高一数学暑假复习资料20讲
高一数学暑期预科-初高衔接课讲义
新高一数学必备知识一、乘法公式1、完全平方公式和平方差公式()2222b ab a b a +±=± ()()22b a b a b a -=-+2、和立方与差立方公式()3223333b ab b a a b a +++=+ ()3223333b ab b a a b a -+-=-3、立方和与立方差公式()()3322b a b ab a b a +=+-+ ()()3322b a b ab a b a -=++-二、一元二次方程1、韦达定理一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：若ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）两根分别是x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝ca．也被称为韦达定理．以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0． 利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题(相关地，抛物线与x 轴两交点间的距离)，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：设x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2＋bx ＋c =0(a ≠0)的两根，则a ac b b x 2421-+-=，aac b b x 2422---=，||4|242||2424|||222221a acb a ac b a ac b b a ac b b x x -=-=-----+-=-∴||a ∆=．【例题精讲】例1. 已知方程5x 2＋kx -6=0的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例2. 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x -3=0的两根． (1) 求|x 1-x 2|的值； (2) 求222111x x +的值； (3) 求31x ＋32x 的值．例3. 已知α、β是方程x 2＋2x -5=0的两个实数根，则α2＋αβ＋2α的值为_______．【巩固练习】1. 1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 的值范围是 ．2. 关于x 的方程240x x m ++=的两根为x 1，x 2满足| x 1－x 2|＝2，求实数m 的值．3. 已知α、β是方程210x x --=的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．2、利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等【例题精讲】例1. 设a ,b 是相异的两实数，满足ab b a b b a a 2222,34,34++=+=求的值例2. 0519998081999522=++=+-b b a a 及已知，求ba的值．【巩固练习】1. 如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，求baa b +的值2. 设实数a ,b 分别满足,01999,01991922=++=++b b a a 且ba ab ab 14,1++≠求的值．3. △ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．3、根的分布定理 （1）0分布一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根从几何意义上来说就是二次函数()c bx ax x f ++=2与x 轴交点的横坐标，所以研究02=++c bx ax 的实根的情况，可从函数()c bx ax x f ++=2的图象上进行研究.0∆>⎧0∆>⎧【例题精讲】例1. 已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围．例2. 若方程05)2(2=-+-+m x m x 的根满足下列条件，分别求出实数m 的取值范围． （1）方程两实根均为正数；（2）方程有一正根一负根．【巩固练习】已知一元二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围．（2）k分布【知识梳理】kk k【例题精讲】例1. 若关于x 的方程02=++a x x 的一个大于1、另一根小于1，求实数a 的取值范围．例2. 若关于x 的方程02=++a x x 的两根均小于1，求实数a 的取值范围．例3.已知二次函数()()()222433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m 的取值范围．【巩固练习】1. 关于x 的方程02)1(22=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ）12121||11>-<<<-><<-a a D a Ca B a A 或2. 实数k 为何值时，方程022=-+-k kx x 的两根都大于21 ．3. （1）已知：,αβ是方程()221420x m x m +-+-=的两个根，且2αβ<<，求m 的取值范围；（2）若220x ax ++=的两根都小于1-，求a 的取值范围．（3）m、n分布()0⎧>f m()0⎧<f m【例题精讲】例1. 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0，（1）若方程有两根，其中一根满足011<<-x ，另一根满足212<<x ，求m 的范围； （2）若方程两根满足1021<≤<x x ，求m 的范围．例 2. 关于x 的二次方程()2271320x p x p p -++--=的两根βα,满足012αβ<<<<，求实数p 的取值范围．例3. 二次函数6)1(2522-++-=m x m x y 的图像与x 轴的两个交点满足1121≤<≤-x x ，且分居y 轴的两侧，求实数m 的取值范围．例4. 若二次函数y =的图象与两端点为A （0，3），B （3，0）的线段AB 有两个不同的交点，求m 的取值范围．21x mx -+-【巩固练习】1. 关于x 的方程0532=+-a x x 的两根分别满足021<<-x ，312<<x ，求a 的取值范围．2. 二次方程2210x kx k ++-=的两个根1x 与2x ，当121x -<<-且212x <<时，实数k 的取值范围是 ．总结：一元二方程根的分布只需考虑三个方面：（1）a 和△的符号（2）对称轴相对于区间的位置（3）所给区间端点函数值符号【例题精讲】例1.当关于x 的方程的根满足下列条件时，求实数a 的取值范围： （1）方程x 2-ax+a -7=0的两个根一个大于2，另一个小于2； （2）方程ax 2+3x+4=0的根都小于1；（3）方程x 2-2(a+4)x+2a 2+5a +3=0的两个根都在31-≤≤x 内；（4）方程7x 2-（a+13）x+2a -1=0的一个根在10<<x 内，另一个根在21<<x 内．例2.已知函数22()(21)2f x x a x a =--+-与非负x 轴至少有一个交点，求a 的取值范围．【巩固练习】已知方程03)3(24=+--m x m mx 有一个根小于1-，其余三个根都大于1-，求m 的取值范围．三、不等式1、一元二次不等式例1. 解下列不等式（1）()()x x x 2531-<--； （2）()()21311+>+x x x ；（3）()()()233122+>-+x x x ； （4）2223133x x x ->+-； （5）()13112->+-x x x x（6）x 2＋2x －3≤0； （7）x －x 2＋6＜0； （8）4x 2＋4x ＋1≥0； （9）x 2－6x ＋9≤0； （10）－4＋x －x 2＜0．例2.设R m ∈，解关于x 的不等式0322<-+m mx mx ．2、分式不等式及高次不等式（1）简单分式不等式的解法：已知f (x )与g (x )是关于x 的多项式，不等式()0()f x g x >，()0()f x g x <，()0()f x g x ≥，()0()f xg x ≤称为分式不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究分式不等式．将分式不等式进行同解变形，利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式（组）即可求解．具体如下：()0()f x g x >①，即()0()0f x g x >⎧⎨>⎩或()0()0f xg x <⎧⎨<⎩，即()()0f x g x ⋅>；()0()f x g x <②，即()0()0f x g x >⎧⎨<⎩或()0()0f x g x <⎧⎨>⎩，即()()0f x g x ⋅<； ()0()f x g x ≥③，即()()0()0f x g x g x ⋅≥⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅>或()0f x =； ()0()f x g x ≤④，即()()0()0f x g x g x ⋅≤⎧⎨≠⎩，即()()0f x g x ⋅<或()0f x =．（2）简单高次不等式的解法：不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．前面介绍过的符号法则可以进行推广，进而可以研究高次不等式．解高次不等式的方法有两种：方法1：将高次不等式f (x )＞0(＜0)中的多项式f (x )分解成若干个不可约因式的乘积，根据符号法则等价转化为两个或多个不等式（组）即可求解．但应注意：原不等式的解集是各不等式（组）解集的并集，且次数较大时，此种方法比较烦琐．方法2：穿针引线法：①将不等式化为标准形式，右端为0，左端为一次因式（因式中x 的系数为正）或二次不可约因式的乘积；②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过（奇过偶不过）；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号即可写出解集．例题解析（1）求不等式032≥-+x x 的解集 （2）求不等式3223x x -≥+的解集（3）求不等式221x x 的解集（4）求不等式()()0236522≤++--x x x x 的解集3、恒成立与有解问题一元二次不等式的恒成立问题，即可以看成一个函数()x f y =的图象与x 轴的位置关系问题，若是不等式()0>x f 恒成立，即函数图象恒在x 轴上方，且与x 轴无交点，同理可以得到其他类似情形。
暑假衔接班新高一数学教案25次课(5次复习-20次预习共87页)
暑假衔接班新高一数学教案25次课(5次复习-20次预习共87页)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN1840年，争取成为选举人了，失败了；1843年，参加国会大选落选了；1846年，再次参加国会大选 这次当选了！前往华盛顿特区，表现可圈可点；1848年，寻求国会议员连任失败了！1849年，想在自己的州内担任土地局长的工作，被拒绝了！1854年，竞选美国参议员，落选了；1856年，在共和党的全国代表大会上争取副总统的提名，得票不到一百张；1858年，再度竞选美国参议员一一再度落败；1860年，当选美国总统。
评语：此路艰辛而泥泞。
我一只脚滑了一下，另一只脚也因而站不稳；但我缓口气，告诉自己，“这不过是滑一跤，并不是死去而爬不起来。
” ——林肯在竞选参议员落败后如是说。
二、【基础知识梳理】 1.一次函数的定义一次函数：若两个变量x 、y 间的关系式可以表示成b kx y +=（k 、b 为常数，0≠k ）的形式，称y 是x 的一次函数.正比例函数：形如kx y =（0≠k ）的函数，称y 是x 的正比例函数，此时也可说y 与x 成正比例，正比例函数是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数.2.求一次函数的解析式关键：确定一次函数b kx y +=中的字母k 与b 的值. 步骤：1、设一次函数表达式2、将x ，y 的对应值或点的坐标代入表达式3、解关于系数的方程或方程组4、将所求的待定系数代入所设函数表达式中 3.一次函数的图象与性质y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）当k ＞0时，y 的值随x 的值增大而增大； 当k ＜0时，y 的值随x 值的增大而减小．直线y=kx ＋b(k 、b 为常数，k ≠0）时在坐标平面内的位置与k 的关系． ①0,0>>b k 直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②0,0<>b k 直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③0,0><b k 直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④0,0><b k 直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）； 4.平移直线11b x k y +=与直线22b x k y +=的位置关系：两直线平行⇔21k k =. 平移规律：左加右减，上加又减.5.一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组 ①一次函数与一元一次方程：一般地将0=x 或0=y 代入y= kx+ b 中解一元一次方程可求求直线与坐标轴的交点坐标。
高中数学 暑假新高一数学衔接讲义含初中高中部分
第1讲数与式1910+⨯的正整数n ，有1(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲绝对值不等式与无理式不等式第5讲集合的基本概念}6x<．N*．例5.设集合}{12A x x =<<，}{B x x a =<，且A B ⊆，则实数a 的范围是（ ） .2A a ≥ B.2a > C.1a > D.1a ≤变式：若A=｛ｘ｜ｘ2－３ｘ＋２＝０｝，B=｛ｘ｜ｘ2－a ｘ＋a －１＝０｝，且Ｂ⊆Ａ，则a 的值为___ ___【典型例题—2】韦恩图：【内容概述】用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图。
例6. 求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示．A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝，B ＝｛x ｜x 是菱形｝，C ＝｛x ｜x 是矩形｝，D ＝｛x ｜x 是正方形｝．【典型例题—3】集合相等：设集合A={x|x 2-1=0}，B ={-1,1}，那么这两个集合会有什么关系呢？【概括】集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等， 即：A=B例7.判断集合{}2A x x ==与集合{}240B x x =-=的关系．例8.判断集合A 与B 是否相等？(1) A={0}，B= ∅；(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z } ；(3) A={x| x=2m-1 ,m ∈Z }，B={x| x=2m+1 ,m ∈Z }．变式：已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值．【典型例题—4】真子集：【内容概述】如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集．记作B A (或A B)， 读作“A 真包含B ”（或“B 真包含于A ”）．[不包含本身的子集叫做真子集] 对于集合A 、B 、C ，如果AB ，BC ，则A C ． 例9.选用适当的符号“⊂≠”或“”填空：(1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x| |x|=2}； (3){1} _∅． 例10.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集变式：已知集}{2230A x x x =--=，}{10B x ax =-= 若Ｂ⊂≠Ａ，求a 的值所组成的集合Ｍ．【典型例题—5】空集【内容概述】1、我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅2、空集是任何集合的子集。
暑假衔接班讲义 高中数学
（ ）
A．命题“若 x2 － 3x － 4 ＝ 0，则 x ＝ 4”的逆否命题为“若 x ≠ 4，则 x2 － 3x －
4 ≠ 0”
B．“x ＝ 4”是“x2 － 3x － 4 ＝ 0”的充分条件
C．命题“若 m>0，则方程 x2 ＋ x － m ＝ 0 有实根”的逆命题为真命题
D．命题“若 m2 ＋ n2 ＝ 0，则 m ＝ 0 且 n ＝ 0”的否命题是“若 m2 ＋ n2 ≠ 0，则 m ≠ 0 或 n ≠ 0”
（） D．③④
例4
命题“若 x，y 都是偶数，则 x ＋ y 也是偶数”的逆否命题是 A．若 x ＋ y 是偶数，则 x 与 y 不都是偶数
B．若 x ＋ y 是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
C．若 x ＋ y 不是偶数，则 x 与 y 不都是偶数
D．若 x ＋ y 不是偶数，则 x 与 y 都不是偶数
（ ）
第二讲 常用逻辑用语 11
例7
对于命题“任何实数的平方都是非负的”，下列叙述正确的是
A．是全称命题
B．是存在性命题
（）
C．是假命题
D．是“若 p 则 q”形式的命题
例8
设 a, b 是实数，则“a > b”是“a2 > b2”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
A．{0,2}
B．{1,2}
C．{0}
D．{ － 2，－ 1,0,1,2}
第一讲 集合的概念与运算 5
例 8 设 集 合 A ＝ {x| － 1 ≤ x<2}，B ＝ {x|x<a}， 若 A ∩ B ≠ Ø， 则 a 的 取 值 范 围 是 （ ）
A．－ 1<a ≤ 2
高一数学暑假复习资料20讲(精选.)
