正倒向随机微分方程组的数值解法_赵卫东
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Ｆｅｙｎ ｍａｎ Ｋ ａｃ
－
公式
１
，
Ｍ ａ Ｐ ｒ ｏｔ ｔ ｅ ｒ
，
和
Ｙｏ ｎ ｇ ＿
一
一
，
；
，
，
（
方法 得这
）
，
给 出 了 正 倒 向 随 机 微 分 方程组 解 存 在 唯
．
一
性结 果
，
Ｙｏｎ ｇ 引 进 了 “
桥
”
的概 念
，
使
一
一
１
方法 更 加 系 统 化 ９９ 年 Ｐ ｎｇ 在
，
的 显 式解 很难 找 到 因 此 研 究 正 倒 向 随 机 微 分
．
，
方 程 组 的 解 主 要是 数 值解 对 其理 论 研 究 特别 是 对 其应 用 研 究 至 关重 要
（
．
）
正 倒 向 随 机微 分 方 程 组
（
ＦＢ Ｓ ＤＥ ｓ
）
的 复 杂性 随 机 性 以 及 信 息 量 的 庞大 性
）
主 题分 类
：
６０
Ｈ３ ５
，
Ｃ ２０ ６ ０Ｈ １ ０ ６ ５ Ｃ３ ０ ６ ５
， ，
１
．
引 言
，
正 倒 向 随 机 微 分 方程 组
Ｓ ＤＥ ） 和
）
（ｆ
〇 ｒ ｗ ａ ｒ ｄ ｂａ ｃｋ ｗ ａｒ ｄｓ ｔ ｏ ｃｈ ａｓｔ ｉ ｃ ｄｉ ｆｅｒ ｅ ｎｔ ｉ ａｌ ｅｑ ｕａｔ ｉ ｏｎｓ
和
Ｐｅ ｎｇ Ｗ
的 概念 并 研 究 了 该 类 方程 解 的 存 在 唯
一
性
７５
１
９９ ０
年
Ｐ ａ ｒ ｄｏｕ ｘ
，
得到 了 非线 性倒 向
．
随 机 微 分 方 程解 的 存 在 唯 随后 通 过 非 线 性
，
一
性 这
？
一
重 要 研 究 成 果 奠 定 了 正 倒 向 随机 微 分 方程 组 的 理 论 基础
，
济南
２ ５０ １ ０ ０ ）
摘
１ ９ ９０
要
（
年
，
Ｐ ａｒ ｄ ｏ ｕｘ
，
和
Ｐｅ ｎ ｇ （ 彭 实 戈 ）
）
解决 了 非线 性 倒 向 随 机 微 分 方 程
一
ｂ ａｃ ｋｗ ａ ｒ ｄ ｓ ｔｏ ｃｈ ａ ｓ ｔｉ ｃ
ｆｏ ｒｗ ａ ｒｄ
ｄ ｉ ｆｅ ｒｅ ｎｔ ｉ ａｌ ｅ ｑｕ ａｔ ｉ ｏ ｎ
、
Ｉ
，
使得
ＦＢ Ｓ Ｄ Ｅｓ
．
数 值 解 法 的 研 究滞 后 于
，
ＳＤ Ｅ
的 数值方 法 的 研 究
４８
，
５５
，
８７
，
１ １ ４］
以及
ＦＢ Ｓ ＤＥ ｓ
的 理 论研 究 尽 管
如 此 随 着 科学 技 术 的 发 展 特 别 是 科学 计 算 机 技 术 的 发 展
，
，
Ｆ Ｂ Ｓ ＤＥ ｓ
Ｐ Ｄ Ｅｓ
［
９５
，
９６
１
ｓ
ｓ
；
．
，
，
合 正 倒 向 随 机 微分 方 程组 ｄｅ ｃｏｕ ｐ ｅ ｄ ＦＢ Ｓ Ｄ Ｅ 弱 耦 合 正 倒 向 随机 微 分方 程 组 ＿ ｏｕｐ ｅ ｄ Ｆ Ｂ Ｓ Ｄ Ｅ ｐ ｅ ｄ ＦＢ Ｓ Ｄ Ｅ 全 耦合 正 倒 向 随 机 微 分 方程 组 ｕ ｙ
２ ０ １５
年
，
１ １
月
计 算 数 学第
３７
卷第
ｌ
．
４
期
．
Ｎ ｏｖ
．
