高三数学全真模拟卷3 文

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2023年高考数学全真模拟热身测试卷03卷(新高考专用)原卷及解析

2023届高考数学·备战热身卷3一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，有一项符合题目要求。

）1．（2022·河北·模拟预测）已知集合A ={}{}|4|342y y B x x x A B ≥-=≤-⋂=，，则（）A ．4|45x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭B ．4|45x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．{|4x x ≤-或45x ⎫≥⎬⎭D ．R2．（2022·河北·模拟预测）已知复数i z a b =+（a ，b ∈R ），若20212i i ab +=+，则z =（）A ．12i -+B ．12i +C ．12i --D ．12i -3．（2022·河北·模拟预测）一质点在单位圆上作匀速圆周运动，其位移满足的方程为sin2h t =，其中h 表示位移（单位：m ），t 表示时间（单位：s ），则质点在1t =时的瞬时速度为（）A ．sin2 m/sB ．cos2 m/sC ．2sin2 m/sD ．2cos2 m/s4．（2022·全国·高三专题练习）在等差数列{}n a 中，m a n =，n a m =，则m na+=（）A ．0B ．mC ．nD ．m n +5．（2022·河北·模拟预测）函数cos 1()(3lg5lg 64)2x f x x =⋅+（[],x ππ∈-）的图象大致是A ．B ．C ．D ．6．（2022·河北·模拟预测）已知向量a 与b 的夹角为120°，且2a b ⋅=-，向量c 满足()()101c a b λλλ=+-<<，且a c b c ⋅=⋅，记向量c 在向量a 与b 方向上的投影分别为x 、y ．22x y xy ++的最大值为（）A ．14B ．2C ．34D ．547．（重庆市西南大学附属中学校2021-2022学年高二下学期第三次月考数学试题）已知数列{}n a 满足112a =-，21220n n n a a a ++-=，则下列结论错误的是（）A ．{}n a 是单调递增数列B ．存在*n N ∈，使得0n a >C ．12111112222n n a a a a +++⋅⋅⋅+=--+++D ．339128a =-8．（2022·河北·模拟预测）已知0x 是方程()e 2xf x x =+-的零点（其中e 2.71828=为自然对数的底数），下列说法错误的是（）A ．()00,1x ∈B ．()00ln 2x x -=C ．020e xx -> D ．00e 0xx --<二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

高三数学第三次模拟试题文新人教A版

泗县二中高三第三次模拟数学（文）试题本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部份，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++= 2．下列命题正确的是（）A ．函数cos()3y x π=+的图像是关于点(,0)6π成中心对称的图形 B ．函数44cos sin y x x =-的最小正周期为2π C ．函数sin(2)(,)336y x πππ=+-在区间内单调递增D ．函数tan()3y x π=+的图像是关于直线6x π=成轴对称的图形3．若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是（）A ．—3B ．13C ．3D ．—134．如图几何体的主（正）视图和左（侧）视图都正确的是（）5．已知集合I={1,2,3,4}，A={1}，B={2，4}，则()I AC B =（）A ．{1}B ．{3}C ．{1，3}D ．{1，2，3}6．从某班学生中任意找出一人，若是该同窗的身高小于160cm 的概率为，该同窗的身高在[160，175]cm 的概率为，那么该同窗的身高超过175cm 的概率为（） A ． B ．0.7 C ． D ． 7．若[()]63,()21,()f g x x g x x f x =+=+且则的解析式为（）A ．3B ．3xC ．3(21)x +D ．61x +8．复数212ii+=-=（）A ．i -B ．iC ．22i -D ．22i -+9．在空间四边形ABCD 中，在AB 、BC 、DC 、DA 上别离取E 、F 、G 、H 四点，若是GH 、EF 交于一点P ，则（） A ．P 必然在直线BD 上 B ．P 必然在直线AC 上 C ．P 在直线AC 或BD 上 D ．P 既不在直线BD 上，也不在AC 上10．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每吨甲产品可取得利润5万元，每吨乙产品可取得利润3万元。

2020年3月普通高考新课标III卷全真模拟文科数学卷3(6页)

2020年3月普通高考新课标III 卷全真模拟文科数学卷3数学（文）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U =R ，集合{}|10A x x =-≤，集合{}|23B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（）A ．{}|3x x <B ．{}|31x x -<≤C ．{}|2x x <D ．{}|21x x -<≤2．已知i 为虚数单位，复数()23z i i =+，则其共扼复数z =（） A ．23i -B ．23i --C ．32i -D ．32i --3．已知四边形ABCD 是平行四边形，点E 为边CD 的中点，则BE =u u u rA ．12AB AD -+u u u r u u u r B ．12AB AD -u u ur u u u r C ．12AB AD +u u u r u u u r D ．12AB AD -u u u r u u u r4．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式(如图所示)，表示一个多位数时，像阿拉伯记数-样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、万．．．用纵式表示，十位、千位、十万位．--．用横式表示，例如6613用算筹表示就是，则8335可用算筹表示为( )A ．B ．C ．D ．5．已知曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为（）A ．2BC ．3D6．设sin 6a π=，2log 3b =，2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<7．一个几何体的三视图如右图所示，且其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为( )A ．(43π+ B ．(86π+ C ．(83π+ D ．(4π+8．已知函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的两个相邻的对称轴之间的距离为2π，为了得到函数()sin g x x ω=的图象，只需将()y f x =的图象（）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度9．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，且OA =（O 为坐标原点），则该椭圆的离心率为（）A B C D10．ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若120B =︒，sin 7C =，2c =，则ABC ∆的面积等于（）A B ．C D11．在三棱柱111 ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，记ABC ∆和四边形11ACC A 的外接圆圆心分别为12,O O ，若2AC =，月三棱柱外接球体积为323π，则12O O 的值为( )A ．53B ．2CD12．已知函数2e (),()212xf xg x x x a x==-++-，若12,(0,)x x ∀∈+∞，都有()()12f x g x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ．(,)e -∞B ．(,e]-∞C ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α= ． 14．如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率．已知该年级男生500人、女生400名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为．15．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的一个顶点为()0,4B ，离心率e =，直线l 交椭圆于M ，N两点，如果△BMN 的重心恰好为椭圆的左焦点F ，则直线l 方程为． 16．已知()f x 为偶函数，且当0x ≥时，()31cos sin 3x x x f x x =-+，则满足不等式()()212log log 21f m f m f ⎛⎫+< ⎪⎝⎭的实数m 的取值范围为．三、解答题：（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，2458,15a a S ⋅==；等比数列{}n b 的前n 项和21nn T =-（I ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；（II ）当{}n a 各项为正时，设n n n c a b =⋅，求数列{}n c 的前n 项和．18．（本小题满分12分）在长方体1111-ABCD A B C D 中，1AD AA =．（I ）证明：平面1A BD ⊥面11BC D ；（II ）求三棱锥11B A BD -与11D A BD -的体积比．至2018年底，我国发明专利申请量已经连续8年位居世界首位，下表是我国2012年至2018年发明专利申请量以及相关数据．注：年份代码1～7分别表示2012～2018．（I ）可以看出申请量每年都在增加，请问这几年中哪一年的增长率达到最高，最高是多少？（II ）建立y 关于t 的回归直线方程（精确到0.01），并预测我国发明专利申请量突破200万件的年份．参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为112211()ˆ()()()n niii ii i nni i i i x x y y x y nxybx x x x ====---==--∑∑∑∑，.ˆˆay bx =-20．（本小题满分12分）已知抛物线2(:0)y ax a >Γ=的焦点为F ，若过F 且倾斜角为4π的直线交Γ于M ，N 两点，满足||4MN =．（I ）求抛物线Γ的方程；（II ）若P 为Γ上动点，B ，C 在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC V ，求PBC V 面积的最小值．已知函数()e (0)xx f x a a=->．（I ）求函数()f x 在[1,2]上的最大值；（II ）若函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，证明：12x ae x <．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（I ）求曲线C 的极坐标方程；（II ）设,A B 为曲线C 上不同两点（均不与O 重合），且满足4AOB π∠=，求OAB ∆的最大面积．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分）设函数()|2||2|f x x x =+-- （I ）解不等式()2f x ≥；（II ）当x ∈R ，01y <<时，证明：11|2||2|1x x y y+--≤+-．。

高三数学第三次模拟考试试题文新人教A版

普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部份，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真查对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案利用2B 铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案利用毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请依照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。

4．维持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生依照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

参考公式：样本数据n x x x ,,21的标准差锥体体积公式(n s x x =++- 13V Sh =其中x 为样本平均数其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式球的表面积，体积公式V Sh = 24S R π= 343V R π=其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U=R ，设函数y=lg(x-1)的概念域为集合A ，函数y=522++x x 的值域为集合B ，则A∩(C U B)=( )A ．[1,2]B ．[1,2)C ．(1,2]D ．(1,2)文科数学试卷第1页(共5页)2．已知sinθ=54，且sinθ-cosθ>1，则sin2θ=( ) A ． -2524 B ．-2512 C ．-54 D ．2524 3．已知等差数列}{n a 知足,0101321=++++a a a a 则有( ) A ．01011>+a a B ．01002<+a aC ．0993=+a aD ．5151=a4．已知011<<ba ，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab<b 2C ．2>+abb a D ．|a|+|b|>|a+b|5. 下图给出了下一个算法流程图，该算法流程图的功能是( )A ．求a,b,c 三数的最大数B ．求a,b,c 三数的最小数C ．将a,b,c 按从小到大排列D ．将a,b,c 按从大到小排列6. 已知函数)5(,)0)(3()0(2)(f x x f x x f x则⎪⎩⎪⎨⎧>-≤==( ) A ．32 B ．16C ．21D ．3217. 若命题“p ∧q”为假，且“⌝p”为假，则( )A ．p 或q 为假B ．q 假C ．q 真D ．不能判断q 的真假8．已知正四棱锥的各棱棱长都为23，则正四棱锥的外接球的表面积为( )A ．π12B ．π36C ．π72D ．π1089．函数y=sinxcosx+3cos 32-x 的图象的一个对称中心是( )A )23,32(-π B )23,65(-π C )23,32(π- D )3,3(-π10．甲、乙两棉农，统计持续五年的面积产量(千克∕亩)如下表：棉农甲 68 72 70 69 71 棉农乙6971686869则平均产量较高与产量较稳定的别离是( )??A ．棉农甲，棉农甲B ．棉农甲，棉农乙C ．棉农乙，棉农甲D ．棉农乙，棉农乙11. 已知函数34)(2+-=x x x f ，集合(){}0)()(,≤+=y f x f y x M ，集合(){}0)()(,≥-=y f x f y x N ，则集合N M 的面积是( )A ．4π B ．2πC ．πD ．π212．设f (x )，g (x )别离是概念在R 上的奇函数和偶函数，当x <0时，0)(')()()('>+x g x f x g x f ，且0)3(=-f ，则不等式0)()(<x g x f 的解集是( ）A ．(－3，0)∪(3，+∞)B ．(－3，0)∪(0，3)C ．(－∞，－3)∪(3，+∞)D ．(－∞，－3)∪(0，3)第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部份．第13题～第21题为必考题，每一个试题考生都必需做答．第22题～第24题为选考题，考生按照要求做答．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13 椭圆19822=++y k x 的离心率为21，则k 的值为________.14. 已知函数),(1222)(R x a a x f xx ∈+-+⋅=是奇函数，则实数a 的值________.15. 已知边长别离为a 、b 、c 的三角形ABC 面积为S ，内切圆O 半径为r ，连接OA 、OB 、OC ，则三角形OAB 、OBC 、OAC 的面积别离为21cr 、21ar 、21br ，由S=21cr+21ar+21br 得r=cb a S++2，类比得若四面体的体积为V,四个面的面积别离为A 、B 、C 、D ，则内切球的半径R=_____________.16.若数列}{n a 知足}*1112()1nn n na a a n N a ++==∈-数列满足，，则该数列的前2013项的乘积______.三、解答题:本大题共5小题，共计70分。

天一大联考高三高考全真模拟卷(三)数学文科试题(2020年整理).pdf

2
为
.
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每个试题考生都
必须作答.第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答.
3
（一）必考题：共 60 分.
17．如图，△ABC 为等边三角形，边长为 3, D 为边 AC 上一点且 AD = 2DC ，过 C 作 CE ⊥ BC 交 BD 的延长线于点 E .
4
5
C
D
14
乙、丁
6
7
8
B
D
A
15
y2 = 2x 或 y2 = 6x
9 10 11 DC A
16
−1, +)
1．B 考查目标本题考查集合的并集运算，考查运算能力.
思路点拨对于集合 A ：配方得 ( x −1)2 + ( y + 2)2 = 0 ， x = 1， y = −2 ，从而 A = 1 .对于集合 B ：
f
( x1 ) − f ( x2 )
x2 − x1
0 ，a
=
f
1 4
，b
=
f
3 2
，c
=
f
t
+
1 t
，t
0 ，则 a ，b ，c 的大小关系为（
）
A． a b c
B． a c b
C． c a b
D．b a c
6．已知 m ，n ，l 是不同的直线，，是不同的平面，直线 m ，直线 n ， = l ，m ⊥ l ，
( )( ) x −1 x + 2 0 ， x 0 ， x + 2 0 ， x −1 0 ，解得 x 1，B = (1, +) ，从而