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方便更改课题1函数及其表示一、课时目标1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用． 二、主要知识点 1．函数(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射． (2)函数的三要素： ． (3)函数的表示法： ．(4)两个函数只有当 都分别相同时，这两个函数才相同． 2．分段函数在一个函数的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数． 三、经典例题题型一 函数与映射的概念【例1】 下列对应是否是从集合A 到B 的映射，能否构成函数？①A ＝N ，B ＝Q ，f ：a →b ＝1a ＋1； ②A ＝{x |x ＝n ，n ∈N *}，B ＝{y |y ＝1n ，n ∈N *}，f ：x →y ＝1a；③A ＝{x |x ≥0，x ∈R }，B ＝R ，f ：x →y ，y 2＝x ；④A ＝{平面M 内的矩形}，B ＝{平面M 内的圆}，f ：作矩形的外接圆．【探究1】 (1)映射只要求第一个集合A 中的每个元素在第二个集合B 中有且只有一个元素与之对应；至于B 中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．(2)函数是特殊的映射：当映射f ：A →B 中的A 、B 为非空数集时，即成为函数．(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时 【变式1】 (1)集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |0≤y ≤2}，下列不表示从A 到B 的函数的是( )A ．f ：x →y ＝12xB ．f ：x →y ＝13xC ．f ：x →y ＝23xD ．f ：x →y ＝x(2)设a 在映射f 下的象为2a＋a ，则20在映射f 下的原象为________【例2】 以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f 1：y ＝xx；f 2：y ＝1.(2)f 1：y ＝|x |；f 2：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，－x ，x >0，x <0.(3)f 1：y ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≤1，2， 1<x <2，3， x ≥2.f 2：x x ≤11<x <2 x ≥2y123(4)f 1：y ＝2x ；f 2：如图所示．【探究2】 (1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同．(2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，是相同函数．【变式2】 下列各对函数中，表示同一函数的是( )A ．f (x )＝lg x 2，g (x )＝2lg x B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1) C ．f (u )＝1＋u1－u，g (v )＝1＋v1－vD ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2题型二 函数的解析式【例3】 求下列函数的解析式：(1)已知f (x )是一次函数，并且f [f (x )]＝4x ＋3，求f (x )； (2)已知f (2x ＋1)＝4x 2＋8x ＋3，求f (x )； (3)已知f (x ＋1x )＝x 2＋1x2－3，求f (x )；(4)已知f (x )－2f (1x)＝3x ＋2，求f (x )．【探究3】 函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法． (3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(4)方程思想：已知关于f (x )与f (1x)或f (－x )等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【变式3】 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式．(2)已知f (x －2)＝2x 2－9x ＋13，求f (x )的解析式．(3)若函数f (x )满足f (x )＋2f (1－x )＝x ，则f (x )的解析式为____．题型三 分段函数与复合函数【例4】 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x ∈－∞，0，x 2，x ∈[0，＋∞.g (x )＝x ＋1，求：(1)g [f (x )]； (2)f [g (x )]．探究4 分段函数、复合函数是高考热点，分段函数体现在不同定义域的子集上，对应法则不同，因此注意选择法则，而复合函数是把内层函数的函数值作为外层函数的自变量，因此要注意复合函数定义域的变化．【变式4】 (1)(2013·北京)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －4x ≤4，－log 2x ＋1x >4，若f (a )＝18，则f [f (a ＋6)]＝________.题型四 抽象函数【例5】 已知偶函数f (x )，对任意的x 1，x 2∈R 恒有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)＋2x 1x 2＋1，则函数f (x )的解析式为________．【探究5】 抽象函数问题的处理一般有两种途径：(1)看其性质符合哪类具体函数形式，用具体函数代替抽象解决问题． (2)利用特殊值代入寻求规律和解法．【变式5】 设f (x )是R 上的函数，且f (0)＝1，对任意x ，y ∈R 恒有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)，求f (x )的表达式．四、本课总结1．映射问题允许多对一，但不允许一对多！换句话说就是允许三石一鸟，但不允许一石三鸟！2．函数问题定义域优先！3．抽象函数不要怕，赋值方法解决它！ 4．分段函数分段算，然后并到一起保平安． 五、课堂作业1．已知f (lgx )＝1x，则f (1)＝________.2．电信资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3 min 收费0.2 元；超过3 min以后，每增加1 min 收费0.1 元，不足1 min 按1 min 计费，则通话收费s (元)与通话时间t (min)的函数图像可表示为图中( )3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，－x ，x >1，若f (x )＝2，则x 等于( )A ．log 32B ．－2C ．log 32或－2D ．24．已知集合M ＝{－1,1,2,4}，N ＝{0,1,2}，给出下列四个对应法则：①y ＝x 2，②y ＝x ＋1，③y ＝2x，④y ＝log 2|x |，其中能构成从M 到N 的函数的是________． 5．已知f (x －1x )＝x 2＋1x2，则f (3)＝______.6．如图所示，函数f (x )的图像是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝________.课题2函数的定义域与值域一、课时目标1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． 2．了解简单的分段函数，并能简单应用．二、主要知识点1．函数的定义域(1)求定义域的步骤：①写出使函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式(组)；③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) (2)基本初等函数的定义域： ①整式函数的定义域为 . ②分式函数中分母 . ③偶次根式函数被开方式 . ④一次函数、二次函数的定义域均为 . ⑤函数f (x )＝x 0的定义域为 ． ⑥指数函数的定义域为 . 对数函数的定义域为 ． 2．函数的值域基本初等函数的值域：(1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是 .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为 ；当a <0时，值域为 ．(3)y ＝k x(k ≠0)的值域是 ． (4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是 ． (5)y ＝x log a (a >0且a ≠1)的值域是 .三、经典例题题型一函数的定义域【例1】(1)函数y＝1log0.5x－1的定义域为________．(2)函数y＝1log a x－1(a>0且a≠1)的定义域为________．(3)函数f(x)＝x＋2x2lg|x|－x的定义域为________．【探究1】(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是基本代数式的意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义等．(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题．在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值．【变式1】求函数y＝25－x2＋lgcosx的定义域．【例2】(1)已知y＝f(x)的定义域为[1,2]，求y＝f(3x－1)的定义域．(2)已知y＝f(log2x)的定义域为[1,2]，求y＝f(x)的定义域．【探究2】(1)若已知y＝f(x)的定义域为[a，b]，则y＝f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出．(2)若已知y＝f[g(x)]的定义域为[a，b]，则y＝f(x)的定义域即为g(x)的值域．【变式2】(1)(2013·大纲全国)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为________．(2)若函数f (2x)的定义域是[－1,1]，求f (log 2x )的定义域．题型二 函数的值域【例3】 求下列函数的值域：(1)y ＝1－x 21＋x 2； (2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x ＋1x ＋1；(4)y ＝x －1－2x ； (5)y ＝x ＋4－x 2； (6)y ＝|x ＋1|＋|x －2|.【探究3】 求函数值域的一般方法有：①分离常数法；②反解法；③配方法；④不等式法；⑤单调性法；⑥换元法． 【变式3】(1)函数的值域为( )A ．(－∞，12]B ．[12，1]C ．[12，1)D ．[12，＋∞)(2)函数y ＝2－sin x2＋sin x的值域是________．(3)函数y ＝x 2＋x ＋1x ＋1的值域为________．题型三 函数定义域与值域的应用【例4】 已知函数f (x )＝lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]．(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为R ，求实数a 的取值范围．【探究4】 已知值域求参数的值或范围是值域应用中的一类比较典型的题目．【变式4】 已知函数f (x )＝x 2－4ax ＋2a ＋6，x ∈R .(1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数的值域为非负数集，求函数f (a )＝2－a |a ＋3|的值域．四、本课总结求函数的值域与最值没有通性通法，只能根据函数解析式的结构特征来选择对应的方法求解，因此，对函数解析式结构特征的分析是十分重要的．常见函数解析式的结构模型与对应求解方法可归纳为：1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)及二次型函数y ＝a [f (x )]2＋b [f (x )]＋c (a ≠0)可用换元法．2．形如y ＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1a 2x 2＋b 2x ＋c 2(其中a 1，a 2不全为0且a 2x 2＋b 2x ＋c 2≠0)的函数可用判别式法．3．形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a 、b 、c 、d 为常数，ac ≠0)的函数，可用换元法或配方法．4．形如y ＝ax ＋b cx ＋d (c ≠0)或y ＝2x－12x ＋1或y ＝sin x －1sin x ＋2的函数，可用反函数法或分离常数法．5．形如y ＝x ＋kx(k >0，x >0)的函数可用图像法或均值不等式法．6．对于分段函数或含有绝对值符号的函数(如y ＝|x －1|＋|x ＋4|)可用分段求值域(最值)或数形结合法．7．定义在闭区间上的连续函数可用导数法求函数的最值，其解题程序为第一步求导，第二步求出极值及端点函数值，第三步求最大、最小值．五、课堂作业1．函数的定义域是( )A ．(－3，＋∞)B ．[－2，＋∞)C ．(－3，－2)D ．(－∞，－2]2．(2013·山东)函数f (x )＝1－2x＋1x ＋3的定义域为( )A ．(－3,0]B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0]D ．(－∞，－3)∪(－3,1]3．对函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)作x ＝h (t )的代换，则总不改变函数f (x )的值域的代换是( )A ．h (t )＝10tB ．h (t )＝t 2C ．h (t )＝sintD ．h (t )＝log 2t4．函数y ＝4x 2－3x －43|x ＋1|－2的定义域为________．5．函数y ＝10x ＋10－x10x －10－x 的值域为________．课题3 函数的单调性和最值一、课时目标1．理解函数的单调性及其几何意义． 2．会运用函数图像理解和研究函数的性质．3．会求简单函数的值域，理解最大(小)值及几何意义．二、主要知识点1．单调性定义(1)单调性定义：给定区间D上的函数y＝f(x)，若对于∈D，当x1＜x2时，都有f(x1) f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数，否则为区间D上的减函数．单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的子区间．(2)证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以从导数入手．①利用定义证明单调性的一般步骤是a.∀x1，x2∈D，且，b.计算并判断符号，c.结论．②设y＝f(x)在某区间内可导，若f′(x) 0，则f(x)为增函数，若f′(x) 0，则f(x)为减函数．2．与单调性有关的结论(1)若f(x)，g(x)均为某区间上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)为某区间上的函数．(2)若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为函数．(3)y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则y＝f[g(x)]是．若f(x)与g(x)的单调性相反，则y＝f[g(x)]是．(4)奇函数在对称区间上的单调性，偶函数在对称区间上的单调性．(5)若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)的最大值为，最小值为，值域为．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意x∈I，都有，②存在x0∈I，使得，那么称M是函数y＝f(x)的最大值；类比定义y＝f(x)的最小值．三、经典例题题型一单调性的判断与证明【例1】判断函数f(x)＝axx2－1(a≠0)在区间(－1,1)上的单调性．【探究1】(1)判断函数的单调性有三种方法：①图像法；②利用已知函数的单调性；③定义法．(2)证明函数的单调性有两种方法：①定义法；②导数法．【变式1】设函数f(x)＝2x＋a·2－x－1(a为实数)．若a<0，用函数单调性定义证明：y ＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．题型二求函数的单调区间例2 求下列函数的单调区间．(－x2－2x＋3)；(1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3； (2)f(x)＝log12（4）y＝3x2－6ln x.【探究2】求函数的单调区间与确定单调性的方法一致．(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间．4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．(5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：①求函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”．(6)求函数单调区间，定义域优先．【变式1】求下列函数的单调区间．(1)f(x)＝13－2x－x2； (2)f(x)＝log12(－x2＋4x＋5)； (3)y＝x－ln(x－1)．题型三利用单调性求最值【例3】求函数f(x)＝x－1x在[1,3]上的最值．【探究3】 (1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图像不易作出时，单调性几乎成为首选方法．(2)函数的最值与单调性的关系若函数在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )； 若函数在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．【变式3】 已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．题型四 单调性的应用【例4】 (1)已知函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (x 2＋2x ＋3)<f (6)的x 的取值范围为________．(2)已知函数y ＝a log (2－ax )在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是________． 【探究4】 已知单调性求参数值或利用单调性解不等式是高考中热点，主要体现对性质的应用．【变式4】 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－a x ＋1，x <1，a x，x ≥1是R 上的增函数，那么a 的取值范围是________．(2)已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，且在其上为增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (2)＝1，试解不等式f (x )＋f (x －2)＜3.四、本课总结1．单调区间是定义域的子区间，求单调区间、定义域优先． 2．熟记各基本初等函数的单调区间，是求单调区间的前提、基础．3．对于对勾函数y ＝x ＋ax(a >0)，单调增区间：(－∞，－a ]，[a ，＋∞)；单调减区间：[－a ，0)，(0，a ]．4．函数的单调增、减区间要分开写；两个(或两个以上)同一类单调区间之间用“，”隔开，不能用“∪”符号连接．5．若f (x )具有对称轴x ＝a ，则在x ＝a 两侧的对称区间上f (x )具有相反的单调性； 若f (x )具有对称中心(a ，b )，则在x ＝a 两侧的对称区间上f (x )具有相同的单调性． 6．函数图像的平移不影响单调性；其中左右平移能改变单调区间，上下平移不改变单调区间．自助专题 求函数最值的常用方法1．配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如F (x )＝af 2(x )＋bf (x )＋c 的函数的最值问题，可以考虑用配方法．【例1】 已知函数y ＝(e x－a )2＋(e －x－a )2(a ∈R ，a ≠0)，求函数y 的最小值．2.换元法【例2】 (1)函数f (x )＝x ＋21－x 的最大值为________．(2)求函数y ＝x －4－x 2的值域．3.不等式法【例3】 设x ，y ，z 为正实数，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为________．4.单调性法【例4】 设a >1，函数f (x )＝x log a 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12，则a ＝________. 5.平方法【例5】 已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则m M的值为( )A.14 B.12 C.22D.326.数形结合法【例7】 对a ，b ∈R ，记max|a ，b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max||x ＋1|，|x －2||(x∈R )的最小值是________．五、课堂作业1．下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( )A ．y ＝1－x 2B ．y ＝x 2＋xC ．y ＝－－xD ．y ＝xx －12．若f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a <－3B ．a ≤－3C ．a >－3D ．a ≥－33．若函数f (x )是R 上的增函数，对实数a 、b ，若a ＋b >0，则有( )A ．f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b )B ．f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )C ．f (a )－f (b )>f (－a )－f (－b )D ．f (a )－f (b )<f (－a )－f (－b )4．函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( ) A ．(3，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，－1)5．给出下列命题①y ＝1x在定义域内为减函数； ②y ＝(x －1)2在(0，＋∞)上是增函数；③y ＝－1x在(－∞，0)上为增函数；④y ＝kx 不是增函数就是减函数．其中错误命题的个数有________．课题4函数的奇偶性一、课时目标1.了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性．2. 掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并熟练地利用对称性解决函数的综合问题．二、主要知识点1．奇函数、偶函数、奇偶性对于函数f (x )，其定义域关于原点对称：(1)如果对于函数定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就是奇函数； (2)如果对于函数定义域内任意一个x ，都有 ，那么函数f (x )就是偶函数； (3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性． 2．证明函数奇偶性的方法步骤(1)确定函数定义域关于 对称；(2)判定f (－x )＝－f (x )(或f (－x )＝f (x ))，从而证得函数是奇(偶)函数．3．奇偶函数的性质(1)奇函数图像关于 对称，偶函数图像关于 对称； (2)若奇函数f (x )在x ＝0处有意义，则f (0)＝ ；(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性 ； 若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性 ． (4)若函数f (x )为偶函数，则f (x )＝f (|x |)，反之也成立． 