２ ０ １ ５ ＭＡＴ ＨＥ Ｍ ＡＴ Ｉ Ｃ Ａ ＮＵ Ｍ Ｅ ＲＩ Ｃ Ａ ＳＩ Ｎ Ｉ Ｃ Ａ Ｖｏ
３７
，
Ｎｏ
４
正 倒 向 随机微 分 方 程 组 的 数值 解法 ％
赵卫东
（
山 东 大 学数学 学 院 ＆ 金 融 研究 院
；
，
组 得 到 了 广 泛研 究 并 被应 用 于 众 多 研 究领域 中 如 随 机 最 优控制
， ，
、
偏 微 分 方程 金 融数 学 风 险
、
、
，
度量
、
非线性期 望 等 近 年 来 正 倒 向 随 机微 分方 程 组 的 数值求解研 究获 得 了 越 来 越 多 的 关 注 本
． ， ？
（
ｂ ａｃｋｗ ａｒｄ ｓ ｔｏ ｃ ｈ ａｓ ｔ ｃ ｄ ｉ ｆｅｒ ｅｎｔ ｉ ａ ｌ
ｉ
ｅｑ ｕａｔ ｉ ｏ ｎ Ｂ Ｓ
，
ＤＥ
组成
．
作 为 随 机控 制 问 题 中 的 伴 随 方程
，
１
，
９ ７３
年
．
Ｂ
ｉｓ
ｍ ｕｔ Ｍ
首 次 引 入 了 线 性 倒 向 随 机微 分方程
７４
［
，
提 出 了 研 究 正 倒 向 随机 微分 方程组 的 四 步 法 该方法 证 明 了 在 任意 时 间 区 间 上 的 解 的 存在唯 性 在 定 单调 性 假 设 ＿ Ｐ Ｐ ｕ ｎ 下 对 任 意 固 定 的 时 间 区 间 Ｈ 和 ｅ ｇ ｅ ｎｇ 和 Ｗｕ 用 纯概 率 方 法 也 被称 为 连 续 性
ｔ
ｈ
ｕ ｍｐ ｓ ）
［
４
，
８６
，
８８
式的
ｐ ｅ ｎｇ
Ｐ ＤＥ ｓ
ｌｅ ｃ ｅｄ Ｆ Ｂ Ｓ ＤＥ ｓ 等 并 与 更 般形 和 带 反 射 的 正 倒 向 随 机微 分 方程 组 ｒｅｆ 建 立 了 深 刻 的 联 系 经 过 几 十年 的 研 究 历 程 正 倒 向 随 机 微 分 方 程 组 的 理 论 研
Ｔｏｕｚ
ｉ
和
４
］
叫
Ｅ ｕｌ ｅｒ
Ｂ ｅ ｎｄ ｅ ｒ
ｓ
１
，
；
ｉ
，
ｔ
ｉ
ｓ
．
上 面所 提 求 解
Ｆ Ｂ Ｓ Ｄ Ｅｓ
ＦＢ Ｓ Ｄ Ｅ ｓ
的 方法 基 本 上 是
， ，
Ｅｕ
ｌ
ｅｒ
格 式 或 其变 种 精 度 较低 本 文 致 力 于 从
．
，
本 身 及 其解 的 结 构特 征 出 发 结 合 确定性 科 学计 算 方法 提 出 求解
ＢＳ Ｄ Ｅ
ｉ
解 的 存在 唯
ｉ
性 问 题 从 而 建 立 了 正 倒 向 随 机微分方程 组
， ，
（
ｂａ ｃｋ ｗａ ｒｄ ｓ ｔ ｏｃｈ ａｓ ｔ ｉｃ ｄ
ｆ ｅｒ ｅｎ ｔ
ａｌ ｅ ｑ ｕａ ｔ ｉｏｎ ｓ Ｆ ＢＳ Ｄ Ｅｓ ）
的 理 论 基础 之 后 正 倒 向 随 机微 分 方 程
，
数值 分 析 和 理 论 分 析 结 果 微 分 近 似法 能 构 造 出 求 解 全耦 合
法 并 且 该 方法 采 用 最 简 单 的
，
．
Ｆ Ｂ Ｓ Ｄ Ｅｓ
的 髙 效 髙精度 并行 数 值 方
Ｅｕ
ｌ
ｅｒ
方法 求 解 正 向 随机 微 分 方 程 极 大地 简 化 了 问 题求 解 的 复 杂
１
，
ｅ
７４
，
［
７ ５
］
中 首 次 给 出 了 拟 非 线 性 偏 微 分 方程 组 解 的 概 率 表 示
（
