial^{j}f(\varphi )}{\partial\varphi^{j}}d\varphi \\ &=\sum_{j=0}^{n-1}\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-j}\dfrac{\partial^{j}f(0)}{\partial \varphi^{j}}-\sum_{j=0}^{n-1}\frac{\sqrt{n^{2}-j^{2}}}{n-m}\dfrac{\partial^{j}f(\pi)}{\partial \varphi^{j}}\end{aligned}也就是说：p=\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-m}B_{n,m}(0,\pi )+\sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-j}B_{j,m}(0,\pi )-\frac{\sqrt{n^{2}-j^{2}}}{n-m}B_{n,j}(0,\pi )\right)联立以上两个式子，可以得到：\begin{aligned} &n^{2}B_{n,m}(\varphi ,\theta )\\&=\frac{1}{\sqrt{1-m^{2}}}\sum_{j=0}^{n-1}\left(\frac{\sqrt{n^{2}-m^{2}}}{n-j}B_{j,m}(\varphi ,\theta )-\frac{\sqrt{n^{2}-j^{2}}}{n-m}B_{n,j}(\varphi ,\theta )\right) \end{aligned}因此，以上公式就可作为勒让德多项式的递推公式。

勒让德多项式变换

勒让德多项式变换
勒让德多项式是一类常见的正交多项式，它在物理学和数学领域中有广泛的应用。

勒让德多项式可以通过变换来得到不同形式的表示。

下面是一些常见的勒让德多项式变换：
1. 勒让德多项式展开为幂级数：勒让德多项式可以通过泰勒级数展开来表示。

这个展开式可以用于计算勒让德多项式的近似值。

2. 勒让德多项式的递推关系：勒让德多项式之间存在递推关系，即P_n(x) = (2n-1)xP_{n-1}(x) - (n-1)P_{n-2}(x)，其中P_n(x) 表示n 阶勒让德多项式。

3. 勒让德多项式的归一化：勒让德多项式可以通过归一化来得到归一化的勒让德多项式。

归一化的勒让德多项式被广泛应用于概率密度函数和正交性的研究中。

4. 勒让德多项式的逆变换：勒让德多项式可以通过逆变换来得到原始函数的表达式。

这个逆变换可以用于将勒让德多项式转换回原始函数的形式。

这些是勒让德多项式的一些常见变换方法，它们在数学和物理学中有广泛的应用。

勒让德多项式及性质

例题2、以勒让德多项式为基本函数族，将函数
f ( x) 2 x 3 3x 4 在区间（-1，+1）上进行广义傅立叶展开。
1 1 2 P2 ( x) (3x 1) (3cos 2 1) 2 4 1 1 3 P3 ( x) (5x 3x) (5cos3 3cos ) 2 8 1 1 4 2 P4 ( x) (35x 30 x 3) (35cos 4 20cos 2 9) 8 64 1 1 P5 ( x) (63x5 70 x3 15x) (63cos5 35cos3 30cos ) 8 128 1 1 P6 ( x) (231x6 315x4 105x 2 5) (231cos 6 126cos 4 105cos 2 50) 16 512
前面已学：勒让德方程在x 1有自然边界条件： x 1 有限，从而构成 y 本征值问题，本征值是l (l 1), l 0,1, 2, 3..., 在l为整数条件下，勒让德方程的两个线性独立特解y ( x ) a0 y0 ( x ) a1 y1 ( x )之一退化为l次多项式。 z l为2k (偶数): a y ( x) ~
l 2n (n 0,1, 2, ) l 2n 1
上式具有多项式的形式，故称
Pl ( )
为
l
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
二、勒让德多项式
1、前几个勒让德多项式: （注意到 x cos ) P0 ( x) 1
P1 ( x) x cos
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 11.1
2、勒让德多项式的微分表示
1 dl Pl ( x) l ( x 2 1)l 2 l ! dx l

数理方程第12讲勒让德多项式

（1.4）
若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与
无关，则
m 0 ，即有
（1.5）
1 d d sin l (l 1) 0 sin d d
称为 l 阶勒让德（legendre）方程．
同样若记
arc cos x
，
y( x) ( x)
P0 ( x) 1
P1 ( x) x cos
P2 ( x) 1 1 (3x 2 1) (3cos 2 1) 2 4
1 1 P3 ( x) (5 x3 3x) (5cos 3 3cos ) 2 8
1 1 P4 ( x) (35 x 4 30 x 2 3) (35cos 4 20cos 2 9) 8 64 1 1 P5 ( x) (63x5 70 x3 15 x) (63cos 5 35cos 3 30cos ) 8 128
d ( x 1) 1 ( x 1) dx2l dx
1 2l 2 l 2 l
( x 2 1) l 是
2l 次多项式，其 2l
1
阶导数也就是最高幂项
x 2 l 的 2l 阶导数为 (2l )! ．故
(2l )! N (1) 2l 2 2 (l !)
2 l l

1
( x 1)l ( x 1)l dx
2 l 1
1
为了分部积分的方便，把上式的 Pl ( x)用微分表示给出，则有
1 N 2l 2 2 (l !)
2 l
d l ( x 2 1)l d d l 1 ( x 2 1)l dx l 1 1 dxl dx d x
1 1

勒让德多项式递推关系推导

勒让德多项式递推关系推导勒让德多项式递推关系是一种简单的代数技术，它可以用来表示和推导N个项的多项式。

下面将详细介绍勒让德多项式递推关系的推导过程：首先，要推导勒让德多项式递推关系，需要考虑整体函数a(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + ax + ao，其中an, an-1, ..., a0 均为实数，x为变量。

其次，我们将变量x定义为x=x + 1，因此函数a(x)可以写成a(x + 1) = an(x + 1) n + an-1(x + 1) n-1 + ... + a1(x + 1) + a0。

现在，假设a(x + 1) - a(x) = 0，我们将函数a(x + 1)和a(x)有理形式对应相减，即 (an(x + 1) n + an-1(x + 1) n-1 + ... +a1(x + 1) + a0) - (anxn + an-1xn-1 + … + ax + a0) = 0。

经过消去，可以得到以下结果：anxn + (an-1 - an)(x + 1) n-1 + (an-2 - an-1)(x + 1) n-2 + … + (a1 - a2)(x + 1) + (a0 - a1) = 0。

最后，我们将上述结果微分，并取x= 0的特殊情况，可以得到an-1 - an = 0、an-2 - an-1 = 0、...、a1 - a2 = 0、a0 - a1 = 0，因此就得到了勒让德多项式递推关系an-1 = an、an-2 = an-1、...、a2 = a1、a1 = a0，其中an, an-1, ..., a0 均为实数。

总之，勒让德多项式递推关系是一种有用的技术，它在研究多项式方程时大有裨益。

本文详细介绍了如何推导勒让德多项式递推关系，包括变量x的定义、函数的对比与消去、微分以及特殊情况的讨论等。

期望能够给学习者们带来帮助。

10-1勒让德多项式

勒让德多项式

勒让德多项式

数学物理方程课件第六章勒让德多项式

勒让德(legendre)多项式及其性质

勒让德多项式及其应用

勒让德多项式递推公式证明

最新勒让德(legendre)多项式及其性质资料

常用十个勒让德展开公式

勒让德多项式

勒让德多项式

勒让德多项式是区间什么的正交函数

勒让德多项式的微分表达式

勒让德多项式递推公式的证明

勒让德多项式变换

勒让德多项式及性质

数理方程第12讲勒让德多项式

勒让德多项式递推关系推导