2021年高三第三次模拟考试数学(文)试题

2021年高三第三次模拟考试数学（文）试题本试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、学生代号填写清楚；2.选择题必须使用２Ｂ铅笔填涂；3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共１２小题，每小题5分，共60分，每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意）１．已知复数，则（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．２．已知函数，且当，的值域是，则的值是（）A．B．C．D．３．设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（）A．B．C．D．4．函数，在区间上的简图是（）５．如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为的等腰三角形，侧视图是半径为的半圆，则该几何体的表面积是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．６．已知等比数列中，各项都是正数，前项和为，且成等差数列，若，则（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．７．在锐角中，，则的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．８．若向量是单位向量，，则的取值范围是（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．９．（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．１０．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．１１．如图是用二分法求方程的近似解（精确度为0.1）的程序框图，则阅读程序框图并根据下表信息求出第一次满足条件的近似解为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．根所在区间区间端点函数值符号中点值中点函数值符号（2，3）f(2)<0, f(3)>0 2.5 f(2.5)<0（2.5，3）f(2.5)<0,f(3)>0 2.75 f(2.75)>0（2.5，2.75）f(2.5)<0，f(2.75)>0 2.625 f(2.625)>0（2.5，2.625）f(2.5)<0，f(2.625)>0 2.5625 f(2.5625)<0（2.5625，2.625）f(2.5625)<0，f(2.625)>0 2.59375 f(2.59375)>0（2.5625,2.59375）f(2.5625)<0，f(2.59375)>0 2.578125 f(2.578125)<0(2.578125,2.59375) f(2.578125)<0,f(2.59375)>0１２．在一个正方体中，为正方形四边上的动点，为底面正方形的中心，分别为的中点，点为平面内一点，线段与互相平分，则满足的实数的值有（）Ａ．个Ｂ．个Ｃ．个Ｄ．个第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共４小题，每小题5分，共２0分）１３．已知，则的最小值为。

〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学三模试卷文科

〖人教版〗高三数学复习试卷高考数学三模试卷文科创作人：百里灵明创作日期：2021.04.01审核人：北堂正中创作单位：北京市智语学校一．选择题（本大题共10道小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一个是符合题目要求的）1．（5分）函数y=的定义域是（）A．（3，+∞）B．（0，3]C．[0，3]D．（﹣∞，3]2．（5分）（•石景山区一模）下列函数中周期为π且图象关于直线x=对称的函数是（）A．y=2sin（+）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（2x+）D．y=2sin（﹣）3．（5分）（•东城区一模）已知i是虚数单位，若=1﹣i，则z的共轭复数为（）A．1﹣2i B．2﹣4i C．﹣2i D．1+2i4．（5分）（•石景山区一模）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．25．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S1，S2+a2，S3成等差数列，则数列{a n}的公比为（）A．1B．2C．D．36．（5分）下列说法错误的是（）A．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法．B．线性回归方程对应的直线=x+至少经过其样本数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…（x n，y n）中的一个点．C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高．D．在回归分析中，相关指数R2为0.98的模型比相关指数R2为0.80的模型拟合的效果好．7．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．B．3+C．3D．8．（5分）已知x、y满足，则z=的取值范围为（）A．[0，]B．[0，1]C．（﹣∞，]D．[，+∞）9．（5分）（•惠州模拟）已知定义域为（﹣1，1）的奇函数y=f（x）又是减函数，且f（a﹣3）+f（9﹣a2）＜0，则a的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣2，3）10．（5分）（•江西模拟）若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x﹣y∈A，且x≠0时，．则称集合A是“好集”．（1）集合B={﹣1，0，1}是好集；（2）有理数集Q是“好集”；（3）设集合A是“好集”，若x，y∈A，则x+y∈A；（4）设集合A是“好集”，若x，y∈A，则必有xy∈A；（5）对任意的一个“好集A”，若x，y∈A，且x≠0，则必有．则上述命题正确的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，满分15分．其中14-15题是选做题，考生只能选做一题，两题全部作答的，只计算14题得分．11．（5分）平面向量，满足||=2，||=1，且，的夹角为60°，则•（+）=_________．12．（5分）双曲线的中心在坐标原点，离心率e等于2，它的一个顶点与抛物线y2=﹣8x的焦点重合，则双曲线的方程为_________．13．（5分）已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥n，m⊥α，则n⊥α；③若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题有_________．（写出所有真命题的序号）【坐标系与参数方程选做题】14．（4分）已知曲线C的参数方程为（α为参数，﹣≤α≤），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，（ρ≥0，0≤θ＜2π）则直线l与圆C的交点的极坐标为_________．【几何证明选讲选做题】15．（3分）（几何证明选讲选做题）如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD相交于点P，若AB=3，CD=1，则cos∠APB的值为_________．三、解答题：本大题共6小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）（•石景山区一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，a=2bsinA．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=2，b=，求c边的长和△ABC的面积．17．（12分）（•贵州模拟）浙江电视台举办了“中国好声音”第二届大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班．下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”．（Ⅰ）分别求出甲、乙两班的大众评审的支持票数的中位数、众数与极差；（Ⅱ）从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率．18．（14分）（•南昌模拟）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D为AB的中点，且AC=BC=VC=a．（Ⅰ）求证：AB⊥平面VCD；（Ⅱ）求点C到平面V AB的距离．19．（14分）已知等比数列{a n}的公比为q，且满足a n+1＜a n，a1+a2+a3=，a1a2a3=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{（2n﹣1）•a n}的前n项和为T n，求T n．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的任意一点P（x0，y0）（左、右顶点A，B除外）与两焦点F1（﹣2，0），F2（2，0）围成的三角形的周长恒为12．（1）求椭圆C的方程；（2）若动点Q（x，y）到点F2与到K（8，0）距离之比为，求点Q的轨迹E的方程；（3）设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，且4k1=3k2，证明：A，P，Q三点共线．21．（14分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣2x．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1与x=处的切线相互平行，求a的值及切线斜率；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在区间（，1）上单调递减，求a的取值范围；（3）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于P，Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1、C2、于点M、N，证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不可能平行．参考答案与试题解析一．选择题（本大题共10道小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中有且只有一个是符合题目要求的）1．（5分）函数y=的定义域是（）A．（3，+∞）B．（0，3]C．[0，3]D．（﹣∞，3]考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题．分析：根据函数的结构，列出条件：被开方式大于等于零，真数大于零，再解不等式组．解答：解：根据题意有，解得：0＜x≤3，所以函数的定义域为（0，3]，故选B．点评：本题考察函数定义域的求法，其中有一个对数不等式，注意其解法为将常数化为同底对数，利用函数的单调性解．2．（5分）（•石景山区一模）下列函数中周期为π且图象关于直线x=对称的函数是（）A．y=2sin（+）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（2x+）D．y=2sin（﹣）考点：三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性．专题：三角函数的图像与性质．分析：先求出函数的周期，再根据当x=时，函数是否取得最值，从而判断函数是否满足条件，从而得出结论．解答：解：A．函数y=2sin（+）的周期为=4π，不为π，故A不选；B．函数y=2sin（2x﹣）的周期为=π，且当x=时，函数y取得最大值2，故图象关于直线x=对称，满足条件，故B选；C．函数y=2sin（2x+）的周期为=π，且当x=时，函数y=1，没有取得最值，故函数的图象不关于直线x=对称，故C不选；D．函数y=2sin（﹣）的周期为=4π，不为π，故D不选，故选：B．点本题主要考查三角函数的周期性以及求法，三角函数的图象的对称性，属于中档题．评：3．（5分）（•东城区一模）已知i是虚数单位，若=1﹣i，则z的共轭复数为（）A．1﹣2i B．2﹣4i C．﹣2i D．1+2i考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则及其共轭复数的意义即可得出．解答：解：∵=1﹣i，∴===1+2i．∴=1﹣2i．故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则及其共轭复数的意义，属于基础题．4．（5分）（•石景山区一模）阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．2考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，程序框图运行过程，总结规律，A的数值是2、、﹣1；并且以3为周期的关于i的函数，求出i=时的函数值即可．解答：解：根据题意，程序框图运行的程序为，i=0，A=2，i=1，A=1﹣=，i=2，A=1﹣2=﹣1；i=3，A=1﹣（﹣1）=2，i=4，A=1﹣=，…根据规律，总结得A值是2、、﹣1，并且以3为周期的关于i的函数∵i=，∴A=﹣1，i=＞，输出A：﹣1；故选：C．点评：本题考查了求程序框图运行结果的问题，解题时应模拟程序框图运行过程，总结规律，得出结论．5．（5分）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且S1，S2+a2，S3成等差数列，则数列{a n}的公比为（）A．1B．2C．D．3考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的前n项和公式表示出S1，S2，S3，然后根据S1，S2+a2，S3成等差数列，利用等差数列的性质列出关系式，将表示出的S1，S2，S3代入得到关于a1与q的关系式，由a1≠0，两边同时除以a1，得到关于q的方程，求出方程的解，即可得到公比q的值．解答：解：∵S1，S2+a2，S3成等差数列，∴2（S2+a2）=S1+S3，又数列{a n}为等比数列，∴2（a1+2a1q）=a1+（a1+a1q+a1q2），整理得：a1q2﹣3a1q=0，又a1≠0，∴q2﹣3q=0，∵q≠0，解得：q=3．故选：D．点评：此题考查了等差数列的性质，等比数列的通项公式、求和公式，熟练掌握公式及性质是解本题的关键．6．（5分）下列说法错误的是（）A．在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法．B．线性回归方程对应的直线=x+至少经过其样本数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…（x n，y n）中的一个点．C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高．D．在回归分析中，相关指数R2为0.98的模型比相关指数R2为0.80的模型拟合的效果好．考点：命题的真假判断与应用．专题：概率与统计．分析：A，利用独立性检验的概念可判断A的正误；B，利用通过最小二乘法得到线性回归方程对应的直线=x+可知，直线=x+不一定经过其样本数据中的任何一点，从而可判断B的正误；C，利用残差图的统计意义可判断C的正误；D，利用回归分析中，相关指数R2的意义可知模型拟合的效果的好坏，从而可判断D的正误．解答：解：A，在统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，正确；B，线性回归方程对应的直线=x+不一定经过其样本数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）…（x n，y n）中的任何一个点，但一定经过样本中心（，），故B错误；C，在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，正确；D，在回归分析中，相关指数R2为越大，越接近1，模型拟合的效果越好，故相关指数R2为0.98的模型比相关指数R2为0.80的模型拟合的效果好，正确；综上所述，说法错误的是B，故选：B．点评：本题考查概率统计中变量间的相关关系，着重考查线性回归方程的理解与应用，考查残差图与相关指数R2的应用，属于中档题．7．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）A．B．3+C．3D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图可得几何体是直三棱柱，画出几何体的直观图，判断三棱柱的高与底面三角形的各边长，代入直棱柱表面积公式计算．解答：解：由三视图知几何体是三棱柱，且三棱柱的高为1，底面是直角边长为1的等腰直角三角形，其斜边长为=，∴表面积S=2××1×1+（1+1+）×1=3+．故选：B．点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．8．（5分）已知x、y满足，则z=的取值范围为（）A．[0，]B．[0，1]C．（﹣∞，]D．[，+∞）考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域，则z的几何意义是动点P（x，y）到定点D（﹣2，1）的斜率，由图象可知，当P位于B时，BD的斜率最大，P位于A时，斜率最小，由，解得，即B（1，3），由，解得，即A（4，1），则BD的斜率为，AD的斜率为0，则z=的取值范围为[0，]，故选：A．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义是解决本题的关键，利用数形结合是解决此类问题的基本思想．9．（5分）（•惠州模拟）已知定义域为（﹣1，1）的奇函数y=f（x）又是减函数，且f（a﹣3）+f（9﹣a2）＜0，则a的取值范围是（）A．B．C．D．（﹣2，3）考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：根据函数是奇函数，我们可以根据奇函数的性质可将，不等式f（a﹣3）+f（9﹣a2）＜0化为f（a﹣3）＜f （a2﹣9），再根据函数y=f（x）又是减函数，及其定义域为（﹣1，1），我们易将原不等式转化为一个不等式组，解不等式组即可得到a的取值范围．解答：解：∵函数是定义域为（﹣1，1）的奇函数∴﹣f（x）=f（﹣x）又∵y=f（x）是减函数，∴不等式f（a﹣3）+f（9﹣a2）＜0可化为：f（a﹣3）＜﹣f（9﹣a2）即f（a﹣3）＜f（a2﹣9）即解得a∈故选：A点评：本题考查的知识点是函数奇偶性的应用、函数单调性的应用，利用函数的奇偶性和单调性，结合函数的定义域，我们将原不等式转化为不等式组是解答本题的关键．10．（5分）（•江西模拟）若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x﹣y∈A，且x≠0时，．则称集合A是“好集”．（1）集合B={﹣1，0，1}是好集；（2）有理数集Q是“好集”；（3）设集合A是“好集”，若x，y∈A，则x+y∈A；（4）设集合A是“好集”，若x，y∈A，则必有xy∈A；（5）对任意的一个“好集A”，若x，y∈A，且x≠0，则必有．则上述命题正确的个数有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：命题的真假判断与应用；元素与集合关系的判断．专题：探究型．分析：根据“好集”的定义，分别进行判断即可．解答：解：（1）∵1，﹣1∈A，1﹣（﹣1）=2∉A，不满足性质②，∴（1）不正确；（2）∵有理数集Q满足性质①②，∴（2）正确；（3）∵0∈A，x、y∈A，∴0﹣y=﹣y∈A，∴x+y=x﹣（﹣y）∈A，∴（3）正确；（4）若集合A是“好集”，若x，y之一为0，则xy=0∈A，若x≠0，y≠0，则x﹣1，，∈A，则∈A，即x（x﹣1）=x2﹣x∈A，即x2∈A，则y2∈A，（x+y）2∈A，∵2xy=（x+y）2﹣（x2+y2），∴2xy∈A，则xy∈A，故（4）正确．（5）若集合A是“好集”，x≠0时，．，由x、y∈A，由（4）知，即，成立，所以（5）正确．故选C．点评：本题主要考查新定义，利用条件进行推理，考查学生的推理能力．二、填空题：本大题共四小题，每小题5分，满分15分．其中14-15题是选做题，考生只能选做一题，两题全部作答的，只计算14题得分．11．（5分）平面向量，满足||=2，||=1，且，的夹角为60°，则•（+）=5．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：本题考查数量积的运算，直接用公式与运算规则计算即可．解答：解：∵||=2，||=1，且，的夹角为60°，∴•（+）=2+•=22+2×1×cos60°=4+1=5故答案为：5．点评：本题考查数量积的运算规则以及数量积公式，属于基本计算题，较易．12．（5分）双曲线的中心在坐标原点，离心率e等于2，它的一个顶点与抛物线y2=﹣8x的焦点重合，则双曲线的方程为．考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题．分析：先根据抛物线方程求得焦点坐标，进而确定双曲线的焦点，求得双曲线中的c，根据离心率进而求得长半轴，最后根据b2=c2﹣a2求得b，则双曲线的方程可得．解答：解：抛物线y2=﹣8x的焦点F（﹣2，0），则有：双曲线的方程为故答案为：点评：本题主要考查了双曲线的标准方程、圆锥曲线的共同特征，解答关键是对于圆锥曲线的共同特征的理解与应用．13．（5分）已知m，n是不重合的直线，α，β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥n，m⊥α，则n⊥α；③若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题有②③④．（写出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用．专题：空间位置关系与距离．分析：利用空间直线与平面、平面与平面的位置关系对①②③④四个选项逐一判断即可．解答：解：①若m⊂α，n∥α，则m∥n或m与n异面，故①为假命题；②若m∥n，m⊥α，则n⊥α（两条平行线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面），正确；③若m⊥α，m⊂β，则α⊥β，这是面面垂直的判定定理，正确；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β（垂直于同一条直线的两个平面平行），正确；综上所述，真命题有②③④．故答案为：②③④．点评：本题考查空间直线与平面、平面与平面的位置关系．掌握线面垂直、面面垂直与面面平行的判定与性质是正确判断的关键，属于中档题．【坐标系与参数方程选做题】14．（4分）已知曲线C的参数方程为（α为参数，﹣≤α≤），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，（ρ≥0，0≤θ＜2π）则直线l与圆C的交点的极坐标为（）．考点：参数方程化成普通方程；点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆；坐标系和参数方程．分析：将直线的极坐标方程化为普通方程，代入圆的参数方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标．解答：解：直线l的极坐标方程为ρsinθ=1，（ρ≥0，0≤θ＜2π）可化为直角坐标方程：y=1，将其代入曲线C的参数方程为（α为参数，﹣≤α≤），得到sinα=0，cosα=1，即交点的直角坐标为（1，1），由于ρ2=2，tanθ=1，故极坐标为（）．故答案为：（，）点评：本题主要考查极坐标方程和参数方程与普通方程的互化，考查基本的运算能力．【几何证明选讲选做题】15．（3分）（几何证明选讲选做题）如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD相交于点P，若AB=3，CD=1，则cos∠APB的值为．考点：与圆有关的比例线段．专题：直线与圆．分析：利用圆的直径的性质、相交弦定理、三角形相似的性质、诱导公式等即可得出．解答：解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°．∴．∵△APB∽△DCP，∴．∴cos∠APB=cos（90°+∠DAP）=﹣sin∠DAP=﹣．故答案为．点评：熟练掌握圆的直径的性质、相交弦定理、三角形相似的性质、诱导公式等是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，满分78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（12分）（•石景山区一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＜b＜c，a=2bsinA．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a=2，b=，求c边的长和△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，根据sinA不为0求出sinB的值，即可确定出角B的大小；（Ⅱ）由a，b，cosB的值，利用余弦定理求出c的值，再由a，c，sinB的值，利用三角形面积公式即可求出△ABC的面积．解答：解：（Ⅰ）∵a=2bsinA，∴sinA=2sinAsinB，∵0＜A＜π，∴sinA≠0，∴sinB=，∵0＜B＜π，且a＜b＜c，∴B=60°；（Ⅱ）∵a=2，b=，cosB=，∴由余弦定理得：（）2=22+c2﹣2×2×c×，即c2﹣2c﹣3=0，解得：c=3或c=﹣1（舍），∴c=3，则S△ABC=acsinB=×2×3×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17．（12分）（•贵州模拟）浙江电视台举办了“中国好声音”第二届大型歌手选秀活动，过程分为初赛、复赛和决赛，经初赛进入复赛的40名选手被平均分成甲、乙两个班．下面是根据这40名选手参加复赛时获得的100名大众评审的支持票数制成的茎叶图：赛制规定：参加复赛的40名选手中，获得的支持票数排在前5名的选手可进入决赛，若第5名出现并列，则一起进入决赛；另外，票数不低于95票的选手在决赛时拥有“优先挑战权”．（Ⅰ）分别求出甲、乙两班的大众评审的支持票数的中位数、众数与极差；（Ⅱ）从进入决赛的选手中随机抽出3名，求其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；茎叶图；极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：（I）将甲乙两班的大众评审的支持票数从小到大排列，根据众数、中位数与极差的定义和解法分别进行计算，即可求出答案．（II）根据用列举法概率的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率．解答：解：（I）甲班的大众评审的支持票数：65，67，68，69，75，75，76，78，82，82，86，87，88，90．82和75出现了2次，出现的次数最多，故众数是82和75，从小到大排列最中间的两个数是76，78，则中位数是77．最大数为90，最小值为65，故极差为25乙班的大众评审的支持票数：67，67，68，69，73，74，76，81，82，84，86，87，88，90，91，95，95．67和95出现了2次，出现的次数最多，故众数是67和95，从小到大排列最中间的数是82，则中位数是82．最大数为95，最小值为67，故极差为28（II）共有5名选手进入决赛，其中有两名拥有“优先挑战权”．所有的基本事件为（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，符合题意的基本事件有（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5）共6种，故随机抽出3名，其中恰有1名拥有“优先挑战权”的概率P==．点评：此题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了茎叶图和众数、中位数、平均数．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个．18．（14分）（•南昌模拟）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D为AB的中点，且AC=BC=VC=a．（Ⅰ）求证：AB⊥平面VCD；（Ⅱ）求点C到平面V AB的距离．考点：直线与平面垂直的判定；点、线、面间的距离计算．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）要证AB⊥平面VCD，利用线面垂直的判定定理，只需证明AB垂直与平面VCD的两条相交直线即可；（Ⅱ）依据V V﹣ABC=V C﹣V AB，利用等体积法即可得到点C到平面V AB的距离为．解答：解：（Ⅰ）证明：∵AC=BC=a∴△ACB是等腰三角形，又∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，∵VC⊥底面ABC，∴VC⊥AB，又∵CD∩VC=C∴AB⊥平面VCD．（Ⅱ）设点C到平面V AB的距离为h，据V V﹣ABC=V C﹣V AB即，得h=，所以点C到平面V AB的距离为．点评：本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法．解题时要认真审题，注意等价转化思想和向量法的合理运用．19．（14分）已知等比数列{a n}的公比为q，且满足a n+1＜a n，a1+a2+a3=，a1a2a3=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列{（2n﹣1）•a n}的前n项和为T n，求T n．考点：数列的求和；等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意联立方程组解得首项和公比即得通项公式；（2）利用错位相减法求和即可．解答：解：（1）由a1a2a3=，及等比数列性质得=，即a2=①…（2分）由a1+a2+a3=得a1+a2=②，…（3分）由①②得，∴=，即3q2﹣10q+3=0，解的q=3，或q=…（5分）由a n+1＜a n得{a n}是递减函数，故q=3舍去，…（6分）∴q=，又由a2=，得a1=1，故数列{a n}的通项公式为a n=（n∈N*）…（7分）（2）由（1）知（2n﹣1）•a n=，∴T n=1+++…+…（8分）T n=+++…++…（9分）两式作差得T n=1++++…+﹣，…（10分）=1+2•﹣=2﹣﹣…（13分）∴T n=3﹣…（14分）点评：本题主要考查了等比数列的性质及错位相减法求数列的和，考查学生的运算求解能力及方程思想的运用能力，属中档题．20．（12分）椭圆C：+=1（a＞b＞0）上的任意一点P（x0，y0）（左、右顶点A，B除外）与两焦点F1（﹣2，0），F2（2，0）围成的三角形的周长恒为12．（1）求椭圆C的方程；（2）若动点Q（x，y）到点F2与到K（8，0）距离之比为，求点Q的轨迹E的方程；（3）设直线PB，QB的斜率分别为k1，k2，且4k1=3k2，证明：A，P，Q三点共线．考点：轨迹方程；三点共线；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意结合椭圆定义得到2a+2c=12，从而求出a，再结合c=2求得b，则椭圆方程可求；（2）直接由动点Q（x，y）到点F2与到K（8，0）距离之比为列式求点Q的轨迹E的方程；（3）设P（x0，y0），写出PA和PB的斜率，结合P在椭圆上及4k1=3k2得到k PA•k2=﹣1，由（2）知点Q在圆x2+y2=16上，由此可得k QA•k2=﹣1，从而得到PA和QA所在直线的斜率相等，再由两直线有公共点A，可得A，P，Q三点共线．解答：（1）解：由椭圆C的焦点为F1（﹣2，0）得c=2，又由椭圆的定义得△PF1F2的周长为2a+2c=12，解得a=4，c=2，∴b2=a2﹣c2=12，即所求椭圆的方程为；（2）解：由题意得，∵，，∴，化简得：x2+y2=16，经检验得轨迹E的方程为x2+y2=16；（3）证明：由（1）知A（﹣4，0），B（4，0），设P（x0，y0），则，∵点P（x0，y0）在椭圆C上，∴，即，∴，∴，又∵4k1=3k2，∴k PA•k2=﹣1，由（2）知点Q在圆x2+y2=16上，∴k QA•k2=﹣1，∴k PA=k QA，又直线PA，QA有共同点A，∴A，P，Q三点共线．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查了曲线轨迹方程的求法，训练了平面内三点共线的证明方法，体现了整体运算思想方法，是压轴题．21．（14分）已知函数f（x）=lnx，g（x）=ax2﹣2x．（1）若曲线y=f（x）﹣g（x）在x=1与x=处的切线相互平行，求a的值及切线斜率；（2）若函数y=f（x）﹣g（x）在区间（，1）上单调递减，求a的取值范围；（3）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于P，Q两点，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1、C2、于点M、N，证明：C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不可能平行．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：（1）求函数y=f（x）﹣g（x）的导数，根据在x=1与x=处的切线相互平行，得到导数相同，建立方程即可求a的值及切线斜率．（2）要使函数y=f（x）﹣g（x）在区间（，1）上单调递减，只要y'≤0恒成立即可求a的取值范围．（3）利用反证法证明结论即可．解答：（1）解：y=f（x）﹣g（x）=lnx﹣ax2+2x，记h（x）=lnx﹣ax2+2x，则h′（x）=﹣ax+2…（2分）∵依题意h（x）在x=1与x=处的切线互相平行，∴h′（1）=h′（），即﹣a+3=﹣+4，解得a=﹣2…（3分）此时切线斜率k=h'（1）=5…（4分）（2）解：∵函数y=f（x）﹣g（x）在区间（，1）上单调递减，∴h′（x）≤0在区间（，1）上恒成立；…（5分）即﹣ax+2≤0，即a≥在区间（，1）上恒成立；…（6分）∴a≥（）max，∵x∈（，1），∴∈（1，3），∴=≤15，∴a≥15，即a的取值范围是[15，+∞）．…（8分）（3）证明：f′（x）=，g′（x）=ax﹣2，假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行，设点P、Q的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），x1＞x2，＞0，则存在a使得f′（）=g′（），即=（x1+x2）﹣2，…（9分）∴=（x1+x2）（x1﹣x2）﹣2（x1﹣x2）=y1﹣y2=lnx1﹣lnx2=ln不妨设=t＞1…（12分）则方程=lnt存在大于1的实根，设φ（t）=﹣lnt，则φ′（t）=＜0，∴φ（t）在（1，+∞）单调递减，∴φ（t）＜φ（1）=0这与存在t＞1使得φ（t）=0矛盾．∴C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不可能平行．…（14分）点评：本题主要考查导数的几何意义，考查导数是运算，以及利用导数研究函数的性质，综合性较强，运算量较大，考查学生的运算能力．创作人：百里灵明创作日期：2021.04.01。