4．一些重要类型的奇偶函数(1)函数f (x )＝a x＋a －x为 函数，函数f (x )＝a x －a －x为 函数；(2)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x －1a 2x ＋1(a >0且a ≠1)为 函数；(3)函数f (x )＝alog 1－x1＋x为 函数； (4)函数f (x )＝a log (x ＋x 2＋1)为 函数． 5．周期函数若f (x )对于定义域中任意x 均有 (T 为不等于0的常数)，则f (x )为周期函数．6．函数的对称性若f (x )对于定义域中任意x ，均有f (x )＝f (2a －x )，或f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数f (x )关于 对称．三、经典例题题型一 ：判断函数的奇偶性【例1】 判断下列函数的奇偶性，并证明．(1)f (x )＝x 3＋x ；(2)f (x )＝x 3＋x ＋1；(3)f (x )＝x 2－|x |＋1 x ∈[－1,4]；(4)f (x )＝|x ＋1|－|x －1|；(5)f (x )＝1－x2|x ＋2|－2；(6)f (x )＝(x －1)1＋x1－xx ∈(－1,1)．【探究1】 判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f (－x )是否等于±f (x )．(2)图像法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y 轴)对称．(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域) 【变式】1 判断下列函数的奇偶性．(1)f (x )＝ln 2－x2＋x；(2)f (x )＝1a x－1＋12(a >0，且a ≠1)；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x x ≥0，x 2＋2xx ＜0.题型二 奇偶性的应用【例2】 (1)已知函数f (x )为奇函数且定义域为R ，x ＞0时，f (x )＝x ＋1，f (x )的解析式为__________________________．(2)f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且x ∈[0,1)时f (x )为增函数，则不等式f (x )＋f (x －12)＜0的解集为__________．(3)函数f (x ＋1)为偶函数，则函数f (x )的图像的对称轴方程为__________． 【探究2】 奇偶函数的性质主要体现在：(1)若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )； 若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )． (2)奇偶函数的对称性．(3)奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性．【变式2】 (1)若函数f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，满足f (π)<f (a )的实数a 的取值范围是________．(2)函数y ＝f (x －2)为奇函数，则函数y ＝f (x )的图像的对称中心为__________．题型三函数的周期性【例3】设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.(1)证明：函数f(x)为周期函数；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 005,2 005]上的根的个数，并证明你的结论．【探究3】(1)证明函数是周期函数应紧扣周期函数的定义．(2)若函数f(x)对任意x满足f(x＋a)＝f(x＋b)，则f(x)为周期函数，若函数f(x)对任意x满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数图像为轴对称图形．【变式3】(1)f(x)是定义域为R的奇函数，且图像关于直线x＝1对称，试判断f(x)的周期性．(2)f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R均满足f(x)＝－1f x＋1，试判断函数f(x)的周期性．【例4】(2014·衡水中学调研卷)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图像关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)的值．【变式4】已知f(x)为偶函数，且f(－1－x)＝f(1－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝－x＋1，求x∈[5,7]时，f(x)的解析式．四、本课总结常用结论记心中，快速解题特轻松：1．(1)若f(x)定义域不对称，则f(x)不具有奇偶性．(2)若f(x)为奇函数，且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(3)若f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(x)．2．(1)任意一个定义域关于零点对称的函数f (x )均可写成一个奇函数g (x )与一个偶函数h (x )和的形式，则g (x )＝f x －f －x2，h (x )＝f x ＋f －x2.(2)若函数y ＝f (x )的定义域关于原点对称，则f (x )＋f (－x )为偶函数，f (x )－f (－x )为奇函数，f (x )·f (－x )为偶函数．3．函数f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (2a ＋x )＝f (－x )⇔f (2a －x )＝f (x )．4．(1)若函数f (x )满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )周期T ＝2a . (2)若函数f (x )满足f (x ＋a )＝1f x，则f (x )周期T ＝2a .5．(1)若f (x )关于x ＝a ，x ＝b 都对称，且a <b ，则f (x )是周期函数且T ＝2(b －a )． (2)若f (x )关于(a,0)，(b,0)都对称，且a <b ，则f (x )是周期函数，且T ＝2(b －a )． (3)若f (x )关于(a,0)及x ＝b 都对称，且a <b ，则f (x )是周期函数，且T ＝4(b －a )．五、课堂作业1．(2012·天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A ．y ＝cos2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x－e －x2，x ∈R D ．y ＝x 3＋1，x ∈R2．若函数y ＝f (x )(x ∈R )是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y ＝f (x )图像上的是( )A ．(a ，－f (a ))B ．(－a ，－f (a ))C ．(－a ，－f (－a ))D ．(a ，f (－a ))3．已知f (x )为奇函数，当x >0，f (x )＝x (1＋x )，那么x <0，f (x )等于( )A ．－x (1－x )B ．x (1－x )C ．－x (1＋x )D ．x (1＋x )4．函数f (x )是定义域为R 的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数5．(2013·重庆)已知函数f (x )＝ax 3＋bsinx ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg2))＝( )A．－5 B．－1C．3 D．46．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________.课题5 二次函数一、课时目标1．理解并掌握二次函数的定义、图像及性质．2．会求二次函数在闭区间上的最值．3．能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题．二、主要知识点1．二次函数的解析式的三种形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；对称轴方程是；顶点为．(2)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)；对称轴方程是；与x轴的交点为．(3)顶点式：y＝a(x－k)2＋h；对称轴方程是；顶点为．2．二次函数的单调性当a>0时，上为增函数；在上为减函数；当a<0时，与之相反．3．二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系(1)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标是方程的实根．(2)若x1，x2为f(x)＝0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1－x2|＝ .(3)当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0.4．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况(1)若－b2a ∈[m，n]，则f(x)max＝max{}f m，f n，f(x)min＝f(－b2a)．(2)若－b2a∉[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}．5．二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)实根的分布(1)方程有两个均小于常数k的不等实根的充要条件是 .(2)方程有两个均大于常数k的不等实根的充要条件是 .(3)方程有一个小于常数k和一个大于常数k的不等实根的充要条件是 .(4)方程有位于区间(k1，k2)内的两个不等实根的充要条件是 .(5)方程有两个不等实根x1<x2且k1<x1<k2<x2<k3的充要条件是 .(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的一个充分条件是.三、经典例题题型一二次函数的解析式【例1】已知二次函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝0，f(1)＝1，求f(x)的解析式．【探究1】 根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【变式1】已知二次函数图像的顶点是(－2，32)与x 轴的两个交点之间的距离为6，则这个二次函数的解析式为________．题型二 二次函数的值域和最值 【例2】 求下列函数的值域：(1)y ＝x 2＋4x －2，x ∈R ；(2)y ＝x 2＋4x －2，x ∈[－5,0]；(3)y ＝x 2＋4x －2，x ∈[－6，－3]；(4)y ＝x 2＋4x －2，x ∈[0,2]．【探究2】 配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F (x )＝af 2(x )＋bf (x )＋c 的函数的值域问题，均可使用配方法． 【变式2】 求下列函数的值域：（1）y ＝－x 2＋4x －1； (2)y ＝2－4x －x 2(0≤x ≤4)．【例3】 已知f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．【探究3】 (1)求二次函数f (x )在某区间[m ，n ]上的最值的关键是判断抛物线对称轴与区间[m ，n ]的位置关系，以便确定函数在该区间的单调性．本题中的对称轴为x ＝－a2，与区间[－2,2]的位置关系不确定，是造成分类讨论的原因．(2)二次函数在区间上的最值问题，可分成三类：①对称轴固定，区间固定；②对称轴变动，区间固定；③对称轴固定，区间变动．此类问题一般利用二次函数的图像及其单调性来考虑，对于后面两类问题，通常应分对称轴在区间内、左、右三种情况讨论． 【变式3】 已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在0≤x ≤1时有最大值2，求a 的值．题型三一元二次根的分布情况【例4】(1)已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，求实数m的取值范围．(2)已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不等正实根，求实数m的取值范围．(3)已知二次方程mx2＋(2m－3)x＋4＝0只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围．【探究4】一元二次方程根的分布的求法：(1)数形结合法．(2)韦达定理法．(3)求根公式法．具体问题中用哪种方法要视其过程是否复杂而定．【变式4】(1)已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围．(2)关于x的方程(1－m2)x2＋2mx－1＝0有两个根，一个小于0，一个大于1，求m的范围．四、本课总结1．求二次函数的解析式常用待定系数法(如例1)．2．二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为y＝a(x＋m)2＋n的形式，得顶点(－m，n)和对称轴方程x＝－m，可分成三个类型．(1)顶点固定，区间也固定．(2)顶点含参数(即顶点变动)，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外．(3)顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数3．二次函数在闭区间上必定有最大值和最小值，它只能在区间的端点或二次函数的图像的顶点处取得．4．用数形结合法求根的分布问题一般需从三个方面考虑：①判别式；②区间端点函数值的正负；③对称轴x＝－b2a与区间端点的关系．五、课堂作业1．已知某二次函数的图像与函数y＝2x2的图像的形状一样，开口方向相反，且其顶点为(－1,3)，则此函数的解析式为( )A．y＝2(x－1)2＋3 B．y＝2(x＋1)2＋3C．y＝－2(x－1)2＋3 D．y＝－2(x＋1)2＋3 2．(2013·浙江)已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( ) A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝03．二次函数y＝x2－2(a＋b)x＋c2＋2ab的图像的顶点在x轴上，且a，b，c为△ABC的三边长，则△ABC为________．4．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像可能是( )5．已知二次函数f(x)图像的对称轴是x＝x0，它在区间[a，b]上的值域为[f(b)，f(a)]，则( )A．x0≥b B．x0≤aC．x0∈(a，b) D．x0∉(a，b)6．对一切实数x，若不等式x4＋(a－1)x2＋1≥0恒成立，则a的取值范围是( ) A．a≥－1 B．a≥0C．a≤3 D．a≤1课题6 指数函数一、课时目标1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．2．了解指数函数的实际背景，理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图像的特征，知道指数函数是一重要的函数模型．二、主要知识点1．有理数幂的运算性质(1)a s·a s＝.(2)(a s)s＝.(3)(ab)r＝(其中a>0，b>0，r、s∈Q)．2．根式的运算性质(1)当n为奇数时，有na n＝；当n为偶数时，有na n＝ .(2)负数的偶次方根．(3)零的任何次方根．3．指数函数的概念、图像和性质(1)形如(a>0且a≠1)的函数叫做指数函数．(2)定义域为R，值域为．(3)当0<a<1时，y＝a x在定义域内是；当a>1时，y＝a x在定义域内是 (单调性)；y＝a x的图像恒过定点．(4)当0<a<1时，若x>0，则a x∈；若x<0，则a x∈；当a>1时，若x>0，则a x∈；若x<0，则a x∈．三、经典例题题型一指数式的运算例1 计算：【探究1】 化简或计算指数式，要注意以下几点：(1)化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时要注意运算顺序问题．(2)计算结果的形式：若题目以根式形式给出，则结果用根式的形式表示；若题目以分数指数幂形式给出，则结果用分数指数幂的形式给出．(3)结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． (4)在条件求值问题中，一般先化简变形，创造条件简化运算而后再代入求值． 【变式1】题型二 指数函数的图像及应用 【例2】 (1)已知函数y ＝(13)|x ＋1|.①作出图像；②由图像指出其单调区间；③由图像指出当x 取什么值时有最值．、【探究2】利用指数函数的图像判断单调性、求最值、判断方程的解的个数等问题是学生应熟练掌握的基本功．【变式2】(1)(2012·四川)函数y＝a x－a(a>0，且a≠1)的图像可能是( )(2)k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？题型三指数函数的性质及运用【探究3】 (1)研究函数的值域、单调区间应先求定义域．(2)求复合函数y ＝f [g (x )]的值域应先求内层u ＝g (x )的取值范围，再根据u 的取值范围去求y ＝f (u )的取值范围，即为所求．(3)求复合函数的单调区间应首先分清该复合函数是由哪几个基本函数复合而得． 【变式3】求下列函数的定义域与值域．【例4】 已知函数f (x )＝(12x －1＋12)x .(1)求函数的定义域；(2)讨论f (x )的奇偶性；(3)求证：f (x )>0.。
高一升二暑假数学讲义
循环结构
定义
由若干个依次执行的步 骤组成，这是任何一个算 法都离不开的基本结构
算法的流程根据条件是 否成立有不同的流向，条 件结构就是处理这种过 程的结构
从某处开始，按照一定的 条件反复执行某些步骤 的结构，反复执行的步骤 称为循环体
程序框图
3.算法语句
(1)输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能
∵8≤3 不成立，
∴进入第二次循环执行条件语句，此时 N＝8,8 不能被 3 整除，则 N＝8－1＝7.
∵7≤3 不成立，
∴进入第三次循环执行条件语句，此时 N＝7,7 不能被 3 整除，则 N＝7－1＝6.
∵6≤3 不成立，
∴进入第四次循环执行条件语句，此时 N＝6,6 能被 3 整除，则 N＝6÷3＝2.
2 第二次执行循环体：n＝1＋1＝2，x＝0＋2－1＝1，y＝2×1＝2，x2＋y2<36；
22 第三次执行循环体：n＝2＋1＝3，x＝1＋3－1＝3，y＝3×2＝6，满足 x2＋y2≥36，
222 故退出循环，输出 x＝3，y＝6，满足 y＝4x，故选 C.
2 思维升华 (1)高考对算法初步的考查主要是对程序框图含义的理解与运用，重点应放在读懂框图上，尤其是条件结构、 循环结构．特别要注意条件结构的条件，对于循环结构要搞清进入或退出循环的条件、循环的次数，是解题的关键． (2)解决程序框图问题要注意几个常用变量： ①计数变量：用来记录某个事件发生的次数，如 i＝i＋1. ②累加变量：用来计算数据之和，如 S＝S＋i. ③累乘变量：用来计算数据之积，如 p＝p×i.
故选 B.
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常为而不置，故为者常成；常行而不休，故行者常至。 (2)(2017·山东)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的 x 的值为 7，第二次输入的 x 的值为 9，则第一次、第
2020新版新高一暑期衔接数学讲义
新高一衔接教材数学新版高一暑期衔接数学课程第1讲数与式1910+⨯的正整数n ，有1(1)n n ++第2讲一元二次函数与二次不等式第3讲一元二次方程与韦达定理第4讲基本不等式【内容概述】基本不等式2a bab +≤1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.2、如果a,b 是正数，那么).""(2号时取当且仅当==≥+b a ab ba 变形： 有:a+b ≥ab 2；ab ≤22⎪⎭⎫⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.3、如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值42S .注：1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等” 4、常用不等式有：1）2222211a b a b ab a b++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； 2）a 、b 、c ∈R ，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； 3）若0,0a b m >>>，则b b ma a m+<+（糖水的浓度问题）。
变式1: 变式：（配凑项与系数） 1. 已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
2. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
3.（耐克函数型）求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。
4.（用耐克函数单调性）求函数2254x y x +=+的值域。
5.（条件不等式）1）若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .2）已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。
暑期新高一数学预科讲义
