苏州大学线性代数题库-线代05
(完整word版)线性代数习题集(带答案)
第一部分 专项同步练习第一章 行列式一、单项选择题1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ）.（A) 24315 （B) 14325 （C ） 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是（ ）. (A ）k (B ）k n - （C)k n -2! （D)k n n --2)1(3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( ）项。
(A) 0 （B ）2-n （C ） )!2(-n (D) )!1(-n4．=0001001001001000( ）。
(A ） 0 (B)1- (C) 1 （D) 25. =0001100000100100( ）.(A) 0 (B)1- (C ） 1 (D) 26．在函数100323211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ）.(A) 0 （B ）1- (C) 1 （D) 27。
若21333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则=---=323133312221232112111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ）. (A ） 4 (B) 4- (C) 2 （D ） 2-8．若a a a a a =22211211，则=21112212ka a ka a ( ）。
（A)ka (B)ka - (C ）a k 2 (D)a k 2-9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为x ,1,5,2-， 则=x （ )。
（A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 210. 若5734111113263478----=D ,则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A ）1- (B ）2- (C ）3- （D ）011. 若2235001011110403--=D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ）。
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
文档：线代15
苏州大学《线性代数》课程试卷库（第十五卷）共4页学院 专业 成绩 年级 学号 姓名 日期 题号 一二三四五六七八九得分1、已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，则=*A [ ] （A ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4321 （B ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4231 （C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1324 （D ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--13242、设n 阶矩阵A 与B 相似，则下列结论必成立的是 [ ] （A ）B E A E -=-λλ，其中λ为A 与B 的特征值 （B ）对于任意常数t ，有B tE A tE -=- （C ）存在对角矩阵Λ，使得A 与B 都相似于Λ（D ）当0λ是A 与B 的特征值时，n 元齐次线性方程组0)(0=-x A E λ 与 0)(0=-x B E λ同解3、设A 为n 阶矩阵，且0=k A （k 为正整数），则 [ ] （A ）0=A （B ）A 有一个不为零的特征值 （C ）A 的特征值全为零 （D ）A 有n 个线性无关的特征向量4、设A 为n 阶方阵，3)(-=n A r ，且向量组321 , ,ααα是0=Ax 的三个线性 无关的解向量，则0=Ax 的基础解系可以是 [ ]（A ）133221 , ,αααααα+++ （B ）312312 ,,αααααα---（C ）312312 ,21,2αααααα--- （D ）1323321 2- , ,ααααααα--++5、设向量组n ααα , , ,21 （2≥n ）线性相关，那么向量组内 [ ] 可由向量组内其余向量线性表示。
（A ）任何一个向量 （B ）没有一个向量 （C ）至少有一个向量 （D ）至多有一个向量二、填空题：（每题3分，共计15分）1、设向量()b a ,,1=α与()2,2,2=β，()3,1,3=γ都正交，则=a ， =b 。
2、设A ，B 为3阶方阵，且2,1=-=B A ，则=-21)(2B A T 。
3、设4阶方阵A 的秩为2，则其伴随阵*A 的秩是 。
江苏大学线性代数习题详解(5)
根据定义，这恰恰说明12……m线性相关。（定义中并没有规定向量的维数。）
(5) 解：论断错误。
反例：1= 2=
由于 21+2=0
根据定义12线性相关，
但1+22= 0
5.证：作线性组合k11+k22+……+knn
令 k11+k22+……+knn=0
得齐次线性方程组： =
由克莱姆法则的推论知：
4=1+32
5=-21-2
k1,k2,……,kn有非零解的充要条件是：
=0
而由行列式性质知：
=
k1,k2,……,kn有非零解的充要条件是：
=0
命题得证，证毕。
习题4.3
1.(1) 解： (1234)=
12是向量组的一个最大无关组，
3= 1- 2
4=1+22
(2) 解：(12345)=
12是向量组的一个最大无关组，
3=21-2
反例：1= 2= 3=
满足 21-线性组合。
(3) 解：论断是对的。
证明：∵若12……s线性相关，则存在不全为零的数k1k2…… ks使得k11+k22+……+kss=0
取ks+1=0, ks+2=0, ……, ks+t=0
则k1k2…… ksks+1ks+2…… ks+t不全为零
=(12……m)
令(11+2……1+2+……+m)x=0，
由于12……m线性无关，
得齐次线性方程组：
x=0
这里 x=
而 =10
所以，由克莱姆法则x只有零解，
线性代数第五版第五章常见试题及解答
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．若A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10001000210100002B x 与相似，则x=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1D ．2答案：B2．若A 相似于⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=Λ1001，则|A-E|=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1D ．2答案：B3．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111的非零特征值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1答案：B4．设3阶实对称矩阵A 的特征值为λ1=λ2=0，λ3=2，则秩（A ）=（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：B5．设A 为n 阶正交矩阵，则行列式|A 2|=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 答案：C6．设3阶矩阵A 与B 相似，且已知A 的特征值为2，2，3. 则|B -1|=（ ） A ．121 B ．71 C ．7 D ．12 答案：A7．设A 为3阶矩阵，且已知|3A+2E |=0，则A 必有一个特征值为（ ） A ．23- B ．32- C ．32 D ．23答案：B8.设A 与B 是两个相似n 阶矩阵，则下列说法错误．．的是（ ） A.B A =B.秩（A ）=秩（B ）C.存在可逆阵P ，使P -1AP=BD.λE-A =λE-B答案：D9.与矩阵A =⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010001相似的是（ ）A.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020001 B.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200010011 C.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤200011001 D.⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤100020101答案：A10．设3阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（ ）A ．E-AB ．-E-AC ．2E-AD ．-2E-A 答案：D11．设λ=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵（A 2）-1必有一个特征值等于（ ）A ．41B ．21C ．2D ．4 答案：A12.若A 与B 相似，则（ ） A.A ，B 都和同一对角矩阵相似 B.A ，B 有相同的特征向量 C.A -λE =B -λE D.|A |=|B | 答案：D13.下列向量中与α=（1，1，-1）正交的向量是（ ） A. 1α=（1，1，1） B. 2α=（-1，1，1） C. 3α=（1，-1，1） D. 4α=（0，1，1）答案：D14．若2阶矩阵A 相似于矩阵B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3202，E 为2阶单位矩阵，则与矩阵E -A 相似的矩阵是（ ）A ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4101B ．⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--4101C ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--4201D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---4201答案：C15.