高三下学期第三次模拟考试(数学文)

广东省六校高三下学期第三次模拟考试（数学文）本试卷分选择题和非选择题两部分，满分为150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B 铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。

2、选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。

第一部分选择题(50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知复数i z 21--=，则z1在复平面上表示的点位于（） A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2．已知集合}3{<=x x M ，}06{2>--=x x x N ，则N M 为（）A 、RB 、}{32|<<-x xC 、}{3x 23|>-<<-或x xD 、}{23|-<<-x x3．函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是（） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,)eD ．(3,4)4．若向量，，且，那么 ( )A ．0B ．C ．4D ．4或5. 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（）A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度)4,3(=AB )1,1(-=d 5d AC ⋅=d BC ⋅=4-4-()sin()f x A x ωϕ=+π0,||2A ϕ><()f x ()sin 2g x x =π12π6开始否输出sC. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度6．已知变量的最小值是，则满足条件y x y x y x y x +⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥2021,（）A ． 6 B. 4 C. 3 D. 27．给出四个命题：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行； ②平行于同一直线的两个不重合的平面平行； ③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行； ④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行；其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．48. 已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足，那么实数m 的值为（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．59.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 10．定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=212|2|lg )(x x x x f ，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 恰有3个不同的实数解321,,x x x ，则)(321x x x f ++等于（）A ．0B ．lC ．3lg2D ．2lg2第二部分非选择题(共 100 分)二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11~13题）11.已知平面向量(1,),(23,),,a x b x x x R ==+-∈若,ab ⊥则实数x 的值是；12．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，π12π60,PA PB PC AB AC mAP ++=+=且22221(0,0)x y a b a b-=>>A 1-,B C 12AB BC =23510则打印的点能落在不等式组3050x y y -+≤⎧⎨-≤⎩所表示的区域内的点有个.13. 已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 ,_______ ；（二）选做题，14、15两题任选一个，做对记5分，两题都做以第一题记分 14．若直线2sin()4πρθ+=与直线31x ky +=垂直，则常数k = ． 15．如图，AB 是⊙O 的直径，延长AB 到点P ，使2AB BP =，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，则CAP ∠=__ _．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数1)cos (sin sin 2)(-+=x x x x f . （1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值；（2）在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数)(x f 在一个周期内的图象. 17．（本题满分12分）为预防11H N 病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定个流感样本分成三组，测试结果如下表：A 组B 组C 组疫苗有效 673 xy疫苗无效7790z已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33. （1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取多少个？（3）已知y ≥465,z ≥25,求不能通过测试的概率.a =b =π5π49π87π83π45π8π23π8π4π8-22-2-121Oyx18. （本题满分14分）如图（1），是等腰直角三角形，，、分别为、的中点，将沿折起，使在平面上的射影恰为的中点，得到图（2）．（1）求证：；（2）求三棱锥的体积．19.（本题满分14分）设,A B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点，,C D 分别为椭圆上、下顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且四边形ACBD 的面积为43．（1）求椭圆的方程；（2）设Q 为椭圆上异于A 、B 的点，求证：A B 直线Q 与直线Q 的斜率之积为定值；（3）设P 为直线2222. ()a x a b c c ==+上不同于点（2a c，0）的任意一点，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明：点B 在以MN 为直径的圆内20.（本小题满分14分）已知b a ,为两个正数，且a b >，设,,211ab b ba a =+=当2≥n ，*n ∈N 时，1111,2----=+=n n n n n n b a b b a a ．（Ⅰ）求证：数列{}n a 是递减数列，数列{}n b 是递增数列；（Ⅱ）求证：)(2111n n n n b a b a -<-++；（Ⅲ）{}{}S T S <T 2().n n n n n n a b n a b ++设数列，前项的和分别为、，求证：21．（本题满分14分）在区间上，如果函数为增函数，而函数为减函数，则称函数ABC ∆4AC BC ==E F AC AB AEF ∆EF A 'BCEF O EC EF A C '⊥BC A F '-D ()f x 1()f x x为“弱增”函数．已知函数．（1）判断函数在区间上是否为“弱增”函数；（2）设，证明；（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．求证：∑=++<<+ni in yn 121)1ln(1)1ln( (n *N ∈)()fx ()1f x =()f x (0,1][)1212,0,,x x x x ∈+∞≠21211()()2f x f x x x -<-[]0,1x∈11ax bx -≤≤-,a b广东省六校-高三下学期第三次模拟考试数学试题（文科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1．已知复数i z 21--=，则z1在复平面上表示的点位于（ B ） A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2．已知集合}3{<=x x M ，}06{2>--=x x x N ，则N M 为（ D ）A 、RB 、}{32|<<-x xC 、}{3x 23|>-<<-或x xD 、}{23|-<<-x x3．函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是（ B ） A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,)eD ．(3,4)4．若向量，，且，那么 ( C )A ．0B ．C ．4D ．4或5. 函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，则只要将的图象（ C ）A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度6．已知变量的最小值是，则满足条件y x y x y x y x +⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤≥2021,（ C ）A ． 6 B. 4 C. 3 D. 27．给出四个命题：①平行于同一平面的两个不重合的平面平行； ②平行于同一直线的两个不重合的平面平行； ③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行； ④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行；其中真命题的个数是（ B ）)4,3(=)1,1(-=5d AC ⋅=d BC ⋅=4-4-()sin()f x A x ωϕ=+π0,||2A ϕ><()f x ()sin 2g x x =π12π6π12π6开始否输出A．1 B．2 C．3 D．48. 已知平面上不重合的四点P，A，B，C满足，那么实数m的值为（ B ）A．2 B．3 C．4 D．59.过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是( C )A．B．C．D．10．定义域为R的函数⎩⎨⎧=≠-=212|2|lg)(xxxxf，若关于x的方程0)()(2=++cxbfxf恰有3个不同的实数解321,,xxx，则)(321xxxf++等于（ D ）A．0 B．l C．3lg2 D．2lg2二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在答题卡中对应题号的横线上.（一）必做题（11~13题）11.已知平面向量(1,),(23,),,a xb x x x R==+-∈若,a b⊥则实数x的值是1x=-或x=3；12．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点能落在不等式组3050x yy-+≤⎧⎨-≤⎩所表示的区域内的点有 3 个.13. 已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a、b的取值分别是,_______ ；（二）选做题，14、15两题任选一个，做对记5分，两题都做以第一题记分14．若直线2sin()42πρθ+=与直线31x ky+=垂直，则常数k=3-．15．如图，AB是⊙O的直径，延长AB到点P，使2AB BP=，过0,PA PB PC AB AC mAP++=+=且22221(0,0)x ya ba b-=>>A1-,B C12AB BC=23510a=b=10.5,10.5a b==点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，则CAP ∠=__ ︒30 _．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数1)cos (sin sin 2)(-+=x x x x f . （1）求函数)(x f 的最小正周期和最大值；（2）在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数)(x f 在一个周期内的图象.解：（1）1cos sin 2sin 21)cos (sin sin 2)(2-+=-+=x x x x x x x fx x 2cos 2sin -= ……………………………………………………………2分)42sin(2π-=x ， ……………………………………………………………4分∴)(x f 的最小正周期为π=T ，)(x f 的最大值为2．… ………………6分（2）列表：函数)(x f 在一个周期内的图象如图：17．（本题满分12分）为预防11H N 病毒暴发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定个流感样本分成三组，测试结果如下表：已知在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率是0.33.x（1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取多少个？[来源:学科网]（3）已知y ≥465,z ≥25,求不能通过测试的概率. 解：（1）在全体样本中随机抽取1个，抽到B 组疫苗有效的概率约为其频率 …… (1分)即0.332000x= ∴ 660x = ………………(4分) （2）C 组样本个数为y ＋z ＝－（673＋77＋660＋90）＝500， …………………(5分) 现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取个数为360500902000⨯=个 ………(8分) （3）设测试不能通过事件为A ，C 组疫苗有效与无效的可能的情况记为（y ，z ）……(9分)由（2）知 500y z += ，且 ,y z N ∈,基本事件空间包含的基本事件有：（465，35）、（466，34）、（467，33）、……（475，25）共11个 ……………… (10分) 若测试不能通过，则77+90+z>200，即z>33 事件A 包含的基本事件有：（（465，35）、（466，34）共2个∴ 2()11P A =…………………(11分) 故不能通过测试的概率为211…………(12分)18. （本题满分14分）3.如图（1），是等腰直角三角形，，、分别为、的中点，将沿折起，使在平面上的射影恰为的中点，得到图（2）．（1）求证：；（2）求三棱锥的体积．法一：在中，（Ⅰ）证腰直角的中位线，是等ABC ∆4AC BC ==E F AC AB AEF∆EF A 'BCEF O EC EF A C '⊥BC A F '-ABC ∆EF ABC ∆EF AC ∴⊥在四棱锥中，，， ……………2分平面， ……5分又平面, …………7分证法二：同证法一 …………2分平面， ………5分又平面, ……………………8分（Ⅱ）在直角梯形中， , ……10分[来源:] 又垂直平分， ……12分三棱锥的体积为：………14分19.（本题满分14分）设,A B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点，,C D 分别为椭圆上、下顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且四边形ACBD的面积为（1）求椭圆的方程；（2）设Q 为椭圆上异于A 、B 的点，求证：A B 直线Q 与直线Q 的斜率之积为定值；（3）设P 为直线2222. ()a x a b c c ==+上不同于点（2a c，0）的任意一点，若直线AP ，BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明：点B 在以MN 为直径的圆内解：（1）依题意得2a c =，2ab =，222a b c =+，解得a ＝2，c ＝1， b ＝3故椭圆的方程为13422=+y x ………………4分（2）由（Ⅰ）得A （－2，0），B （2，0）设Q （x,y ）则,22QA QB y yk k x x ==+- BCEF A -'E A EF '⊥EC EF ⊥EF ∴⊥A EC '⊂'C A A EC 'EF A C '∴⊥EF EC ⊥A O EF '∴⊥EF ∴⊥A EC '⊂'C A A EC 'EF A C '∴⊥EFBC 4,2==BC EC 421=⋅=∴∆EC BC S FBC A O 'EC 322=-'='∴EO E A O A ∴BC A F '-334343131=⋅⋅='⋅==∆-''-O A S V V FBC FBC A BC A F2232244QA QB y y y k k x x x ===-+-- 故得证…………………8分（3）解法1：由（Ⅰ）得A （－2，0），B （2，0）设M （x 0，y 0）ⅠM 点在椭圆上，Ⅰ20y ＝43（4－x 02） ① 又点M 异于顶点A 、B ，Ⅰ－2<x 0<2，由P 、A 、M 三点共线可以得P （4，2600+x y ）从而BM ＝（x 0－2，y 0），BP ＝（2，2600+x y ） ⅠBM ·BP ＝2x 0－4＋26020+x y ＝220+x （x 02－4＋3y 02） ② 将①代入②，化简得BM ·BP ＝25（2－x 0） Ⅰ2－x 0>0，ⅠBM ·BP >0，则ⅠMBP 为锐角，从而ⅠMBN 为钝角，故点B 在以MN 为直径的圆内 ……………14分解法2：由（Ⅰ）得A （－2，0），B （2，0）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则－2<x 1<2，－2<x 2<2，又MN 的中点Q 的坐标为（221x x +，221y y +），依题意，计算点B 到圆心Q 的距离与半径的差 2BQ －241MN ＝(221x x +－2）2＋（221y y +）2－41[(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2] ＝（x 1－2) (x 2－2)＋y 1y 1 ∴又直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，直线BP 的方程为22(2)2y y x x =--，而点两直线AP 与BP 的交点P 在准线x ＝4上，∴12126222y y x x =+-，即212132)2x y y x -=+（ ∴ 又点M 在椭圆上，则1342121=+y x ，即)4(432121x y -= ∴于是将∴、∴代入∴，化简后可得2BQ －241MN ＝0)2)(24521<-x x －（从而，点B 在以MN 为直径的圆内20.（本小题满分14分）已知b a ,为两个正数，且a b >，设,,211ab b b a a =+=当2≥n ，*n ∈N 时， 1111,2----=+=n n n n n n b a b b a a ．（Ⅰ）求证：数列{}n a 是递减数列，数列{}n b 是递增数列；（Ⅱ）求证：)(2111n n n n b a b a -<-++；（Ⅲ）{}{}S T.S <T 2().n n n n n n a b n a b ++设数列，前项的和分别为，求证：(Ⅰ)证明：易知对任意*n ∈N ，0>n a ，0>n b ．由,b a ≠可知,2ab b a >+即11b a >．同理，11112b a b a >+，即22b a >．可知对任意*n ∈N ，n n b a >．0221<-=-+=-+n n n n n n n a b a b a a a ，所以数列{}n a 是递减数列．0)(1>-=-=-+n n n n n n n n b a b b b a b b ，所以数列{}n b 是递增数列． …………5分(Ⅱ)证明：)(212211n n n n n n n n n n n n b a b b b a b a b a b a -<-+<-+=-++． …………10分（Ⅲ）解：由)(2111n n n n b a b a -<-++，可得1)21()(-⋅-<-n n n b a b a ． 111S T ()(1......()).221()(2())2()2n n n n a b a b a b --<++++<+-<-S T +2().n n a b ∴<-……………14分21．（本题满分14分）在区间上，如果函数为增函数，而函数为减函数，则称函数为“弱增”函数．已知函数．（1）判断函数在区间上是否为“弱增”函数；（2）设，证明；（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．（1）显然在区间为增函数，……..1分，……..4分为减函数. 在区间为“弱增”函数. ……………………4分（2） ..8分 ,,.……8分. .……9分（3）当时，不等式恒成立. 当时,不等式显然成立. ……..12分当时.等价于: ……..14分由(1) 为减函数, ，.……14分 D ()f x 1()f x x ()f x ()1f x =()f x (0,1][)1212,0,,x x x x ∈+∞≠21211()()2f x f x x x -<-[]0,1x ∈11ax bx -≤≤-,a b()f x(0,1]11()(1f x x x ===1()f x x∴∴()f x (0,1]122121212121211111()()111111(11)x x x x f x f x x x x x x x x x +-+--=-==+++++++++[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠2>21()()f x f x ∴-2112x x <-[]0,1x ∈11ax bx -≤≤-0x =(]0,1x ∈1(),1(),a f x x b f x x ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩1()f x x111()22f x x -≤<1,122a b ∴≥≤-。