，
这
表 示建 立 了 正 倒 向 随 机 微 分方 程 组 与偏 微 分 方 程 组
Ｔａｎ ｇ
＊
［
Ｐ ＤＥ ｓ
）
之 间 的 深刻 联 系
，
？
Ｐ ａ ｒｄ ｏｕｘ
和
７２
１
给出
了 弱 耦合 形 式 的
文 旨 在基 于 正 倒 向 随机 微 分 方 程 组 的 特 性 介绍 正 倒 向 随 机 微 分 方程 组 的 主 要 数值 求 解 方 法
，
我
们 将 重 点 介 绍 讨 论 求解
ＦＢ Ｓ Ｄ Ｅ ｓ
．
的 积 分 离 散 法 和 微 分 近 似法 包括
，
一
步 法 和 多 步 法 以 及相 应 的
ｆ
１
’
２
’
７３
’
７４
７６
’
一
８４
】
，
Ｐｅ ｎｇ
和
１
［
，
Ｗｕ
８５
１
Ｙｏ ｎｇ ＂
Ｗｕ Ｙｏ ｎ ｇ
＿
Ｚｈ ａ ｎｇ
ｔ
１。６
，
１
。 ７
】 ，
以 及 其 中 的 参 考 文献
．
正 倒 向 随 机 微 分 方程 组 可 应 用 于 很 多 重要 的 研究 领域 如 金 融 数 学
，
２
， ，
Ｆ Ｂ ＳＤ Ｅ ｓ
的 高精
一
度 数值格 式 主 要 包 括
形式 的
Ｂ ＳＤ Ｅ
的
，
０
－
格式 格 式 其 理 论 误差 估 计 见
、
，
？
二 阶 格 式 和 多 步 格式
， ，
．
Ｚｈ ａ ｏ
，
ｈ ｅｎ Ｃ
？
和
１１
Ｐ ｅｎ
０
［
，
ｔ
１ １Ｑｌ
ｇ
１
］
提出求解
，
般
［
５ ９ ９ ２ １ １ ３ １ １ ５
．
Ｆ Ｂ Ｓ ＤＥ ｓ
与 拟 线 性 抛物 型
Ｐ ＤＥ ｓ
的 联 系 证 明 了 拟 线 性 抛物
２０ １ ５
Ｕ
年 ８ 月 ３ 日 收到 基金 项 目 国 家 自 然 科 学 基 金
：
（
ｉｉ
ｍ ｉ ８９
）
．
３３８
计 算 数 学 ２ ０
１５
年
型
在 全 稱 合 Ｆ Ｂ Ｓ Ｄ Ｅ 的 框 架 下 证 明 了 拟 线性 Ｐ Ｄ Ｅ 粘 性解 的 存在 性 Ｗｕ 和 Ｙｕ 粘 性 解 的 存 在 性 随 着 研究 的 深 入 更 多 形 式 丰 富 的 正 倒 向 随 机 微 分 方 程 组 被 引 入 如 非 耦
２８
’ ’
的 数 值方 法
．
３）
通 过近 似 布 朗 运 动 和
，
Ｂ Ｓ ＤＥ
的 生 成 元 来 近 似 Ｂ ＳＤ Ｅ
則
然 后 求解 近 似 的
得到 求解
）
Ｆ Ｂ Ｓ ＤＥ ｓ
的 数 值 方 法 并 在 适 当 条 件 下 得 到 了 Ｂ Ｓ ＤＥ 数值
Ｆ ＢＳ ＤＥ ｓ
解 的 弱 收敛 性
］
ｔ
剛
）
，
．
，
究 取得 了 许 多 重 要 的 成 果 并
４９
［
－
日
臻 完 善 有兴 趣 的 读 者 可参 阅 有关 文 献 如
， ，
Ｄｅ
ｌ
ａ ｒ ｕｅ
【
％
，
Ｈｕ
［
和
１ ，
５２
］ ，
Ｍａ
１
等
，
［
６１
－
６５
】 ，
Ｐ ａｒ ｄｏｕ ｘ 和 Ｔａｎ ｇ
７ ２
Ｉ
】 ，
Ｐ ｅｎ ｇ
ｌ
（
ｓ
）、
ｗ ｅａ ｋｌ ｙ ｃｏｕ （
６４
’
？
ｌ
ｓ
］
）
ｆ
ｌｌ
、
（
ｃ
ｌ
ｓ
１
５
丨
’
８ ５
丨
）
，