下列矩阵是正交矩阵的是（ ） A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001B.21⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110011101C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--θθθθcos sin sin cosD.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--336102233660336122 答案：A16．已知3阶矩阵A 的特征值为-1，0，1，则下列矩阵中可逆的是（ ） A ．A B ．A E - C ．A E -- D ．A E -2 答案：D17．已知矩阵A 与对角矩阵D =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100010001相似，则A 2=（ ） A ．A B ．D C ．E D ．-E答案：C18．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛001010100，则A 的特征值为（ ）A ．1，1，0B ．-1，1，1C ．1，1，1D ．1，-1，-1答案：B19．设A 为n (n ≥2)阶矩阵，且A 2=E ，则必有（ ） A ．A 的行列式等于1 B ．A 的逆矩阵等于E C ．A 的秩等于n D ．A 的特征值均为1答案：C20．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛3000130011201111，则A 的线性无关的特征向量的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4 答案：C21．设向量α=（4，-1，2，-2），则下列向量是单位向量的是（ ） A ．31α B ．51α C ．91α D ．251α 答案：B22.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---496375254，则以下向量中是A 的特征向量的是（ ） A.（1，1，1）TB.（1，1，3）TC.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T答案：A23.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--111131111的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ 3 = （ ）A.4B.5C.6D.7答案：B24.设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（ ） A.A T B.A 2 C.A -1 D.A*答案：A7.设A 为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则| A +2E |=( ) A.0 B.2 C.3D.249.若向量α=（1，-2,1）与β=(2，3，t )正交，则t =( ) A.-2B.0C.2D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
线代20
苏州大学《线性代数》课程试卷库（第二十卷）共4 页学院 专业 成绩 年级 学号 姓名 日期1、设B A , 都是3阶矩阵，且⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2132γγαA ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=21γγβB ，其中21,,,γγβα均为3维行向量，3,15==B A ，则行列式=-B A 。
2、已知方阵A 满足02=++cE bA aA （其中c b a ,,为常数，且0≠c ），则=-1A 。
3、设02002000110011≠kkk ，则k 应满足 。
4、设21,,ααβ线性相关，32,,ααβ线性无关，则321,,,αααβ线性 。
5、设(),1,1,11=α(),,0,2b a =α()2,3,13=α线性相关，则b a ,应满足关系式 。
6、设A 满足022=++E A A ，则A 的特征值为 。
7、设A 为n 阶方阵，3)(-=n A r ，321,,ααα是齐次线性方程组0=Ax 的三个线性无关的解向量，则0=Ax 的一个基础解系为 。
8、设A 是43⨯阶矩阵，2)(=A r ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111211120B ，则=)(BA r 。
9、设方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=124242421A 相似于对角矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-45t ，则=t 。
10、设有一个四元非齐次线性方程组b Ax =，3)(=A r ，321,,ααα为其解向量，且(),7,9,9,11T=α(),8,9,9,132T=+αα则此方程组的一般解为 。
二、（10分）计算n 阶行列式nn n n ----111111111111ΛΛM MMM ΛΛ三、（10分）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100110011B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=200120312C 矩阵X 满足E C B C E X T T =--)(1，求：矩阵X四、（10分）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=22222112121cb a A ，问当b a ,为何值时，A 为正交矩阵；此时利用正交矩阵性质，求解线性方程组()1,1,1TAx =.五、（10分）给定线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=+-+-=-++1 )2()2()2()23(1)2(321321321x x x x x x x x x λλλλλλ 讨论λ取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在有解时，求出其解。
苏州大学历年高等代数真题
2000年真题1．（14分）设f (x),g (x),h (x)都是数域P 上的一元多项式，并且满足：4(1)()(1)()(2)()0x f x x g x x h x ++-+-= （1）4(1)()(1)()(2)()0x f x x g x x h x +++++= （2） 证明：41x+能整除()g x 。
2．（14分）设A 是n ⨯r 的矩阵，并且秩（A ）= r ，B ，C 是r ⨯m 矩阵，并且AB=AC ，证明：B=C 。
3（15分）求矩阵321222361A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭的最大的特征值0λ，并且求A 的属于0λ的特征子空间的一组基。
４(14分)设⨯-2,3,-1是33矩阵Ａ的特征值，计算行列式611n A A E -+3．５(14分)设A,B 都是实数域R 上的n n ⨯矩阵,证明:AB,BA 的特征多项式相等．证明：要证明AB,BA 的特征多项式相等，只需证明：E A E B λλ-=-６．(14分)设A 是n n ⨯实对称矩阵,证明：257n A A E -+是一个正定矩阵．证明：A 是实对称矩阵，则Ａ的特征值均为实数．７．(15分)设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的一个线性变换,设1,n V A α-∈≠使0,但是()n A α=0,其中n>1．证明：21{,,,,}n A A A αααα-K 是Ｖ的一组基．并且求线性变换Ａ在此基下的矩阵，以及Ａ的核的维数．2000年真题答案1、证明：1(2)(1):2()4()0()()2g x h x h x g x -+=⇒=- （3） 将（3）带入（1）中，得到：41(1)()()2x f x xg x +=- 441()x x x g x ∴+Q +1与互素，．注：本题也可以把g,h 作为未知量对线性方程求解，用克莱姆法则导出结果。
2、证明：,()0.AB AC A B C =∴-=Q(),A n r R A r A ⨯=∴Q 是的矩阵,是列满秩的矩阵，即方程0AX =只有零解．0,B C B C∴-==即3、解：()()224E A λλλ-=-+，02λ∴= 当02λ=时，求出线性无关的特征向量为()()12101012ξξ==，，＇，，，＇， 则()120,,L ξξλ构成的特征子空间12ξξ，是0λ的特征子空间的一组基．4、解：⨯Q -2,3,-1是33矩阵Ａ的特征值，不妨设1232,3,1,λλλ=-==-则矩阵611n A A E -+3对应的特征值为：12315,20,16ξξξ=== 故6111520164800n A A E -+=⨯⨯=35、利用构造法，设0λ≠，令1E B H A E λ=， 11010E BE E B A E A E E AB λλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭⎝⎭Q ，两边取行列式得 11()n H E AB E AB λλλ=-=-．（１） 11100E E B E BA B A E A E E λλλ⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两边取行列式得 11()n H E BA E BA λλλ=-=-．（２）由（１），（２）两式得1()n E AB λλ-＝1()n E BA λλ-E AB E BA λλ∴-=-．（３） 上述等式是假设了0λ≠，但是（３）式两边均为λ的n 次多项式，有无穷多个值使它们成立（0λ≠），从而一定是恒等式． 注：此题可扩展为Ａ是m n ⨯矩阵，Ｂ是n m ⨯矩阵，ＡＢ，ＢＡ的特征多项式有如下关系：n m m n E AB E BA λλλλ-=-，这个等式也称为薛尔佛斯特（Sylvester ）公式．6、设λ为Ａ的任意特征值，则257n A A E -+的特征值为225357()024ξλλλ=-+=-+>． 故257n A A E -+是一个正定矩阵．7、证明：1n n AA α-≠Q 0,=0.