根的判别式练习(答案版)

一元二次方程根的判别式练习题

令狐采学

（一）填空

1．方程x2＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，则m=____．2．a是有理数，b是____时，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）=0的根也是有理数．

3．当k＜1时，方程2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0有____实数根．

5．若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，则m的值为____．

6．方程4mx2-mx＋1=0有两个相等的实数根，则 m为____．7．方程x2-mx＋n=0中，m，n均为有理数，且方程有一个根是2

8．一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）中，如果a，b，c是有理数且Δ=b2-4ac是一个完全平方数，则方程必有__．9．若m是非负整数且一元二次方程（1-m2）x2+2（1-m）x-1=0有两个实数根，则m的值为____．

10．若关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根，则k的取值范围是____．

11．已知方程2x2-（3m＋n）x＋m·n=0有两个不相等的实数根，则m，n的取值范围是____．

12．若方程a（1-x2）＋2bx＋c（1＋x2）=0的两个实数根相等，则a，b，c的关系式为_____．

13．二次方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个实数根，则k为___．

14．若一元二次方程（1-3k）x2＋4x-2=0有实数根，则k的取值范围是____．

15．方程（x2＋3x）2+9（x2+3x）＋44=0解的情况是＿解．16．如果方程x2＋px＋q=0有相等的实数根，那么方程x2-p （1＋q）x＋q3＋2q2＋q=0____实根．

（二）选择

那么

α= [ ]．

18．关于x的方程：m（x2＋x+1）=x2+x＋2有两相等的实数根，则m值为 [ ]．

19．当m＞4时，关于x的方程（m-5）x2-2（m＋2）x+m=0的实数根的个数为 [ ]．

A．2个； B．1个； C．0个； D．不确定．

20．如果m为有理数，为使方程x2-4（m-1）x＋3m2-2m+2k=0的根为有理数，则k的值为 [ ]．

则该方程 [ ]．

A．无实数根； B．有相等的两实数根；C．有不等的两实数根； D．不能确定有无实数根．

22．若一元二次方程（1-2k）x2+8x=6没有实数根，那么k的最小整数值是 [ ]．

A．2； B．0； C．1； D．3．23．若一元二次方程（1-2k）x2+12x-10=0有实数根，那么k 的最大整数值是 [ ]．

A．1； B．2； C．-1； D．0．24．方程x2+3x+b2-16=0和x2+3x-3b＋12=0有相同实根，则b 的值是 [ ]．

A．4； B．-7；C．4或-7； D．所有实数．

[ ]．A．两个相等的有理根； B．两个相等的实数根；C．两个不等的有理根； D．两个不等的无理根．

26．方程2x（kx-5）-3x2+9=0有实数根，k的最大整数值

是 [ ]．

A．-1； B．0； C．1； D．2．

29．若m为有理数，且方程2x2＋（m＋1）x-（3m2-4m+n）=0的根为有理数，则n的值为 [ ]．

A．4； B．1； C．-2； D．-6．30．方程x|x|-3|x|+2=0的实数根的个数

是 [ ]．

A．1； B．2； C．3； D． 4．（三）综合练习

有两个相等的实数根．求证：a2+b2=c2．

32．如果a，b，c是三角形的三条边，求证：关于x的方程

a2x2+（a2＋b2－c2）x＋b2=0无解．

33．当a，b为何值时，方程x2+2（1+a）x＋（3a2+4ab＋4b2＋2）=0有实数根．

34．已知：关于x的方程x2+（a-8）x+12-ab=0，这里a，b是实数，如果对于任意a值，方程永远有实数解，求b的取值范围．

35．一元二次方程（m-1）x2+2mx＋m＋3=0有两个不相等的实数根，求m的最大整数值．

36．k为何值时，方程x2+2（k-1）x+ k2+2k-4=0：

（1）有两个相等的实数根；（2）没有实数根；（3）有两个不相等的实数根．

37．若方程3kx2-6x＋8=0没有实数根，求k的最小整数值．38．m是什么实数值时，方程2（m＋3）x2＋4mx＋2m-2=0：（1）有两个不相等的实数根；（2）没有实数根．

