2【高中数学习题精选】 圆锥曲线综合练习题

高中数学组卷圆锥曲线练习

一．解答题（共50小题）

1．（2017秋•仙游县期末）设椭圆+=1（a＞2）的离心率为，斜率为k的直线l过点E（0，1）且与椭圆交于C，D两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线l与x轴相交于点G，且=，求k的值；

（3）设点A为椭圆的下顶点，k AC，k AD分别为直线AC，AD的斜率，证明：对任意的k，恒有k AC•k AD=﹣2．

2．（2018•河南模拟）如图，椭圆W：+=1（a＞b＞0）的焦距与椭圆Ω：+y2=1的短轴长相等，且W与Ω的长轴长相等，这两个椭圆的在第一象限的交点为A，直线l经过Ω在y轴正半轴上的顶点B且与直线OA（O为坐标原点）垂直，l与Ω的另一个交点为C，l 与W交于M，N两点．

（1）求W的标准方程：

（2）求．

3．（2018•株洲一模）已知椭圆与直线l：bx﹣ay=0都经过点．直线m与l平行，且与椭圆C交于A，B两点，直线MA，MB与x轴分别交于E，F两点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）证明：△MEF为等腰三角形．

4．（2018•河南模拟）已知抛物线E：y2=2px（p＞0），斜率为k且过点M（3，0）的直线l 与E交于A，B两点，且，其中O为坐标原点．

（1）求抛物线E的方程；

（2）设点N（﹣3，0），记直线AN，BN的斜率分别为k1，k2，证明：为定值．

5．（2018•资阳模拟）已知椭圆C：的离心率，且过点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过P作两条直线l1，l2与圆相切且分别交椭圆于M，N 两点．

①求证：直线MN的斜率为定值；

②求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）．

6．（2018•黄浦区一模）已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0），过原点的两条直线l1和l2分别

与Γ交于点A、B和C、D，得到平行四边形ACBD．

（1）当ACBD为正方形时，求该正方形的面积S；

（2）若直线l1和l2关于y轴对称，Γ上任意一点P到l1和l2的距离分别为d1和d2，当d12+d22为定值时，求此时直线l1和l2的斜率及该定值．

（3）当ACBD为菱形，且圆x2+y2=1内切于菱形ACBD时，求a，b满足的关系式．7．（2018•玉溪模拟）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为、F2分别

为椭圆C的左、右焦点，过F2的直线l与C相交于A、B两点，△F1AB的周长为．（I）求椭圆C的方程；

（II）若椭圆C上存在点P，使得四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的方程．8．（2018•淮南一模）椭圆C：=1（a＞b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，上顶点为B，下顶点为C，若直线AB与直线CF的交点为（3a，16）．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）点P（m，0）为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C于S，T两点，证明：|PS|2+|PT|2为定值．

9．（2018•杨浦区一模）设直线l与抛物线Ω：y2=4x相交于不同两点A、B，O为坐标原点．（1）求抛物线Ω的焦点到准线的距离；

（2）若直线l又与圆C：（x﹣5）2+y2=16相切于点M，且M为线段AB的中点，求直线l的方程；

（3）若，点Q在线段AB上，满足OQ⊥AB，求点Q的轨迹方程．10．（2018•陕西一模）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1和F2，由4个

点M（﹣a，b）、N（a，b）、F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求△F2AB面积的最大值．

11．（2018•重庆一模）如图，A，B是椭圆长轴的两个端点，P，Q是椭圆C 上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是k BQ，k AQ，k AP．

（1）求证：；

（2）若k AP=4k BQ，求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标．

12．（2018•榆林一模）已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点k，过点k做圆C：（x﹣5）2+y2=9的两条切线，切点为．

（1）求抛物线E的方程；

（2）若直线AB是讲过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．13．（2018•南充模拟）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=

（Ⅰ）求椭圆的标准方程．

（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求•的取值范围．

14．（2018•闵行区一模）已知椭圆的右焦点是抛物线Γ：y2=2px的焦点，直线l 与Γ相交于不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2）．

（1）求Γ的方程；

（2）若直线l经过点P（2，0），求△OAB的面积的最小值（O为坐标原点）；

（3）已知点C（1，2），直线l经过点Q（5，﹣2），D为线段AB的中点，求证：|AB|=2|CD|．15．（2018•恩施州一模）设直线l的方程为x=m（y+2）+5，该直线交抛物线C：y2=4x于P，Q两个不同的点．

（1）若点A（5，﹣2）为线段PQ的中点，求直线l的方程；

（2）证明：以线段PQ为直径的圆M恒过点B（1，2）．

16．（2018•凉山州模拟）若A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆E：+y2=1上位于x轴上方两点，且x1+x2=2．

（1）若y1+y2=1，求线段AB的垂直平分线的方程；

（2）求直线AB在y轴上截距的最小值．

17．（2018•东莞市模拟）已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，

1）．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若P，Q是椭圆C上的两个动点，且使∠PAQ的角平分线总垂直于x轴，试判断直线PQ的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

18．（2018•化州市二模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为2，设右焦点为F，过原点O的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AF的中点为M，线段BF的中点为N，且•=．

（1）求弦AB的长；

（2）当直线l 的斜率k=，且直线l′∥l 时，l′交椭圆于P，Q，若点A在第一象限，求证：