正倒 向
ｉ
双 重 随 机微 分 方 程 组
ｊ
（
ＦＢ Ｄ Ｓ ＤＥ ｓ
［
９
，
４７
，
７
１
１
）
以 及 带 跳 的 正 倒 向 随 机 微分 方程组
（
（
ＦＢ Ｓ Ｄ Ｅ ｓ ｗ
一
ｙ
－
Ｋ ａｃ
方法 主 要 包 括 公 式 通过 数值 求解 相 应
． ：
，
的
ＰＤ Ｅ ｓ
对
Ｆ Ｂ ＳＤ Ｅ ｓ
近 似求 解
３５
６６
’ ’
６８
’
６９
’
１
０９
丨 ．
２）
结合
？ 化 〇１
（
１
迭代 法
，
？６ 呢
８２
【 丨
提出了
一
种
，
局 部 线 性化 求 解
Ｂ ＳＤ Ｅ Ｂ ＳＤ Ｅ
的 科学 计 算 方 法 及 应 用
研 究 也取得 了
一
定 的 研究 成 果
的 解和
．
国 际 上 很 多 著 名 学 者 对 正 倒 向 随 机微 分 方 程 组 的 数值 解 法 进 行 了 研 究
１
）
利用
Ｆ Ｂ Ｓ ＤＥ ｓ
Ｐ Ｄ Ｅｓ
［
解 的 关系 即 非 线性
，
Ｆ ｅ ｍ ｎ ａｎ
ＦＢ ＳＤ Ｅ ｓ ）
由 定 义 在 带有 信 息 流 的 概 率 空 间 中 给 定初 始 条 件 的 正 向 随 机微 分 方程
ｔ
ｉ
（
ｓ ｔ ｏ ｃ ｈａ ｓ ｔ ｉ ｃ ｄ ｉ
ｆｅｒ ｅ ｎ
？
ａ ｌ ｅ ｑｕａｔ ｉ ｏ ｎ
，
给 定 终 端条 件 的 倒 向 随 机 微 分 方程
Ｄ ｅｎｋ
丨
Ｇ ｏｂ ｅｔ
等
［
４２
丨
，
４ ３
】
利 用 函 数基迭 代 回 归 提 出 了 求 解 非 耦 合
Ｆ ＢＳ ＤＥ ｓ
Ｆ Ｂ Ｓ ＤＥ ｓ
的 数 值格 式
；
提 出 研 究 了 非 耦合 的 格 式 及 其在 金 融 中 的 应 用 Ｂ Ｄ Ｓ Ｅ 正 向 求 解格 式 结 合与 Ｆ Ｂ Ｓ ＤＥ 相 通 过 目 标 函 数 的 最 优 控 制 提 出 求解 的 和 ＿ 应 的 控 制 问 题 Ｃ ｖ ａｎ ｃ 和 Ｚ ｈａｎ ｇ 提 出 了 求解 ＦＢ Ｓ ＤＥ 的 最速 下 降 法
，
２９
，
３４
，
３７
，
５３
１ ，
随机
最优 控制
对策
［
丨
２１
，
２３
，
４５
，
４６
］ ，
非 线 性期 望
．
４１
１
，
８
１］
以 及 相 关 领 域 许 多 不 确 定 实 际 问 题 也 可 由 正 倒 向 随 机微
；
分方程 组 来 刻 画 然而 通 常 情 况 下
，
，
ＦＢ Ｓ Ｄ Ｅ ｓ
，
度 文 章最 后 我 们 尝 试 提 出 关 于
，
Ｆ ＢＳ Ｄ Ｅ ｓ
数值 求 解 研 究 面 临 的
一
些 亟 待解决 和 具 有 挑 战性 的 问
题
．
关 键 词 正 倒 向 随机 微 分方 程 组 数 值 解 法 积 分 通近 微 分通 近
：
；
； ；
ＭＲ （ ２ ０ ０ ０
，
２０
［
６０
１
．Biblioteka Baidu
４
直接 从
５８
，
Ｂ ＳＤ Ｅ Ｅｕ
ｌ
或
本身 出 发
，
Ｚ ｈ ａｎ ｇ
［
研 究 了 ＦＢ Ｓ Ｄ Ｅ
ｌ
ｓ
解 的 性质 提 出 了 ＦＢ Ｓ ＤＥ 的 半 阶
ｓ
ｅｒ
格 式 并 在较 弱 的 正 则 性 假 设 下研 究 了 Ｅｕ
