平面向量公式
平面向量考试常用结论
平面向量考试常用结论
平面向量是高中数学中比较重要的一章，也是考试中常出现的题型。
在考试中，我们不仅要熟练掌握平面向量的概念和基本运算，还需要掌握一些常用的结论，以应对各种题型的考查。
下面是一些平面向量考试常用结论，供大家参考。
1. 平面向量共线的充要条件：两个非零向量共线的充要条件是它们之间存在一个实数 k，使得一个向量等于另一个向量的 k 倍。
2. 平面向量垂直的判定方法：如果两个非零向量的点积为零，那么它们垂直。
3. 平面向量投影的公式：设向量 a 和 b 不共线，向量 a 在向量 b 上的投影为：
proj_b a = (a · b) / |b|^2 * b
其中，proj_b a 表示向量 a 在向量 b 上的投影，|b| 表示向量 b 的长度。
4. 平面向量模长的乘法公式：|a · b| = |a| * |b| * sinθ，其中θ表示向量 a 和向量 b 之间的夹角。
5. 平面向量三角形面积的公式：设三角形 ABC 的两个边向量分别为 a 和 b，那么三角形 ABC 的面积为：
S = 1/2 * |a × b|
其中，×表示向量的叉积。
6. 平面向量几何平均值的公式：设向量 a 和向量 b 不共线，那么它们的几何平均值为：
|a × b| = |a| * |b| * sinθ
7. 平面向量共面的判定方法：如果三个非零向量共面，那么它们的混合积为零。
以上是平面向量考试常用结论的一些例子，希望对大家应对平面向量考试有所帮助。
当然，掌握这些结论只是基础，还需要多做练习，才能在考试中灵活运用。
向量运算公式大全
向量运算公式大全
向量运算，它是数学中的一门重要学科，许多人也熟知它的基本概念，它是利
用有限的空间中的点的运动来描述物体的状态的一种运算。
向量运算公式大全包括平面向量公式、空间向量公式、余弦定理公式和积分公式等。
如平面向量公式，其概念是在二维空间中描述点的运动，它包括三个有向箭头，分别表示x，y，z方向，它们运算规律就是余弦定理，即a^2+b^2=c^2，它可以用
来求解两个向量之间的角度。
空间向量公式在三维空间中用来求解向量间运动，它们有四个有向箭头表示，
它们分别表示x、y、z、w方向，它们也遵循余弦定理，满足a^2+b^2+c^2=d^2。
余弦定理公式，也叫三角形公式，它是向量运算中使用最多的公式之一，它描
述的是两个向量之间的角度。
即a^2+b^2=c^2，它可以用来计算向量的大小、角度等。
积分公式，积分是求向量函数的积分，它是指把一块特定形状的空间按特定函
数进行划分，再把划分出来的空间求和获得一个函数值的过程。
向量函数可以用多种方法来表示，最常见的是用积分公式来求解。
以上是向量运算公式大全的概要介绍，它们的具体使用，实际上还要求一定的
数学知识，理解能力才能更深入的去了解、使用，只有这样才能获得最优效果。
高中数学-公式-平面向量
平面向量1.两个向量平行的充要条件,设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),λ为实数。
〔1〕向量式：a ∥b (b ≠0)⇔a =λb ;〔2〕坐标式：a ∥b (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1=0;2.两个向量垂直的充要条件, 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), 〔1〕向量式：a ⊥b (b ≠0)⇔a b =0; 〔2〕坐标式：a ⊥b ⇔x 1x 2+y 1y 2=0;3.设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b θ=x 1x 2+y 1y 2;其几何意义是a b 等于a 的长度与b 在a 的方向上的投影的乘积；4.设A 〔x 1,x 2〕、B(x 2,y 2)，那么S ⊿AOB ＝122121y x y x -； 5.平面向量数量积的坐标表示：〔1〕假设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),那么a b =x 1x 2+y 1y 2221221)()(y y x x -+-=; 〔2〕假设a =(x,y),那么a 2=a a =x 2+y 2,22y x a +=;十、向量法 1、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕线线平行：l ∥m ⇔a ∥b ⇔=a kb〔2〕线面平行：l ∥α⇔a ⊥u 0⇔=a u〔3〕面面平行：////αβ⇔⇔=u v u kv注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括线在面内，面面平行包括面面重合.2、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕线线垂直：⊥⇔l m a ⊥b 0⇔=a b〔2〕线面垂直：α⊥⇔l a ∥u ⇔=a ku〔3〕面面垂直：αβ⊥⇔u ⊥v 0⇔=u v3、设直线、m l 的方向向量分别是、a b ，平面αβ、的法向量分别是、u v ，那么： 〔1〕直线、m l 所成的角(0)2πθθ≤≤，cos θ⋅=a ba b〔2〕直线l 与平面α所成的角(0)2πθθ≤≤，sin θ⋅=a ua u〔3〕平面α与平面β所成的二面角的平面角(0)θθπ≤≤，cos θ⋅=u vu v教学过程：二、新课讲授1. 