考点1：集合的概念1．⑴ 集合的含义：一些能够确定的不同的对象所构成的整体叫做集合．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）．如：现在我们班上的所有同学，构成了一个集合，其中每个同学都是这个集合中的一个元素． ⑵ 一般情况下，集合用英文大写字母,,,A B C 表示．元素用英文小写字母,,,a b c 表示； ⑶ 不含任何元素的集合叫做空集，记作∅．2．元素与集合的关系：如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈； 如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于A ，记作a A ∉．3．某些常见的数集（数集即元素是数的集合）的写法：自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集N *N 或N + Z Q R练习1： 用∈，∉填空．①1-___N ；②3-___*N ；③12__Z ；④3.14___Q ；⑤5___Q ；⑥22-___R ；⑦π___R ；4．元素的性质①确定性：集合中的元素是确定的，不能模棱两可．②互异性：集合中的元素是互不相同的，相同的元素在集合中只能算作一个． ③无序性：集合中的元素是无次序关系的．1.1 集合的概念与表示第1讲集 合【例1】 ⑴ 若221x x +，，是一个集合中的三个元素，实数x 应满足什么条件？⑵设R x ∈，将对象x ，x -，2x ，33x -，44x -，24x 组成集合M ，则集合M 中元素最多时有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 ⑶下列叙述中正确的个数是（ ）①若a -∈Z ，则a ∈Z ；②若a -∉N ，则a ∈N ；③a ∈Z ，若a -∉N ，则a ∈N ；④a ∈Z ，若a ∈N ，则a -∉N ． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个考点2：集合的表示法——列举法与描述法5．集合的表示法⑴ 列举法：把集合的所有元素都列举出来或列出几个元素作为代表，其它元素用省略号表示，并写在大括号“{ }”内的表示集合的方法．例如：{12345}，，，，，{12345}，，，，，．【注意】列举法既可以表示有限集（集合中元素个数是有限多个的），也可以表示元素呈现一定规律的无限集，如不大于100的自然数，可以表示为{0123100}，，，，，，自然数集可以表示成{0123}，，，，．有了列举法，我们就很容易将一些语言翻译成集合语言，如方程260x x +-=的解集可以写成{23}-，；直线2y x =与直线2y x =的交点集合可以写成{(00)(24)}，，，．⑵ 描述法（又称特征性质描述法）：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，形如{|()}x A p x ∈，()p x 称为集合的特征性质，x 称为集合的代表元素．A 为x 的范围，有时也写为{|()}x p x x A ∈，． 例如：大于3的所有整数用描述法表示为{|3}x x ∈>Z ． 方程260x x +-=的实根用描述法表示为2{|60}x x x ∈+-=R ．【注意】①描述法给出了一个客观的标准，用{|}表示，竖线前面表示集合描述的是谁，竖线后面表示集合中描述的元素具有什么特点．如：{3000}x x 是山峰｜的高度在米以上；{|}x x 是人物角色是《红楼梦》中出现的人； {|}x x 是人是《西游记》中出现的人，老师讲到此处时，可以调节一下课堂气氛，问一下学生： 孙悟空在这个集合中吗？不在，他不是人；猪八戒在吗？不在，他也不是人．李世民在吗？在；天篷元帅在吗？……{|3}x x ∈R ≥，说明集合描述的是实数x ，这个实数具有大于等于3的特点． 若元素范围为R ，在不致发生误解时，x ∈R 也可以省略，直接写成{|3}x x ≥． 但对于集合{|3}x x ∈Z ≥，则x ∈Z 一定不能省略．②除了数集外，还有一类集合是点集，集合中的元素是点，竖线前面的代表元素为()x y ，．如：2{()|}x y y x x =∈R ，，，说明集合是点集，点()x y ，满足2y x =，故集合中的点在抛物线2y x =上，即此集合表示抛物线2y x =上所有的点．③描述法需要注意集合描述与字母选取无关，即{|2}x x >与{|2}y y >表示的是同一个集合．字母只是一个代号，是浮云，后面学到函数我们还会强调这一点．就相当于不管你怎么改名字，你还是你．练习2：将下列用描述法表示的集合用列举法表示出来：①2{|10}A x x =∈-=R ；②2{|10}B x x =∈-=Z ；③2{|10}C x x =∈-=N ；④22{()|0}D x y x y =+=，；⑤{()|1E x y y x ==-，，且2}y x =．练习3：用通俗的语言（即自然语言）描述下面集合表示的含义：①{|21}x x k k ∈=-∈R Z ，；②{|2}x x k k ∈=∈R Z ，；③21()|y x x y y x ⎧⎫=+⎧⎪⎪⎨⎨⎬=⎪⎪⎩⎩⎭，．【例2】 请指出以下几个集合间的区别，有等价集合的写出其等价集合（即给出集合的另一种写法）．2{|1}A x y x =∈=+R ，2{|1}B y y x =∈=+R ，2{()|1}C x y y x ==+，．【例3】 ⑴已知集合{1234}A =，，，，集合{()|}M a b a A b A a b A =∈∈+∈，，，，用列举法表示集合M =_________________．⑵已知集合2010|5M a a a *⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭N N ，，集合20102010|55N a a a *⎧⎫=∈∈⎨⎬--⎩⎭N N ，，则用列举法表示集合M =________，集合N =_______________．⑶集合{}|2A x x k k ==∈Z ，，{}|21B x x k k ==+∈Z ，，{}|41C x x k k ==+∈Z ，，又a A ∈，b B ∈，则有（ ）A ．a b A +∈B ．a b B +∈C ．a b C +∈D ．a b +不属于A ，B ，C 中任意1个【备选】 集合{}222(,,)432,,,A x y z x y z xy y z x y z =+++=++∈R 中有（ ）个元素．A ．0B ．1C ．2D ．无数列举法与描述法是我们最常用，也是最普遍的两种集合的表示方法．前者简单直观，一个对象是否在其中一目了然，但只能表示一些比较简单的集合．后者具有普遍的意义，有时解读起来并不容易，高考压轴题有些具有集合背景，首先就需要对一个由描述法给出的集合进行解读，我们会在秋季时再看．除了这两种表示方法之后，还有两种集合的特殊的表示方法，一种是在后面讲的集合的相互关系中常常遇到，称为图示法，也叫维恩图．还有一种方法—区间表示法可以表示一类特殊的连续数集．考点3：集合的表示法——图示法与区间表示法⑶ 图示法：用平面内的一个封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域通常叫做维恩（Venn ）图．图示法常用在表示集合的相互关系与运算中．见板块1.2与板块1.3．⑷ 区间表示法：设a b ∈R ，，且a b <，定义 名称 符号 数轴表示{|}x a x b ≤≤ 闭区间 []a b ， x ba{|}x a x b << 开区间 ()a b ， a b x {|}x a x b <≤ 左闭右开区间 [)a b ， a b x {|}x a x b <≤ 左开右闭区间(]a b ， a b x {|}x x a ≥ 一类特殊的区间[)a +∞， ax{|}x x a ≤(]a -∞，ax{|}x x a > ()a +∞， ax{|}x x a <()a -∞，ax实数a 与b 都叫做相应区间的端点；“+∞”读作“正无穷大”， “-∞”读作“负无穷大”． 实数集R 也可以用()-∞+∞，表示．练习4：将下面的集合表示成区间：⑴{|12}x x -<≤；⑵{|240}x x ->；⑵{|420}x x -≥．【例4】 把下列集合表示成区间⑴{|1}x x ≤；⑵2{|2}y y x x =-+；⑶2{|22111}y y x x x =++-<<，．**************************************************************************************** 这里补充一个初高衔接的内容：配方法（学生版不出现，课件出现，以后同）配方法是针对二次函数或者换元后是二次函数的函数求取值范围或最大最小值常用的一种方法，是高中需要熟练掌握的一种方法．【例题】求出下列函数的最大值、最小值和对应的x 值．⑴2241y x x =+-；⑵2261y x x =-++；⑶2241y x x =+-，22x -≤≤；⑷2261y x x =-++，12x -≤≤．【练习】求下列函数的最值：⑴221y x x =++，11x -≤≤；⑵227y x x =---，2x -≤≤1．****************************************************************************************考点4：子集、真子集与集合相等1．子集：对于两个集合A B ，，如果集合A中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作 “A 包含于B ”（或“B 包含A ”）．规定：∅是任意集合的子集．如果集合A 中存在着不是集合B 中的元素，那么集合A 不包含于B ，记作A B 或B A ．2．真子集：如果集合A B ⊆，且存在元素x B ∈，但x A ∉，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B （或B A ），读作A 真包含于B （B 真包含A ）． 规定：∅是任意非空集合的真子集．练习5：下列四个命题中正确的有_______．①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③空集的元素个数为零； ④任何一个集合必有两个或两个以上的子集．3．集合相等：如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，我们说集合A 与集合B 相等，记作A =B ．【例5】 ⑴ 下面关系式中，正确的是_______．①0{}∈∅；②{}∅∅；③{0}∅；④{}a a ⊆；⑤{}{}a a ；⑥{}a ∅∈．⑵用=≠，，，填空：①{1}______2{|320}x x x -+=；②{12}，______2{|320}x x x -+= ③∅______2{|20}x x ∈+=R ；④{|32}x x +>______{|10}y y ->；1.2集合的关系⑤2{()|1}x y y x =+，_____2{|1}y y x =+；⑥2{|1}x y x =+_____2{|1}y y x =+； ⑦{(2,3)}______{(3,2)}；⑧{23}，______{(23)}，．考点5：交集、并集与补集交集的引入直观上，现在你有两个集合，这两个集合的公共部分就是一个新的集合，这就是交运算．例：{我们班所有男生}和{我们班所有戴眼镜的同学}，它们的公共部分就是{我们班所有戴眼镜的男生}，这是一个新的集合，这个过程就是交的运算过程．而{我们班所有的男生}和{我们班所有的女生}，它们的公共部分没有任何元素，就是空集．A 与B 的交集用A B 表示．给一些数学上的例子： 例：⑴{123}{234}A B ==，，，，，，则{23}A B =，；⑵A B ==Z N ，，则A B =N ； ⑶{|2}A x x k k ==∈Z ，，{|21}B x x k k ==+∈Z ，，则A B =∅；交集的严格数学定义即：{}|A B x x A x B =∈∈且．我们可以注意到AA A A =∅=∅，，若AB ⊆，则A B A =．1．交集：对于两个给定的集合A 、B ，属于A 又属于B 的所有元素构成的集合叫做A 、B 的交集，记作“A B ”．集合A B 用符号语言表示为：{}|A B x x A x B =∈∈且，用维恩（Venn ）图表示为：A B =∅ A B B = AB 为其公共部分并集的引入直观上，现在你有两个集合，你把两个集合中的元素放到一块，就得到一个新的集合．例：{我们班所有男生}和{我们班所有女生}两个集合放一块，就是{我们班所有同学}，这个过程就叫做并的运算过程．A 与B 的并集用A B 表示．可以给一些数学上的小例子： 例：⑴{123}{456}A B ==，，，，，，则{123456}A B =，，，，，；⑵{|2}A x x k k ==∈Z ，表示所有偶数，{|21}B x x k k ==+∈Z ，表示所有奇数，则A B =Z 为所有整数； ⑶{|41}A x x k k ==+∈Z ，，{|43}B x x k k ==+∈Z ，，则A B ={|21}x x k k =+∈Z ，．在并的运算过程中，注意元素相同的只需要考虑一个就行，不能重复出现，这是由集合中元素的1.3集合的运算BA互异性决定的．例{123}{234}A B ==，，，，，时，{1234}A B =，，，；A B ==Z N ，，则A B =Z ； 我们可以注意到A A A A A =∅=，，若A B ⊆，则A B B =． 有了并的运算后，很多写法就非常简单了，如2320x x -+>的解集可以写成{|1x x <或2}x >，可以用区间与并集符号写成(1)(2)-∞+∞，，．2．并集：对于两个给定的集合A 、B ，由两个集合所有元素构成的集合叫做A 与B 的并集，记作“A B ”．集合A B 用符号语言表示为{}|A B x x A x B =∈∈或;用维恩（Venn ）图表示如下： 或 或补集的引入一般情况下，把我们所描述对象的所有全体当作一个对象，这个对象就是全集．把在全集U 中不属于A 的那些元素构成的集合，叫到A 在U 中的补集，直观上，就是从U 中把A 挖掉剩下的部分．如：U ={我们班同学}，A ={我们班男生}，A 的补集就是{我们班女生}；U ={我们班人}，A ={我们班同学}，A 的补集就是{老师}．A 在U 中的补集记为U A ．例：{12345}U =，，，，，{123}A =，，，则{45}UA =，；ZN 就是所有的负整数；R Q 就是所有的无理数；{|21}A x x k k ==+∈Z ，，则{|2}A x x k k ==∈ZZ ，；[55]A =-，，[01]B =，，[50)(15]A B =-，，．3．补集： ①全集：如果所研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，常用U 表示． ②补集：如果给定集合A 是全集U 的一个子集，由U 中不属于A 的所有元素构成的集合，叫做A 在U 中的补集，记作“U A ”．读作“A 在U 中的补集”．A 在U 中的补集的数学表达式是{}|UA x x U x A =∈∉，且．用维恩（Venn ）图表示：【例题】用集合的运算表示下面阴影部分的集合．⑴UBA ⑵A BU⑶A BU【例6】 ⑴已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合UAB 等于（ ）A ．}{|24x x -≤≤B ．{}|34x x x 或≤≥C ．{}|21x x -<-≤D ．{}|13x x -≤≤⑵设集合{}21|2|12A x x B x x ⎧⎫=-<<=⎨⎬⎩⎭，≤，则A B =（ ）A ．{}|12x x -<≤B ．1|12x x ⎧⎫-<⎨⎬⎩⎭≤C ．{}|2x x <D ．{}|12x x <≤⑶集合{}{}2|03|9P x x M x x =∈<,=∈Z R ≤≤，则PM =（ ）A ．{}12,B ．{}012,,C ．{}|03x x <≤D ．{}|03x x ≤≤ ⑷已知集合{}2|1P x x =≤，{}M a =，若P M P =，则a 的取值范围是（ ）A ．(]1-∞-，B ．[)1+∞，C ．[]11-，D ．(][)11-∞-+∞，，【例7】 ⑴集合222{|320}{|2(1)(5)0}A x x x B x x a x a =-+==+++-=，，若{2}A B =，求实数 a 的值； ⑵集合2{|10}{|320}A x ax B x x x =-==-+=，，且A B B =，求实数a 的值．【备选】（复旦大学2006年自主招生考试）若非空集合{|135}X x a x a =+-≤≤，{|116}Y x x =≤≤，则使得X X Y ⊆成立的所有a 的集合是（ ）A ．{|07}a a ≤≤B ．{|37}a a ≤≤C ．{|7}a a ≤D ．空集****************************************************************************************【演练1】用最恰当的符号（∈∉=≠，，，，，）填空 ⑴___{0}∅； ⑵2___{(1,2)}； ⑶0___2{|250}x x x -+= ⑷{35}，____2{|8150}x x x -+=； ⑸{35}，___N ；⑹{|2}x x k k =∈N ，______{|6}x x ττ=∈N ， ⑺{|41}x x k k =+∈Z ，____{|43}x x k k =-∈Z ，．【演练2】已知集合{123}A =，，，用列举法表示下面集合⑴{()|}M a b a A b A =∈∈，，；⑵{()|}N a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．【演练3】已知{}2|1M y y x x ==-∈R ，，{}|1P x x a a ==-∈R ，，则集合M 与P 的关系是（ ） A ．M P = B ．P M ∈ C ．MP D ．M P【演练4】⑴ 已知2{|43}A y y x x x ==-+∈R ，，2{()|22}B x y y x x x ==--+∈R ，，，则A B等于（ ）A ．∅B ．{(1,3)}-C ．RD ．[13]-，⑵ 已知2{|43,}A y y x x x ==-+∈R ，2{|22,}B y y x x x ==--+∈R ，则A B 等于（ ）A ．∅B ．{1,3}-C ．RD ．[13]-， ⑶已知(){}2|43,A x y y xx x ==-+∈R ，，(){}2|22,B x y y x x x ==--+∈R ，，则AB 等于（ ）A ．∅B ．{(1,3)}-C ．RD ．[13]-，实战演练【演练5】设集合{|(3)()0,}=--=，求A B A B，．B x x x=--=∈R，{|(4)(1)0}A x x x a a概念要点回顾1．集合中的元素具有______性、______性、______性；2．常用数集的符号：自然数集____；正整数集____；整数集____；有理数集____；实数集_____．3．集合的表示法：把集合中的元素一一列举出来的方法叫做______；把集合中的元素用一个代表元素表示，并注明满足的条件的方法叫做______；通常用来表示集合与集合之间的关系的方法叫做_______．用来表示连续数集的方法叫做______．4．用来表示元素与集合的关系的符号有_______，用来表示集合与集合的关系的符号有_____________．5．空集是______的子集、空集是___________的真子集．6．两个集合的运算有______、______与______，用这些运算的符号表示下列集合:∈，且}x A∉=______．∈=___B,{|x x Ux B A∈，且}x B A∈=___B；{|x x A∈，或}{|x x A考点2：函数的概念函数的概念：设集合A 是非空的数集，对于A 中的任意实数x ，按照确定的对应法则f ，都有唯一确定的实数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()y f x x A =∈，．其中，x 叫做自变量，自变量的取值范围（数集A ）叫做这个函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()|}y f x x A =∈叫做函数的值域．函数()y f x =也常写作函数f 或函数()f x ．练习2：已知函数2()f x x x=+．⑴(1)f =_______，(4)f =_______；⑵当0a >时，()f a =_____________，(1)f a +=______________．【例8】已知函数221()1222x x f x x x x x +-⎧⎪=-<<⎨⎪⎩，≤，，≥，⑴求(π)f ； ⑵若()3f a =，求a ．【例9】 求下列函数的定义域．①32y x x =+-；②1x y x =-；③21x y x -=-；④()1231f x x x =-⋅-；⑤01()(3)2f x x x =+--；⑥2()2f x x x =+-．2.2函数的概念与三要素知识点睛经典精讲第2讲函数及其表示****************************************************************************************初高衔接——解一元二次不等式求定义域问题中会遇到很多解一元二次不等式的问题，这部分内容初中有所提及，但有些同学掌握的还不太好，可以在这里再复习巩固一下．高中解一元二次不等式多借助一元二次函数的图象，知识点如下：解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有），再结合一元二次函数的图象写出不等式的解集：大于0时两根之外，小于0时两根之间．一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表 （以0a >为例）：【例题】解下列一元二次不等式⑴ 2420x x -->；⑵ 2613280x x --<；⑶2(11)3(21)+++x x x x ≥； ⑷ 2450x x ++>；⑸ 220x x -+->．【练习】解下列一元二次不等式⑴22320x x -->；⑵240x x ->；⑶210x x -+≤．⑷2233312x x x -+>-．【拓展】若01a <<，则不等式1()0x a x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭的解集是______________．****************************************************************************************考点3：同一函数同一函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，我们就称这两个函数是同一函数．【例10】 下列各组函数中，表示同一函数的有________．①1y =与x y x= ；②y x =与33y x = ③y x =与2()y x =；④y x =与2y x = ⑤y x =与00x x y x x ⎧=⎨-<⎩，≥，；⑥11y x x =+-21y x =-11y x x =+-21y x =-考点4：复合函数及其定义域复合函数的概念：如果y 是u 的函数，记作()y f u =，u 是x 的函数，记为()u g x =，且()g x 的值域与()f u 的定义域的交集非空，则通过u 确定了y 是x 的函数[()]y f g x =，这时y 叫做x 的复合函数，其中u 叫做中间变量，()y f u =叫做外层函数，()u g x =叫做内层函数．⑴ 只有当外层函数()f u ()g x [()]f g x ．⑵ 理解函数符号()f x ，及[()]f g x 与[()]g f x 的区别．⑶ 复合函数的定义域是由外层函数的定义域、内层函数的值域与定义域共同决定的．【例11】⑴已知()21f x x =+，()21g x x =-，求[()]f f x ，[()]f g x ，[()]g f x 与[()]g g x ．⑵已知()f x 与()g x 分别由下表给出：x 12 34x 1 2 3 4()f x2 34 1 ()g x 2 1 43 那么()()2f f =＿＿，()()2f g =＿＿，()()2g f =＿＿，()()2g g =＿＿；满足()()f g x g f x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的x 的值是＿＿．【例12】⑴若()f x 的定义域为(1,3]，求(2)f x +的定义域；⑵若(2)f x +的定义域是(1,3]，求()f x 的定义域； ⑶若(2)f x +的定义域是(2,5]，求2(3)f x +的定义域．考点5：函数的值域1．部分常见函数的值域：常见函数的值域问题都可以借助函数的草图解决． ⑴一次函数：(0)y kx b k =+≠，图象为一条直线． 不加限制时，定义域为R ，值域为R ． 若定义域发生限制，21y x =+，[31]x ∈-，，值域为[53]-，，就是把端点值代入． 若是取不到端点，如12y x =-，(2]x ∈-∞，，结合图象易知答案为[3)-+∞，． ⑵二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠，图象为抛物线． 进入高中后，要习惯性把0a ≠写上．若定义域无限制，值域为从最小值到正无穷（0a >）或从负无穷到最大值(0)a <． 若定义域有限制，需要判断对称轴是否在区间内，并考虑端点离对称轴的远近，结合图象得到结果．⑶反比例函数：ky x=（0k ≠），图象为双曲线．0k >，图象在第一、三象限：0k <，图象在第二、四象限： 如果定义域无其它限制，值域为(0)(0)-∞+∞，，；如果定义域有其它限制，结合图象得到结果．遇到这三种函数的值域问题，我们应该首先画这些函数的草图，然后再看看函数对应的是图象的哪一段，最后得到所求函数的值域．2．简单复合函数的值域：先求定义域，再自内而外一层一层求值域．练习3：求函数2()1f x x =-的值域．【铺垫】求下列函数的值域：⑴21y x =--，[13]x ∈-，；⑵21y x x =++，[13]x ∈-，；⑶1[13]1y x x =∈+，，； 【例13】求下列函数的值域．⑴2y =-，[21]x ∈--，；⑵1212y x x =->-+，；⑶21y x =-+ ⑷232y x x =-+；⑸282y x x =--【拓展】2()245f x x x =-+集合的表示方法 列举法 描述法 图示法 优点 简单、直观 严谨 直观 缺点 不能表示复杂的集合 抽象 很难表示规则 函数的表示方法 列表法解析法图象法优点 不需要计算、直观 简明概括，易求值 直观，能反映大趋势缺点 不能表示复杂的函数不直观 不够精细考点6：函数的表示法函数的三种表示法⑴ 列表法：列出自变量与对应函数值的表格来表达两个变量之间的关系的方法． 优点：不需要计算就可以直接得到与自变量的值相对应的函数值，对于由统计数据得到的函数关系，列表法很适用．⑵ 图象法：把一个函数定义域内的每个自变量x 的值和它对应的函数值()f x 构成的有序实数(())x f x ，对作为点的坐标，所有这些点的集合就称为函数()y f x =的图象，即{()|()}F P x y y f x x A ==∈，，．这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法．优点：能够直观形象地表示与自变量的变化相应的函数值的变化趋势，方便通过数形结合研究函数的相关性质．⑶ 解析法：用代数式（或解析式）表示两个变量之间的函数对应关系的方法，如26y x =-．优点：一是简明、全面地概括了变量之间的关系；二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值．