2022年高考数学(文)模拟卷三(全国卷)(原卷版+解析版)

2022年高考数学（文）模拟卷（全国卷）二轮拔高卷03（本卷满分150分，考试时间120分钟。

）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数3i z a =+，且()i i ,R z m m a m =+∈，则a m +=（） A ．3B ．0C ．3-D ．6-2．已知命题:p x ∃∈R ，2610x x +=-，命题:q x ∀∈R ，3sin 2cos 22x x +<，则下列命题中为真命题的是（） A ．p q ∧B ．p q ∨⌝C ．p q ⌝∧⌝D ．p q ⌝∧3．某校为了解高一高二各班体育节的表现情况，统计了高一高二各班的得分情况并绘成如图所示的茎叶图，则下列说法正确的是（）A ．高一年级得分中位数小于高二年级得分中位数B ．高一年级得分方差大于高二年级得分方差C ．高一年级得分平均数等于高二年级得分平均数D ．高一年级班级得分最低为344．已知在ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，则根据条件解三角形时恰有一解的一组条件是（）A ．3a =，4b =，6A π= B ．4a =，3b =，3A π=C ．1a =，2b =，4A π=D ．2a =，3b =，23A π=5．若实数x ，y 满足约束条件10330390x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-的最大值是（）A ．－2B ．－4C ．3D ．46．其几何体的三视图如图所示(单位：cm ),则该几何体的体积是A ．34cmB ．38cmC ．3163cm D ．3323cm 7．五声音阶（汉族古代音律）就是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为：宫，商，角，徵，羽，若宫的频率为f ，则宫，商，角，徵，羽的频率分别是f 、98f 、8164f 、32f 、2716f .定义音比（大于1）是相邻两个音的频率比，上述音比只有两个不同的值，记为(),αβαβ>，则下列关系式不成立．．．的是（）（参考数据：lg 20.301≈、lg30.477≈） A ．3227α=B ．lg 2lg33lg 2β=-C ．10lg lg 9αβ⋅=D ．lg lg 0.2αβ-<8．已知函数π()2sin()(0,||)2f x x ωϕωϕ=+><的最小正周期3π4T ≥，且7π12x =是函数()f x 的一条对称轴，π(,0)3是函数()f x 的一个对称中心，则函数()f x 在ππ,46⎛⎤- ⎥⎝⎦上的取值范围是（）A ．(B ．(]-1,2C ．1-12⎛⎤⎥⎝⎦， D ．[]1,2-9．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若122F A F A =，则21cos AF F ∠=A ．14 B ．13C D 10．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12312AA AB ==，点M 是线段1BB 的中点，点N 是线段1DD 上靠近D 的三等分点，若正四棱柱1111ABCD A B C D -被过点1A ，M ，N 的平面所截，则所得截面的周长为（）A ．10+B ．10+C ．9+D ．9+11．数列{}n a 满足：221110101n n n n a a a a a ++<<≥=+-，，，则（）A ．3420191a a a <<，B ．3420191a a a ，C ．3420191a a a ><，D ．3420191a a a >>，12．已知函数()e xf x =，()cosg x t x =；若()()g x f x ≤在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上恒成立，则实数t 的取值范围是（）A．4π⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B．4,π-⎫+∞⎪⎭C．4,π⎫+∞⎪⎭D．4π-⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