定义：我们把空间中具有大小和方向的量叫做空间向量．向量的大小叫做向量的长度或模.3. 空间向量的加法与数乘向量的运算律． ⑴加法交换律：a +b = b + a ； ⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ； ⑶数乘结合律：λ(u a ) =(λu )a ．4. 推广：⑴12233411n n n A A A A A A A A A A -++++=；⑵122334110n n n A A A A A A A A A A -+++++=；方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量． 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .称平面向量共线定理，二、新课讲授1.定义：与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作a //b ．2．关于空间共线向量的结论有共线向量定理及其推论： 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b 〔b ≠0〕，a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 理解：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：假设a ∥b 〔a ≠0〕，那么有b ＝λa ，其中λ是唯一确定的实数。
平面向量基本公式大全
平面向量基本公式大全平面向量是数学中的一个重要概念，用于描述两个方向和大小都有所限定的量。
平面向量有很多重要的基本公式，这些公式在数学和物理学中都有广泛的应用。
下面就来介绍一下平面向量的基本公式。
1、平面向量的模长公式平面向量的模长（也叫长度）是平面向量的重要特性之一，表示向量在平面上的长度。
平面向量的模长公式为：AB，=√(某2-某1)2+(y2-y1)2其中，A(某1,y1)和B(某2,y2)表示向量AB的起点和终点坐标。
2、平面向量的加法和减法公式平面向量的加法和减法公式是指两个向量相加或相减的规则。
其公式为：A+B=(A某+B某,Ay+By)A-B=(A某-B某,Ay-By)其中，A、B分别表示两个向量，A某、Ay、B某、By分别表示两个向量在某轴和y轴上的分量。
3、平面向量的数量积公式数量积是向量中另一个重要的特性，用于描述两个向量之间的夹角。
平面向量的数量积公式为：A·B=，A，B，cosθ其中，A、B分别表示两个向量，A，和，B，表示它们的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
4、平面向量的叉积公式叉积也是向量中的一种运算，用于计算两个向量所在平面的法向量，常用于计算力矩和面积等。
平面向量的叉积公式为：A某B=，A，B，sinθ其中，A、B分别表示两个向量，A，和，B，表示它们的模长，θ表示两个向量之间的夹角。
5、平面向量的坐标表示对于向量AB，在平面直角坐标系中，可以用一个有序数组(某,y)表示其坐标。
例如A(1,2)和B(3,4)，则向量AB可以表示为(2,2)。
6、平面向量的方向角公式平面向量的方向角指向量与正方向某轴之间的夹角，其公式为：θ=tan-1(y/某)其中，某、y分别表示向量的某轴和y轴分量。
7、平面向量的正交公式两个向量如果互相垂直，则称它们是正交的。
平面向量的正交公式为：A·B=0其中，A、B分别表示两个向量，·表示数量积运算。
总之，平面向量的基本公式是理解和应用平面向量的关键。
平面向量的所有公式-向量单位化公式
平面向量的所有公式-向量单位化公式
平面向量是指在平面内具有大小和方向的向量。
在数学和物理学中，平面向量有许多重要的公式，其中之一是向量单位化公式。
向量单位化是将一个向量转化为单位向量的过程，单位向量的长度为1。
单位向量通常用符号`u`表示。
向量单位化公式如下：
如果有一个非零向量`v`，其坐标为`(x, y)`，则向量单位化公式可以表示为：
u = (x, y) / ||(x, y)||
其中，`||v||`表示向量`v`的长度，也称为向量的模。
当一个向量的模等于1时，它就是一个单位向量。
在计算单位向量时，需要对向量的坐标进行标准化。
标准化指的是将一个向量的每个分量除以该向量的模。
例如，如果有一个向量`v`，其坐标为`(3, 4)`，则可以通过向量单位化公式计算单位向量`u`如下：
首先，计算向量`v`的模：