练习4：赵小雪同学开了一个小店，里面有5件商品，每个商品的定价都为2元，x 表示卖出商品的数量，y 表示销售收入，用三种方法表示y 关于x 的函数．【例14】 求下列函数解析式⑴已知2()1f x x =+，求(21)f x +； ⑵已知2(1)3f x x x -=+-，求()f x ；⑶已知(32f x x x =-()f x ．已知函数()21f x x =+的定义域为[22]-，，求函数(2)()f x f x -的值域．【演练1】已知集合A *=N ，{}21Z B a a n n ==-∈，，映射:f A B →，使A 中任一元素a 与B 中元素21a -对应，则与B 中元素17对应的A 中元素是（ ） A ．3 B ．5C ．17D ．9【演练2】下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）A ．1y x =-和211x y x -=+ B ．0y x =和1y =C ．()2f x x =和()()21g x x =+ D ．()()2x f x x=和()()2xg x x =【演练3】已知函数()34f x x =--的值域为[]105-，，则它的定义域为 ．【演练4】已知()f x 的定义域为[12)-，，则(||)f x 的定义域为（ ）．A ．[12)-，B ．[11]-，C ．(22)-，D ．[22)-，【演练5】 ⑴已知()123f x x +=+，则()3f = ．⑵设(2)23g x x +=+，则()g x =_______．【演练6】已知210()20x x f x x x ⎧+=⎨->⎩≤，，，若()10f a =，求a ．实战演练概念要点回顾1．函数的概念：设集合A是非空的数集，对于A中的____实数x，按照确定的对应法则f，都有_____的实数值y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作，．y f x x A=∈()2．函数的三要素是：________、________与________，其中________与________一致的函数就称为同一函数；3．函数的表示方法有______、_______与_______．4．对于复合函数[()]f g x，内层函数是______，外层函数是______，求复合函数的值域需要先求_____，再________一层一层求值域．第3讲函数的单调性考点1：单调性的概念1．一般地，设函数()y f x =的定义域为D ，区间I D ⊆：⑴ 增函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就称函数()f x 在区间I 上是增函数； ⑵ 减函数：如果对于I 上的任意两个自变量的值12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x >，那么就称函数()f x 在区间I 上是减函数；2．单调性：如果函数()y f x =在某个区间I 上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x =在这个区间上具有单调性，区间I 叫做()y f x =的单调区间．【例15】 已知定义在区间[44]-，上的函数()y f x =的图象如下，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．O yx431124【解析】 函数()y f x =的单调区间有：[42]--,，[21]--,，[11]-，，[13]，，[34]，．其中在区间[21]--,，[13]，上是减函数，在区间[42]--,，[11]-，，[34]，上是增函数．考点2：单调性的严格证明用定义法证明函数单调性的一般步骤：①取值：即设1x ，2x 是该区间内的任意两个值，且12x x <．②作差变形：通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．③定号：确定差12()()f x f x -（或21()()f x f x -）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间．练习1：()21f x x =+，证明()f x 在R 上单调递增．3.1函数单调性的定义与判别【例16】⑴证明：函数2()f x x =在(0]-∞，上单调递减；⑵证明：函数1()f x x=在(0)+∞，上单调递减．【例17】⑴证明：函数3()f x x =在定义域上是增函数．⑵证明：函数2()3x g x x =-在区间[12]，上是减函数．****************************************************************************************初高衔接——立方和与立方差公式⑴立方和公式 3322()()a b a b a ab b +=+-+； ⑵立方差公式 3322()()a b a b a ab b -=-++．【例题】⑴已知12x x +=，则331x x +=_____．⑵已知1x y +=，则333x y xy ++的值为_________．【练习】已知12x x-=，则331x x -=_____．【拓展】实数a b ，满足3331a b ab ++=，则a b += ．****************************************************************************************【拓展】讨论函数2()1axf x x =-（110x a -<<≠，）的单调性．考点3：利用单调性解简单的函数不等式【例18】 ⑴已知函数()f x 为R 上的增函数，且(21)(2)f m f m ->+，则m 的取值范围是_______．⑵函数()f x 在(0)+∞，上为减函数，那么2(23)f a a -+与(1)f 的大小关系是________．【拓展】已知函数()f x 为R 上的减函数，则下列各式正确的是（ ）A ．()(2)f a f a >B ．2()()f a f a <C ．2()()f a a f a +<D ．2(1)()f a f a +<考点4：常见函数的单调性常见函数的单调性：1．一次函数()f x kx b =+（0k ≠），单调性由k 决定，12x x <，()()()1212f x f x k x x -=-， 当0k >时，()f x 在R 上单调递增；当0k <时，()f x 在R 上单调递减．2．二次函数()()20f x ax bx c a =++≠， 当0a >时，()f x 在2b a ⎛⎤-∞-⎥⎝⎦，上单调递减，在2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增； 当0a <时，()f x 在2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，上单调递增，在2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递减．3.2常见函数单调性练习2：一个二次函数在()05，上单调递增，在()30-，上单调递减，则它的对称轴为_____．3．反比例函数()kf x x=，0k ≠．当0k >时，()f x 在()0-∞，和()0+∞，上分别单调递减；当0k <时，()f x 在()0-∞，和()0+∞，上分别单调递增． 【例19】⑴已知函数y ax =和by x=-在区间(0)+∞，上都是减函数，则函数1by x a=+在R 上的单 调性是_____________．(填增函数或减函数或非单调函数)⑵已知函数2()(1)2f x a x =-+在()-∞+∞，上为减函数，则a 的取值范围为________．⑶若函数2()2012f x x ax =++在(2)-∞，上单调递减，在(2)+∞，上单调递增，则a =___．⑷若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(4)-∞，上为减函数，则a 的取值范围是 ．【拓展】已知函数()()213f x ax a x a =+-+在区间[)1+∞，上递增，则a 的取值范围是 ．考点5：复合函数单调性对于复合函数[()]y f g x =的单调性，必须考虑函数()y f u =与函数()u g x =的单调性， 函数[()]y f g x =的单调性如下表：()y f u = 增函数 增函数 减函数 减函数 ()u g x = 增函数 减函数 增函数 减函数 [()]y f g x = 增函数 减函数 减函数 增函数小结：同增异减．练习3：判断函数1y x =+的单调性．【例20】判断下列函数的单调性．⑴1y x =- ⑵15y x=- ⑶2145y x x =++ ⑷232y x x =-+．【例21】 判断函数324y x=--的单调性．【拓展】判断函数2312y x=--的单调性．1．若函数()f x 在区间[13)，上是增函数，在区间[35]，上也是增函数，则函数()f x 在区间[15]，上（ ）A ．必是增函数B ．不一定是增函数C ．必是减函数D ．一定是增函数或减函数若函数211()21x x f x ax x ⎧+=⎨-<⎩，≥，在R 上是单调递增函数，则a 的取值范围为__________．2．如果函数2y ax =+在()1-+∞，上单调递增，求a 的取值范围．【演练1】关于函数()(0)kf x k x=<的下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在(0)+∞，上单调递减B ．()f x 在(0)-∞，上单调递减C ．()f x 的单调增区间为(0)(0)-∞+∞，，D ．()f x 的单调增区间为(0)-∞，和(0)+∞，【演练2】函数2()21f x x x =-+-在区间[2011]a -，上是增函数，则a 的取值范围为________．【演练3】证明：函数()f x x =-在定义域上是减函数．【演练4】已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(1)f f x⎛⎫> ⎪⎝⎭的实数x 的取值范围是（ ） 实战演练A ．(1)-∞，B ．(1)+∞，C ．(0)(01)-∞，，D ．(0)(1)-∞+∞，，【演练5】判断下列函数的单调性：⑴15y x=+；⑵42y x =-；⑶243y x x =--．1．函数的单调性的定义：如果对于区间I 上的________12x x ，，当12x x <时，都有________，那么就称函数()f x 在区间I 上是增函数；如果对于区间I 上的________12x x ，，当12x x <时，都有________，那么就称函数()f x 在区间I 上是减函数；2．常见函数的单调性：⑴一次函数y kx b =+：0k >时，在____上是____函数；0k <时，在____上是____函数； ⑵二次函数2y ax bx c =++：0a >时，在_________上单调递增，在________上单调递减；0a <时，在_________上单调递增，在________上单调递减；⑶反比例函数k y x=：0k >时，在_________________上单调______；0k <时，在_________________上单调______；3．复合函数的单调性概念要点回顾当()f g x单调递增；f x与()g x的单调性______时，[()]当()f x与()f g x单调递减．g x的单调性______时，[()]第4讲函数的奇偶性考点1：函数奇偶性的定义与判定1．奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数；2．偶函数：如果对于函数()y g x =的定义域D 内任意一个x ，都有x D -∈，且()()g x g x -=，那么函数()g x 就叫做偶函数．3．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数； 如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．练习1：⑴证明：()4211f x x x =++是偶函数．⑵证明：31()g x x x=+是奇函数．【铺垫】判断下列函数的奇偶性：①()3f x x =；②()31f x x =-；③4()1f x x =+；④1()f x x x=-；⑤2()1f x x x =-+；⑥2()1f x x x =-+．【例22】将下列函数按照奇偶性分类：①(]2()11f x x x =∈-，，；②()()011f x x =∈-，，；③1()1f x x =-； ④()11f x x x =-+-；⑤22()11f x x x =-+-；⑥32()1x xf x x +=-； ⑦()212|2|x f x x -=-+； ⑧1()(1)1xf x x x +=⋅--；⑨10()10x f x x ⎧=⎨-<⎩≥，，； ⑩10()10x x f x x x ->⎧=⎨+<⎩，，．⑴ 是奇函数但不是偶函数的有__________________；⑵ 是偶函数但不是奇函数的有___________________； ⑶ 既不是奇函数也不是偶函数的有__________________；⑷ 既是奇函数又是偶函数的有 （填相应函数的序号）．4.1函数奇偶性的定义与判别【拓展】函数29|4||3|x y x x -=++-的图象关于（ ）A ．x 轴对称B ．y 轴对称C ．原点对称D ．直线0x y -=对称【例23】 ⑴若函数2()(2)(1)3f x k x k x =-+-+是偶函数，则()f x 的递减区间是 ．⑵已知函数22()(1)(1)2f x m x m x n =-+-++，当m = ，n = 时，()f x 是奇函数．【例24】 已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()g x 是定义在R 上的偶函数，且23()()1f x g x x x -=--，则()g x 的解析式为（ ）A ．21x -B ．222x -C ．21x -D ．222x -【例25】 ⑴已知()()f x g x ，都是定义在R 上的函数，下列说法正确的是（ ）A ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则()()f x g x ⋅为奇函数B ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则()()f x g x +为奇函数C ．若()f x 为奇函数，()g x 为奇函数，则[()]f g x 为偶函数D ．若()f x 为奇函数，()g x 为偶函数，则[()]f g x 为奇函数 ⑵设函数3()(1)()f x x x x a =++是奇函数，则a =_______． 考点2：函数奇偶性的简单应用练习2：()f x 是偶函数，且在[)0+∞，上，()21f x x =+，则在()0-∞，上，()f x =_______．【例26】 ⑴()f x 是偶函数，在[)0+∞，上，()243f x x x =-+，则在()0-∞，上()f x =________．⑵()f x 是偶函数，在()0+∞，上，()31f x x x=+，则在()0-∞，上，()f x = ．⑶已知函数()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，21()f x x x=-．求函数()f x 的解析式．．单调性：若一个偶函数在()0+∞，上单调递增，则在()0-∞，上单调递减；若一个奇函数在()0+∞，上单调递增，则在()0-∞，上单调递增．说明：偶函数在对应区间上单调性相反，奇函数在对应区间上单调性相同．4.2单调性与奇偶性综合练习3：已知()1f x x x=+，它是奇函数，已知它在()01，上单调递减，在()1+∞，上单调递增，那么可以得到它在(0)-∞，上的单调情况为______________．【例27】⑴定义在R 上的偶函数()f x 满足在[0)+∞，上单调递增，则（ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-<B ．(1)(2)(3)f f f <-<C ．(2)(1)(3)f f f -<<D ．(3)(1)(2)f f f <<- ⑵设()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0)-∞，上是增函数，则(1)f -与2(23)f a a -+（a ∈R ）的大小关系是__________．⑶()f x 是偶函数，在[)0+∞，上单调递增，且()10f =，解不等式()220f x -<． ⑷()f x 是奇函数，在()0+∞，上单调递增，且()10f =，解不等式()220f x -<．【拓展】已知定义在R 上的奇函数()f x 是一个减函数，且120x x +<，230x x +<，310x x +<，则()()()123f x f x f x ++的值（ ）A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．以上均有可能已知定义在[22]-，上的奇函数()f x 是增函数，求使(21)(1)0f a f a -+->成立的实数a 的取值范围．【演练1】定义在R 上的函数()f x 是奇函数，且()0f x ≠，则2()1()F x x f x =--⋅（ ）A ．是奇函数但非偶函数B ．是偶函数但非奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．为非奇非偶函数实战演练。
高一数学暑假学习材料
暑期专题辅导材料五（旧课）5一、教学进度：1.4 含绝对值的不等式解法 1.5 一元二次不等式解法 教学内容1．c b ax <+和c b ax >+ 型的不等式2．一元二次不等式02<++c bx ax 和02>++c bx ax （0≠a ）的解法 二、重点难点剖析1．实数的大小比较a-b ＞0⇔a ＞b ，a-b=0⇔a=b a-b ＜0⇔a ＜b. 2．不等式的基本性质a ＞b ⇒a+c ＞b+c a ＞b ，c ＞0⇒ac ＞bc ，a ＞b ，c ＜0⇒ac ＜bc. 3．绝对值的意义a （a ＞0）a 0（a=0）-a(a ＜0＝4．最简绝对值的解法|x|＞a(a ＞0)⇔x ＞a 或x ＜-a ， |x|＜a(a ＞0)⇔-a ＜x ＜a.5．|ax+b|＞c (c ＞0),|ax+b |＜c (c ＞0)型6．|ax+b |＜c 或|ax+b |＜c (c ＞0)这两种类型的不等式的解题方法是利用了最简绝对值不等式的思想，把绝对值不等式化为代数不等式来解决。
7．在具体变形时要注意同解变形；（1）|ax+b |＜c (c ＞0)⇔ax+b ＞c 或ax+b ＜-c ； （2）|ax+b |＜c (c ＞0)⇔-c ＜ax+b ＜c.然后再根据a 的正、负解出相应绝对值的解。
8．解含绝对值不等式的基本思想：含绝对值不等式 不含绝对值符号不等式9．脱去绝对符号的方法有：（1）化归法，化为|x|＜a 或|x|＞a （a ＞0）型。
（2）零点分段法，找绝对值为零的点，分段讨论。
（3）数形结合。
（4）平方法，化为一元二次不等式（后面将会学到）。
10．c b ax <+和c b ax >+型的不等式（1）解含绝对值的不等式的基本方法体现了“化归”的数学思想，即将含绝对值的不等式化归为不含绝对值的“普通不等式”，在化归时要注意绝对值的含意. （2）对含绝对值的不等式，一般地有如不结论：①当0>c ，c b ax <+;c b ax c <+<- c b ax >+c b ax >+ 或.c b ax -<+②当0=c ，c b ax <+的解集为Φ；b ax >+c b ax ≠+. ③当0<a ，c b ax <+的解集为Φ；c b ax >+的解集为R .化归 脱去绝对值符号【例1】 求满足4213-=+x x 的x 值.解：由绝对值的定义得，4213-=+x x ，或13+x ∴5-=x ，或53=x . 【例2】 求不等式1≤2x-1≤5112<-x . ②由①，2x-1≥1 或 2x-1≤≤0.由②，-5<2x-1<5, ∴ ∴原不等式的解集为 评析 由绝对值的意义，|21-x |221的点的坐标是0和1，该距离等于25的点的坐标是-2和3，由数轴可见，原不等式的解是{x|-2<x ≤0,或1≤x<3}.【例3】 求下列不等式的解集：(1)|4x-3|≤x+1； (2)|3x+5|>2x-1. 解 (1) ∵|4x-3|≤x+1,∴-(x+1) ≤4x-3≤x+1, 即 –x-1≤4x-3, ① 4x-3≤x+1. ②由①得 52≥x ， 由②得 34≤x .∴原不等式的解集为 {x|3452≤≤x }. (2) ∵|3x+5|>2x-1,∴3x+5>2x-1, ① 或 3x+5<-(2x-1) ② 由①得 x>-6, 由②得 x<54-. ∴原不等式的解集为{x|x ∈R}.【例4】 求关于x 的不等式|2x+1|≤t+1 (t ∈R)的解集. 解 当t+1<0,即t<-1时，不等式的解集为φ.当t+1=0,即t=-1时，2x+1=0,x=21-,不等式的解集为{21-}. 当t+1>0,即t>-1时，-(t+1) ≤2x+1≤t+1,-t-2≤2x ≤t,t x t 21121≤≤--,不等-2-10123x式的解集为{x|t x t 21121≤≤--}. 评析 所谓“关于x 的不等式”是指除x 以外的其他字母均表示常数.由于t+1的符号不确定，因此这里需对t 的不同情况分别求解.（3）对于含有几个绝对值的方程或不等式，可以用零点分段的方法除去绝对值符号： 【例5】（1）解方程：|x-3|+|x+2|=6； （2）解不等式：|x-1|+|x+2|<5. 解（1）零点为3，-2，分三段讨论. 25-； 当x>3,方程为x-3+x+2=6,x=2. ∴ 方程的解集为{25-,27}. (2)零点为1，-2，分三段讨论.当x<-2,不等式为(1-x)-(x+2)<5,x>-3, ∴-3<x<-2; 当-2≤x ≤1,不等式为(1-x)+(x+2)<5,3<5, ∴-2≤x ≤1; 当x>1,不等式为(x-1)+(x+2)<5,x<2, ∴1<x<2. ∴不等式的解集为{x|-3<x<2}.评析 ①所谓“零点”，即使绝对值为零的x 的值.若有n 个零点,则分n+1个情况讨论.由于每种情况都可以去掉绝对值符号，就把含有绝对值的方程或不等式转化为普通的方程或不等式去解.②在每一种情况求方程或不等式的解时，所求得的解必须满足相应的条件.③上面的方法是解含有绝对值的问题的基本方法。
高一数学必修一(暑期自学材料,非常详细)
高一数学必修一(暑期自学材料,非常详细)第一章集合§1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念1．元素与集合的概念（1）集合：一般来说，把一些______________________________(2)元素：构成集合的________叫做这个集合的元素(或成员)，通常用英语小写字母表示．2．集合中元素的特性：________、________.3．元素与集合的关系（1）如果a是集合a的一个元素，比如说，记为，如果a不是集合a的一个元素，比如，记为__4．实数集、有理数集、整数集、非负整数集、正整数集分别用字母____、____、____、____、____或____来表示．5.集合的分类集合?非空集：空集：不含任何元素，记作.按元素？：包含有限个元素的个数分为??：含有无限个元素一、多项选择题1．下列语句能确定是一个集合的是()著名的科学家B.长头发的女孩C 2022广州亚运会的事件D视力低下的男孩2。
集合a 只包含元素a，那么下面的正确表达式是（）a.0∈ A.b、 a？a、中情局∈a、 d.a＝a3．已知m中有三个元素可以作为某一个三角形的边长，则此三角形一定不是()a．直角三角形；b．锐角三角形；c．钝角三角形；d．等腰三角形4.集合A由a2、2-A和4组成。
如果a包含三个元素，实数a的值可以是（）a.1；b、－2；c.6；d.25．已知集合a是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈a，则实数m为()a．2；b．3；c．0或3；d．0,2,3均可三6．由实数x、－x、|x|、x2及－x3所组成的集合，最多含有()a．2个元素；b．3个元素；c．4个元素；d．5个元素二、填空题以下第7组（填写序列号）① 不超过π的正整数；② 这个班成绩好的学生；③高一数学课本中所有的简单题；④平方后等于自身的数．8.集合a包含三个元素0、1、x和X2∈ a、那么实数x的值是__9。
人教版高一数学知识点总结暑假作业必备
N表示自然数集，N?或N?表示正整数集，Z表示整数集，表示有理数集，R表示实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象a与集合M的关系是a?示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
③描述法：{x|x具有的性质}，其中x为集合的代表元素.
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
（5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(?).