_数学丨2023届高考全国甲卷乙卷全真模拟(三)数学试卷及答案

2023年高考数学全真模拟卷三（全国卷）理科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合{}31A x x =-<，{B y y ==，则A B = （）A ．∅B ．[)4,+∞C ．()2,+∞D ．[)0,22．某班40人一次外语测试的成绩如下表：分数727375767880838791人数1234108642其中中位数为（）A ．78B ．80C ．79D ．78和893．若复数z 满足()()1i i 4z -+=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-4．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，焦点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为（）A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．22123x y -=D ．22132x y -=5．“天圆地方”观反映了中国古代科学对宇宙的认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想.中国古人将琮、璧、圭、璋、璜、琥六种玉制礼器谓之“六瑞”，玉琮内圆外方，表示天和地，中间的穿孔表示天地之间的沟通，可以说是中国古代世界观很好的象征物.下面是一玉琮图及其三视图，设规格如图所示（单位：cm ），则三视图中A ，B 两点在实物中对应的两点在实物玉璧上的最小距离约为（）（3π≈ 1.4≈）A ．8.4B ．9.8C ．10.4D ．11.26．已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）是偶函数，记0.5log 3a =，()2log 5b f =，()c f m =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．a c b<<C ．c<a<bD ．c b a<<7．若某一几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A ．三棱柱B ．四棱柱C ．五棱柱D ．六棱柱8．已知,a b ∈R ，则“1ab ≥”是“222a b +≥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知△ABC 满足22AB BA CA =⋅，则△ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形10．在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（）A ．25种B ．50种C ．300种D ．150种11．已知函数()2tan sin tan 1xf x x x =++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极小值C ．设()()2g x f x =-在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值为M ，最小值为m ，则4M m +=D ．()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个零点12．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()110f x f x -+-=，()()8f x f x +=，()11f =，()31f =-，()()21,021,24x a x f x x b x ⎧-++<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，给出下列结论：①1a =-，3b =-；②()20231f =；③当[]4,6x ∈-时，()0f x <的解集为()()2,02,4- ；④若函数()f x 的图象与直线y mx m =-在y 轴右侧有3个交点，则实数m 的取值范围是111,16264⎛⎫⎛⎫--⋂- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.其中正确结论的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数()12f x x x=+在1x =处切线的倾斜角为_______.14．已知平面向量(2,)a x =-，b = ，且()a b b -⊥，实数x 的值为_____．15．设1F 、2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，与直线y b =相切的圆2F 交椭圆于点E ，且E 是直线1EF 与圆2F 相切的切点，则椭圆焦距与长轴长之比为________．16．已知函数()ln f x ax x x =-与函数()e 1xg x =-的图象上恰有两对关于x 轴对称的点,则实数a 的取值范围为__________.三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2S 、4S 、55S +成等差数列，且2a 、7a 、22a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：16n T <．18．为促进新能源汽车的推广，某市逐渐加大充电基础设施的建设，该市统计了近五年新能源汽车充电站的数量（单位：个），得到如下表格：年份编号x 12345年份20162017201820192020新能源汽车充电站数量y /个37104147196226（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测2024年该市新能源汽车充电站的数量．参考数据：51710i i y ==∑，512600i i i x y ==∑，()521149.89i i yy =-=∑ 3.16≈．参考公式：相关系数()()niix x yyr --=∑回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为；()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB CD ∥，AB ⊥BC ，122BC CD PA PD AB =====，PC =E 为AB 的中点．(1)证明：BD ⊥平面APD ；(2)求平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值．20．已知抛物线()2:20C x pyp =>的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线1:2l y x =-上一动点，直线l 与直线1l 交于点Q ，QF =(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，且95FA FB -≤⋅≤，求PAB 面积的取值范围.21．已知01a <<，函数()1x f x x a -=+，()1log a g x x x =++.(1)若()e e g =，求函数()f x 的极小值；(2)若函数()()y f x g x =-存在唯一的零点，求a 的取值范围.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，)M ．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB =，求直线l 的斜率．[选修4-5：不等式选讲]23．已知：()1f x x x m =+--，0m >．(1)若2m =，求不等式()2f x >的解集；(2)()()g x f x x m =--，若()g x 的图象与x 轴围成的三角形面积不大于54，求m 的取值范围．2023年高考数学全真模拟卷三（全国卷）理科数学（考试时间：120分钟；试卷满分：150分）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．已知集合{}31A x x =-<，{B y y ==，则A B = （）A ．∅B ．[)4,+∞C ．()2,+∞D ．[)0,2【答案】C【分析】根据一元一次不等式可解得集合A ，再根据函数值域求法可求得集合B ，由交集运算即可得出结果.【详解】由题意可得{}2A x x =>，由函数值域可得{}0B y y =≥，所以{}2A B x x ⋂=>．故选：C 2．某班40人一次外语测试的成绩如下表：分数727375767880838791人数1234108642其中中位数为（）A ．78B ．80C ．79D ．78和89【答案】C【分析】根据中位数的概念即可求得.【详解】解：由题意得：所有成绩从小到大排列，第二十位是78，第二十一位是80，则中位数为7880792+=.故选：C 3．若复数z 满足()()1i i 4z -+=，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】C【分析】根据复数的除法运算与减法运算得2i z =+，进而根据复数的概念求解即可.【详解】解：由题意可知()()()41i 4i i 2i 1i 1i 1i z +=-=-=+--+，所以，z 的虚部为1.故选：C.4．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>，焦点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为（）A ．2214y x -=B ．2214x y -=C ．22123x y -=D ．22132x y -=【答案】B【分析】由离心率可得12b a =，从而可得渐近线方程，根据焦点到渐近线的距离为1可得c ，从而可求a ，故可得双曲线的方程.【详解】由题可知c a =，222514b e a =+=，得12b a =，则渐近线方程为20x y ±=，焦点到渐近线的距离为1，1=，可解得c =，所以2a =，由222c a b =+得1b =.所以双曲线方程为2214x y -=.故选:B.5．“天圆地方”观反映了中国古代科学对宇宙的认识，后来发展成为中国传统文化的重要思想.中国古人将琮、璧、圭、璋、璜、琥六种玉制礼器谓之“六瑞”，玉琮内圆外方，表示天和地，中间的穿孔表示天地之间的沟通，可以说是中国古代世界观很好的象征物.下面是一玉琮图及其三视图，设规格如图所示（单位：cm ），则三视图中A ，B 两点在实物中对应的两点在实物玉璧上的最小距离约为（）（3π≈ 1.4≈）A ．8.4B ．9.8C ．10.4D ．11.2【答案】A【分析】玉琮的中空部分看成一圆柱，A ，B 两点可看成是圆柱轴截面所对应矩形的对角线的端点，将圆柱侧面展开，线段AB 的长就是沿该圆柱表面由A 到B 的最短距离．【详解】本题考查传统文化与圆柱的侧面展开图.由题意，将玉琮的中空部分看成一圆柱，A ，B 两点可看成是圆柱轴截面所对应矩形的对角线的端点，现沿该圆柱表面由A到B ，如图，将圆柱侧面展开，可知()min 8.4AB =≈.故选：A ．6．已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）是偶函数，记0.5log 3a =，()2log 5b f =，()c f m =，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b<<C ．c<a<bD ．c b a<<【答案】B【分析】由偶函数的性质可得m 的值，即可得函数()f x 的解析式，分析函数单调性，结合对数的运算性质比较大小.【详解】()21x mf x -=-（m 为实数）是R 上的偶函数，∴()()f x f x -=，即2121x m x m ----=-，∴--=-x m x m ，即()()22x m x m --=-，∴0mx =，则0m =，此时()21xf x =-，0.5log 30a =<，()2log 540b f ==>，()(0)0c f m f ===，则a c b <<．故选：B7．若某一几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）A ．三棱柱B ．四棱柱C ．五棱柱D ．六棱柱【答案】C【分析】根据三视图还原出立体图形即可得到答案.【详解】根据其三视图还原出其立体图形如下图所示，易得其为五棱柱，故选：C.8．已知,a b ∈R ，则“1ab ≥”是“222a b +≥”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件、必要条件及不等式的性质可得解.【详解】由22||12||||2ab a b a b ≥⇒+≥≥，而222a b +≥不一定能得到1ab ≥，例如，0,2a b ==，所以“1ab ≥”是“222a b +≥”的充分而不必要条件.故选：A 9．已知△ABC 满足22AB BA CA =⋅，则△ABC 的形状为（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形【答案】D【分析】根据已知得到22cos c bc A =，利用正弦定理可求得sin 2sin cos =C B A ，结合三角形内角和为π以及两角和的正弦公式可求得in 0()s A B -=，即可确定三角形形状.【详解】解：根据22AB BA CA =⋅得到：22cos c bc A =，由正弦定理2sin sin b cR B C==，可得2sin 2sin sin cos C B C A =，又C 为三角形的内角，得到sin 0C ≠，可得sin 2sin cos =C B A ，又[]sin sin ()sin()C A B A B π=-+=+，∴sin()sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B B A +=+=，即sin cos cos sin 0A B A B -=，∴in 0()s A B -=，且A 和B 都为三角形的内角，∴A B =，则ABC 的形状为等腰三角形．故选：D ．10．在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，社区有5名医务人员到某学校的高一、高二、高三3个年级协助防控和宣传工作.若每个年级至少分配1名医务人员，则不同的分配方法有（）A ．25种B ．50种C ．300种D ．150种【答案】D【分析】首先分析将5个人分为三小组且每小组至少有一人，则可能分法有：(2,2,1),(3,1,1)两种情况，每种情况利用分步计数原理计算情况数，最后相加即可.【详解】当5个人分为2，2，1三小组，分别来自3个年级，共有2213531322C C C A 90A ⋅=种；②当5个人分为3，1，1三小组时，分别来自3个年级，共有3113521322C C C A 60A ⋅=种.综上，选法共有9060150+=.故选:D.11．已知函数()2tan sin tan 1xf x x x =++，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极小值C ．设()()2g x f x =-在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值为M ，最小值为m ，则4M m +=D ．()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个零点【答案】D【分析】由商数关系化简函数，结合导数法可得函数性质及图象，即可逐个判断.【详解】因为()22sin tan cos sin sin tan 1sin 1cos xx x f x x x x x x =+=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin sin cos π,2x x x x k k ⎛⎫=+≠+∈ ⎪⎝⎭Z ，所以()()()22cos cos 12cos 1cos 1f x x x x x '=+-=-⋅+．当ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，令()0f x '=，解得π3x =±，则当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示．x ππ,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭π3-ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭π3ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x '－0＋0－所以()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的图象如图所示．对A ，()f x 在区间ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错；对B ，()f x 在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上有极大值，无极小值，B 错；对C ，()()2g x f x =-在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值为24M =-，最小值为24m =--，4M m +=-，C 错；对D ，()f x 在区间ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭内有且只有一个零点，D 对.故选：D.12．已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()110f x f x -+-=，()()8f x f x +=，()11f =，()31f =-，()()21,021,24x a x f x x b x ⎧-++<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，给出下列结论：①1a =-，3b =-；②()20231f =；③当[]4,6x ∈-时，()0f x <的解集为()()2,02,4- ；④若函数()f x 的图象与直线y mx m =-在y 轴右侧有3个交点，则实数m 的取值范围是111,16264⎛⎫⎛⎫--⋂- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.其中正确结论的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】由()11f =，()31f =-解出,a b 的值可判断①；由周期和奇偶函数的性质计算()20231f =-可判断②；作出函数()f x 在[]0,4上的图象，根据图象可判断③；讨论当0m >和0m <，方程()mx m f x -=的解的个数可判断④.【详解】因为()()110f x f x -+-=，所以()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数，()00f =.因为()()8f x f x +=，所以()f x 的周期为8.又()()21111f a =-++=，所以10a +=，所以1a =-，()3311f b =+-=-，所以3b =-，故①正确.因为，()()()()202325381111f f f f =⨯-=-=-=-，故②错误.易知()()211,0231,24x x f x x x ⎧--+<≤⎪=⎨--<≤⎪⎩，作出函数()f x 在[]0,4上的图象，根据函数()f x 为奇函数，及其周期为8，得到函数()f x 在R 上的图象，如图所示，由()f x 的图象知，当[]4,6x ∈-时，()0f x <的解集为()()2,02,4- ，故③正确.由题意，知直线()1y mx m m x =-=-恒过点()1,0，与函数()f x 的图象在y 轴右侧有3个交点根据图象可知当0m >时，应有51m m ⨯-<，即14m <，且同时满足()mx m f x -=，[]8,10x ∈无解，即当[]8,10x ∈时，()()()108f x x x =--，()()108x x mx m --=-无解，所以Δ0<，解得1616m -<<+所以1164m -<<.当0m <时，应有31m m ⨯->-，即12m >-，且同时满足()mx m f x -=，[]6,8x ∈无解，即当[]6,8x ∈时，()()()68f x x x =--，()()58x x mx m --=-无解，所以Δ0<，解得1212m --<<-+1122m -<<-+综上，1164m -<或1122m -<<-+.故选：C.第II 卷（非选择题）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数()12f x x x=+在1x =处切线的倾斜角为_______.【答案】45【分析】求导，求出斜率，进而可得倾斜角.【详解】()212f x x '=-+,则()11211f '=-+=，即函数()12f x x x=+在1x =处切线的斜率为1，则倾斜角为45 故答案为：45 14．已知平面向量(2,)a x =-，b = ，且()a b b -⊥，实数x 的值为_____．【答案】【分析】表示出(3,a b x -=- ，其与b =数量积为0，可算得出x .【详解】解：因为(2,)a x =-，b = ，所以(3,a b x -=-又()a b b -⊥，则()30a b b x -⋅=-= 故x =故答案为：15．设1F 、2F 分别为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，与直线y b =相切的圆2F 交椭圆于点E ，且E 是直线1EF 与圆2F 相切的切点，则椭圆焦距与长轴长之比为________．【答案】3【分析】根据题意可得12EF EF ⊥，利用椭圆性质可得()()22222a b b c -+=，结合222a b c =+，即可求得22c a .【详解】如图所示，连接2EF ，易得12EF EF ⊥，圆2F 的半径r b =，所以2EF b =，而122EF EF a +=，所以12EF a b =-，122F F c =，所以()()22222a b b c -+=，且有222a b c =+，化简可得23a b =，所以()22249a a c =-，所以2259a c =，可得22c a =．故答案为：16．已知函数()ln f x ax x x =-与函数()e 1xg x =-的图象上恰有两对关于x 轴对称的点,则实数a 的取值范围为__________.【答案】(),1e -∞-【分析】图象恰有两对关于x 轴对称的点,即0x ∃>,使得()()f x g x -=,即ln e 1xax x x -+=-有两解,对等式全分离,构造()ln e 1x x x h x x-+=,求导求单调性,求出值域,对图象进行判断,即可得出a 的取值范围.【详解】因为函数()f x 与()g x 的图象上恰有两对关于x 轴对称的点,所以0x >时()()f x g x -=有两解,即ln e 1x ax x x -+=-有两解,所以ln e 1x x x a x-+=有两解,令()ln e 1x x x h x x -+=,则()()()2e 11x x h x x --'=,所以当()0,1x ∈时,()0h x '>,函数()h x 单调递增;当()1,x ∈+∞时,()0h x '<,函数()h x 单调递减,所以()h x 在1x =处取得极大值,()11e h =-,且()0,1x ∈时,()h x 的值域为(),1e -∞-;()1,x ∈+∞时,()h x 的值域为(),1e -∞-,因此ln e 1x x x a x-+=有两解时,实数a 的取值范围为(),1e -∞-.故答案为:(),1e -∞-三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分17．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2S 、4S 、55S +成等差数列，且2a 、7a 、22a 成等比数列．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若11n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：16n T <．【答案】(1)21n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）公式法列方程组解决即可；（2）运用裂项相消解决即可.【详解】（1）由题知，设{}n a 的公差为d ，由题意得42527222250S S S a a a d =++⎧⎪=⎨⎪≠⎩，即11121112(46)(2)(510)5(6)()(21)0a d a d a d a d a d a d d +=++++⎧⎪+=++⎨⎪≠⎩，解得132a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)3(1)221n a a n d n n =+-=+-⨯=+，所以{}n a 的通项公式为21n a n =+.（2）证明：由（1）得21n a n =+，所以111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭，所以1111111111123557212323236n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-<⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭．18．为促进新能源汽车的推广，某市逐渐加大充电基础设施的建设，该市统计了近五年新能源汽车充电站的数量（单位：个），得到如下表格：年份编号x 12345年份20162017201820192020新能源汽车充电站数量y /个37104147196226（1）已知可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请用相关系数加以说明；（2）求y 关于x 的线性回归方程，并预测2024年该市新能源汽车充电站的数量．参考数据：51710i i y ==∑，512600i i i x y ==∑，()521149.89i iy y =-=∑ 3.16≈．参考公式：相关系数()()niix x yyr --=∑回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为；()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-．【答案】（1）答案见解析；（2）ˆ471yx =+；预测2024年该市新能源汽车充电站的数量为424个．【分析】（1）利用相关系数的计算公式即可得解；（2）先利用已知数据和公式得到y 关于x 的线性回归方程，再将2024年所对应的年份编号代入线性回归方程即可得解．【详解】解：（1）由已知数据得()11234535x =⨯++++=，17101425y =⨯=，()()()2222152101210i i x x=-=-+-+++=∑，()()55115260053142470iii i i i x x yy x y x y ==--=-=-⨯⨯=∑∑，所以4700.993.16149.89r ≈≈⨯．因为y 与x 的相关系数近似为0.9，接近1，说明y 与x 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）由（1）得()()()51215470ˆ4710iii ii x x y y bx x ==--===-∑∑，ˆˆ1424731ay bx =-=-⨯=，放所求线性回归方程为ˆ471yx =+．将2024年对应的年份编号9x =代人回归方程得ˆ4791424y=⨯+=，故预测2024年该市新能源汽车充电站的数量为424个．19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，AB CD ∥，AB ⊥BC ，122BC CD PA PD AB =====，PC =E 为AB的中点．(1)证明：BD ⊥平面APD ；(2)求平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)22【分析】（1）已知条件求出AB ，BD ，AD 的长度，勾股定理证得BD AD ⊥，取AD 的中点O ，连接OP ，OC ，有PO AD ⊥，得PO ，勾股定理证得PO OC ⊥，从而PO ⊥平面ABCD ，有BD OP ⊥，所以BD ⊥平面APD .（2）建立空间直角坐标系，求相关点的坐标，求相关向量的坐标，求平面APD 和平面CEP 的一个法向量，利用向量夹角公式求平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值【详解】（1）在直角梯形ABCD 中，易得AB ＝4，BD =AD =，∴222AD BD AB +=，∴BD ⊥AD ．取AD 的中点O ，连接OP ，OC ，易得PO ⊥AD ，PO =，如图所示，在△CDO 中，易得OC ==，又PC =，∴222OC PO PC +=，∴PO ⊥OC ，又PO ⊥AD ，AD OC O = ，,AD OC ⊂平面ABCD ，∴PO ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥OP ，又BD ⊥AD ，AD OP O ⋂=，,AD OP ⊂平面APD ，∴BD ⊥平面APD ．（2）如图，以D 为坐标原点，DA ，DB 所在直线分别为x ，y 轴，过点D 且与PO 平行的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则D （0，0，0），()A ，()0,B ，)E，P，()C ，∴(CP =，()CE = ，∵BD ⊥平面APD ，∴平面APD 的一个法向量为()10,1,0n =．设平面CEP 的法向量为()2,,n x y z =u u r，则2200n CP n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得00⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取y ＝1，得()20,1,1n = ，∴122cos ,2n n =，∴平面APD 和平面CEP 的夹角的余弦值为22．20．已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线1:2l y x =-上一动点，直线l 与直线1l 交于点Q，QF =(1)求抛物线C 的方程；(2)过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，且95FA FB -≤⋅≤，求PAB 面积的取值范围.【答案】(1)24x y=(2)⎡⎣【分析】（1）计算2,22p p Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，0,2p F⎛⎫⎪⎝⎭，根据距离公式计算得到2p =，得到抛物线方程.（2）求导得到导函数，计算切线方程得到AB 的直线方程为()002y y xx +=，联立方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据向量运算得到034y -≤≤，再计算PAB S =△.【详解】（1）直线1:2l y x =-，当2p y =-时，22p x =-，即2,22p p Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，0,2p F⎛⎫⎪⎝⎭，则QF ==，解得2p =或25p =-（舍去），故抛物线C 的方程为24x y =.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，24x y =，2x y '=，PA 的直线方程为：()1112x y x x y =-+，整理得到()112y y xx +=，同理可得：PB 方程为()222y y xx +=，故()()010*******y y x x y y x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，故AB 的直线方程为()002y y xx +=，()00224y y xx x y ⎧+=⎨=⎩，整理得到200240x x x y -+=，12012024 x x x x x y +=⎧⎨=⎩，()()()1122121212,1,11FA FB x y x y x x y y y y ⋅=-⋅-=+-++()02221212221212000216123164x x x x x x x x y x y y +-=+-+=-++=-，09235y -≤-≤，解得034y -≤≤，设P 到AB 的距离为d ，12PABS AB d =⋅=△，034y -≤≤，故[]2044,20y +∈，4,PAB S ⎡∈⎣△21．已知01a <<，函数()1x f x x a -=+，()1log a g x x x =++.(1)若()e e g =，求函数()f x 的极小值；(2)若函数()()y f x g x =-存在唯一的零点，求a 的取值范围.【答案】(1)2(2)1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由()e e g =可求出1ea =，则()1e xf x x -=+，然后对函数求导，由导数的正负可求出函数的单调区间，从而可求出函数的极小值；（2）令()1log 1x a F x ax -=--（0x >），则()111ln ln x F x xa a x a -⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，令()11ln ln x x xaa a ϕ-=-，利用导数可求出其单调区间和最小值，然后分11ln 10ln a a a----≥和10ea <<讨论函数的零点即可.【详解】（1）由()1e e e 1log e e ea g a =⇒++=⇒=，所以()1e x f x x -=+，()11e xf x -'=-，令()01f x x '=⇒=，当1x <时，()0f x '<，当1x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在(,1)-∞上递减，在(1,)+∞上递增，所以()f x 的极小值为()12f =；（2）()()1log 1x a f x g x a x --=--，令()1log 1x a F x a x -=--（0x >），()F x 存在唯—的零点，()11111ln ln ln ln x x F x a a xa a x a x a --⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，令()11ln ln x x xaa a ϕ-=-，()()11ln ln x x a x a a ϕ-'=+，令()10ln x x aϕ'=⇒=-，当10ln x a<<-时，()0x ϕ'<；当1ln x a>-时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在10,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递减，在1,ln a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递增，所以()11ln min 11ln ln ax a a a ϕϕ--⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，①若11ln 10ln aa a----≥，即111ln ln ln ln a a a ⎛⎫⎛⎫--≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令1ln t a-=，所以()111ln ln 10t t t t t ⎛⎫--≤⇒-+≥ ⎪⎝⎭，所以1t ≥，所以11ln a -≥，即11ea <时，()()min 00x F x ϕ'≥⇒≥，所以()F x 在()0,∞+上递增，注意到()10F =，所以()F x 存在唯一的零点，符合题意②当10e a <<时，()100ln aϕ=->，()min 0x ϕ<，()22213(ln )133ln ln ln a a a a a aϕ-=-=，令22()3(ln )1t a a a =-，10ea <<，则221()3[2(ln )2ln ]6ln (ln 1)t a a a a a a a a a'=+⋅⋅=+，因为10ea <<，所以ln 1a <-，所以()6ln (ln 1)0t a a a a '=+>，所以22()3(ln )1t a a a =-在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以2221113()3(ln 110e e e e t a t ⎛⎫⎛⎫<=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()22213(ln )133ln 0ln ln a a a a a aϕ-=-=>所以()x ϕ即()F x '在10,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,ln a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上各有一个零点1x ，2x ，()F x 在()10,x 上递增，()12,x x 上递减，()2,0x 上递增，而()11ln 0ln F a a'=-<，所以121x x <<，()1log 1x a F x a x -=--，当110a x a -<<时，()111log 11(1)0a F a a x a x -------<-=<；当1x a >时，()10log 10a F x a>--=，而()()110F x F >=，()()210F x F <=，所以()F x 在()10,x ，()12,x x 和()2,x +∞上各有一个零点，共3个零点了，舍去.综上，a 的取值范围为1,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C 的极坐标方程为2853cos 2ρθ=-，直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，)M．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若2AM MB = ，求直线l 的斜率．【答案】(1)2214x y +=(2)【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩，运算求解；（2）联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.【详解】（1）∵()()222222288453cos 2cos 4sin 5cos sin 3cos sin ρθθθθθθθ===-++--，则2222cos 4sin 4ρθρθ+=，∴2244x y +=，即2214x y +=，故曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=.（2）将直线l的参数方程为cos sin x t y t αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程为2214x y +=，得)()22cos sin 14t t αα+=，整理得()()222cos 4sin 10t t ααα++-=，设A ，B 两点所对应的参数为12,t t ，则121222221,cos 4sin cos 4sin t t t t ααααα+=-=-++，∵2AM MB = ，则122t t =-，联立1212222cos 4sin t t t t ααα=-⎧⎪⎨+=-⎪+⎩，解得122222cos 4sin cos 4sin t t αααααα⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将12,t t 代入12221cos 4sin t t αα=-+得2222221cos 4sin cos 4sin cos 4sin αααααααα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭，解得2223tan 4k α==，故直线l的斜率为2±.[选修4-5：不等式选讲]23．已知：()1f x x x m =+--，0m >．(1)若2m =，求不等式()2f x >的解集；(2)()()g x f x x m =--，若()g x 的图象与x 轴围成的三角形面积不大于54，求m 的取值范围．【答案】(1)3,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；(2)(]0,8.【分析】（1）利用零点分段法求解出绝对值不等式；（2）先求出()21,312,121,1x m x m g x x m x m x m x -++>⎧⎪=+--≤≤⎨⎪--<-⎩，由()0g x =，解得：122121,3m x m x -=+=，则()21444133m x x m ---==+，由函数单调性得到()()max 1g x g m m ==+，根据函数图象与x 轴围成的三角形面积不大于54，列出方程，求出m 的取值范围.【详解】（1）当2m =时，()3,21221,123,1x f x x x x x x >⎧⎪=+--=--≤≤⎨⎪-<-⎩，当2x >时，()32f x =>成立；当12x -≤≤时，()212f x x =->，则322x <≤；当1x <-时，()32f x =-<不合题意，综上，()2f x >的解集为3,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭；（2）因为0m >，所以()21,12312,121,1x m x m g x x x m x m x m x m x -++>⎧⎪=+--=+--≤≤⎨⎪--<-⎩，由()0g x =，解得：122121,3m x m x -=+=，则()21444133m x x m ---==+，当1x <-时，()g x 单调递增，当1x m -≤≤时，()g x 单调递增，当x >m 时，()g x 单调递减，所以当x m =时，()g x 取得最大值，()()max 1g x g m m ==+，∴图象与x 轴围成的三角形面积为()()221421154233S m m =⨯+=+≤，解得：108m -≤≤，又0m >，则08m <≤，∴m 的取值范围是(]0,8.。