，
ｅｒ
格式
，
收敛 性
Ｂ ｏｕｃ ｈａ ｒ ｄ
－
公式
１
，
Ｍ ａ Ｐ ｒ ｏｔ ｔ ｅ ｒ
，
和
Ｙｏ ｎ ｇ ＿
一
一
，
；
，
，
（
方法 得这
）
，
给 出 了 正 倒 向 随 机 微 分 方程组 解 存 在 唯
．
一
性结 果
，
Ｙｏｎ ｇ 引 进 了 “
桥
”
的概 念
，
使
一
一
１
方法 更 加 系 统 化 ９９ 年 Ｐ ｎｇ 在
，
的 显 式解 很难 找 到 因 此 研 究 正 倒 向 随 机 微 分
．
，
方 程 组 的 解 主 要是 数 值解 对 其理 论 研 究 特别 是 对 其应 用 研 究 至 关重 要
（
．
）
正 倒 向 随 机微 分 方 程 组
（
ＦＢ Ｓ ＤＥ ｓ
）
的 复 杂性 随 机 性 以 及 信 息 量 的 庞大 性
）
主 题分 类
：
６０
Ｈ３ ５
，
Ｃ ２０ ６ ０Ｈ １ ０ ６ ５ Ｃ３ ０ ６ ５
， ，
１
．
引 言
，
正 倒 向 随 机 微 分 方程 组
Ｓ ＤＥ ） 和
）
（ｆ
〇 ｒ ｗ ａ ｒ ｄ ｂａ ｃｋ ｗ ａｒ ｄｓ ｔ ｏ ｃｈ ａｓｔ ｉ ｃ ｄｉ ｆｅｒ ｅ ｎｔ ｉ ａｌ ｅｑ ｕａｔ ｉ ｏｎｓ
和
Ｐｅ ｎｇ Ｗ
的 概念 并 研 究 了 该 类 方程 解 的 存 在 唯
一
性
７５
１
９９ ０
年
Ｐ ａ ｒ ｄｏｕ ｘ
，
得到 了 非线 性倒 向
．
随 机 微 分 方 程解 的 存 在 唯 随后 通 过 非 线 性
，
一
性 这
？
一
重 要 研 究 成 果 奠 定 了 正 倒 向 随机 微 分 方程 组 的 理 论 基础
，
济南
２ ５０ １ ０ ０ ）
摘
１ ９ ９０
要
（
年
，
Ｐ ａｒ ｄ ｏ ｕｘ
，
和
Ｐｅ ｎ ｇ （ 彭 实 戈 ）
）
解决 了 非线 性 倒 向 随 机 微 分 方 程
一
ｂ ａｃ ｋｗ ａ ｒ ｄ ｓ ｔｏ ｃｈ ａ ｓ ｔｉ ｃ
ｆｏ ｒｗ ａ ｒｄ
ｄ ｉ ｆｅ ｒｅ ｎｔ ｉ ａｌ ｅ ｑｕ ａｔ ｉ ｏ ｎ
、
Ｉ
，
使得
ＦＢ Ｓ Ｄ Ｅｓ
．
数 值 解 法 的 研 究滞 后 于
，
ＳＤ Ｅ
的 数值方 法 的 研 究
４８
，
５５
，
８７
，
１ １ ４］
以及
ＦＢ Ｓ ＤＥ ｓ
的 理 论研 究 尽 管
如 此 随 着 科学 技 术 的 发 展 特 别 是 科学 计 算 机 技 术 的 发 展
，
，
Ｆ Ｂ Ｓ ＤＥ ｓ
Ｐ Ｄ Ｅｓ
［
９５
，
９６
１
ｓ
ｓ
；
．
，
，
合 正 倒 向 随 机 微分 方 程组 ｄｅ ｃｏｕ ｐ ｅ ｄ ＦＢ Ｓ Ｄ Ｅ 弱 耦 合 正 倒 向 随机 微 分方 程 组 ＿ ｏｕｐ ｅ ｄ Ｆ Ｂ Ｓ Ｄ Ｅ ｐ ｅ ｄ ＦＢ Ｓ Ｄ Ｅ 全 耦合 正 倒 向 随 机 微 分 方程 组 ｕ ｙ
２ ０ １５
年
，
１ １
月
计 算 数 学第
３７
卷第
ｌ
．
４
期
．
Ｎ ｏｖ
．
２ ０ １ ５ ＭＡＴ ＨＥ Ｍ ＡＴ Ｉ Ｃ Ａ ＮＵ Ｍ Ｅ ＲＩ Ｃ Ａ ＳＩ Ｎ Ｉ Ｃ Ａ Ｖｏ
３７
，
Ｎｏ