||v|| = √(x^2 + y^2) = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5
然后，将向量`v`的每个分量除以模`||v||`，即可得到单位向量`u`：
u = (3/5, 4/5)
因此，向量`(3, 4)`的单位向量为`(3/5, 4/5)`。
向量单位化公式是计算单位向量的重要工具，在许多数学和物理问题中都有应用。
了解和掌握向量单位化公式可以帮助我们更好地理解和计算平面向量。
以上是关于平面向量的所有公式中的向量单位化公式的介绍。
参考文献：。
平面向量公式 有哪些公式
平面向量公式有哪些公式平面向量是在二维平面内既有方向又有大小的量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量（标量）。
平面向量用a,b,c 上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
那么平面向量公式都有什么？平面向量公式有哪些公式1平面向量公式设a=（x，y），b=(x'，y')。
1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；当λ＜0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣＞1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时，表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb)。
向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。
②如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b。
平面向量公式总结
平面向量公式，轻松掌握的关键平面向量的公式是学习向量初步的重要基础。
下面将为大家简单总结平面向量公式，帮助大家轻松掌握。
1.向量的加法向量a+b的结果是以向量a的起点为起点，向量b的起点为终点的向量。
其公式表达为：a+b=(a1+b1,a2+b2)注：其中a1、a2和b1、b2分别是向量a、向量b的横、纵坐标。
2.向量的减法向量a-b的结果是以向量b的终点为起点，向量a的终点为终点的向量。
其公式表达为：a-b=(a1-b1,a2-b2)注：其中a1、a2和b1、b2分别是向量a、向量b的横、纵坐标。
3.向量的数乘数乘指的是一个实数（数学中的标量）乘以向量，结果是一个新向量。
其公式表达为：k*a=(k*a1,k*a2)注：其中a1、a2是向量a的横、纵坐标。
k为标量。
4.向量的模向量的模指向量的长度，可以通过勾股定理来计算。
其公式表达为：|a|=sqrt(a1^2+a2^2)注：其中a1、a2是向量a的横、纵坐标。
5.向量的点积向量的点积也称为向量的内积或数量积，它是两个向量的数量积的夹角余弦值乘以向量模长。
其公式表达为：a·b=|a|×|b|×cosθ注：其中a、b为向量，θ为向量a与向量b之间的夹角。
6.向量的叉积向量的叉积也称为向量的外积或矢量积，它是两个向量所确定的平行四边形的面积的大小与平面法向量的方向所确定的矢量。
其公式表达为：a×b=|a|×|b|×sinθ×n注：其中a、b为向量，θ为向量a与向量b之间的夹角，n是一个与向量a和向量b均垂直的向量。
小结：平面向量的公式不仅是学习向量初步的重要基础，也是在以后学习更高深的数学知识时用到的重要基础。
只有掌握了这些公式，才能够在向量的加、减、数乘、模、点积和叉积等各方面轻松应对。
平面向量的所有公式
平面向量的所有公式平面向量是研究平面上的有大小和方向的量，它有三个基本组成部分：模、方向和位移。
在平面向量的运算中，有加法、减法、数量乘法和点乘法等基本运算法则。
平面向量的计算公式如下：一、向量的模：向量的模即向量的长度，用，AB，表示，A、B为向量的起点和终点。
根据两点之间的距离公式，向量AB的长度为：，AB，= sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)二、向量的方向角：向量的方向角用θ表示，θ的计算公式为：θ = arctan(y/x)三、向量的加法：向量的加法可用平行四边形法则或三角形法则进行运算。
-平行四边形法则：若AB向量与CD向量首位相连，则它们的和向量AC的终点D与向量CD的终点D形成一条与中点O1O2平行的平行线。
-三角形法则：若AB向量与BC向量首位相连，则它们的和向量AC的起点A与向量AB的起点A和向量BC的起点B重合，且终点C与向量BC的终点C重合。
四、向量的减法：向量的减法可用向量加法的逆运算进行。
若向量AB与向量CD首位相连，则它们的差向量AC的终点C与向量CD的起点C重合。
即向量减法A-B=A+(-B)，其中-B是向量B的逆向量。
五、数量乘法：向量与标量的乘法可分为两种情况。
-正数乘法：若k为正数，则k倍数的向量k·A与A方向相同，长度为原向量长度的k倍。
-负数乘法：若k为负数，则k倍数的向量k·A与A方向相反，长度为原向量长度的，k，倍。
