典型方程和定解条件的推导-

于是（1）式变为：
T T
（2）式变为：
T sin T sin ds(u g) tt
T u T u ds(u g)
x xdx
x x
tt
u g 一般说来， tt
将 g 略去，得
T u T u ds u
x xdx
x x
tt
考虑到角度很小，
t
i i di
Ldx
i(x,t)
P● ＋
－
i +di
C L– L
时刻 t 电路中的瞬时电流
Cdx
数学物理方法
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
§ 1.1 基本方程（泛定方程）的建立
不含初始条件 不含边界条件
物理模型 （现象、过程）
数学形式表述 （偏微分方程并求解）
目的：掌握基本分析方法，培养归纳、综合、抽象、猜测、试探、演绎的科学素质。
步骤：（1）确定研究对象（物理量），建立合适的坐标系； （2）在系统内部，任取一微元，利用物理规律， 分析其与相邻部分间的作用； （3）忽略次要因素，抓住主要矛盾； （4）化简整理，得到偏微分方程。
所以有：
cos 1 ; cos 1
M
ds.g
T
N
o
x
N’ x+dx
1 tg2 sec2 1 1 cos2
sin tg tg u
1 tg2
x x
sin tg tg u
1 tg2
x xdx
3、忽略与近似 T cos T cos 0
(1)
T sin Tsin ds g ds u (2) tt
对于小振动：
于是（1）式变为：
0 ; 0
T T
所以有：
cos 1 ; cos 1
sin tg tg u
1 tg2
x x
sin tg tg u
ds M'
T’
'
M

ds.g
T
N
N’
o
x
x+dx
X
数学物理方程与特殊函数
3、忽略与近似 T cos T cos 0
(1)
T sin Tsin ds g ds u (2) tt
对于小振动：
0 ; 0
u
ds M'
T’
'
近似地与 u 无关：
ds dx
于是左下角式变为：
T (u u ) dx u
x x xdx
x
tt
3、忽略与近似
T (u u ) dx u
x x xdx
x
tt
上式实际上可以明确表示为：
T
u(
x dx, x
t
)

u( x, x
t
)

C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：
uL

L
diL dt
uL

dL dt
L Li
di uL L dt
i

1 L
Байду номын сангаас

udt
换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
数学物理方程与特殊函数
二. 传输线方程(电报方程)的建立 与同学们商榷的几个问题：（P4-5）
1 tg2
x xdx
（2）式变为：
T sin T sin ds(u g) tt
T u T u ds(u g)
x xdx
x x
tt
一般说来， u g tt
将 g 略去。
T u T u ds(u g)
x xdx
x x
tt
3、忽略与近似

dx

u t
t
x
T
u x
dx

dx

u t
t
这里表示：自变量由 x 增加 到 x+dx 时，函数的增量。 既然 dx 很小，这个这个增量 不妨用微分带代替。
T 2u 2u
x2 t 2
a u u 令 T a2 ，于是有：
2

xx
tt
一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
（1）设某时刻 t ，输入与输出端的对应关系是否合理?
i （2）电流
作为初始条件，在流经电感时是否要变化？
（3）按照图示，电容与电导两端的电压如何界定（注意P5. -1.5式）？
“另外,由基尔霍夫第一定律,流入节点的电流应等于流出该节点的电流,即
Rdx
+
- v( x, t )
i (i di) Cdx v Gdx v P——电路的节点？
u
T、T ’——微元两端所受张力
——细弦的线密度（单
位长度内的质量 g ——重力加速度
ds M'
T’
'
M

ds.g
T
N
N’
o
x
x+dx
X
数学物理方程与特殊函数
1、建立坐标系 选定微元 2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律）
T cos Tcos 0
(1)
T sin Tsin ds g ds u (2) tt u
Rdx
+
v-( x.t )
x
Ldx
P● ＋
i(x,t)
－
i +di
C L– L
Cdx
GdxC v dv
●
x dx
P——电路的节点
i i di
时刻 t 电路中的瞬时电流
1、建立坐标系 选定微元 2、微元的电路方程
数学物理方程与特殊函数
电路准备知识
电容元件：
du
i C C
数学物理方程与特殊函数
一. 均匀弦的横振动方程的建立
物理状态描述: 设有一根均匀、柔软的细弦，平衡时沿
直线拉紧，除受到重力外，不受其它外力影 响，在铅直平面内作横向、微小振动。
任意截取一小段，并抽象性夸大。
平衡位置
数学物理方程与特殊函数
弦的振动：虽然经典，但 极具启发性。
1、建立坐标系 选定微元 2、微元ds的动力学方程（牛顿第二运动定律） 3、忽略与近似 4、整理化简
物理状态描述: 对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff） 定律指出：同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未 高到显著辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能 被忽视，因而同一支路中电流呈现瞬态变化。
现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以R、L、C、G 表示。