向量计算公式

1、向量的的数量积

定义：已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量，记作a*b。若a、b不共线，则a*b=|a|*|b|*cos〈a，b〉；若a、b共线，则a*b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示：a*b=x*x'+y*y'。
向量的数量积的运算律
aXb=b*a（交换律）；
(λa)*b=λ(a*b)(关于数乘法的结合律)；
（a+b)*c=a*c+b*c（分配律）；
向量的数量积的性质
a*a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a*b=0。
|a*b|≤|a|*|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律，即：(a*b)*c≠a*(b*c)；例如：(a*b)^2≠a^2*b^2。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由 a*b=a*c (a≠0)，推不出 b=c。
3、|a*b|≠|a|*|b|
4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。

2、向量的向量积

定义：两个向量a和b的向量积（外积、叉积）是一个向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：∣a×b∣=|a|*|b|*sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线，则a×b=0。
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
（λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）；
（a+b）×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB/向量CD”是没有意义的。

3、向量的三角形不等式

1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣；
① 当且仅当a、b反向时，左边取等号；
② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 当且仅当a、b同向时，左边取等号；
② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。

4、定比分点

定比分点公式（向量P1P=λ*向量PP2）
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ*向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ)；（定比分点向量公式）
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分点坐标公式）
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式
5、三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线
三角形重心判断式
在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
向量共线的重要条件
若b≠0，则a//b的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λb。
a//b的重要条件是 xy'-x'y=0。
零向量0平行于任何向量。
向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 a*b=0。
a⊥b的充要条件

是 xx'+yy'=0。
零向量0垂直于任何向量.