令()()10110n n l l A l A ααα--+++=K ．（１） 用1n A -左乘（１）式两边，得到10()0n l A α-=．由于1n A -≠0，00l ∴=，带入（１）得()()1110n n l A l A αα--++=K ．（２） 再用2n A -左乘（２）式两端，可得10l =．这样继续下去，可得到0110n l l l -====K ．21,,,,n A A A αααα-∴K 线性无关．21,,,,)n A A A A αααα-K (＝21,,,,)n A A A αααα-K (0000100001000010⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭KK K K K ． ∴Ａ在此基下的矩阵为0000100001000010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭K K K K K ， 可见,()1R A n =-,dimker(1)1A n n ∴=--=即A 的核的维数为1．2001年真题2002年真题1．（15分）设A =1111101111001110001100001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L LL L L L L L L ，123101221001320001200001n n n n n n B -⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭L L L L L L L L L L L 都是n n ⨯矩阵。
2004-2005第二学期线性代数试题参考答案
----------------------------精品word 文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- 2004级2004-2005第二学期线性代数试题参考答案一、 填空题（每小题3分，共15 分）1． ))()((b c a c a b ---； 2. 相关; 3. 12536-; 4. 44<<-t ; 5.可以二、 选择题(每小题3分,共15 分)1. B2. C;3. D;4. A;5. C三、 计算题(每小题10分共30分)1.行列式的值为36-.2. B X E A X B AX =-⇒+=)(.,110101111⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-E A 0≠-E A , E A -可逆. 故⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-=-143311410352111211101)(1B E A X . 3. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----==00001000021003511991191103281120351),,,(4321T T T T A αααα.向量组的秩为3,它的一个极大无关组为421,,ααα.四、 解答题(每小题12分, 共24分)1. 方程组的增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-300002621037321134551353137321b b .当3=b 时,方程组有解.此时的方程组为⎩⎨⎧=++=+++26237324324321x x x x x x x ,它有一特解T )0,0,2,3(.对应的齐次线性方程组为⎩⎨⎧=++=+++06207324324321x x x x x x x ,它有基础解系T )1,3,0,2(--, T )0,1,2,1(--. 故原方程组的通解为 T )0,0,2,3(+k T )1,3,0,2(--+l T )0,1,2,1(--,k 与l 为任意常数.2. 二次型的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=312132220A .由由 0=-A E λ得A 的特征值2-=λ, 和4=λ(二重). 当2-=λ时,0)(=-X A E λ的基础解系为T )1,1,2(-,当6=λ时,0)(=-X A E λ的基础解系为T T )1,1,1(,)1,1,0(-.易知这三个向量是两两正交的. 只需再将它们单位化即可得正交矩阵----------------------------精品word 文档 值得下载 值得拥有---------------------------------------------- ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=61312161312162310P 使得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-2441AP P . 在正交变换PYX =下,232221244y y y f -+=. 五、 证明题(每小题8分,共16分)1. 对B 按列分块, []321B B B B =, 则对于方程0=AX ,321,,B B B 都是其解.由于0B ≠, 故方程0=AX 至少有一个非零解,其充要条件是0=A .而)2(5-=λA . 所以2=λ. 此时⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→000850321A ,秩2)(=A r . 方程0=AX 的基础解系只含一个向量X, )3,2,1(,==i X k B i i . 所以秩3,11)(=-<=n n B r . 故B 的伴随矩阵*B 的秩为0.2. 因三维向量组(I):321,,ααα中的三个向量分别是三阶矩阵A 的属于特征值 0, 1, 3 的特征向量, 一定是线性无关的. 因此等价于其构成的行列式0321≠ααα. 而向量组(II): 421,,ααα线性相关等价于0421=ααα. 向量组(III): 4321,,αααα-满足条件0421*******≠-=-αααααααααα. 故向量组(III)线性无关.。
线性代数练习题及答案10套
1 0 1 14．设矩阵 A= 0 2 0 ，矩阵 B A E ，则矩阵 B 的秩 r(B)= __2__． 0 0 1 0 0 1 B A E = 0 1 0 ，r(B)=2． 0 0 0
15．向量空间 V={x=(x1,x2,0)|x1,x2 为实数}的维数为__2__． 16．设向量 (1,2,3) ， (3,2,1) ，则向量 ， 的内积 ( , ) =__10__． 17．设 A 是 4×3 矩阵，若齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，则矩阵 A 的秩 r(A)= __3__． 18 ． 已 知 某 个 3 元 非 齐 次 线 性 方 程 组 Ax=b 的 增 广 矩 阵 A 经 初 等 行 变 换 化 为 ：
三、计算题（本大题共 6 小题，每小题 9 分，共 54 分）
Ibugua
交大打造不挂女神的领跑者
123 23 3 21．计算 3 阶行列式 249 49 9 ． 367 67 7 123 23 3 100 20 3 解： 249 49 9 200 40 9 0 ． 367 67 7 300 60 7
线代练习题及答案（一）
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）
1．设 A 为 3 阶方阵，且 | A | 2 ，则 | 2 A 1 | （ D A．-4 B．-1 C． 1 ） D．4
| 2 A 1 | 2 3 | A | 1 8
1 4． 2
）
1 2 3 1 2 2． 设矩阵 A= （1， 2） ， B= C= 则下列矩阵运算中有意义的是 （ B 4 5 6 ， 3 4 ，
行成比例值为零．
a1b2 a 2 b2 a 3 b2
苏州大学《线性代数》课程试卷库(第二卷)
苏州大学《线性代数》课程试卷库（第二卷）共 页学院 专业 成绩 年级 学号 姓名 日期题号 一 二 三四五六七八得分一、 （每题3分，共计30分）单项选择：1、设0211111111)(≠−−=x xx f 的充要条件是 [ ] (a) 或 (b) 且0≠x 1≠x 0≠x 1≠x (c) 1≠x 或2≠x (d) 1≠x 且 2≠x 2、已知 均为n 阶方阵， B A ,I 为单位阵，I BCA =，则 [ ] (a) (b) (c) I ABC =I ACB =I BAC = (d)I CBA =3、已知阶矩阵n m ×A 的秩为1−n ，21,αα是非齐次线性方程组的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组b Ax =0=Ax 的通解可表示为 [ ](a) 21ααk + (b) 12ααk + (c) )(21αα+k (d) )(21αα−k 4、n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是 [ ](a) 矩阵A 有n 个特征值 (b) 矩阵A 有个线性无关的特征向量 n (c) 0≠A (d) 矩阵A 为实对称矩阵 填空题5、二次型222324f x y xy yz =+−+对应的矩阵为[ ]6、设05203120021=A ，则[ ]。
=−1A 7、若均为n 阶矩阵，且有B A ,,2−=A ,3=B 则=−−∗1B A [ ]。
8、已知(2,1,1=)β不能由(),1,2,21−=α(),8,4,02=α()3,,13k −=α 线性表出，则k =[ ]。
9、设阶方阵n A 满足每行元素之和都是0，如果秩1)(−=n A r ，则齐次方程组的通解是[ ]。
0=Ax 10、设3阶矩阵A 的特征值是 1，2，-1，设矩阵，则235A A B −==B [ ]。
二、 （10分）计算行列式： D n =aa a a 001000000100L L M MO M M L L三、（10分）讨论k 为何值时，非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=−+=−+−kx x kx x kx x k kx x x 3213213211有唯一解，无解或有无穷多解？并在有无穷多解时利用基础解系求其全部解。
线性代数-线代2-05
初等变换的结果审视：
• 初等变换后的矩阵和原矩阵不等. • 行阶梯形不是惟一的，但是行标准形和标准型是
惟一的. • Gauss-Jordan 消元法可以将矩阵化为行标准型;
仅用行初等变换不一定能将一个矩阵化为标准形 F. • 矩阵的阶梯形、行标准型和标准型的共性:
– 非零行的数目r 相等. – n阶方阵的r=n时，行标准型是单位矩阵. – 从阶梯形可以直接得到标准型.