４
正 倒 向 随机微 分 方 程 组 的 数值 解法 ％
赵卫东
（
山 东 大 学数学 学 院 ＆ 金 融 研究 院
；
，
组 得 到 了 广 泛研 究 并 被应 用 于 众 多 研 究领域 中 如 随 机 最 优控制
， ，
、
偏 微 分 方程 金 融数 学 风 险
、
、
，
度量
、
非线性期 望 等 近 年 来 正 倒 向 随 机微 分方 程 组 的 数值求解研 究获 得 了 越 来 越 多 的 关 注 本
． ， ？
（
ｂ ａｃｋｗ ａｒｄ ｓ ｔｏ ｃ ｈ ａｓ ｔ ｃ ｄ ｉ ｆｅｒ ｅｎｔ ｉ ａ ｌ
ｉ
ｅｑ ｕａｔ ｉ ｏ ｎ Ｂ Ｓ
，
ＤＥ
组成
．
作 为 随 机控 制 问 题 中 的 伴 随 方程
，
１
，
９ ７３
年
．
Ｂ
ｉｓ
ｍ ｕｔ Ｍ
首 次 引 入 了 线 性 倒 向 随 机微 分方程
７４
［
，
提 出 了 研 究 正 倒 向 随机 微分 方程组 的 四 步 法 该方法 证 明 了 在 任意 时 间 区 间 上 的 解 的 存在唯 性 在 定 单调 性 假 设 ＿ Ｐ Ｐ ｕ ｎ 下 对 任 意 固 定 的 时 间 区 间 Ｈ 和 ｅ ｇ ｅ ｎｇ 和 Ｗｕ 用 纯概 率 方 法 也 被称 为 连 续 性
ｔ
ｈ
ｕ ｍｐ ｓ ）
［
４
，
８６
，
８８
式的
ｐ ｅ ｎｇ
Ｐ ＤＥ ｓ
ｌｅ ｃ ｅｄ Ｆ Ｂ Ｓ ＤＥ ｓ 等 并 与 更 般形 和 带 反 射 的 正 倒 向 随 机微 分 方程 组 ｒｅｆ 建 立 了 深 刻 的 联 系 经 过 几 十年 的 研 究 历 程 正 倒 向 随 机 微 分 方 程 组 的 理 论 研
Ｔｏｕｚ
ｉ
和
４
］
叫
Ｅ ｕｌ ｅｒ
Ｂ ｅ ｎｄ ｅ ｒ
ｓ
１
，
；
ｉ
，
ｔ
ｉ
ｓ
．
上 面所 提 求 解
Ｆ Ｂ Ｓ Ｄ Ｅｓ
ＦＢ Ｓ Ｄ Ｅ ｓ
的 方法 基 本 上 是
， ，
Ｅｕ
ｌ
ｅｒ
格 式 或 其变 种 精 度 较低 本 文 致 力 于 从
．
，
本 身 及 其解 的 结 构特 征 出 发 结 合 确定性 科 学计 算 方法 提 出 求解
ＢＳ Ｄ Ｅ
ｉ
解 的 存在 唯
ｉ
性 问 题 从 而 建 立 了 正 倒 向 随 机微分方程 组
， ，
（
ｂａ ｃｋ ｗａ ｒｄ ｓ ｔ ｏｃｈ ａｓ ｔ ｉｃ ｄ
ｆ ｅｒ ｅｎ ｔ
ａｌ ｅ ｑ ｕａ ｔ ｉｏｎ ｓ Ｆ ＢＳ Ｄ Ｅｓ ）
的 理 论 基础 之 后 正 倒 向 随 机微 分 方 程
，
数值 分 析 和 理 论 分 析 结 果 微 分 近 似法 能 构 造 出 求 解 全耦 合
法 并 且 该 方法 采 用 最 简 单 的
，
．
Ｆ Ｂ Ｓ Ｄ Ｅｓ
的 髙 效 髙精度 并行 数 值 方
Ｅｕ
ｌ
ｅｒ
方法 求 解 正 向 随机 微 分 方 程 极 大地 简 化 了 问 题求 解 的 复 杂
１
，
ｅ
７４
，
［
７ ５
］
中 首 次 给 出 了 拟 非 线 性 偏 微 分 方程 组 解 的 概 率 表 示
（
，
这
表 示建 立 了 正 倒 向 随 机 微 分方 程 组 与偏 微 分 方 程 组