六、数量积(点乘法)：数量积是向量积的另一种形式，它用于计算两个向量之间的夹角以及向量在一些方向上的投影。
-数量积的计算：设A(x1,y1)和B(x2,y2)是平面上的两个向量，它们的数量积为：A·B=x1*x2+y1*y2- 夹角的计算：设向量A(x1, y1)和B(x2, y2)的夹角为θ，则夹角的余弦为：cosθ = (A·B) / (，A， * ，B，)- 向量在一些方向上的投影：设向量A的模为，A，θ为A与一些方向的夹角，则A在该方向上的投影为：P = ，A，* cosθ以上是平面向量的一些基本计算公式。
平面向量的所有公式
平面向量的所有公式向量同数量一样，也可以进行运算。
向量可以参与多种运算过程，包括线性运算（加法、减法和数乘）、数量积、向量积与混合积等。
下面介绍运算性质时，将统一作如下规定：任取平面上两点Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3。
加法已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC，即有：AB+BC=AC。
用坐标表示时，显然有：AB+BC=x2-x1,y2-y1+x3-x2,y3-y2=x2-x1+x3-x2,y2-y1+y3-y2=x3-x1,y3-y1=AC。
这就是说，两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差三角形法则：AB+BC=AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则，简记为：首尾相连、连接首尾、指向终点。
四边形法则：已知两个从同一点A出发的两个向量AC、AB，以AC、AB为邻边作平行四边形ACDB，则以A为起点的对角线AD就是向量AC、AB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则，简记为：共起点对角连。
对于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。
向量的加法满足所有的加法运算定律，如：交换律、结合律。
减法AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连中点、指被减。
--a=a；a+-a=-a+a=0；a-b=a+-b。
数乘实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。
当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa=0。
用坐标表示的情况下有：λAB=λx2-x1,y2-y1=λx2-λx1,λy2-λy1设λ、μ是实数，那么满足如下运算性质：λμa= λμaλ + μa= λa+ μaλa±b = λa± λb－λa=－λa = λ－a|λa|=|λ||a|数量积已知两个非零向量a、b，那么a·b=|a||b|cosθ（θ是a与b的夹角）叫做a与b 的数量积或内积，记作a·b。
平面向量的所有公式-向量共线公式
平面向量的所有公式-向量共线公式
向量的定义
向量是具有大小和方向的量，常用一个有向线段来表示。
向量的加法
设有向线段AB和有向线段BC，通过将有向线段AB的起点
和有向线段BC的终点连接起来构成一条新的有向线段AC，这个
由有向线段AB和有向线段BC构成的有向线段AC称为向量AB
与向量BC的和，记作AB + BC = AC。
向量的减法
设有向线段AB和有向线段BC，通过将有向线段AB的起点
和有向线段BC的起点连接起来构成一条新的有向线段AC，这个
由有向线段AC的终点为B，有向线段AC所表示的向量称为向量AB与向量BC的差，记作AB - BC = AC。
向量的数量积
设向量A = \( a_1, a_2 \)，向量B = \( b_1, b_2 \)，则向量A与
向量B的数量积等于\( a_1 \times b_1 + a_2 \times b_2 \)，记作A · B。
向量共线公式
若向量A与向量B共线，则存在实数k，使得向量A = k ·向量B。
根据向量共线公式，可以得到以下结论：
- 当k>0时，向量A与向量B同向。
- 当k=0时，向量A与向量B重合，即向量A和向量B具有相同的大小和方向。
- 当k<0时，向量A与向量B反向。
总结
本文介绍了平面向量的定义、加法和减法的操作方法，以及向量数量积的定义和共线公式。
了解这些公式和概念可以帮助我们更好地理解向量的运算和性质，进一步应用于解决复杂的数学和物理问题。
九年级数学公式大全
九年级数学公式大全九年级数学公式包括但不限于以下内容：1. 二次函数公式：y=ax^2+bx+c，其中a≠0。
2. 三角函数公式：正弦函数：sinθ=对边÷斜边余弦函数：cosθ=邻边÷斜边正切函数：tanθ=对边÷邻边余切函数：cotθ=邻边÷对边3. 平面向量公式：向量a=(x,y)，向量b=(x,y)，向量加法：a+b=(x+x, y+y)。
