第十章基础资产价格的变动_随机微分方程
第十章基础资产价格的变动_随机微分方程
方差
Var[St ] 2h
适用条件
首页
（1）资产价格比较稳定； （2）价格变化趋势是线性的； （3）波动项不是无限大； （4）资产价格不存在一种规律的“跳跃 性”。 常系数的随机微分方程描述的是资产价格围绕线性 趋势进行的一种波动。
二、几何随机微分方程 布莱克和休斯模型
形式为： dSt Stdt StdWt
E[
t 0
eWs
dWs
]
0
首页
故 若记 则有
所以
故得 从而
E[zt ] 1
t 0
1 2
2
E[
zs
]ds
E[zt ] xt
xt
1
t 0
1 2
2
xsds
dxt dt
1 2
2
xt
且 x0 1
1 2t
xt e 2
即
1 2t
E[zt ] e 2
Et[ST ]
(r 1 2 )T
S0e 2 Et [zT
微分方程或相应的积分方程。
五、资产现值的应用
假设 St 是某资产的价格，其价值的增加带有不确
定性，即
dSt rStdt StdWt
t [0, )
则此随机微分方程强解的备选答案是
首页
S S e(
r
1
2
2
)
t
Wt
t
0
s 现在假设 是将来T t 时刻的资产价格， T
s 对于时刻ｔ来说， 是未知的，但可以预测的 T
t
，强解
S
t
~s 计但另算需外弱考的解虑信与息过 集t 时程H不td，W需~t要且的考它相虑是关生H联成t的。信鞅又息。过集程Idt 的W~过t可程生，成
概率论在金融中的应用
概率论在金融中的应用概率论是数学中的一个重要分支，它研究随机现象的规律性和不确定性。
在金融领域，概率论被广泛应用于风险管理、投资决策、衍生品定价等方面。
本文将介绍概率论在金融中的应用，并探讨其重要性和局限性。
风险管理风险管理是金融领域中至关重要的一环。
通过对市场风险、信用风险、操作风险等进行量化和评估，金融机构可以制定相应的风险控制策略，保护自身利益并提高盈利能力。
概率论为风险管理提供了强大的工具。
值-at-风险（VaR）值-at-风险是衡量投资组合或金融产品在给定置信水平下可能遭受的最大损失的指标。
概率论可以帮助计算VaR，并根据不同的投资策略和市场情况进行动态调整。
通过使用概率分布函数和历史数据，可以估计投资组合或金融产品未来可能的损失范围，从而帮助投资者制定风险控制策略。
蒙特卡洛模拟蒙特卡洛模拟是一种基于概率论的计算方法，通过生成大量的随机样本来模拟金融市场的未来走势。
通过对这些样本进行分析和统计，可以得出不同投资策略的预期收益和风险。
蒙特卡洛模拟在金融中的应用非常广泛，例如用于评估衍生品的定价、优化投资组合、估计风险价值等。
投资决策概率论在金融领域中也被广泛应用于投资决策。
投资决策涉及到对不确定性因素的分析和评估，而概率论提供了一种科学的方法来处理这些不确定性。
期望收益和风险在投资决策中，投资者通常会考虑预期收益和风险之间的权衡。
概率论可以帮助计算不同投资策略的预期收益，并通过方差、标准差等指标来衡量风险水平。
通过比较不同投资策略的预期收益和风险，投资者可以做出更明智的投资决策。
有效市场假设有效市场假设是金融学中的一个重要理论，它认为市场价格已经反映了所有可得到的信息，投资者无法通过分析市场数据来获得超额收益。
概率论在有效市场假设中起到了重要的作用，通过对市场价格的随机性进行建模和分析，可以帮助投资者判断市场是否有效，并制定相应的投资策略。
衍生品定价衍生品是金融领域中一类特殊的金融工具，其价值来源于基础资产或指标的变动。
非对称双指数跳扩散模型下重置期权的定价
非对称双指数跳扩散模型下重置期权的定价杨建奇【摘要】在非对称双指数跳扩散模型下运用概率方法导出了重置期权的价格公式.首先引入非对称双指数跳扩散模型并详尽分析了它的特点.其次,在经Girsanov定理进行测度变换的基础上利用Brownian运动和Poisson分布的独立增量性及Markovian性将期权价格转化为一些易于计算的数学期望之和.最后利用全期望公式给出重置期权明确的价格计算公式.【期刊名称】《南昌大学学报（理科版）》【年(卷),期】2018(042)004【总页数】6页(P316-321)【关键词】重置期权;跳扩散过程;指数分布;概率方法【作者】杨建奇【作者单位】广西财经学院,广西南宁 200093;湖南科技学院,湖南永州 425199【正文语种】中文【中图分类】O211.6;F830.9未定权益定价和套期保值问题是金融数学的核心问题之一。