（1）交换方程次序； （2）以不等于０的数k 乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的k倍．
➢消去一些系数，使得方程组呈阶梯形，从而可以用回 代法求解的方法称为Gauss消元法． ➢变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算 ，未知量并未参与运算． ➢Gauss消元法完全可以转换为相应矩阵行的变换．
1 ．矩阵初等变换的定义
定义2 .10 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
p53 1 对调两 i,j两 行 ,记 行 （ ri 作 rj对 ）调 ； 2以数 k0乘以某一行的 ; 所 3把（ 某i一 行 第 行k ,记 所 乘 有 kr i倍 作 k 元 ） 加素 到的 另一
对应的元素上 j行去 的 k（ 倍第 加到 i行 第上 记作 ri kjr） .
0
0
1
0
0
2
*
0 0 0 0 0 0 0
• 行标准形：
– 行阶梯形中，每一个非零行领头的非零元是 数1，它所在的列其余元素是零的矩阵被称 为行标准形。
• 例 ：下列矩阵是行标准形
1 0 0
0
1
0
0 0 1
1 0 *
0
1
*
0 0 0
0 1 * 0
0
0
线性代数第五章课后习题与解答
第五章课后习题及解答1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：2 3(1);3 12 3 2解：I A3 7 0,313373 37 ,12221I A 37 2 3 1 1 3 372 1 0 1 37 6, T所以， ( 1I A)x 0 的基础解系为： (6,1 37) .T因此， A 的属于 1 的所有特征向量为： k 1( 6,1 37) (k 1 0).2I A1 337 211 3731 6372,T所以， ( 2 I A)x 0 的基础解系为： (6,1 37) .T A的属于 2 的所有特征向量为：k2 (6,1 37) (k2 0).因此，3 1 1(2) 2 0 1 ;1 1 23 1 1解：I A 2 1 ( 1)( 22)1 1 2所以，特征值为： 1 1(单根)， 2 2 (二重根)2 1 1 1 0 01I A 2 1 1 0 1 11 1 1 0 0 0T 所以，( 1I A)x 0 的基础解系为：( 0,1,1) .TA的属于 1 的所有特征向量为：k1( 0,1,1) (k1 0).因此，1 1 1 1 1 02 I A 2 2 1 0 0 11 1 0 0 0 0T 所以，( ) 02 I A x 的基础解系为：(1,1,0 ).T 因此，A的属于 2 的所有特征向量为：k2(1,1,0) (k2 0).20 0 (3) 111 ;1 1 320 0 解： IA 1 1 1 (32)113所以，特征值为：12 (三重根 )0 0 1 1 11I A 1 1 1 0 0 0 1 11T T所以， ( 1I A)x 0 的基础解系为： (1,1, 0) ,( 1,0 ,1) .因此， A 的属于 1 的所有特征向量为：Tk Tk 1(1,1, 0 )2( 1,0,1) ( k 1, k 2 为不全为零的任 意常数 )。
1 2 3 4 0 1 2 3 (4);0 0 1 2 0 0 0 112 3 4解： I A0 0 0 1 2 1 3 2 ( 1)40 0 0 1所以，特征值为：11(四重根 )0 2 3 41I A 02320 0 0 0T所以，( 1I A) x 0的基础解系为：(1, 0, 0,0) .因此，A的属于1的所有特征向量为：Tk1(1, 0, 0,0 )( k1 0 ) 4 5 2(5) 2 2 1 ;1 1 14 5 2解：I A 2 2 1 ( 31)1 1 1所以，特征值为： 1 1(三重根)3 5 2 1 0 11I A 2 3 1 0 1 11 1 0 0 0 0T 所以，( 1I A)x 0 的基础解系为：( 1,1,1) .因此，A的属于 1 的所有特征向量为：Tk1( 1,1,1) ( k1 0 )2 2 0 (6) 2 1 2 ;0 2 02 2 0解：( 1)( 4)( 2)I A 2 1 20 2所以，特征值为： 1 1(单根), 2 4 (单根), 3 2(单根),1 2 0 1 0 11I A 20 2 0 2 10 2 1 0 0 0T所以，( 1I A)x 0 的基础解系为：( 2, 1,2 ).因此，A的属于 1 的所有特征向量为：Tk1( 2, 1,2) ( k1 0 )2 2 0 1 0 22I A 2 3 2 0 1 20 2 4 0 0 0T 所以，( 2 I A)x 0的基础解系为：(2, 2 ,1) .因此，A的属于 2 的所有特征向量为：Tk2(2, 2,1) ( k2 0 )4 2 0 2 0 12 3 2 0 1 13 I A0 2 2 0 0 0T 所以，( 3I A) x 0的基础解系为：(1,2,2) .因此，A的属于 3 的所有特征向量为：Tk3(1,2,2) ( k3 0 )7 4 12. 已知矩阵A 4 7 1的特征值 1 3 (二重)， 2 12 , 求x的值，并求其特征4 4 x向量。
线性代数(含全部课后题详细答案5-1.