【1.1.2】集合间的基本关系
高一数学暑假预科讲义
高一数学暑假预科讲义第一节 集合的含义与表示随堂练习1、下列说法正确的是（ ）A.若,N a ∈-则N a ∈B.方程0442=+-x x 的解集为{}2,2C.高一年级最聪明的学生可构成一个集合D.在集合N 中，1不是最小的数2、-3、集合{}2,1,12--x x 中x 不能取的值是（ ）A.2B.3C.4D.54、方程组⎩⎨⎧=-=+0,2y x y x 的解构成的集合是( ) A.{})1,1( B.{}1,1 C.()1,1 D.{}1 4、若{},1,3,132+-∈-m m m 则._______=m5、集合{}Z x x x y y x ∈≤-=,1||,1|),(2，用列举法表示为.________6、由332,|,|,,x x x x x --组成的集合，元素的个数最多为几个？7、已知集合M 满足条件：若,M a ∈则).0,1(11≠±≠∈-+a a M a a 若,3M ∈试求集合.M8、#9、已知集合{},,023|2R x x ax x A ∈=+-=若A 中的元素至多有一个，求a 的取值范围.第二节 集合间的基本关系随堂练习1、设{},62,8|=≤=a x x P 则下列关系中正确的是（ ）A.P a ⊆B.P a ∉C.{}P a ⊆D.{}P a ∈2、集合{}3,2,1=M 的真子集的个数是（ ）A.6B.7C.8D.93、~4、设集合{}{},,|),(,,|22R x x y y x Q R x x y y P ∈==∈==则P 与Q 的关系是A.Q P ⊆B.Q P ⊇C.Q P =D.以上都不正确4、已知集合A {},7,3,2且A 中至多有一个奇数，则这样的集合A 有A.3个B.4个C.5个D.6个5、已知集合{},12,3,1--=m A 集合{},,32m B =若,A B ⊆则.________=m6、设集合{}{},1212|,23|+≤≤-=≤≤-=k x k x B x x A 且,B A ⊇则实数k 的取值范围是.____________7、已知集合{}{},,01|,0158|2A B ax x B x x x A ⊆=-==+-=求实数a 的不同取值组成的集合.8、已知集合{}{},0))(1(|,31|=--=≤≤=a x x x B x x A（1）·（2）当集合B 是A 的子集时，求实数a 的取值范围；（3）是否存在实数a 使得B A =成立？第三节 集合的基本运算1、！2、设集合{}{},23|,312|<<-=<+=x x B x x A 则=B A （ ）A.{}13|<<-x xB.{}21|<<x xC.{}3|->x xD.{}1|<x x2、设集合,21|,2|⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈=Z x x N Z x x M 则=N M （ ） A.∅ B.M C.Z D.{}03、集合{},2,1=A 则满足{}3,2,1=B A 的集合B 的个数是( )A.1B.3C.4D.84、若,,C D C A B A == 则( )A.D C B A ⊆⊆,B.D C A B ⊆⊆,C.C D B A ⊆⊆,D.C D A B ⊆⊆, 5、`6、设集合{}{},,2|||,4,3,2,1R x x x Q P ∈≤==则._______=Q P7、已知集合{}{},1|,1,1==-=mx x B A 且,A B A = 则._______=m8、设二次方程：05,01522=+-=+-q x x px x 的解集分别为B A 、且{}{},3,5,3,2==B A B A 试求B A 、及q p 、的值.9、已知全集{}{}{},9,1)()(,2,9,8,7,6,5,4,3,2,1===B C A C B A U U U{},8,6,4)(=B A C U 试确定.B A 、10、若{}{},73,22,3,4,72,4,223223++++-+-=+--=a a a a a a B a a a A 且{},5,2=B A 试求a 的值.]第四节 函数的概念随堂练习1、集合{}{},20|,40|≤≤=≤≤=y y B x x A 下列对应中不表示从A 到B 的函数的是（ ）A.x y x f 21:=→B.x y x f 31:=→C.x y x f 32:=→ D.x y x f =→: | 2、下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）A. x x f =)(与2)()(x x g =B. x x f =)(与33)(x x g =C. x x x f =)(与⎩⎨⎧<->=)0(,)0(,)(22x x x x x g D. 11)(2--=x x x f 与)1(1)(≠+=t t t g 3、已知函数.1112)(xx x f -+-= （1）求函数)(x f 的定义域（用区间表示）；（2）求)32(),2(f f 的值.4、已知,11)(,12)(2+=-=x x g x x f 求]2)([)]([)(2+x f g x g f x f 、、 5、若函数344)(2++-=mx mx x x f 的定义域为R ，则实数m 的取值范围是._ . 6、若函数862++-=a x ax y 的定义域为一切实数，求a 的取值范围.7、已知函数⎩⎨⎧>+≤-=)4(42)0(2)(2x x x x x f ，则)(x f 的定义域为___,[].____)4(=-f f 8、已知)(x f 的定义域为]2,3[-，求函数)()()(x f x f x g -+=的定义域.9、设函数)(x f 的定义域为]1,0[，求函数)1()(2-=x f x h 的定义域.10、已知)1(+x f 的定义域为]3,0[求)(x f 的定义域.11、已知)4(2+x f 的定义域为]2,1[，求)(x f 的定义域. 第五节 函数的表示、值域、解析式解法随堂练习！1、下列四个命题正确的有_________.（1）函数是定义域到值域的映射；（2）x x y -+-=23是函数；（3）函数)(2N x x y ∈=的图象是一条直线；（4）⎩⎨⎧<-≥=)0(,)0(,22x x x x y 的图象是条抛物线. 2、某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水用水量分别为x x 3,5吨.求y 关于x 的函数；3、分别画出下列函数的图象（1）.1||22--=x x y@（2）.|12|2--=x x y4、函数值域的求法（1）（观察法）求函数x y 323-+=的值域.（2）（反函数法）求函数21++=x x y 的值域.（3）（分离常数法）形如bax d cx y ++=，求函数21++=x x y 的值域. 212,2312,121,212++-=++=++=++=x x y x x y x x y x x y （4）（配方法）求函数22++-=x x y 的值域.（5）（判别式法）求函数132222+-+-=x x x x y 的值域. ,（6）（图象法）求函数2)2(|1|-++=x x y 的值域.（7）（换元法）求函数123++-=x x y 的值域.5、函数解析式的解法（1）直接法已知,22)1(2++=+x x x f 求).3(),3(),(+x f f x f（2）换元法已知,22)1(2++=+x x x f 求).3(),3(),(+x f f x f（3）待定系数法*已知)(x f 是一次函数，且满足,43)]([+=x x f f 求)(x f 的解析式.（4）赋值法设)(x f 满足关系式,3)1(2)(x xf x f =+求)(x f 的解析式.@第六节 函数的单调性与最大（小）值\随堂练习1、函数)(x f 在区间]3,2[-上是增函数,则)5(+=x f y 的递增区间是（ ）A.]8,3[B.]2,7[--C.]5,0[D.]3,2[-2、函数322--=ax x y 在区间]2,1[上是单调函数，则a 满足的条件是._3、已知函数.|34|)(2+-=x x x f 求函数)(x f 的单调区间，并指出其增减.4、判断函数1)(3+-=x x f 在)0,(-∞上是增函数还是减函数并证明.5、讨论函数的单调性，)0,11(1)(2≠<<--=a x x ax x f 6、求12)(2--=ax x x f 在区间]2,0[上的最小值.7、$8、若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是.________ 9、函数245x x y --=的递增区间是.__________（复合函数的单调性）10、已知定义在R 上的函数)(x f 对任意实数21,x x ,满足,2)()()(2121++=+x f x f x x f 且当0>x 时，有.2)(->x f 求证：)(x f 在R 上是增函数.10、定义在区间()+∞,0上的函数)(x f 满足)()()(2121x f x f x x f -=且当1>x 时，,0)(<x f 试判断)(x f 的单调性，并当1)3(-=f 时，解不等式.2|)(|-<x f· 第七节 函数的奇偶性随堂练习1、判断下列函数的奇偶性（1）;1)(3xx x f -= （2）;)(32x x x f -=（3）;11)(22x x x f -+-= （4）;2112x x y -+-=（5）.)0(2)0(0)0(2)(22⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+=x x x x x x f 2、已知)(x f 在R 上是奇函数，且满足),()4(x f x f =+当)2,0(∈x 时，22)(x x f =，则.__________)2011(=f3、函数32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则)(x f 在区间)3,5(--上（ ） }A 、先减后增B 、先增后减C 、单调递减D 、单调递增4、已知函数)(x f y =为奇函数，若,1)2()3(=-f f 则._____)3()2(=---f f5、设函数xa x x x f ))(1()(++=为奇函数，则.______=a6、函数)(x f 在R 上为奇函数，且),0(,1)(>+=x x x f 则当0<x 时，.________)(=x f7、设)(x f 为定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，b x x f x ++=22)(（b 为常数），则.__________)1(=-f8、若)(x f 是R 上周期为5的奇函数且满足,2)2(,1)1(==f f 则.________)4()3(=-f f9、函数)(x f 的定义域为R ，且满足：)(x f 是偶函数，)1(-x f 是奇函数，若,9)5.0(=f 则=)5.8(f ________.10、设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有).()2(x f x f -=+当∈x [0,2]时，22)(x x x f -=.；（1）求证：)(x f 是周期函数；（2）当∈x [2,4]时，求)(x f 的解析式；（3）计算)2011()2()1()0(f f f f +⋅⋅⋅+++的值. 第八节 函数单调性与奇偶性的综合运用1、定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，且).2()(x f x f -=若)(x f 在区间[1,2]上是减函数，则)(x f 在区间[-2,-1]上是___函数，在区间[3,4]上是____函数.2、定义在R 上的偶函数)(x f ，满足),()1(x f x f -=+且在区间]0,1[-上位递增，则)2(),3(),2(f f f 的大小关系.3、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，,2)(2x x x f +=若),()2(2a f a f >-则实数a 的取值范围是._____________{4、已知)(x f 是奇函数，定义域为{},0,|≠∈x R x x 又)(x f 在),0(+∞上是增函数，且,0)1(=-f 则满足0)(>x f 的x 的取值范围.5、已知函数)(x f 对于任意R y x ∈,,总有),()()(y x f y f x f +=+且当0>x 时，.32)1(,0)(-=<f x f（1） 求证：)(x f 在R 上是减函数；（2） 求)0(f 的值；（3） 证明函数)(x f 是奇函数；（4） 求)(x f 在[-3,3]上的最大值和最小值.6、设)(x f 是R 上的偶函数，在区间)0,(-∞上递增，且有),123()12(22+-<++a a f a a f 求a 的取值范围.~7、已知)(x f y =是偶函数，且在),0[+∞上是减函数，求函数)1(2x f -的单调递增区间.第九节 高一数学第一学期学情调研第Ⅰ卷：（选择题共10小题，每题5分）1、已知集合{}{}，圆，直线==N M 则N M 中元素个数是（ ）A.0B.0或1C.0或2D.0或1或22、集合{}{}=≤∈=<≤∈=N P x Z x M x Z x P 则,9|,30|2( )A.{}2,1B.{}2,1,0C.{}3,2,1D.{}3,2,1,0 3、—4、下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ ）A.2)(|,|)(x x g x x f ==B.22)()(,)(x x g x x f ==C.1)(,11)(2+=--=x x g x x x f D.1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f 5、已知函数=∈⎩⎨⎧<+≥-=)8(,,)10)](5([)10(3)(f N n n n f f n n n f 则其中（ ）A.6B.7C.2D.4 6、设集合U 是实数集R ，{}{}13|,4|2<≥=>=x x x N x x M 或 都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.{}12|<≤-x x B.{}22|≤≤-x x;C.{}21|≤<x xD.{}2|<x x7、48373)27102(1.0)972(03225.0+-++--π的值为（ ）A.99B.5399 C.100 D.531008、某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有（ ）人. A.5 B.7 C.8 D.108、设函数),()2(,32)(x f x g x x f =++=则)(x g 的表达式是（ ） A.12+x B.12-x C.32-x D.72+x9、)(x f 是定义在]6,6[-上的函数，且对任意R y x ∈,，都有),()()(y f x f y x f -=+当)1()3(f f >-时，下列各式一定成立的是（ ）!A.)6()0(f f <B.)2()3(f f >C.)3()1(f f <-D.)0()2(f f >10、设函数1)(+-=x b x x f 满足)4()1(f f =，若)(x f 的值域为],5,1[-则x 的取值范围是（ ）A.]4,2[B.]16,4[C.]16,4[]1,0[D.]4,2[]1,0[ 11、化简：.__________])()1)[(1(21212=----x x x12、函数||)3(x x y --=的递增区间是.________13、已知函数)(x f 是R 上的奇函数，当0≥x 时，).1()(+=x x x f 若,2)(-=a f 则实数.______=a14、有下列几个命题：①函数122++=x x y 在),0(+∞上不是增函数； —②函数11+=x y 在),1()1,(+∞---∞ 上是减函数；③函数245x x y -+=的单调区间是),2[+∞-； ④已知)(x f 在R上是增函数，若,0>+b a 则有).()()()(b f a f b f a f -+->+其中正确命题的序号是.__________第Ⅱ卷（非选择题，试题70分规范评价3分，共67分） 填空题答案： 11.}12._________ 12.________ 13.________ 14.________15、（本小题满分9分）画出函数|32||1|++-=x x y 在区间)3,4[-的图象16、（本小题满分9分）函数)0)((≠=x x f y 是奇函数，且当),0(+∞∈x 时是增函数，若,0)1(=f 求不等式0)1(<-x f 的解集.，17、（本小题满分10分）已知函数a ax x x f -++-=12)(2在]1,0[∈x 时有最大值2，求a 的值..18、（本小题满分11分）设全集R I =，已知集合{}{}06|,0)3(|22=-+=≤+=x x x N x x M（1）求N M C I )(（2）记集合,)(N M C A I =已知{},,51|R a a x a x B ∈-≤≤-=若,A A B = 求实数a 的取值范围.—19、（本小题满分12分）利用函数单调性的定义谈论函数xxxf-+=2)(的单调性，并求函数在]2,2[-上的值域..第十节讲评高一数学第一学期学情调研第Ⅰ卷：（选择题共10小题，每题5分）1、—2、已知集合{}{}，圆，直线==NM则NM 中元素个数是（A）A.0B.0或1C.0或2D.0或1或23、集合{}{}=≤∈=<≤∈=N P x Z x M x Z x P 则,9|,30|2( B ) A.{}2,1 B.{}2,1,0 C.{}3,2,1 D.{}3,2,1,04、下列四组函数中，表示相等函数的一组是（ A ） A.2)(|,|)(x x g x x f == B.22)()(,)(x x g x x f ==C.1)(,11)(2+=--=x x g x x x f D.1)(,11)(2-=-⋅+=x x g x x x f 5、已知函数=∈⎩⎨⎧<+≥-=)8(,,)10)](5([)10(3)(f N n n n f f n n n f 则其中（B ）￥A.6B.7C.2D.46、设集合U 是实数集R ，{}{}13|,4|2<≥=>=x x x N x x M 或 都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（A ） A.{}12|<≤-x x B.{}22|≤≤-x x C.{}21|≤<x x D.{}2|<x x7、48373)27102(1.0)972(03225.0+-++--π的值为（ C ）A.99B.5399C.100D.531008、某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有（ C ）人. ）A.5B.7C.8D.108、设函数),()2(,32)(x f x g x x f =++=则)(x g 的表达式是（B ） A.12+x B.12-x C.32-x D.72+x9、)(x f 是定义在]6,6[-上的函数，且对任意R y x ∈,，都有),()()(y f x f y x f -=+当)1()3(f f >-时，下列各式一定成立的是（ C ） A.)6()0(f f < B.)2()3(f f > C.)3()1(f f <- D.)0()2(f f > 10、设函数1)(+-=x b x x f 满足)4()1(f f =，若)(x f 的值域为],5,1[-则x 的取值范围是（ B ）A.]4,2[B.]16,4[C.]16,4[]1,0[D.]4,2[]1,0[ 11、化简：421212])()1)[(1(X x x x --=----12、》13、函数||)3(x x y --=的递增区间是].23,0[14、已知函数)(x f 是R 上的奇函数，当0≥x 时，).1()(+=x x x f 若,2)(-=a f 则实数.1-=a15、有下列几个命题：①函数122++=x x y 在),0(+∞上不是增函数； ②函数11+=x y 在),1()1,(+∞---∞ 上是减函数； ③函数245x x y -+=的单调区间是),2[+∞-； ④已知)(x f 在R上是增函数，若,0>+b a 则有).()()()(b f a f b f a f -+->+其中正确命题的序号是 ④）第Ⅱ卷（非选择题，试题70分规范评价3分，共67分） 填空题答案：11._________ 12.________ 13.________ 14.________15、（本小题满分9分）画出函数|32||1|++-=x x y 在区间)3,4[-的图象⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤+<<-+-≤≤---=)31(23)123(4)234(23x x x x x x y%16、（本小题满分9分）函数)0)((≠=x x f y 是奇函数，且当),0(+∞∈x 时是增函数，若,0)1(=f 求不等式0)1(<-x f 的解集..0)1(,0110)1-(0-)()(.0)1(,211100)1(0)(<-<-<-∴=∞<-<<<-<∴=∞+x f x x f x f x f x f x x f x f 时，即当）上单调递增，，在（是奇函数，又时，即当）上单调递增，，在（ 17、（本小题满分10分）已知函数a ax x x f -++-=12)(2在]1,0[∈x 时有最大值2，求a 的值.a abx =-=2 2.a -1a 2.a 2,(1)(x)]1,0[)(,13)(251a 2,(a)(x),10(2)-1;a 2,(0)(x)]1,0[)(,0)1(max max max =====>±===<<===≤或综上所述，解得上单调递增，在时）当（；舍解得时当解得上单调递减，在时当f f x f a f f a f f x f a18、（本小题满分11分）设全集R I =，已知集合{}{}06|,0)3(|22=-+=≤+=x x x N x x M（1）}（2）求N M C I )(（3）记集合,)(N M C A I =已知{},,51|R a a x a x B ∈-≤≤-=若,A A B = 求实数a 的取值范围. (1){}2(2)A B A A B ⊆⇔=∅=B ,3,51>->-a a a 即{}2,=∅≠B B 3=a19、（本小题满分12分）利用函数单调性的定义谈论函数x x x f -+=2)(的单调性，并求函数在]2,2[-上的值域.任取]2,2[,21-∈x x 设21x x < &]49,0[]2,2[)(.2)2()(,49)47()(,]2,47[)(;0)()(,0)122(247.0)2()(,49)47()(]47,2[)(;0)()(,0)122(472-22)122)((........................22)(.......................22)()(min max 212121min max 212121212121211221221121上的值域是在上单调递减在时，当上单调递增，在时，当-∴====∴>-<--+-≤<<=-===-∴<->--+-≤<≤-+---+--=-+--+-=----+=-x f f x f f x f x f x f x f x x x x f x f f x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f第十一节 指数与指数幂的运算随堂练习1、化简：778888)()(b a b a b -+++2、若,310,210==n m 则._____2310=-nm 3、.______)3()3(22=⋅ 4、;5、.________39623223=⨯+⨯--6、设,30,5,363===c b a 则c b a ,,的大小关系为._____________7、设,21=+-x x 则._________22=+-x x8、._______2222824=⋅⋅⋅9、.