39．若方程3x2-7x＋3k-2=0有两个不相同的实数根，求k的最大整数值．

40．若方程（k+2）x2+4x-2=0有实数根，求k的最小整数值．41．设a为有理数，当b为何值时，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）＝0的根对于a的任何值均是有理数？

42．k为何值时，方程k2x2＋2（k＋2）x＋1=0：（1）有两不等的实根；（2）有两相等的实根；（3）没有实数根．

43．已知方程（b-x）2-4（a-x）（c-x）=0（a，b，c为实数）．求证

（1）此方程必有实根；（2）若此方程有两个相等的实数根，则a= b= c．

44．若方程（c2＋a2）x＋2（b2-c2）x＋c2-b2=0有两个相等的实数根，且a，b，c是三角形ABC的三边，证明此三角形是等腰三角形．

1．2 一元二次方程的根的判别式

（一）填空

1．22．13．有两个不相等的4．6，-4

6．167．4，18．两个有理数根9．m=0

11．m，n为不等于零的任意实数12．b2-c2+a2=013．任意实数

14．k≤115．无实数16．也有相等的

（二）选择

17．B 18．A 19．A 20．B 21．C22．A 23．B 24．A 25．B 26．D29．B 30．C

（三）综合练习

已知方程有两个相等的实根，得Δ=0，

即得4m（a2-c2+b2）

=0．由于m＞0，所以a2-c2+b2=0，即a2+b2=c2．

32．提示：Δ＝（a2+b2-c2）2-4a2b2=（a2+b2-c2+2ab）

（a2+b2-c2-2ab）=[（a+b）2-c2][（a-b）2-c2]=（a+b+c）

（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）．因为a，b，c是三角形的三条边，所以a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b+c＞0，a-b-c＜0，因此Δ＜0，所以方程无解．

33．当a=1，b=-0.5时，方程有实数根．提示：由方程有实数根得Δ=[2（1+a）］2-4（3a2+4ab+4b2+2）=-4[（1-a）2+

（a+2b）2]≥0．又因为（1-a）2≥0，（a+2b）2≥0，故而有

（1-a）2+（a+2b）2≥0，所以只有-4[（1-a）2+（a+2b）

2]=0，即（1-a）2+（a+2b）2=0．从而得出1-a=0，所以

a=1；a+2b=0，解出b=-0.5．

34．2≤b≤6．提示：方法一Δ=（a-8）2-4（12-2b）≥0，即a2+4a（b-4）+16≥0．因为对于任意a值上式均大于等于零，且二次项系数大于0．所以关于a的二次三项式中的判别式应小于等于零，即[4（b-4）]2-4×16≤0，即有b2-8b+12≤0，解之2≤b≤6．

方法二Δ=（a-8）2-4（12-2b）=a2+4a（b-4）+16

={a2+2a[2（b-4）]+[2（b-4）]2}-[2（b-4）]2+16

=[a+2（b-4）]2-4[（b-4）2-4]≥0．

因此只能（b-4）2-4≤0，由此得-2≤b-4≤2，所以2≤b≤6．35．m的最大整数值为零．提示：由m-1≠0且Δ=（2m）2-4

k的最大整数值为2．

40．-4．

41．b=1．提示：Δ=（a+1）2+8（3a2-4a+b）=25a2-

30a+8b+1．由于25a2-30a+8b+1应为a的完全平方式．所以（-30）2-4×25×（8b+1）=0，所以b=1．

42．（1）-1＜k＜0或k＞0；（2）k=-1；（3）k＜-1．43．（1）（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，即Δ≥0；（2）a-b=0，b-c=0，c-a=0，则a=b=c．

44．提示：Δ=[2（b2-c2）]2-4（c2+a2）（c2-b2）=4（b2-c2）（b2-c2+a2+c2）=4（b+c）（b-c）（b2+a2）．由方程有两个相等实根．故而Δ= 0，即4（b+c）（b-c）（b2+a2）=0．因为a，b，c是三角形的三边，所以b+c≠0，a2+b2≠0，只有b-c=0，解出b=c．