4. 周长公式：长方形周长＝（长＋宽）×2，C=2(a+b)正方形周长＝边长×4，C=4a圆周长＝直径×圆周率，C=2π5. 面积公式：长方形面积＝长×宽，S=ab正方形面积＝边长×边长，S=a²三角形面积＝底×高÷2，S=ah/2平行四边形面积＝底×高，S=ah梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，S=1/2(a+b)h圆形面积＝半径×半径×圆周率，S=πr²扇形面积＝半径×半径×圆周率×圆心角度数（n）÷360，S=nπr²/3606. 判别式公式：b²-4ac=0，注：方程有两个相等的实根；b²-4ac>0，注：方程有两个不等的实根；b²-4ac<0，注：方程没有实根，有共轭复数根。
7. 两角和公式：sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB。
这些公式在九年级数学中有着广泛的应用，是解决数学问题的基础。
同时，需要注意每个公式都有其特定的使用条件和范围，使用时需要加以区分和判断。
高中数字必修二(平面向量)知识点及定理公式
高中数学必修二（平面向量）知识点及定理公式一、向量的概念：既有大小，又有方向的量。
二、特殊向量1.长度为0的向量叫做零向量，记作0.2.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量。
三、向量间的关系1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量，记作a//b 。
2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作a=b 。
四、向量的加法五、|a|,|b|与|a+b|的关系一般地，||||||b a b a +≤+，当且仅当a,b 方向相同时等号成立。
六、向量加法的运算律1.交换律：a+b=b+a2.结合律：(a+b)+c=a+(b+c)七、向量的减法)()(b a b a aa -+=-=--八、向量的数乘1.||||||a a λλ=：当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同。
当λ<0时，与a 的方向相反。
2.运算律：ba b a a a a aa λλλμλμλλμμλ+=++=+=)()3())(2()()()1(向量a b b a a λ=≠共线的充要条件：与)0(。
B C A a+b a b A B CDa b a+bOb a a-b九、向量的数量积θcos ||||b a b a =•当0=θ时，a 与b 同向，||||b a b a =•当πθ=时，a 与b 反向，||||b a b a -=• 当2πθ=时，a 与b 垂直，0=•b a 特别的：a a a a a a •==•||||2或，||||||b a b a ≤•数量积的运算律：cb ac b a b a b a ab b a •+•=•+•=••=•c ))(3()())(2()1(λλ十、平面向量坐标基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2。
2211e e a λλ+=十一、向量的坐标表示向量a 坐标:),(y x a =一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
高中数学公式大全平面向量的叉积与向量共线性的计算公式
高中数学公式大全平面向量的叉积与向量共线性的计算公式高中数学公式大全：平面向量的叉积与向量共线性的计算公式一、叉积的定义在平面解析几何中，我们常常会遇到两个向量的叉积运算。
叉积运算通常用符号"×"表示，它的结果是一个向量。
对于平面上的两个向量a和b，它们的叉积结果为向量c。
二、叉积的计算公式设有两个向量a=(x₁, y₁)和b=(x₂, y₂)，它们的叉积结果为向量c=(x₃, y₃)。
1. 叉积的计算公式一：x₃ = x₁ * y₂ - x₂ * y₁y₃ = y₁ * x₂ - y₂ * x₁2. 叉积的计算公式二：c = | a * b | * n其中，| a * b |表示向量a与向量b的数量积，n是一个垂直于平面的单位向量。
三、向量共线性的计算公式当两个向量平行或反平行时，可以说它们是共线的。
我们常常需要判断两个向量的共线性。
1. 共线性的判定公式一：向量a和向量b共线的充分必要条件是它们的叉积等于零。
即，a × b = 02. 共线性的判定公式二：向量a和向量b共线的充分必要条件是它们的方向向量成比例。
即，a = k * b 或 b = k * a，其中k是一个实数。
四、案例分析现在我们来看一个具体的案例，对以上公式进行应用。
案例一：设有向量a=(1, 2)和向量b=(3, 4)，求它们的叉积c和判断它们的共线性。
1. 叉积的计算：x₃ = 1 * 4 - 3 * 2 = -2y₃ = 2 * 3 - 4 * 1 = 2所以向量c=(-2, 2)。