2020高三三模数学(文)试题及答案

高三第三次模拟考试高三数学（文）试题卷第Ⅰ卷（选择题部分共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的．1. 设全集U=R ，集合{}2|||≤=x x A ，}011|{>-=x x B ，则()B U C A ⋂=( )A. [2,1]-B. (2,)+∞C. ]2,1(D. (,2)-∞-2. 设n m ,为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（）A. 若//,n//m αα，则m//nB. 若,m ααβ⊥⊥，则//m βC. 若//,m ααβ⊥，则m β⊥；D. 若βα//,m m ⊥，则βα⊥3. 已知,,a b R ∈则“221a b +≤”是“12ab ≤”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知()sin()()f x A x x R ωϕ=+∈的图象的一部分如图所示，若对任意,x R ∈都有12()()()f x f x f x ≤≤，则12||x x -的最小值为（） A. 2πB. πC.2π D. 4π5. 已知实数变量,x y 满足1,0,220,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则3z x y =-的最大值为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足201420150,0S S ><，对任意正整数n ，都有||||n k a a ≥ ，则k 的值为( ) A. 1006B. 1007C. 1008D. 1009（第4题）7. 设12,F F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 是C 的右支上的点，射线PT 平分12F PF ∠,过原点O 作PT 的平行线交1PF 于点M ,若121||||3MP F F =,则C 的离心率为（）A. 32B. 3C. 2D. 38．已知实数,,a b c 满足2221a b c ++=，则ab bc ca ++的取值范围是( )A. (,1]-∞B. [1,1]-C. 1[,1]2-D. 1[,1]4-第Ⅱ卷（非选择题部分共110分）二、填空题：本大题共7小题，第9至12题，每小题6分，第13至15题，每小题4分，共36分．9. 若指数函数()f x 的图像过点(2,4)-，则(3)f = _____________；不等式5()()2f x f x +-<的解集为 . 10. 已知圆222:245250C x y ax ay a +-++-=的圆心在直线1:20l x y ++=上，则a = ；圆C 被直线2:3450l x y +-=截得的弦长为____________.11. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体最长的棱长为；的体积为． 12．“斐波那契数列”是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{}n a 中，11=a ，12=a )(12*++∈+=N n a a a n n n 则=7a ；若2017a m =，则数列{}n a 的前2015项和是________________（用m表示）． 13．已知函数3,0()13x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+-⎪⎩，若关于x 的方程21(2)m 2f x x ++=有4个不同的实数根，则m 的取值范围是________________．14. 定义：曲线C 上的点到点P 的距离的最小值称为曲线C 到点P 的距离。

2021-2022年高三全真模拟卷数学文科试题第3套

2021-2022年高三全真模拟卷数学文科试题第3套一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 复数（是虚数单位），则等于 ( )A. B. C. D.2．定义{|,,}xA B z z xy x A y B y ⊗==+∈∈.设集合，，.则集合的所有元素之和为（）A ．3B ．9C ．18D ．273.函数的部分图象如图所示，则＝（）A.6B.4C.D.4.如果实数满足等式(－2)2+y 2=3，那么的最大值是（）A ．B ．C ．D ．5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值为 ( )A.102B.410C.614D. 16386.若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，则的值为（）A.1B.-1C.0D.27.在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上，两校各派3名代表，校际间轮流发言，对日本侵略者所犯下的滔天罪行进行控诉，对中国人民抗日斗争中的英勇事迹进行赞颂，那么不同的发言顺序共有（）A.72种B.36种C.144种D.108种8.若函数有两个不同的零点，且，那么在两个函数值中 ( )A.只有一个小于1B.至少有一个小于1C.都小于1D.可能都大于19.设是等差数列，从中任取3个不同的数，使这3个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列的个数最多有（）A.90B.120C.180D.20010.已知两点M （1，），N （－4，-），给出下列曲线方程：①4x+2y-1=0 ②x 2+y 2=3 ③=1 ④=1在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是………………………………（）A.①③B.②④C.①②③D.②③④二.填空题：本大题共5小题，每小题5分,共25分.11.已知数列10*11),(0,2,}{a N n a a a a n n n 则中∈=+=+的值等于 .12.已知)3()0)(2()1()0(),1(log )(2f x x f x f x x x f 则⎩⎨⎧>---≤-=的值等于 .13.如图是一建筑物的三视图（单位：米），现需将其外壁用油漆刷一遍，若每平方米用漆千克，则共需油漆的总量为千克14.给出下列四个结论：①“若则”的逆命题为真；②若为的极值，则；③函数（x ）有3个零点；④对于任意实数x ，有且x >0时,，则x <0时其中正确结论的序号是 .（填上所有正确结论的序号）15．（在给出的二个题中，任选一题作答. 若多选做，则按所做的第一题给分）(1)(坐标系与参数方程选做题) 设过原点的直线与圆C ：的一个交点为，点为线段的中点。

高三数学第三次模拟考试题三文试题

∴ ，，
在中，，，
由余弦定理得，
，∴ ，
∴ ，
又与均为边长为4的正方形面积的一半，即为8，
∴三棱锥的外表积为，应选A．
10．【答案】A
【解析】如图，
取中点，连接，，那么，，
分别取与的外心，，分别过，作平面与平面的垂线，相交于，那么为四面体的球心，
由，得正方形的边长为，那么，
【解析】，
对应的点在第一象限，，故此题选A．
3．【答案】C
【解析】根据题意，向量，，
假设，那么有，解可得或者1，应选C．
4．【答案】D
【解析】由得，2021年的就医费用为元，故2021年的就医费用为12750元，所以该老师2021年的家庭总收入为元，应选D．
5．【答案】B
【解析】因为，由诱导公式得，
8．【答案】C
【解析】∵ ，，，
由余弦定理，可得，
整理可得，解得或者3．
如图：
为边上的中线，那么，
在中，由余弦定理，
可得，或者，
解得边上的中线或者，应选C．
9．【答案】A
【解析】由三视图知该几何体是如下列图的三棱锥，将该三棱锥是放在棱长为4的正方体中，
是棱的中点，在中，，且，
易知，故，
又，设的外接圆的半径为，那么由正弦定理得，即，
故所求外接圆的面积为．
14．【答案】
【解析】因为相邻两条对称轴间的间隔为，所以，，所以．
因为函数的图象经过点，所以，，．
所以，所以．故答案为．
15．【答案】1
【解析】由题可得，故切线的斜率为1，