众所周知,重置期权(Reset options)的最终收益与期权有效期中的一些预先设定的时间点处的风险资产价格有关。
它最早用于法国CAC 40种股票指数交易,现已获得了广泛应用,重置期权的敲定价在各个独立的子期限内是不同的,并可随市场价格的波动而变化重置期权内含一系列的预先设定的敲定价(strike price),重定日(reset date)通常为下1个子期限的开始日,该子期限上的敲定价通常即为该开始日标的资产的市场价格。
例如:设初始敲定价为100,若第2个期限开始日(第1个敲定价重订日)标的资产的市场价格升为110,则新的敲定价重新定为110,此时第一个子期限内买方可以补偿(补偿价为110-100=10)被锁定,留待期权最终期满后一并支付;至第3个子期限开始日(第2个敲定价重订日)若标的资产的市场价又降为95,则新的敲定价也降为95,并且在第2个子期限内买方将得不到任何补偿,以此类推。
至整个期权期满,买方可以最终获得补偿就是各个子期限所得到的补偿之和。
期权定价的连续模型及BS公式
期权定价的连续模型及BS公式期权定价是金融学中一个重要的问题，它涉及到市场上期权的价格如何形成以及如何计算的问题。
在期权定价的研究中，连续模型和BS公式是常用的工具和方法之一连续模型是指在对期权定价进行建模时，假设资产价格（或指数）是连续的、随机的过程。
这些模型通常是基于随机微分方程的形式，最常见的连续模型是几何布朗运动模型和扩散模型。
其中几何布朗运动是一个经典的连续模型，它是由英国数学家罗伯特·布莱利·布朗提出的。
几何布朗运动的数学表达式是一个随机微分方程，即：dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t其中，S_t是资产价格（或指数），\mu是资产的预期收益率，\sigma是资产价格的波动率，dW_t是布朗运动的增量。
这个方程描述了资产价格的变化情况，包括预期收益率和波动率对价格变化的影响。
通过这个方程，可以计算出期权的价格。
另一个常用的连续模型是扩散模型。
扩散模型是在几何布朗运动的基础上进行扩展的模型，它考虑了资产的波动率是随时间变化的情况。
在扩散模型中，资产价格的波动率是一个随机过程，即：dS_t = \mu S_t dt + \sigma_t S_t dW_t其中的\sigma_t是时间t上的波动率。
这个模型可以更准确地描绘资产价格的变化情况，特别适用于对期限较长的期权进行定价。
BS（Black-Scholes）公式是一个基于几何布朗运动的连续模型的定价公式。
它是由美国经济学家费希尔·布莱克和美国经济学家默顿·米勒·施尔斯在1973年提出的，被广泛应用于期权定价。
BS公式的数学表达式为：C=S_0N(d_1)-Xe^{-rT}N(d_2)其中，C是看涨期权的价格，S_0是资产的当前价格，N(\cdot)是标准正态分布函数，d_1是一个与标准正态分布相关的变量，d_2是另一个与标准正态分布相关的变量，X是期权的执行价格，r是无风险利率，T是期权的时间到期。
基于随机微分方程的动态定价模型研究
基于随机微分方程的动态定价模型研究随着金融市场越来越复杂，传统的定价模型已经无法满足市场需求，随机微分方程成为越来越多的研究选项。
本文将介绍基于随机微分方程的动态定价模型，并探讨其在金融风险管理中的应用。
一、随机微分方程随机微分方程描述的是一个动态演化的随机系统，它在金融工程中的应用异常广泛。
这种类型的方程形式困难，因此需要特别处理。
在实践中，常用参数估计方法来确定随机过程中的各种参数，其中最常用的是极大似然估计方法，它的核心思路是找到最大的似然函数值作为估计值。
二、动态定价模型动态定价模型建立于连续时间假定基础之上，即价格的变化是连续时间下的持续变化。
在这个模型中，市场总是处于均衡状态，因为市场价格往往是由所有参与者共同决定的。
为了能够计算市场价格，需要对市场中的每个资产建立一个价格模型，直到收益率满足一定的均衡关系。
然后，通过现有市场性价格和相应的收益率水平，来计算未来市场中资产价格的发展趋势。
三、随机微分方程与动态定价模型的结合基于随机微分方程的动态定价模型是基于市场中各种资产价格的变化与随机因素之间的关系建立的。
这种模型能够反映价格变化的随机性和不确定性，并在市场中发挥重要作用，特别是在金融风险管理中。
由于随机微分方程能更好地反映市场的随机性，从而使得预测更为准确。
通过基于当前数据估计具有未来预测能力的参数，并利用已知的市场数据来评估每个市场中资产的未来价格变化。