2. 共线性的判断：a ×b = 1 * 4 - 2 * 3 = -2 ≠ 0说明向量a和向量b不共线。
案例二：设有向量a=(2, -1)和向量b=(4, -2)，求它们的叉积c和判断它们的共线性。
1. 叉积的计算：x₃ = 2 * (-2) - 4 * (-1) = 0y₃ = (-1) * 4 - (-2) * 2 = 0所以向量c=(0, 0)。
向量定理七个公式
向量定理七个公式平面向量是在二维平面内既有方向(direction)又有大小(magnitude)的量，物理学中也称作矢量，与之相对的是只有大小、没有方向的数量(标量)。
平面向量用a,b,c 上面加一个小箭头表示，也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。
输入分数，查看能上的大学测一测能上的大学1向量的加法1、向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则.AB+BC=AC.a+b=(x+x',y+y').a+0=0+a=a.2、向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c).2向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减”a=(x,y) b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').3向量的的数量积1、定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量,记作a•b.若a、b不共线,则a•b=|a|•|b|•cos〈a,b〉;若a、b共线,则a•b=+-∣a∣∣b∣.2、向量的数量积的坐标表示：a•b=x•x'+y•y'.3、向量的数量积的运算律a•b=b•a(交换律);(λa)•b=λ(a•b)(关于数乘法的结合律);(a+b)•c=a•c+b•c(分配律);4、向量的数量积的性质a•a=|a|的平方.a⊥b 〈=〉a•b=0.|a•b|≤|a|•|b|.5、向量的数量积与实数运算的主要不同点（1）向量的数量积不满足结合律,即：(a•b)•c≠a•(b•c);例如：(a•b)^2≠a^2•b^2.（2）向量的数量积不满足消去律,即：由a•b=a•c (a≠0),推不出b=c.（3）|a•b|≠|a|•|b|（4）由|a|=|b| ,推不出a=b或a=-b.4数乘向量1、实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣•∣a∣.当λ>0时,λa与a同方向;当λ<0时,λa与a反方向;当λ=0时,λa=0,方向任意.当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0.注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0.实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩.当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍.2、数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)•b=λ(a•b)=(a•λb).向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ.5向量的向量积1、定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b.若a、b不共线,则a×b的模是：∣a×b∣=|a|•|b|•sin〈a,b〉;a×b的方向是：垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.2、向量的向量积性质：∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积.a×a=0.a‖b〈=〉a×b=0.3、向量的向量积运算律a×b=-b×a;(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);(a+b)×c=a×c+b×c.注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.6向量的三角形不等式1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;② 当且仅当a、b同向时,右边取等号.2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣.① 当且仅当a、b同向时,左边取等号;② 当且仅当a、b反向时,右边取等号.7定比分点定比分点公式(向量P1P=λ•向量PP2)设P1、P2是直线上的两点,P是l上不同于P1、P2的任意一点.