人教版八年级数学上册《第十一章三角形复习课件》

【配套训练】以线段3、4、x-5为边组成三角形，那么x的取值
范围是 6<x<12
.
灿若寒星
专题二 三角形内角和及其相关定理
【例2】如图，求证：∠A+∠B+∠C=∠ADC.
【证明】如图，作射线BD.
A
根据三角形外角的性质，则
E 3
有∠3= ∠1+ ∠A ① ；∠4=
4
1
D
∠2+ ∠C ②.由①+ ②得∠3+ B
们称它为“8字型”图.
A
C O
B
D
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【例6】如图所示：
求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G的度数.
【解析】 所求问题不是常见的求
A
多边形的内角和问题，我们发现， 只要连结CD便转化为求五边形的内 B G
E F
角和问题，由“8字型”模型图可
知， ∠FCD+∠GDC=∠F+∠G,所
C
D
以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋
60°.在△BCE中，根据三角形内角和定理，
E
得90°+x°+x°-60°=180°,解得x=75,所以 B
C
∠C=75 °. 【归纳拓展】在角的求值问题中，常常利用图形关系或内角、外
角之间的关系进行转化，然后通过三角形内角和定理列方程求解.
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【配套训练】如图，△ABC中，BD平分∠ABC, ∠1=∠2, ∠3=
多边形转化为三角形和 四边形的重要辅助线
多
内角和：（n-2) ×180 °
边
多边形的内外角和
形
外角和：360 °
正多边形
内角= ;外角= （n 2)180 n 灿若寒星
360 n
专题复习 专题复习
专题一 三角形的三边关系
【例1】已知两条线段的长分别是3cm、8cm ，要想拼成一个三 角形，且第三条线段a的长为奇数，问第三条线段应取多长？
2
C
∠4= ∠1+ ∠A + ∠2+ ∠C ，
故∠A+∠B+∠C=∠ADC获证.
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【归纳拓展】这是一个常见的几何图形模型，因为它像飞镖，
故称之为“飞镖模型”.它利用三角形外角的性质推出四角之间
的数量关系，即∠A+∠B+∠C=∠ADC.运用这一结论，能提高
我们解题的准确性和速度.
其他证法:如下图
【解】 由三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第 三边得: 8-3<a<8+3, ∴ 5 <a<11.
又∵第三边长为奇数, ∴ 第三条边长为 7cm或9cm.
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【归纳拓展】三角形两边之和大于第三边，可以用来判断三条 线段能否组成三角形，在运用中一定要注意检查是否任意两边 的和都大于第三边，也可以直接检查较小两边之和是否大于第 三边.三角形的三边关系在求线段的取值范围以及在证明线段的 不等关系中有着重要的作用.
A
A
D
D
B
E
CB
C
证法二
证法三
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【配套训练】如图所示，∠B＝45°，∠A=30°,∠C＝25°， 则∠ADC的度数是 100 ° .
A
D
B
C
灿若寒星
专题三 多边形的内角和与外角和 1
【例3】已知一个多边形的每个外角都是其相邻内角度数的 ，
4
求这个多边形的边数. 【解】 设此多边形的外角的度数为x,则内角的度数为 4x,则x+4x=180°,解得 x=36°. ∴边数n=360°÷36°=10. 【归纳拓展】在多边形的有关求边数或内角、外角度数的问题 中，要注意内角与外角之间的转化，以及定理的运用.尤其在求 边数的问题中，常常利用定理列出方程，进而再求得边数.
的平分线它就会得到新的这种等腰三角形，我们称其为“黄金等腰
三角形.
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分类讨论思想
【例5】 已知等腰三角形的两边长分别为10 和6 ，则 三角形的周长是 26或22 ． 【解析】 由于没有指明等腰三角形的腰和底，所以
要分两种情况讨论：第一种10为腰，则6为底，此时
周长为26；第二种10为底，则6为腰，此时周长为22.
（2）你能猜想出∠BOC 与∠A 之间的数量关系吗？
∠BOC = 90°+1 ∠A 2
A
E O
D
B
C
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6.张老伯家有一块三角形的花棚，如图所示，张老伯准备将其 分成四个面积相等的三角形，分别种上不同颜色的花卉，请 你至少设计三种种植方案，供张老伯选择.