________)008.0()1.88()94(31021=+-+-9、化简化简下列各式 （1）;)(65312121132ba bab a ⋅⋅⋅⋅---（2）;)4()3(6521332121231----⋅÷-⋅⋅b a b a b a)（3）.48373)27102(1.0)972(03225.0+-++--π（4）.__________)()(13212153323=⋅⋅⋅----a a a a 10、计算.________625625=++- 11、计算._______525233=-++12、设),(21,011n na a x a --=>求n x x )1(2++的值.…第十二节 指数函数及其性质随堂练习1、当0>>n m ，确定下列各组数的大小. ①m )53(与n )53( ②m )4.1(与n )4.1( ③m )25(与n )25( ④m )3(π与n )3(π2、根据下列等式决定m 是正数还是负数？ ①710=m ②43)65(=m ③25)32(=m ④6.0)47(=m 3、比较下列各组数的大小①81.0)107(与92.0)731( ②8.07.1与1.39.0 ③3.08.0-与1.09.4-{4、设,3,02121=+>-aa a 则._________11122=++++--a a a a 5、将指数函数)(x f 的图象向右平移一个单位，得到如图所示的)(x g 的图象则._________)(=x f 6、函数)1,0(≠>=a a a y x 在[1,2]上的最大值比最小值大,2a 则.______________=a7、若函数)1,0(1)(≠>-=a a a x f x 的定义域和值域都是[0,2],则实数a=____.8、已知定义域为R 的函数abx f x x ++-=+122)(是奇函数.（1）求b a ,的值；（2）若对任意的,R t ∈不等式0)2()2(22<-+-k t f t t f 恒成立，求k 取值范围.9、设,)52(,)52(,)53(525352===c b a 则a,b,c 的大小关系是_________.，已知函数,22)(-=x x f 则函数|22|-=x y 的图象大致为10、求函数1313)(+-=x x x f 的值域.11、求函数432)21(+--=x x y 的定义域、值域及单调区间.12、设x x eaa e x f a +=>)(,0是R 上的偶函数.（1）求a 的值；（2）求证函数)(x f 在),0(+∞上是增函数. 13、解下列不等式 （1）);1(13722>>+-a a x x —（2）).10(5213222<<>-++-a a a x x x x14、在同一直角坐标系画出x x x 4,3,2的图象 15、在同一直角坐标系画出x x x )41(,)31(,)21(的图象(第十三节 对数与对数运算随堂练习 1、<2、求下列各式的值①81log 31 ②2719log③001.0lg ④7log 71 ⑤5log 212⑥5log 2)41(3、求下列各式中的x 的值①32log 3-=x ②1)12(log -=-x ③25)(log 22=x 4、不查表计算①27lg 81lg 3lg 27lg 539lg 523lg --++ ②2lg 50lg 5lg 2⋅+ ③212222)12(log 14lg 2lg 22lg 5lg -++---+ ④245lg 8lg 344932lg 21+- ⑤).347(log )32(-+5、（6、已知,2log 3a =则.________24log 6=7、._____8log 7log 6log 5log 4log 3log 765432= 8、已知,0)](log [log log 237=x 则._________21=-x9、.______)2log 2)(log 3log 3(log 9384=++ 10、.______)223(log12=+-11、设c b a ,,都是正数，且,643c b a ==那么下列等式中成立的是（ ） A.b a c 111+= B.b a c 122+= C.b a c 221+= D.ba c 212+=[第十四节 对数函数及其性质随堂练习1、比较下列各组数的大小①4log 3.0和7.0log 2.0 ②7.4log 3.1和6.3log 9.1 ③3.02与23.0与3.0log 2 2、求下列各函数的定义域①)32(log 2--=x x y a (1,0≠>a a ) ②)13(log 5.0-=x y ③)12(log 25-=-x y x ④)54(log 22--=x x y3、设,1>a 函数x y a log =在区间]2,[a a 上的最大值与最小值之差为,21则.__=a4、设,)21(,,log ,log 3.03121231===c b a 则a,b,c 的大小关系是_________.5、解不等式 ①)65(log )32(log 22->+x x ②121log <x6、设,log ,,)(log ,log 5423545===c b a 则a,b,c 的大小关系是_________.7、设c b a ,,分别是方程x x x x x x 22121log )21(,log )21(,log 2===的实数根，则a,b,c 的大小关系是_________.8、已知])3[(log )(a x a ax f --=是其定义域上的增函数，那么a 的取值范围？ 9、已知函数),1,0(log )(≠>=a a x x f a 如果对任意的),3(+∞∈x ，都有1|)(|≥x f 成立，试求a 的取值范围.10、已知),10(|,log |)(<<=a x x f a 则)41(),2(),31(f f f 的大小关系为____. 11、在同一直角坐标系画出x x x 432log ,log ,log 的图象. 12、在同一直角坐标系画出x x x 413121log ,log ,log 的图象.第十五节 幂函数随堂练习1、比较下列各组数的大小 ①3032与2023 ②1816与16182、若,)21(,)51(,)21(313232===c b a 那么c b a ,,的大小关系为.__________3、分别指出幂函数αx y =的图象具有下列特点之一时的α的值，其中⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,2,1,21,1α①过原点递增②不过原点，不与坐标轴相交，递减 ③关于原点对称且通过原点４、幂函数)(x f 的图象经过点),3,3(则)(x f 的解析式是________.５、若函数97222)199(--+-=m m xm m y 是幂函数，且图象不过原点，求m 的值.６、若),1,0(∈x 则下列结论正确的是（ ） A. x x xlg 221>> B. 21lg 2x x x>>C. x x xlg 221>> D. x x x 2lg 21>>７、已知幂函数)()(322Z m xx f m m ∈=++-为偶函数，且)5()3(f f <，求m 的值，并确定)(x f 的解析式.８、直线1=y 与曲线a x x y +-=||2有4个交点，则a 的取值范围是_____.９、函数3x y =与xy 1=的图象的交点坐标为___________. １0、已知函数xx x f 1)(-=，求证：)(x f 在其定义域上为增函数.。
高一数学-09暑假5711
09暑假 高一数学讲义（5） 7.11含有字母的一元二次不等式一．基本内容与要求１．掌握一元二次不等式的基本解法，记住一元二次不等式解的基本情况，尤其要理解在什么情况下是无解，在什么情况下解是一切实数。
２．含有字母的一元二次不等式是高中数学学习的重难点之一，一定要重点掌握。
对这一类型问题解决方法是：（1）分类讨论，建立分类讨论的解题思想；（2）利用二次函数的图象，进行数形结合。
本节重点：含有字母的一元二次不等式解法．为高中阶段的一个重要的知识点．本节难点：分类讨论的思想方法和分类讨论解题思想的建立．二．基础激活1．不等式ax b >的解为：（１）当0a >时，解为 ．（２）当0a <时，解为 ．（３）当0a =时，解为 ．２．若不等式20x ax b ++<的解为23x -<<，则,a b 的值 。
３．若对于任意实数x ，不等式()22130x k x k ++++>恒成立，，则k 的取值范围是 。
４．若关于x 的二次方程()2214320k x kx k +++-=的两根同号，则k 的取值范围是 。
５．若,αβ是关于x 的二次方程()222350x k x k k --+++=（k 为实数）的两实根，则22αβ+的最大值等于 。
６．已知关于x 不等式210ax bx ++>的解为1123x -<<，则实数a = ，b = ．７．已知关于x 不等式20x ax b --<的解为23x <<，则不等式210bx ax -->的解为 ．三．例题精析８．要使代数式()()211mx m x m +-+-的值恒为负值，求实数m 的取值范围．９．若不等式()2211x m x ->-对于满足22m -≤≤的所有m 都成立，求x 的取值范围．１０．已知关于x 不等式20ax bx c ++>的解为x αβ<<，其中0βα>>，求不等式20cx bx a ++<的解．１１．既要使关于x 的不等式2170216x m x ⎛⎫+--≤ ⎪⎝⎭有实数解，又要使方程()222304m m x mx -+++=有实根，求实数m 的取值范围．四．随堂练习1．若不等式()223520a x x -+->的解为122x <<，则实数a 的值等于 ． 2．已知关于x 不等式()()230a b x a b ++-<的解为3x >，则不等式()320a b x b a -+->的解为 ．3．已知关于x 不等式20x mx n -+≤的解为51x -≤≤，则实数m = ，n =五．益智演练１．若关于x 的二次方程()234210m x mx m +-+-=的两根异号，且负根的绝对值比正根大，则实数m 的取值范围是 ．２．已知关于x 不等式20ax bx c ++<的解为2x <-或12x >-，则不等式20ax bx c -+>的解为 ．３．若关于x 的方程()()132m x x -=+的解是正实数，求实数m 的取值范围．４．若关于x 的二次方程()2310kx k x k --+=有两正实根，求实数k 的取值范围．六．思考提升题 设不等式2214401x mx m m m -+++>-的解为一切实数，求m 的取值范围．。
高一数学-09暑假6713
高一数学讲义（６） 7.13三个二次问题一．基本内容与要求：1．二次问题是指：二次方程、二次函数、二次不等式三个交织在一起的情况。
它高中数学的主干知识之一。
每一年的高考，它都是重点考察对象。
2．在这里初中的二次方程的有关知识，即根与系数的关系，根的判别式得到了强化．二次函数的图象在解题中的作用也得到了升华，而二次不等式又给它们注入了新的活力，使其知识体系得到了进一步的完善。
尤其是在数学的解题思想上得到了极大的提升．对将来进一步学习解析几何奠定了十分重要的基础。
本节重点：对有关二次问题的综合运用．本节难点：加强数学综合能力培养与提高．二．基础激活１．如果a 是方程220x bx a ++=的一个根，且0a ≠，则a b +的值是 。
２．已知2230x x -≤，则函数21y x x =++的最大值为P ，最小值 ． ３．如a 、b 都是质数，且2130,a a m -+=2130,b b m -+=则b a a b+的值应为 ． ４．二次函数242y x x =-+-中，若03x ≤≤，则函数的最大值为 ，最小值为 ．５．方程2231435x x x x -+-+++-=的解为三．例题精析6．已知适合不等式2435x x m x -++-≤的x 的最大值为３，求实数m 的值，并解此不等式．７．当1,2,32009n =时，关于x 的方程()()212110n n x n x +-++=的两根为n a 、n b ．试求：1122n n a b a b a b -+-++-的值．８．已知22326x y x +=，分别求x 和22x y +的取值范围．９．已知关于方程()24210x k x k -++=的两根恰为一个直角三角形的两个锐角的余弦，若直角三角形面积为43，求k 的值和直角三角形的斜边的长．１０．已知关于x 方程()222350x k x k k --+++=有两个实数根,αβ， （１）求k 的取值范围；（２）设22y αβ=+，求y 关于k 的函数关系式，并求这个函数的最大值和最小值四．随堂练习 １．方程22932042x x x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，则32x x +的值 ． ２．已知31x -≤≤，则函数243y x x =-++的最大值为M ，最小值N 是 ． ３．解方程223152512x x x x ++++=４．已知关于x 方程()222240x m x m +-++=有两个实数根，这两根的平方和比这两根的积大８４，求m 的值．五．益智演练１．二次函数223y x x =-+中，若0x m ≤≤时，函数的最大值为３，最小值为２，则m 的取值范围是 ．２．二次函数2261y x x =-+中，若11x -≤≤，则函数的最大值为 ，最小值为 ．３．已知关于方程()220a c x bx a c ++-+=有两个相等的实数根，问正数,,a b c 是否可以作为一个三角形的三边长？如果可以，是什么形状的三角形？４．已知函数221y x x =-++．（１）当23x ≤≤时，求y 的最大与最小值；（２）当10x -≤≤时，求y 的最大与最小值；（３）当03x ≤≤时，求y 的最大与最小值．。
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高一数学暑假复习资料20讲一、课时目标1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域、2、了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数、3、了解简单的分段函数，并能简单应用、二、主要知识点1、函数(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射、(2)函数的三要素：、(3)函数的表示法：、(4)两个函数只有当都分别相同时，这两个函数才相同、2、分段函数在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数、三、经典例题题型一函数与映射的概念【例1】下列对应是否是从集合A到B的映射，能否构成函数？①A＝N，B＝Q，f：a→b＝；②A＝{x|x＝n，n∈N*}，B＝{y|y＝，n∈N*}，f：x→y＝；③A＝{x|x≥0，x∈R}，B＝R，f：x→y，y2＝x；④A＝{平面M内的矩形}，B＝{平面M内的圆}，f：作矩形的外接圆、【探究1】(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓、(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A、B为非空数集时，即成为函数、(3)高考对映射的考查往往结合其他知识，只有深刻理解映射的概念才能在解决此类问题时【变式1】(1)集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A 到B的函数的是()A、f：x→y＝xB、f：x→y＝xC、f：x→y＝xD、f：x→y＝(2)设a在映射f下的象为2a＋a，则20在映射f下的原象为________【例2】以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？(1)f1：y＝；f2：y＝1、(2)f1：y＝|x|；f2：y＝(3)f1：y＝ f2：xx≤11<x<2x≥2y123(4)f1：y＝2x；f2：如图所示、【探究2】(1)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同、(2)两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，是相同函数、【变式2】下列各对函数中，表示同一函数的是()A、f(x)＝lgx2，g(x)＝2lgxB、y＝f(x)与y＝f(x＋1)C、f(u)＝，g(v)＝D、f(x)＝x，g(x)＝题型二函数的解析式【例3】求下列函数的解析式：(1)已知f(x)是一次函数，并且f[f(x)]＝4x＋3，求f(x)；(2)已知f(2x＋1)＝4x2＋8x＋3，求f(x)；(3)已知f(x＋)＝x2＋－3，求f(x)；(4)已知f(x)－2f()＝3x＋2，求f(x)、【探究3】函数解析式的求法(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式、(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法、(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围、(4)方程思想：已知关于f(x)与f()或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)、【变式3】(1)已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式、 (2)已知f(x－2)＝2x2－9x＋13，求f(x)的解析式、 (3)若函数f(x)满足f(x)＋2f(1－x)＝x，则f(x)的解析式为____、题型三分段函数与复合函数【例4】已知函数f(x)＝g(x)＝x＋1，求：(1)g[f(x)]；(2)f[g(x)]、探究4 分段函数、复合函数是高考热点，分段函数体现在不同定义域的子集上，对应法则不同，因此注意选择法则，而复合函数是把内层函数的函数值作为外层函数的自变量，因此要注意复合函数定义域的变化、【变式4】(1)(xx北京)函数f(x)＝的值域为________、(2)设函数f(x)＝若f(a)＝，则f[f(a＋6)]＝________、题型四抽象函数【例5】已知偶函数f(x)，对任意的x1，x2∈R恒有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)＋2x1x2＋1，则函数f(x)的解析式为________、【探究5】抽象函数问题的处理一般有两种途径：(1)看其性质符合哪类具体函数形式，用具体函数代替抽象解决问题、(2)利用特殊值代入寻求规律和解法、【变式5】设f(x)是R上的函数，且f(0)＝1，对任意x，y∈R恒有f(x －y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，求f(x)的表达式、四、本课总结1、映射问题允许多对一，但不允许一对多！换句话说就是允许三石一鸟，但不允许一石三鸟！2、函数问题定义域优先！3、抽象函数不要怕，赋值方法解决它！4、分段函数分段算，然后并到一起保平安、五、课堂作业1、已知f()＝，则f(1)＝________、2、电信资费调整后，市话费标准为：通话时间不超过3 min收费0、2 元；超过3 min 以后，每增加1 min收费0、1 元，不足1 min按1 min计费，则通话收费s(元)与通话时间t(min)的函数图像可表示为图中( )3、已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x等于()A、log32B、－2C、log32或－2D、24、已知集合M＝{－1,1,2,4}，N＝{0,1,2}，给出下列四个对应法则：①y＝x2，②y＝x＋1，③y＝2x，④y＝log2|x|，其中能构成从M到N的函数的是________、5、已知f(x－)＝x2＋，则f(3)＝______、6、如图所示，函数f(x)的图像是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝________、课题2函数的定义域与值域一、课时目标1、了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域、2、了解简单的分段函数，并能简单应用、二、主要知识点1、函数的定义域(1)求定义域的步骤：①写出使函数式有意义的不等式(组)；②解不等式(组)；③写出函数定义域、(注意用区间或集合的形式写出)(2)基本初等函数的定义域：①整式函数的定义域为、②分式函数中分母、③偶次根式函数被开方式、④一次函数、二次函数的定义域均为、⑤函数f(x)＝x0的定义域为、⑥指数函数的定义域为、对数函数的定义域为、2、函数的值域基本初等函数的值域：(1)y＝＋b(k≠0)的值域是、(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为、(3)y＝(k≠0)的值域是、(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是、(5)y＝(a>0且a≠1)的值域是、三、经典例题题型一函数的定义域【例1】(1)函数y＝的定义域为________、(2)函数y＝(a>0且a≠1)的定义域为________、(3)函数f(x)＝的定义域为________、【探究1】(1)给定函数的解析式，求函数的定义域的依据是基本代数式的意义，如分式的分母不等于零，偶次根式的被开方数为非负数，零指数幂的底数不为零，对数的真数大于零且底数为不等于1的正数以及三角函数的定义等、(2)求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题、在解不等式组时要细心，取交集时可借助数轴，并且要注意端点值或边界值、【变式1】求函数y＝＋的定义域、【例2】(1)已知y＝f(x)的定义域为[1,2]，求y＝f(3x－1)的定义域、(2)已知y＝f(log2x)的定义域为[1,2]，求y＝f(x)的定义域、【探究2】(1)若已知y＝f(x)的定义域为[a，b]，则y＝f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出、(2)若已知y＝f[g(x)]的定义域为[a，b]，则y＝f(x)的定义域即为g(x)的值域、【变式2】(1)(xx大纲全国)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为________、(2)若函数f(2x)的定义域是[－1,1]，求f(log2x)的定义域、题型二函数的值域【例3】求下列函数的值域：(1)y＝； (2)y＝； (3)y＝x＋＋1； (4)y＝x－； (5)y＝x＋；(6)y＝|x＋1|＋|x－2|、【探究3】求函数值域的一般方法有：①分离常数法；②反解法；③配方法；④不等式法；⑤单调性法；⑥换元法、【变式3】(1)函数的值域为()A、(－∞，]B、[，1]C、[，1)D、[，＋∞)(2)函数y＝的值域是________、(3)函数y＝的值域为________、题型三函数定义域与值域的应用【例4】已知函数f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]、(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围、【探究4】已知值域求参数的值或范围是值域应用中的一类比较典型的题目、【变式4】已知函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋6，x∈R、(1)若函数的值域为[0，＋∞)，求a的值；(2)若函数的值域为非负数集，求函数f(a)＝2－a|a＋3|的值域、四、本课总结求函数的值域与最值没有通性通法，只能根据函数解析式的结构特征来选择对应的方法求解，因此，对函数解析式结构特征的分析是分重要的、常见函数解析式的结构模型与对应求解方法可归纳为：1、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)及二次型函数y＝a[f(x)]2＋b[f(x)]＋c(a≠0)可用换元法、2、形如y＝(其中a1，a2不全为0且a2x2＋b2x＋c2≠0)的函数可用判别式法、3、形如y＝ax＋b(a、b、c、d为常数，ac≠0)的函数，可用换元法或配方法、4、形如y＝(c≠0)或y＝或y＝的函数，可用反函数法或分离常数法、5、形如y＝x＋(k>0，x>0)的函数可用图像法或均值不等式法、6、对于分段函数或含有绝对值符号的函数(如y＝|x －1|＋|x＋4|)可用分段求值域(最值)或数形结合法、7、定义在闭区间上的连续函数可用导数法求函数的最值，其解题程序为第一步求导，第二步求出极值及端点函数值，第三步求最大、最小值、五、课堂作业1、函数的定义域是()A、(－3，＋∞)B、[－2，＋∞)C、(－3，－2)D、(－∞，－2]2、(xx山东)函数f(x)＝＋的定义域为()A、(－3,0]B、(－3,1]C、(－∞，－3)∪(－3,0]D、(－∞，－3)∪(－3,1]3、对函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)作x＝h(t)的代换，则总不改变函数f(x)的值域的代换是()A、h(t)＝10tB、h(t)＝t2C、h(t)＝D、h(t)＝log2t4、函数y＝的定义域为________、5、函数y＝的值域为________、课题3函数的单调性和最值一、课时目标1、理解函数的单调性及其几何意义、2、会运用函数图像理解和研究函数的性质、3、会求简单函数的值域，理解最大(小)值及几何意义、二、主要知识点1、单调性定义(1)单调性定义：给定区间D上的函数y＝f(x)，若对于∈D，当x1＜x2时，都有f(x1)f(x2)，则f(x)为区间D上的增函数，否则为区间D上的减函数、单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的子区间、(2)证明单调性的步骤：证明函数的单调性一般从定义入手，也可以从导数入手、①利用定义证明单调性的一般步骤是a、∀x1，x2∈D，且，b、计算并判断符号，c、结论、②设y＝f(x)在某区间内可导，若f′(x)0，则f(x)为增函数，若f′(x)0，则f(x)为减函数、2、与单调性有关的结论(1)若f(x)，g(x)均为某区间上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)为某区间上的函数、(2)若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为函数、(3)y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相同，则y＝f[g(x)]是、若f(x)与g(x)的单调性相反，则y＝f[g(x)]是、(4)奇函数在对称区间上的单调性，偶函数在对称区间上的单调性、(5)若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)的最大值为，最小值为，值域为、3、函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意x∈I，都有，②存在x0∈I，使得，那么称M是函数y＝f(x)的最大值；类比定义y ＝f(x)的最小值、三、经典例题题型一单调性的判断与证明【例1】判断函数f(x)＝(a≠0)在区间(－1,1)上的单调性、【探究1】(1)判断函数的单调性有三种方法：①图像法；②利用已知函数的单调性；③定义法、(2)证明函数的单调性有两种方法：①定义法；②导数法、【变式1】设函数f(x)＝2x＋a2－x－1(a为实数)、若a<0，用函数单调性定义证明：y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数、题型二求函数的单调区间例2 求下列函数的单调区间、(1)f(x)＝－x2＋2|x|＋3； (2)f(x)＝log(－x2－2x＋3)；（4）y＝3x2－6lnx、【探究2】求函数的单调区间与确定单调性的方法一致、(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间、(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义、(3)图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易作出，可由图像的直观性写出它的单调区间、4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间、(5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：①求函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”、(6)求函数单调区间，定义域优先、【变式1】求下列函数的单调区间、(1)f(x)＝； (2)f(x)＝log(－x2＋4x＋5)； (3)y＝x－(x－1)、题型三利用单调性求最值【例3】求函数f(x)＝x－在[1,3]上的最值、【探究3】(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图像不易作出时，单调性几乎成为首选方法、(2)函数的最值与单调性的关系若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)、【变式3】已知f(x)＝，x∈[1，＋∞)、(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求实数a 的取值范围、题型四单调性的应用【例4】(1)已知函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(x2＋2x＋3)<f(6)的x的取值范围为________、(2)已知函数y＝(2－ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是________、【探究4】已知单调性求参数值或利用单调性解不等式是高考中热点，主要体现对性质的应用、【变式4】(1)已知f(x)＝是R上的增函数，那么a的取值范围是________、(2)已知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且在其上为增函数，满足f()＝f(x)＋f(y)，f(2)＝1，试解不等式f(x)＋f(x－2)＜3、四、本课总结1、单调区间是定义域的子区间，求单调区间、定义域优先、2、熟记各基本初等函数的单调区间，是求单调区间的前提、基础、3、对于对勾函数y＝x＋(a>0)，单调增区间：(－∞，－]，[，＋∞)；单调减区间：[－，0)，(0，]、4、函数的单调增、减区间要分开写；两个(或两个以上)同一类单调区间之间用“，”隔开，不能用“∪”符号连接、5、若f(x)具有对称轴x＝a，则在x＝a两侧的对称区间上f(x)具有相反的单调性；若f(x)具有对称中心(a，b)，则在x＝a两侧的对称区间上f(x)具有相同的单调性、6、函数图像的平移不影响单调性；其中左右平移能改变单调区间，上下平移不改变单调区间、自助专题求函数最值的常用方法1、配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的最值问题，可以考虑用配方法、【例1】已知函数y＝(ex－a)2＋(e－x－a)2(a∈R，a≠0)，求函数y 的最小值、2、换元法【例2】(1)函数f(x)＝x＋2的最大值为________、(2)求函数y＝x－的值域、3、不等式法【例3】设x，y，z为正实数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________、4、单调性法【例4】设a>1，函数f(x)＝在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________、5、平方法【例5】已知函数y＝＋的最大值为M，最小值为m，则的值为()A、B、C、D、6、数形结合法【例7】对a，b∈R，记max|a，b|＝函数f(x)＝max||x＋1|，|x－2||(x∈R)的最小值是________、五、课堂作业1、下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是()A、y＝1－x2B、y＝x2＋xC、y＝－D、y＝2、若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是()A、a<－3B、a≤－3C、a>－3D、a≥－33、若函数f(x)是R上的增函数，对实数a、b，若a＋b>0，则有()A、f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)B、f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)C、f(a)－f(b)>f(－a)－f(－b)D、f(a)－f(b)<f(－a)－f(－b)4、函数f(x)＝log0、5(x＋1)＋log0、5(x－3)的单调递减区间是()A、(3，＋∞)B、(1，＋∞)C、(－∞，1)D、(－∞，－1)5、给出下列命题①y＝在定义域内为减函数；②y＝(x－1)2在(0，＋∞)上是增函数；③y＝－在(－∞，0)上为增函数；④y ＝kx不是增函数就是减函数、其中错误命题的个数有________、课题4函数的奇偶性一、课时目标1、了解奇函数、偶函数的定义，并能运用奇偶性的定义判断一些简单函数的奇偶性、2、掌握奇函数与偶函数的图像对称关系，并熟练地利用对称性解决函数的综合问题、二、主要知识点1、奇函数、偶函数、奇偶性对于函数f(x)，其定义域关于原点对称：(1)如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就是奇函数；(2)如果对于函数定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就是偶函数；(3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性、2、证明函数奇偶性的方法步骤(1)确定函数定义域关于对称；(2)判定f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，从而证得函数是奇(偶)函数、3、奇偶函数的性质(1)奇函数图像关于对称，偶函数图像关于对称；(2)若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝；(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性；若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性、(4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之也成立、4、一些重要类型的奇偶函数(1)函数f(x)＝ax＋a－x为函数，函数f(x)＝ax－a－x为函数；(2)函数f(x)＝＝(a>0且a≠1)为函数；(3)函数f(x)＝为函数；(4)函数f(x)＝(x＋)为函数、5、周期函数若f(x)对于定义域中任意x均有 (T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数、6、函数的对称性若f(x)对于定义域中任意x，均有f(x)＝f(2a－x)，或f(a＋x)＝f(a－x)，则函数f(x)关于对称、三、经典例题题型一：判断函数的奇偶性【例1】判断下列函数的奇偶性，并证明、(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝x3＋x＋1；(3)f(x)＝x2－|x|＋1 x∈[－1,4]；(4)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；(5)f(x)＝；(6)f(x)＝(x－1)x∈(－1,1)、【探究1】判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于f(x)、(2)图像法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y轴)对称、(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数、(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)【变式】1 判断下列函数的奇偶性、(1)f(x)＝； (2)f(x)＝＋(a>0，且a≠1)； (3)f(x)＝题型二奇偶性的应用【例2】(1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，x＞0时，f(x)＝x ＋1，f(x)的解析式为__________________________、(2)f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，且x∈[0,1)时f(x)为增函数，则不等式f(x)＋f(x－)＜0的解集为__________、(3)函数f(x＋1)为偶函数，则函数f(x)的图像的对称轴方程为__________、【探究2】奇偶函数的性质主要体现在：(1)若f(x)为奇函数，则f(－x)＝－f(x)；若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)、(2)奇偶函数的对称性、(3)奇偶函数在关于原点对称的区间上的单调性、【变式2】(1)若函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是减函数，满足f(π)<f(a)的实数a的取值范围是________、(2)函数y ＝f(x－2)为奇函数，则函数y＝f(x)的图像的对称中心为__________、题型三函数的周期性【例3】设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0、(1)证明：函数f(x)为周期函数；(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 005,2 005]上的根的个数，并证明你的结论、【探究3】(1)证明函数是周期函数应紧扣周期函数的定义、(2)若函数f(x)对任意x满足f(x＋a)＝f(x＋b)，则f(x)为周期函数，若函数f(x)对任意x满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数图像为轴对称图形、【变式3】(1)f(x)是定义域为R的奇函数，且图像关于直线x＝1对称，试判断f(x)的周期性、(2)f(x)是定义在R上的函数，对任意x∈R均满足f(x)＝－，试判断函数f(x)的周期性、【例4】(xx衡水中学调研卷)已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图像关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1、(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式；(3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 013)的值、【变式4】已知f(x)为偶函数，且f(－1－x)＝f(1－x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝－x＋1，求x∈[5,7]时，f(x)的解析式、四、本课总结常用结论记心中，快速解题特轻松：1、(1)若f(x)定义域不对称，则f(x)不具有奇偶性、(2)若f(x)为奇函数，且在x＝0处有定义，则f(0)＝0、(3)若f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(x)、2、(1)任意一个定义域关于零点对称的函数f(x)均可写成一个奇函数g(x)与一个偶函数h(x)和的形式，则g(x)＝，h(x)＝、(2)若函数y＝f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)＋f(－x)为偶函数，f(x)－f(－x)为奇函数，f(x)f(－x)为偶函数、3、函数f(x)关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a＋x)＝f(－x)⇔f(2a－x)＝f(x)、4、(1)若函数f(x)满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)周期T＝2a、(2)若函数f(x)满足f(x＋a)＝，则f(x)周期T＝2a、5、(1)若f(x)关于x＝a，x ＝b都对称，且a<b，则f(x)是周期函数且T＝2(b－a)、(2)若f(x)关于(a,0)，(b,0)都对称，且a<b，则f(x)是周期函数，且T ＝2(b－a)、(3)若f(x)关于(a,0)及x＝b都对称，且a<b，则f(x)是周期函数，且T＝4(b－a)、五、课堂作业1、(xx天津)下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为()A、y＝cos2x，x∈RB、y＝log2|x|，x∈R且x≠0C、y＝，x∈RD、y＝x3＋1，x∈R2、若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图像上的是()A、(a，－f(a))B、(－a，－f(a))C、(－a，－f(－a))D、(a，f(－a))3、已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于()A、－x(1－x)B、x(1－x)C、－x(1＋x)D、x(1＋x)4、函数f(x)是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f(x)在[－1,0]上是减函数，那么f(x)在[2,3]上是( )A、增函数B、减函数C、先增后减的函数D、先减后增的函数5、(xx重庆)已知函数f(x)＝ax3＋＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg2))＝()A、－5B、－1C、3D、46、若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________、课题5二次函数一、课时目标1、理解并掌握二次函数的定义、图像及性质、2、会求二次函数在闭区间上的最值、3、能用二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的联系去解决有关问题、二、主要知识点1、二次函数的解析式的三种形式(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；对称轴方程是；顶点为、(2)两根式：y＝a(x－x1)(x －x2)；对称轴方程是；与x轴的交点为、(3)顶点式：y＝a(x －k)2＋h；对称轴方程是；顶点为、2、二次函数的单调性当a>0时，上为增函数；在上为减函数；当a<0时，与之相反、3、二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的内在联系(1)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标是方程的实根、(2)若x1，x2为f(x)＝0的实根，则f(x)在x轴上截得的线段长应为|x1－x2|＝、(3)当时，恒有f(x)>0；当时，恒有f(x)<0、4、设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况(1)若－∈[m，n]，则f(x)max＝max，f(x)min＝f(－)、(2)若－∉[m，n]，则f(x)max ＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}、5、二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)实根的分布(1)方程有两个均小于常数k的不等实根的充要条件是、(2)方程有两个均大于常数k的不等实根的充要条件是、(3)方程有一个小于常数k和一个大于常数k的不等实根的充要条件是、(4)方程有位于区间(k1，k2)内的两个不等实根的充要条件是、(5)方程有两个不等实根x1<x2且k1<x1<k2<x2<k3的充要条件是、(6)在(k1，k2)内有且仅有一个实根的一个充分条件是、三、经典例题题型一二次函数的解析式【例1】已知二次函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝0，f(1)＝1，求f(x)的解析式、【探究1】根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【变式1】已知二次函数图像的顶点是(－2，)与x轴的两个交点之间的距离为6，则这个二次函数的解析式为________、题型二二次函数的值域和最值【例2】求下列函数的值域：(1)y＝x2＋4x－2，x∈R；(2)y＝x2＋4x－2，x∈[－5,0]；(3) y＝x2＋4x－2，x∈[－6，－3]；(4)y＝x2＋4x－2，x∈[0,2]、【探究2】配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如F(x)＝af2(x)＋bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使用配方法、【变式2】求下列函数的值域：（1）y＝；(2)y＝2－(0≤x≤4)、【例3】已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈[－2,2]时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围、【探究3】(1)求二次函数f(x)在某区间[m，n]上的最值的关键是判断抛物线对称轴与区间[m，n]的位置关系，以便确定函数在该区间的单调性、本题中的对称轴为x＝－，与区间[－2,2]的位置关系不确定，是造成分类讨论的原因、(2)二次函数在区间上的最值问题，可分成三类：①对称轴固定，区间固定；②对称轴变动，区间固定；③对称轴固定，区间变动、此类问题一般利用二次函数的图像及其单调性来考虑，对于后面两类问题，通常应分对称轴在区间内、左、右三种情况讨论、【变式3】已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值、题型三一元二次根的分布情况【例4】(1)已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋(m－1)＝0有一正根和一负根，求实数m的取值范围、(2)已知方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有两个不等正实根，求实数m的取值范围、(3)已知二次方程mx2＋(2m－3)x＋4＝0只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围、【探究4】一元二次方程根的分布的求法：(1)数形结合法、(2)韦达定理法、(3)求根公式法、具体问题中用哪种方法要视其过程是否复杂而定、【变式4】(1)已知二次函数y＝(m＋2)x2－(2m＋4)x＋(3m＋3)与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围、(2)关于x的方程(1－m2)x2＋2mx－1＝0有两个根，一个小于0，一个大于1，求m的范围、四、本课总结1、求二次函数的解析式常用待定系数法(如例1)、2、二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为y＝a(x＋m)2＋n的形式，得顶点(－m，n)和对称轴方程x＝－m，可分成三个类型、(1)顶点固定，区间也固定、(2)。