则存在一个实数λ,使向量P1P=λ•向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比.若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)x=(x1+λx2)/(1+λ),y=(y1+λy2)/(1+λ).(定比分点坐标公式)我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公式8其他公式1、三点共线定理若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线2、三角形重心判断式在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心3、向量共线的重要条件若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb. a//b的重要条件是xy'-x'y=0.4、零向量0平行于任何向量.5、向量垂直的充要条件a⊥b的充要条件是a•b=0.a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0.6、零向量0垂直于任何向量.。
平面向量公式
平面向量公式平面向量是既有大小又有方向的量，而数量只有大小没有方向。
一个有向线段包括起点、方向和长度三要素。
长度为零的向量是零向量，长度为一个单位的向量是单位向量。
共线向量是指方向相同或相反的非零向量，而零向量与任何向量都是平行的。
相等向量是指长度相等且方向相同的向量。
向量加法有三种运算法则。
三角形法则的特点是首尾相连，平行四边形法则的特点是共起点，而三角形不等式是a-b≤a+b≤a+b。
向量加法有三个运算性质：交换律、结合律和a+0=a。
坐标运算可以用来计算向量加法。
向量减法也有两种运算法则。
三角形法则的特点是共起点，连终点，方向指向被减向量。
坐标运算可以用来计算向量减法。
向量数乘是实数与向量的积，记作λa。
当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa=0.向量数乘有四个运算律：λ(μa)=(λμ)a，(λ+μ)a=λa+μa，λ(a+b)=λa+λb。
坐标运算可以用来计算向量数乘。
向量共线定理是指向量a和b不共线当且仅当有唯一一个实数λ，使b=λa。
坐标运算可以用来判断向量是否共线。
平面向量基本定理是指如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1和λ2，使a=λ1e1+λ2e2.这里的e1和e2是这一平面内所有向量的一组基底。
分点坐标公式是指设点R是线段R1R2上的一点，R1和R2的坐标分别是(x1,y1)和(x2,y2)，当x≠x2时，R的坐标是(x,y1+(y2-y1)/(x2-x1)(x-x1))。
当x=x2时，R的坐标是(x2,y)。
与b反向时，a b ab．③当a与b夹角为锐角时，a b0；当夹角为钝角时，a b0．平面向量的叉积：设a，b是两个向量，它们的叉积定义为一个向量c，其大小等于a，b所构成的平行四边形的面积，方向垂直于平行四边形所在的平面，且满足右手定则，即右手四个手指指向a，b的方向，拇指所指的方向即为c的方向。
向量平行公式和垂直公式是什么
向量平行公式和垂直公式是什么平面向量平行对应坐标交叉相乘相等，即x1y2＝x2y，垂直是内积为0。
方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线），记作a∥b。
零向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定。
我们规定：零向量与任一向量平行。
平行于同一直线的一组向量是共线向量。
a⊥b的充要条件是a·b=0，即(x1x2+y1y2)=0。
向量平行公式和垂直公式1向量平行、垂直公式a,b是两个向量a=（a1,a2）b=（b1,b2）a//b：a1/b1=a2/b2或a1b1=a2b2或a=λb,λ是一个常数a垂直b：a1b1+a2b2=02向量相关定义负向量如果向量AB与向量CD的模相等且方向相反，那么我们把向量AB叫做向量CD的负向量，也称为相反向量。
零向量长度为0的向量叫做零向量，记作0。
零向量的始点和终点重合，所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的。
相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a与b相等，记作a=b。
规定：所有的零向量都相等。
当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取。
任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．同向且等长的有向线段都表示相同向量。
自由向量始点不固定的向量，它可以任意的平行移动，而且移动后的向量仍然代表原来的向量。