从而，在不同的市场条件下制定策略和决策，以控制风险和获得更好的回报。
四、应用场景在金融风险管理中，这种模型常用于控制证券市场风险的最优化，从而降低交易者面临的风险和获得更高价值的交易。
例如，通过对随机微分方程和动态定价模型的应用，投资者可以更好地构造投资组合，进行风险分散，实现交易策略的最大化回报。
另外，此类模型在衍生品的定价中也有很好的应用，例如随机波动性模型可以用于计算期权价格。
同时，在实际交易中，随机微分方程和动态定价模型也有用于量化金融风险、计算风险价值和研究反转策略等方面。
随机微分方程与金融衍生品定价
随机微分方程与金融衍生品定价一、引言随机微分方程（Stochastic Differential Equation，简称SDE）是描述随机过程演化的数学工具，广泛应用于金融领域。
金融衍生品是一类利用随机微分方程进行定价的金融工具，在风险管理和投资决策中起着至关重要的作用。
本文将介绍随机微分方程的基本概念和金融衍生品定价的主要方法。
二、随机微分方程介绍随机微分方程是一种将随机过程与微分方程结合的数学模型。
随机过程是一种能够描述随机变量随时间演化的数学对象，而微分方程则描述了变量及其变化率之间的关系。
在金融领域，随机微分方程通常用于描述资产价格、利率、波动率等随时间变化的过程。
随机微分方程的一般形式可以表示为：dX_t = μ(t,X_t)dt + σ(t,X_t)dW_t其中，X_t为随机过程，μ(t,X_t)为漂移项，描述了随机过程的平均变化速度；σ(t,X_t)为波动项，描述了随机过程的波动性；dW_t为随机项，代表了随机因素对随机过程的影响。
三、金融衍生品定价方法金融衍生品是一种具有衍生性质的金融工具，其价值来源于基础资产价格的变动。
根据随机微分方程的应用，我们可以使用不同的定价方法对金融衍生品进行定价。
1. Black-Scholes模型Black-Scholes模型是一种通过假设资产价格满足几何布朗运动的随机微分方程，来进行欧式期权（European Option）定价的方法。
该模型假设资产价格、利率、波动率等参数为常量，并且不存在交易费用和红利等因素，是对期权定价的经典方法之一。
2. 布朗运动模型布朗运动模型是一种通过考虑资产价格的随机波动性来进行期权定价的方法。
该模型假设资产价格服从几何布朗运动，在众多金融衍生品定价模型中被广泛应用。
通过将随机微分方程应用于期权定价公式中，可以计算得到期权的理论价格。
3. 蒙特卡洛模拟蒙特卡洛模拟是一种基于随机抽样的计算方法，在金融衍生品定价中得到了广泛的应用。
无套利定价原理与基本理论
05
无套利定价的前沿研究与 展望
无套利定价与其他金融理论的关系
无套利定价与风险中性定价
无套利定价是风险中性定价的一种特殊形式，两者在金融衍生品定价中都得到广泛应用。
无套利定价与资本资产定价模型（CAPM）
无套利定价原理是CAPM的基础之一，两者都强调了资本成本和投资风险之间的平衡。
无套利定价与有效市场假说（EMH）
优化方法是通过寻找最 优的参数组合来提高模 型的准确性，常用的方 法包括网格搜索、遗传 算法等。
感谢您的观看
THANKS
无套利定价是金融市场中的一种基本原则，它保证了市场中的投资者无法通过买 卖资产来获取无风险利润。
无套利定价是一种理论，它为金融市场中的资产定价提供了一种有效的框架，使 得投资者可以基于市场信息进行合理的投资决策。
无套利定价的背景和重要性
无套利定价是现代金融学中的基本理 论之一，它为金融市场中的资产定价
参数估计
美式期权定价需要估计标的资产的上涨和下跌幅度、无风 险利率、期权到期时间、波动率和利率等参数。通常使用 历史数据或市场数据进行估计。
案例三：基于统计模型的参数估计与优化
总结词
详细描述
数学模型
参数估计
优化方法
参数估计与优化是无套 利定价理论中的重要环 节，通过统计模型对历 史数据进行分析，可以 得到更准确的参数估计 值。
无套利定价是EMH的有效检验之一，而EMH的提出也为无套利定价提供了理论基础。
基于机器学习的无套利定价模型研究
01
基于神经网络的定价模型
利用神经网络模型对历史价格数据进行分析，预测未来价格走势，并
以此为依据进行无套利定价。
02
支持向量机（SVM）定价模型
随机微分方程在金融风险管理中的应用
随机微分方程在金融风险管理中的应用随机微分方程（stochastic differential equation）是描述随机系统变化的数学工具，它结合了微分方程理论和随机过程理论，被广泛应用于金融风险管理领域。