A
A
B E DF C A
B
C
A
B
C
B
C
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（3）成立，理由如下：
∵AE平分∠BAC, ∴ ∠BAE=
1 2
(180 °- ∠B- ∠C);
∵AD ⊥BC, ∴ ∠BAD=90 °- ∠B.
∴ ∠DAE= ∠BAE- ∠BAD= 1 (180 °- ∠B- ∠C)-90 °+ ∠B=
(∠B- 1 ∠C).
2
A
2
B 灿若寒星
D
E
C
∴ ∠BAC=180 °-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°. ∵AE
1
1
平分∠BAC, ∴∠BA2 E= ∠BA灿2若C寒=星 ×80°=40° .
（2）AD ⊥BC, ∠B=70 °,
∴ ∠BAD=90 °- ∠B=90 °-70 °=20 °, ∵ ∠BAE=40 °,
∴ ∠DAE= ∠BAE- ∠BAD=40 °-20 °=20 °.
【配套训练】已知等腰三角形的两边长分别为10 和4 ，则
三角形的周长是 24
．
【易错提示】等腰三角形没有指明腰和底时要分类讨论，但也
别忘了用三边关系检验能否组成三角形这一重要解题环节.
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化归思想
如图，△AOC与△BOD是有一组对顶角的三角形，其形状像
数字“8”，我们不难发现有一重要结论：
∠A+∠C=∠B+∠D.这一图形也是常见的基本图形模型，我
∠C,求∠1的度数.
A
)
【答案】 设∠ 1=x,根据题意可得∠2=x.因为
1
∠3= ∠1+ ∠2， ∠4= ∠2，所以∠3=2x,
∠4=x，又因为∠3= ∠C，所以∠C=2x.
在△ABC中，根据三角形内角和定理，得
2
x+2x+2x=180 °,解得x=36°,所以∠1=36 °.B 4
D 3
C
【解题小结】这种顶角为36度的等腰三角形，我们发现只要做底角
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【配套训练】一个正多边形的每一个内角都等于120 °，则其 边数是 6 . 【解析】 因为该多边形的每一个内角都等于120度，所 以它的每一个外角都等于60 °.所以边数是6.
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专题四 本章中的思想方法
方程思想
A
【例4】如图，在△ABC中， ∠C=∠ABC,BE
⊥AC, △BDE是等边三角形，求∠C的度数. 【解】 设∠C=x °,则∠ABC=x°,因为△BDE是 D 等边三角形，所以∠ABE=60°,所以∠ EBC=x°-
7.如图所示，在△ABC中，AD⊥ BC,AE平分∠BAC, ∠B=70 ° ,
∠C=30 ° . A
（1）求∠BAE的度数；
（2）求∠DAE的度数；
（3）探究：有同学认为，不论∠B,
∠C的度数是多少，都有∠DAE=
1 2
(∠B-∠C)成立，你同意吗？你能说
B
D
E
C
出成立或不成立的理由吗？
解：（1）在△ABC中， ∠B=70 °, ∠C=30 °,
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第十一章 三角形
复习课
知识网络
专题复习
课堂小结
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课堂训练
知识网络 知识网络
与三角形有 关的线段
三角形的边：三边关系定理 高线 中线：把三角形面积平分
角平分线
三
角
形
与三角形有
关的角
三角形内角和：180° 三角形外角和：360° 内角与外角关系
三角形的分类
定义
对角线
∠F＋∠G=（5-2） ×180 °=540
°.
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课堂小结 课堂小结
等腰三角形有 关算问题
分类讨论和三边关系检验
三角形
重要线段
中线性质 的应用
常见几何
模
型
飞镖模型
8字型
角平分线 夹角模型
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课堂训练 课后训练
1.木工师傅做完门框后，为防止变形，通常在角上钉一斜条， 根据是 三角形具有稳定性 . 2.△ABC中，∠A＝80°，∠B-∠C＝20°，则∠B=60 ° ， ∠C = 40 °.按角分类这个三角形属于 锐角 三角形． 3.在△ABC中，已知：3∠A=∠C，3∠B=2∠C，则△ABC 是 直角 三角形（提示设最小角∠A=x °).
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4.如图所示，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周 长大6cm,则AB与AC的差为（ B ）
A. 12cm
B. 6cm
A
C. 3cm
D. 2cm
B
D
C
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5.如图，在△ABC 中，∠ABC ，∠ ACB 的平分线BD，CE 交于 点O．（1）若∠A =80°，则∠BOC = 130．°