大学经典课件之高等数学——7-3向量的乘法运算

C
1 25 2 2 2 = 15 + 12 + 16 = , 2 2 1 | AC | = 42 + ( −3)2 = 5, S = | AC |⋅ | BD | 2 25 1 ∴| BD |= 5. = ⋅ 5⋅ | BD | 2 2
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r r r 例 6 设向量 m , n, p 两两垂直，符合右手规 r r r 则，且| m |= 4 ，| n |= 2 ，| p |= 3 ，计算 r r r ( m × n) ⋅ p .
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r r a⋅b r r r r a ⋅ b =| a || b | cosθ ⇒ cos θ = r r , | a || b |
cosθ = a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + az
2 2 2
bx + b y + bz
2 2
2
——两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 r r r r a ⊥ b ⇐⇒ a ⋅ b = 0
( 2) cosθ = a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + az
2 2 2
bx + b y + bz
2 2
2
1 =− , 2
r r r r r ( 3 ) a ⋅ b =| b | ( a ) b
3π . ∴θ = 4 r r r r a⋅b ∴ (a )b = r = −3. |b |
2
2 2
b a r a
r b
C
r r = a + b − 2ab cos(a , b )
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例3
r r r r r r r 证明向量 c 与向量 ( a ⋅ c )b − ( b ⋅ c )a 垂直.
证
r r r r r r r [(a ⋅ c )b − (b ⋅ c )a ] ⋅ c
r b
θ
r a
结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这个向量的投影的 乘积.
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数量积符合下列运算规律：
r r r r （1）交换律： a ⋅ b = b ⋅ a; r r r r r r （2）结合律： ( λa ) ⋅ b = a ⋅ ( λb ) = λ ( a ⋅ b ),
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例 2 设三角形三边长分别为 a, b, c ， 求证余 r r 2 2 2 弦定理： c = a + b − 2ab cos( a , b )。
r r r 证明：如图 c = a − b
A
r c c
B
r r c = c ⋅c r r r r = (a − b ) ⋅ (a − b ) r 2 r r r 2 =| a | + | b | −2a ⋅ b
az r a x j + bx bz
ay r k by
ay r k by
ay = by
az r ax i − bz bx
为方便记忆，将上式形式的记为 r r r i j k r r a × b = a x a y az bx b y bz
机动 r r 例 4 求与 a = 3i − 2 j + 4k ， b = i + j − 2k 都垂直
⇐⇒ a x bx + a y b y + a z bz = 0
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r r 例 1 已知 a = (1,1,−4) ， b = (1,−2,2) ，求（1） r r r r r r a ⋅ b ；（2） a 与 b 的夹角；（3） a 在 b 上的投影
r r 解 (1) a ⋅ b = 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ ( −2) + ( −4) ⋅ 2 = −9.
解
r r r r r r | m × n |=| m || n | sin m , n
= 4 × 2 × 1 = 8,
r r r 依题意知 m × n 与 p 同向，
r r r ∴ θ = m × n, p = 0
r r r r r r ( m × n ) ⋅ p =| m × n | ⋅ | p | cosθ
启示 两向量作这样的运算, 结果是一个数量.
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r r 定义：向量 a 与 b 的数量积是一个实数，记为 r r a ⋅ b 。定义 r r r r r r a ⋅ b =| a || b | cos a , b
r r r r （1）若 a , b 中有一个向量为 0 ，则规定 a ⋅ b = 0 。
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二、两向量的向量积
r r 定义:向量 a 与 b 的向量积为一个向量，记作 r r r c = a ×b。 r b r r r r h 模为：| c |=| a || b | sinθ (其中θ 为 a r θ 与 b 的夹角)，数值上等于 r a r r
以 a,b 为 边 的 平 行 四 边 形 的面积。
r r r r r r r c × (a + b ) = c × a + c × b .
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3. 证明向量积的分配律:
引理
(a+b)×c=(a × c)+(b × c)
将矢量a一投一转（转900）， 得a2
a × c 0 = a2
证明 两向方向: 一致； 引入θ π |a2|= |a1| =| a | ⋅ cos( − θ ) 2 0
= 8 ⋅ 3 = 24.
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三、向量的混合积
r r r r r r 定义：设已知三个向量 a 、 b 、 c ，则 ( a × b ) ⋅ c 称
说明：
r r r r ( 2) a ⋅ b = 0 ⇐⇒ a⊥b .
r r r 2 ( 3) a ⋅ a =| a | . r r r r （4）向量 a 与 b 的数量积也称为 a 与 b 的点乘积或
内积。
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数量积在几何上的一个解释： 由数量积的定义 r r r r r r a ⋅ b =| a || b | cos a , b r r r r = | a | Prja b =| b | Prjb a r r r r = | a | ( b )a = | b | ( a )b
由向量和的平行四边形法则，
(a+b)×c=(a × c)+(b × c)
将平行四边形一投一转
c
b c0 a
b1
a+b
(a+b)×c=(a × c)+(b × c)
得证
a × c0
b1
a×c
(a + b ) × c 0
b × c0
a1
a1
a 1 + b1
a 1 + b1
.
b×c
(a+b)×c
.
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第三节 向量的乘法运算
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积 二、向量的混合积
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第七章
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一、两向量的数量积
r 例：设一物体在常力 F 作用 下沿直线从点 M 1 移动到点 r M 2 ，则力 F 所作的功为 r W =| F || M 1 M 2 | cosθ
F
θ
M1 M2
r (其中θ 为 F 与 M 1 M 2 的夹角)
r r r r r r r r = (a ⋅ c )b ⋅ c − (b ⋅ c )a ⋅ c r r r r r r r r = (a ⋅ c )(b ⋅ c ) − (b ⋅ c )(a ⋅ c )
=0
r r r r r r r ∴ [(a ⋅ c )b − (b ⋅ c )a ] ⊥ c
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的单位向量.
解
r i r r r c = a × b = ax bx
Q
r j ay by
r r r r k i j k r r a z = 3 − 2 4 = 10 j + 5k , bz 1 1 − 2
r 2 2 | c |= 10 + 5 = 5 5 ,
∴
r c ⎛ 2 r 1 r⎞ 0 j+ k ⎟. c = ± r = ±⎜ 5 ⎠ |c | ⎝ 5
——向量积的坐标表达式
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向量积的行列式表示 r r r r r a × b = (a y bz − a z b y )i + (a z bx − a x bz ) j + (a x b y − a y bx )k
= ay by az r az i + bz bz
ax r ax j + bx bx
r r r r r ( 2) a // b ⇐⇒ a × b = 0.
(3) 向量积也称为“叉积”、“外积”.
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向量积符合下列运算规律：
r r r r （1）反交换律： a × b = − b × a . r r r r r r （2）结合律： ( λa ) × b = a × ( λb ) = λ ( a × b ). r r r r r r r （3）分配律： (a + b ) × c = a × c + b × c .