本文将介绍随机微分方程在金融风险管理中的应用，并探讨其重要性和优势。
1. 随机微分方程在金融衍生品定价中的应用金融衍生品定价是金融风险管理中的核心问题之一。
随机微分方程提供了一种有效的建模工具，可以描述金融市场中的价格变动和波动。
通过对金融资产价格的建模，可以使用随机微分方程对衍生品的定价进行精确计算。
2. 随机微分方程在投资组合优化中的应用投资组合优化是金融风险管理中的另一个重要问题。
随机微分方程可以用来描述不同金融资产之间的相关性和波动性，从而帮助投资者构建优化的投资组合。
通过对随机微分方程进行数值模拟和优化方法的应用，可以寻找到在给定风险水平下收益最大化的投资组合。
3. 随机微分方程在风险度量中的应用风险度量是金融风险管理中必不可少的工具之一。
随机微分方程提供了一种量化风险的方法，可以通过模拟金融市场的随机行为来计算风险指标，如价值-at-风险（Value-at-Risk）和条件价值-at-风险（Conditional Value-at-Risk）。
这些指标可以帮助金融机构评估风险暴露，并制定相应的风险管理策略。
4. 随机微分方程在风险对冲中的应用风险对冲是金融机构管理市场风险的重要手段。
随机微分方程可以用于建立对冲策略，通过对市场风险的建模和分析，确定适当的对冲仓位和交易策略。
通过对随机微分方程进行数值模拟和优化，可以帮助金融机构降低风险暴露并实现对冲效果。
5. 随机微分方程在风险监测与预警中的应用风险监测与预警是金融风险管理中的关键环节。
随机微分方程可以用于建立风险监测和预警模型，通过对金融市场的实时监测和预测，提前发现潜在风险，并采取相应的风险管理措施。
随机微分方程的应用可以提高风险监测与预警的准确性和实时性。
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随机微分方程 模型一般条件
t
P(|0a源自Su ,u)观察在很短的且不连续的时间间隔上的有限差
Sk Sk1 a(Sk1, k)h (Sk1, k)Wk
k 1,2 n
若此方程的解是一个随机过程 St ，则意味着
1、如何找到一系列用ｋ来标识的随机变量，以
满足上式中的增量 Sk
2、能否知道满足方程的随机过程S
和分布函数。
t
的时态函数
3、对任一给定的 a()和 () ，能否找到一系列
对于不同的市场参与者来说他拥有不同的信 息集，那么随机微分方程的含义不同。
如：假如一个市场参与者拥有“內幕信息”， 可事先获知影响价格变动的所有随机事件，则 在这种（非现实）情况下上式中的扩展项等于 零。
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原因
参与者知道 dSt 将如何变化，他就能完全
预测这一变量，即对任一时刻而言都有
dWt 0
品进行定价时，并不能准确获悉过程Wt 的实际情况，
我们能够运用的只有其波动率和波动趋势，因而， 在这种情况下给衍生产品定价，应运用弱解。
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四、随机微分方程解的证明 看一个特殊的随机微分方程：
dSt Stdt StdWt
即在对看涨期权定价之中运用的布莱克—— 休斯模型。
变形 首先计算 由于
1 St
出依赖于参数的函数，如 St f (a, , t, S0 ,Wt )
二、解的类型 1．强解
dSt a(St ,t)dt (St ,t)dWt
已知主参数 a() ，扩展参数 () 以及随机
变动项 dWt
则随机过程 St ：
t
t
St S0 0 a(Su , u)du 0 (Su , u)dWu
称为随机微分方程 的强解。
注 强解与一般微分方程的解是相似的
相同点 都是均值为0，方差等于 dt的维纳过程； 首页
密度函数的表达式相同。
从这个意义上来讲，这两个随机误差项之 间不存在什么区别。
不同点 限定二者的一系列信息集不同。
虽然基本的密度函数是相同的，但如果被不同的 信息集来衡量，那实际上这两个随机过程代表了现实 生活中根本不同的两种现象。
说明2
dSt a(St ,t)dt (St ,t)dWt
因此这类参与者的随机微分方程可写作
dSt a(St ,t)dt
而其他参与者的随机微分方程则是不变。
表明
随机微分方程的具体形式以及误差项 dWt