称为通解。
4. 解的结构
AX 0 的通解是 x k11 k22 knr n。
4 7
4 7
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
x1
13 7
3 7
x3
13 7
x4
x2
4 7
2 7
x3
4 7
x4
25
13 7
令 x3 x4 0,
得
4 7
0
0
又原方程组对应的齐次方程组的通解是
x1 x3
2x2 3
10 x4
1 5
x4
令
x2 x4
1
0
得
1
1 0 0
1
5
令
x2
x4
0
1
得
2
0 3
10 1
2
举例说明消元法具体步骤：
例1：解线性方程组
2 4
x1 x1
2 x1
2 1 3
解：(
A,
b)
4 2
线性代数第五章课后习题及解答
第五章课后习题及解答1. 求下列矩阵的特征值和特征向量：(1) ;1332⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- 解：,07313322=--=--=-λλλλλA I2373,237321-=+=λλ ,001336371237121371⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T-因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T,001336371237123712⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T+因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T(2) ;211102113⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--解：2)2)(1(21112113--==------=-λλλλλλ A I所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=-0001100011111121121 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=-0001000110111221112 A I λ所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T(3) ;311111002⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-解：3)2(31111102-==------=-λλλλλ A I所以，特征值为：21=λ(三重根)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-0000001111111110001 A I λ所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,0,1(,)0,1,1(TT -因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：TT k k )1,0,1()0,1,1(21-+(21,k k 为不全为零的任 意常数)。
工程数学--线性代数课后题答案_第五版5
工程数学--线性代数课后题答案_第五版第五章 相似矩阵及二次型1. 试用施密特法把下列向量组正交化:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛=931421111) , ,(321a a a ;解 根据施密特正交化方法,⎪⎪⎭⎫⎝⎛==11111a b ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=101],[],[1112122b b b a b a b ,⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=011101110111) , ,(321a a a .解 根据施密特正交化方法,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==110111a b ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .2. 下列矩阵是不是正交阵:(1)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---121312112131211;解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵.(2)⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------979494949198949891.解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵.3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T=E -2(x T )T x T =E -2xx T ,所以H 是对称矩阵. 因为H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵.4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T ,(AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,故AB 也是正交阵.5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----201335212;解3)1(201335212||+-=-------=-λλλλλE A ,故A 的特征值为λ=-1(三重). 对于特征值λ=-1, 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=+000110101101325213~E A ,得方程(A +E )x =0的基础解系p 1=(1, 1, -1)T , 向量p 1就是对应于特征值λ=-1的特征值向量.(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛633312321;解)9)(1(633312321||-+-=---=-λλλλλλλE A ,故A 的特征值为λ1=0, λ2=-1, λ3=9. 对于特征值λ1=0, 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000110321633312321~A , 得方程A x =0的基础解系p 1=(-1, -1, 1)T , 向量p 1是对应于特征值λ1=0的特征值向量. 对于特征值λ2=-1, 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+000100322733322322~E A ,得方程(A +E )x =0的基础解系p 2=(-1, 1, 0)T , 向量p 2就是对应于特征值λ2=-1的特征值向量. 对于特征值λ3=9, 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-00021101113333823289~E A ,得方程(A -9E )x =0的基础解系p 3=(1/2, 1/2, 1)T , 向量p 3就是对应于特征值λ3=9的特征值向量.(3)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001001001001000. 解22)1()1(001010010100||+-=----=-λλλλλλλE A ,故A 的特征值为λ1=λ2=-1, λ3=λ4=1. 对于特征值λ1=λ2=-1, 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+00000000011010011001011001101001~E A , 得方程(A +E )x =0的基础解系p 1=(1, 0, 0, -1)T , p 2=(0, 1, -1, 0)T , 向量p 1和p 2是对应于特征值λ1=λ2=-1的线性无关特征值向量. 对于特征值λ3=λ4=1, 由⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=-0000000001101001101011001101001~E A , 得方程(A -E )x =0的基础解系p 3=(1, 0, 0, 1)T , p 4=(0, 1, 1, 0)T , 向量p 3和p 4是对应于特征值λ3=λ4=1的线性无关特征值向量.6. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同. 证明 因为|A T-λE|=|(A-λE)T|=|A-λE|T=|A-λE|,所以A T与A的特征多项式相同,从而A T与A的特征值相同.7.设n阶矩阵A、B满足R(A)+R(B)<n,证明A与B有公共的特征值,有公共的特征向量.证明设R(A)=r,R(B)=t,则r+t<n.若a1,a2,⋅⋅⋅,a n-r是齐次方程组A x=0的基础解系,显然它们是A的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.类似地,设b1,b2,⋅⋅⋅,b n-t是齐次方程组B x=0的基础解系,则它们是B的对应于特征值λ=0的线性无关的特征向量.由于(n-r)+(n-t)=n+(n-r-t)>n,故a1,a2,⋅⋅⋅,a n-r,b1,b2,⋅⋅⋅,b n-t 必线性相关.于是有不全为0的数k1,k2,⋅⋅⋅,k n-r,l1,l2,⋅⋅⋅,l n-t,使k1a1+k2a2+⋅⋅⋅+k n-r a n-r+l1b1+l2b2+⋅⋅⋅+l n-r b n-r=0.记γ=k1a1+k2a2+⋅⋅⋅+k n-r a n-r=-(l1b1+l2b2+⋅⋅⋅+l n-r b n-r),则k1,k2,⋅⋅⋅,k n-r不全为0,否则l1,l2,⋅⋅⋅,l n-t不全为0,而l1b1+l2b2+⋅⋅⋅+l n-r b n-r=0,与b1,b2,⋅⋅⋅,b n-t线性无关相矛盾.因此,γ≠0,γ是A的也是B的关于λ=0的特征向量,所以A 与B有公共的特征值,有公共的特征向量.8.设A2-3A+2E=O,证明A的特征值只能取1或2.证明设λ是A的任意一个特征值,x是A的对应于λ的特征向量,则(A2-3A+2E)x=λ2x-3λx+2x=(λ2-3λ+2)x=0.因为x≠0,所以λ2-3λ+2=0,即λ是方程λ2-3λ+2=0的根,也就是说λ=1或λ=2.9.设A为正交阵,且|A|=-1,证明λ=-1是A的特征值.证明因为A为正交矩阵,所以A的特征值为-1或1.因为|A|等于所有特征值之积,又|A|=-1,所以必有奇数个特征值为-1,即λ=-1是A的特征值.10.设λ≠0是m阶矩阵A m⨯n B n⨯m的特征值,证明λ也是n阶矩阵BA的特征值.证明设x是AB的对应于λ≠0的特征向量,则有(AB)x=λx,于是B(AB)x=B(λx),或BA(B x)=λ(B x),从而λ是BA的特征值,且B x是BA的对应于λ的特征向量.11.已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, 3,求|A3-5A2+7A|.解令ϕ(λ)=λ3-5λ2+7λ,则ϕ(1)=3,ϕ(2)=2,ϕ(3)=3是ϕ(A)的特征值,故|A3-5A2+7A|=|ϕ(A)|=ϕ(1)⋅ϕ(2)⋅ϕ(3)=3⨯2⨯3=18.12.已知3阶矩阵A的特征值为1, 2,-3,求|A*+3A+2E|.解因为|A|=1⨯2⨯(-3)=-6≠0,所以A可逆,故A*=|A|A-1=-6A-1,A*+3A+2E=-6A-1+3A+2E.