平面向量公式

平面向量公式

1.向量三要素：起点，方向，长度

2.向量的长度=向量的模

3.零向量：⎩

⎨⎧方向任意长度为.20

.1

4.相等向量：⎩⎨

⎧长度相等

方向相同.2.1

5.向量的表示：AB ()始点指向终点

6.向量的线性加减运算法则：

()()⎪⎩⎪⎨

⎧=-=+终点指向始点

始点指向终点，

CB AC AB AC BC AB ,21 7.实数与向量的积：

()()a a λμμλ=.1 ()a a a μλμλ+=+.2 ()b a b a λλλ+=+.3 4.()y x a λλλ,=⋅ 5.a b b a ⋅=⋅ 6.()()b a b a ⋅⋅=⋅λλ 7.()c b c a c b a ⋅+⋅=⋅+ 注；()()c b a c b a ≠⋅

8.定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数

λ，使得:

a b λ=

9.平面向量基本定理：如果e 1 ，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面 : e e a 2211λλ+= 10.坐标的运算： ()1⎪⎭

⎫ ⎝

⎛+=y x a

⇒y

x

2

2

+=

()2已知；A ()y x 11+，B ()

y x 22+⇒(

)

(

)()

⎪⎩

⎪⎨⎧+=--=

--y y x x y y x x AB 12122,.12

2

1

212

()3已知；()y x a 11,= ，()y x b 22,=

()

()⎪⎩

⎪⎨⎧+⋅=•±±=±⇒和它们对应坐标的乘积的两个向量的数量积等于y y x x y y x x b a b a 21212

121.2,.1 ()4已知；()y x a 11,=//()y x b 22,=⇔01221=⋅-⋅y x y x (横纵交错乘积之差为0）

()5已知；已知；()y x a 11,=⊥()y x b 22,=02121=⋅+⋅⇔y y x x （对应坐标乘积之和为0）

10.数量积b

a ⋅等于a

b 在a 的方向上的投影θcos ⋅的乘积：

θcos =⋅b a

()的夹角与为b a θ

变形

⇒b a =

θcos

11.线段的定比分点：

设()x x p 211, ，()y x p 222, ，P ()y x ,是不同于直线p p 21,上的任意两点；即有：p p p p 2

1λ=⎪⎩

⎪⎨

⎧⇒<⇒>外在点内

在点p p p p p p 212

100λλ （其中p 为定比分点；λ为定比。）

（1）.线段的定比分点“定比”λp

p p p 2

1 （终点

分点分点

始点→→）

(2)定比分点的坐标公式：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧++=++=

λ

λλ

λ112

1

2

1

y

y x

x y x

12.线段的中点坐标公式： 已知点()()y x y x B A 2221,,,，点()y x P ,为AB

的中点，则有⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+

=+=

⇒2

2

2

1

2

1y

y x

x y x

13.三角形的重心坐标公式：已知点()()()y x y x y x C B A 332221,,,,,为三角形的三个顶点，点()y x G 00,为三角形的重心，则：

⎪⎪

⎩⎪

⎪⎨

⎧++=++=333210

3

210

y y y y x x x x 13.向量的三角形不等式

1、∣∣a ∣-∣b ∣∣≤∣a+b ∣≤∣a ∣+∣b ∣； ① 当且仅当a 、b 反向时，左边取等号； ② 当且仅当a 、b 同向时，右边取等号。

2、∣∣a ∣-∣b ∣∣≤∣a-b ∣≤∣a ∣+∣b ∣。 ① 当且仅当a 、b 同向时，左边取等号； ② 当且仅当a 、b 反向时，右边取等号。