的定义都要依赖于信息集 { It ，t [0,T ] }
即维纳过程 dWt 与信息集 It 相对应。
随机微分方程可用于对衍 生金融资产定价的原因
对于标的资产的价格是如何随时间而发生变动， 此方程不但给出一个规范的模型，而且其推导 过程与金融市场中的交易者行为是一致的。
其中的扩展项包含外生变量 dWt ，它表示影响价
格进行完全不可预测变动的极其微小的事件。这一
系列小事件形成的“历史”就是ｔ时刻的信息 It
集。
计算强解是在给定dWt 时，求满足方程的值 St ，
也就是说为得到强解，需要知道集合I 与 It 是相互对应的。
t
，强解
S
t
~s 计但另算需外弱考的解虑信与息过 集t 时程H不td，W需~t要且的考它相虑是关生H联成t的。信鞅又息。过集程Idt 的W~过t可程生，成
第九章 基础资产价格的变动 -------随机微分方程
第一节 引 言 第二节 随机微分方程的求解 第三节 随机微分方程的主要形式 第四节 股票价格对数正态分布的特性
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第一节 引 言
随机微分方程
dSt a(St ,t)dt (St ,t)dWt
即将随机价格的变动分解为可预测和不可预 测两部分，且分解过程用到在时刻t的信息集。
的随机数对于所有的ｋ而言都满足上面的等式。
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其次 再寻求当时间间隔h趋于0时的方程的解
如果连续的时间过程 St ，对于所有的t 0
满足下列方程
t
t
t
0 dSu 0 a(Su ,u)du 0 (Su ,u)dWu
则定义 St 是随机微分方程 的解。
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dSt a(St ,t)dt (St ,t)dWt
首页 因此，弱解
需要满足
dS~t a(S~t ,t)dt (S~t ,t)dW~t
三、解的选择
~s 强解和弱解具有相同的主项和扩展项，因此 St 和 t
具有相似的统计特性。给定均值和方差，两解虽然 有所不同，但我们并不能把二者区别开来。
若误差项 dWt已知，则金融分析家会选择强解。
但是在运用解随机微分方程的办法来对衍生金融产
首页
S S e(
a
1
2
2
)
t
Wt
t
0
用伊藤定理来计算随机微分 dSt
dSt
(
S0e
a
1 2
2
)t
Wt
[(
a
1 2)dt
2
dWt
1
2
2dt]
即
dSt St (adt dWt )
若 a 则这正是给定的随机微分方程。
因此，求得随机微分方程的强解为：
S S e(
1 2
2
)
t
Wt
t
0
首页
注 要求随机微分方程的强解，应考虑备选解法，即找
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2．弱解
已知主参数 a() ，扩展参数 ()
~s 求得过程 t
S~t f (t,W~t )
其中W~t 是一维纳过程.
使其满足下面随机微分方程
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t
t
t
0 dSu 0 a(Su ,u)du 0 (Su ,u)dWu
~s 则称 是随机微分方程的弱解。 t
说明1
dWt与 dW~t 的区别
|
du
)
1
P(
t
0
(Su ,u)2 du
)
1
即随着时间地推移，主参数和扩展参数不会发 生太大幅度地变动。
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第二节 随机微分方程的求解
随机微分方程所含未知数是一个随机过程 St ，
因而求其解就是要找寻一个随机过程，使其 运动轨迹及发生概率都与其它需准确测量的 轨迹相关联。
一、解的含义
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首先
dSt
dt
dWt
首页
t 0
1 Su
dSu
t
du
0
t
0 dWu
t
0 du t
普通积分
而
t
0 dWu (Wt W0 ) 因 W0 0
虽含有一个随机项，但 dWt的系数是一个不随时
间而改变的常数。
故
t 0
1 Su
dSu
t
Wt
即随机微分方程的任何解都必须满足这一积分方程
下面用伊藤定理来解决这一方程。 考察备选项：