在自由向量的意义下，相等的向量都看作是同一个向量。
数学中只研究自由向量。
滑动向量沿着直线作用的向量称为滑动向量。
固定向量作用于一点的向量称为固定向量（亦称胶着向量）。
位置向量对于坐标平面内的任意一点P，我们把向量OP叫做点P的位置向量，记作：向量P。
方向向量直线l上的向量a以及与向量a共线的向量叫做直线l上的方向向量。
相反向量与a长度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，记作-a，有-(-a)=a，零向量的相反向量仍是零向量。
平行向量方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线），记作a∥b。
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平面向量公式
1.向量三要素：起点，方向，长度
2.向量的长度=向量的模
3.零向量：⎩
⎨⎧方向任意长度为.20
.1
4.相等向量：⎩⎨
⎧长度相等
方向相同.2.1
5.向量的表示：AB ()始点指向终点
6.向量的线性加减运算法则：
()()⎪⎩⎪⎨
⎧=-=+终点指向始点
始点指向终点，
CB AC AB AC BC AB ,21 7.实数与向量的积：
()()a a λμμλ=.1 ()a a a μλμλ+=+.2 ()b a b a λλλ+=+.3 4.()y x a λλλ,=⋅ 5.a b b a ⋅=⋅ 6.()()b a b a ⋅⋅=⋅λλ 7.()c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 注；()()c b a c b a ≠⋅
8.定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数
λ，使得:
a b λ=
9.平面向量基本定理：如果e 1 ，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 : e e a 2211λλ+= 10.坐标的运算： ()1⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+=y x a
⇒y
x
2
2
+=
()2已知；A ()y x 11+，B ()
y x 22+⇒(
)
(
)()
⎪⎩
⎪⎨⎧+=--=
--y y x x y y x x AB 12122,.12
2
1
212
()3已知；()y x a 11,= ，()y x b 22,=
()
()⎪⎩
⎪⎨⎧+⋅=•±±=±⇒和它们对应坐标的乘积的两个向量的数量积等于y y x x y y x x b a b a 21212
121.2,.1 ()4已知；()y x a 11,=//()y x b 22,=⇔01221=⋅-⋅y x y x (横纵交错乘积之差为0）
()5已知；已知；()y x a 11,=⊥()y x b 22,=02121=⋅+⋅⇔y y x x （对应坐标乘积之和为0）
10.数量积b
a ⋅等于a
b 在a 的方向上的投影θcos ⋅的乘积：
θcos =⋅b a
()的夹角与为b a θ
变形
⇒b a =
θcos
11.线段的定比分点：
设()x x p 211, ，()y x p 222, ，P ()y x ,是不同于直线p p 21,上的任意两点；即有：p p p p 2
1λ=⎪⎩
⎪⎨
⎧⇒<⇒>外在点内
在点p p p p p p 212
100λλ （其中p 为定比分点；λ为定比。
）
（1）.线段的定比分点“定比”λp
p p p 2
1 （终点
分点分点
始点→→）
(2)定比分点的坐标公式：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧++=++=
λ
λλ
λ112
1
2
1
y
y x
x y x
12.线段的中点坐标公式： 已知点()()y x y x B A 2221,,,，点()y x P ,为AB
的中点，则有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+
=+=
⇒2
2
2
1
2
1y
y x
x y x
13.三角形的重心坐标公式：已知点()()()y x y x y x C B A 332221,,,,,为三角形的三个顶点，点()y x G 00,为三角形的重心，则：
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨
⎧++=++=333210
3
210
y y y y x x x x 13.向量的三角形不等式
1、∣∣a ∣-∣b ∣∣≤∣a+b ∣≤∣a ∣+∣b ∣； ① 当且仅当a 、b 反向时，左边取等号； ② 当且仅当a 、b 同向时，右边取等号。
2、∣∣a ∣-∣b ∣∣≤∣a-b ∣≤∣a ∣+∣b ∣。
① 当且仅当a 、b 同向时，左边取等号； ② 当且仅当a 、b 反向时，右边取等号。