Ｔａｎ ｇ
＊
［
Ｐ ＤＥ ｓ
）
之 间 的 深刻 联 系
，
？
Ｐ ａ ｒｄ ｏｕｘ
和
７２
１
给出
了 弱 耦合 形 式 的
文 旨 在基 于 正 倒 向 随机 微 分 方 程 组 的 特 性 介绍 正 倒 向 随 机 微 分 方程 组 的 主 要 数值 求 解 方 法
，
我
们 将 重 点 介 绍 讨 论 求解
ＦＢ Ｓ Ｄ Ｅ ｓ
．
的 积 分 离 散 法 和 微 分 近 似法 包括
，
一
步 法 和 多 步 法 以 及相 应 的
ｆ
１
’
２
’
７３
’
７４
７６
’
一
８４
】
，
Ｐｅ ｎｇ
和
１
［
，
Ｗｕ
８５
１
Ｙｏ ｎｇ ＂
Ｗｕ Ｙｏ ｎ ｇ
＿
Ｚｈ ａ ｎｇ
ｔ
１。６
，
１
。 ７
】 ，
以 及 其 中 的 参 考 文献
．
正 倒 向 随 机 微 分 方程 组 可 应 用 于 很 多 重要 的 研究 领域 如 金 融 数 学
，
２
， ，
Ｆ Ｂ ＳＤ Ｅ ｓ
的 高精
一
度 数值格 式 主 要 包 括
形式 的
Ｂ ＳＤ Ｅ
的
，
０
－
格式 格 式 其 理 论 误差 估 计 见
、
，
？
二 阶 格 式 和 多 步 格式
， ，
．
Ｚｈ ａ ｏ
，
ｈ ｅｎ Ｃ
？
和
１１
Ｐ ｅｎ
０
［
，
ｔ
１ １Ｑｌ
ｇ
１
］
提出求解
，
般
［
５ ９ ９ ２ １ １ ３ １ １ ５
．
Ｆ Ｂ Ｓ ＤＥ ｓ
与 拟 线 性 抛物 型
Ｐ ＤＥ ｓ
的 联 系 证 明 了 拟 线 性 抛物
２０ １ ５
Ｕ
年 ８ 月 ３ 日 收到 基金 项 目 国 家 自 然 科 学 基 金
：
（
ｉｉ
ｍ ｉ ８９
）
．
３３８
计 算 数 学 ２ ０
１５
年
型
在 全 稱 合 Ｆ Ｂ Ｓ Ｄ Ｅ 的 框 架 下 证 明 了 拟 线性 Ｐ Ｄ Ｅ 粘 性解 的 存在 性 Ｗｕ 和 Ｙｕ 粘 性 解 的 存 在 性 随 着 研究 的 深 入 更 多 形 式 丰 富 的 正 倒 向 随 机 微 分 方 程 组 被 引 入 如 非 耦
２８
’ ’
的 数 值方 法
．
３）
通 过近 似 布 朗 运 动 和
，
Ｂ Ｓ ＤＥ
的 生 成 元 来 近 似 Ｂ ＳＤ Ｅ
則
然 后 求解 近 似 的
得到 求解
）
Ｆ Ｂ Ｓ ＤＥ ｓ
的 数 值 方 法 并 在 适 当 条 件 下 得 到 了 Ｂ Ｓ ＤＥ 数值
Ｆ ＢＳ ＤＥ ｓ
解 的 弱 收敛 性
］
ｔ
剛
）
，
．
，
究 取得 了 许 多 重 要 的 成 果 并
４９
［
－
日
臻 完 善 有兴 趣 的 读 者 可参 阅 有关 文 献 如
， ，
Ｄｅ
ｌ
ａ ｒ ｕｅ
【
％
，
Ｈｕ
［
和
１ ，
５２
］ ，
Ｍａ
１
等
，
［
６１
－
６５
】 ，
Ｐ ａｒ ｄｏｕ ｘ 和 Ｔａｎ ｇ
７ ２
Ｉ
】 ，
Ｐ ｅｎ ｇ
ｌ
（
ｓ
）、
ｗ ｅａ ｋｌ ｙ ｃｏｕ （
６４
’
？
ｌ
ｓ
］
）
ｆ
ｌｌ
、
（
ｃ
ｌ
ｓ
１
５
丨
’
８ ５
丨
）
，
正倒 向
ｉ
双 重 随 机微 分 方 程 组
ｊ
（
ＦＢ Ｄ Ｓ ＤＥ ｓ
［
９