令ϕ(λ)=-6λ-1+3λ2+2, 则ϕ(1)=-1, ϕ(2)=5, ϕ(-3)=-5是ϕ(A )的特征值, 故|A *+3A +2E |=|-6A -1+3A +2E |=|ϕ(A )|=ϕ(1)⋅ϕ(2)⋅ϕ(-3)=-1⨯5⨯(-5)=25. 13. 设A 、B 都是n 阶矩阵, 且A 可逆, 证明AB 与BA 相 似.证明 取P =A , 则P -1ABP =A -1ABA =BA ,即AB 与BA 相似. 14.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=50413102x A 可相似对角化,求x .解 由)6()1(50413102||2---=---=-λλλλλλx E A ,得A 的特征值为λ1=6, λ2=λ3=1.因为A 可相似对角化, 所以对于λ2=λ3=1, 齐次线性方程组(A -E )x =0有两个线性无关的解, 因此R (A -E )=1. 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-00030010140403101)(~x x E A r知当x =3时R (A -E )=1, 即x =3为所求.15. 已知p =(1, 1, -1)T是矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量.(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值; 解 设λ是特征向量p 所对应的特征值, 则 (A -λE )p =0,即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------0001112135212λλλb a ,解之得λ=-1, a =-3, b =0.(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由. 解 由3)1(201335212||--=-------=-λλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=λ2=λ3=1. 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=-00011010111325211~r b E A知R (A -E )=2, 所以齐次线性方程组(A -E )x =0的基础解系只有一个解向量. 因此A 不能相似对角化.16. 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----020212022;解 将所给矩阵记为A . 由λλλλ-------=-20212022E A =(1-λ)(λ-4)(λ+2),得矩阵A 的特征值为λ1=-2, λ2=1, λ3=4. 对于λ1=-2, 解方程(A +2E )x =0, 即0220232024321=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----x x x , 得特征向量(1, 2, 2)T , 单位化得T )32 ,32 ,31(1=p .对于λ2=1, 解方程(A -E )x =0, 即0120202021321=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----x x x , 得特征向量(2, 1, -2)T , 单位化得T )32 ,31 ,32(2-=p .对于λ3=4, 解方程(A -4E )x =0, 即0420232022321=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------x x x , 得特征向量(2, -2, 1)T , 单位化得T )31 ,32 ,32(3-=p .于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(-2, 1, 4).(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----542452222.解 将所给矩阵记为A . 由λλλλ-------=-542452222E A =-(λ-1)2(λ-10),得矩阵A 的特征值为λ1=λ2=1, λ3=10. 对于λ1=λ2=1, 解方程(A -E )x =0, 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----000442442221321x x x , 得线性无关特征向量(-2, 1, 0)T 和(2, 0, 1)T , 将它们正交化、单位化得T 0) 1, ,2(511-=p , T 5) ,4 ,2(5312=p .对于λ3=10, 解方程(A -10E )x =0, 即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------000542452228321x x x , 得特征向量(-1, -2, 2)T , 单位化得T )2 ,2 ,1(313--=p .于是有正交阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(1, 1, 10). 17.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λy 45相似,求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.解 已知相似矩阵有相同的特征值, 显然λ=5, λ=-4, λ=y 是Λ的特征值, 故它们也是A 的特征值. 因为λ=-4是A 的特征值, 所以0)4(9524242425|4|=-=---+---=+x x E A ,解之得x =4.已知相似矩阵的行列式相同, 因为100124242421||-=-------=A , y y2045||-=-=Λ,所以-20y =-100, y =5.对于λ=5, 解方程(A -5E )x =0, 得两个线性无关的特征向量(1, 0, -1)T , (1, -2, 0)T . 将它们正交化、单位化得T )1 ,0 ,1(211-=p , T )1 ,4 ,1(2312-=p . 对于λ=-4, 解方程(A +4E )x =0, 得特征向量(2, 1, 2)T , 单位化得T )2 ,1 ,2(313=p .于是有正交矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=23132212343102313221P , 使P -1AP =Λ. 18. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A . 解 令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1AP =diag(2, -2, 1)=Λ, A =P ΛP -1. 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--11011101101111111011P ,所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Λ=-1101110111000200020111111101P P A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=244354331.19. 设3阶对称阵A 的特征值为λ1=1, λ2=-1, λ3=0; 对应λ1、λ2的特征向量依次为p 1=(1, 2, 2)T , p 2=(2, 1, -2)T , 求A .解设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=653542321x x x x x x x x x A , 则A p 1=2p 1, A p 2=-2p 2,即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++222222122653542321x x x x x x x x x , ---① ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=-+-=-+222122222653542321x x x x x x x x x . ---② 再由特征值的性质, 有x 1+x 4+x 6=λ1+λ2+λ3=0. ---③由①②③解得612131x x --=, 6221x x =, 634132x x -=,642131x x -=, 654132x x +=.令x 6=0, 得311-=x , x 2=0, 323=x , 314=x , 325=x .因此⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=022********A .20. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A .解设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=653542321x x x x x x x x x A .因为λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 所以有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1116111A , 即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++666653542321x x x x x x x x x ---①. λ2=λ3=3是A 的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R (A -3E )=1. 利用①可推出⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-331113333653542653542321~x x x x x x x x x x x x x x x E A .因为R (A -3E )=1, 所以x 2=x 4-3=x 5且x 3=x 5=x 6-3, 解之得x 2=x 3=x 5=1, x 1=x 4=x 6=4.因此⎪⎪⎭⎫⎝⎛=411141114A .21. 设a =(a 1, a 2, ⋅⋅⋅, a n )T , a 1≠0, A =aa T .(1)证明λ=0是A的n-1重特征值;证明设λ是A的任意一个特征值,x是A的对应于λ的特征向量,则有A x=λx,λ2x=A2x=aa T aa T x=a T a A x=λa T ax,于是可得λ2=λa T a,从而λ=0或λ=a T a.设λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn是A的所有特征值,因为A=aa T的主对角线性上的元素为a12,a22,⋅⋅⋅,a n2,所以a12+a22+⋅⋅⋅+a n2=a T a=λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn,这说明在λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn中有且只有一个等于a T a,而其余n-1个全为0,即λ=0是A的n-1重特征值.(2)求A的非零特征值及n个线性无关的特征向量.解设λ1=a T a,λ2=⋅⋅⋅=λn=0.因为A a=aa T a=(a T a)a=λ1a,所以p1=a是对应于λ1=a T a的特征向量.对于λ2=⋅⋅⋅=λn=0,解方程A x=0,即aa T x=0.因为a≠0,所以a T x=0,即a1x1+a2x2+⋅⋅⋅+a n x n=0,其线性无关解为p2=(-a2,a1, 0,⋅⋅⋅, 0)T,p3=(-a3, 0,a1,⋅⋅⋅, 0)T,⋅⋅⋅,p n=(-a n, 0, 0,⋅⋅⋅,a1)T.