数列与不等式知识点及练习

数列与不等式

一、看数列是不是等差数列有以下三种方法：

①),2(1为常数d n d a a n n ≥=--②211-++=n n n a a a (2≥n )③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法：

①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112

-+⋅=n n n

a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a )

(2)在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足⎩⎨

⎧

≤≥+0

01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. （2）当1a <0,d>0时,满足⎩⎨

⎧≥≤+0

1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝对

值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法：

（1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①⎩⎨

⎧≥-==-)

2()111n S S n S a n n n （；②{}

n a 等差、等比数列{}n a 公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①)(1n f a a n n +=+；

②).(1n f a a n n =+（4）造等差、等比数列求通项：q pa a n n +=+1；②n

n n q pa a +=+1；③

)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ⋅+⋅=++12.第一节通项公式常用方法题型1 利

用公式法求通项

例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。

2.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ 1322

-+=n n S n ； ⑵12+=n

n S .总结:任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系：

⎩⎨⎧≥-==-)

2()1(11n S S n S a n n n 若1a 适合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.

题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项

例2：⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式；

⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ⋅=2

，求数列{}n a 的通项公式.

总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”； 迭乘法适用于求递推关系形如

“

)

(1n f a a n n ⋅=+“；⑵迭加法、迭乘法公式：①

1

1232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=-----Λ

② 11

22332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=

-----Λ. 题型3 构造等比数列求通项

例3已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“q pa a n n +=+1” 适用于待定系数法或特征根法： ①令)(1λλ-=-+n n a p a ；② 在q pa a n n +=+1中令p

q

x x a a n n -=

⇒==+11，∴

)

(1x a p x a n n -=-+；③由

q

pa a n n +=+1得

q

pa a n n +=-1，

∴)(11-+-=-n n n n a a p a a .

例4已知数列{}n a 中，n

n n a a a 32,111+==+，求数列{}n a 的通项公式.

总结：递推关系形如“n

n n q pa a +=+1”通过适当变形可转化为：“q pa a n n +=+1”或“n

n n n f a a )(1+=+求解.

数列求和的常用方法

一 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和

公

式

：

⎪⎩⎪

⎨⎧≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q

a a q

q a q na S n n n 3.

)

1(21

1

+==∑=n n k S n

k n

4、

)12)(1(61

1

2++==∑=n n n k S n

k n

5.21

3

)]1(21[+==

∑=n n k S n

k n 二.裂项相消法:适用于⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧

+1n n a a c 其中{ n a }是各项不为0的等差数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。 例2 求数列

)

1(n 1

+n 的前n 项和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分