普通高等学校招生全国统一考试高三数学仿真卷(三)文

2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷文科数学（三）本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合{}|11A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则A B =（）A ．{}|11x x -<<B ．{}|12x x -<<C ．{}|02x x <<D ．{}|01x x <<2．设复数12i z =+（是虚数单位），则在复平面内，复数2z 对应的点的坐标为（） A ．()3,4-B ．()5,4C ．()3,2-D ．()3,43．若向量()1,1,2=-a ，()2,1,3=-b ，则）AB ．C ．3D4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．52π+B ．42π+C ．44π+D ．54π+5．已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一个焦点为()2,0F -则该双曲线的方程为（）A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．2213y x -=D ．2213x y -=6()102f =-，则图中m 的值为（）A ．1B ．43C ．2D ．43或2 7．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为，，，若函数()()3222113f x x bx a c ac x =+++-+无极值点，则角B 的最大值是（）A B C D 8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”，刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3．14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出的值为（）（参考数据：sin150.2588≈，sin7.50.1305≈）A ．12B ．20C ．24D ．489．设π02x <<，则“2cos x x <”是“cos x x ＜”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．欧阳修的《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm 的圆面，中间有边长为1cm 的正方形孔．现随机向铜钱上滴一滴油（油滴的大小忽略不计），则油滴落入孔中的概率为（）ABC ．19D11．已知点()4,3A 和点()1,2B ，点O 为坐标原点，(OA tOB t +∈R （） A ．B ．5C ．3D 12．已知函数()f x =()2220 1102x xx f x x +--+<⎧⎪⎨⎪⎩≤≤≤，则关于的方程()15x f x -=在[]2,2-上的根的个数为（） A ．3 B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

高三数学第三次高考模拟题文试题

2021届高考模拟〔三〕数学〔文〕试题制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部. 满分是150分，考试时间是是120分钟. 考前须知：1．在答题之前，所有考生必须先将本人的姓名、准考证号填写上在答题卡上. 2．选择题答案使需要用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用毫米的黑色中性〔签字〕笔或者碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域〔黑色线框〕内答题，超出答题区域书写之答案无效． 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．5．做选考题时，考生按照题目要求答题，并需要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．参考公式：样本数据1x ，2x ，，n x 的HY 差球的外表积公式(n s x x =++-24S R π=其中x 为样本平均数其中R 表示球的半径假如事件A 、B 互斥，那么球的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V=343R π假如事件A 、B 互相HY ，那么其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 假如事件A 在一次实验中发生的概率是P ，那么n 次HY 重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)k kn k n n p k C p p -=-〔k =0，1，2，…，n 〕第一卷〔选择题一共50分〕一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的〕1．全集为实数R ，集合A ={}2|10x x -≤，B ={}|1x x <，那么()R AB ∩= ( ) A. {}|11x x -≤≤ B. {}|11x x -≤< C. φ D. {}|1x x = 2．复数11iz i+=-〔i 为虚数单位〕，那么z =( ) A ．1B ．1-C ．iD ．i -3．假如过曲线234+=-=x y P x x y 处的切线平行于直线上点，那么点P 的坐标为 ( ) A ．()1,0B ．()0,1-C ． ()0,1D ．()1,0-4． (),13545,5445sin<<=+αα那么sin α= ( ) A.25B. 25-C. 1027D. 1027-5．等差数列{}n a 的前n 项和为n s ，且91a ，32a ，3a 成等比数列. 假设1a =3，那么4s = ( )A. 7B. 8C. 12D. 166．欧阳修?卖油翁?中写到：〔翁〕乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿. 可见“行行出状元〞，卖油翁的技艺让人叹为观止. 假设铜钱是直径为3cm 的圆，中间有边长为1cm 的正方形孔，假设你随机向铜钱上滴一滴油，那么油正好落入孔中的概率〔油滴的大小忽略不计〕是 A.π94B. 43πC. 94πD. 34π 7．执行如下图的程序框图，假设输出的n=5，那么输入整数p 的最小值是〔〕 A ．7 B ．8 C ．15 D ．168．以下结论错误的选项是〔〕 A ．命题：“假设20232==+-x x x ，则〞的逆否命题为:“假设2≠x ，那么0232≠+-x x 〞B. 命题:“存在x 为实数，02>-x x 〞的否认是“任意x 是实数，02≤-x x 〞 C. “22bc ac >〞是“b a >〞的充分不必要条件 D.假设p 且q 为假命题，那么p 、q 均为假命题9．双曲线2213y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，那么12PA PF ⋅最小值为( )A ．2- B.8116-C.1 D .0 10. 在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为格点，假如函数()f x 的图象恰好通过*()k k ∈N 个格点，那么称函数()f x 为k 阶格点函数.对以下4个函数：①()cos 2f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭； ②1()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③2()log f x x =-； ④()2()235f x x π=-+，其中是一阶格点函数的有A ．①③ B. ②③ C. ③④ D ①④第二卷〔非选择题一共100分〕二、填空题：〔本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分．将答案填在题中的横线上〕 11．某采购中心对甲、乙两企业同种一样数目产品进展了6次抽检，每次合格产品数据如下：试估计选择那个企业产品更适宜：______(填甲或者乙).12．在平面几何中，“正三角形内一点到三边间隔之和是一个定值〞，类比到空间写出你认为适宜的结论: .13．圆()()72222=-+-y x 关于直线2=+y x 对称的圆的方程为______________．14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，假设222b c a bc +=-，4AC AB ⋅=-且，那么ABC ∆的面积等于．15．(考生注意：请在以下三题中任选一题答题，假如多做，那么按所做的第一题评分.)A. 〔不等式选做题〕不等式112≤++x x 的实数解集为_________． B. 〔几何证明选做题〕如图，在△ABC 中，AC AB =, 以BC 为直径的半圆O 与边AB 相交于点D ，切线DE ⊥AC ，垂足为点E ．那么AECE=_______________． C. 〔坐标系与参数方程选做题〕假设ABC ∆的底边,2,10A B BC ∠=∠=以B 点为极点，BC 为极轴，那么顶点A 的极坐标方程为____________________.三、解答题：〔本大题一一共6小题，一共75分．解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤〕16.〔本小题满分是12分〕函数()()()πϕωϕω≤>>+=,0,0sin A x A x f 在一个周期内，BOC甲乙8 0 7 5 1 3 3 8 4 6当6x π=时，y 取最小值3-;当23x π=时，y 最大值3. (I)求()f x 的解析式；(II)求()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，2上的最值.17. (本小题满分是12分) 某高校在2021年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下左图所示.〔I 〕为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？〔II 〕在〔I 〕的前提下，决定在这6名学生中，随机抽取2名学生承受A 考官进展面试，求第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率？18．〔本小题满分是12分〕在四棱锥ABCD P -中，直角梯形ABCD 所在平面垂直于平面ABP,M是PC的中点，AP AB BC AD AP AB ⊥====，，42.(Ⅰ)求出该几何体的体积.(Ⅱ)假设N 是PB 的中点，求证：//AN 平面BDM .组号分组频数频率第1组 5 第2组 35 第3组 30 第4组 20 第5组10 合计100BCPMN19．〔本小题满分是12分〕设S n 是正项数列}{n a 的前n 项和， 3242-+=n n n a a S ．〔I 〕求数列}{n a 的通项公式；〔II 〕n n n nn b a b a b a T b +++== 2211,2求已知的值．20．〔本小题满分是13分〕函数()=x f 3231()2ax x x R -+∈，其中0>a . 〔Ⅰ〕假设1=a ，求曲线()x f y =在点()()2,2f 处的切线方程；〔Ⅱ〕假设函数()x f 有三个零点，求a 的取值范围.21. 〔本小题满分是14分〕椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,离心率2e =.直线l :220x y -+=与椭圆C 相交于N M 、两点, 且5=MN .(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)点P (2-，0)，A 、B 为椭圆C 上的动点,当PA PB ⊥时,求证:直线AB .参考答案第一卷〔选择题一共50分〕一、选择题：第二卷〔非选择题一共100分〕二、填空题：11. 乙 12. 正四面体(正方体)内一点到四(六)个面的间隔之和是一个定值13. 722=+y x 14. 3215. A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤23|x x B.31 C. 10cos 20+=θρ或者2sin 40302θρ-=或者102cos 402-=θρ三、解答题：16.解：(I)∵在一个周期内，当6x π=时，y 取最小值3-;当23x π=时，y 最大值3. ∴263223πππ=-==T A ，，∴,2T πω== ，()()ϕ+=∴x x f 2sin 3，…………3分由当23x π=时，y 最大值3得()44sin 1,2332k k Z πππϕϕπ⎛⎫+=+=+∈⎪⎝⎭526k πϕπ=-，∵ϕπ≤，∴56ϕπ=- ()⎪⎭⎫⎝⎛-=∴652sin 3πx x f . …………6分 (II) ∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈ππ，2x ， ∴676526πππ≤-≤x …………8分 ∴当32π=x 时，()f x 取最大值3 ; …………10分当76x π=时,()f x 取最小值23-. …………12分17. 解：〔I 〕因为第3、4、5组一共有60名学生,所以利用分层抽样在60名学生中抽取6名学生,每组分别为:第3组:人, ………… 2分第4组:人, ………… 1分第5组:人,所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人. ………… 5分〔II 〕设第3组的3位同学为,第4组的2位同学为,第5组的1位同学为, 那么从六位同学中抽两位同学有15种可能如下:，，，，，…………………………………………………………………………8分其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的有:9种可能, …………10分所以其中第4组的2位同学为至少有一位同学入选的概率为…………12分18．解：(Ⅰ)由题意可知：四棱锥ABCD P -中，平面ABP ⊥平面ABCD ，AP AB ⊥. 所以，⊥PA 平面ABCD ………………………3分又42====BC AD AP AB ，，那么四棱锥ABCD P -的体积为4222)24(3131=⨯⨯+⨯=⋅=PA S V ABCD …………6分(Ⅱ)连接MN ，那么,//,//CB AD CB MN 又CB AD MN 21==，所以四边形ANMD 为平行四边形，DM AN //∴. …………9分⊄AN 平面BDM ,⊂DM 平面BDM ,所以 //AN 平面BDM ………………………12分ABCDPMN19．解：〔I 〕当n = 1时，21111113,424a S a a ==+-又0>n a 解得a 1 = 3．当n≥2时，()()32)32(4444121211-+--+=-=-=----n n n n n n n n n a a a a S S S S a .1212224---+-=∴n n n n n a a a a a ， …………3分∴ 0)2)((11=--+--n n n n a a a a ．2011=-∴>+--n n n n a a a a 〔2≥n 〕， }{n a 数列∴是以3为首项，2为公差的等差数列．12)1(23+=-+=∴n n a n ． …………6分〔II 〕123252(21)2n n T n =⨯+⨯+++⋅．① 又因为21232(21)2(21)2n n n T n n +=⨯++-⋅++②②－① 13212)12()222(223++++++-⨯-=n n n n T …………9分112)12(2286++⋅++⨯-+-=n n n 22)12(1+-=+n n ．所以 22)12(1+⋅-=+n n n T ．…………12分20．解：〔Ⅰ〕当1=a 时，()()32,12323=+-=f x x x f ；……2分 ()()62,33'2'=-=f x x x f …………………………………………4分所以曲线()x f y =在点()()2,2f 处的切线方程为()263-=-x y ，即96-=x y ………6分〔Ⅱ〕()x f '=2333(1)ax x x ax -=-.令()0'=x f ，解得ax x 10==或………8分因0>a ，那么10<.当x 变化时，()x f '、()x f 的变化情况如下表：又()10=f ，22111a a f -=⎪⎭⎫⎝⎛，假设要()x f 有三个零点，只需021112<-=⎪⎭⎫⎝⎛a a f 即可， 11分解得212<a ，又0>a .因此220<<a . …………12分故所求a 的取值范围为}220|{<<a a …………..13分 21. 解：(1)设椭圆方程为22221y x a b+=(a>b>0)，()()2211,,,y x N y x M ，c e a == 令2,a t c == 那么b t = 222214x y t t∴+=…………２分由22244220x y t x y ⎧+=⎨-+=⎩得:222210y y t -+-= ……………………………… 4分 2442(1)0t ∆=-⨯-> 212t ∴>5214141112212=-⨯-+=-+=t y y k MN 21t ∴=故所求椭圆C 的方程为2214x y += . …………………………………… 7分 (2) 当直线l 不垂直于x 轴时,设AB ：y kx m =+ 11(,)A x y 22(,)B x y22244x y t y kx m⎧+=⎨=+⎩得222(14)84(1)0k x kmx m +++-= 1222121212(2)(2)(1)(2)()4PA PB x x y y k x x km x x m =+++=++++++=222224(1)8(1)(2)401414m km k km m k k--+++++=++ …………………… 10分 22125160k m km ∴+-= (65)(2)0k m k m --=制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日 625m k m k ∴==或当65m k =时，6:5AB y kx k =+恒过定点6(,0)5- 当2m k =时，:2AB y kx k =+恒过定点(2,0)-，不符合题意舍去 … 12分当直线l 垂直于x 轴时，假设直线AB ：65x =- 那么AB 与椭圆Ｃ相交于64(,)55A --，64(,)55B - 24444444(,)(,)()()()05555555PA PB ∴=-=+-= PA PB ⊥，满足题意综上可知，直线AB 恒过定点，且定点坐标为6(,0)5- ……………… 14分制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。