因此n个线性无关特征向量构成的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅112212100), , ,(a a aa a a a n n n p p p . 22.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=340430241A ,求A 100.解 由)5)(5)(1(340430241||+---=----=-λλλλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=5, λ3=-5.对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(1, 0, 0)T . 对于λ1=5, 解方程(A -5E )x =0, 得特征向量p 2=(2, 1, 2)T . 对于λ1=-5, 解方程(A +5E )x =0, 得特征向量p 3=(1, -2, 1)T . 令P =(p 1, p 2, p 3), 则P -1AP =diag(1, 5, -5)=Λ, A =P ΛP -1,A 100=P Λ100P -1. 因为Λ100=diag(1, 5100, 5100), ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--1202105055112021012111P , 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12021050555112021012151100100100A⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1001001005000501501.23. 在某国, 每年有比例为p 的农村居民移居城镇, 有比例为q 的城镇居民移居农村, 假设该国总人口数不变, 且上述人口迁移的规律也不变. 把n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x n 和y n (x n +y n =1). (1)求关系式⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛++n n n n y x A y x 11中的矩阵A ; 解 由题意知x n +1=x n +qy n -px n =(1-p )x n +qy n , y n +1=y n +px n -qy n = px n +(1-q )y n , 可用矩阵表示为⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n n y x q pq py x 1111, 因此 ⎪⎭⎫⎝⎛--=q p qp A 11.(2)设目前农村人口与城镇人口相等, 即⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛5.05.000y x , 求⎪⎭⎫⎝⎛n n y x . 解 由⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++n n n n y x A y x 11可知⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛00y x A y x n n n . 由)1)(1(11||q p q p qp E A ++--=----=-λλλλλ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=r , 其中r =1-p -q .对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得特征向量p 1=(q , p )T . 对于λ1=r , 解方程(A -rE )x =0, 得特征向量p 2=(-1, 1)T . 令⎪⎭⎫⎝⎛-==11) ,(21p q P p p , 则 P -1AP =diag(1, r )=Λ, A =P ΛP -1, A n =P Λn P -1. 于是 11100111-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛-=p q r p q A nn ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=q p r p q q p n 11001111⎪⎭⎫⎝⎛+--++=n n n n q r p p r p q r q p r q q p 1,⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++=⎪⎭⎫⎝⎛5.05.01n n n n n n qr p pr p qr q pr q q p y x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-++=n n r p q p r q p q q p )(2)(2)(21.24. (1)设⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3223A , 求ϕ(A )=A 10-5A 9;解 由)5)(1(3223||--=----=-λλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=1, λ2=5.对于λ1=1, 解方程(A -E )x =0, 得单位特征向量T )1 ,1(21.对于λ1=5, 解方程(A -5E )x =0, 得单位特征向量T )1 ,1(21-.于是有正交矩阵⎪⎭⎫⎝⎛-=111121P , 使得P -1AP =diag(1, 5)=Λ,从而A =P ΛP -1, A k =P Λk P -1. 因此 ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1=P (Λ10-5Λ9)P -1 =P [diag(1, 510)-5diag(1, 59)]P -1 =P diag(-4, 0)P -1⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111210004111121 ⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛----=111122222.(2)设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=122221212A ,求ϕ(A )=A 10-6A 9+5A 8.解 求得正交矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=20223123161P , 使得P -1AP =diag(-1, 1, 5)=Λ, A =P ΛP -1. 于是 ϕ(A )=P ϕ(Λ)P -1=P (Λ10-6Λ9+5Λ8)P -1=P [Λ8(Λ-E )(Λ-5E )]P -1=P diag(1, 1, 58)diag(-2, 0, 4)diag(-6, -4, 0)P -1=P diag(12, 0, 0)P -1⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=222033211001220223123161⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=4222112112.25. 用矩阵记号表示下列二次型: (1) f =x 2+4xy +4y 2+2xz +z 2+4yz ; 解⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y x z y x f 121242121) , ,(.(2) f =x 2+y 2-7z 2-2xy -4xz -4yz ; 解⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=z y x z y x f 722211211) , ,(.(3) f =x 12+x 22+x 32+x 42-2x 1x 2+4x 1x 3-2x 1x 4+6x 2x 3-4x 2x 4.解 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=432143211021013223111211) , , ,(x x x x x x x x f . 26. 写出下列二次型的矩阵:(1)x x x ⎪⎭⎫⎝⎛=1312)(T f ;解 二次型的矩阵为⎪⎭⎫ ⎝⎛=1312A .(2)x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=987654321)(T f .解二次型的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=987654321A .27. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: (1) f =2x 12+3x 22+3x 33+4x 2x 3; 解二次型的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=320230002A .由)1)(5)(2(320230002λλλλλλλ---=---=-E A ,得A 的特征值为λ1=2, λ2=5, λ3=1. 当λ1=2时, 解方程(A -2E )x =0, 由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-0001002101202100002~E A ,得特征向量(1, 0, 0)T . 取p 1=(1, 0, 0)T . 当λ2=5时, 解方程(A -5E )x =0, 由⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-0001100012202200035~E A ,得特征向量(0, 1, 1)T . 取T )21 ,21 ,0(2=p .当λ3=1时, 解方程(A -E )x =0, 由⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-000110001220220001~E A ,得特征向量(0, -1, 1)T . 取T )21 ,21 ,0(3-=p .于是有正交矩阵T =(p 1, p 2, p 3)和正交变换x =T y , 使f =2y 12+5y 22+y 32.(2) f =x 12+x 22+x 32+x 42+2x 1x 2-2x 1x 4-2x 2x 3+2x 3x 4. 解二次型矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=111111001111011A . 由 2)1)(3)(1(1101111001111011--+=--------=-λλλλλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=-1, λ2=3, λ3=λ4=1.当λ1=-1时, 可得单位特征向量T )21 ,21 ,21 ,21(1--=p .当λ2=3时, 可得单位特征向量T )21 ,21 ,21 ,21(2--=p .当λ3=λ4=1时, 可得线性无关的单位特征向量T )0 ,21 ,0 ,21(3=p , T)21 ,0 ,21 ,0(4=p . 于是有正交矩阵T =( p 1, p 2, p 3, p 4)和正交变换x =T y , 使f =-y 12+3y 22+y 32+y 42.28. 求一个正交变换把二次曲面的方程3x 2+5y 2+5z 2+4xy -4xz -10yz =1化成标准方程. 解二次型的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=552552223A .