，
４７
，
７
１
１
）
以 及 带 跳 的 正 倒 向 随 机 微分 方程组
（
（
ＦＢ Ｓ Ｄ Ｅ ｓ ｗ
一
ｙ
－
Ｋ ａｃ
方法 主 要 包 括 公 式 通过 数值 求解 相 应
． ：
，
的
ＰＤ Ｅ ｓ
对
Ｆ Ｂ ＳＤ Ｅ ｓ
近 似求 解
３５
６６
’ ’
６８
’
６９
’
１
０９
丨 ．
２）
结合
？ 化 〇１
（
１
迭代 法
，
？６ 呢
８２
【 丨
提出了
一
种
，
局 部 线 性化 求 解
Ｂ ＳＤ Ｅ Ｂ ＳＤ Ｅ
的 科学 计 算 方 法 及 应 用
研 究 也取得 了
一
定 的 研究 成 果
的 解和
．
国 际 上 很 多 著 名 学 者 对 正 倒 向 随 机微 分 方 程 组 的 数值 解 法 进 行 了 研 究
１
）
利用
Ｆ Ｂ Ｓ ＤＥ ｓ
Ｐ Ｄ Ｅｓ
［
解 的 关系 即 非 线性
，
Ｆ ｅ ｍ ｎ ａｎ
ＦＢ ＳＤ Ｅ ｓ ）
由 定 义 在 带有 信 息 流 的 概 率 空 间 中 给 定初 始 条 件 的 正 向 随 机微 分 方程
ｔ
ｉ
（
ｓ ｔ ｏ ｃ ｈａ ｓ ｔ ｉ ｃ ｄ ｉ
ｆｅｒ ｅ ｎ
？
ａ ｌ ｅ ｑｕａｔ ｉ ｏ ｎ
，
给 定 终 端条 件 的 倒 向 随 机 微 分 方程
Ｄ ｅｎｋ
丨
Ｇ ｏｂ ｅｔ
等
［
４２
丨
，
４ ３
】
利 用 函 数基迭 代 回 归 提 出 了 求 解 非 耦 合
Ｆ ＢＳ ＤＥ ｓ
Ｆ Ｂ Ｓ ＤＥ ｓ
的 数 值格 式
；
提 出 研 究 了 非 耦合 的 格 式 及 其在 金 融 中 的 应 用 Ｂ Ｄ Ｓ Ｅ 正 向 求 解格 式 结 合与 Ｆ Ｂ Ｓ ＤＥ 相 通 过 目 标 函 数 的 最 优 控 制 提 出 求解 的 和 ＿ 应 的 控 制 问 题 Ｃ ｖ ａｎ ｃ 和 Ｚ ｈａｎ ｇ 提 出 了 求解 ＦＢ Ｓ ＤＥ 的 最速 下 降 法
，
２９
，
３４
，
３７
，
５３
１ ，
随机
最优 控制
对策
［
丨
２１
，
２３
，
４５
，
４６
］ ，
非 线 性期 望
．
４１
１
，
８
１］
以 及 相 关 领 域 许 多 不 确 定 实 际 问 题 也 可 由 正 倒 向 随 机微
；
分方程 组 来 刻 画 然而 通 常 情 况 下
，
，
ＦＢ Ｓ Ｄ Ｅ ｓ
，
度 文 章最 后 我 们 尝 试 提 出 关 于
，
Ｆ ＢＳ Ｄ Ｅ ｓ
数值 求 解 研 究 面 临 的
一
些 亟 待解决 和 具 有 挑 战性 的 问
题
．
关 键 词 正 倒 向 随机 微 分方 程 组 数 值 解 法 积 分 通近 微 分通 近
：
；
； ；
ＭＲ （ ２ ０ ０ ０
，
２０
［
６０
１
．Biblioteka Baidu
４
直接 从
５８
，
Ｂ ＳＤ Ｅ Ｅｕ
ｌ
或
本身 出 发
，
Ｚ ｈ ａｎ ｇ
［
研 究 了 ＦＢ Ｓ Ｄ Ｅ
ｌ
ｓ
解 的 性质 提 出 了 ＦＢ Ｓ ＤＥ 的 半 阶
ｓ
ｅｒ
格 式 并 在较 弱 的 正 则 性 假 设 下研 究 了 Ｅｕ
，
ｅｒ
格式
，
收敛 性
Ｂ ｏｕｃ ｈａ ｒ ｄ