立体几何知识点总结(全)

必修2 第一章 空间几何体知识点总结

一.空间几何体的三视图

正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和长度 侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图；反映了物体的高度和宽度 俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图。反映了物体的长度和宽度 三视图中反应的长、宽、高的特点：“长对正”，“高平齐”，“宽相等” 二.空间几何体的直观图

斜二测画法的基本步骤：①建立适当直角坐标系xOy （尽可能使更多的点在坐标轴上） ②建立斜坐标系'''x O y ∠，使'''x O y ∠=450

（或1350

）

③画对应图形

在已知图形平行于X 轴的线段，在直观图中画成平行于X ‘

轴，且长度保持不变；

在已知图形平行于Y 轴的线段，在直观图中画成平行于Y ‘

轴，且长度变为原来的一半； 直观图与原图形的面积关系：4

2S ⋅=原图形直观图S 三.空间几何体的表面积与体积

⑴圆柱侧面积；l r S ⋅⋅=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ⋅⋅=π侧面 ⑶圆台侧面积：l R l r S ⋅⋅+⋅⋅=ππ侧面 h S V ⋅=柱体h S V ⋅=3

1锥体

()

1

3

V h S S S S =+⋅+下下

台体上上

球的表面积和体积 3

2

3

44R V R S ππ=

=球球，. 正三棱锥是底面是等边三角形，三个侧面是全等的等腰三角形的三棱锥。 正四面体是每个面都是全等的等边三角形的三棱锥。

第二章 点、直线、平面之间的位置关系知识点总结

一. 平面基本性质即三条公理

公理1

公理2

公理3

图形语言

文字

语言

如果一条直线上的两点在

一个平面内，那么这条直线

在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

符号

语言 ,,A l B l l A B ααα∈∈⎫⇒⊂⎬∈∈⎭

,,,,A B C A B C α

⇒不共线确定平面

,l

P P P l αβαβ=⎧∈∈⇒⎨∈⎩

作用 判断线在面内

确定一个平面

证明多点共线

公理2的三条推论：

推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.

二．直线与直线的位置关系

共面直线： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。（既不平行，也不相交） 三．直线与平面的位置关系有三种情况：

在平面内——有无数个公共点 ． 符号 a α 相交——有且只有一个公共点 符号 a ∩α= A 平行——没有公共点 符号 a ∥α

说明：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示 1．直线和平面平行的判定

(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；

(2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号： ////a b a a b ααα⊄⎫

⎪⊂⇒⎬⎪⎭

2．直线和平面平行的性质定理：

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行，则线线平行.

符号: a a a b

b α

βαβ⊂⇒=⎫

⎪⎬

⎪⎭

3．直线与平面垂直

⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 简记为：线线垂直，则线面垂直.

符号：,,m n m n A l l m l n αα⊂⎫⎪

=⇒⊥⎬⎪⊥⊥⎭

4.直线与平面垂直

性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号： a a b b αα⊥⎫

⇒⎬⊥⎭

性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行

符号：l l ααββ⊥⎫⇒⎬⊥⎭

推论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．

符号语言：a ∥b, a ⊥α，⇒b ⊥α

四．平面与平面的位置关系：

平行——没有公共点： 符号 α∥β 相交——有一条公共直线: 符号 α∩β=a 1．平面与平面平行的判定

(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；

(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

简记为：线面平行，则面面平行.

符号：,,a b a b A a b αααβββ⊂⊂⎫

⎪=⇒⎬⎪⎭

2．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

简记为：面面平行，则线线平行.

符号：a a b b αβ

αγβγ=⇒=⎫

⎪

⎬⎪⎭

补充：平行于同一平面的两平面平行； 夹在两平行平面间的平行线段相等；

两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行；

3．平面与平面垂直的判定

⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。

简记为：线面面垂直，则面面垂直. 符号：

l l βαβα⊥⇒⊥⊂⎫

⎬⎭

推论：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这个平面与另一个平面垂直。

4.平面与平面垂直的性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。

简记为：面面垂直，则线面垂直.

证明线线平行的方法

①三角形中位线 ②平行四边形 ③线面平行的性质 ④平行线的传递性 ⑤面面平行的性质 ⑥垂直于同一平面的两直线平行； 证明线线垂直的方法

①定义：两条直线所成的角为90°；（特别是证明异面直线垂直）； ②线面垂直的性质 ③利用勾股定理证明两相交直线垂直；

④利用等腰三角形三线合一证明两相交直线垂直； 五：三种成角 1.异面直线成角

步骤：1、平移，转化为相交直线所成角；2、找锐角（或直角）作为夹角；3、求解

注意：取值范围：（0。,90。

].

2.线面成角：斜线与它在平面上的射影成的角，取值范围：（0。,90。

].

如图：PA 是平面α的一条斜线，A 为斜足，O 为垂足，OA 叫斜线PA 在平面α上射影，PAO ∠为线面角。

3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形 取值范围：（0。,180。）

六.点到平面的距离：定义法和等体积法

----,,l OA OB l OA

l OB l AOB αβαβαβ⊂⊂⊥⊥∠如图：在二面角中，O 棱上一点，，，的平面角。且则为二面角