由)11)(2(552552223||---=-------=-λλλλλλλE A ,得A 的特征值为λ1=2, λ2=11, λ3=0, .对于λ1=2, 解方程(A -2E )x =0, 得特征向量(4, -1, 1)T , 单位化得)231 ,231 ,234(1-=p .对于λ2=11, 解方程(A -11E )x =0, 得特征向量(1, 2, -2)T , 单位化得)32 ,32 ,31(2-=p .对于λ3=0, 解方程A x =0, 得特征向量(0, 1, 1)T , 单位化得)21 ,21,0(3=p . 于是有正交矩阵P =(p 1, p 2, p 3), 使P -1AP =diag(2, 11, 0), 从而有正交变换⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛w v u z y x 21322312132231031234, 使原二次方程变为标准方程2u 2+11v 2=1.29. 明: 二次型f =x T A x 在||x ||=1时的最大值为矩阵A 的最大特征值.证明 A 为实对称矩阵, 则有一正交矩阵T , 使得TAT -1=diag(λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn )=Λ成立, 其中λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn 为A 的特征值, 不妨设λ1最大. 作正交变换y =T x , 即x =T T y , 注意到T -1=T T , 有 f =x T A x =y T TAT T y =y T Λy =λ1y 12+λ2y 22+ ⋅ ⋅ ⋅ +λn y n 2. 因为y =T x 正交变换, 所以当||x ||=1时, 有||y ||=||x ||=1, 即y 12+y 22+ ⋅ ⋅ ⋅ +y n 2=1.因此f =λ1y 12+λ2y 22+ ⋅ ⋅ ⋅ +λn y n 2≤λ1,又当y 1=1, y 2=y 3=⋅ ⋅ ⋅=y n =0时f =λ1, 所以f max =λ1.30. 用配方法化下列二次形成规范形, 并写出所用变换的矩阵.(1) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3; 解 f (x 1, x 2, x 3)=x 12+3x 22+5x 32+2x 1x 2-4x 1x 3 =(x 1+x 2-2x 3)2+4x 2x 3+2x 22+x 32 =(x 1+x 2-2x 3)2-2x 22+(2x 2+x 3)2.令⎪⎩⎪⎨⎧+==-+=323223211222x x y x y x x x y , 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-==+-=323223211221225y y x y x yy y x ,二次型化为规范形f =y 12-y 22+y 32,所用的变换矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12002102251C .(2) f (x 1, x 2, x 3)=x 12+2x 32+2x 1x 3+2x 2x 3; 解 f (x 1, x 2, x 3)=x 12+2x 32+2x 1x 3+2x 2x 3 =(x 1+x 3)2+x 32+2x 2x 3;=(x 1+x 3)2-x 22+(x 2+x 3)2. 令⎪⎩⎪⎨⎧+==+=32322311x x y x y x x y , 即⎪⎩⎪⎨⎧+-==-+=323223211y y x y x y y y x , 二次型化为规范形f =y 12-y 22+y 32,所用的变换矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=110010111C . (3) f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 22+4x 32+2x 1x 2-2x 2x 3. 解 f (x 1, x 2, x 3)=2x 12+x 22+4x 32+2x 1x 2-2x 2x 3. 3223222212421)21(2x x x x x x -+++=232322212)2(21)21(2x x x x x +-++=.令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+=333222112)2(21)21(2x y x x y x x y , 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=--=33322321121222212121y x y y x y y y x , 二次型化为规范形f =y 12+y 22+y 32,所用的变换矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=10022011121C .31. 设f =x 12+x 22+5x 32+2ax 1x 2-2x 1x 3+4x 2x 3为正定二次型, 求a . 解二次型的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=5212111a a A ,其主子式为a 11=1,2111a a a-=, )45(5212111+-=--a a a a .因为f 为正主二次型, 所以必有1-a 2>0且-a (5a +4)>0, 解之得054<<-a .32. 判别下列二次型的正定性:(1) f =-2x 12-6x 22-4x 32+2x 1x 2+2x 1x 3; 解二次型的矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=401061112A .因为0211<-=a ,0116112>=--, 038||<-=A , 所以f 为负定.(2) f =x 12+3x 22+9x 32+19x 42-2x 1x 2+4x 1x 3+2x 1x 4-6x 2x 4-12x 3x 4. 解二次型的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=19631690230311211A . 因为 0111>=a ,043111>=--, 06902031211>=--, 024>=A , 所以f 为正定.33. 证明对称阵A 为正定的充分必要条件是: 存在可逆矩阵U , 使A =U T U , 即A 与单位阵E 合同.证明 因为对称阵A 为正定的, 所以存在正交矩阵P 使P T AP =diag(λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn )=Λ, 即A =P ΛP T ,其中λ1, λ2, ⋅ ⋅ ⋅, λn 均为正数. 令), , ,diag(211n λλλ⋅⋅⋅=Λ, 则Λ=Λ1Λ1, A =P Λ1Λ1T P T .再令U =Λ1T P T , 则U 可逆, 且A =U T U .。
线性代数同步练习册—苏州大学
ii
目录
1
第一章 线性方程组与消元法
专业:
学号:
姓名:
一、选择题
1. 线性方程组 2x − y = 0, 的解的情形为（ ） −x + 2y = 3
A. 无穷多个解 B. 惟一解 C. 不存在
x1 − x2
+ 2x3
= −1,
2. 线性方程组
x2 − x3 = 2, 的解情形（ ）
2x1 + 2x3 = 2
.
−1 0
2. 设A = y=
12 ,B=
−3 4 .
2 5
x
3 10
y
, 且B = A−1，则x =
3. 设A, B, A+B 都是 n 阶可逆矩阵，则(A−1 + B−1)−1 =
二、解答题
11 0 0
4.
求矩阵A
=
0
1
0
0
的逆矩阵.
0 0 2 1
0 0 −1 −1
25
, .
26
第四章 矩阵的进一步讨论（3）
A. A−1 + B−1 B. A (A + B)−1 B C. (A + B)−1 D. A + B
二、填空题
3. 已知矩阵A = 1 −1 , B = −2 3 ,则ABT =
.
32
1 −2
−1
4. (1) 已知A和B均为可逆矩阵，则 0 A
=
.
B0
−1
(2) 已知A和B均为可逆矩阵，则 A 0
1
2
7
4.
已知α1
=
−2
,
α2
=
5
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苏州大学《线性代数》课程试卷库（第五卷）共 4 页
学院 专业 成绩 年级 学号 姓名 日期
1、多项式x
x x x
x f 1
71
3410
732201)(---=中的常数项为 。
2、若A 为三阶可逆矩阵，且2=A ，则=-T A )2(* 。
3、设矩阵A 满足 042=-+I A A ，则=--1)(I A 。
4、已知⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+=13212
111
1a A 的秩为2，则=a 。
5、设A 为34⨯阶矩阵，2)(=A r ，⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛-=301020201B 则=)(AB r 。
6、已知线性方程组⎪⎩
⎪
⎨
⎧--=-=+--=+-)
2)(1()1(2
21323
3
2
321
λλλλx x x x x x 无解，则=λ 。
7、当t 时，向量组)2,2,1(1-=α，)3,,4(2t =α，)1,1,3(3-=α线性无关。
8、设任意一个n 维向量都是齐次线性方程组0=⨯x A n m 的解向量，则
=)(A r 。
9、已知λ是A 的特征值，*A 是A 的伴随阵，则*A 的特征值= 。
10、已知矩阵,10100002⎪
⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=x A ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=10000002y B 相似，则=y 。
二、（10分） 计算行列式 D=
1
1
1
1
111111111111--+---+---x x x x
三、（10分）设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=100000001B ，⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-=112012001P ，且满足关系式PB AP =，
求：A ， 5A ．
四、（10分） 2001
32
1
321321
2000
001010100001010100⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛c c c b b b a a a
五、（10分）线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+++=+++=-+++=+++
+2
33456220
3235
43215
432543
21
54321x x x x x b x x x x x x x x x a x x x x x 讨论当b a ,为何值时，方程组有解，当方程组有解时，用其导出组的基础解系表示方程组的全部解。
六、（10分）已知2222A -⎛⎫
= ⎪-⎝⎭
，求：
（1）A 的所有特征值和特征向量、（2）正交矩阵,Q 使AQ Q 1-为对角阵Λ。
七、（10分）已知⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--=44144191b a a A 是正交阵，求：b a ,的值
八、（10分）设n 阶方阵B A ,分别与对角阵21,ΛΛ相似，
求证：分块矩阵⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛B A 00 必与一个对角阵相似。